Discriminantul, precum și ecuațiile pătratice, încep să fie studiate la cursul de algebră din clasa a VIII-a. Puteți rezolva o ecuație pătratică prin discriminant și folosind teorema Vieta. Metodologia studiului ecuații pătratice, precum și formulele discriminante, sunt insuflate mai degrabă fără succes școlarilor, ca multe lucruri din învățământul real. Prin urmare treci anii de scoala, pregătirea în clasele 9-11 înlocuiește „ educatie inalta"și toată lumea se uită din nou - „Cum se rezolvă o ecuație pătratică?”, „Cum se găsesc rădăcinile unei ecuații?”, „Cum se găsesc discriminantul?” Și...

Formula discriminantă

Discriminantul D al ecuației pătratice a*x^2+bx+c=0 este D=b^2–4*a*c.
Rădăcinile (soluțiile) ecuației pătratice depind de semnul discriminantului (D):
D>0 - ecuația are 2 rădăcini reale diferite;
D=0 - ecuația are 1 rădăcină (2 rădăcini coincide):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula de calcul a discriminantului este destul de simplă, așa că multe site-uri oferă un calculator discriminant online. Nu ne-am dat seama încă de acest tip de scripturi, așa că cine știe cum să implementeze acest lucru, vă rugăm să scrieți la e-mail Această adresă de e-mail este protejată de spamboți. Trebuie să aveți JavaScript activat pentru a vizualiza. .

Formula generală pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice:

Rădăcinile ecuației se găsesc prin formula
Dacă coeficientul variabilei din pătrat este pereche, atunci este recomandabil să se calculeze nu discriminantul, ci a patra parte a acestuia.
În astfel de cazuri, rădăcinile ecuației sunt găsite prin formula

Al doilea mod de a găsi rădăcini este Teorema lui Vieta.

Teorema este formulată nu numai pentru ecuații pătratice, ci și pentru polinoame. Puteți citi acest lucru pe Wikipedia sau alte resurse electronice. Cu toate acestea, pentru a simplifica, luați în considerare acea parte a acesteia care se referă la ecuațiile patratice reduse, adică ecuațiile de forma (a=1)
Esența formulelor Vieta este că suma rădăcinilor ecuației este egală cu coeficientul variabilei, luată cu semnul opus. Produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber. Formulele teoremei lui Vieta au o notație.
Derivarea formulei Vieta este destul de simplă. Să scriem ecuația pătratică în termeni de factori primi
După cum puteți vedea, totul ingenios este simplu în același timp. Este eficient să folosiți formula Vieta atunci când diferența dintre modulul rădăcinilor sau diferența dintre modulul rădăcinilor este 1, 2. De exemplu, următoarele ecuații, conform teoremei Vieta, au rădăcini




Analiza cu până la 4 ecuații ar trebui să arate așa. Produsul rădăcinilor ecuației este 6, deci rădăcinile pot fi valorile (1, 6) și (2, 3) sau perechi cu semnul opus. Suma rădăcinilor este 7 (coeficientul variabilei cu semnul opus). De aici concluzionăm că soluțiile ecuației pătratice sunt egale cu x=2; x=3.
Este mai ușor să selectezi rădăcinile ecuației dintre divizorii termenului liber, corectându-le semnul pentru a îndeplini formulele Vieta. La început, acest lucru pare dificil de realizat, dar cu exersarea unui număr de ecuații pătratice, această tehnică va fi mai eficientă decât calcularea discriminantului și găsirea rădăcinilor ecuației pătratice în mod clasic.
După cum puteți vedea, teoria școlii de a studia discriminanții și modalitățile de a găsi soluții la ecuație este lipsită de sens practic - „De ce au nevoie școlarii de o ecuație pătratică?”, „Care este sensul fizic al discriminantului?”.

Să încercăm să ne dăm seama ce descrie discriminantul?

În cursul algebrei, ei studiază funcții, scheme pentru studierea funcțiilor și trasarea funcțiilor. Dintre toate funcțiile, un loc important este ocupat de o parabolă, a cărei ecuație poate fi scrisă sub forma
Deci sensul fizic al ecuației pătratice este zerourile parabolei, adică punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa absciselor Ox
Vă rog să vă amintiți proprietățile parabolelor care sunt descrise mai jos. Va veni timpul să susțineți examene, teste sau examene de admitere și veți fi recunoscători pentru materialul de referință. Semnul variabilei din pătrat corespunde dacă ramurile parabolei de pe grafic vor urca (a>0),

sau o parabolă cu ramurile în jos (a<0) .

Vârful parabolei se află la jumătatea distanței dintre rădăcini

Sensul fizic al discriminantului:

Dacă discriminantul este mai mare decât zero (D>0), parabola are două puncte de intersecție cu axa Ox.
Dacă discriminantul este egal cu zero (D=0), atunci parabola din partea de sus atinge axa x.
Și ultimul caz când discriminantul mai putin de zero(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ecuații patratice incomplete

Dintre întregul curs al curriculumului școlar de algebră, una dintre cele mai voluminoase subiecte este tema ecuațiilor pătratice. În acest caz, o ecuație pătratică este înțeleasă ca o ecuație de forma ax 2 + bx + c \u003d 0, unde a ≠ 0 (se citește: o înmulțire cu x pătrat plus be x plus ce este egal cu zero, unde a nu este egal cu zero). În acest caz, locul principal este ocupat de formulele pentru găsirea discriminantului unei ecuații pătratice de tipul specificat, care este înțeleasă ca o expresie care vă permite să determinați prezența sau absența rădăcinilor într-o ecuație pătratică, precum și numărul acestora (dacă există).

Formula (ecuația) discriminantului unei ecuații pătratice

Formula general acceptată pentru discriminantul unei ecuații pătratice este următoarea: D \u003d b 2 - 4ac. Prin calcularea discriminantului folosind formula indicată, se poate determina nu numai prezența și numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice, ci și alegerea unei metode de găsire a acestor rădăcini, dintre care există mai multe, în funcție de tipul de ecuație pătratică.

Ce înseamnă dacă discriminantul este zero \ Formula rădăcinilor unei ecuații pătratice dacă discriminantul este zero

Discriminantul, după cum reiese din formulă, este notat cu litera latină D. În cazul în care discriminantul este zero, trebuie concluzionat că ecuația pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0 , are o singură rădăcină, care este calculată din formula simplificată. Această formulă se aplică numai atunci când discriminantul este zero și arată astfel: x = –b/2a, unde x este rădăcina ecuației pătratice, b și a sunt variabilele corespunzătoare ale ecuației pătratice. Pentru a găsi rădăcina unei ecuații pătratice, este necesar să împărțiți valoarea negativă a variabilei b la de două ori valoarea variabilei a. Expresia rezultată va fi soluția unei ecuații pătratice.

Rezolvarea unei ecuații pătratice prin discriminant

Dacă, la calcularea discriminantului folosind formula de mai sus, se obține o valoare pozitivă (D este mai mare decât zero), atunci ecuația pătratică are două rădăcini, care se calculează folosind următoarele formule: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. Cel mai adesea, discriminantul nu este calculat separat, dar expresia rădăcinii sub forma unei formule discriminante este pur și simplu substituită în valoarea D, din care este extrasă rădăcina. Dacă variabila b are o valoare pară, atunci pentru a calcula rădăcinile unei ecuații pătratice de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, puteți utiliza și următoarele formule: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, unde k = b/2.

În unele cazuri, pentru soluția practică a ecuațiilor pătratice, puteți folosi Teorema Vieta, care spune că pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice de forma x 2 + px + q \u003d 0, valoarea x 1 + x 2 \u003d -p va fi valid, iar pentru produsul rădăcinilor ecuației specificate - expresia x 1 xx 2 = q.

Poate discriminantul să fie mai mic decât zero?

La calcularea valorii discriminantului, se poate întâlni o situație care nu se încadrează în niciunul dintre cazurile descrise - când discriminantul are o valoare negativă (adică mai mică de zero). În acest caz, se consideră că ecuația pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, nu are rădăcini reale, prin urmare, soluția ei se va limita la calcularea discriminantului, iar formulele de mai sus pentru rădăcinile ecuației pătratice în acest caz nu se va aplica. În același timp, în răspunsul la ecuația pătratică, se scrie că „ecuația nu are rădăcini reale”.

Video explicativ:

Primul nivel

Ecuații cuadratice. Ghid cuprinzător (2019)

În termenul „ecuație pătratică” cuvântul cheie este „quadratic”. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să conțină în mod necesar o variabilă (același X) în pătrat și, în același timp, nu ar trebui să existe X-uri în gradul trei (sau mai mare).

Soluția multor ecuații se reduce la soluția ecuațiilor pătratice.

Să învățăm să determinăm că avem o ecuație pătratică și nu alta.

Exemplul 1

Scăpați de numitor și înmulțiți fiecare termen al ecuației cu

Să mutăm totul în partea stângă și să aranjam termenii în ordinea descrescătoare a puterilor lui x

Acum putem spune cu încredere că această ecuație este pătratică!

Exemplul 2

Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:

Această ecuație, deși a fost inițial în ea, nu este un pătrat!

Exemplul 3

Să înmulțim totul cu:

Infricosator? Gradul al patrulea și al doilea... Totuși, dacă facem o înlocuire, vom vedea că avem o ecuație pătratică simplă:

Exemplul 4

Se pare că este, dar să aruncăm o privire mai atentă. Să mutăm totul în partea stângă:

Vedeți, s-a micșorat - și acum este o simplă ecuație liniară!

Acum încercați să determinați singuri care dintre următoarele ecuații sunt pătratice și care nu:

Exemple:

Raspunsuri:

1. pătrat;
2. pătrat;
3. nu pătrat;
4. nu pătrat;
5. nu pătrat;
6. pătrat;
7. nu pătrat;
8. pătrat.

Matematicienii împart în mod condiționat toate ecuațiile pătratice în următoarele tipuri:

• Completează ecuațiile pătratice- ecuații în care coeficienții și, precum și termenul liber c, nu sunt egali cu zero (ca în exemplu). În plus, printre ecuațiile pătratice complete, există dat sunt ecuații în care coeficientul (ecuația din exemplul unu este nu numai completă, ci și redusă!)

• Ecuații patratice incomplete- ecuații în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

  Sunt incomplete deoarece lipsește un element din ele. Dar ecuația trebuie să conțină întotdeauna x pătrat !!! În caz contrar, nu va mai fi o ecuație pătratică, ci o altă ecuație.

De ce au venit cu o asemenea împărțire? S-ar părea că există un X pătrat, și bine. O astfel de împărțire se datorează metodelor de soluție. Să luăm în considerare fiecare dintre ele mai detaliat.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

În primul rând, să ne concentrăm pe rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mult mai simple!

Ecuațiile patratice incomplete sunt de tipuri:

1. , în această ecuație coeficientul este egal.
2. , în această ecuație termenul liber este egal cu.
3. , în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

1. i. Din moment ce știm să luăm rădăcina pătrată, să exprimăm din această ecuație

Expresia poate fi fie negativă, fie pozitivă. Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece la înmulțirea a două numere negative sau a două numere pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv, deci: dacă, atunci ecuația nu are soluții.

Și dacă, atunci obținem două rădăcini. Aceste formule nu trebuie memorate. Principalul lucru este că ar trebui să știți întotdeauna și să vă amintiți că nu poate fi mai puțin.

Să încercăm să rezolvăm câteva exemple.

Exemplul 5:

Rezolvați ecuația

Acum rămâne să extragi rădăcina din părțile din stânga și din dreapta. La urma urmei, îți amintești cum să extragi rădăcinile?

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!!!

Exemplul 6:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 7:

Rezolvați ecuația

Ai! Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini!

Pentru astfel de ecuații în care nu există rădăcini, matematicienii au venit cu o pictogramă specială - (set gol). Și răspunsul poate fi scris astfel:

Răspuns:

Astfel, această ecuație pătratică are două rădăcini. Nu există restricții aici, deoarece nu am extras rădăcina.
Exemplul 8:

Rezolvați ecuația

Să scoatem factorul comun din paranteze:

În acest fel,

Această ecuație are două rădăcini.

Răspuns:

Cel mai simplu tip de ecuații pătratice incomplete (deși toate sunt simple, nu?). Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Aici ne vom descurca fără exemple.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete

Vă reamintim că ecuația pătratică completă este o ecuație a ecuației de formă unde

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai complicată (doar puțin) decât cele date.

Tine minte, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind discriminantul! Chiar incomplet.

Restul metodelor te vor ajuta să o faci mai repede, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi stăpânește soluția folosind discriminantul.

1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind discriminantul.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este foarte simplă, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.

Dacă, atunci ecuația are o rădăcină.O atenție deosebită trebuie acordată pasului. Discriminantul () ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci formula de la pas se va reduce la. Astfel, ecuația va avea doar o rădăcină.
• Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina discriminantului la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.

Exemplul 9:

Rezolvați ecuația

Pasul 1 ocolire.

Pasul 2

Găsirea discriminantului:

Deci ecuația are două rădăcini.

Pasul 3

Răspuns:

Exemplul 10:

Rezolvați ecuația

Ecuația este în formă standard, deci Pasul 1 ocolire.

Pasul 2

Găsirea discriminantului:

Deci ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11:

Rezolvați ecuația

Ecuația este în formă standard, deci Pasul 1 ocolire.

Pasul 2

Găsirea discriminantului:

Aceasta înseamnă că nu vom putea extrage rădăcina din discriminant. Nu există rădăcini ale ecuației.

Acum știm cum să scriem corect astfel de răspunsuri.

Răspuns: fara radacini

2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema Vieta.

Dacă vă amintiți, atunci există un astfel de tip de ecuații care se numesc reduse (când coeficientul a este egal cu):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal.

Exemplul 12:

Rezolvați ecuația

Această ecuație este potrivită pentru rezolvare folosind teorema lui Vieta, deoarece .

Suma rădăcinilor ecuației este, i.e. obținem prima ecuație:

Iar produsul este:

Să creăm și să rezolvăm sistemul:

• Și. Suma este;
• Și. Suma este;
• Și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Răspuns: ; .

Exemplul 13:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 14:

Rezolvați ecuația

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Răspuns:

ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație pătratică?

Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde - necunoscut, - unele numere, de altfel.

Numărul se numește cel mai mare sau primul coeficient ecuație pătratică, - al doilea coeficient, dar - membru liber.

De ce? Pentru că dacă, ecuația va deveni imediat liniară, deoarece va disparea.

În acest caz, și poate fi egal cu zero. În această ecuație de scaun se numește incomplet. Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică, ecuația este completă.

Soluții la diferite tipuri de ecuații pătratice

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete:

Pentru început, vom analiza metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.

Se pot distinge următoarele tipuri de ecuații:

I. , în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

II. , în această ecuație coeficientul este egal.

III. , în această ecuație termenul liber este egal cu.

Acum luați în considerare soluția fiecăruia dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Un număr la pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțim două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:

dacă, atunci ecuația nu are soluții;

dacă avem două rădăcini

Aceste formule nu trebuie memorate. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!

Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini.

Pentru a scrie pe scurt că problema nu are soluții, folosim pictograma set goală.

Răspuns:

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Factorizăm partea stângă a ecuației și găsim rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice complete:

1. Discriminant

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind discriminantul! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina discriminantului în formula rădăcinii? Dar discriminantul poate fi negativ. Ce sa fac? Trebuie să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci ecuația are rădăcină:
• Dacă, atunci ecuația are aceeași rădăcină, dar de fapt, o rădăcină:

  Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.

• Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce există un număr diferit de rădăcini? Să ne întoarcem la semnificația geometrică a ecuației pătratice. Graficul funcției este o parabolă:

Într-un caz particular, care este o ecuație pătratică, . Și aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației pătratice sunt punctele de intersecție cu axa x (axa). Este posibil ca parabola să nu traverseze deloc axa sau o poate intersecta într-unul (când partea superioară a parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă - atunci în jos.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Răspuns: .

Răspuns:

Asta înseamnă că nu există soluții.

Răspuns: .

2. Teorema lui Vieta

Folosirea teoremei Vieta este foarte ușoară: trebuie doar să alegeți o pereche de numere al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus.

Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai la date ecuații pătratice ().

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul #1:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Această ecuație este potrivită pentru rezolvare folosind teorema lui Vieta, deoarece . Alți coeficienți: ; .

Suma rădăcinilor ecuației este:

Iar produsul este:

Să selectăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:

• Și. Suma este;
• Și. Suma este;
• Și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns: ; .

Exemplul #2:

Soluţie:

Selectăm astfel de perechi de numere care dau în produs și apoi verificăm dacă suma lor este egală:

si: da in total.

si: da in total. Pentru a-l obține, trebuie doar să schimbați semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, munca.

Răspuns:

Exemplul #3:

Soluţie:

Termenul liber al ecuației este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Deci suma rădăcinilor este diferențele modulelor lor.

Selectăm astfel de perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:

și: diferența lor este - nepotrivit;

și: - nu este adecvat;

și: - nu este adecvat;

şi: - potrivite. Rămâne doar să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, atunci rădăcina, care este mai mică în valoare absolută, trebuie să fie negativă: . Verificăm:

Răspuns:

Exemplul #4:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Termenul liber este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Selectăm astfel de perechi de numere al căror produs este egal și apoi determinăm care rădăcini ar trebui să aibă semn negativ:

Evident, numai rădăcini și sunt potrivite pentru prima condiție:

Răspuns:

Exemplul #5:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, înseamnă că ambele rădăcini sunt minus.

Selectăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal cu:

Evident, rădăcinile sunt numerele și.

Răspuns:

De acord, este foarte convenabil - să inventați rădăcinile oral, în loc să numărați acest discriminant urât. Încercați să utilizați teorema lui Vieta cât mai des posibil.

Dar teorema Vieta este necesară pentru a facilita și accelera găsirea rădăcinilor. Pentru a vă face profitabil să îl folosiți, trebuie să aduceți acțiunile la automatism. Și pentru asta, rezolvă încă cinci exemple. Dar nu înșela: nu poți folosi discriminantul! Doar teorema lui Vieta:

Soluții pentru sarcini pentru munca independentă:

Sarcina 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Conform teoremei lui Vieta:

Ca de obicei, începem selecția cu produsul:

Nu este potrivit pentru că suma;

: suma este ceea ce ai nevoie.

Răspuns: ; .

Sarcina 2.

Și din nou, teorema noastră preferată Vieta: suma ar trebui să funcționeze, dar produsul este egal.

Dar din moment ce nu ar trebui să fie, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).

Răspuns: ; .

Sarcina 3.

Hmm... Unde este?

Este necesar să transferați toți termenii într-o singură parte:

Suma rădăcinilor este egală cu produsul.

Da, oprește-te! Ecuația nu este dată. Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile date. Deci mai întâi trebuie să aduceți ecuația. Dacă nu o puteți aduce în discuție, renunțați la această idee și rezolvați-o într-un alt mod (de exemplu, prin discriminant). Permiteți-mi să vă reamintesc că a aduce o ecuație pătratică înseamnă a face coeficientul de conducere egal cu:

Amenda. Atunci suma rădăcinilor este egală, iar produsul.

Este mai ușor să ridici aici: până la urmă - un număr prim (scuze pentru tautologie).

Răspuns: ; .

Sarcina 4.

Termenul liber este negativ. Ce este atât de special? Și faptul că rădăcinile vor fi de semne diferite. Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența dintre modulele lor: această diferență este egală, ci produsul.

Deci, rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele este cu minus. Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică. Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.

Răspuns: ; .

Sarcina 5.

Ce trebuie făcut mai întâi? Așa este, dați ecuația:

Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie egală cu:

Rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele este minus. Care? Suma lor trebuie să fie egală, ceea ce înseamnă că cu un minus va exista o rădăcină mai mare.

Răspuns: ; .

Lasă-mă să rezum:

1. Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
2. Folosind teorema Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
3. Dacă ecuația nu este dată sau nu a fost găsită o pereche adecvată de factori ai termenului liber, atunci nu există rădăcini întregi și trebuie să o rezolvați în alt mod (de exemplu, prin discriminant).

3. Metoda de selecție a pătratului complet

Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați ca termeni din formulele de înmulțire prescurtată - pătratul sumei sau al diferenței - atunci după schimbarea variabilelor, ecuația poate fi reprezentată ca o ecuație pătratică incompletă de tip.

De exemplu:

Exemplul 1:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 2:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

În general, transformarea va arăta astfel:

Asta implică: .

Nu-ți aduce aminte de nimic? Este discriminatorul! Exact așa s-a obținut formula discriminantă.

ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Ecuație cuadratică este o ecuație de formă, unde este necunoscuta, sunt coeficienții ecuației pătratice, este termenul liber.

Ecuația pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuație pătratică redusă- o ecuaţie în care coeficientul, adică: .

Ecuație pătratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egale cu zero:

• dacă coeficientul, ecuația are forma: ,
• dacă este un termen liber, ecuația are forma: ,
• dacă și, ecuația are forma: .

1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

1.1. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Exprimați necunoscutul: ,

2) Verificați semnul expresiei:

• dacă, atunci ecuația nu are soluții,
• dacă, atunci ecuația are două rădăcini.

1.2. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să luăm factorul comun din paranteze: ,

2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină: .

2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde

2.1. Soluție folosind discriminantul

1) Să aducem ecuația la forma standard: ,

2) Calculați discriminantul folosind formula: , care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Aflați rădăcinile ecuației:

• dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
• dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
• dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

2.2. Rezolvare folosind teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (o ecuație de formă, unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , dar.

2.3. Soluție pătrat complet

De exemplu, pentru trinomul \(3x^2+2x-7\), discriminantul va fi \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Iar pentru trinomul \(x^2-5x+11\), acesta va fi egal cu \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Discriminantul este notat cu litera \(D\) și este adesea folosit la rezolvare. De asemenea, după valoarea discriminantului, puteți înțelege cum arată graficul (vezi mai jos).

Rădăcini discriminante și ecuație

Valoarea discriminantului arată valoarea ecuației pătratice:
- dacă \(D\) este pozitivă, ecuația va avea două rădăcini;
- dacă \(D\) este egal cu zero - doar o rădăcină;
- dacă \(D\) este negativ, nu există rădăcini.

Nu este necesar să învățați acest lucru, este ușor să ajungeți la o astfel de concluzie, știind pur și simplu că din discriminant (adică \(\sqrt(D)\) este inclus în formula de calcul a rădăcinilor ecuației: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) și \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\) Să ne uităm la fiecare caz mai detaliat.

Dacă discriminantul este pozitiv

În acest caz, rădăcina acestuia este un număr pozitiv, ceea ce înseamnă că \(x_(1)\) și \(x_(2)\) vor fi diferite ca valoare, deoarece în prima formulă \(\sqrt(D) \) se adaugă, iar în al doilea - se scade. Și avem două rădăcini diferite.

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(x^2+2x-3=0\)
Soluţie :

Răspuns : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Dacă discriminantul este zero

Și câte rădăcini vor fi dacă discriminantul este zero? Să raționăm.

Formulele rădăcinii arată astfel: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) și \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Și dacă discriminantul este zero, atunci rădăcina lui este și zero. Apoi se dovedește:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Adică, valorile rădăcinilor ecuației se vor potrivi, deoarece adăugarea sau scăderea zero nu schimbă nimic.

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(x^2-4x+4=0\)
Soluţie :

\(x^2-4x+4=0\)		Scriem coeficienții:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Calculați discriminantul folosind formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Găsirea rădăcinilor ecuației
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Avem două rădăcini identice, așa că nu are sens să le scriem separat - le scriem ca una singură.

Răspuns : \(x=2\)

Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! * Mai departe în textul „KU”. Prieteni, s-ar părea că la matematică poate fi mai ușor decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii oferă Yandex pe cerere pe lună. Iată ce s-a întâmplat, aruncați o privire:

Ce înseamnă? Asta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni pe lună caută această informație, iar aceasta este vară, și ce se va întâmpla în timpul anului școlar - vor fi de două ori mai multe solicitări. Acest lucru nu este surprinzător, pentru că acei băieți și fete care au absolvit de mult școala și se pregătesc de examen caută aceste informații, iar școlarii încearcă și ei să-și împrospăteze memoria.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care spun cum să rezolv această ecuație, am decis să contribu și eu și să public materialul. În primul rând, doresc ca vizitatorii să vină pe site-ul meu la această solicitare; în al doilea rând, în alte articole, când apare discursul „KU”, voi da un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de forma:

unde coeficienții a,bși cu numere arbitrare, cu a≠0.

ÎN curs şcolar materialul este dat în următoarea formă - împărțirea ecuațiilor în trei clase se face condiționat:

1. Au două rădăcini.

2. * Au o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Este demn de remarcat aici că nu au rădăcini reale

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:

Formulele rădăcinilor sunt următoarele:

*Aceste formule trebuie cunoscute pe de rost.

Puteți nota și rezolva imediat:

Exemplu:

1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

Cu această ocazie, când discriminantul este zero, cursul școlar spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Așa este, este, dar...

Această reprezentare este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, rezultă două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci două rădăcini ar trebui să fie scrise în răspuns:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică digresiune. La școală, poți scrie și spune că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina număr negativ nu este extras, deci nu există o soluție în acest caz.

Acesta este tot procesul de decizie.

Funcția pătratică.

Iată cum arată geometric soluția. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole, vom analiza în detaliu soluția unei inegalități pătratice).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c sunt numere date, unde a ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) sau niciunul (discriminantul este negativ). Detalii despre funcţie pătratică Puteți vizualiza articol de Inna Feldman.

Luați în considerare exemple:

Exemplul 1: Decide 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = -12

* Puteți împărți imediat părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificați-o. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Rezolva x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Avem că x 1 \u003d 11 și x 2 \u003d 11

În răspuns, este permis să scrieți x = 11.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Rezolva x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numerele complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică, acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Un pic de teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a+bi este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Obțineți două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Luați în considerare cazuri speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Se rezolvă cu ușurință, fără discriminare.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația ia forma:

Să transformăm:

Exemplu:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația ia forma:

Transformați, factorizați:

*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care permit rezolvarea ecuațiilor cu coeficienți mari.

darX 2 + bx+ c=0 egalitate

A + b+ c = 0, apoi

— dacă pentru coeficienții ecuației darX 2 + bx+ c=0 egalitate

A+ cu =b, apoi

Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.

Exemplul 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma coeficienților este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, deci

Exemplul 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Egalitate A+ cu =b, mijloace

Regularități ale coeficienților.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c \u003d 0 coeficientul „b” este (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 - bx + c \u003d 0, coeficientul „b” este (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în ecuaţie ax 2 + bx - c = 0 coeficient "b" este egal (a 2 – 1), și coeficientul „c” egal numeric cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 - bx - c \u003d 0, coeficientul „b” este egal cu (a 2 - 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez François Vieta. Folosind teorema lui Vieta, se poate exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În concluzie, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcinile. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, poți rezolva imediat multe ecuații pătratice oral.

În plus, teorema lui Vieta. convenabil deoarece după rezolvarea ecuației pătratice în mod obișnuit (prin discriminant), se pot verifica rădăcinile rezultate. Recomand să faci asta tot timpul.

METODA DE TRANSFER

Prin această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, parcă „transferat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda de transfer. Această metodă este folosită atunci când este ușor de găsit rădăcinile unei ecuații folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Dacă dar± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Conform teoremei Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Rădăcinile obținute ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Care este rațiunea? Vezi ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, atunci se obțin numai numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul de la x 2:

A doua rădăcină (modificată) este de 2 ori mai mare.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

*Dacă aruncăm trei de un fel, atunci împărțim rezultatul la 3 și așa mai departe.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp ur-ie și examenul.

Voi spune pe scurt despre importanța ei - TREBUIE SĂ POȚI DECIDE rapid și fără să stai pe gânduri, trebuie să cunoști pe de rost formulele rădăcinilor și discriminantului. Multe dintre sarcinile care fac parte din sarcinile USE se reduc la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv a celor geometrice).

Ce este de remarcat!

1. Forma ecuației poate fi „implicita”. De exemplu, următoarea intrare este posibilă:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.

Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că x este o valoare necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.