Многочлены от нескольких переменных примеры. Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Теорема о симметрических многочленах. Произведения одночлена и многочлена от двух переменных

Одночлены и многочлены от одной переменной

Одночленом (мономом) от переменной x называют целую неотрицательную степень переменной x , умноженную на число.

Таким образом, одночлен от нескольких переменных является произведением числа на несколько букв, каждая из которых входит в одночлен в целой неотрицательной степени .

Степенью одночлена называют сумму степеней всех входящих в него букв, т.е. сумму целых неотрицательных чисел:

i 1 + i 2 + … + i n .

Число c называют коэффициентом одночлена .

Пример . Степень одночлена

равна 3, а коэффициент равен - 0,83 .

Два одночлена равны , если, во-первых, у них равны коэффициенты, а во-вторых, одночлены состоят из одних и тех же букв, которые входят в них с соответственно равными показателями степеней.

Алгебраическая сумма одночленов от нескольких переменных носит название многочлена или полинома от нескольких переменных . Например,

Степенью многочлена от нескольких переменных называют наивысшую степень входящих в него одночленов.

В частности, степень многочлена

равна 8.

Многочлен от нескольких переменных называют однородным многочленом , если степени всех входящих в него одночленов равны. В этом случае степень многочлена равна степени каждого входящего в него одночлена.

Например, многочлен

является однородным многочленом степени 3.

Возьмем две буквы x и y. Произведение a*xk*yl где а - число, называется одночленом. Его степень равна k+l . Сумма одночленов называется многочленом. В отличие от многочленов с одной переменной, для многочленов с большим числом переменных нет общепринятой стандартной записи. Так же, как и многочлены от одной переменной, многочлены от двух переменных могут раскладываться на множители. Важным разложением является разложение разности n-ых степеней, которое вам известно для n=2 и 3: x2-y2=(x-y)*(x+y) x3-y3=(x-y)*(x2+x*y+y2) Эти формулы легко обобщаются для произвольного n: xn-yn=(x-y)*(xn-1+xn-2*y+…+x*yn-2+yn-1) Сумма n-ых степеней легко раскладывается в случае, когда n нечетно. Слагаемое yn можно представить в виде -(-y)n и воспользоваться формулой разложения разности n-ых степеней. Пример.

x5+y5=x5-(-y)5=(x-(-y))*(x4+x3(-y)+x2*(-y)2+x*(-y)3+(-y)4)=(x+y)*(x4-x3*y+x2*y2-x*y3+y4)

Это тождество проверяется прямым перемножением скобок правой части.

Симметричные многочлены

Среди многочленов от двух переменных важную роль играют симметричные многочлены, т. е. многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x и y.

Примеры симметричных многочленов 0) 1; 1) x+y; 2) x*y; 3) x2-x*y+y2; 4) x3+5*x2*y+5*x*y2+y3; 5) (x-y)10 Первые три многочлена называются основными: Их роль состоит в том, что любой симметричный многочлен от двух переменных может быть выражен через и с помощью операция сложения и умножения.

Рассмотрим в качестве примера разложение суммы степеней через суммы и произведение Пусть Умножим на Так как то Получаем тождество Зная и мы последовательно сможем вычислить для любого k. и т. д. С помощью теоремы Виета мы можем выразить любой симметричный многочлен от корней квадратного трехчлена через коэффициенты p и q, так как Например, найдем где - корни трехчлена Воспользуемся полученной ранее формулой для суммы 5-ых степеней: По теореме Виета Подставляя, получим От Ньютона идет другой способ решения этой (и аналогичной ей) задачи без использования формулы для Подставим корни и в уравнение. Получим равенства Сложим: умножим равенства на и и сложим: Продолжаем аналогично.

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Определение 1

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5 , 0 , − 1 , x , 5 · a · b 3 , x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и так далее. Из определения имеем, что 1 + x , a 2 + b 2 и выражение x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются многочленами.

Рассмотрим еще определения.

Определение 2

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , состоящий из 4 членов: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 и − y 3 . Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.

Определение 3

Многочлены, которые имеют в своем составе 2 , 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен .

Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.

По школьной программе работали с линейным двучленом вида a · x + b , где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x имеет подобные слагаемые 1 и - 3 , 5 х и 2 х. Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.

Определение 4

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и - 3 , 5 х и 2 х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Определение 5

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3 · x 2 − x · y + 1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3 · x 2 и − x 2 , а второй содержит одночлен вида x · y 3 · x · z 2 , отличающийся от стандартного многочлена.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Определение 6

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 свободного члена не имеет.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Определение 7

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5 · x 3 − 4 равняется 3 , потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0 , а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x равняется наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , значит 5 .

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Определение 8

Степень многочлена произвольного числа - это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Пример 1

Найти степень многочлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 .

Решение

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них − 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Видно, что наибольшая из них равняется 6 . Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , следовательно и исходного значения.

Ответ : 6 .

Коэффициенты членов многочлена

Определение 9

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Значит, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

От нескольких переменных. Напомним сначала понятие многочлена и связанные с этим понятием определения.

Определение 1

Многочлен -- это сумма одночленов.

Определение 2

Члены многочлена -- это все одночлены, входящие в многочлен.

Определение 3

Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.

Определение 4

Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.

Введем теперь непосредственно определение многочлена от двух переменных.

Определение 5

Многочлен, члены которого имеют только две различные переменные называется многочленом от двух переменных.

Пример: ${6y}^6+{13xy}^5$.

Над двучленами можно проводить следующие действия: двучлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать двучлен на одночлен и возводить в какую-либо степень.

Сумма многочленов от двух переменных

Рассмотрим сумму двучленов на примере

Пример 1

Сложим двучлены ${xy}^5+{3x}^5$ и ${3x}^5-{xy}^5$

Решение.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

\[\left({xy}^5+{3x}^5\right)+({3x}^5-{xy}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{xy}^5+{3x}^5+{3x}^5-{xy}^5\]

\[{6x}^5\]

Ответ: ${6x}^5$.

Разность многочленов от двух переменных

Пример 2

Вычтем из двучлена ${xy}^5+{3x}^5$ двучлен ${3x}^5-{xy}^5$

Решение.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

\[\left({xy}^5+{3x}^5\right)-({3x}^5-{xy}^5)\]

Раскроем скобки:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

\[{xy}^5+{3x}^5-{3x}^5+{xy}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{2xy}^5\]

Ответ: ${2xy}^5$.

Произведения одночлена и многочлена от двух переменных

В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.

Схема умножения одночлена на многочлен

• составляется произведение.
• раскрываются скобки. Для того, чтобы раскрыть скобки при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
• группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
• перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Пример 3

Умножим одночлен $x^2y$ на многочлен $(x^2y^2-x^2-y^2)$

Решение.

Составим произведение:

Раскроем скобки:

Перемножив, получим:

Ответ: $x^4y^3+x^4y\ +{x^2y}^3$.

Произведение двух многочленов с двумя переменными

Правило умножения многочлена на многочлен : Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.

Многочлены от одного и нескольких переменных детально изучаются в курсе высшей алгебры. В этой главе мы рассмотрим лишь некоторые вопросы теории многочленов с числовыми коэффициентами от нескольких переменных, которые в курсе высшей алгебры не освещаются, но с которыми, однако, должен быть знаком каждый учитель математики.

Пусть -произвольное числовое поле, некоторые независимые переменные, принимающие любые значения из поля

Всякое произведение вида

где А - некоторое число из поля некоторые целые неотрицательные числа, называется одночленом от переменных над полем Числовой множитель А называют коэффициентом одночлена.

Если коэффициент А одночлена равен нулю, то одночлен при любых численных значениях переменных равен нулю, т. е. тождественно равен нулю; его называют нуль-одночленом и обозначают символом 0. Если же коэффициент А отличен от нуля, то одночлен называют отличным от нуль-одночлена или кратко отличным от нуля.

Показатель степени с которым переменное входит в отличный от нуля одночлен назыьают степенью одночлена относительно переменного Сумму всех показателей степеней, с которыми переменные входят в этот одночлен, называют степенью одночлена относительно совокупности переменных

Так, например, есть одночлен четвертой степени относительно и десятой степени относительно совокупности переменных

Нуль-одночлену не приписывают никакой степени.

Два отличные от нуля одночлена от переменных

называются подобными, если каждое из переменных входит в оба одночлена в одной и той же степени, если Иначе говоря, отличные от нуля одночлены от одних и тех же переменных называются подобными, если они отличаются один от другого лишь своими коэффициентами.

Так, например, одночлены -подобные.

нескольких подобных одночленов от переменных над числовым полем может быть заменена тождественным ей одночленом

в который каждое из переменных входит в той же степени, что и в слагаемые, и коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых.

Действительно, так как коэффициенты принадлежат числовому полю а операции сложения и умножения чисел ноля связаны дистрибутивным законом,

при любых значениях переменных принадлежащих полю Например:

Так как операция умножения в числовом поле коммутативна и ассоциативна, то произведение

нескольких одночленов от переменных над числовым полем тождественно одночлену

коэффициент которого равен произведению коэффициентов одночленов-сомножителей, а каждое из переменных входит в одночлен-произведение в степени, равной сумме показателей степеней этого переменного во всех одночленах-сомножителях. Следовательно, произведение нескольких одночленов вида (1) всегда можно заменить тождественным ему одночленом вида (2).

Так, например,

Выражение, которое получается из переменных посредством операций сложения и умножения, называется многочленом от переменных над полем

Так, например,

есть многочлен от переменных над полем действительных чисел.

Иногда один и тот же многочлен можно рассматривать над различными числовыми полями. Так, если коэффициентами многочлена являются рациональные числа, а переменные принимают лишь рациональные значения, то этот многочлен считается заданным над полем рациональных чисел. Но так как рациональные числа содержатся в поле действительных, а также и в поле комплексных чисел, то этот многочлен можно рассматривать над полем действительных или комплексных чисел, считая, что независимые переменные принимают любые действительные или комплексные значения. Так, например, многочлен можно рассматривать над полем рациональных, действительных или комплексных чисел. Так как в результате умножения и сложения чисел поля мы получаем числа этого же поля то значения многочлена при любых численных значениях независимых переменных принадлежат тому же числовому полю, над которым рассматривается многочлен.

В соответствии с определением тождественности двух аналитических выражений два многочлена от одних и тех же переменных называются тождественными (или тождественно равными), если при любых численных значениях этих переменных значения многочленов равны.

Замена многочлена тождественным ему многочленом называется тождественным преобразованием данного многочлена. Числа, входящие в многочлены от переменных заданные над числовым полем и значения переменных которые они принимают, принадлежат к числовому полю Поэтому тождественные преобразования многочленов, заданных над числовым полем выполняются на основании законов операций над числами поля и правил, вытекающих из этих законов, т. е. на основе коммутативного и ассоциативного законов

сложения и умножения и дистрибутивного закона умножения относительного сложения, а также правил действий над числами, вытекающих из этих законов.

По определению всякий многочлен от переменных над числовым полем образуется из чисел поля и независимых переменных посредством операций сложения и умножения. Раскрыв в многочлене скобки, если они имеются, и выполнив умножение одночленов, мы получим тождественную заданному многочлену сумму вида

где некоторые числа из поля а некоторые целые неотрицательные числа.

Следовательно, всякий многочлен от переменных над числовым полем Может быть записан в виде суммы одночленов от над полем Р:

Поэтому иногда дают следующее определение многочлена:

Многочленом от переменных над числовым полем называется функция которая может быть представлена в виде суммы нескольких одночленов от переменных над полем Р:

Если среди одночленов входящих в многочлен (1), есть подобные, то сгруппируем их, переставив в случае необходимости слагаемые, и заменим каждую группу подобных одночленов тождественным ей одночленом, т. е. приведем подобные члены.

После приведения подобных членов коэффициенты некоторых одночленов-слагаемых могут быть равными нулю, т. е. некоторые из слагаемых могут быть

нуль-одночленами. Такие слагаемые мы исключим. В результате всего этого многочлен запишется в виде суммы не подобных попарно одночленов, тождественно равной заданному многочлену. Если же после приведения подобных членов все слагаемые многочлена будут нуль-одночленами, то многочлен будет тождественно равным нулю. Такой многочлен называется нуль-многочленом и обозначается символом 0.

Запись многочлена в виде суммы не подобных попарно одночленов или в виде нуль-многочлена называется канонической формой или каноническим представлением многочлена. Например, запись является канонической формой многочлена

Из изложенного выше вытекает, что всякий многочлен от нескольких переменных может быть записан в канонической форме. Всякий одночлен от переменных является частным случаем многочлена, а именно многочленом, в канонической форме которого есть лишь одно слагаемое.