Nici o funcție pară, nici impară. Funcții pare și impare. Perioada de funcționare. Extreme ale funcției

Care, într-o măsură sau alta, vă erau familiare. De asemenea, s-a remarcat acolo că stocul de proprietăți funcționale va fi completat treptat. Două proprietăți noi vor fi discutate în această secțiune.

Definiția 1.

Funcția y \u003d f (x), x є X, este numită chiar dacă pentru orice valoare x din mulțimea X egalitatea f (-x) \u003d f (x) este adevărată.

Definiția 2.

Funcția y \u003d f (x), x є X, se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțimea X egalitatea f (-x) \u003d -f (x) este adevărată.

Demonstrați că y = x 4 este o funcție pară.

Decizie. Avem: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Dar (-x) 4 = x 4 . Prin urmare, pentru orice x, egalitatea f (-x) = f (x), i.e. funcția este egală.

În mod similar, se poate demonstra că funcțiile y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 sunt pare.

Demonstrați că y = x 3 ~ funcţie impară.

Decizie. Avem: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Dar (-x) 3 = -x 3 . Prin urmare, pentru orice x, egalitatea f (-x) \u003d -f (x), adică. functia este impara.

În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sunt impare.

Tu și cu mine ne-am convins în mod repetat că termenii noi din matematică au cel mai adesea o origine „pământească”, adică. ele pot fi explicate într-un fel. Acesta este cazul atât pentru funcțiile pare, cât și pentru cele impare. Vezi: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sunt funcții impare, în timp ce y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sunt funcții pare. Și, în general, pentru orice funcție de forma y \u003d x "(mai jos vom studia în mod specific aceste funcții), unde n este un număr natural, putem concluziona: dacă n nu este număr par, atunci funcția y \u003d x "este impară; dacă n este un număr par, atunci funcția y \u003d xn este par.

Există și funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel, de exemplu, este funcția y \u003d 2x + 3. Într-adevăr, f (1) \u003d 5 și f (-1) \u003d 1. După cum puteți vedea, aici, prin urmare, nici identitatea f (-x ) \u003d f ( x), nici identitatea f(-x) = -f(x).

Deci, o funcție poate fi pară, impară sau nici una.

Studiul întrebării dacă o funcție dată este pară sau impară se numește de obicei studiul funcției pentru paritate.

În definițiile 1 și 2 vorbim despre valorile funcției la punctele x și -x. Aceasta presupune că funcția este definită atât în ​​punctul x, cât și în punctul -x. Aceasta înseamnă că punctul -x aparține domeniului funcției în același timp cu punctul x. Dacă o mulțime numerică X împreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus -x, atunci X se numește mulțime simetrică. Să presupunem (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sunt mulțimi simetrice, în timp ce : fie X 1A;b, A X 2A;b .

Inapoi inainte

Atenţie! previzualizare diapozitivele au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

• pentru a forma conceptul de funcții pare și impare, pentru a preda capacitatea de a determina și de a utiliza aceste proprietăți când cercetarea funcţiei, complot;
• să dezvolte activitatea creativă a elevilor, gandire logica, capacitatea de a compara, de a generaliza;
• a cultiva hărnicia, cultura matematică; dezvolta abilitati de comunicare .

Echipament: instalare multimedia, tablă interactivă, fișe.

Forme de lucru: frontal şi grup cu elemente de căutare şi activităţi de cercetare.

Surse de informare:

1. Clasa de algebră 9 A.G. Mordkovich. Manual.
2. Algebră Clasa 9 A.G. Mordkovich. Caiet de sarcini.
3. Algebră clasa a 9-a. Sarcini de învățare și dezvoltare a elevilor. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Moment organizatoric

Stabilirea scopurilor și obiectivelor lecției.

2. Verificarea temelor

Nr. 10.17 (Cartea cu probleme clasa a IX-a A.G. Mordkovich).

A) la = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pentru X ~ 0,4
4. f(X) >0 la X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funcția crește cu X € [– 2; + ∞)
6. Funcția este limitată de jos.
7. la angajare = - 3, la naib nu există
8. Funcția este continuă.

(Ați folosit algoritmul de explorare a caracteristicilor?) Slide.

2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat pe diapozitiv.

Umple tabelul
	Domeniu	Zerourile funcției	Intervale de constanță		Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizare de cunoștințe

– Sunt date funcții.
– Specificați domeniul de definiție pentru fiecare funcție.
– Comparați valoarea fiecărei funcții pentru fiecare pereche de valori de argument: 1 și – 1; 2 și - 2.
– Pentru care dintre funcțiile date în domeniul definiției sunt egalitățile f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pune datele în tabel) Slide

		f(1) și f(– 1)	f(2) și f(– 2)	grafice	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		și nedefinită.

4. material nou

– Performant acest lucru, băieți, am dezvăluit încă o proprietate a funcției, necunoscută pentru voi, dar nu mai puțin importantă decât restul - aceasta este funcția pară și impară. Scrieți subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm cum să determinăm funcțiile pare și impare, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și a graficului.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide

Def. unu Funcţie la = f (X) definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X în curs egalitatea f (–x) = f (x). Dă exemple.

Def. 2 Funcţie y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este satisfăcută. Dă exemple.

Unde am întâlnit termenii „par” și „impar”?
Care dintre aceste funcții vor fi egale, crezi? De ce? Care sunt ciudate? De ce?
Pentru orice functie a formei la= x n, Unde n este un întreg, se poate argumenta că funcția este impară pentru n este impar și funcția este pară pentru n- chiar.
– Vizualizați funcțiile la= și la = 2X– 3 nu este nici par, nici impar, pentru că egalitățile nu sunt îndeplinite f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiul întrebării dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul unei funcții pentru paritate. Slide

Definițiile 1 și 2 s-au ocupat de valorile funcției la x și - x, astfel încât se presupune că funcția este definită și la valoarea X, și la - X.

AOD 3. Dacă o mulțime de numere împreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus x, atunci mulțimea X se numeste multime simetrica.

Exemple:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt nesimetrice.

– U chiar și funcții domeniul definiției este o mulțime simetrică? Cele ciudate?
- Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) este par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Dar este adevărată afirmația inversă, dacă domeniul unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
- Deci prezența unei mulțimi simetrice a domeniului definiției este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum putem investiga funcția pentru paritate? Să încercăm să scriem un algoritm.

Slide

Algoritm pentru examinarea unei funcții pentru paritate

1. Stabiliți dacă domeniul funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, mergeți la pasul 2 al algoritmului.

2. Scrie o expresie pentru f(–X).

3. Comparați f(–X).și f(X):

• dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
• dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
• dacă f(–X) ≠ f(X) și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.

Exemple:

Investigați funcția pentru paritate a) la= x 5 +; b) la= ; în) la= .

Decizie.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funcție h(x)= x 5 + impar.

b) y =,

la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), mulțime asimetrică, deci funcția nu este nici pară, nici impară.

în) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opțiunea 2

1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examinați funcția pentru paritate:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toți X, îndeplinind condiția X? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție uniformă.

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toate x care satisface x? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție impară.

Verificare reciprocă diapozitiv.

6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;

Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.

*** (Atribuirea opțiunii USE).

1. Funcția impară y \u003d f (x) este definită pe întreaga linie reală. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.

7. Rezumând