Mobiuso juostelė, dar vadinama kilpa, paviršiumi arba lakštu, yra tokios matematikos disciplinos kaip topologija tyrimo objektas, tiriantis bendras figūrų savybes, kurios išsaugomos tokiomis nuolatinėmis transformacijomis kaip sukimas, tempimas, suspaudimas, lenkimas, ir kiti, nesusiję su sąžiningumo pažeidimu... Nuostabi ir išskirtinė tokios juostos savybė yra ta, kad ji turi tik vieną kraštą ir kraštą ir neturi nieko bendra su jos vieta erdvėje.
Mobiuso juosta yra topologinė, tai yra ištisinis objektas, turintis paprasčiausią vienpusį paviršių, turintį ribą įprastoje euklido erdvėje (3 dimensijoje), kur galima iš vieno tokio paviršiaus taško, nekertant krašto, iki patekti į bet kurį kitą.
Kas atidarė ir kada?
Toks sudėtingas objektas kaip Mobius juosta buvo ir buvo aptiktas gana neįprastu būdu. Visų pirma, pastebime, kad du matematikai, visiškai nesusiję vienas su kitu tyrimais, jį atrado vienu metu – 1858 m. Kitas įdomus faktas yra tai, kad abu šie mokslininkai skirtingais laikais buvo to paties didžiojo matematiko – Johano Karlo Friedricho Gauso mokiniai. Taigi iki 1858 metų buvo manoma, kad bet koks paviršius turi turėti dvi puses. Tačiau Johanas Benedictas Listingas ir Augustas Ferdinandas Moebiusas atrado geometrinį objektą, kuris turėjo tik vieną pusę ir apibūdina jo savybes. Juosta buvo pavadinta Moebiuso vardu, tačiau topologai Listingą ir jo darbą „Preliminarūs topologijos tyrimai“ laiko „gumos geometrijos“ pradininku.
Savybės
Mobius juostelė pasižymi šiomis savybėmis, kurios nesikeičia ją suspaudus, iškirpus ar suglamžant:
1. Vienos pusės buvimas. A. Mobius savo darbe „Apie daugiakampio tūrį“ aprašė geometrinį paviršių, pavadintą jo vardu, turintį tik vieną pusę. Patikrinti tai gana paprasta: paimame juostelę arba Moebius juostelę ir bandome vidinę pusę nudažyti viena spalva, o išorinę – kita. Nesvarbu, kur ir kokia kryptimi buvo pradėtas tapyti, visa forma bus nudažyta ta pačia spalva.
2. Tęstinumas išreiškiamas tuo, kad bet kuris šios geometrinės figūros taškas gali būti sujungtas su bet kuriuo kitu jos tašku, neperžengiant Mobiuso paviršiaus ribų.
3. Sujungiamumas, arba dvimatiškumas, reiškia, kad perpjaunant juostą išilgai iš jos neišsisuks kelios skirtingos formos, ji išlieka vientisa.
4. Jai trūksta tokios svarbios savybės kaip orientacija. Tai reiškia, kad žmogus, einantis šia figūra, grįš į savo kelio pradžią, bet tik veidrodiniame savo atvaizde. Taigi, nesibaigianti Moebius juosta gali nuvesti į amžiną kelionę.
5. Specialų chromatinį skaičių, rodantį maksimalų įmanomą sričių skaičių Mobius paviršiuje, galite sukurti taip, kad bet kuris iš jų turėtų bendrą sieną su visais kitais. Mobiuso juostelės chromatinis skaičius – 6, o popierinis žiedas – 5.
Mokslinis naudojimas
Šiandien Mobius juosta ir jos savybės plačiai naudojamos moksle, kuri yra pagrindas kuriant naujas hipotezes ir teorijas, atliekant tyrimus ir eksperimentus, kuriant naujus mechanizmus ir įrenginius.
Taigi, yra hipotezė, pagal kurią Visata yra didžiulė Mobiuso kilpa. Tai netiesiogiai liudija ir Einšteino reliatyvumo teorija, pagal kurią net tiesiai skrendantis laivas gali grįžti į tą patį laiko ir erdvės tašką, iš kurio ir pradėjo.
Kita teorija mano, kad DNR yra Mobius paviršiaus dalis, o tai paaiškina sunkumus nuskaityti ir iššifruoti genetinį kodą. Be kita ko, tokia struktūra pateikia logišką biologinės mirties paaiškinimą – ant savęs užsidariusi spiralė veda į objekto savęs sunaikinimą.
Anot fizikų, daugelis optinių dėsnių yra pagrįsti Moebiuso juostos savybėmis. Taigi, pavyzdžiui, veidrodinis vaizdas yra ypatingas laiko perkėlimas ir žmogus prieš save mato dvigubą savo veidrodį.
Įgyvendinimas praktikoje
Mobius juosta jau seniai buvo pritaikyta įvairiose pramonės šakose. Didysis išradėjas Nikola Tesla amžiaus pradžioje išrado Mobius rezistorių, sudarytą iš dviejų laidžių paviršių, susuktų iki 1800 m., kuris gali atlaikyti elektros srovės srautą nesukeldamas elektromagnetinių trukdžių.
Remiantis Mobius juostos paviršiaus ir jo savybių tyrimais, buvo sukurta daug prietaisų ir prietaisų. Jo forma pakartojama kuriant konvejerio juostą ir rašalo juostelę spausdintuvuose, abrazyvinius diržus įrankių galandimui ir automatiniam perkėlimui. Tai leidžia jiems žymiai pailginti tarnavimo laiką, nes nusidėvėjimas vyksta tolygiau.
Ne taip seniai nuostabios Mobius juostos savybės leido sukurti spyruoklę, kuri, skirtingai nei įprastos, suveikia priešinga kryptimi, nekeičia šaudymo krypties. Jis naudojamas vairo pavaros stabilizatoriuje, užtikrinančiame vairo grįžimą į pradinę padėtį.
Be to, „Mobius“ juostelės ženklas naudojamas įvairiuose prekės ženkluose ir logotipuose. Garsiausias iš jų yra tarptautinis perdirbimo simbolis. Jis klijuojamas ant prekių pakuočių, tinkamų tolesniam perdirbimui arba pagaminta iš perdirbtų išteklių.
Kūrybinio įkvėpimo šaltinis
Mobius juosta ir jos savybės sudarė daugelio menininkų, rašytojų, skulptorių ir kino kūrėjų kūrybos pagrindą. Žymiausias menininkas, naudojęs tokiuose savo darbuose kaip „Mobius Tape II (Raudonosios skruzdėlės)“, „Raiteliai“ ir „Magai“, juostą ir jos ypatybes – Maurits Cornelis Escher.
Mobiuso juostelės arba minimalios energijos paviršiai, kaip jie dar vadinami, tapo įkvėpimo šaltiniu matematiniams dailininkams ir skulptoriams, tokiems kaip Brentas Collinsas ir Maxas Billas. Garsiausias paminklas Mobius juostai yra prie įėjimo į Vašingtono istorijos ir technologijų muziejų.
Rusijos menininkai taip pat neliko nuošalyje nuo šios temos ir kūrė savo kūrinius. Skulptūros „Mobius juosta“ įrengtos Maskvoje ir Jekaterinburge.
Literatūra ir topologija
Neįprastos Moebius paviršių savybės įkvėpė daugybę rašytojų sukurti fantastiškus ir siurrealistinius kūrinius. Mobijaus kilpa vaidina svarbų vaidmenį R. Zelazny romane „Durys smėlyje“ ir yra B. Lumley romano „Nekroskopas“ veikėjo judėjimo erdvėje ir laike priemonė.
Jis taip pat pasirodo Arthuro Clarke apsakymuose „Tamsos siena“, M. Clifton „Ant Mobius Strip“ ir A. J. Deutscho „Mobiuso lape“. Pastarojo pagrindu fantastinį filmą „Mobius“ nufilmavo režisierius Gustavo Mosquera.
Mes tai darome patys, savo rankomis!
Jei jus domina „Mobius“ juostelė, nedidelė instrukcija jums pasakys, kaip padaryti jos modelį:
1. Norėdami sukurti jos modelį, jums reikės:
Paprasto popieriaus lapas;
Žirklės;
Valdovas.
2. Nuo popieriaus lapo nupjaukite juostelę, kad jos plotis būtų 5-6 kartus mažesnis už ilgį.
3. Gauta popieriaus juostelė išklojama ant lygaus paviršiaus. Vieną galą laikome ranka, o kitą apsukame 1800, kad juostelė pasisuktų ir blogoji pusė taptų priekine.
4. Suklijuokite susuktos juostelės galus, kaip parodyta paveikslėlyje.
Mobius juostelė yra paruošta.
5. Paimkite rašiklį arba žymeklį ir pradėkite piešti takelį juostos viduryje. Jei viską padarėte teisingai, grįšite į tą patį tašką, nuo kurio pradėjote brėžti liniją.
Kad gautumėte vizualinį patvirtinimą, kad Mobius juostelė yra vienpusis objektas, pabandykite pieštuku ar rašikliu nupiešti vieną jos pusę. Po kurio laiko pamatysite, kad jį visiškai nudažėte.
Mobius juosta (Mobius kilpa, Mobius juosta)- paprastos išvaizdos figūra, bet matematikas pasakytų, kad tai dvimatis paviršius, pasižymintis nuostabiomis savybėmis: jis turi tik vieną kraštą ir vieną kraštą, skirtingai nuo įprasto žiedo, kuris gali būti sulankstytas iš tos pačios juostelės kaip ir Mobius juostelė. , bet jis turės dvi puses ir du kraštus. Tai nesunku pastebėti, jei nubrėžiate liniją juostos viduryje, nepakeldami pieštuko nuo popieriaus, kol grįšite į pradinį tašką. Keista, bet tiesa: dėl juostos pusės apsisukimo jos viršutinis ir apatinis kraštai susiliejo į vieną ištisinę liniją, o dvi pusės pavirto į vientisą visumą ir tapo viena puse. Ir štai rezultatas: iš vieno Mobiuso juostos taško į bet kurį kitą galite patekti neperžengdami krašto.
Bėga Mobius juosta
Stebėtojui iš šalies kelionės Mobius juosta yra „bėgimas ratu“, kupinas netikėtumų. Jį ryškiai pavaizdavo olandų grafikas Mauritsas Escheris (1898-1972). Paveiksle „Mobius Strip II“ skruzdėlės atlieka bėgančių žmonių vaidmenį. Stebint jų judėjimą galima padaryti įdomų atradimą. Atlikus vieną apsisukimą išilgai juostos, kiekviena skruzdėlė atsidurs pradiniame taške, bet jau antipodo padėtyje – vizualiai ji bus „kitoje juostos pusėje“ aukštyn kojomis. Kas atsitiks dvimatei būtybei, judančiam išilgai Mobiuso juostos? Apeinant paviršių, jis pavirs veidrodiniu vaizdu (tai nesunku įsivaizduoti, jei juosta laikoma skaidria). Kad taptų savimi, dvimatė būtybė turės apsukti dar vieną ratą. Taigi skruzdėlė turi du kartus eiti Mobius juosta, kad grįžtų į pradinę padėtį.
Mokslinis smalsumas ar naudingas atradimas
Mobiuso juosta dažnai vadinama matematiniu smalsumu. Ir pati jo išvaizda priskiriama atsitiktinumui. Pasak legendos, vokiečių mokslininkas sugalvojo juostelę, kai ant tarnaitės pamatė neteisingai surištą kaklaskarę. Jis buvo garsus matematikas ir astronomas, Karlo Friedricho Gauso mokinys. Vienpusį paviršių su viena briauna jis aprašė dar 1858 m., tačiau per jo gyvenimą straipsnis nebuvo paskelbtas. Tais pačiais metais, nepriklausomai nuo Mobiuso, panašų atradimą padarė kitas Gauso mokinys Johanas Listingas.
Vis dėlto juosta buvo pavadinta Mobiuso vardu. Tai tapo vienu pirmųjų topologijos objektų – mokslo, tiriančio bendriausias figūrų savybes, būtent tas, kurios išsaugomos nuolat (be įpjovimų ir klijavimo) transformacijų: tempimo, gniaužimo, lenkimo, sukimo ir kt. Šios transformacijos primena deformacijas. figūrų, pagamintų iš gumos, todėl topologija kitaip vadinama „gumos geometrija“. Kai kurias topologines problemas dar XVIII amžiuje išsprendė Leonardas Euleris. Naujos matematikos srities pradžią padėjo Listingo darbas „Preliminarūs topologijos tyrimai“ (1847) – pirmasis sisteminis šio mokslo darbas. Jis taip pat išrado terminą „topologija“ (iš graikų kalbos žodžių τόπος - vieta ir λόγος - mokymas).
Mobiuso juostą būtų galima laikyti moksliniu kuriozu, dar vienu matematikų keistenybe, jeigu ji nerastų praktinio pritaikymo ir neįkvėptų meno žmonių. Ją ne kartą vaizdavo menininkai, skulptoriai jai pastatė paminklus, rašytojai skyrė savo kūrybą. Šis neįprastas paviršius patraukė architektų, dizainerių, juvelyrų ir net drabužių bei baldų gamintojų dėmesį. Į tai atkreipė dėmesį išradėjai, dizaineriai, inžinieriai (pavyzdžiui, dar XX amžiaus 2 dešimtmetyje buvo užpatentuoti garso ir kino filmai „Mobius“ juostos pavidalu, o tai leido dvigubai pailginti įrašymo trukmę). Tačiau magai su šia juostele susidoroja dažniau nei kiti: juos vilioja neįprastos savybės, atsirandančios ją perkerpant, todėl perkirpus Mobius juostelę išilgai vidurio linijos, ji neskyla į dvi dalis, kaip būtų galima tikėtis. Iš jos gausite siauresnę ir ilgesnę dvipusę juostą, susuktą du kartus (panašios formos yra ir kalnelių konstrukcija). Tačiau „kulinarinis triukas“: „Mobius“ juostelės formos pyragaičiai atrodys skanesni nei įprastai, nes ant jų galite tepti dvigubai daugiau kremo! Be to, yra įdomūs architektūriniai pastatų projektai, pagaminti „Mobiuso juostos stiliumi“. Kol kas jos egzistuoja tik popieriuje, bet norisi tikėti, kad tikrai bus įgyvendintos.
„Dviprasmiška“ pozicija
Savo savybėmis Mobius juostelė tikrai primena objektą iš Looking Glass. O ji pati, būdama asimetriškos figūros, turi veidrodinį dublį. Eikime pasivaikščioti palei juostelę su dešinės pėdos atspaudu ir netrukus pamatysime, kad kairės pėdos atspaudas grįš namo. Juokinga, ar ne? O kada „dešinieji“ tik spėjo tapti „kairiaisiais“? Į juostą „sumontuosime“ dvimatį laikrodį ir priverskime juos padaryti visišką apsisukimą. Žvelgdami į laikrodį pamatysime, kad ciferblato rodyklės juda tuo pačiu greičiu, bet priešinga kryptimi! O kuri iš dviejų judėjimo krypčių yra teisinga?
Kol galvojate apie atsakymą, pastebiu, kad matematikas pasiūlytų elegantišką išeitį net iš šios „dviprasmiškos“ situacijos. Būtina, kad, pirma, laikrodis visada rodytų tą patį laiką, antra, ciferblato rodyklės būtų tokioje padėtyje, kuri būtų išsaugota veidrodiniame vaizde, pavyzdžiui, stovėtų vertikaliai, sudarydamos išskleistą kampą.
Na, patikrinkime atsakymą? Tiesą sakant, Mobius juostoje tam tikros sukimosi krypties nustatyti negalima. Vienas ir tas pats judesys gali būti suvokiamas ir kaip sukimasis pagal laikrodžio rodyklę, ir kaip sukimasis priešinga kryptimi. Kai Möbius juostoje savavališkai pasirinktas taškas apeina jį, viena kryptis nuolat transformuojama į kitą. Šiuo atveju „dešinė“ subtiliai pakeičiama „kairė“. Dvimatė būtybė pati nepastebės jokių pokyčių. Tačiau juos matys kitos tos pačios rūšies būtybės ir, žinoma, mes, stebėdami, kas vyksta iš kitos dimensijos. Štai koks nenuspėjamas, vienpusis Mobius paviršius.
