Понятие числовой функции. Способы задания функции. Свойства функций.
Числовая функция - функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество).
Три главных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
1. Аналитический.
Способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим. Этот способ является основным в мат. анализе, но на практике не удобен.
2. Табличный способ задания функции.
Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции.
3. Графический способ задания функции.
Функция у=f(х) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями.
Свойства функции, которые необходимо учитывать при построении её графика:
1)Область определения функции.
Область определения функции, то есть те значения, которые может принимать аргумент х функции F =y (x).
2) Промежутки возрастания и убывания функции.
Функция называется возрастающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 > х 2 , то у(х 1) > у(х 2).
Функция называется убывающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 < х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Нули функции.
Точки, в которых функция F = y (x) пересекает ось абсцисс (они получаются, если решить уравнение у(х) = 0) и называются нулями функции.
4)Чётность и нечётность функции.
Функция называется чётной, если для всех значений аргумента из области определения
у(-х) = у(х).
График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция называется нечётной , если для всех значений аргумента из области определения
у(-х) = -у(х).
График чётной функции симметричен относительно начала координат.
Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными.
5)Периодичность функции.
Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для всех значений аргумента из области определения
у(х + Р) = у(х).
Линейная функция, её свойства и график.
Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел.
k – угловой коэффициент (действительное число)
b – свободный член (действительное число)
x – независимая переменная.
· В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
· Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.
o Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.
o Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.
Свойства линейной функции:
1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось.
Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) Точки пересечения с осями координат:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
Замечание. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.
k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Функция у = ах 2 + bх + с, её свойства и график.
| Функция у = ах 2 + bх + с (а, b, с - постоянные величины, а ≠ 0) называется квадратичной. В простейшем случае у = ах 2 (b = с = 0) график есть кривая линия, проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком функции у = ах 2 , есть парабола. Каждая парабола имеет ось симметрии, называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы . |
 |
| График можно строить по следующей схеме:
1) Находим координаты вершины параболы х 0 = -b/2a; у 0 = у(х 0).
2) Строим еще несколько точек, которые принадлежат параболе, при построении можно использовать симметрии параболы относительно прямой х = -b/2a.
3) Соединяем обозначены точки плавной линией.
Пример. Построить график функции в = х 2 + 2х - 3.
Решения. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы х 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ее ординаты y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4.
Итак, вершина параболы - точка (-1; -4). Составим таблицу значений для нескольких точек, которые размещены справа от оси симметрии параболы - прямой х = -1.
Свойства функции.
|
Данный видеоурок по курсу математики познакомит вас со свойствами функции y = k/x, при условии, что значение k будет отрицательным.
В наших предыдущих видеоуроках вы познакомились с самой функцией y равно k деленное на x, ее графиком, который называется «гипербола», а также свойствами графика при положительном значении k. Данное видео познакомит вас со свойствами коэффициента k при отрицательном его значении, то есть меньше нуля.
Свойства равенства, при котором y равняется коэффициенту k, деленному на независимую переменную x, при условии, что коэффициент имеет отрицательное значение, представлены в видеоматериале.
При описании свойств этой функции, прежде всего, опираются на ее геометрическую модель - гиперболу.
Свойство 1. Область определения функции состоит из всех чисел, однако следует, что x не может равняться 0, потому что на ноль делить нельзя.
Свойство 2. у больше нуля при условии, что х меньше нуля; и, соответственно, наоборот, у меньше нуля при значении, когда х находится в пределах больше нуля и до бесконечности.
Свойство 3. Функция возрастает на промежутках от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности: (-∞, 0) и (0, +∞).
Свойство 4. Функция является бесконечной, так как не имеет ограничений ни снизу, ни сверху.
Свойство 5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет, поскольку она бесконечна.
Свойство 6. Функция является непрерывной на промежутках от минус бесконечности до нуля (-∞, 0) и от нуля до бесконечности (0, +∞), при этом следует обозначить, что она претерпевает разрыв в том случае, когда х имеет значение ноль.
Свойство 7. Область значений функций является объединением двух открытых лучей от минус бесконечности до нуля (-∞, 0) и от нуля до плюс бесконечности (0, +∞).
Далее в видео приводятся примеры. Мы рассмотрим только некоторые из них, остальные рекомендуем посмотреть самостоятельно в предоставленных видеоматериалах.
Итак, рассмотрим первый пример. Необходимо решить уравнение следующего вида: 4/x = 5-x.
Для большего удобства разделим решение данного равенства на несколько этапов:
1) Для начала записываем наше равенство в виде двух отдельных уравнений: y = 4/x и y = 5-x/
2) Затем, как показано в видео, строим график функции y = 4/x, который является гиперболой.
3) Далее строим график линейной функции. В данном случае это прямая, которую можно построить по двум точкам. Графики представлены в нашем видеоматериале.
4) Уже по самому чертежу определяем точки, в которых пересекаются оба наших графика, и гипербола, и прямая. Следует обозначить, что они пересекаются в точках А (1; 4) и В (4; 1). Проверка полученных результатов показывает, что они верны. Данное уравнение может иметь два корня 1 и 4.
Следующий пример, рассмотренный в видеоуроке, имеет следующее задание: построить и прочитать график функции у = f(x), где f(x) = -x2, в случае если переменная x находится в пределах от больше или равно -2 и до больше или равно 1, и y = -1/x, в случае если x больше единицы.
Решение проводим в несколько этапов. Сначала строим график функции y = -x2, который называется «парабола», и выделяем ее часть на участке от - 2 до 1. Для просмотра графика обратитесь к видео.
Следующим этапом является построение гиперболы для равенства y = -1/x, и выделяем ее часть на открытом луче от единицы до бесконечности. Далее производим смещение обоих графиков в одной системе координат. В результате мы получаем график функции у = f(x).
Далее следует прочитать график функции у = f(x):
1. Область определения функции - это луч на участке от -2 до +∞.
2. у равняется нулю в том случае, когда х равняется нулю; у меньше нуля при значении x больше или равно -2 и меньше нуля, а также при x больше нуля.
3. Функция возрастает на участке от -2 до 0 и на участке от 1 и до бесконечности, график показывает убывание на отрезке от нуля до единицы.
4. Функция с заданными параметрами является ограниченной как снизу, так и сверху.
5. Наименьшее значение переменной y равняется - 4 и постигается при значении х на уровне - 2; и также наибольшим значением y является 0, который достигается при значении х равному нулю.
6. В заданной области определения наша функция является непрерывной.
7. Область значения функции располагается на отрезке от -4 до 0.
8. Функция выпукла вверх на отрезке от -2 до 1 и на луче от 1 до бесконечности.
С оставшимися примерами вы сможете ознакомиться самостоятельно, просмотрев представленное видео.
Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.
Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.
Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.
Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.
Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.
Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
В данном случае а = 0,5
А теперь для а < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
В данном случае а = - 0,5
Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:
y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.
с > 0:
y = x 2 + 4x + 3
с < 0
y = x 2 + 4x - 3
Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:
y = x 2 + 4x
Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.
Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .
Рассмотрим пример:
Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.
Научитесь брать производные от функций. Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке, лежащей на графике этой функции. В данном случае графиком может быть как прямая, так и кривая линия. То есть производная характеризует скорость изменения функции в конкретный момент времени. Вспомните общие правила, по которым берутся производные, и только потом переходите к следующему шагу.
- Прочитайте статью .
- Как брать простейшие производные, например, производную показательного уравнения, описано . Вычисления, представленные в следующих шагах, будут основаны на описанных в ней методах.
Научитесь различать задачи, в которых угловой коэффициент требуется вычислить через производную функции. В задачах не всегда предлагается найти угловой коэффициент или производную функции. Например, вас могут попросить найти скорость изменения функции в точке А(х,у). Также вас могут попросить найти угловой коэффициент касательной в точке А(х,у). В обоих случаях необходимо брать производную функции.
Возьмите производную данной вам функции. Здесь строить график не нужно – вам понадобится только уравнение функции. В нашем примере возьмите производную функции . Берите производную согласно методам, изложенным в упомянутой выше статье:
- Производная:
В найденную производную подставьте координаты данной вам точки, чтобы вычислить угловой коэффициент. Производная функции равна угловому коэффициенту в определенной точке. Другими словами, f"(х) – это угловой коэффициент функции в любой точке (x,f(x)). В нашем примере:
- Найдите угловой коэффициент функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} в точке А(4,2).
- Производная функции:
- f ′ (x) = 4 x + 6 {\displaystyle f"(x)=4x+6}
- Подставьте значение координаты «х» данной точки:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 {\displaystyle f"(x)=4(4)+6}
- Найдите угловой коэффициент:
- Угловой коэффициент функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} в точке А(4,2) равен 22.
Если возможно, проверьте полученный ответ на графике. Помните, что угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке. Дифференциальное исчисление рассматривает сложные функции и сложные графики, где угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке, а в некоторых случаях точки вообще не лежат на графиках. Если возможно, используйте графический калькулятор, чтобы проверить правильность вычисления углового коэффициента данной вам функции. В противном случае проведите касательную к графику в данной вам точке и подумайте, соответствует ли найденное вами значение углового коэффициента тому, что вы видите на графике.
- Касательная будет иметь тот же угловой коэффициент, что и график функции в определенной точке. Для того, чтобы провести касательную в данной точке, двигайтесь вправо/влево по оси Х (в нашем примере на 22 значения вправо), а затем вверх на единицу по оси Y. Отметьте точку, а затем соедините ее с данной вам точкой. В нашем примере соедините точки с координатами (4,2) и (26,3).
