ȘI . Acum putem începe să luăm în considerare întrebarea cum să găsim aria unui trapez. Aceasta sarcinaîn viața de zi cu zi apare foarte rar, dar uneori se dovedește a fi necesar, de exemplu, să găsiți zona unei camere sub forma unui trapez, care este din ce în ce mai folosit în construcția de apartamente moderne, sau în proiecte de proiectare de renovare.
Un trapez este o figură geometrică formată din patru segmente care se intersectează, dintre care două sunt paralele între ele și se numesc bazele trapezului. Celelalte două segmente se numesc laturile trapezului. În plus, vom avea nevoie de o altă definiție mai târziu. Aceasta este linia de mijloc a trapezului, care este un segment care leagă punctele medii ale laturilor și înălțimea trapezului, care este egală cu distanța dintre baze.
La fel ca triunghiurile, un trapez are anumite tipuri sub forma unui trapez isoscel (isoscel), în care lungimile laturilor sunt aceleași și trapez dreptunghiular, în care una dintre laturi formează un unghi drept cu bazele.
Trapezele au câteva proprietăți interesante:
- Linia mediană a unui trapez este jumătate din suma bazelor și este paralelă cu acestea.
- Trapezele isoscele au laturile și unghiurile egale pe care le formează cu bazele.
- Punctele medii ale diagonalelor unui trapez și punctul de intersecție al diagonalelor sale sunt pe aceeași linie dreaptă.
- Dacă suma laturilor unui trapez este egală cu suma bazelor, atunci poate fi înscris un cerc în el
- Dacă suma unghiurilor formate de laturile unui trapez la oricare dintre bazele sale este 90, atunci lungimea segmentului care leagă punctele medii ale bazelor este egală cu jumătatea diferenței acestora.
- Un trapez isoscel poate fi descris printr-un cerc. Si invers. Dacă un trapez este înscris într-un cerc, atunci este isoscel.
- Segmentul care trece prin punctele medii ale bazelor unui trapez isoscel va fi perpendicular pe bazele acestuia și reprezintă axa de simetrie.
Cum să găsiți aria unui trapez.
Aria unui trapez va fi jumătate din suma bazelor sale înmulțită cu înălțimea sa. Sub forma unei formule, aceasta este scrisă ca o expresie:
unde S este aria trapezului, a,b este lungimea fiecărei baze ale trapezului, h este înălțimea trapezului.
Puteți înțelege și aminti această formulă după cum urmează. După cum rezultă din figura de mai jos, un trapez folosind linia mediană poate fi transformat într-un dreptunghi, a cărui lungime va fi egală cu jumătate din suma bazelor.
De asemenea, puteți descompune orice trapez în forme mai simple: un dreptunghi și unul sau două triunghiuri, iar dacă vă este mai ușor, atunci găsiți aria trapezului ca suma ariilor figurilor sale constitutive.
Există o altă formulă simplă pentru calcularea ariei sale. Potrivit acestuia, aria trapezului este egală cu produsul dintre linia mediană și înălțimea trapezului și se scrie astfel: S = m * h, unde S este aria, m este lungimea trapezului. linia mediană, h este înălțimea trapezului. Această formulă este mai potrivită pentru problemele de matematică decât pentru problemele de zi cu zi, deoarece în conditii reale nu vei ști lungimea liniei mediane fără calcule preliminare. Și veți ști doar lungimile bazelor și laturilor.
În acest caz, aria trapezului poate fi găsită folosind formula:
S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2
unde S este aria, a,b sunt bazele, c,d sunt laturile trapezului.
Există mai multe moduri de a găsi aria unui trapez. Dar, sunt la fel de incomod ca ultima formulă, ceea ce înseamnă că nu are sens să ne oprim asupra lor. Prin urmare, vă recomandăm să utilizați prima formulă din articol și să vă dorim să obțineți întotdeauna rezultate exacte.
Un trapez cu mai multe laturi... Poate fi arbitrar, isoscel sau dreptunghiular. Și în fiecare caz, trebuie să știți cum să găsiți aria unui trapez. Desigur, cel mai simplu mod de a vă aminti formulele de bază. Dar uneori este mai ușor să îl utilizați pe cel derivat ținând cont de toate caracteristicile unei anumite figuri geometrice.
Câteva cuvinte despre trapez și elementele sale
Orice patrulater cu două laturi paralele poate fi numit trapez. LA caz general nu sunt egali si se numesc baze. Cel mai mare dintre ele este mai jos, iar celălalt este superior.
Celelalte două laturi sunt laterale. Într-un trapez arbitrar, ele au lungimi diferite. Dacă sunt egale, atunci cifra devine isoscelă.
Dacă brusc unghiul dintre orice latură și bază este egal cu 90 de grade, atunci trapezul este dreptunghiular.
Toate aceste caracteristici pot ajuta la rezolvarea problemei cum să găsiți zona unui trapez.
Dintre elementele figurii, care pot fi indispensabile în rezolvarea problemelor, putem distinge următoarele:
- înălțime, adică un segment perpendicular pe ambele baze;
- linia de mijloc, care are la capete mijlocul laturilor.
Care este formula de calcul a ariei dacă se cunosc bazele și înălțimea?
Această expresie este dată ca principală deoarece este cel mai adesea posibil să se cunoască aceste cantități chiar și atunci când nu sunt date explicit. Deci, pentru a înțelege cum să găsiți aria unui trapez, trebuie să adăugați ambele baze și să le împărțiți la două. Valoarea rezultată este apoi înmulțită în continuare cu valoarea înălțimii.
Dacă desemnăm bazele cu literele a 1 și a 2, înălțimea - n, atunci formula pentru zonă va arăta astfel:
S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.
Formula de calcul a zonei, având în vedere înălțimea și linia mediană a acesteia
Dacă te uiți cu atenție la formula anterioară, este ușor de observat că conține clar valoarea liniei de mijloc. Și anume, suma bazelor împărțită la doi. Fie ca linia din mijloc să fie notată cu litera l, apoi formula pentru zonă va deveni:
S \u003d l * n.
Abilitatea de a găsi suprafața pe diagonale
Această metodă va ajuta dacă unghiul format de ei este cunoscut. Să presupunem că diagonalele sunt notate cu literele d 1 și d 2, iar unghiurile dintre ele sunt α și β. Apoi formula pentru a găsi aria unui trapez va fi scrisă după cum urmează:
S \u003d ((d 1 * d 2) / 2) * sin α.
În această expresie, se poate înlocui cu ușurință α cu β. Rezultatul nu se va schimba.
Cum să aflați zona dacă toate laturile figurii sunt cunoscute?
Există și situații în care în această figură se cunosc exact laturile. Această formulă este greoaie și greu de reținut. Dar probabil. Fie ca laturile să aibă denumirea: în 1 și în 2, baza a 1 este mai mare decât a 2. Apoi formula zonei ia următoarea formă:
S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (în 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + în 1 2 - în 2 2) / (2 * (a 1 - a 2) ) ] 2 ).
Metode de calcul a ariei unui trapez isoscel
Prima este legată de faptul că în el poate fi înscris un cerc. Și, cunoscând raza sa (se notează cu litera r), precum și unghiul de la bază - γ, puteți folosi următoarea formulă:
S \u003d (4 * r 2) / sin γ.
Ultima formulă generală, care se bazează pe cunoașterea tuturor laturilor figurii, este mult simplificată datorită faptului că laturile au aceeași valoare:
S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (în 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).
Metode de calcul a ariei unui trapez dreptunghiular
Este clar că oricare dintre cele de mai sus este potrivită pentru o cifră arbitrară. Dar uneori este util să știți despre o caracteristică a unui astfel de trapez. Constă în faptul că diferența pătratelor lungimilor diagonalelor este egală cu diferența formată din pătratele bazelor.
Adesea, formulele pentru un trapez sunt uitate, în timp ce expresiile pentru ariile unui dreptunghi și ale unui triunghi sunt amintite. Apoi puteți aplica o metodă simplă. Împărțiți trapezul în două figuri dacă este dreptunghiular sau trei. Unul va fi cu siguranță un dreptunghi, iar al doilea, sau celelalte două, vor fi triunghiuri. După calcularea suprafețelor acestor cifre, rămâne doar să le adunăm.
Aceasta este o modalitate destul de simplă de a găsi aria unui trapez dreptunghiular.
Ce se întâmplă dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor trapezului?
În acest caz, va trebui să utilizați o expresie care vă permite să determinați distanța dintre puncte. Se poate aplica de trei ori: pentru a cunoaste ambele baze si o singura inaltime. Și apoi aplicați doar prima formulă, care este descrisă puțin mai sus.
Un exemplu poate fi dat pentru a ilustra această metodă. Sunt date vârfuri cu coordonatele A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Trebuie să cunoaștem zona figurii.
Înainte de a găsi aria unui trapez, trebuie să calculați lungimile bazelor din coordonate. Veți avea nevoie de această formulă:
lungimea segmentului = √((diferența primelor coordonate ale punctelor) 2 + (diferența coordonatelor secunde a punctelor) 2 ).
Baza superioară este desemnată AB, ceea ce înseamnă că lungimea sa va fi egală cu √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Cea inferioară este CD = √ ((10-1 ) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.
Acum trebuie să desenați o înălțime de sus în jos. Fie începutul său în punctul A. Sfârșitul segmentului va fi pe baza inferioară în punctul cu coordonatele (5; 1), fie punctul H. Lungimea segmentului AN va fi egală cu √ ((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
Rămâne doar să înlocuiți valorile rezultate în formula pentru aria unui trapez:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Problema este rezolvată fără unități de măsură, deoarece scara grilei de coordonate nu este specificată. Poate fi milimetru sau metru.
Exemple de sarcini
Nr. 1. Stare. Unghiul dintre diagonalele unui trapez arbitrar este cunoscut, este egal cu 30 de grade. Diagonala mai mică are o valoare de 3 dm, iar a doua este de 2 ori mai mare decât ea. Trebuie să calculați aria trapezului.
Soluţie. Mai întâi trebuie să aflați lungimea celei de-a doua diagonale, deoarece fără aceasta nu va fi posibil să calculați răspunsul. Calculul este ușor, 3 * 2 = 6 (dm).
Acum trebuie să utilizați formula potrivită pentru zonă:
S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4,5 (dm 2). Problema rezolvata.
Răspuns: aria trapezului este de 4,5 dm 2 .
Nr. 2. Stare.În trapezul ABCD bazele sunt segmentele AD și BC. Punctul E este punctul de mijloc al laturii SD. Din aceasta se trasează o perpendiculară pe dreapta AB, capătul acestui segment este indicat cu litera H. Se știe că lungimile lui AB și EH sunt de 5, respectiv 4 cm. Este necesar să se calculeze aria lui trapezul.
Soluţie. Mai întâi trebuie să faci un desen. Deoarece valoarea perpendicularei este mai mică decât latura pe care este trasată, trapezul va fi ușor extins în sus. Deci EH va fi în interiorul figurii.
Pentru a vedea clar progresul rezolvării problemei, va trebui să efectuați o construcție suplimentară. Și anume, trageți o dreaptă care va fi paralelă cu latura AB. Punctele de intersecție ale acestei linii cu AD - P și cu continuarea BC - X. Figura rezultată VKhRA este un paralelogram. În plus, aria sa este egală cu cea necesară. Acest lucru se datorează faptului că triunghiurile care au fost obținute în timpul construcției suplimentare sunt egale. Aceasta rezultă din egalitatea laturii și a celor două unghiuri adiacente acesteia, unul vertical, celălalt întins transversal.
Puteți găsi aria unui paralelogram folosind o formulă care conține produsul laturii și înălțimea coborâtă pe acesta.
Astfel, aria unui trapez este de 5 * 4 = 20 cm 2.
Răspuns: S \u003d 20 cm 2.
Nr. 3. Stare. Elementele unui trapez isoscel au următoarele semnificații: baza inferioară este de 14 cm, baza superioară este de 4 cm, colt ascutit- 45º. Trebuie să-i calculăm aria.
Soluţie. Fie ca baza mai mică să fie notată BC. Înălțimea trasă din punctul B se va numi BH. Deoarece unghiul este de 45º, atunci triunghiul ABH se va dovedi a fi dreptunghic și isoscel. Deci AH=BH. Și AN este foarte ușor de găsit. Este egal cu jumătate din diferența bazelor. Adică (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).
Se cunosc bazele, se numără înălțimile. Puteți folosi prima formulă, care a fost considerată aici pentru un trapez arbitrar.
S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).
Răspuns: Suprafața dorită este de 45 cm 2.
Nr. 4. Stare. Există un trapez ABCD arbitrar. Punctele O și E sunt luate pe laturile sale, astfel încât OE este paralel cu baza lui AD. Zona trapezoidală a AOED este de cinci ori mai mare decât cea a CFE. Calculați valoarea OE dacă lungimile bazei sunt cunoscute.
Soluţie. Va fi necesar să se traseze două drepte paralele cu AB: prima prin punctul C, intersecția sa cu OE - punctul T; al doilea prin E și punctul de intersecție cu AD va fi M.
Fie necunoscutul OE=x. Înălțimea trapezului mai mic OVSE este n 1, AOED mai mare este n 2.
Deoarece ariile acestor două trapeze sunt legate de la 1 la 5, putem scrie următoarea egalitate:
(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2
n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).
Înălțimile și laturile triunghiurilor sunt proporționale în construcție. Prin urmare, putem scrie o altă egalitate:
n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a 1 - x).
In doi intrări recente valori egale sunt în partea stângă, ceea ce înseamnă că putem scrie că (x + a 1) / (5 (x + a 2)) este egal cu (x - a 2) / (a 1) - X).
Aici sunt necesare o serie de transformări. Înmulțirea încrucișată mai întâi. Vor apărea paranteze care indică diferența de pătrate, după aplicarea acestei formule obțineți o scurtă ecuație.
Trebuie să deschidă parantezele și să mute toți termenii de la „x” necunoscut în partea stangași apoi luați rădăcina pătrată.
Răspuns: x \u003d √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).
Practica USE și GIA de anul trecut arată că problemele de geometrie provoacă dificultăți pentru mulți studenți. Le poți face față cu ușurință dacă memorezi toate formulele necesare și exersezi rezolvarea problemelor.
În acest articol, veți vedea formule pentru găsirea zonei unui trapez, precum și exemple de probleme cu soluții. Aceleași vă pot întâlni în KIM-uri la examenele de certificare sau la olimpiade. Prin urmare, tratați-le cu atenție.
Ce trebuie să știi despre trapez?
Pentru început, să ne amintim asta trapez se numește patrulater, în care două laturi opuse, se mai numesc și baze, sunt paralele, iar celelalte două nu.
Într-un trapez, înălțimea (perpendiculară pe bază) poate fi, de asemenea, omisă. Se trasează linia de mijloc - aceasta este o linie dreaptă paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma lor. La fel și diagonalele care se pot intersecta, formând unghiuri acute și obtuze. Sau în cazuri individuale, în unghi drept. În plus, dacă trapezul este isoscel, în el poate fi înscris un cerc. Și descrie un cerc în jurul lui.
Formulele zonei trapezului
În primul rând, luați în considerare formulele standard pentru găsirea ariei unui trapez. Modalitățile de calculare a ariei trapezelor isoscele și curbilinie vor fi luate în considerare mai jos.
Deci, imaginați-vă că aveți un trapez cu bazele a și b, în care înălțimea h este coborâtă la baza mai mare. Calcularea ariei unei figuri în acest caz este ușor. Trebuie doar să împărțiți cu două suma lungimilor bazelor și să înmulțiți ceea ce se întâmplă cu înălțimea: S = 1/2(a + b)*h.
Să luăm un alt caz: să presupunem că pe lângă înălțime, trapezul are o linie mediană m. Cunoaștem formula pentru găsirea lungimii liniei mediane: m = 1/2(a + b). Prin urmare, putem simplifica pe bună dreptate formula pentru aria unui trapez la următorul fel: S = m * h. Cu alte cuvinte, pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să înmulțiți linia mediană cu înălțimea.
Să luăm în considerare încă o opțiune: diagonalele d 1 și d 2 sunt desenate într-un trapez, care nu se intersectează în unghi drept α. Pentru a calcula aria unui astfel de trapez, trebuie să înjumătățiți produsul diagonalelor și să înmulțiți ceea ce obțineți cu păcatul unghiului dintre ele: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Acum luați în considerare formula pentru găsirea ariei unui trapez dacă nu se știe nimic despre acesta, cu excepția lungimii tuturor laturilor sale: a, b, c și d. Aceasta este o formulă greoaie și complicată, dar vă va fi util să o amintiți pentru orice eventualitate: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.
Apropo, exemplele de mai sus sunt valabile și pentru cazul în care aveți nevoie de formula pentru aria unui trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, a cărui latură se învecinează cu bazele în unghi drept.
Trapez isoscel
Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește isoscel. Vom lua în considerare mai multe variante ale formulei pentru aria unui trapez isoscel.
Prima variantă: pentru cazul în care un cerc cu raza r este înscris în interiorul unui trapez isoscel, iar latura laterală și baza mai mare formează un unghi ascuțit α. Un cerc poate fi înscris într-un trapez cu condiția ca suma lungimilor bazelor sale să fie egală cu suma lungimilor laturilor.
Aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează: înmulțiți pătratul razei cercului înscris cu patru și împărțiți totul cu sinα: S = 4r2/sinα. O altă formulă de zonă este un caz special pentru opțiunea când unghiul dintre baza mare și latură este 30 0: S = 8r2.
A doua opțiune: de data aceasta luăm un trapez isoscel, în care, în plus, sunt desenate diagonalele d 1 și d 2, precum și înălțimea h. Dacă diagonalele unui trapez sunt reciproc perpendiculare, înălțimea este jumătate din suma bazelor: h = 1/2(a + b). Știind acest lucru, este ușor să convertiți formula zonei trapezoidale deja cunoscute în această formă: S = h2.
Formula pentru aria unui trapez curbiliniu
Să începem prin a înțelege: ce este un trapez curbiliniu. Imaginează-ți o axă de coordonate și un grafic al unei funcții continue și nenegative f care nu își schimbă semnul într-un anumit segment de pe axa x. Un trapez curbiliniu este format din graficul funcției y \u003d f (x) - în partea de sus, axa x - în partea de jos (segment), iar pe laturi - linii drepte trasate între punctele a și b și grafic a functiei.
Calculați aria unui astfel de cifră non-standard imposibil în modurile de mai sus. Aici trebuie să aplicați analiza matematică și să utilizați integrala. Și anume, formula Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). În această formulă, F este antiderivată a funcției noastre pe intervalul selectat. Și aria trapezului curbiliniu corespunde creșterii antiderivatei pe un anumit segment.
Exemple de sarcini
Pentru a face toate aceste formule mai bune în capul tău, iată câteva exemple de probleme pentru găsirea zonei unui trapez. Cel mai bine ar fi să încercați mai întâi să rezolvați singur problemele și abia apoi să verificați răspunsul primit cu soluția gata făcută.
Sarcina 1: Dat un trapez. Baza sa mai mare este de 11 cm, cea mai mică este de 4 cm. Trapezul are diagonale, una de 12 cm lungime, cealaltă de 9 cm.
Soluție: Construiți un AMRS trapez. Desenați linia RX prin vârful P astfel încât să fie paralelă cu diagonala MC și să intersecteze linia AC în punctul X. Obțineți triunghiul APX.
Vom lua în considerare două figuri obținute în urma acestor manipulări: triunghiul APX și paralelogramul CMPX.
Datorită paralelogramului, aflăm că PX = MC = 12 cm și CX = MP = 4 cm. Unde putem calcula latura AX a triunghiului ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.
De asemenea, putem demonstra că triunghiul ARCH este dreptunghic (pentru a face acest lucru, aplicați teorema lui Pitagora - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). Și calculați-i aria: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.
În continuare, trebuie să demonstrați că triunghiurile AMP și PCX sunt egale ca suprafață. Baza va fi egalitatea laturilor MP și CX (deja demonstrată mai sus). Și, de asemenea, înălțimile pe care le coborâți pe aceste laturi - sunt egale cu înălțimea trapezului AMRS.
Toate acestea vă vor permite să afirmați că S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.
Sarcina #2: Având în vedere un KRMS trapez. Punctele O și E sunt situate pe laturile sale laterale, în timp ce OE și KS sunt paralele. De asemenea, se știe că zonele trapezului ORME și OXE sunt în raport de 1:5. PM = a și KS = b. Trebuie să găsiți un OE.
Rezolvare: Desenați o dreaptă prin punctul M paralel cu RK și desemnați punctul său de intersecție cu OE ca T. A este punctul de intersecție al unei linii trasate prin punctul E paralel cu RK cu baza lui KS.
Să mai introducem o notație - OE = x. La fel și înălțimea h 1 pentru triunghiul TME și înălțimea h 2 pentru triunghiul AEC (puteți demonstra în mod independent asemănarea acestor triunghiuri).
Vom presupune că b > a. Aricele trapezelor ORME și OXE sunt legate ca 1:5, ceea ce ne dă dreptul de a elabora următoarea ecuație: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Să transformăm și să obținem: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).
Deoarece triunghiurile TME și AEC sunt similare, avem h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Combinați ambele intrări și obțineți: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Astfel, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Concluzie
Geometria nu este cea mai ușoară dintre științe, dar cu siguranță poți face față sarcini de examen. Este nevoie doar de puțină răbdare pentru pregătire. Și, bineînțeles, amintiți-vă de toate formulele necesare.
Am încercat să colectăm într-un singur loc toate formulele pentru calcularea ariei unui trapez, astfel încât să le puteți folosi atunci când vă pregătiți pentru examene și repetați materialul.
Asigurați-vă că le spuneți colegilor și prietenilor despre acest articol în în rețelele sociale. Să fie mai multe note bune pentru Examenul Unificat de Stat și GIA!
site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
În viața noastră, de foarte multe ori trebuie să ne confruntăm cu aplicarea geometriei în practică, de exemplu, în construcții. Printre cele mai comune forme geometrice se numără un trapez. Și pentru ca proiectul să fie de succes și frumos, este necesar un calcul corect și precis al elementelor pentru o astfel de cifră.
Ce este un patrulater convex care are o pereche de laturi paralele, numite bazele unui trapez. Dar există alte două părți care leagă aceste baze. Se numesc laterale. Una dintre întrebările referitoare la această cifră este: „Cum să găsești înălțimea trapezului?” Este imediat necesar să acordați atenție faptului că înălțimea este un segment care determină distanța de la o bază la alta. Există mai multe modalități de a determina această distanță, în funcție de valorile cunoscute.
1. Sunt cunoscute valorile ambelor baze, le notăm b și k, precum și aria acestui trapez. Folosind valori cunoscute, este foarte ușor să găsiți înălțimea trapezului în acest caz. După cum se știe din geometrie, se calculează ca produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea. Din această formulă, puteți obține cu ușurință valoarea dorită. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți zona la jumătate din suma bazelor. Sub formă de formulă, ar arăta astfel:
S=((b+k)/2)*h, deci h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)
2. Se cunoaște lungimea liniei mediane, să o notăm d, și aria. Pentru cei care nu știu, numesc linia de mijloc distanța dintre punctele de mijloc ale laturilor. Cum să găsiți înălțimea trapezului în acest caz? După proprietatea trapezului, linia de mijloc corespunde la jumătate din suma bazelor, adică d=(b+k)/2. Din nou, folosim formula zonei. Înlocuind jumătate din suma bazelor cu valoarea liniei mediane, obținem următoarele:
După cum puteți vedea, este foarte ușor să obțineți înălțimea din formula rezultată. Împărțind zona la valoarea liniei mediane, găsim valoarea dorită. Să scriem această formulă:
3. Se cunosc lungimea unei laturi (b) si unghiul format intre aceasta latura si cea mai mare baza. Răspunsul la întrebarea cum să găsiți înălțimea unui trapez este și în acest caz. Să considerăm un trapez ABCD, unde AB și CD sunt laturi și AB=b. Cea mai mare bază este AD. Unghiul format de AB și AD va fi notat cu α. Din punctul B coborâm înălțimea h până la baza AD. Acum luați în considerare triunghiul rezultat ABF, care este un triunghi dreptunghic. Latura AB este ipotenuza iar BF este catetul. Din proprietatea unui triunghi dreptunghic, raportul dintre valoarea catetei și valoarea ipotenuzei corespunde sinusului unghiului opus catetei (BF). Prin urmare, pe baza celor de mai sus, pentru a calcula înălțimea trapezului, înmulțim valoarea laturii cunoscute și sinusul unghiului α. Sub formă de formulă, arată astfel:
4. În mod similar, se consideră cazul dacă se cunosc mărimea laturii și unghiul, să o notăm cu β, care se formează între această latură și baza mai mică. La rezolvarea unei astfel de probleme, unghiul dintre latura laterală cunoscută și înălțimea desenată va fi de 90 ° - β. Din proprietățile triunghiurilor - raportul dintre lungimea catetei și ipotenuza corespunde cosinusului unghiului situat între ele. Din această formulă este ușor de obținut valoarea înălțimii:
h = b *cos(β-90°)
5. Cum se află înălțimea unui trapez dacă se cunoaște doar raza cercului înscris? Din definiția unui cerc, atinge un punct pe fiecare bază. În plus, aceste puncte sunt pe aceeași linie cu centrul cercului. De aici rezultă că distanța dintre ele este diametrul și, în același timp, înălțimea trapezului. Arata asa:
6. Adesea există probleme în care este necesar să se găsească înălțimea unui trapez isoscel. Amintiți-vă că un trapez cu laturile egale se numește isoscel. Cum se află înălțimea unui trapez isoscel? Pentru diagonalele perpendiculare, înălțimea este jumătate din suma bazelor.
Dar dacă diagonalele nu sunt perpendiculare? Să considerăm un trapez isoscel ABCD. După proprietățile sale, bazele sunt paralele. De aici rezultă că unghiurile de la baze vor fi și ele egale. Să desenăm două înălțimi BF și CM. Pe baza celor de mai sus, se poate argumenta că triunghiurile ABF și DCM sunt egale, adică AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2. Acum, pe baza condiției problemei, vom determinați valorile cunoscute și abia atunci găsim înălțimea, ținând cont de toate proprietățile unui trapez isoscel.
Pentru a te simți încrezător și pentru a rezolva cu succes problemele din lecțiile de geometrie, nu este suficient să înveți formule. Ele trebuie înțelese mai întâi. Să-ți fie frică, și cu atât mai mult să urăști formulele, este neproductiv. În acest articol într-un limbaj simplu vor fi analizate diferite căi găsirea ariei unui trapez. Pentru o mai bună asimilare a regulilor și teoremelor corespunzătoare, vom acorda o oarecare atenție proprietăților sale. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți cum funcționează regulile și în ce cazuri trebuie aplicate anumite formule.
Definiți un trapez
Care este această cifră în general? Un trapez este un poligon cu patru unghiuri și două laturi paralele. Celelalte două laturi ale trapezului pot fi înclinate în unghiuri diferite. Laturile sale paralele se numesc baze, iar pentru laturile neparalele se folosește denumirea de „laturi” sau „șolduri”. Astfel de cifre sunt destul de comune în viata de zi cu zi. Contururile trapezului pot fi văzute în siluetele de îmbrăcăminte, articole de interior, mobilier, vase și multe altele. Se întâmplă trapezul tipuri diferite: versatil, isoscel și dreptunghiular. Vom analiza tipurile și proprietățile lor mai detaliat mai târziu în articol.
Proprietăți trapezoid
Să ne oprim pe scurt asupra proprietăților acestei figuri. Suma unghiurilor adiacente oricărei laturi este întotdeauna 180°. Trebuie remarcat faptul că toate unghiurile unui trapez se adună până la 360°. Trapezul are conceptul de linie mediană. Dacă conectați punctele medii ale laturilor cu un segment, aceasta va fi linia de mijloc. Este desemnat m. Linia de mijloc are proprietăți importante: este întotdeauna paralelă cu bazele (ne amintim că bazele sunt, de asemenea, paralele între ele) și egală cu jumătatea lor:
Această definiție trebuie învățată și înțeleasă, pentru că este cheia rezolvării multor probleme!
La trapez, puteți oricând să coborâți înălțimea până la bază. O altitudine este o perpendiculară, adesea notată cu simbolul h, care este trasată din orice punct de pe o bază la o altă bază sau prelungirea acesteia. Linia mediană și înălțimea vă vor ajuta să găsiți zona trapezului. Aceste sarcini sunt cele mai comune curs şcolar geometrie și apar în mod regulat printre lucrările de control și examen.
Cele mai simple formule pentru aria unui trapez
Să aruncăm o privire la cele două cele mai populare formule simple pentru a găsi aria unui trapez. Este suficient să înmulțiți înălțimea cu jumătate din suma bazelor pentru a găsi cu ușurință ceea ce căutați:
S = h*(a + b)/2.
În această formulă, a, b indică bazele trapezului, h - înălțimea. Pentru lizibilitate în acest articol, semnele de înmulțire sunt marcate cu simbolul (*) în formule, deși în cărțile oficiale de referință semnul de înmulțire este de obicei omis.
Luați în considerare un exemplu.
Dat: un trapez cu două baze egale cu 10 și 14 cm, înălțimea este de 7 cm. Care este aria trapezului?
Să analizăm soluția la această problemă. Folosind această formulă, mai întâi trebuie să găsiți jumătatea sumei bazelor: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Deci, jumătatea sumei este de 12 cm. Acum înmulțim jumătatea sumei cu înălțimea: 12 * 7 \u003d 84. Se găsește doritul. Răspuns: Aria unui trapez este de 84 de metri pătrați. cm.
A doua formulă binecunoscută spune: aria unui trapez este egală cu produsul liniei mediane și înălțimea trapezului. Adică rezultă de fapt din conceptul anterior al liniei de mijloc: S=m*h.
Utilizarea diagonalelor pentru calcule
Un alt mod de a găsi zona unui trapez nu este de fapt atât de greu. Este conectat cu diagonalele sale. Conform acestei formule, pentru a găsi aria, este necesar să înmulțiți semiprodusul diagonalelor sale (d 1 d 2) cu sinusul unghiului dintre ele:
S = ½ d 1 d 2 sin A.
Luați în considerare o problemă care arată aplicarea acestei metode. Dat: un trapez cu lungimea diagonală de 8, respectiv 13 cm.Unghiul a dintre diagonale este de 30°. Găsiți aria trapezului.
Soluţie. Folosind formula de mai sus, este ușor să calculați ceea ce este necesar. După cum știți, sin 30 ° este 0,5. Prin urmare, S = 8*13*0,5=52. Raspuns: Suprafata este de 52 de metri patrati. cm.
Căutând zona unui trapez isoscel
Un trapez poate fi isoscel (isoscel). Laturile sale sunt aceleași, iar unghiurile de la baze sunt egale, ceea ce este bine ilustrat în figură. Un trapez isoscel are aceleași proprietăți ca un trapez obișnuit, plus o serie de unele speciale. Un cerc poate fi circumscris în jurul unui trapez isoscel și un cerc poate fi înscris în el.
Care sunt metodele de calculare a suprafeței unei astfel de figuri? Metoda de mai jos va necesita o mulțime de calcule. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți valorile sinusului (sin) și cosinusului (cos) ale unghiului de la baza trapezului. Calculele lor necesită fie tabele Bradis, fie un calculator de inginerie. Iată formula:
S= c*păcat A*(A - c* cos A),
Unde Cu- laterala coapsei A- unghi la baza inferioară.
Un trapez isoscel are diagonale aceeasi lungime. Este adevărat și invers: dacă diagonalele unui trapez sunt egale, atunci acesta este isoscel. De aici următoarea formulă, ajutând la găsirea aria trapezului - semiprodusul dintre pătratul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele: S \u003d ½ d 2 sin A.
Găsirea ariei unui trapez dreptunghiular
Este cunoscut un caz special al unui trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, în care o parte (coapsa ei) se învecinează cu bazele în unghi drept. Are proprietățile unui trapez obișnuit. În plus, ea are o foarte caracteristică interesantă. Diferența pătratelor diagonalelor unui astfel de trapez este egală cu diferența pătratelor bazelor sale. Pentru aceasta, sunt folosite toate metodele date anterior pentru calcularea suprafeței.
Aplicarea ingeniozității
Există un truc care poate ajuta în caz de uitare de anumite formule. Să aruncăm o privire mai atentă la ce este un trapez. Dacă îl împărțim mental în părți, atunci vom obține forme geometrice familiare și ușor de înțeles: un pătrat sau un dreptunghi și un triunghi (unul sau două). Dacă cunoașteți înălțimea și laturile trapezului, puteți utiliza formulele pentru aria unui triunghi și dreptunghi, apoi puteți adăuga toate valorile obținute.
Să ilustrăm acest lucru cu următorul exemplu. Dat un trapez dreptunghiular. Unghiul C = 45°, unghiurile A, D sunt 90°. Baza superioară a trapezului este de 20 cm, înălțimea este de 16 cm. Este necesar să se calculeze aria figurii.
Această figură constă în mod evident dintr-un dreptunghi (dacă două unghiuri au 90°) și un triunghi. Deoarece trapezul este dreptunghiular, prin urmare, înălțimea lui este egală cu latura sa, adică 16 cm. Avem un dreptunghi cu laturile de 20, respectiv 16 cm. Să considerăm acum un triunghi al cărui unghi este de 45°. Știm că una dintre laturile sale are 16 cm. Deoarece această latură este și înălțimea trapezului (și știm că înălțimea cade pe bază în unghi drept), prin urmare, al doilea unghi al triunghiului este de 90 °. Prin urmare, unghiul rămas al triunghiului este de 45°. Ca rezultat, obținem un dreptunghiular triunghi isoscel care are aceleași două laturi. Aceasta înseamnă că cealaltă parte a triunghiului este egală cu înălțimea, adică 16 cm. Rămâne să calculați aria triunghiului și a dreptunghiului și să adăugați valorile rezultate.
Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor sale: S = (16*16)/2 = 128. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul dintre lățimea și lungimea acestuia: S = 20*16 = 320. Am găsit cel necesar: aria trapezului S = 128 + 320 = 448 sq. vezi. Vă puteți verifica cu ușurință folosind formulele de mai sus, răspunsul va fi identic.
Folosim formula Pick
În cele din urmă, vă prezentăm încă o formulă originală care ajută la găsirea ariei unui trapez. Se numește formula Pick. Este convenabil să îl utilizați atunci când trapezul este desenat pe hârtie în carouri. Sarcini similare se găsesc adesea în materialele GIA. Arata cam asa:
S \u003d M / 2 + N - 1,
în această formulă, M este numărul de noduri, adică intersecțiile liniilor figurii cu liniile celulei de pe marginile trapezului (puncte portocalii în figură), N este numărul de noduri din interiorul figurii (puncte albastre). Cel mai convenabil este să îl utilizați atunci când găsiți zona unui poligon neregulat. Cu toate acestea, cu cât arsenalul de tehnici utilizate este mai mare, cu atât mai puține erori și rezultate mai bune.
Desigur, informațiile oferite sunt departe de a epuiza tipurile și proprietățile unui trapez, precum și metodele de găsire a zonei acestuia. Acest articol oferă o prezentare generală a caracteristicilor sale cele mai importante. În rezolvarea problemelor geometrice, este important să acționați treptat, să începeți cu formule și probleme ușoare, să consolidați în mod constant înțelegerea și să treceți la un alt nivel de complexitate.
Adunate împreună, cele mai comune formule îi vor ajuta pe elevi să navigheze prin diferitele moduri de a calcula aria unui trapez și să se pregătească mai bine pentru teste și munca de control pe această temă.
