În urmă cu exact o sută de ani, la un seminar al Societății de Matematică din Göttingen, a fost prezentată o teoremă care a devenit în cele din urmă cel mai important instrument din fizica matematică și teoretică. Ea conectează fiecare simetrie continuă a unui sistem fizic cu o anumită lege de conservare (de exemplu, dacă procesele dintr-un sistem izolat de particule sunt invariante în raport cu deplasarea în timp, atunci legea de conservare a energiei este îndeplinită în acest sistem). Emmy Noether a dovedit această teoremă – iar acest rezultat, împreună cu cele mai importante lucrări de algebră abstractă care au urmat, le permite multora să o considere pe Noether cea mai mare femeie din istoria matematicii.
Asociații istorice
Pentru început, o mică, dar instructivă digresiune de la subiectul principal. În anii 60 ai secolului al XX-lea, la o întâlnire cu studenții Universității de Stat din Moscova, remarcabilul matematician moscovit Dmitri Evgenievici Menshov a vorbit despre Școala de Matematică din Moscova:
« În 1914 am intrat la Universitatea din Moscova. Nikolai Nikolaevici Luzin a fost atunci în străinătate. Dar a fost de acord cu Dmitri Fedorovich Yegorov că vor organiza un seminar pentru studenți. Și în 1914, Dmitri Fedorovich a organizat un astfel de seminar. A fost dedicat seriilor de numere. În anul următor, Nikolai Nikolaevici s-a întors la Moscova și a început să conducă el însuși seminarul. În 1915 am lucrat pe serii funcționale, iar în 1916 pe serii ortogonale.
Și apoi a venit anul nouă sute șaptesprezece. A fost un an foarte memorabil în viața noastră, în acel an a avut loc un eveniment important care ne-a influențat întreaga viață viitoare: am început să ne angajăm în serie trigonometrică... »
Deci, pentru Menshov, principalul eveniment din 1917 a fost trecerea la studiul serii trigonometrice! Nu e de mirare că uneori se susține că matematicienii au o percepție oarecum deosebită asupra lumii din jurul lor.
Profesorii celebrei facultăți de matematică a Universității din Göttingen ar fi putut caracteriza într-un mod similar ceea ce s-a întâmplat la sfârșitul lunii iulie 1918. Lumea din jurul lor se dărâma, deși poate că încă nu și-au dat seama. Pe frontul de vest, a doua bătălie de la Marne s-a încheiat fără glorie - ultima ofensivă majoră a armatelor Kaiserului, care a devenit preludiul înfrângerii Germaniei în Marele Război. Pe 16 iulie, la subsolul Casei Ipatiev, familia regală și micul lor alat au fost uciși. În acele zile fatidice, mai exact 23 iulie, participanții la seminarul Societății de Matematică Göttingen au auzit un raport despre o teoremă care s-a transformat în cele din urmă într-un instrument extrem de eficient al științei fundamentale. În toamnă, un text extins și revizuit al raportului a fost publicat în jurnal Nachrichten von der Könighche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Clasic. Acest articol, intitulat Invariante Variationsprobleme, a intrat în fondul de aur al fizicii matematice și teoretice (originalul în germană și traducerea în engleză sunt disponibile).
Autorul său nu avea atunci un statut formal în lumea academică germană. Deși Emmy Noether, în vârstă de 36 de ani, a reușit să-și susțină teza de doctorat și a publicat 12 lucrări originale, genul ei a blocat complet oportunitatea de a intra în cercurile universitare germane. În special, ea nu a putut (și nici în viitor nu a putut) să devină membră a Societății Regale Științifice din Göttingen, unde marele matematician Felix Klein și-a prezentat lucrările la trei zile după raport (este foarte posibil ca Emmy Noether să nu fi fost chiar prezent la această întâlnire). Și chiar mai târziu, deja în anii douăzeci, devenind un matematician de renume mondial, a fost nevoită să se mulțumească la Universitatea din Göttingen cu salarii obscen de mici și cu o poziție foarte modestă. Poate că acest lucru s-a datorat originii ei evreiești și opiniilor foarte de stânga.
Drum lung până în vârf
Marii matematicieni își arată de obicei abilitățile unice încă de la o vârstă fragedă. Cu toate acestea, nu există reguli fără excepții.
Emmy Noether (Amalie Emmy Noether) s-a născut pe 23 martie 1882 în orașul provincial bavarez Erlangen. Din 1743, a existat o „liberă” (adică nu asociată cu confesiunile religioase) Friedrich-Alexander University, una dintre cele trei din ceea ce era atunci Germania (celelalte două au fost înființate mai devreme la Halle și Göttingen). Ei predau bine acolo, dar profesorul lui nu se putea lăuda cu realizări științifice deosebite. Adevărat, în 1872–75, tânărul Felix Klein a lucrat la Erlangen. La preluarea mandatului, a ținut celebra prelegere „A Comparative Consideration of New Geometric Research”, care a schițat un plan pentru o reînnoire radicală a geometriei bazată pe algebra abstractă, inclusiv teoria grupurilor. Această prelegere, care a intrat în istoria științei sub numele de Programul Erlangen, s-a dovedit a fi o piatră de hotar importantă pentru dezvoltarea matematicii în a doua jumătate a secolului al XIX-lea. Cu toate acestea, Klein l-a schimbat pe Erlangen în Munchen trei ani mai târziu. După el, personalul Universității Friedrich-Alexander a fost format din matematicieni, deși buni, dar nu de prim rang. Unul dintre ei a fost tatăl lui Emmy, care a ocupat un post de profesor până în 1919. angajat fructuos în geometria algebrică, în anii 1870 a dovedit (singur sau în colaborare) mai multe teoreme foarte netriviale, dar apoi s-a dedicat doar predării. Acolo a ținut prelegeri și proeminentul algebriist Paul Gordan, care a jucat în cele din urmă un rol semnificativ în soarta fiicei colegului său.
Micuța Emmy a fost cel mai obișnuit copil - o fată dulce și deșteaptă, dar în niciun caz un copil minune. La șapte ani a intrat la gimnaziul feminin municipal, unde a studiat bine, dar nu cu brio. În aprilie 1900, ea a promovat examenele de stat, dând dreptul de a preda engleza și franceza în școlile de fete din Regatul Bavariei. Cu toate acestea, în loc să caute un loc ca profesor, a intrat la Universitatea din Erlangen ca voluntar, deoarece fetele nu erau acceptate în studenți cu drepturi depline atunci. În timpul iernii 1903-1904, ea a petrecut un semestru la Göttingen, unde a ascultat prelegeri ale unor vedete ale științei germane precum matematicienii Hermann Minkowski, Felix Klein și David Hilbert și astrofizicianul Karl Schwarzschild. La întoarcerea ei la Erlangen, în toamna anului 1904, și-a primit diploma universitară în matematică. Acest lucru i-a permis să-și continue studiile la Facultatea de Filosofie, unde în decembrie 1907, sub îndrumarea lui Gordan, și-a susținut teza de doctorat, ba chiar cu distincție – summa cum laude. În anul următor, disertația ei a apărut într-un foarte prestigios „Jurnal de matematică pură și aplicată” (Journal fur die reine und angewandte Matematică), mai cunoscută sub numele fondatorului său ca Crelle's Journal.A fost prima ei publicație științifică și un volum foarte solid - 68 de pagini (un rezumat de trei pagini al acestei lucrări a apărut puțin mai devreme în colecția de lucrări a Societatea Fizică și Medicală din Erlangen).
După apărarea ei, Emmy a rămas la Erlangen timp de șapte ani și jumătate, în rolul extrem de ambiguu al unui angajat neremunerat și șomer al Institutului de Matematică al universității. A îndrumat mai mulți doctoranzi, uneori și-a înlocuit tatăl ca lector și, bineînțeles, și-a făcut propriile cercetări. În 1909 a primit prima ei recunoaștere instituțională devenind membră a Societății Germane de Matematică.
Până în jurul anului 1911, Emmy Noether nu a părăsit, în general, cercul de probleme cu care s-a ocupat în pregătirea disertației. Ele se află în întregime în domeniul intereselor științifice ale lui Paul Gordan. Aceste probleme au necesitat calcule consumatoare de timp, dar ideologic nu au reprezentat nimic special. Mulți ani mai târziu, ea a vorbit despre ei fără cea mai mică reverență și chiar a recunoscut că a uitat complet aparatul formal pe care îl folosise cândva. Cu toate acestea, retrospectiv, este evident că experiența dobândită a ajutat foarte mult la demonstrarea ei grozavă teoremă.
Merită să insistăm asupra acestui lucru mai detaliat. Paul Gordan a lucrat la invarianții algebrici de la sfârșitul anilor 1860, devenind unul dintre experții de top în acest domeniu al matematicii. Din punct de vedere istoric, aceste studii se întorc la lucrările unor titani precum Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange și, mai ales, Carl Friedrich Gauss, care au ajuns la aceste probleme în cadrul teoriei numerelor. În această teorie, un rol semnificativ îl joacă așa-numitele forme algebrice - polinoame omogene de orice grad în două sau mai multe variabile. Cel mai simplu dintre ele în notație standard arată astfel:
Unde XȘi y- variabile independente, A, bȘi din- coeficienți constanți.
Aceasta este o formă binară pătratică, cu alte cuvinte, o formă de gradul doi în două variabile. Ternar (adică din trei variabile X, yȘi z) forma pătratică arată similar, doar mai lungă:
De exemplu, puteți scrie și forma cubică binară:
Alte exemple sunt probabil redundante.
Variabilele, oricâte sunt (adică oricare ar fi dimensiunea spațiului acestor variabile) pot fi supuse unei transformări liniare (trece la variabile noi care vor fi combinații liniare ale celor vechi). Din punct de vedere geometric, o astfel de transformare înseamnă o rotație a axelor de coordonate cu o modificare simultană a scării de lungime de-a lungul fiecărei axe. Când scrieți o formă în variabile noi, coeficienții acestuia, desigur, se schimbă. Totuși, și acesta este cel mai important, unele funcții ale acestor coeficienți fie își păstrează valoarea numerică, fie sunt înmulțite cu un factor comun, care depinde doar de transformarea specifică a variabilelor. Aceste funcții se numesc invarianți algebrici. Dacă factorul în cauză este egal cu unu, invariantul se numește absolut. Este ușor de arătat că invariantul (deși nu absolut) al unei forme pătratice binare este discriminantul său \(b^2-ac\), bine cunoscut din algebra școlară. Forma cubică binară are deja un număr de invarianți. Chiar și cel mai simplu dintre ele, găsit în 1844 de matematicianul german Ferdinand Eisenstein, este mult mai lung: \(3b^2c^2 + 6abcd-4b^3d-4ac^3-a^2d^2\).
Este clar că diferitele tipuri de forme algebrice au familii diferite de invarianți, uneori foarte numeroși. Timp de mulți ani, Gordan, care a fost numit regele teoriei invariante, a fost angajat în calculul lor timp de mulți ani. Tocmai o astfel de sarcină - de a găsi un set complet de invarianți ai unei forme biquadratice ternare - a propus-o singurului său doctorand, Emmy Noether. Ea a rezolvat-o cu brio, făcând o listă de până la trei sute treizeci și unu de invarianți! Probabil că era atât de obosită de această muncă, încât mulți ani mai târziu a descris-o ca o prostie - odată cu vârsta, a devenit foarte ascuțită pe limbă.
În 1910, Gordan a demisionat. Un an mai târziu, Ernst Fischer, un om de știință cu interese matematice mult mai moderne, i-a preluat scaunul. Comunicarea cu Fischer a făcut ca Emmy Noether să se familiarizeze mai ușor cu multe idei noi, în special cu lucrările în domeniul algebrei abstracte și al teoriei grupurilor continue. Astfel, aspirațiile ei științifice s-au apropiat de interesele lui David Hilbert și ale altor matematicieni din Goettingen, care au devenit serios interesați de munca ei. Și așa s-a întâmplat că, în primăvara anului 1915, Klein și Hilbert l-au invitat pe Noether să se mute la universitatea lor, în speranța că îi vor asigura postul de Privatdozent. Cu toate acestea, atunci nu a ieșit nimic din asta. În ciuda unui raport înaintat de reclamant în noiembrie 1915, lui Emmy Noether i s-a refuzat aprobarea de către Senatul Universității „pentru nerespectarea regulilor formale”. Aceasta a însemnat prevederea aprobată în 1908, conform căreia doar bărbații puteau fi Privatdozents. Apărătorii lui Emmy au făcut apel la ministrul culturii, dar acesta a refuzat să intervină. Potrivit unei legende populare, Hilbert le-a spus colegilor săi că nu înțelege de ce sexul candidatului ar putea fi un obstacol în calea ocuparii funcției de Privatdozent, deoarece universitatea nu este, până la urmă, o baie.
Chiar dacă a spus așa (nu există dovezi documentare pentru asta), retorica lui veninoasă nu a avut niciun efect. Încă trei ani, Emmy a lucrat de fapt ca asistent al lui Hilbert și uneori a ținut prelegeri în locul lui, dar, ca în Erlangen, doar despre drepturile păsărilor. Abia în 1919, deja în epoca Republicii Weimar, a devenit în sfârșit Privatdozent, iar patru ani mai târziu, universitatea a onorat-o cu titlul destul de ciudat de profesor extraordinar neoficial (nicht-beamteter ausserordentlicher Professor). Adevărat, acest titlu, ca și Privatdozentura, nu dădea dreptul la un salariu obișnuit. Cu toate acestea, Hilbert și o altă vedetă a matematicii de la Göttingen, Richard Courant, au reușit să-și ia cursurile de algebră la universitate, care erau încă plătite, deși foarte modest (200-400 de mărci pe lună), iar contractul ei necesita confirmarea anuală din partea Ministerului Prusac. de Știință, Arte și Iluminism. În această calitate, Emmy Noether a lucrat la Göttingen până în 1933. După ce Hitler a ajuns la putere, când oamenii de știință evrei au fost expulzați din universitățile germane, ea s-a mutat în Statele Unite.
Teoremă la comandă
La scurt timp după sosirea lui Emmy Noether la Göttingen, au avut loc evenimente care au devenit preludiul primei sale mari lucrări. În vara lui 1915, în șase prelegeri, Albert Einstein le-a prezentat colegilor de la Gottingen ideile de bază ale teoriei sale relativiste a gravitației (atunci încă nefinalizate, dar deja aproape de finalizare), cunoscută mai bine sub numele de teoria generală a relativității. Printre ascultători s-a numărat și Hilbert, care a devenit serios interesat de ideile lui Einstein. În noiembrie, Einstein a scris versiunea finală a ecuațiilor GR, despre care a raportat la patru întâlniri ale Academiei Prusace de Științe (vezi Centenarul GR sau Aniversarea „Revoluției din prima noiembrie”). Puțin mai târziu, Hilbert a rederivat aceste ecuații pe baza principiului acțiunii minime, despre care a relatat într-un articol publicat la sfârșitul lunii martie 1916. Această concluzie este mai elegantă decât concluzia originală a lui Einstein și apare pe bună dreptate în multe manuale, de exemplu, în Teoria câmpului a lui Landau și Lifshitz.
În cursul acestei lucrări, Hilbert a întâmpinat o problemă foarte serioasă. Și-a dat seama că noua teorie a gravitației forțează o privire diferită asupra vaca sacră a fizicii - legea conservării energiei. Teoria newtoniană a gravitației și electrodinamica Maxwelliană consideră energia ca fiind o mărime fizică măsurabilă care este definită în orice punct din spațiu și în orice moment în timp (sau în orice punct din spațiu-timp, pentru a folosi limbajul relativității speciale). În teoria lui Einstein, o astfel de interpretare întâmpină dificultăți, pe care Hilbert le-a observat.
Pentru început, o precizare. Gravitația newtoniană nu are o dinamică proprie, deoarece modificările câmpului gravitațional apar doar ca urmare a mișcărilor corpurilor care o creează. Câmpul electromagnetic, dimpotrivă, este dinamic în sine. Procesele ondulatorii care transferă energie sunt posibile în el. Cu toate acestea, fluxul total de energie al câmpului electromagnetic prin limitele oricărei zone închise a spațiului este egal cu rata de schimbare a energiei totale conținute în acest volum. Aceasta este legea conservării energiei electromagnetice într-o formă semnificativă din punct de vedere fizic.
Gravitația lui Einstein este o altă problemă. Spre deosebire de newtonian, este dinamic și în el, ca și într-un câmp electromagnetic, procesele ondulatorii sunt posibile. Cu toate acestea, dinamica sa este mult mai complexă. Ecuațiile GR pot fi scrise în sisteme arbitrare de coordonate spațiu-timp, între care sunt posibile transformări netede. Datorită unor astfel de transformări, este posibilă anularea mărimii câmpului gravitațional în orice punct ales arbitrar și vecinătatea sa infinit de mică. Din punct de vedere fizic, asta înseamnă că poți pune acolo un observator imaginar care nu va putea înregistra forța gravitației (acesta este principiul echivalenței lui Einstein). De aici rezultă că, în relativitatea generală, localizarea fără ambiguitate a energiei este imposibilă în principiu. Întrebarea ce să facă cu legea conservării ei l-a îngrijorat foarte mult pe Hilbert și i-a cerut lui Emmy Noether să se ocupe de asta. Această problemă a condus-o pe Noether la teorema ei.
Desigur, Hilbert nu a făcut o alegere de la zero. El știa cât de strălucit și-a demonstrat Noether darul ei matematic în calcularea invarianților algebrici. O analiză a condițiilor în care sunt îndeplinite legile conservării mărimilor fizice (în special, a energiei) a necesitat și lucrul cu invarianți, dar de alt fel - diferențiale (vezi: Invariant diferențial). Așadar, Hilbert, precum și Felix Klein, care era interesat de aceeași problemă, aveau toate motivele să se bazeze pe ajutorul fostului său elev.
Ea nu numai că a îndeplinit aceste așteptări, dar le-a depășit. Emmy Noether a început cel mai probabil misiunea Hilbert în toamna anului 1915. În cele din urmă, ea a obținut rezultate extrem de puternice, a căror sferă s-a dovedit a fi mult mai largă decât sfera de aplicare a problemei puse inițial de Hilbert. După cum sa dovedit, această zonă include nu numai relativitatea generală și alte teorii de câmp ale fizicii clasice, ci și teoriile câmpurilor cuantificate dezvoltate în a doua jumătate a secolului XX. Desigur, în 1918 pur și simplu nu exista niciun motiv să ne așteptăm la un asemenea succes.
În forma sa cea mai generală, esența teoremei lui Noether poate fi exprimată literalmente pe scurt. Studiind natura la un nivel fundamental, oamenii de știință caută să găsească acele caracteristici ale sistemelor fizice care rămân neschimbate în timpul proceselor în care sunt implicate aceste sisteme. De exemplu, planeta noastră se mișcă de-a lungul orbitei sale cu o viteză variabilă, dar un segment imaginar care o conectează cu Soarele acoperă zone egale în perioade egale de timp (a doua lege a lui Kepler). Sarcina electrică totală a unui sistem macroscopic izolat nu se modifică, indiferent ce transformări interne suferă; în același mod, sarcinile particulelor elementare diferă în constanță absolută. Din teorema lui Noether rezultă că însăși existența unor astfel de proprietăți conservate este direct legată de simetriile unei mărimi fizice fundamentale care determină dinamica sistemului. Cu alte cuvinte, legile de conservare se dovedesc a fi o consecință directă a prezenței anumitor simetrii. Această concluzie a devenit instrumentul cel mai universal pentru dezvăluirea unor astfel de legi în multe domenii ale fizicii, de la mecanica newtoniană până la modelul standard modern al particulelor elementare. În plus, poate fi numită una dintre cele mai frumoase perspective teoretice din întreaga istorie a științei.
Cantitatea tocmai discutată se numește acțiune. Forma sa specifică depinde de sistemul al cărui comportament îl descrie. În formă, este o integrală unidimensională sau multidimensională a unei funcționale la fel de fundamentale, Lagrangianul. În procesele fizice reale, acțiunea capătă o valoare extremă - cel mai adesea, atinge un minim. Această afirmație, numită nu foarte exact principiul celei mai mici acțiuni, permite utilizarea metodelor de calcul al variațiilor pentru a scrie ecuații care descriu dinamica sistemului.
După cum sa menționat deja, prin această metodă Hilbert a obținut ecuațiile GR într-un mod diferit decât a făcut-o Einstein. Desigur, mai întâi trebuia să determine cum arăta acțiunea și, în consecință, Lagrangianul în acest caz, în care a reușit (aproape simultan, derivarea ecuațiilor GR bazate pe principiul celei mai mici acțiuni a fost efectuată de Hendrik Anton Lorentz, iar în 1916 de către Einstein însuși). Fără a intra în detalii, observ că Hilbert Lagrangianul (acțiunea Einstein–Hilbert) depinde de componentele tensorului metric care determină deformarea continuumului spațiu-timp, care, conform GR, se manifestă ca o forță gravitațională.
Acum înapoi la Emmy Noether. Articolul ei implică matematică foarte înaltă, care nu poate fi descrisă în cuvinte. Tot ce poți face este să conturezi ideea generală. La fel ca Hilbert, ea a lucrat cu principiul celei mai mici acțiuni. A fost interesată de consecințele operațiilor matematice care transformă obiectele matematice implicate în calculul acțiunii, dar lasă valoarea numerică a acesteia neschimbată - sau, mai general, nu o schimbă prea mult (desigur, există o definiție matematică precisă). pentru acest „nu prea mult”). Aceasta înseamnă că astfel de operații lasă acțiunea invariabilă. Invarianța față de o anumită transformare, sau chiar de o întreagă clasă de transformări, se numește simetrie. Emmy Noether, în lucrarea ei, s-a întrebat la ce consecințe duce prezența anumitor simetrii într-o acțiune.
Ea a rezolvat această problemă într-o formă foarte generală, dar cu o limitare semnificativă. Transformările de simetrie pot fi fie continue, fie discrete. Exemple ale primelor sunt deplasările de-a lungul axelor de coordonate sau rotațiile prin unghiuri arbitrare. Transformările discrete, pe de altă parte, permit doar un număr finit sau, cel mult, un număr numărabil de modificări. De exemplu, un cerc rămâne neschimbat pentru orice rotație în jurul centrului său geometric și un pătrat - numai pentru rotațiile care sunt multipli de 90 de grade. În primul caz, avem de-a face cu simetrie continuă, în al doilea - cu discretă. Atât acele simetrii, cât și alte simetrii sunt descrise folosind teoria grupurilor, dar sunt aplicate diferite ramuri ale acesteia. Transformările discrete de interes pentru fizică folosesc teoria grupurilor cu un număr finit de elemente. Pentru a descrie simetriile continue, se folosesc grupuri infinite de un anumit tip, care sunt numite grupuri Lie în onoarea marelui matematician norvegian Sophus Lie. Emmy Noether a explorat legătura dintre legile de conservare și simetriile continue, așa că în lucrarea ei a folosit teoria grupurilor Lie. Este de remarcat faptul că simetriile discrete pot duce și la anumite legi de conservare, dar în acest caz teorema lui Noether este indispensabilă.
Până la începutul celui de-al doilea deceniu al secolului trecut, teoria grupurilor Lie a fost bine dezvoltată nu numai de Lie însuși, ci și de alți matematicieni, în primul rând germanul Wilhelm Killing și francezul Elie Cartan. Fizicienii de atunci practic nu erau familiarizați cu el, dar Emmy Noether a avut timpul și dorința să-l studieze înapoi în Ergangen. Acum a aplicat-o - și cu mare succes.
Emmy Noether a luat în considerare transformările de simetrie în care funcționează două tipuri de grupuri Lie. Într-un caz, fiecare transformare (adică fiecare element al grupului Lie) depinde de un număr finit (poate chiar numărabil) de parametri numerici. Elementele grupurilor Lie de al doilea tip, pe de altă parte, depind de unul sau altul de funcții arbitrare. De exemplu, rotațiile plane sunt definite de un parametru (unghiul de rotație), în timp ce rotațiile spațiale sunt definite de trei (fiecare dintre ele poate fi reprezentată ca o succesiune de rotații în jurul a trei axe de coordonate). Dimpotrivă, relativitatea generală a lui Einstein se bazează pe principiul covarianței complete a ecuațiilor, adică pe posibilitatea de a le scrie în orice sistem de coordonate cu patru dimensiuni (ceea ce înseamnă fizic capacitatea de a alege în mod arbitrar un sistem de referință local în orice punct din spațiu timp). Acesta este, de asemenea, un fel de simetrie, și este tocmai cea pe care Emmy Noether a atribuit-o celui de-al doilea tip.
În consecință, teorema lui Noether are două părți. În primul rând, ea a luat în considerare invarianța acțiunii în raport cu simetriile, care corespund transformărilor de grup de primul tip. S-a dovedit că o astfel de invarianță face posibilă notarea relațiilor matematice care pot fi interpretate ca legi de conservare pentru mărimile fizice care satisfac aceste simetrii. Și pentru a spune simplu, aceste legi sunt consecințe directe ale anumitor simetrii.
Aici sunt cateva exemple. Să luăm un sistem izolat (adică liber de influențe externe) de particule care se supun mecanicii newtoniene și teoriei newtoniene a gravitației (planetele care orbitează în jurul unei stele fixate condiționat pot acționa ca particule). Pentru un astfel de sistem, acțiunea este invariabilă în timpul decalajelor. Din teorema lui Noether rezultă că energia totală (cinetică și potențială) a particulelor nu depinde de timp, adică este conservată. În mod similar, invarianța sub deplasări arbitrare în spațiu înseamnă conservarea impulsului total, iar invarianța sub rotații înseamnă conservarea impulsului.
Desigur, aceste legi erau cunoscute înainte, dar natura lor a rămas misterioasă, dacă vrei, misterioasă. Teorema lui Noether a descoperit acest mister o dată pentru totdeauna, legând legile de conservare de simetriile spațiului și timpului.
Situația este similară pentru sistemele care sunt descrise de mecanica relativistă. Nu există timp și spațiu separat aici, acestea au fost înlocuite de un continuum spațiu-timp cu patru dimensiuni, cunoscut sub numele de spațiu Minkowski. Simetria maximă a unui astfel de spațiu-timp este dată de grupul Lie cu zece parametri cunoscut sub numele de grupul Poincaré. Are un subgrup de patru parametri, care corespunde deplasărilor în spațiul Minkowski. Invarianța acțiunii în raport cu aceste deplasări duce la conservarea unui vector cu patru dimensiuni, una dintre componentele căruia corespunde energiei și trei impulsului. Acest lucru implică faptul că, în fiecare cadru inerțial de referință, energia și impulsul sunt conservate (deși valorile lor numerice nu sunt aceleași în cadre diferite).
Toate aceste concluzii au fost evidente imediat după publicarea teoremei lui Noether. Iată un alt exemplu care a fost realizat când a fost construită electrodinamica cuantică. Până acum, am vorbit despre simetrii externe asociate nu cu sistemul fizic în sine, ci cu relațiile sale, ca să spunem așa, cu timpul și spațiul. Totuși, teorema lui Noether permite să se țină cont de simetriile interne, cu alte cuvinte, de simetriile câmpurilor fizice „înscrise” în lagrangian (pentru iubitorii de precizie, simetriile construcțiilor matematice reprezentând aceste câmpuri). Această posibilitate duce și la descoperirea diferitelor legi de conservare.
Să luăm Lagrangianul unui electron relativist liber, care ne permite să derivăm celebra ecuație a lui Dirac. Nu se modifică la o astfel de transformare a funcției de undă, care se reduce la înmulțirea sa cu un număr complex cu un modul unitar. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă o modificare a fazei funcției de undă cu o valoare constantă, independentă de coordonatele spațiu-timp (o astfel de simetrie se numește globală). Din punct de vedere geometric, această transformare este echivalentă cu o rotație plată printr-un unghi arbitrar, dar fix. Prin urmare, este descris de un grup Lie cu un parametru - așa-numitul grup U(1). În virtutea unei tradiții istorice care datează de la marele matematician și student al lui Hilbert Hermann Weil, aparține unui grup mare de simetrii numite gauge. Din teorema lui Noether rezultă că acest tip de simetrie globală a gabaritului implică conservarea sarcinii electrice. Nu este un rezultat slab și nicidecum banal!
A doua teoremă a lui Noether nu este atât de transparentă. Descrie situații în care transformările de simetrie care lasă invariantă acțiunea depind nu de parametri numerici, ci de unele funcții arbitrare. S-a dovedit că, în cazul general, o astfel de invarianță nu face posibilă formularea legilor de conservare pentru mărimi măsurabile fizic. În special, din a doua teoremă a lui Noether rezultă că în teoria relativității generale nu există legi universale de conservare a energiei, a impulsului și a momentului unghiular care ar avea un sens clar în regiunile fizic reale (adică nu infinit de mici) ale spațiu timp. Adevărat, există cazuri speciale când, în cadrul relativității generale, se poate pune corect problema conservării energiei. Totuși, în general, soluția acestei probleme depinde de ce anume se consideră energia câmpului gravitațional și în ce sens vorbim despre conservarea acestuia. Mai mult, nici energia totală a particulelor care se mișcă într-un spațiu cu câmp gravitațional dinamic (cu alte cuvinte, într-un spațiu cu metrică în schimbare) nu este conservată. Așadar, în Universul nostru în expansiune, fotonii radiațiilor relicve pierd continuu energie - acesta este un fenomen binecunoscut de deplasare cosmologică spre roșu.
Două destine
Articolul în Nachrichten a avansat semnificativ cariera științifică a lui Emmy Noether. Pe fondul slăbirii postbelice a șovinismului masculin, la 21 mai 1919, departamentul de filosofie al Universității din Göttingen a fost de acord să accepte această publicație ca disertație de calificare (Habilitare) necesară pentru obținerea postului de Privatdozent. O săptămână mai târziu, Noether a promovat examenul oral prescris, iar pe 4 iunie a susținut o prelegere test membrilor departamentului de matematică a facultății. Din semestrul de toamnă, a început să citească primul ei curs.
După aceasta, soarta teoremei lui Noether și a autorului ei s-a hotărât diferit. Emmy Noether nu s-a mai apucat niciodată de fizică, trecând complet la algebră abstractă. În această zonă în dezvoltare rapidă a matematicii, ea a primit rezultate fundamentale, în sensul deplin al cuvântului, în geometria algebrică și teoria inelelor. Puteți vorbi despre ele foarte mult timp, dar aceasta este o cu totul altă poveste.
Viața calmă și profesională a lui Emmy Noether din Göttingen a fost întreruptă odată cu apariția naziștilor. În aprilie 1933, Ministerul Științei, Artei și Educației i-a anulat permisiunea de a preda la Universitatea din Göttingen (aceeași decizie l-a lipsit pe Courant și pe unul dintre creatorii mecanicii cuantice, Max Born, de la funcțiile lor de profesor). Câteva luni mai târziu, Emmy Noether a emigrat în Statele Unite, unde, cu ajutorul Fundației Rockefeller, a primit un contract de invitată pentru a preda la Colegiul de elită pentru femei Bryn Mar din Pennsylvania. Din februarie 1934, ea a început să țină și prelegeri săptămânale în apropiere (dar nu la Universitatea Princeton, unde femeile nu erau admise deloc în acele vremuri). Vara, a plecat pentru scurt timp la Göttingen, profitând de statutul ei nou de om de știință străin, iar după aceea a părăsit Germania pentru totdeauna. Dar nu avea mult de trăit. Pe 14 aprilie 1935, Emmy Noether a murit din cauza complicațiilor unei operații chirurgicale - cel mai probabil din cauza unei infecții severe. Într-o scrisoare publicată pe 5 mai în The New York Times, Albert Einstein a remarcat: „În opinia celor mai competenți matematicieni vii, Fräulein Noether a fost cel mai important geniu creativ matematic produs până acum de când a început educația superioară a femeilor” („După cei mai competenți matematicieni moderni, Fraulein Noether a demonstrat în lucrarea sa de matematică un grad atât de înalt de geniu pe care nimeni nu l-a putut atinge de când femeile au câștigat dreptul la studii superioare”). Și cu nouă zile mai devreme, Hermann Weyl, într-o prelegere dedicată memoriei ei, a spus: „Ea a fost o mare matematiciană, cea mai mare... pe care sexul ei l-a produs vreodată și o femeie grozavă” („Era o femeie grozavă și, în același timp, cea mai mare femeie matematiciană”).
În timpul vieții și la scurt timp după moartea ei, Emmy Noether i-a adus un omagiu aproape exclusiv datorită studiilor sale algebrice. Oricât de ciudat ar părea acum, aproape nimeni nu a observat marea ei teoremă. Desigur, atât Hilbert, cât și Klein, care l-au prezentat Societății Regale, au apreciat foarte mult această lucrare, dar nu au mers mai departe de aceasta. Chiar și Hermann Weyl, care a făcut multă fizică teoretică și, în special, simetrie, nu a considerat necesar să o menționeze în monografia fundamentală „Teoria grupurilor și mecanica cuantică” publicată în 1928. Se pare că singura repetare scurtă a lucrării lui Emmy Noether în lucrările de matematică clasică din prima treime a secolului trecut poate fi găsită în celebra carte a lui Courant și Hilbert „Metode de fizică matematică”, care a fost publicată în primul editie din 1924.
Motivele acestei neglijențe pot fi discutate pe larg, dar aceasta este prea departe de subiectul principal. Oricum ar fi, până la jumătatea secolului al XX-lea, fizicienii aproape că nu s-au referit la lucrarea lui Noether, deși rezultatele acesteia nu erau doar suficient de cunoscute, ci și folosite de multe ori. În anii 1950, situația s-a schimbat. Acest lucru se datorează în primul rând interesului trezit față de rolul simetriilor în teoriile câmpului cuantic, care a urmat unei lucrări publicate în 1954 de Zhenning Yang și Robert Mills de la Brookhaven National Laboratory Conservarea spinului izotopic și a invarianței gauge izotopice. Co-autorii au „inventat” câmpurile cuantice numite după ele, pe baza simetriei gauge a spinului izotopic. Spre deosebire de simetrie, care asigură conservarea sarcinii electrice, aceasta nu a fost globală, ci locală - în sensul că parametrii transformărilor de grup în munca lor erau funcții de coordonate spațiale. Acesta este tipul de simetrie pe care Emmy Noether l-a considerat în a doua teoremă.
După cum se știe, dezvoltarea simetriilor locale de gabarit a făcut posibilă construirea modelului standard al particulelor elementare în anii 1970 - cea mai serioasă realizare a fizicii teoretice din a doua jumătate a secolului al XX-lea. Dar chiar și cu câteva decenii înainte de crearea sa, teorema lui Noether a început să fie citată în articole fizice și monografii. Acum munca ei este recunoscută ca un înalt clasic al științei.
În cele din urmă, aș dori să permit cititorului să obțină un gust al aplicării simetriilor luate în considerare de Emmy Noether în a doua teoremă folosind încă un exemplu. Să revenim la grupul de gabarit U(1), dar acum să facem rotația de fază o variabilă, o funcție a coordonatelor spațiu-timp. În acest caz, nu avem de-a face cu transformări globale, ci locale. Permiteți-mi să vă reamintesc că acesta este exact tipul de transformări de grup pe care le descrie a doua teoremă a lui Noether.
Lagrangianul Dirac în sine nu este invariant sub grupul local U(1) - prin urmare, nici acțiunea nu este invariabilă. Cu toate acestea, invarianța poate fi restabilită dacă la Lagrangian se adaugă un câmp de forță, care respectă și o anumită simetrie locală. Ca urmare a unei astfel de operațiuni, în Lagrangian apare automat un termen suplimentar, care descrie interacțiunea acestui câmp cu electronii. Câmpul în sine este o versiune cuantică a radiației electromagnetice. Deci, cerința unei simetrii locale U(1) pentru câmpul Dirac conduce automat la concluzia că electronii interacționează prin schimbul de quante de câmp electromagnetic, adică fotoni! Și ca bonus suplimentar, mai primim o declarație - aceste cuante au masă zero!
Această concluzie poate fi formulată diferit. Pentru existența invarianței locale față de grupul U(1), este necesar ca sarcina conservată să fie o sursă a unui câmp vectorial fără masă (fotonii sunt particule vectoriale, particule cu spin 1). Capacitatea unei sarcini electrice de a genera fotoni este proprietatea sa unică. Particulele elementare au și alte sarcini conservate (de exemplu, barion și lepton). Cu toate acestea, după cum reiese din datele experimentale, aceste încărcături nu generează câmpuri vectoriale fără masă - adică experimentul nu confirmă existența analogilor de barion și leptoni ai fotonilor. Doar simetriile globale U(1) mai degrabă decât cele locale corespund acestor taxe.
Acest exemplu nu este deloc unic. Simetriile celei de-a doua teoreme a lui Noether fac posibilă stabilirea corespondențelor fundamentale între proprietățile particulelor și câmpurile cu care aceste particule pot interacționa. Din nou - unde nu slab! Nu este o coincidență faptul că binecunoscutul fizician teoretic american, profesorul Anthony Zee de la Universitatea din California, a remarcat în monografia sa din 2016 „Teoria grupului într-o coajă de nucă pentru fizicieni” că, după toate probabilitățile, Emmy Noether este cea mai bună femeie fiziciană din care a trăit vreodată. această lumină ( „probabil cea mai profundă femeie fiziciană care a trăit vreodată”). Un rating atât de mare - și doar din cauza unui singur articol!
Și încă un detaliu curios. Ideea simetriei gabaritului a fost propusă pentru prima dată de Weyl în articolul Gravitație și electricitate, publicat la Berlin în 1918. Așadar, avem dreptul să sărbătorim aniversarea centenarului a două descoperiri majore în fizica teoretică deodată! Într-adevăr, zeii sunt milostivi cu marii oameni de știință.
Urmă rusească
Emmy Noether a avut mulți prieteni și admiratori în comunitatea matematică sovietică. În 1923, tinerii topologi geniali Pavel Aleksandrov și Pavel Uryson au venit la Göttingen de la Moscova, prin intermediul cărora Noether a stabilit contacte cu colegii ruși. În iarna 1928-1929, ea a predat un curs de algebră abstractă la Universitatea de Stat din Moscova și a condus un seminar de geometrie algebrică la Academia Comunistă. Când Noether a fost expulzat din Göttingen, Alexandrov a încercat să-i obțină o catedră de algebră la Universitatea de Stat din Moscova, dar nu a primit sprijinul Comisariatului Poporului pentru Educație. Dacă s-ar fi întâmplat altfel, ea ar fi putut crea o școală de algebriști de talie mondială la Moscova. Dar soarta ar fi putut decreta altfel. Fratele ei mai mic Fritz, un bun matematician aplicat, a plecat în URSS, unde a devenit profesor la Universitatea din Tomsk. La sfârşitul anului 1937 a fost arestat ca spion german iar la 10 septembrie 1941 a fost împuşcat la Orel.
Într-un fel, însă, legăturile lui Emmy Noether cu Rusia datează mult mai devreme. A fost invitată la Bryn Mar de decanul Departamentului de Matematică, Anna Johnson Pell Wheeler, care a studiat anterior la Göttingen. Merită să povestești despre această femeie mai detaliat, iar caracteristica principală va fi la sfârșit.
Născută Anna Johnson, fiica imigranților suedezi, ea aparținea aceleiași generații de oameni de știință ca Emmy Noether și avea practic aceeași vârstă cu ea. S-a născut în mai 1883 în Iowa. În 1899 a fost admisă la Universitatea din Dakota de Sud, unde a devenit unul dintre cei mai buni studenți. Anna a studiat excelent germană, franceză, latină, chimie, fizică și matematică, ceea ce s-a transformat în hobby-ul ei principal. Profesorul de matematică Alexander Pell a devenit interesat de fată, care a ghicit în ea o capacitate remarcabilă de gândire abstractă și a convins-o să-și continue educația matematică. În 1903, Anna s-a transferat la Universitatea din statul ei natal Iowa și un an mai târziu și-a susținut acolo teza de master în aplicarea teoriei grupurilor la ecuațiile diferențiale liniare. Pentru această muncă, ea a primit o bursă la celebrul colegiu pentru femei Radcliffe (Radcliffe College), iar în 1905 a obținut un alt master. Chiar și atunci, a fost considerată una dintre cele mai promițătoare femei matematiciene din America. În 1906, Anna a câștigat prestigioasa bursă Alice Freeman Palmer pentru absolvenții americani de facultate care doreau să-și continue educația în străinătate. Acest lucru i-a permis să petreacă un an la Universitatea din Göttingen, unde a studiat sub aceleași vedete ale științei germane ca (cu doi ani mai devreme) Emmy Noether. Mentorul ei principal a fost Hilbert, care a studiat apoi ecuațiile integrale și și-a infectat studentul american cu această pasiune. Ulterior, ea a lucrat în acest domeniu și în domeniul conex al analizei funcționale.
Alexander Pell a corespuns constant cu Anna și, în cele din urmă, a cerut-o în căsătorie. În vara anului 1907 a venit la Göttingen și s-au căsătorit. Acolo, Pell i-a întâlnit pe luminarii universității, în al căror cerc se învârtea mireasa lui. Cuplul s-a întors la Universitatea din Dakota de Sud, unde Anna a început să predea cursuri de ecuații diferențiale și teoria funcției. Și-a petrecut cea mai mare parte a anului 1908 din nou la Göttingen, după care a intrat la școala absolventă la Universitatea din Chicago. În 1910 și-a luat doctoratul și în 1911 a început să predea matematică la unul dintre colegiile locale.
Până atunci, Pell a ajuns și la Chicago, unde a primit un loc la Institutul Armor (acum -). În 1911, după ce a suferit un accident vascular cerebral, a încetat să predea și i-a predat cursurile Annei. Și-a înlocuit soțul până în 1913, când acesta s-a pensionat oficial. Cu toate acestea, Pell a continuat să scrie lucrări și să participe la întâlniri ale Societății Americane de Matematică (cel mai recent în 1919) și chiar a predat un curs semestrial la Universitatea Northwestern în timpul anului universitar 1915–16.
În 1918, Anna Pell a fost invitată la Bryn Mar, unde a devenit profesor și mai târziu decan al departamentului de matematică. Până atunci, ea intrase ferm în mica constelație de femei matematiciene cu o reputație internațională. Dar Pell nu a trăit ca să vadă asta: a murit pe 26 ianuarie 1921. În 1925, Anna s-a căsătorit cu profesorul de latină Arthur Wheeler, dar a rămas din nou văduvă în 1932. S-a pensionat în 1948, dar nu a încetat să urmeze literatura de matematică și să participe la seminarii. Ea a murit în martie 1966, la vârsta de 82 de ani. A fost înmormântată în cimitirul baptist de lângă mormântul primului ei soț. În timpul vieții ei, din fonduri proprii, Anna a înființat Bursa Alexander Pell pentru studenții talentați din punct de vedere matematic de la Universitatea din Dakota de Sud. Acest fond există și astăzi.
Yuri Davydov „Timpul surd al căderii frunzelor”). Oamenii care au rămas în libertate i-au permis lui Degaev să plece în America, unde a devenit Pell. În State, după multe nenorociri, a primit o educație matematică, a terminat studiile postuniversitare la Universitatea Johns Hopkins din Baltimore și, în cele din urmă, a primit o catedra în Dakota de Sud. Așadar, pentru dispozitivul lui Emmy Noether din SUA, demonul istoriei avea nevoie de geniul malefic al lui Narodnaya Volya pentru a se transforma într-un respectabil profesor american care a observat și a promovat un student talentat dintr-o provincie adâncă. Așa se întâmplă!
matematician german.
Ea a fost invitată David Gilbert pentru predarea și conducerea lucrărilor științifice la Universitatea din Göttingen.
« Emmy Noether avea puține în comun cu legendarul „matematician” Sofia Kovalevskaya care a fermecat chiar Weierstrass cu inteligenţa şi farmecul lui tineresc. Era complet lipsită de feminitate, atât ca aspect, cât și prin maniere. Chiar și astăzi, primul lucru pe care bărbații care o cunoșteau își amintesc este: „Avea o voce tare și neplăcută”, „Arăta ca o spălătorie energică și foarte miop”, „Hainele ei erau mereu largi”.
Toți citează cu încântare remarca delicată că „grațiile nu au stat la leagănul ei”.
Cu toate acestea, Emmy Noether era destinată să aibă o influență mult mai importantă asupra matematicii decât fermecătorul Sofia.
Chiar și la acel moment, ea avea deja cunoștințe solide despre unele dintre subiectele cerute de Hilbert și Klein pentru munca lor în teoria relativității. Amândoi au decis că ea ar trebui să rămână la Göttingen. Cu toate acestea, în ciuda faptului că Göttingen a fost prima universitate din Germania care a acordat o diplomă de doctorat unei femei, care a primit o abilitare (Termenul provine din latinescul „habilis” – capabil, apt și înseamnă obținerea dreptului de a deveni profesor universitar – Notă de I.L. Vikentiev) nu a fost o sarcină ușoară pentru ea.
Întreaga Facultate de Filosofie, care cuprindea, pe lângă reprezentanți ai științelor naturii și matematicii, și filozofi, filologi și istorici, a trebuit să participe la votul privind admiterea abilitarii. O opoziție deosebită a venit din partea non-matematică a facultății.
Obiecția lor formală s-a rezumat la următoarele: „Cum i se poate permite unei femei să devină Privatdozent? Devenită astfel, ea poate deveni apoi profesor și membru al senatului universitar. Se poate permite unei femei să intre în Senat? Obiecția informală a fost: „Ce vor crede soldații noștri când, înapoi la universitate, vor vedea că vor trebui să studieze la picioarele unei femei?”
Gilbert aceste argumente aminteau de cele pe care le-a auzit când a încercat să obțină disertația lui Grommer în fața acelorași membri ai facultății. „Dacă elevii fără diplomă de liceu scriu întotdeauna aceleași dizertații ca și Grommer”, a spus el atunci, „atunci va fi necesar să se aprobe o lege care interzice examenele finale”. Acum, cu aceeași sinceritate, el a răspuns obiecțiilor lor formale la adresa profesorului asociat Emmy Noether: „Meine Herren, nu văd de ce sexul candidatului ar trebui să fie un motiv împotriva acordării lui titlul de Privatdozent. La urma urmei, Senatul nu este o baie.”
Când, în ciuda unei asemenea obiecții, el încă nu a reusit sa obtina un premiu de abilitare Emmy Noether, a rezolvat în felul său problema conservării lui la Göttingen.
Prelegerile vor fi anunțate sub numele profesorului Hilbert și vor fi susținute de doamna Noether. Războiul a continuat”.
Constance Read, Gilbert, M., „Science”, 1977, p. 187-188.
În 1918, Emmy Noether a demonstrat o teoremă fundamentală în fizica teoretică care leagă legile de conservare cu simetria unui sistem, numită Teorema Noether.
„E. Teorema lui Noether afirmă că orice transformare continuă de coordonate într-un cadru de referință inerțial corespunde unei anumite mărimi conservate ( invariant). Deoarece transformarea luată în considerare este strâns legată de simetria ei a spațiului și timpului (spațiu omogen, spațiu izotrop și omogenitatea timpului), atunci fiecare proprietate a spațiului și timpului trebuie să corespundă propriei legi de conservare specifice, în conformitate cu mecanica clasică.
Cu omogenitatea spațiului, i.e. simetria legilor fizicii în raport cu deplasările spațiale ale originii, este asociată legea conservării impulsului. Cu izotropia spațiului, adică. cu echivalența tuturor direcțiilor spațiale și, în consecință, cu simetria față de rotația sistemului de coordonate în spațiu, se asociază legea conservării momentului unghiular.
Conceptul de omogenitate în timp (simetrie în raport cu decalările în timp) conduce la legea conservării energiei. Aceasta înseamnă că trecerea timpului în sine nu poate provoca o modificare a energiei unui sistem închis.
Semnificația practică a teoremei lui E. Noether nu se limitează la faptul că stabilește o legătură între legile de conservare clasice și tipurile de simetrie care au o natură geometrică.
Dacă există un alt tip de simetrie în sistemul fizic, de exemplu, dinamică (matematică), aceste simetrii prezic anumite legi de conservare, care au și funcția de a interzice fenomenele locale de auto-dezvoltare.
Balakshin O.B. , Armonia autodezvoltării în natură și societate: asemănări și analogii, M., Editura LKI, 2008, p. 112.
Emmy Noether a putut deveni Privatdozent în 1919 și profesor supranumerar în 1922.
În 1933, când naziștii au ajuns la putere în Germania, Emmy Noether mutat în SUA.
La aflarea morții ei, Albert Einstein a scris: „Cei mai mulți oameni își cheltuiesc toată puterea în lupta pentru pâinea lor zilnică. Chiar și mulți dintre cei pe care soarta sau vreun talent deosebit „i-a mântuit de nevoia de a duce această luptă, își dau cea mai mare parte a puterii înmulțirii bunurilor lumești și a averii lor.
În spatele unor astfel de eforturi îndreptate spre acumularea de tot felul de bunuri, există de foarte multe ori iluzia că acesta este scopul cel mai esențial și dezirabil către care ar trebui să ne străduim.
Din fericire, există o minoritate, formată din cei care și-au dat seama de la început că cele mai frumoase experiențe și cea mai mare satisfacție a omenirii nu vin din exterior, ci că sunt legate de dezvoltarea propriilor sentimente, gânduri și acțiuni ale fiecărui individ.
Artiștii, cercetătorii și gânditorii autentici au fost întotdeauna oameni de acest gen. Oricât de imperceptibil au trecut viețile acestor oameni, roadele eforturilor lor s-au dovedit a fi cea mai prețioasă contribuție la moștenirea pe care generația o lasă succesorilor săi.
În urmă cu câteva zile, la vârsta de cincizeci și trei de ani, eminentul profesor matematician Emmy Noether, odată afiliat la Universitatea din Göttingen și în ultimii doi ani la Colegiul Bryn Mawr. Conform opiniilor celor mai competenți matematicieni vii, Fraulein Emmy Noether a fost una dintre cele mai semnificative și mai creative genii matematice care au apărut de când femeile au început să primească studii superioare.
În domeniul algebrei, care a fost practicat de cei mai talentați matematicieni de secole, ea a descoperit metode care au avut un impact uriaș asupra dezvoltării generației actuale de tineri matematicieni. Matematica pură este un fel de poezie a logicii ideilor. Matematicienii încearcă să găsească cea mai generală idee a operației, care să permită, simplu, logic și uniform să acopere cea mai largă gamă posibilă de relații formale.
Albert Einstein, În memoria lui Emmy Noether / Colecție de lucrări științifice în 4 volume, Volumul 4, 1967, „Știința”, p.108.
General proprietăți ale spațiului și timpului:
1. Spațiul și timpul sunt obiective și reale, adică. nu depinde de conștiința și voința oamenilor.
2. Spațiul și timpul sunt forme universale, generale de existență a materiei. Nu există fenomene, evenimente ale obiectelor care ar exista în afara spațiului sau în afara timpului.
Proprietățile de bază ale spațiului:
1. Omogenitate - toate punctele spațiului au aceleași proprietăți, nu există puncte ale spațiului selectate, transferul paralel nu schimbă forma legilor naturii.
2. Izotropie - toate direcțiile din spațiu au aceleași proprietăți, nu există direcții selectate, iar întoarcerea prin orice unghi păstrează legile naturii neschimbate.
3. Continuitate – între două puncte diferite din spațiu, indiferent cât de apropiate ar fi acestea, există întotdeauna un al treilea.
4. Euclidianitatea este descrisă de geometria lui Euclid. Un semn al spațiului euclidian este posibilitatea de a construi în el coordonate dreptunghiulare carteziene. Dar conform relativității generale a lui Einstein, în prezența maselor gravitatoare în spațiu, spațiul devine curbat și devine non-euclidian.
5. Tridimensionalitate - fiecare punct al spațiului este determinat în mod unic de un set de trei numere reale de coordonate. Această poziție rezultă din legătura dintre structura spațiului și legea gravitației. (P. Ehrenfest în 1917 a investigat întrebarea de ce suntem capabili să percepem doar spațiul de trei dimensiuni. El a demonstrat că „legea pătratului invers”, conform căruia masele gravitaționale sau sarcinile electrice acționează unele asupra altora, se datorează faptului că tridimensionalitatea spațiului. În măsurătorile spațiului n, particulele punctuale ar interacționa conform legii gradului invers (n - 1). Prin urmare, pentru n \u003d 3, legea pătratului invers este valabilă, deoarece 3 - 1 \ u003d 2. El a arătat că, corespunzător legii cuburilor inverse, planetele s-ar mișca în spirale și ar cădea rapid pe Soare În atomi cu un număr de dimensiuni mai mare de trei, nu ar exista nici o orbită stabilă, adică ar fi să nu fie procese chimice în viață.
Proprietățile de bază ale timpului:
1. Omogenitate - orice fenomen care se produce în aceleași condiții, dar în momente diferite în timp, se desfășoară exact în același mod, după aceleași legi.
2. Continuitatea este atunci când între două momente în timp, indiferent cât de apropiate ar fi, un al treilea poate fi întotdeauna distins.
3. Unidirecționalitatea sau ireversibilitatea este o proprietate a timpului, care poate fi considerată o consecință a celei de-a doua legi a termodinamicii sau a legii creșterii entropiei. Toate schimbările din lume vin din trecut în viitor.
Aceste proprietăți ale spațiului și timpului sunt asociate cu principalele legi ale fizicii - legile conservării. Dacă proprietățile sistemului nu se modifică din transformarea variabilelor, atunci acesta corespunde unei anumite legi de conservare. Aceasta este una dintre expresiile esențiale ale simetriei în lume. Conform teoremei lui E. Noether, fiecare transformare de simetrie caracterizată printr-un parametru în continuă schimbare corespunde unei valori care se păstrează pentru un sistem cu această simetrie.
Din simetria legilor fizice cu privire la:
1) deplasarea unui sistem închis în spațiu (omogenitatea spațiului) urmează legea conservării impulsului;
2) rotația unui sistem închis în spațiu (izotropia spațiului) urmează legea conservării momentului unghiular;
3) modificările originii timpului (omogenitatea timpului) urmează legea conservării energiei.
Întrebări pentru repetiție și autocontrol
1. Care au fost ideile despre spațiu și timp în perioada pre-newtoniană?
2. Cum am interpretat I. Newton spațiul și timpul?
3. Ce idei despre spațiu și timp au devenit decisive în teoria relativității a lui A. Einstein?
4. Care sunt principalele proprietăți ale spațiului pe care le cunoașteți?
5. Care sunt principalele proprietăți ale timpului pe care le cunoașteți?
6. Formulați E. Teorema lui Noether?
Să formulăm și să demonstrăm exact teorema lui Noether.
Luați în considerare un sistem descris de funcția Lagrange
Forma ecuațiilor Lagrange-Euler obținute din principiul variațional cu o astfel de funcție Lagrange este invariantă la transformările formei, precum și la transformări mai generale.
inclusiv o modificare a variabilei independente. Cu toate acestea, forma specifică noii expresii pentru acțiune, ca funcțională a unor noi coordonate în funcție de noul timp, poate suferi orice modificări cu o astfel de modificare.
Teorema lui Noether este interesată doar în cazul în care nu apar astfel de modificări.
Folosind (4), obținem:
Să fie transformările astfel încât
acestea. formând un grup cu un parametru. Considerăm o transformare infinitezimală corespunzătoare unui parametru.
De fapt, variațiile coordonatelor generalizate care apar în timpul transformării considerate sunt diferența dintre valorile noilor coordonate la un moment dat al noului timp și valorile vechilor coordonate la momentul corespunzător al vechiului timp. , adică
Alături de acestea, este convenabil să se introducă variații ale formei
coordonate vs. timp care sunt diferite de zero, chiar dacă transformarea noastră afectează doar timpul, nu coordonatele.
Pentru orice funcție, relația este adevărată:
Apoi există o relație între cele două tipuri de variații introduse, care se poate obține astfel: scăderea ecuației (9) din (8), obținem:
sa tinem cont de asta
atunci noi avem:
Variațiile fără asteriscuri legate de aceeași valoare a argumentului sunt permutabile cu diferențierea în timp
în timp ce pentru variațiile cu asteriscuri acest lucru nu este, în general, adevărat.
Cele două tipuri corespunzătoare de variații pot fi introduse și pentru orice variabilă dinamică. De exemplu, pentru funcția Lagrange
unde include diferențierea atât în ceea ce privește intrarea în mod explicit a timpului, cât și în ceea ce privește timpul care intră implicit, prin coordonate și viteze.
Cerem acum ca integrala de acțiune să nu se schimbe în timpul transformării noastre - acesta este cazul excepțional cerut de condiția teoremei, i.e. asta a fost
Unde T" este același domeniu de integrare ca Tîn integrala a doua, dar exprimată în termeni de variabile noi. Apoi înlocuind (11) în (13), obținem
Exprimăm în (15) prin (11) și ținând cont de raport, trecând la integrare peste tîn loc de t", primim:
Dat fiind
Primim: (15)
Să găsim diferența
Înlocuind (17) în (16), obținem:
Sub semnul primei sume se află ecuația Lagrange, adică.
Într-un fel sau altul, toată lumea are o idee de simetrie. Această proprietate este deținută de o varietate de obiecte care joacă un rol important în viața de zi cu zi. Multe creații ale mâinilor umane primesc o formă simetrică atât din motive estetice, cât și practice. Poate cel mai simetric produs uman este mingea, care arată întotdeauna la fel, indiferent de cum o întorci. Simetria este larg răspândită în natură - forma hexagonală a fulgilor de zăpadă, diverse forme geometrice de cristale, aproximativ simetria în oglindă a corpului uman etc.
Este destul de dificil de dat o definiție generală a conceptului de „simetrie”. Simetria este adesea asociată cu frumusețea. „Simetric înseamnă ceva care are un raport bun de proporții, iar simetria este acel tip de consistență a părților individuale care le unește într-un întreg. Frumusețea este strâns legată de simetrie”, a scris G. Weil. În Concise Oxford Dictionary, simetria este definită ca „... frumusețe datorată proporționalității părților corpului sau a oricărui întreg, echilibru, asemănare, armonie, consistență”.
| Figura 5 - Exemple de simetrie în natură |
Simetria ocupă un loc important în științele naturii, ducând la numeroase simplificări ale imaginii lumii și la stabilirea unor asemănări între diferitele sale zone.
Simetrie(la fizica) - proprietatea mărimilor fizice de a rămâne neschimbate (invariante) sub anumite transformări. Aceste transformări se numesc operatii de simetrie .
Operațiile de simetrie includ, de exemplu, operația de reflexie într-o oglindă, deplasare, rotație. Simetria de forfecare este posedata de cristale, care se caracterizeaza printr-un aranjament regulat de particule cu repetare periodica in trei dimensiuni. Formele geometrice regulate au simetrie axială. Astfel, rotirea unui pătrat cu 90° în jurul unei axe care trece prin centrul său și perpendicular pe planul său aliniază pătratul cu el însuși.
Simetriile sunt împărțite în spațiu-timp (externe) și interne, descriind proprietățile particulelor elementare.
Spațiul și timpul sunt omogene, adică au simetrie de deplasare: transferul paralel al sistemului de coordonate și deplasarea originii timpului nu schimbă legile naturii. Izotropia spațiului înseamnă că are simetrie axială: rotația axelor de coordonate printr-un unghi arbitrar nu schimbă legile naturii.
În fizica modernă se găsește o anumită ierarhie a simetriilor. Simetriile de mai sus sunt valabile pentru orice interacțiune. Există simetrii care sunt valabile doar pentru interacțiunile puternice și electromagnetice; pentru interacțiunile slabe, aceste simetrii sunt încălcate. Astfel de simetrii includ, de exemplu, simetria în oglindă, conjugarea sarcinii, invarianța izotopică etc. Aceste simetrii sunt numite interne. Simetria oglinzii (inversarea spațiului, care constă în înlocuirea coordonatelor x,y,z pe - x,-y,-z) înseamnă că reflexia în oglindă nu schimbă legile fizice. Înlocuirea tuturor particulelor cu antiparticule se numește operația de conjugare a sarcinii, o astfel de operație de simetrie, de asemenea, nu modifică procesele de interacțiuni puternice și electromagnetice care apar în natură. Invarianța izotopică este asociată cu asemănarea protonului și neutronului (diferă doar prin prezența unei sarcini electrice pe proton, care nu afectează procesele nucleare).
În 1918 Amalie Emmy Noether a demonstrat teorema fundamentală, conform căreia existența oricărei simetrii particulare - în spațiu-timp, grade de libertate ale particulelor elementare și câmpuri fizice - conduce la legea conservării corespunzătoare, iar structura specifică a mărimii conservate rezultă din această teoremă. Legea conservării energiei decurge din invarianța față de deplasarea în timp; simetria față de deplasările spațiale implică legea conservării impulsului; din invarianța față de rotația spațială urmează legea conservării momentului unghiular. Legile fizice nu se schimbă în cadrul transformărilor Lorentz care relaționează valorile coordonatelor și timpului în diferite cadre de referință inerțiale (principiul relativității). Din principiul relativității urmează legea conservării vitezei centrului de masă al unui sistem izolat.
Existența simetriilor interne este asociată și cu anumite legi de conservare. Simetria în oglindă duce la conservarea unui număr cuantic special - paritatea, care ar trebui să fie atribuit fiecărei particule. Conservarea parității înseamnă invarianța naturii în ceea ce privește înlocuirea dreptei cu stânga și invers; După cum sa menționat deja, paritatea spațială nu este conservată în interacțiunile slabe. O transformare complexă care constă în inversarea simultană a spațiului și înlocuirea particulelor cu antiparticule se numește inversiune combinată. Legea de conservare a parității combinate este îndeplinită pentru orice interacțiune. Invarianța izotopică duce la conservarea spinului izotopic în interacțiuni puternice (interacțiunile slabe apar, de regulă, cu modificarea spinului izotopic). Există legi de conservare pentru sarcinile electrice, barionice și leptone care exprimă o simetrie specială a funcției de undă și așa mai departe. Conform ideilor moderne, sarcina electrică în toate transformările particulelor elementare trebuie întotdeauna păstrată. Încărcăturile barionului și leptonului pot să nu fie strict conservate, deși încălcări experimentale ale legii conservării acestor încărcături nu au fost încă descoperite. Nerespectarea uneia dintre legile de conservare înseamnă o încălcare în această interacțiune a tipului corespunzător de simetrie.
Legile de conservare sunt un instrument puternic de cercetare. Se întâmplă adesea ca soluția exactă a ecuațiilor de mișcare să fie foarte complicată sau forțele care acționează să fie necunoscute. Deoarece legile de conservare nu depind de natura forțelor care acționează, ele pot fi utilizate pentru a obține o serie de informații importante despre comportamentul sistemelor mecanice chiar și în cazurile în care forțele sunt necunoscute. Cu ajutorul legilor de conservare, au fost descoperite o serie de particule elementare. Deci, pentru ca legile conservării energiei și ale momentului unghiular să fie îndeplinite în procesul de dezintegrare β, W. Pauli a sugerat (1932) existența unei particule necunoscute la acel moment.
