Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen un lado en común y los otros lados de estos ángulos son rayos complementarios. En la figura 20, los ángulos AOB y BOC son adyacentes.
La suma de los ángulos adyacentes es 180°.
Teorema 1. La suma de los ángulos adyacentes es 180°.
Prueba. El haz OB (ver Fig. 1) pasa entre los lados del ángulo desarrollado. Es por eso ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.
Del teorema 1 se deduce que si dos ángulos son iguales, entonces los ángulos adyacentes a ellos son iguales.
Los ángulos verticales son iguales.
Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son rayos complementarios de los lados del otro. Los ángulos AOB y COD, BOD y AOC, formados en la intersección de dos rectas, son verticales (Fig. 2).
Teorema 2. Los ángulos verticales son iguales.
Prueba. Considere los ángulos verticales AOB y COD (ver Fig. 2). El ángulo BOD es adyacente a cada uno de los ángulos AOB y COD. Según el teorema 1, ∠ AOB + ∠ DBO = 180°, ∠ DQO + ∠ DBO = 180°.
Por tanto concluimos que ∠ AOB = ∠ COD.
Corolario 1. Un ángulo adyacente a un ángulo recto es un ángulo recto.
Considere dos líneas rectas AC y BD que se cruzan (Fig. 3). Forman cuatro esquinas. Si uno de ellos es recto (ángulo 1 en la Fig. 3), entonces los otros ángulos también son rectos (los ángulos 1 y 2, 1 y 4 son adyacentes, los ángulos 1 y 3 son verticales). En este caso, se dice que estas líneas se cruzan en ángulos rectos y se llaman perpendiculares (o mutuamente perpendiculares). La perpendicularidad de las líneas AC y BD se denota de la siguiente manera: AC ⊥ BD.
La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular a este segmento y que pasa por su punto medio.
AN - perpendicular a la línea
Considere una línea a y un punto A que no se encuentra sobre ella (Fig. 4). Conecta el punto A con un segmento al punto H con una recta a. Un segmento AH se llama perpendicular trazado desde el punto A hasta la recta a si las rectas AN y a son perpendiculares. El punto H se llama base de la perpendicular.
Dibujo cuadrado
El siguiente teorema es verdadero.
Teorema 3. Desde cualquier punto que no se encuentre en una recta, se puede trazar una perpendicular a esta recta y, además, solo una.
Para dibujar una perpendicular desde un punto a una línea recta en el dibujo, se utiliza un cuadrado de dibujo (Fig. 5).
Comentario. El enunciado del teorema suele constar de dos partes. Una parte habla de lo que se da. Esta parte se llama condición del teorema. La otra parte habla de lo que hay que demostrar. Esta parte se llama conclusión del teorema. Por ejemplo, la condición del Teorema 2 son los ángulos verticales; conclusión: estos ángulos son iguales.
Cualquier teorema se puede expresar en detalle con palabras, de modo que su condición comience con la palabra "si" y la conclusión con la palabra "entonces". Por ejemplo, el teorema 2 se puede enunciar en detalle de la siguiente manera: "Si dos ángulos son verticales, entonces son iguales".
Ejemplo 1 Uno de los ángulos adyacentes mide 44°. ¿A qué es igual el otro?
Solución.
Denota la medida en grados de otro ángulo por x, luego de acuerdo con el Teorema 1.
44° + x = 180°.
Resolviendo la ecuación resultante, encontramos que x \u003d 136 °. Por lo tanto, el otro ángulo es de 136°.
Ejemplo 2 Sea el ángulo DQO en la Figura 21 de 45°. ¿Qué son los ángulos AOB y AOC?
Solución.
Los ángulos COD y AOB son verticales, por lo tanto, según el teorema 1.2 son iguales, es decir, ∠ AOB = 45°. El ángulo AOC es adyacente al ángulo COD, por lo tanto, según el teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ DQO = 180° - 45° = 135°.
Ejemplo 3 Encuentra ángulos adyacentes si uno de ellos es 3 veces el otro.
Solución.
Denota la medida en grados del ángulo más pequeño por x. Entonces la medida en grados del ángulo mayor será Zx. Dado que la suma de los ángulos adyacentes es 180° (Teorema 1), entonces x + 3x = 180°, de donde x = 45°.
Entonces los ángulos adyacentes son 45° y 135°.
Ejemplo 4 La suma de dos ángulos verticales es 100°. Encuentra el valor de cada uno de los cuatro ángulos.
Solución.
Dejemos que la Figura 2 corresponda a la condición del problema. Los ángulos verticales COD a AOB son iguales (Teorema 2), lo que significa que sus medidas en grados también son iguales. Por lo tanto, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (su suma es 100° por condición). El ángulo BOD (también el ángulo AOC) es adyacente al ángulo COD y, por lo tanto, según el teorema 1
∠ DBO = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
CAPÍTULO I.
CONCEPTOS BÁSICOS.
§once. ÁNGULOS ADYACENTES Y VERTICALES.
1. Esquinas adyacentes.
Si continuamos el lado de alguna esquina más allá de su vértice, obtendremos dos esquinas (Fig.72): / un sol y / SVD, en el que un lado BC es común y los otros dos AB y BD forman una línea recta.
Dos ángulos que tienen un lado en común y los otros dos forman una línea recta se llaman ángulos adyacentes.
Los ángulos adyacentes también se pueden obtener de esta manera: si dibujamos un rayo desde algún punto en línea recta (que no se encuentra en una línea recta determinada), obtenemos ángulos adyacentes.
Por ejemplo, /
ADF y /
FDВ - esquinas adyacentes (Fig. 73).
Las esquinas adyacentes pueden tener una amplia variedad de posiciones (Fig. 74).
Los ángulos adyacentes suman un ángulo llano, por lo que la umma de dos ángulos adyacentes es 2d.
Por tanto, un ángulo recto se puede definir como un ángulo igual a su ángulo adyacente.
Conociendo el valor de uno de los ángulos adyacentes, podemos encontrar el valor del otro ángulo adyacente.
Por ejemplo, si uno de los ángulos adyacentes es 3/5 d, entonces el segundo ángulo será igual a:
2d- 3 / 5 d=l 2 / 5 d.
2. Ángulos verticales.
Si extendemos los lados de un ángulo más allá de su vértice, obtenemos ángulos verticales. En el dibujo 75, los ángulos EOF y AOC son verticales; Los ángulos AOE y COF también son verticales.
Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son extensiones de los lados del otro ángulo.
Dejar / 1 = 7 / 8 d(Figura 76). Adyacente a él / 2 será igual a 2 d- 7 / 8 d, es decir, 1 1/8 d.
De la misma manera, puedes calcular cuántos son iguales a /
3 y /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Figura 77).
Vemos eso / 1 = / 3 y / 2 = / 4.
Puedes resolver varios problemas más iguales y cada vez obtendrás el mismo resultado: los ángulos verticales son iguales entre sí.
Sin embargo, para asegurarse de que los ángulos verticales sean siempre iguales entre sí, no basta con considerar ejemplos numéricos individuales, ya que las conclusiones extraídas de ejemplos particulares a veces pueden ser erróneas.
Es necesario verificar la validez de la propiedad de los ángulos verticales mediante razonamiento, mediante prueba.
La prueba se puede realizar de la siguiente manera (Fig.78):
/
un +/
C = 2d;
/
b+/
C = 2d;
(dado que la suma de los ángulos adyacentes es 2 d).
/ un +/ C = / b+/ C
(dado que el lado izquierdo de esta igualdad es igual a 2 d, y su lado derecho también es igual a 2 d).
Esta igualdad incluye el mismo ángulo. Con.
Si restamos partes iguales a valores iguales, quedará igual. El resultado será: / a = / b, es decir, los ángulos verticales son iguales entre sí.
Al considerar la cuestión de los ángulos verticales, primero explicamos qué ángulos se llaman verticales, es decir, dimos definición esquinas verticales.
Luego hicimos un juicio (afirmación) sobre la igualdad de los ángulos verticales y nos convencimos de la validez de este juicio mediante prueba. Estas sentencias, cuya validez debe ser probada, se denominan teoremas. Por lo tanto, en esta sección hemos dado la definición de ángulos verticales y también hemos establecido y demostrado un teorema sobre su propiedad.
En el futuro, al estudiar geometría, tendremos que encontrarnos constantemente con definiciones y demostraciones de teoremas.
3. La suma de ángulos que tienen un vértice común.
En el dibujo 79 /
1, /
2, /
3 y /
4 están ubicados en el mismo lado de una línea recta y tienen un vértice común en esta línea recta. En resumen, estos ángulos forman un ángulo llano, es decir
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
En el dibujo 80 / 1, / 2, / 3, / 4 y / 5 tienen una tapa común. En suma, estos ángulos forman un ángulo completo, es decir / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Ejercicios.
1. Uno de los ángulos adyacentes mide 0,72. d. Calcula el ángulo formado por las bisectrices de estos ángulos adyacentes.
2. Demuestre que las bisectrices de dos ángulos adyacentes forman un ángulo recto.
3. Demuestre que si dos ángulos son iguales, entonces sus ángulos adyacentes también son iguales.
4. ¿Cuántos pares de esquinas adyacentes hay en el dibujo 81?
5. ¿Puede un par de ángulos adyacentes constar de dos ángulos agudos? ¿De dos esquinas obtusas? desde ángulos rectos y obtusos? desde un ángulo recto y agudo?
6. Si uno de los ángulos adyacentes es recto, ¿qué se puede decir sobre el valor del ángulo adyacente?
7. Si en la intersección de dos rectas hay un ángulo recto, ¿qué se puede decir sobre el tamaño de los otros tres ángulos?
La geometría es una ciencia muy multifacética. Desarrolla la lógica, la imaginación y la inteligencia. Por supuesto, debido a su complejidad y la gran cantidad de teoremas y axiomas, a los escolares no siempre les gusta. Además, existe la necesidad de probar constantemente sus conclusiones utilizando estándares y reglas generalmente aceptadas.
Los ángulos adyacentes y verticales son una parte integral de la geometría. Seguramente muchos escolares simplemente los adoran porque sus propiedades son claras y fáciles de demostrar.
formación de esquinas
Cualquier ángulo se forma mediante la intersección de dos rectas o trazando dos rayos desde un punto. Se pueden llamar una letra o tres, que designan sucesivamente los puntos de construcción de la esquina.
Los ángulos se miden en grados y pueden (según su valor) denominarse de diferentes formas. Entonces, hay un ángulo recto, agudo, obtuso y desplegado. Cada uno de los nombres corresponde a una determinada medida de grado o su intervalo.
Un ángulo agudo es un ángulo cuya medida no supera los 90 grados.
Un ángulo obtuso es un ángulo mayor a 90 grados.
Un ángulo se dice recto cuando su medida es 90.
En el caso de que esté formada por una línea recta continua y su medida en grados sea 180, se llama desplegada.
Los ángulos que tienen un lado común, cuyo segundo lado continúa entre sí, se llaman adyacentes. Pueden ser afilados o contundentes. La intersección de la línea forma ángulos adyacentes. Sus propiedades son las siguientes:
- La suma de dichos ángulos será igual a 180 grados (hay un teorema que lo demuestra). Por tanto, uno de ellos se puede calcular fácilmente si se conoce el otro.
- Del primer punto se deduce que dos ángulos obtusos o dos agudos no pueden formar ángulos adyacentes.
Gracias a estas propiedades, siempre se puede calcular la medida en grados de un ángulo dado el valor de otro ángulo, o al menos la relación entre ellos.
Ángulos verticales
Los ángulos cuyos lados son continuación unos de otros se llaman verticales. Cualquiera de sus variedades puede actuar como tal pareja. Los ángulos verticales siempre son iguales entre sí.
Se forman cuando las líneas se cruzan. Junto a ellos, las esquinas adyacentes siempre están presentes. Un ángulo puede ser tanto adyacente para uno como vertical para el otro.
Al cruzar una línea arbitraria, también se consideran varios tipos más de ángulos. Esta línea se llama secante y forma los ángulos correspondientes, unilaterales y transversales. Son iguales entre sí. Se pueden ver a la luz de las propiedades que tienen los ángulos verticales y adyacentes.
Por tanto, el tema de los rincones parece bastante sencillo y comprensible. Todas sus propiedades son fáciles de recordar y probar. Resolver problemas no es difícil siempre que los ángulos correspondan a un valor numérico. Más adelante, cuando comience el estudio del pecado y el cos, tendrás que memorizar muchas fórmulas complejas, sus conclusiones y consecuencias. Hasta entonces, podrás simplemente disfrutar de sencillos rompecabezas en los que tendrás que encontrar rincones adyacentes.
En el proceso de estudio del curso de geometría, los conceptos de "ángulo", "ángulos verticales", "ángulos adyacentes" se encuentran con bastante frecuencia. Comprender cada uno de los términos ayudará a comprender la tarea y resolverla correctamente. ¿Qué son los ángulos adyacentes y cómo determinarlos?
Esquinas adyacentes: definición del concepto.
El término "ángulos adyacentes" caracteriza dos ángulos formados por un rayo común y dos medias líneas adicionales que se encuentran en la misma línea. Los tres rayos provienen del mismo punto. La media línea común es al mismo tiempo el lado de uno y del segundo ángulo.
Esquinas adyacentes: propiedades básicas
1. Con base en la formulación de ángulos adyacentes, es fácil ver que la suma de dichos ángulos siempre forma un ángulo recto, cuya medida en grados es 180 °:
- Si μ y η son ángulos adyacentes, entonces μ + η = 180°.
- Conociendo el valor de uno de los ángulos adyacentes (por ejemplo, μ), se puede calcular fácilmente la medida en grados del segundo ángulo (η) usando la expresión η = 180° - μ.
2. Esta propiedad de los ángulos nos permite sacar la siguiente conclusión: un ángulo adyacente a un ángulo recto también será recto.
3. Considerando las funciones trigonométricas (sin, cos, tg, ctg), con base en las fórmulas de reducción para ángulos adyacentes μ y η, se cumple lo siguiente:
- senη = sen(180° - μ) = senμ,
- cosη = cos(180° - μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° - μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° - μ) = -ctgμ.
Esquinas adyacentes - ejemplos
Ejemplo 1
Dado un triángulo con vértices M, P, Q – ΔMPQ. Encuentra los ángulos adyacentes a los ángulos ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Extendamos cada lado del triángulo como una línea recta.
- Sabiendo que los ángulos adyacentes se complementan en un ángulo llano, encontramos que:
adyacente al ángulo ∠QMP es ∠LMP,
adyacente al ángulo ∠MPQ es ∠SPQ,
el ángulo adyacente para ∠PQM es ∠HQP.
Ejemplo 2
El valor de un ángulo adyacente es 35°. ¿Cuál es la medida en grados del segundo ángulo adyacente?
- Dos ángulos adyacentes suman 180°.
- Si ∠μ = 35°, entonces adyacente ∠η = 180° – 35° = 145°.
Ejemplo 3
Determine los valores de los ángulos adyacentes, si se sabe que la medida en grados de uno de los inferiores es tres veces mayor que la medida en grados del otro ángulo.
- Denotemos el valor de un ángulo (más pequeño) mediante – ∠μ = λ.
- Entonces, según la condición del problema, el valor del segundo ángulo será igual a ∠η = 3λ.
- Basado en la propiedad básica de los ángulos adyacentes, μ + η = 180° sigue
λ + 3λ = μ + η = 180°,
λ = 180°/4 = 45°.
Entonces, el primer ángulo es ∠μ = λ = 45°, y el segundo ángulo es ∠η = 3λ = 135°.
La capacidad de recurrir a la terminología, así como el conocimiento de las propiedades básicas de los ángulos adyacentes, le ayudarán a afrontar la solución de muchos problemas geométricos.
1. Esquinas adyacentes.
Si continuamos el lado de algún ángulo más allá de su vértice, obtenemos dos ángulos (Fig. 72): ∠ABC y ∠CBD, en los que un lado de BC es común y los otros dos, AB y BD, forman una línea recta. .
Dos ángulos que tienen un lado en común y los otros dos forman una línea recta se llaman ángulos adyacentes.
Los ángulos adyacentes también se pueden obtener de esta manera: si dibujamos un rayo desde algún punto en línea recta (que no se encuentra en una línea recta determinada), obtenemos ángulos adyacentes.
Por ejemplo, ∠ADF y ∠FDВ son ángulos adyacentes (Fig. 73).
Las esquinas adyacentes pueden tener una amplia variedad de posiciones (Fig. 74).
Los ángulos adyacentes suman un ángulo llano, por lo que la suma de dos ángulos adyacentes es 180°
Por tanto, un ángulo recto se puede definir como un ángulo igual a su ángulo adyacente.
Conociendo el valor de uno de los ángulos adyacentes, podemos encontrar el valor del otro ángulo adyacente.
Por ejemplo, si uno de los ángulos adyacentes mide 54°, entonces el segundo ángulo será:
180° - 54° = 126°.
2. Ángulos verticales.
Si extendemos los lados de un ángulo más allá de su vértice, obtenemos ángulos verticales. En la Figura 75, los ángulos EOF y AOC son verticales; Los ángulos AOE y COF también son verticales.
Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son extensiones de los lados del otro ángulo.
Sea ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 76). ∠2 adyacente a él será igual a 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, es decir, 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.
De la misma forma, puedes calcular qué son ∠3 y ∠4.
∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 77).
Vemos que ∠1 = ∠3 y ∠2 = ∠4.
Puedes resolver varios problemas más iguales y cada vez obtendrás el mismo resultado: los ángulos verticales son iguales entre sí.
Sin embargo, para asegurarse de que los ángulos verticales sean siempre iguales entre sí, no basta con considerar ejemplos numéricos individuales, ya que las conclusiones extraídas de ejemplos particulares a veces pueden ser erróneas.
Es necesario verificar la validez de la propiedad de los ángulos verticales mediante prueba.
La prueba se puede realizar de la siguiente manera (Fig.78):
∠un +∠C= 180°;
∠b+∠C= 180°;
(ya que la suma de los ángulos adyacentes es 180°).
∠un +∠C = ∠b+∠C
(ya que el lado izquierdo de esta igualdad es 180°, y su lado derecho también es 180°).
Esta igualdad incluye el mismo ángulo. Con.
Si restamos partes iguales a valores iguales, quedará igual. El resultado será: ∠a = ∠b, es decir, los ángulos verticales son iguales entre sí.
3. La suma de ángulos que tienen un vértice común.
En el dibujo 79, ∠1, ∠2, ∠3 y ∠4 están ubicados en el mismo lado de la línea y tienen un vértice común en esta línea. En resumen, estos ángulos forman un ángulo llano, es decir
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
En el dibujo 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 y ∠5 tienen un vértice común. Estos ángulos suman un ángulo completo, es decir, ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.
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