- Алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре.
- Алгебраическая сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна сумме действующих ЭДС в этом контуре. Если в контуре нет источников электродвижущей силы, то суммарное падение напряжений равно нулю.
- Алгебраическая сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура электрической цепи равна нулю.
- Алгебраическая сумма падений напряжений на пассивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС и напряжений источников тока, действующих в этом контуре.
Т.е. падение напряжения на R1 со своим знаком плюс падение напряжения на R2 со своим знаком равно напряжение источника эдс 1 со своим знаком плюс напряжение на источнике электродвижущей силы 2 со своим знаком. Алгоритм расстановки знаков в уравнениях по закону Кирхгофа описан на отдельной странице.
Уравнение для второго закона Кирхгофа
Составлять уравнения по второму закону Кирхгофа можно разными способами. Самым удобным считается первая формула.
Так же можно уравнения писать в таком виде.
Физический смысл второго закона Кирхгофа
Второй закон устанавливает связь между падением напряжения на замкнутом участке электрической цепи и действием источников ЭДС на этом же замкнутом участке. Он связан с понятием работы по переносу электрического заряда. Если перемещение заряда выполняется по замкнутому контуру, возвращаясь в ту же точку, то совершенная работа равна нулю. Иначе бы не выполнялся закон сохранения энергии. Это важное свойство потенциального электрического поля описывает 2 закон Кирхгофа для электрической цепи.
По каждому проводнику, составляющему электрическую цепь, течет ток. В точке, где проводники сходятся, называемой узлом, справедливо правило: ток суммарный, подтекающий к нему, равняется сумме, оттекающих.
{ ArticleToC: enabled=yes }
Другими словами – сколько зарядов подтечет к этой точке за единицу времени, столько же оттечет. Если принять, что приходящий будет «+», а оттекающий – «-», то суммарная его величина будет нулевой.
Это и есть Первый закон кирхгофа для электрической цепи. Смысл его в том состоит, что заряд не накапливается.
Закон Второй, применим к цепи электрической разветвленной.
Эти универсальные законы Кирхгофа применяют очень широко, поскольку позволяют решить множество задач. Большим их достоинство считают простую и понятную всем формулировку, несложные вычисления.
История
Пополнил ряды немецких ученых Кирхгоф в девятнадцатом столетии, когда в стране, находившаяся на пороге революции индустриальной, требовались новейших технологии. Ученые занимались поиском решений, которые могли бы ускорить развитие промышленности.
Активно занимались исследованиями в области электричества, поскольку понимали, что в будущем оно будет широко использоваться. Проблема состояла на тот момент не в том, как составлять электрические цепи из возможных элементов, а в проведении математических вычислений. Тут и появились законы, сформулированные физиком. Они очень помогли.
Алгебраическая сумма приходящих к узлам токов и исходящих из него равна нулю. Эта одновременно вытекает из другого закона — постоянства энергии.
К узлу подходят 2 провода, а отходит один. Значение тока, текущего от узла, такое же, как сумма его, протекающего по двум остальным проводникам, т.е. идущим к нему. Правило Кирхгофа объясняет, что, при ином раскладе, накапливался бы заряд, но такого не бывает. Все знают, что всякую сложную цепь легко разделить на отдельные участки.
Но, при этом непросто определить путь, по которому он проходит. Тем более, что на различных участках сопротивления не одинаковы, поэтому и распределение энергии не будет равномерным.
В соответствие со Вторым правилом Кирхгофа, энергия электронов на каждом из замкнутых участков электрической цепи равняется нулю – нулю равняется всегда в таком контуре суммарное значение напряжений. Если бы нарушилось данное правило, энергия электронов при прохождении определенных участков, уменьшалась бы или увеличивалась. Но, этого не наблюдается.
Применение
Таким образом, благодаря этим двум, выдвинутым Кирхгофом утверждениям, установлено зависимость токов от напряжений в разветвленных участках.
Формула Первого закона такова:
Для схемы, приведенной ниже, справедливо:
I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0
Плюсовые — это токи, идущие к точке, а те, что выходят из нее «-».
Записывается это так:
- k — количество ЭДС источников;
- m – ветви замкнутого контура;
- Ii,Ri – их сопротивление i-й и ток.
В данной схеме: Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4.
- ЭДС принимается «+» при совпадении ее направления с выбранным направлением обхода.
- При совпадении направления тока и обхода на резисторе, с плюсом будет также напряжение.
Расчет цепи
Способ заключается в умении составления систем уравнений, а также решении их, для нахождения токов в каждой ветви (b), а уже, зная их, умении нахождения величины напряжений.
Проще говоря, количество ветвей совпадать должно с неизвестными величинами в системе. Вначале записывают их, исходя из первого правила: число их идентично с количеством узлов.
Но, независимыми будут (y – 1) выражений. Обеспечивается это выбором, а происходит он так, чтобы разнились они (последующий со смежными) минимум одной ветвью.
Независимым считают контур, содержащий одну (или больше) ветвь, которая в другие не входит.
В качестве примера можно рассмотреть такую схему:
Сдержит она:
узлов – 4;
ветвей –6.
По Первому закону записывают три выражения, т.е. y — 1 = 4 – 1=3.
И столько же на основании Второго, поскольку b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 .
В ветвях выбирают плюсовое направление и путь обхода (у нас — по стрелке часовой).
Получается:
Осталось относительно токов решить получившуюся систему, понимая, что, когда в процессе решения он получается отрицательным, это свидетельствует о том, что направлен он будет в противоположную сторону.
Правило Кирхгофа применительно к синусоидальным токам
Правила для синусоидального, такие же, как для тока постоянного. Правда, учитываются величины напряжений с комплексными токами.
Первое звучит: «в электрической цепи нулю равна сумма алгебраическая комплексных токов в узле».
Второе правило выглядит так: «алгебраическая сумма ЭДС комплексных в контуре замкнутом равняется сумме алгебраической значений комплексных напряжений, имеющихся на пассивных составляющих данного контура.
Видео: Законы Кирхгофа
В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа . Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике , на страницах сайта http://www.сайт.
Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.
Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.
Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа , особенно в старой литературе.
Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.
Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.
Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.
Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.
Рисунок 2. Узел электрической цепи.
Здесь ток I 1 - ток, втекающий в узел, а токи I 2 и I 3 - токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:
I 1 = I 2 + I 3 (1)
Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I 2 и I 3 в левую часть выражения (1) , тем самым получим:
I 1 - I 2 - I 3 = 0 (2)
Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.
Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2) ).
Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.
Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.
Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:
1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).
2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.
3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:
ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».
Напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».
Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.
Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.
E 1 - Е 2 = -UR 1 - UR 2 или E 1 = Е 2 - UR 1 - UR 2 (3)
Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.
Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.
Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E 1 =12 в и E 2 =5 в , с внутренним сопротивлением источников r 1 =r 2 =0,1 Ом , работающих на общую нагрузку R = 2 Ома . Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.
Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.
Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:
I = I 1 + I 2 ,
так как I 1 и I 2 втекают в узел А , а ток I вытекает из него.
Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.
Для внешнего контура:
E 1 -E 2 = Ur 1 – Ur 2 или E 1 -E 2 = I 1 *r 1 – I 2 *r 2
Для внутреннего левого контура:
E 1 = Ur 1 + UR или E 1 = I 1 *r 1 + I*R
Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:
I = I 1 + I 2 ;
E 1 -E 2 = I 1 *r 1 – I 2 *r 2 ;
E 1 = I 1 *r 1 + I*R.
Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:
I = I 1 + I 2 ;
7 = 0,1I 1 – 0,1I 2 ;
I 2 =I - I 1 ;
I 2 = I 1 – 70;
12 = 0,1I 1 + 2I.
Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:
I - I 1 = I 1 – 70;
12 = 0,1I 1 + 2I.
Выражаем из первого уравнения значение I
I = 2I 1 – 70;
И подставляем его значение во второе уравнение
12 = 0,1I 1 + 2(2I 1 – 70).
Решаем полученное уравнение
12 = 0,1I 1 + 4I 1 – 140.
12 + 140= 4,1I 1
I 1 =152/4,1
I 1 =37,073 (А)
Теперь в выражение I = 2I 1 – 70 подставим значение
I 1 =37,073 (А) и получим:
I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А
Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I 2 =I - I 1
I 2 =4,146 - 37,073 = -32,927
Знак «минус» для тока I 2 означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I 2 вытекает из узла А .
Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.
Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.
Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.
Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:
Законы Кирхгофа – правила, которые показывают, как соотносятся токи и напряжения в электрических цепях. Эти правила были сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году. В литературе часто называют законами Кирхгофа, но это не верно, так как они не являются законами природы, а были выведены из третьего уравнения Максвелла при неизменном магнитном поле. Но все же, первое более привычное для них название, поэтому и мы будет их называть, как это принято в литературе – законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа – сумма токов сходящихся в узле равна нулю.
Давайте разбираться. Узел это точка, соединяющая ветви. Ветвью называется участок цепи между узлами. На рисунке видно, что ток i входит в узел, а из узла выходят токи i 1 и i 2 . Составляем выражение по первому закона Кирхгофа, учитывая, что токи, входящие в узел имеют знак плюс, а токи, исходящие из узла имеют знак минус i-i 1 -i 2 =0. Ток i как бы растекается на два тока поменьше и равен сумме токов i 1 и i 2 i=i 1 +i 2 . Но если бы, например, ток i 2 входил в узел, тогда бы ток I определялся как i=i 1 -i 2 . Важно учитывать знаки при составлении уравнения.
Первый закон Кирхгофа это следствие закона сохранения электричества: заряд, приходящий к узлу за некоторый промежуток времени, равен заряду, уходящему за этот же интервал времени от узла, т.е. электрический заряд в узле не накапливается и не исчезает.
Второй закон Кирхгофа – алгебраическая сумма ЭДС, действующая в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения в этом контуре.
Напряжение выражено как произведение тока на сопротивление (по закону Ома).
В этом законе тоже существуют свои правила по применению. Для начала нужно задать стрелкой направление обхода контура. Затем просуммировать ЭДС и напряжения соответственно, беря со знаком плюс, если величина совпадает с направлением обхода и минус, если не совпадает. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа, для нашей схемы. Смотрим на нашу стрелку, E 2 и Е 3 совпадают с ней по направлению, значит знак плюс, а Е 1 направлено в противоположную сторону, значит знак минус. Теперь смотрим на напряжения, ток I 1 совпадает по направлению со стрелкой, а токи I 2 и I 3 направлены противоположно. Следовательно:
-E 1 +E 2 +E 3 =I 1 R 1 -I 2 R 2 -I 3 R 3
На основании законов Кирхгофа составлены методы анализа цепей переменного синусоидального тока . Метод контурных токов – метод основанный на применении второго закона Кирхгофа и метод узловых потенциалов основанный на применении первого закона Кирхгофа.
Два закона Кирхгофа вместе с законом Ома составляют тройку законов, с помощью которых можно определить параметры электрической цепи любой сложности. Законы Кирхгофа мы будем проверять на примерах простейших электрических схем, собрать которые не составит никакого труда. Для этого понадобится несколько , пара источников питания, в качестве которых подойдут гальванические элементы (батарейки) и мультиметр.
Первый закон Кирхгофа говорит, что сумма в любом узле электрической цепи равна нулю. Существует и другая, аналогичная по смыслу формулировка: сумма значений токов, входящих в узел, равна сумме значений токов, выходящих из узла.
Давайте разберем сказанное более подробно. Узлом называют место соединения трех и более проводников.
Ток, который втекает в узел, обозначается стрелкой, направленной в сторону узла, а выходящий из узла ток – стрелкой, направленной в сторону от узла.
Согласно первому закону Кирхгофа
Условно присвоили знак «+» всем входящим токам, а «-» ‑ все выходящим. Хотя это не принципиально.
1 закон Кирхгофа согласуется с законом сохранения энергии, поскольку электрические заряды не могут накапливаться в узлах, поэтому, поступающие к узлу заряды покидают его.
Убедиться в справедливости 1-го закона Кирхгофа нам поможет простая схема, состоящая из источника питания, напряжением 3 В (две последовательно соединенные батарейки по 1,5 В), три резистора разного номинала: 1 кОм, 2 кОм, 3,2 кОм (можно применять резисторы любых других номиналов). Токи будем измерять мультиметром в местах, обозначенных амперметром.
Если сложить показания трех амперметров с учетом знаков, то, согласно первому закону Кирхгофа, мы должны получить ноль:
I 1 — I 2 — I 3 = 0.
Или показания первого амперметра А1 будет равняться сумме показаний второго А2 и третьего А3 амперметров.
Второй закон Кирхгофа воспринимается начинающими радиолюбителями гораздо сложнее, нежели первый. Однако сейчас вы убедитесь, что он достаточно прост и понятен, если объяснять его нормальными словами, а не заумными терминами.
Упрощенно 2 закон Кирхгофа говорит: сумма ЭДС в замкнутом контуре равна сумме падений напряжений
ΣE = ΣIR
Самый простой случай данного закона разберем на примере батарейки 1,5 В и одного резистора.
Поскольку резистор всего один и одна батарейка, то ЭДС батарейки 1,5 В будет равна падению напряжения на резисторе.
Если мы возьмем два резистора одинакового номинала и подключим к батарейке, то 1,5 В распределятся поровну на резисторах, то есть по 0,75 В.
Если возьмем три резистора снова одинакового номинала, например по 1 кОм, то падение напряжения на них будет по 0,5 В.
Формулой это будет записано следующим образом:
Рассмотрим условно более сложный пример. Добавим в последнюю схему еще один источник питания E2, напряжением 4,5 В.
Обратите внимание, что оба источника соединены последовательно и согласно, то есть плюс одной батарейки соединяется с минусом другой батарейки или наоборот. При таком способе соединения гальванических элементов их электродвижущие силы складываются: E1 + E2 = 1,5 + 4,5 = 6 В, а падение напряжения на каждом сопротивлении составляет по 2 В. Формулой это описывается так:
