Правило сложения и вычитания алгебраических дробей. Сложение алгебраических дробей

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Развивающие и обучающие пособия в интернет-магазине "Интеграл"
Пособие к учебнику Муравина Г.К.    Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н.

Что такое алгебраическая дробь?

Алгебраическая дробь - это выражение вида: $\frac{P}{Q}$ .

Где:
P - числитель алгебраической дроби.
Q - знаменатель алгебраической дроби.

Приведем примеры алгебраических дробей:

$\frac{a}{b}$, $\frac{12}{q-p}$, $\frac{7y-4}{y}$.

Основные свойства алгебраических дробей

Свойство 1.
И числитель и знаменатель дроби можно умножить на одно и то же число (или на одночлен, или на многочлен). В итоге, мы получим ту же самую дробь, но представленную в другом виде.

По другому это преобразование называется тождественным . Его используют, чтобы привести алгебраическое (и не только) выражение к более простому виду, и работа с этим выражением будет удобнее.

$\frac{a}{4b^2}=\frac{a*3b}{4b^2*3b}=\frac{3ab}{12b^3}$.

И числитель и знаменатель мы умножили на одночлен $3b$. В итоге у нас получилась дробь, тождественная исходной.

$\frac{a^2}{6b^3}=\frac{a^2*2}{6b^3*2}=\frac{2a^2}{12b^3}$.

При необходимости алгебраическую дробь можно умножить на простое число. В этом примере и числитель и знаменатель мы умножили на число 2. И опять мы получили дробь, тождественную исходной.

Свойство 2.
И числитель, и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число (или одночлен, или многочлен). В итоге мы получим ту же самую дробь, но представленную в другом виде.

Как и в случае с умножением, к такому тождественному преобразованию прибегают, чтобы представить дробь в более простом виде и облегчить работу с ней.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Если у алгебраических дробей одинаковые знаменатели, их складывают, как обыкновенные дроби (складывают только числители, а знаменатель остается общим).

Общее правило:

$\frac{a}{d}+\frac{b}{d}-\frac{c}{d}=\frac{a+b-c}{d}$.

Пример.

Упростите выражение:

$\frac{2a^2+5}{a^2-ab}+\frac{2ab+b}{a^2-ab}-\frac{b+5}{a^2-ab}$.

Решение.

Используем правило сложения дробей о котором рассказано выше, то есть сложим числители, а знаменатель запишем общий.

$\frac{2a^2+5}{a^2-ab}+\frac{2ab+b}{a^2-ab}-\frac{b+5}{a^2-ab}=\frac{(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)}{a^2-ab}$.

Поработаем с числителем.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.

В результате получаем дробь:

$\frac{2a^2+2ab}{a^2-ab}$.

Ребята, перед тем как закончить решение проверьте: нельзя ли ещё упростить полученный результат. Ведь в этом заключается весь смысл преобразования - упростить выражение.
Если посмотреть внимательно, то можно понять, что полученную дробь можно еще упростить.

$\frac{2a^2+2ab}{a^2-ab}=\frac{2a(a+b)}{a(a-b)}=\frac{2(a+b)}{a-b}=\frac{2a+2b}{a-b}$.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

При сложении алгебраических дробей с разными знаменателями надо действовать так же, как при работе с обыкновенными дробями. Сперва нужно привести дробь к общему знаменателю, а за тем сложить или вычесть числители дробей, в соответствии с общим правилом, которое мы рассмотрели.

Пример.
Вычислите:

$\frac{a}{4b^2}+\frac{a^2}{6b^3}$.

Решение.
Приведем эти дроби к общему знаменателю. В данного примера общим знаменателем является одночлен $12b^3$.
Тогда.

$\frac{a}{4b^2}+\frac{a^2}{6b^3}=\frac{3ab}{12b^3}+\frac{2a^2}{12b^3}=
\frac{3ab+2a^2}{12b^3}$.

Самое сложное - это нахождение общего знаменателя для дробей. В некоторых случаях - это не простая задача.
При нахождении общего знаменателя можно придерживаться правил:
1. Если оба знаменателя являются одночленами без скобок, то лучше в начале подобрать общий знаменатель для числа, а затем - для переменной. В нашем примере число - 12, а переменная - $b^3$.
2. Если знаменатель представляет из себя более сложное выражение, например, $х + 1$, $x +y$ и тому подобное, то лучше подобрать знаменатель в виде произведения знаменателей, например, $(х + у)(х - у)$. Такой знаменатель делится и на $х + у$, и на $х - у$.

Запомните!
Для двух алгебраических дробей общих знаменателей можно подобрать сколько угодно. Но для упрощения расчетов, нужно выбрать самый простой из возможных.

сформировать способность к выполнению действий (сложения и вычитания) с алгебраическими дробями с разными знаменателями, опираясь на правило сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями;

повторить и закрепить сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Оборудование: Демонстрационный материал.

Задания для актуализации знаний:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) Алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить или вычесть обыкновенные дроби с разными знаменателями, надо:

1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю.
2. Сложить или вычесть полученные дроби.

2) Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

1. Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в общем (новом) знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.

3) Эталоны к самостоятельной работе с самопроверкой:

3) Карточка для этапа рефлексии.

1. Данная тема мне понятна.
2. Я знаю, как найти дополнительные множители к каждой из дробей.
3. Я умею находить новые числители для каждой из дробей.
4. В самостоятельной работе у меня всё получалось.
5. Я смог понять причину ошибки, которую допустил в самостоятельной работе.
6. Я доволен своей работой на уроке.

ХОД УРОКА

1. Самоопределение к деятельности.

Цели этапа:

1. Включение учащихся в учебную деятельность: продолжение путешествия по стране “Алгебраические выражения”.
2. Определение содержательных рамок урока: продолжение работать с алгебраическими дробями.

Организация учебного процесса на этапе 1:

Доброе утро, ребята! Мы продолжаем наше увлекательное путешествие по стране “Алгебраические выражения”.

С какими “обитателями” страны мы встречались на предыдущих уроках? (С алгебраическими выражениями.)

Что мы можем выполнять со знакомыми нам алгебраическими выражениями? (Сложение и вычитание.)

Какая характерная особенность алгебраических дробей, которые мы уже умеем складывать и вычитать? (Мы складываем и вычитаем дроби, имеющие одинаковые знаменатели.)

Верно. Но мы все вместе хорошо понимаем, что навыков выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, недостаточно. Как вы считаете, что ещё необходимо нам научиться делать? (Выполнять действия с дробями, имеющими разные знаменатели.)

Молодцы! Тогда продолжим наше путешествие? (Да!)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

Цели этапа:

1. Актуализировать знания о выполнении действий с дробями с одинаковыми знаменателями, приёмы устных вычислений.
2. Зафиксировать затруднение.

Организация учебного процесса на этапе 2:

На доске записано несколько примеров на выполнение действий с дробями:

5) -=-==.

Учащимся предлагается в громкой речи озвучить свои варианты решения.

В первом примере ребята без труда выдают правильный ответ, вспоминая алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Когда уже прозвучал комментарий к примеру № 2, учитель акцентирует внимание на примере № 2:

Ребята, посмотрите, что у нас интересного в примере № 2? (Мы не только выполняли действия с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, но и выполняли сокращение получившейся алгебраической дроби: вынесли знак “минус” за скобки, в числителе и знаменателе получили одинаковые множители, на которые впоследствии мы и сократили результат.)

Очень хорошо, что вы не забыли, что основное свойство дроби применимо не только к обыкновенным, но и алгебраическим дробям!

Кто же прокомментирует для всех решение следующих трёх примеров?

Скорее всего, найдётся ученик, который без труда решит пример № 3.

Чем же ты воспользовался при решении примера № 3? (Мне помог алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.)

Как именно ты действовал? (Я привёл алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю 15, а затем сложил их.)

Замечательно! А как у нас обстоят дела с двумя последними примерами?

Когда дело доходит до следующих двух примеров, ребята (каждый для себя) фиксируют возникшее затруднение.

Слова учеников приблизительно такие:

Я затрудняюсь выполнить примеры 4–5, так как передо мной алгебраические дроби, не с “одинаковыми” знаменателями, и в состав этих разных знаменателей входят переменные (№ 4), а в № 5 вообще в знаменателях стоят буквенные выражения!..”

Ответ на задания 4–5 не получены.

3. Выявление места и причин затруднений и постановка цели деятельности.

Цели этапа:

1. Зафиксировать отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности.
2. Сформулировать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

Ребята? Где же возникло затруднение? (В примерах 4–5.)

Почему же при их решении вы не готовы обсудить решение и дать ответ? (Потому что алгебраические дроби, предложенные в этих заданиях, имеют разные знаменатели, а нам знаком алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Что же нам ещё надо уметь делать? (Надо научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)

Я согласна с вами. Как можно сформулировать тему нашего сегодняшнего урока? (Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.)

Тема урока записывается в тетрадях.

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа:

1. Построение детьми нового способа действий.
2. Фиксация алгоритма приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Какую же цель мы сегодня поставим перед собой на уроке? (Научиться складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями.)

Как же быть? (Для этого мы должны построить алгоритм дальнейшей работы с алгебраическими дробями.)

Что нам необходимо придумать для достижения цели урока? (Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю, чтобы потом работать по привычному нам правилу сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.)

Работа может быть организованы в группах, каждой группе даётся лист бумаги и маркер. Учащиеся могут предложить свои варианты алгоритма в виде перечисления шагов. На работу отводится 5 минут. Группы вывешивают свои варианты алгоритма или правила, и дальше проводится анализ каждого варианта.

Скорее всего, кто-то из учащихся обязательно проведёт аналогию своего алгоритма с алгоритмом сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множителей, а затем складывают и вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Впоследствии этого выводится единый вариант. Он может быть таким:

1. Раскладываем все знаменатели на множители.
2. Из первого знаменателя выписываем произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.
3. Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
4. Найдём для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.
5. Запишем каждую дробь с новым числителем и общим (новым) знаменателем.

Ну что же, применим наше правило для выполнения нерешённых предложенных заданий. Каждое задание (4, 5) проговаривают поочерёдно некоторые учащиеся класса, учитель фиксирует решение на доске.

Мы с вами просто гении! Нами построен алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Совместными усилиями нами ликвидировано затруднение, так как перед нами теперь настоящий “путеводитель” (алгоритм) по неизведанной для нас стране “Алгебраические дроби”!

5. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель этапа:

1. Тренировать способность к приведению алгебраических дробей к общему знаменателю.
2. Организовать проговаривание изученного содержания правила-алгоритма во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Ребята, но все мы хорошо знаем, что просто смотреть и знать “карту местности” - это ещё не путешествие. Что мы должны сделать, чтобы глубже и больше проникнуть в мир алгебраических дробей? (Мы должны решать примеры, и вообще тренироваться в решении примеров, для того, чтобы закрепить наш новый алгоритм.)

Совершенно верно. Поэтому я предлагаю начать наше исследование.

Ученик устно проговаривает план своего решения, учитель корректирует, если допущены некоторые неточности.

Приблизительно это звучит так:

Мы должны подобрать число, которое разделится одновременно на 2 и на 5. Это число 10. Затем подбираем переменные в нужной нам степени. Итак, нашим новым знаменателем будет 10xy. Подбираем дополнительные множители. К первой дроби: 5y, ко второй: 2x. Умножаем подобранные дополнительные множители на каждый старый числитель. Получаем алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, выполняем вычитание по уже привычному для нас правилу.

Я довольна. А теперь наша большая команда разделиться на пары, и мы продолжим наш интересный путь.

№133 (а, г). Учащиеся работают в парах, проговаривая решение друг другу:

а) +=+==;

г) +=+==.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой.

Цели этапа:

1. Провести самостоятельную работу.
2. Провести самопроверку по готовому эталону для самопроверки.
3. Учащиеся зафиксируют затруднения, определяют причины ошибок и исправляют ошибки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Я внимательно наблюдала за вашей работой и пришла к выводу, что каждый из вас уже готов самостоятельно обдумывать способы и находить решения примеров по нашей сегодняшней теме. Поэтому я предлагаю вам небольшую самостоятельную работу, после завершения которой вам будет предложен эталон с правильным решением и ответом.

№134 (а, б): выполняют работу по вариантам.

После выполнения работы проводится проверка по эталону. Проверяя решения, учащиеся отмечают “+” правильное решение, “?” не верное решение. Желательно, чтобы ученики, допустившие ошибки, объяснили причину, по которой они неправильно выполнили задание.

Проводится анализ и исправление ошибок.

Итак, какие сложности встретились на вашем пути? (Я допустил ошибку при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак “минус”.)

Какая причина этому? (Просто из-за невнимательности, но в будущем буду осторожнее!)

Что ещё показалось нелёгким? (Мне было непросто подобрать дополнительные множители к дробям?)

Тебе обязательно надо изучить подробнее 3 пункт алгоритма, чтобы не возникала такая проблема в дальнейшем!

Были ещё затруднения? (А я просто не привёл подобные слагаемые).

И это поправимо. Когда вы проделаете всё, что возможно по новому алгоритму, необходимо вспомнить и давно изученный материал. В частности, приведение подобных слагаемых, или сокращение дробей и т.п.

7. Включение новых знаний в систему знаний.

Цель этапа: повторить и закрепить изученный на уроке алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.

8. Рефлексия урока.

Цель этапа: зафиксировать новое содержание, оценить собственную деятельность.

Организация учебного процесса на этапе 8:

Какую цель мы поставили в начале урока? (Научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)

Что мы придумали для достижения цели? (Алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.)

Что мы ещё использовали при этом? (Мы раскладывали на множители знаменатели, подбирали НОК для коэффициентов, и дополнительные множители для числителей.)

А теперь возьмите какую-нибудь цветную ручку или фломастер и отметьте знаком “+” те высказывания, с истинностью которых вы согласны:

У каждого ученика карточка с фразами. Дети отмечают и показывают учителю.

Молодцы!

Домашнее задание: параграф 4 (учебник); № 126, 127 (задачник).

Видеоурок «Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями» является наглядным пособием, с помощью которого дается теоретический материал, подробно объясняются алгоритмы и особенности выполнения операций вычитания, сложения дробей, имеющих различные знаменатели. С помощью пособия учителю легче сформировать умение учеников выполнять операции с алгебраическими дробями. В ходе видеоурока рассматривается ряд примеров, решение которых описывается подробно, обращая внимание на важные детали.

Применение видеоурока на уроке математики дает возможность учителю быстрее достичь учебных целей, повысить эффективность обучения. Наглядность демонстрации помогает ученикам запомнить материал, более глубоко его освоить, поэтому видео может использоваться, сопровождая объяснение учителя. Если же данное видео используется как часть урока, то освобождается время учителя для усиления индивидуальной работы и использования других инструментов обучения для повышения эффективности обучения.

Демонстрация начинается с представления темы видеоурока. Отмечается, что выполнение операций вычитания, сложения алгебраических дробей аналогично выполнению операций с обыкновенными дробями. Напоминается механизм вычитания, сложения для обыкновенных дробей - приводятся дроби к общему знаменателю, после выполняются непосредственно сами операции.

Озвучивается и описывается на экране алгоритм вычитания, сложения алгебраических дробей. Он состоит из двух шагов - приведение дробей к одинаковым знаменателям и затем выполнение сложения (или вычитания) дробей с равными знаменателями. Применение алгоритма рассматривается на примере нахождения значений выражений a/4b 2 -a 2 /6b 3 , а также x/(х+у)-x/(х-у). Отмечается, что для решения первого примера необходимо привести обе дроби к одному знаменателю. Этим знаменателем будет 12b 3 . Приведение данных дробей к знаменателю 12b 3 подробно рассматривалось в прошлом видеоуроке. В результате преобразования получается две дроби с равными знаменателями 3ab/12b 3 и 2a 2 /12b 3 . Эти дроби складываются согласно правилу сложения дробей с равными знаменателями. После сложения числителей дробей в результате получается дробь (3ab+2a 2)/12b 3 . Далее описывается решение примера х/(x+у)-x/(х-у). После приведения дробей к одному знаменателю получаются дроби (х 2 -ху)/(х 2 -у 2) и (х 2 +ху)/(х 2 -у 2). Согласно правилу вычитания дробей с равными знаменателями, производим операцию с числителями, после чего получается дробь -2ху/(х 2 -у 2).

Отмечается, что самым трудным шагом в решении задач на сложение, вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, является приведение их к общему знаменателю. Делаются подсказки, как легче выработать навыки в решении этих задач. Разбирается общий знаменатель дроби. Он состоит из числового коэффициента с переменной, возведенной в степень. Видно, что выражение может делиться на знаменатели первой и второй дробей. При этом числовой коэффициент 12 является наименьшим общим кратным числовых коэффициентов дробей 4 и 6. А переменную b содержат оба знаменателя 4b 2 и 6b 3 . При этом в общем знаменателе содержится переменная в наибольшей степени среди знаменателей исходных дробей. Также рассматривается нахождение общего знаменателя для х/(x+у) и x/(х-у). Отмечается, что общий знаменатель (x+у)(x-у) делится на каждый знаменатель. Итак, решение задачи сводится к нахождению наименьшего общего кратного имеющихся числовых коэффициентов, а также нахождению высшего показателя степени для буквенной переменной, встречающейся несколько раз. Затем после сбора данных частей в общее произведение получается общий знаменатель.

Озвучивается и формулируется на экране алгоритм нахождения для нескольких дробей общего знаменателя. Этот алгоритм состоит из четырех этапов, в первом из которых знаменатели раскладываются на множители. На втором этапе алгоритма отыскивается наименьшее общее кратное имеющихся данных коэффициентов, входящих в состав знаменателей дробей. На третьем этапе составляется произведение, в состав которого входят буквенные множители разложений знаменателей, при этом буквенный показатель, присутствующий в нескольких знаменателях, выбирается в наибольшей степени. На четвертом этапе числовые и буквенные множители, найденные на предыдущих этапах, собираются в одно произведение. Это и будет общий знаменатель. К рассмотренному алгоритму делается замечание. В примере нахождения общего знаменателя дробей a/4b 2 и a 2 /6b 3 отмечается, что кроме 12b 3 есть и другие знаменатели 24b 3 и 48a 2 b 3 . И для каждого множества дробей можно найти много общих знаменателей. Однако знаменатель 12b 3 является наиболее простым и удобным, поэтому его называют также наименьшим общим знаменателем исходных дробей. Дополнительные множители представляют собой результат частного общего знаменателя и исходного знаменателя дроби. Подробно демонстрируется с помощью анимации, как числитель, знаменатель дробей умножается на дополнительный множитель.

Дальше предлагается рассмотреть алгоритм приведения к общему знаменателю алгебраических дробей в более простой форме, чтобы он был более понятным для учеников. Он также состоит из четырех этапов, в первом из которых разложение знаменателей на множители. Затем предлагается из первого знаменателя выписать все множители, из остальных знаменателей произведение дополнить недостающими множителями. Таким образом находится общий знаменатель. Находятся дополнительные множители к каждой дроби из тех множителей знаменателя, что не попали в общий знаменатель. Четвертым шагом является определение для каждой дроби нового числителя, являющегося произведением старого числителя и дополнительного множителя. Потом каждая дробь записывается с новым числителем и знаменателем.

В следующем примере описывается упрощение выражения 3а/(4а 2 -1)-(а+1)/(2а 2 +а). На первом этапе решения знаменатели каждой дроби раскладывается на множители. Для произведений общим множителем является (2а+1). Дополнив произведение оставшимися множителями (2а-1) и а, получается общий знаменатель вида а(2а-1)(2а+1). Строится вспомогательная таблица, в которой указываются общий знаменатель, знаменатели, дополнительные множители. На втором этапе решения каждый числитель умножается на дополнительный множитель, выполняется вычитание. В результате получается дробь (а 2 -а+1)/а(2а-1)(2а+1).

В примере 3 рассматривается упрощение выражения b/(2a 4 +4a 3 b+2a 2 b 2)-1/(3ab 2 -3a 3)+b/(6a 4 -6a 3 b). Решение также разбирается по этапам, обращается внимание на существенные особенности выполнения операций, подробно описывается приведение дробей к общему знаменателю, выполнение операций с числителем. В результате вычислений и после преобразования получается дробь (2а 3 +6а 2 b-ab 2 +b 3)/6a 3 (a-b)(a+b) 2 .

Видеоурок «Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями» может послужить средством повышения эффективности урока математики по данной теме. Пособие пригодится учителю, осуществляющему дистанционное обучение, для наглядного представления учебного материала. Ученикам видеоурок может быть рекомендованным для самостоятельного обучения, так как в нем подробно и понятно объясняются особенности выполнения изучаемых операций.

Тема урока: Сложение и вычитание алгебраических дробей.

Цели урока:

Обучающие:

1. повторить правила сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями
2. ввести правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями;
3. формировать умение выполнять действия сложения и вычитания с алгебраическими дробями.

Развивающие:

1. развить мышление, внимание, память, умение анализировать, сопоставлять, сравнивать;
2. расширение кругозора учащихся;

1. пополнение словарного запаса;

Воспитательные:

1. воспитывать познавательный интерес к предмету.
2. Воспитывать культуру умственного труда

Оборудование:

1. карточки – тестовые задания;
2. компьютер;
3. проектор;
4. экран;
5. презентация урока

Девиз:

Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!

Слайд 2.

План урока.

1. Сообщение цели и темы урока (2 мин);
2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (4 мин);
3. Устная работа (5 мин);
4. Изучение нового материала (8 мин);
5. Физкультминутка (2 мин);
6. Закрепление нового материала (10 мин);
7. Тест с выбором ответа (10 мин);
8. Итог урока, выводы (2 мин);
9. Домашнее задание. (2 мин).

Слайд 3.

Ход урока.

I. Организационный момент:

1) сообщение темы урока;

2) сообщение целей и задач урока.

II. Актуализация знаний:

Какая дробь называется алгебраической? Привести примеры.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Как привести алгебраические дроби к общему знаменателю?

Слайд 4.

III. Устная работа:

1. Прочитайте дроби:
2. Найти выражение, которое является лишним а) (а+в) 2 ; б) ; в) ; г) .
3. Восстановить частично стёртые записи: на приведение к общему знаменателю

Слайд 5.

1. Найди ошибку

Слайд 6.

1. К каждой дроби найти равную ей дробь, используя соответствие число – буква:

1) ; 2) 3) .

А) б) ; в) .

Слайд 7,8

IV. Изучение нового материала.
1) Повторить правила сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями. Затем устно решить следующие примеры:

2) Вспомнить правила сложения и вычитания многочленов и письменно на доске выполнить следующие упражнения:

3) Учащиеся должны предложить правила выполнения следующих примеров, записанных на доске:

Решение примеров обсуждается. Если учащиеся самостоятельно справиться не могут, то учитель объясняет.

Слайд 9.

Правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями записываются в тетрадь.
, .

Слайд 10.

V. Физкультминутка для глаз

Упражнение 1. Сделайте 15 колебательных движений глазами по горизонтали справа – налево, затем слева – направо.

Упражнение 2. Сделайте 15 колебательных движений глазами по вертикали вверх - вниз и вниз - вверх.

Упражнение 3. Тоже 15, но круговых вращательных движений глазами слева – направо.

Упражнение 4. То же самое, но справа – налево.

Упражнение 5. Сделайте по 15 круговых вращательных движений глазами вначале в правую, затем в левую стороны, как бы вычерчивая глазами уложенную набок восьмёрку.

VI. Закрепление нового материала.
1) Фронтальная работа.

1) Решить задания

№ 462 (1,3)

2) Сложить дроби:

3) Вычесть дроби:

4) Выполнить действия.

Слайд 11.

2) Индивидуальная работа.
Четыре ученика выполняют на доске самостоятельную работу, предложенную на карточках.

Карточка 1.

Карточка 2.

Карточка 3.

Карточка 4.

Остальные в тетрадях: Выполнить сложение и вычитание дробей:
а) б)
в)

VII. Выполнение работы в группах и анализ результатов.

Каждой группе выдаются тестовые задания, выполнив которое получают слово – фамилию известного математика.

	Задание	Вариант ответа	Буква
		х + 10

	Задание	Вариант ответа	Буква

	Задание	Вариант ответа	Буква

	Задание	Вариант ответа	Буква

Таблица ответов:

№ задания
Буква

Проверьте качество выполнения задания.

Получилось ли у вас из полученных букв имя известного математика?

Если вы правильно ответили на все вопросы, то получили оценку “ОТЛИЧНО”!!!

Если Вы допустили ошибку в одном шаге – неплохо, но ученый, наверно, обиделся бы. Вы получили оценку “ХОРОШО”!

Если Вы ошиблись в двух шагах, то вы плохо слушали учителя на уроке и Вам придется прочитать тему в учебнике алгебры. Вы получили оценку “УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО”.

Если Вы ошиблись более, чем в двух шагах, то вы совсем не слушали учителя на уроке и Вам придется очень внимательно прочитать учебник алгебры. Вы получили оценку “НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО”.

Слайд 13-17.

При наличии времени решаются задания:
1. Докажите, что выражение
при всех значениях а2 принимает положительные значения.
2. Представьте в виде суммы или разности целого выражения и дроби дробь:
а) ; б) в)

3. Зная, что, найдите значение дроби:
а) ; б) в)

VIII. Подведение итогов.

I Х. Домашнее задание: Прочитать материал учебника п.26, выучить правила данного параграфа. Решить задачи № 462(2,4); составить 5 примеров на сложение и вычитание алгебраических дробей; найти информацию о математиках, имена которых мы сегодня услышали.

Как выполнять сложение алгебраических (рациональных) дробей?

Чтобы сложить алгебраические дроби, нужно:

1) Найти наименьший этих дробей.

2) Найти дополнительный множитель к каждой дроби (для этого надо новый знаменатель разделить на старый).

3) Дополнительный множитель умножить на числитель и знаменатель.

4) Выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями

(чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же).

Примеры сложения алгебраических дробей.

Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени. В данном случае он равен ab.

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, новый знаменатель делим на старый. ab:a=b, ab:(ab)=1.

В числителе есть общий множитель a. Выносим его за скобку и сокращаем дробь на a:

Знаменатели данных дробей — многочлены, поэтому их нужно их попытаться . В знаменателе первой дроби есть общий множитель x, во второй — 5. Выносим их за скобки:

Общий знаменатель состоит из всех входящих в знаменателе множителей и равен 5x(x-5).

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, новый знаменатель делим на старый.

(Если не нравится деление, можно поступить иначе. Рассуждаем так: на что нужно умножить старый знаменатель, чтобы получить новый? Чтобы из x(x-5) получить 5x(x-5), надо первое выражение умножить на 5. Чтобы из 5(x-5) получить 5x(x-5), надо 1-е выражение умножить на x. Таким образом, дополнительный множитель к первой дроби равен 5, ко второй — x).

В числителе — полный квадрат разности. Сворачиваем его по формуле и сокращаем дробь на (x-5):

Знаменатель первой дроби — многочлен. На множители он не раскладывается, поэтому общий знаменатель данных дробей равен произведению знаменателей m(m+3):

Многочлены, стоящие в знаменателях дробей, . В знаменателе первой дроби выносим за скобки общий множитель x, в знаменателе второй дроби — 2:

В знаменателе первой дроби в скобках — разность квадратов.