La geometría es una ciencia muy polifacética. Desarrolla la lógica, la imaginación y la inteligencia. Eso sí, debido a su complejidad y a la gran cantidad de teoremas y axiomas, a los escolares no siempre les gusta. Además, existe la necesidad de probar constantemente sus conclusiones utilizando estándares y reglas generalmente aceptados.
Los ángulos adyacentes y verticales son una parte integral de la geometría. Seguramente muchos escolares simplemente los adoran por el hecho de que sus propiedades son claras y fáciles de probar.
Formación de esquinas
Cualquier ángulo se forma por la intersección de dos líneas o por dibujar dos rayos desde un punto. Se pueden llamar una letra o tres, que designan sucesivamente los puntos de construcción de la esquina.
Los ángulos se miden en grados y pueden (dependiendo de su valor) llamarse de manera diferente. Entonces, hay un ángulo recto, agudo, obtuso y desplegado. Cada uno de los nombres corresponde a una cierta medida de grado oa su intervalo.
Un ángulo agudo es un ángulo cuya medida no excede los 90 grados.
Un ángulo obtuso es un ángulo mayor de 90 grados.
Un ángulo se llama recto cuando su medida es 90.
En el caso de que esté formada por una sola línea recta continua, y su medida de grados sea de 180, se dice desplegada.
Los ángulos que tienen un lado común, cuyo segundo lado se continúa, se llaman adyacentes. Pueden ser afilados o contundentes. La intersección de la línea forma ángulos adyacentes. Sus propiedades son las siguientes:
- La suma de tales ángulos será igual a 180 grados (hay un teorema que prueba esto). Por lo tanto, uno de ellos se puede calcular fácilmente si se conoce el otro.
- Del primer punto se sigue que dos ángulos obtusos o dos ángulos agudos no pueden formar ángulos adyacentes.
Gracias a estas propiedades, siempre se puede calcular la medida en grados de un ángulo dado el valor de otro ángulo, o al menos la relación entre ellos.
Ángulos verticales
Los ángulos cuyos lados son continuaciones entre sí se llaman verticales. Cualquiera de sus variedades puede actuar como tal pareja. Los ángulos verticales siempre son iguales entre sí.
Se forman cuando las líneas se cruzan. Junto con ellos, las esquinas adyacentes siempre están presentes. Un ángulo puede ser adyacente para uno y vertical para el otro.
Al cruzar una línea arbitraria, también se consideran varios tipos más de ángulos. Tal línea se llama secante y forma los ángulos correspondientes, unilaterales y cruzados. Son iguales entre sí. Se pueden ver a la luz de las propiedades que tienen los ángulos verticales y adyacentes.
Por lo tanto, el tema de las esquinas parece ser bastante simple y comprensible. Todas sus propiedades son fáciles de recordar y probar. Resolver problemas no es difícil siempre que los ángulos correspondan a un valor numérico. Ya más allá, cuando comience el estudio del pecado y el cos, deberá memorizar muchas fórmulas complejas, sus conclusiones y consecuencias. Hasta entonces, puedes disfrutar de rompecabezas fáciles en los que necesitas encontrar esquinas adyacentes.
Ángulos en los que un lado es común y los otros lados están en la misma línea recta (en la figura, los ángulos 1 y 2 son adyacentes). Arroz. al arte. Esquinas adyacentes... Gran enciclopedia soviética
ESQUINAS ADYACENTES- ángulos que tienen un vértice común y un lado común, y otros dos lados de ellos se encuentran en la misma línea recta... Gran Enciclopedia Politécnica
Ver ángulo... Gran diccionario enciclopédico
ÁNGULOS ADYACENTES, dos ángulos cuya suma es 180°. Cada una de estas esquinas complementa a la otra en un ángulo completo... Diccionario enciclopédico científico y técnico.
Ver Ángulo. * * * ESQUINAS ADYACENTES ESQUINAS ADYACENTES, ver Esquina (ver ESQUINA) … diccionario enciclopédico
- (Ángulos adyacentes) los que tienen un vértice común y un lado común. En su mayoría, este nombre significa tales ángulos S., de los cuales los otros dos lados se encuentran en direcciones opuestas de una línea recta trazada a través del vértice ... Diccionario Enciclopédico F.A. Brockhaus e I. A. Efrón
Ver ángulo... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico
Las dos líneas se cruzan, creando un par de ángulos verticales. Un par consta de los ángulos A y B, el otro de C y D. En geometría, dos ángulos se llaman verticales si se forman por la intersección de dos ... Wikipedia
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Libros
- Sobre la prueba en geometría, Fetisov A.I. Una vez, al comienzo del año escolar, escuché una conversación entre dos niñas. El mayor de ellos pasó al sexto grado, el más joven, al quinto. Las chicas compartieron sus impresiones sobre las lecciones, ...
- Geometría. Séptimo grado. Cuaderno complejo para el control del conocimiento, I. S. Markova, S. P. Babenko. El manual presenta materiales de control y medición (KMI) en geometría para realizar el control de calidad actual, temático y final de los conocimientos de los estudiantes del grado 7. El contenido de la guía…
Cada ángulo, dependiendo de su tamaño, tiene su propio nombre:
| ángulo de visión | Tamaño en grados | Ejemplo |
|---|---|---|
| Picante | Menos de 90° | |
| Derecho | Igual a 90°. En el dibujo, un ángulo recto generalmente se denota con un símbolo dibujado de un lado del ángulo al otro. |
 |
| Desafilado | Más de 90° pero menos de 180° |  |
| desplegada | es igual a 180° Un ángulo recto es igual a la suma de dos ángulos rectos, y un ángulo recto es la mitad del ángulo recto. |
 |
| Convexo | Más de 180° pero menos de 360° |  |
| Lleno | es igual a 360° |  |
Las dos esquinas se llaman relacionado, si tienen un lado en común, y los otros dos lados forman una línea recta:
esquinas FREGAR Y pon adyacente desde la viga OP- el lado común, y los otros dos lados - OM Y EN formar una línea recta.
El lado común de los ángulos adyacentes se llama oblicua a recta, sobre el que se encuentran los otros dos lados, sólo si los ángulos adyacentes no son iguales entre sí. Si los ángulos adyacentes son iguales, entonces su lado común será perpendicular.
La suma de los ángulos adyacentes es 180°.
Las dos esquinas se llaman vertical, si los lados de un ángulo complementan con rectas los lados de otro ángulo:
Los ángulos 1 y 3, así como los ángulos 2 y 4, son verticales.
Los ángulos verticales son iguales.
Probemos que los ángulos verticales son iguales:
La suma de ∠1 y ∠2 es un ángulo llano. Y la suma de ∠3 y ∠2 es un ángulo llano. Entonces estas dos sumas son iguales:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
En esta igualdad, a la izquierda ya la derecha existe el mismo término - ∠2. La igualdad no se viola si se omite este término a la izquierda ya la derecha. Entonces lo conseguimos.
¿Qué es un ángulo adyacente?
Esquina- esta es una figura geométrica (Fig. 1), formada por dos rayos OA y OB (lados de las esquinas), que emanan de un punto O (vértice de la esquina).
ESQUINAS ADYACENTES son dos ángulos cuya suma es 180°. Cada uno de estos ángulos complementa al otro en un ángulo completo.
Esquinas adyacentes- (Agles adyacentes) las que tienen una parte superior común y un lado común. Predominantemente, este nombre se refiere a tales ángulos, de los cuales los otros dos lados se encuentran en direcciones opuestas de una línea recta trazada.
Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen un lado en común y los otros lados de estos ángulos son semirrectas complementarias.
arroz. 2
En la Figura 2, los ángulos a1b y a2b son adyacentes. Tienen un lado b común, y los lados a1, a2 son semirrectas adicionales.
arroz. 3
La figura 3 muestra la línea AB, el punto C está ubicado entre los puntos A y B. El punto D es un punto que no se encuentra en la línea AB. Resulta que los ángulos BCD y ACD son adyacentes. Tienen un lado común CD, y los lados CA y CB son medias líneas adicionales de la línea AB, ya que los puntos A, B están separados por el punto inicial C.
Teorema del ángulo adyacente
Teorema: la suma de los angulos adyacentes es 180°
Prueba:
Los ángulos a1b y a2b son adyacentes (ver Fig. 2) La viga b pasa entre los lados a1 y a2 de un ángulo recto. Por lo tanto, la suma de los ángulos a1b y a2b es igual al ángulo recto, es decir, 180°. El teorema ha sido probado.
Un ángulo igual a 90° se llama ángulo recto. Del teorema de la suma de los ángulos adyacentes se sigue que el ángulo adyacente a un ángulo recto es también un ángulo recto. Un ángulo menor de 90° se llama agudo, y un ángulo mayor de 90° se llama obtuso. Como la suma de los ángulos adyacentes es 180°, entonces el ángulo adyacente a un ángulo agudo es un ángulo obtuso. Un ángulo adyacente a un ángulo obtuso es un ángulo agudo.
Esquinas adyacentes- dos ángulos con un vértice común, uno de cuyos lados es común, y los lados restantes se encuentran en la misma línea recta (no coincidentes). La suma de los ángulos adyacentes es 180°.
Definición 1. Un ángulo es una parte de un plano delimitado por dos rayos con un origen común.
Definición 1.1. Un ángulo es una figura que consta de un punto, el vértice del ángulo, y dos semirrectas diferentes que parten de este punto, los lados del ángulo.
Por ejemplo, el ángulo BOS en la Fig. 1 Considere las dos primeras líneas que se cruzan. Cuando se cruzan, las líneas forman ángulos. Hay casos especiales:
Definición 2. Si los lados de un ángulo son semirrectas complementarias de una recta, entonces el ángulo se llama ángulo llano.
Definición 3. Un ángulo recto es un ángulo de 90 grados.
Definición 4. Un ángulo de menos de 90 grados se llama ángulo agudo.
Definición 5. Un ángulo mayor de 90 grados y menor de 180 grados se llama ángulo obtuso.
líneas secantes.
Definición 6. Dos ángulos, uno de cuyos lados es común y los otros lados están en la misma línea recta, se llaman adyacentes.
Definición 7. Los ángulos cuyos lados se extienden entre sí se llaman ángulos verticales.
Figura 1:
adyacente: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1
verticales: 1 y 3; 2 y 4
Teorema 1. La suma de los ángulos adyacentes es 180 grados.
Como prueba, considere la Fig. 4 esquinas adyacentes AOB y BOC. Su suma es el ángulo desarrollado AOC. Por lo tanto, la suma de estos ángulos adyacentes es 180 grados.
arroz. 4
Relación entre las matemáticas y la música
"Pensando en el arte y la ciencia, en sus conexiones y contradicciones mutuas, llegué a la conclusión de que las matemáticas y la música están en los polos extremos del espíritu humano, que estas dos antípodas limitan y determinan toda la actividad espiritual creativa de una persona, y que todo está puesto entre ellos, lo que la humanidad ha creado en el campo de la ciencia y el arte".
G. Neuhaus
Parecería que el arte es un área muy abstracta de las matemáticas. Sin embargo, la conexión entre matemáticas y música está condicionada tanto histórica como internamente, a pesar de que las matemáticas son la más abstracta de las ciencias y la música la forma de arte más abstracta.
La consonancia determina el sonido de una cuerda que es agradable al oído.
Este sistema musical se basaba en dos leyes, que llevan los nombres de dos grandes científicos: Pitágoras y Arquitas. Estas son las leyes:
1. Dos cuerdas sonoras determinan la consonancia si sus longitudes están relacionadas como números enteros que forman un número triangular 10=1+2+3+4, es decir como 1:2, 2:3, 3:4. Además, cuanto menor sea el número n en relación con n:(n+1) (n=1,2,3), más consonante será el intervalo resultante.
2. La frecuencia de vibración w de una cuerda sonora es inversamente proporcional a su longitud l.
w = un: l,
donde a es un coeficiente que caracteriza las propiedades físicas de la cuerda.
También les ofreceré una divertida parodia sobre una disputa entre dos matemáticos =)
Geometría a nuestro alrededor
La geometría juega un papel importante en nuestra vida. Debido a que cuando mires a tu alrededor, no será difícil notar que estamos rodeados de varias formas geométricas. Los encontramos en todas partes: en la calle, en el salón de clases, en casa, en el parque, en el gimnasio, en la cafetería de la escuela, en principio, donde sea que estemos. Pero el tema de la lección de hoy son los carbones adyacentes. Así que miremos a nuestro alrededor e intentemos encontrar rincones en este entorno. Si mira con cuidado por la ventana, puede ver que algunas ramas del árbol forman esquinas adyacentes y puede ver muchas esquinas verticales en las particiones de la puerta. Da tus ejemplos de ángulos adyacentes que ves en el entorno.
Ejercicio 1.
1. Hay un libro sobre la mesa en un atril. ¿Qué ángulo forma?
2. Pero el estudiante está trabajando en una computadora portátil. ¿Qué ángulo ves aquí?
3. ¿Cuál es el ángulo del marco de fotos en el soporte?
4. ¿Crees que es posible que dos ángulos adyacentes sean iguales?
Tarea 2.
Frente a ti hay una figura geométrica. ¿Qué es esta figura, nómbrala? Ahora nombra todos los ángulos adyacentes que puedes ver en esta figura geométrica.
Tarea 3.
Aquí hay una imagen de un dibujo y una pintura. Míralos cuidadosamente y di qué tipos de capturas ves en la imagen y qué ángulos en la imagen.
resolución de problemas
1) Se dan dos ángulos, relacionados entre sí como 1: 2, y adyacentes a ellos, como 7: 5. Necesitas encontrar estos ángulos.2) Se sabe que uno de los ángulos adyacentes es 4 veces mayor que el otro. ¿Qué son los ángulos adyacentes?
3) Es necesario encontrar ángulos adyacentes, siempre que uno de ellos sea 10 grados mayor que el segundo.
Dictado matemático para la repetición de material previamente aprendido
1) Dibuje una imagen: las líneas a I b se cruzan en el punto A. Marque la esquina más pequeña de las esquinas formadas con el número 1 y los ángulos restantes, secuencialmente con los números 2,3,4; los rayos complementarios de la línea a - a través de a1 y a2, y la línea b - a través de b1 y b2.2) Usando el dibujo completo, ingrese los valores necesarios y las explicaciones en los espacios en blanco del texto:
a) ángulo 1 y ángulo .... relacionado porque...
b) ángulo 1 y ángulo .... verticales porque...
c) si el ángulo 1 = 60°, entonces el ángulo 2 = ..., porque ...
d) si el ángulo 1 = 60°, entonces el ángulo 3 = ..., porque ...
Resolver problemas:
1. ¿La suma de 3 ángulos formados en la intersección de 2 líneas puede ser igual a 100°? 370°?
2. En la figura, encuentra todos los pares de esquinas adyacentes. Y ahora las esquinas verticales. Nombra estos ángulos.
3. Necesitas encontrar un ángulo cuando sea tres veces más grande que el adyacente.
4. Dos rectas se intersecan entre sí. Como resultado de esta intersección, se formaron cuatro esquinas. Determinar el valor de cualquiera de ellos, siempre que:
a) la suma de 2 ángulos de cuatro 84°;
b) la diferencia de 2 ángulos de ellos es 45°;
c) un ángulo es 4 veces menor que el segundo;
d) la suma de tres de estos ángulos es 290°.
Resumen de la lección
1. nombre los ángulos que se forman en la intersección de 2 líneas?
2. Nombra todos los posibles pares de ángulos en la figura y determina su tipo.
Tarea:
1. Halla la razón de las medidas en grados de ángulos adyacentes cuando uno de ellos es 54° mayor que el segundo.
2. Encuentra los ángulos que se forman cuando 2 líneas se cortan, siempre que uno de los ángulos sea igual a la suma de otros 2 ángulos adyacentes.
3. Es necesario encontrar ángulos adyacentes cuando la bisectriz de uno de ellos forma un ángulo con el lado del segundo, que es 60° mayor que el segundo ángulo.
4. La diferencia de 2 ángulos adyacentes es igual a un tercio de la suma de estos dos ángulos. Determinar los valores de 2 ángulos adyacentes.
5. La diferencia y la suma de 2 ángulos adyacentes se relacionan como 1: 5, respectivamente. Encuentra esquinas adyacentes.
6. La diferencia entre dos adyacentes es el 25% de su suma. ¿Cómo se relacionan los valores de 2 ángulos adyacentes? Determinar los valores de 2 ángulos adyacentes.
Preguntas:
- ¿Qué es un ángulo?
- ¿Cuáles son los tipos de esquinas?
- ¿Cuál es la característica de las esquinas adyacentes?
CAPÍTULO I.
CONCEPTOS BÁSICOS.
§once. ÁNGULOS ADYACENTES Y VERTICALES.
1. Esquinas adyacentes.
Si continuamos el lado de alguna esquina más allá de su vértice, obtendremos dos esquinas (Fig. 72): / un sol y / SVD, en el que un lado BC es común y los otros dos AB y BD forman una línea recta.
Dos ángulos que tienen un lado en común y los otros dos forman una línea recta se llaman ángulos adyacentes.
Los ángulos adyacentes también se pueden obtener de esta manera: si dibujamos un rayo desde algún punto en una línea recta (que no se encuentra en una línea recta dada), entonces obtenemos ángulos adyacentes.
Por ejemplo, /
alimentador automático de documentos y /
FDВ - esquinas adyacentes (Fig. 73).
Las esquinas adyacentes pueden tener una amplia variedad de posiciones (Fig. 74).
Los ángulos adyacentes se suman para formar un ángulo llano, entonces la umma de dos ángulos adyacentes es 2d.
Por lo tanto, un ángulo recto se puede definir como un ángulo igual a su ángulo adyacente.
Conociendo el valor de uno de los ángulos adyacentes, podemos encontrar el valor del otro ángulo adyacente.
Por ejemplo, si uno de los ángulos adyacentes es 3/5 d, entonces el segundo ángulo será igual a:
2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.
2. Ángulos verticales.
Si extendemos los lados de un ángulo más allá de su vértice, obtenemos ángulos verticales. En el dibujo 75, los ángulos EOF y AOC son verticales; los ángulos AOE y COF también son verticales.
Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son extensiones de los lados del otro ángulo.
Dejar / 1 = 7 / 8 d(Figura 76). Adyacente a ella / 2 será igual a 2 d- 7 / 8 d, es decir, 1 1/8 d.
De la misma manera, se puede calcular lo que son iguales a /
3 y /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Figura 77).
Vemos eso / 1 = / 3 y / 2 = / 4.
Puedes resolver varios problemas iguales y siempre obtienes el mismo resultado: los ángulos verticales son iguales entre sí.
Sin embargo, para asegurarse de que los ángulos verticales sean siempre iguales entre sí, no es suficiente considerar ejemplos numéricos individuales, ya que las conclusiones extraídas de ejemplos particulares a veces pueden ser erróneas.
Es necesario verificar la validez de la propiedad de los ángulos verticales por razonamiento, por demostración.
La demostración se puede realizar de la siguiente manera (Fig. 78):
/
un +/
C = 2d;
/
b+/
C = 2d;
(dado que la suma de los ángulos adyacentes es 2 d).
/ un +/ C = / b+/ C
(dado que el lado izquierdo de esta igualdad es igual a 2 d, y su lado derecho también es igual a 2 d).
Esta igualdad incluye el mismo ángulo Con.
Si restamos igual de valores iguales, entonces permanecerá igual. El resultado será: / a = / b, es decir, los ángulos verticales son iguales entre sí.
Al considerar la cuestión de los ángulos verticales, primero explicamos qué ángulos se llaman verticales, es decir, dimos definición esquinas verticales.
Entonces hicimos un juicio (afirmación) sobre la igualdad de los ángulos verticales y nos convencimos de la validez de este juicio mediante la prueba. Tales juicios, cuya validez debe probarse, se denominan teoremas. Por lo tanto, en esta sección hemos dado la definición de ángulos verticales y también establecido y demostrado un teorema sobre su propiedad.
En el futuro, cuando estudiemos geometría, tendremos que encontrarnos constantemente con definiciones y demostraciones de teoremas.
3. La suma de ángulos que tienen un vértice común.
En el dibujo 79 /
1, /
2, /
3 y /
4 están ubicados en el mismo lado de una recta y tienen un vértice común en esta recta. En suma, estos ángulos forman un ángulo recto, es decir,
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
En el dibujo 80 / 1, / 2, / 3, / 4 y / 5 tienen una tapa común. En suma, estos ángulos forman un ángulo completo, es decir, / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Ejercicios.
1. Uno de los ángulos adyacentes mide 0,72 d. Calcula el ángulo formado por las bisectrices de estos ángulos adyacentes.
2. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos adyacentes forman un ángulo recto.
3. Demuestra que si dos ángulos son iguales, entonces sus ángulos adyacentes también son iguales.
4. ¿Cuántos pares de esquinas adyacentes hay en el dibujo 81?
5. ¿Puede un par de ángulos adyacentes consistir en dos ángulos agudos? de dos esquinas obtusas? desde ángulos rectos y obtusos? desde un ángulo recto y agudo?
6. Si uno de los ángulos adyacentes es recto, ¿qué se puede decir sobre el valor del ángulo adyacente a él?
7. Si en la intersección de dos líneas rectas hay un ángulo recto, ¿qué se puede decir sobre el tamaño de los tres ángulos restantes?
