Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont Google (cont) și conectați-vă la el: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
Sfere descrise în jurul poliedrelor.
Definiție. Un poliedru se numește înscris într-o sferă (și sfera este circumscrisă unui poliedru) dacă toate vârfurile poliedrului aparțin acestei sfere. Consecinţă. Centrul sferei descrise este un punct echidistant de toate vârfurile poliedrului. O O O. ... ...
Teorema 1. Mulțimea punctelor echidistante de două puncte date este un plan perpendicular pe un segment cu capete în aceste puncte, care trece prin punctul său de mijloc (planul perpendicularelor pe acest segment). AB ┴ α AO = OB α A B O
Teorema 2. Mulțimea punctelor echidistante de n puncte date situate pe un cerc este o dreaptă perpendiculară pe planul acestor puncte și care trece prin centrul cercului circumscris lor. C E A B D O a. ... ... ... ... ... C E A B D. ... ... ... ...
O prismă înscrisă într-o sferă. OA = OB =… = OX = R sp. O 1. O. O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1. X 1. .A .B .C .D E. X. a a 1. O. O 1
Consecințe. 1) O sferă poate fi descrisă lângă o prismă triunghiulară dreaptă, deoarece puteți descrie oricând un cerc în jurul unui triunghi. 2) O sferă poate fi descrisă lângă orice prismă corectă, deoarece o prismă regulată este dreaptă și un cerc poate fi întotdeauna descris lângă un poliedru regulat. O. O. ...
Problema numarul 1. Bila este descrisă lângă o prismă, la baza căreia se află un triunghi dreptunghic cu catetele 6 și 8. Marginea laterală a prismei este 24. Aflați raza bilei. Dat: ∆ ABC - dreptunghiular; AC = 6, BC = 8, AA 1 = 24. Găsiți: R w =? Rezolvare: 1) OO 1 ┴AB 1; OO 1 = AA 1 = 24. 2) ABC: AB = 10. 3) O w OB: R w = O w B = √OO w 2 + OB 2 = = √144 + 25 = 13 Răspuns: 13. O 1 O.. ... R w O w S 1 B 1 A 1 A C B
Problema numarul 3. Dimensiunile paralelipipedului dreptunghiular sunt 2,3 și 5. Aflați raza sferei circumscrise. Dat: AB = a = 2; BC = b = 3; CC 1 = c = 5. Găsiți: R w =? Rezolvare: 1) AC 2 = a 2 + b 2 + c 2. 2) A 1 C 2 = 25 + 9 + 4 = 38 (Proprietatea diagonalelor unui paralelipiped dreptunghic) 3) A 1 C = √38; R w = O w C = √38 / 2 Răspuns: √38 / 2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3. ... ... Au
Problema numarul 3. Latura de bază a unei prisme triunghiulare regulate este a, iar marginea laterală este 2 a. Aflați raza sferei descrise. Dat: AB = BC = AC = a, AA 1 ┴ABC; AA 1 = 2a. Găsiți: R w =? Rezolvare: 1) AB = AO √3; AO = a / √3. 2) R w = √ a 2 + a 2/3 = 2a / √ 3 Răspuns: 2a / √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. O O 1
Consecințe. 1) O sferă poate fi întotdeauna descrisă lângă o piramidă triunghiulară, deoarece un cerc poate fi întotdeauna descris lângă un triunghi. 2) O sferă poate fi întotdeauna descrisă lângă o piramidă obișnuită. 3) Dacă marginile laterale ale piramidei sunt egale (la fel de înclinate față de bază), atunci o sferă poate fi întotdeauna descrisă lângă o astfel de piramidă. * În ultimele două cazuri, centrul sferei se află pe linia dreaptă care conține înălțimea piramidei. O. O.
Sarcini (sfera descrisă în jurul piramidei). În apropierea piramidei PABC este descrisă o minge, a cărei bază este un triunghi echilateral ABC cu latura 4√3. Muchia laterală PA este perpendiculară pe planul bazei piramidei și este egală cu 6. Aflați raza bilei. Dat: AB = BC = AC = 4 √3; PA ┴ (ABC); PA = 6. Găsiți: R w =? Rezolvare: 1) OO SF ┴ (ABC); O este centrul unui cerc circumscris în jurul ∆ABC; K O SF ┴ PA; KP = AK (KO SF Una dintre perpendicularele medii pe marginea laterală PA); O SF este centrul sferei descrise. 2) OO SF ┴ (ABC); OO SF aparține (AKO); PA ┴ (ABC); AK aparține (AKO); înseamnă KA || OO SF; ... O SF. O K. P. A. B. C
Sarcini (sfera descrisă în jurul piramidei). 3) KO c f ┴AP; KO c f aparține (AOK); AO ┴AP; AO aparține (AOK); înseamnă KO c ф || AO; 4) Din (2) și (3): AOO c ф K-dreptunghi, AK = PA / 2 = 3; 5) AO = AB / √3 = 4; 6) ∆ AO O c f: AO c f = R w = 5 Răspuns: 5
Sarcini (sfera descrisă în jurul piramidei). Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, nervura laterală este înclinată față de bază la un unghi de 45 ˚. Înălțimea piramidei este h. Aflați raza sferei circumscrise. Dat: PABCD - piramida regulata; (AP ^ (ABC)) = 45 ˚; PO = h. Găsiți: R w =? Rezolvare: 1) AO = OP = h; AP = h √ 2; 2) ∆PAP 1 - dreptunghiular; PP 1 este diametrul mingii; PP 1 = 2 Rw; AP 2 = PP 1 * OP; (h √ 2) 2 = 2 R w * h; Rw = 2h 2 / 2h = h. Răspuns: h. C. B A. .D .P .P 1. O
Sarcini (sfera descrisă în jurul piramidei). Pe cont propriu. Raza unei sfere circumscrise unui tetraedru regulat este R. Aflați suprafața totală a tetraedrului.
Sarcini (sfera descrisă în jurul piramidei). Pe cont propriu. Dat: DABC - tetraedru regulat; R este raza sferei. Găsiți: S full tetr. =? Rezolvare: 1) Întrucât tetraedrul este corect, centrul sferei descrise aparține dreptei care conține înălțimea piramidei; 2) S full tetr. = a 2 √ 3/4 * 4 = a 2 √ 3; 3) Punctele D, A, D 1 aparțin aceluiași cerc - secțiunea sferei după planul DAD 1, deci unghiul DAD 1 este unghiul înscris pe baza diametrului, DD 1; unghi DAD 1 = 90 ˚; 4) AO - înălțimea ∆ ADD 1, desenată din vârful unghiului drept. AD 2 = DO * DD 1; 5) AO = a / √ 3; DO = √ a 2 -a 2/3 = a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3 * 2R; a = √ 2 / √ 3 * 2R; a2 = 8R 2/3; .D 1 .D .O .B .C A. a a
Sarcini (sfera descrisă în jurul piramidei). Pe cont propriu. 6) S full tetr. = 8R 2 √ 3/3 Răspuns: 8R 2 √ 3/3
Tema „Diferite probleme pentru poliedre, cilindru, con și bilă” este una dintre cele mai dificile din cursul de geometrie de clasa a XI-a. Înainte de a rezolva probleme geometrice, ei studiază de obicei secțiunile relevante ale teoriei, la care se face referire atunci când rezolvă probleme. În manualul lui S. Atanasyan și colab.. Pe această temă (p. 138), se pot găsi doar definiții ale unui poliedru descris în jurul unei sfere, ale unui poliedru înscris într-o sferă, ale unei sfere înscrise într-un poliedru și ale unei sfere descrise. lângă un poliedru. Recomandările metodologice pentru acest manual (vezi cartea „Studiul geometriei în clasele 10-11” de S.M. Sahakyan și V.F.Butuzov, p. 159) spune ce combinații de corpuri sunt luate în considerare la rezolvarea problemelor nr. 629-646 și se atrage atenția. la faptul că „la rezolvarea unei anumite probleme, în primul rând, este necesar să se asigure că studenții au o idee bună despre aranjarea reciprocă a corpurilor indicate în condiție”. Următoarea este soluția problemelor nr. 638 (a) și nr. 640.
Ținând cont de toate cele de mai sus și de faptul că sarcinile cele mai dificile pentru elevi sunt problemele combinării unei mingi cu alte corpuri, este necesar să se sistematizeze prevederile teoretice corespunzătoare și să le comunice studenților.
Definiții.
1. O bilă se numește înscrisă într-un poliedru, iar un poliedru se numește circumscris unei bile dacă suprafața bilei atinge toate fețele poliedrului.
2. O bilă se numește circumscrisă în jurul unui poliedru, iar un poliedru se numește înscris într-o bilă dacă suprafața bilei trece prin toate vârfurile poliedrului.
3. O minge se numește înscrisă într-un cilindru, un trunchi de con (con), iar un cilindru, un trunchi de con (con), este descris lângă minge dacă suprafața mingii atinge bazele (baza) și toate generatricele de cilindrul, trunchi de con (con).
(Din aceasta definitie rezulta ca cercul mare al mingii poate fi inscris in orice sectiune axiala a acestor corpuri).
4. O minge se numește circumscrisă în jurul unui cilindru, trunchi de con (con), dacă cercurile de bază (cercul de bază și vârful) aparțin suprafeței bilei.
(Din această definiție rezultă că despre orice secțiune axială a acestor corpuri poate fi descrisă circumferința unui cerc mai mare al mingii).
Observații generale despre poziția centrului mingii.
1. Centrul unei bile înscrise într-un poliedru se află în punctul de intersecție al planurilor bisectoare ale tuturor unghiurilor diedrice ale poliedrului. Este situat doar în interiorul poliedrului.
2. Centrul bilei circumscris poliedrului se află la intersecția planurilor perpendiculare pe toate muchiile poliedrului și care trec prin punctele mijlocii ale acestora. Poate fi amplasat în interiorul, la suprafață și în exteriorul poliedrului.
Combinația unei bile cu o prismă.
1. O bilă înscrisă într-o prismă dreaptă.
Teorema 1. O bilă poate fi înscrisă într-o prismă dreaptă dacă și numai dacă un cerc poate fi înscris în baza prismei, iar înălțimea prismei este egală cu diametrul acestui cerc.
Corolarul 1. Centrul bilei înscris într-o prismă dreaptă se află la mijlocul înălțimii prismei care trece prin centrul cercului înscris în bază.
Corolarul 2. O minge, în special, poate fi înscrisă în linii drepte: triunghiulară, regulată, patruunghiulară (în care sumele laturilor opuse ale bazei sunt egale între ele), cu condiția H = 2r, unde H este înălțimea prismei , r este raza cercului înscris în bază.
2. O bilă circumscrisă în jurul unei prisme.
Teorema 2. O bilă poate fi descrisă în apropierea unei prisme dacă și numai dacă prisma este dreaptă și un cerc poate fi descris lângă baza ei.
Corolarul 1... Centrul bilei descris despre o prismă dreaptă se află la mijlocul înălțimii prismei trase prin centrul cercului descris despre bază.
Corolarul 2. Bila, în special, poate fi descrisă: lângă o prismă triunghiulară dreaptă, lângă o prismă regulată, lângă un paralelipiped dreptunghic, lângă o prismă dreptunghiulară, în care suma unghiurilor opuse ale bazei este de 180 de grade.
Din manualul lui L.S. Atanasyan despre combinarea unei mingi cu o prismă, se pot sugera problemele nr. 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b).
Combinația unei mingi cu o piramidă.
1. O minge descrisă în jurul unei piramide.
Teorema 3. O minge poate fi descrisă în apropierea unei piramide dacă și numai dacă un cerc poate fi descris lângă baza ei.
Corolarul 1. Centrul unei mingi circumscris în jurul unei piramide se află în punctul de intersecție al unei drepte perpendiculare pe baza piramidei care trece prin centrul cercului circumscris acestei baze și un plan perpendicular pe orice margine laterală trasată prin mijlocul această margine.
Corolarul 2. Dacă marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele (sau înclinate în mod egal față de planul bazei), atunci o minge poate fi descrisă în jurul unei astfel de piramide. Centrul acestei bile se află în acest caz în punctul de intersecție al înălțimea piramidei (sau continuarea acesteia) cu axa de simetrie a marginii laterale situată în nervura laterală plană și înălțimea.
Corolarul 3. Mingea, în special, poate fi descrisă: lângă o piramidă triunghiulară, lângă o piramidă obișnuită, lângă o piramidă patruunghiulară, în care suma unghiurilor opuse este de 180 de grade.
2. O minge înscrisă într-o piramidă.
Teorema 4. Dacă fețele laterale ale piramidei sunt înclinate în mod egal față de bază, atunci o minge poate fi înscrisă într-o astfel de piramidă.
Corolarul 1. Centrul unei bile înscrise într-o piramidă, ale cărei fețe laterale sunt înclinate egal față de bază, se află la intersecția înălțimii piramidei cu bisectoarea unghiului liniar al oricărui unghi diedric de la baza piramidei, a cărui latură. este înălțimea feței laterale desenată din vârful piramidei.
Corolarul 2. O minge poate fi înscrisă într-o piramidă obișnuită.
Din manualul lui L.S. Atanasyan despre combinarea unei mingi cu o piramidă, se pot sugera problemele nr. 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641.
Combinația unei mingi cu o piramidă trunchiată.
1. O bilă circumscrisă unei piramide trunchiate obișnuite.
Teorema 5. O sferă poate fi descrisă în jurul oricărei piramide trunchiate obișnuite. (Această condiție este suficientă, dar nu necesară)
2. O minge înscrisă într-o piramidă trunchiată obișnuită.
Teorema 6. O bilă poate fi înscrisă într-o piramidă trunchiată obișnuită dacă și numai dacă apotema piramidei este egală cu suma apotemelor bazelor.
Există o singură problemă pentru combinarea unei mingi cu o piramidă trunchiată în manualul lui L.S. Atanasyan (nr. 636).
O combinație de minge cu corpuri rotunde.
Teorema 7. O minge poate fi descrisă în jurul unui cilindru, a unui trunchi de con (circular drept) sau a unui con.
Teorema 8. O bilă poate fi înscrisă într-un cilindru (circular drept) dacă și numai dacă cilindrul este echilateral.
Teorema 9. O minge poate fi înscrisă în orice con (circular drept).
Teorema 10. O bilă poate fi înscrisă într-un trunchi de con (circular drept) dacă și numai dacă generatorul ei este egal cu suma razelor bazelor.
Din manualul lui L.S. Atanasyan, problemele № 642, 643, 644, 645, 646 pot fi propuse pentru combinarea unei mingi cu corpuri rotunde.
Pentru un studiu mai de succes al materialului pe această temă, este necesar să se includă sarcini orale în cursul lecțiilor:
1. Muchia cubului este egală cu a. Aflați razele bilelor: înscrise în cub și descrise în jurul acestuia. (r = a / 2, R = a3).
2. Se poate descrie o sferă (minge) în jurul: a) unui cub; b) paralelipiped dreptunghiular; c) un paralelipiped înclinat, la baza căruia se află un dreptunghi; d) un paralelipiped drept; e) un paralelipiped înclinat? (a) da; b) da; c) nu; d) nu; e) nu)
3. Este adevărat că o sferă poate fi descrisă în jurul oricărei piramide triunghiulare? (Da)
4. Este posibil să descriem o sferă în jurul oricărei piramide patrulatere? (Nu, nu în jurul vreunei piramide patruunghiulare)
5. Ce proprietăți ar trebui să aibă o piramidă pentru a descrie o sferă din jurul ei? (La baza sa ar trebui să existe un poligon, în jurul căruia poate fi descris un cerc)
6. În sferă este înscrisă o piramidă a cărei margine laterală este perpendiculară pe bază. Cum aflu centrul unei sfere? (Centrul sferei este punctul de intersecție a două locuri geometrice ale punctelor din spațiu. Prima este perpendiculara trasată pe planul bazei piramidei prin centrul cercului circumscris acesteia. Al doilea este planul perpendicular pe această margine laterală și tras prin mijloc)
7. În ce condiții poți descrie o sferă în jurul unei prisme, la baza căreia se află un trapez? (În primul rând, prisma trebuie să fie dreaptă și, în al doilea rând, trapezul trebuie să fie isoscel, astfel încât să poată fi descris un cerc în jurul său)
8. Ce condiții ar trebui să îndeplinească o prismă pentru a descrie o sferă din jurul ei? (Prisma trebuie să fie dreaptă, iar baza sa trebuie să fie un poligon, în jurul căruia poate fi descris un cerc)
9. O sferă este descrisă lângă o prismă triunghiulară, al cărei centru se află în afara prismei. Care triunghi este baza prismei? (triunghi obtuz)
10. Puteți descrie o sferă în jurul unei prisme înclinate? (Nu)
11. În ce condiție va fi situat centrul unei sfere descrise despre o prismă triunghiulară dreaptă pe una dintre fețele laterale ale prismei? (La bază este un triunghi dreptunghic)
12. Baza piramidei este un trapez isoscel.Proiecția ortogonală a vârfului piramidei pe planul bazei este un punct situat în afara trapezului. Este posibil să descrii o sferă în jurul unui astfel de trapez? (Da, poți. Faptul că proiecția ortogonală a vârfului piramidei este situată în afara bazei acesteia, nu contează. Este important ca la baza piramidei să se afle un trapez isoscel - un poligon în jurul căruia poate fi un cerc. descris)
13. Lângă piramida dreaptă este descrisă o sferă. Cum este situat centrul său în raport cu elementele piramidei? (Centrul sferei se află pe perpendiculara trasată pe planul bazei prin centrul acesteia)
14. În ce stare se află centrul unei sfere descrise despre o prismă triunghiulară dreaptă: a) în interiorul prismei; b) în afara prismei? (La baza prismei: a) un triunghi unghiular ascuțit; b) triunghi obtuz)
15. În jurul unui paralelipiped dreptunghiular este descrisă o sferă, ale cărui margini sunt egale cu 1 dm, 2 dm și 2 dm. Calculați raza sferei. (1,5 dm)
16. În ce trunchi de con poate fi înscrisă sfera? (Într-un trunchi de con, în a cărui secțiune axială poate fi înscris un cerc. Secțiunea axială a conului este un trapez isoscel, suma bazelor sale ar trebui să fie egală cu suma laturilor sale laterale. Cu alte cuvinte, suma razelor bazelor conului ar trebui să fie egală cu generatricea)
17. O sferă este înscrisă într-un trunchi de con. În ce unghi este vizibilă generatria conului din centrul sferei? (90 de grade)
18. Ce proprietate ar trebui să aibă o prismă dreaptă pentru a putea fi înscrisă în ea o sferă? (În primul rând, la baza unei prisme drepte ar trebui să existe un poligon în care să poată fi înscris un cerc și, în al doilea rând, înălțimea prismei ar trebui să fie egală cu diametrul cercului înscris la bază)
19. Dați un exemplu de piramidă în care nu poate fi înscrisă o sferă? (De exemplu, o piramidă patruunghiulară cu un dreptunghi sau un paralelogram la bază)
20. La baza prismei drepte se află un romb. Poate fi înscrisă o sferă în această prismă? (Nu, nu poți, deoarece în cazul general nu poți descrie un cerc în jurul unui romb)
21. În ce condiție poate fi înscrisă o sferă într-o prismă triunghiulară dreaptă? (Dacă înălțimea prismei este de două ori mai mare decât raza cercului înscris în bază)
22. În ce condiție poate fi înscrisă o sferă într-o piramidă trunchiată patruunghiulară obișnuită? (Dacă secțiunea unei piramide date printr-un plan care trece prin mijlocul laturii bazei perpendicular pe aceasta este un trapez isoscel în care poate fi înscris un cerc)
23. O sferă este înscrisă într-o piramidă trunchiată triunghiulară. Care punct al piramidei este centrul sferei? (Centrul sferei înscrise în această piramidă se află la intersecția a trei planuri bisectrale ale unghiurilor formate de fețele laterale ale piramidei cu baza)
24. Este posibil să descrii o sferă în jurul unui cilindru (circular dreapta)? (Da, poti)
25. Este posibil să descriem o sferă despre un con, un trunchi de con (circular drept)? (Da, poți, în ambele cazuri)
26. Poate fi înscrisă o sferă în orice cilindru? Ce proprietăți ar trebui să aibă un cilindru pentru a înscrie o sferă în el? (Nu, nu toate: secțiunea axială a cilindrului trebuie să fie pătrată)
27. Poate fi înscrisă o sferă în fiecare con? Cum se determină poziția centrului unei sfere înscrise într-un con? (Da, la oricare. Centrul sferei înscrise se află la intersecția înălțimii conului și bisectoarea unghiului de înclinare a generatricei față de planul bazei)
Autorul consideră că din cele trei lecții de planificare pe tema „Diferite probleme pentru poliedre, un cilindru, un con și o minge”, două lecții ar trebui să fie dedicate rezolvării problemelor care implică o combinație a unei mingi cu alte corpuri. Nu se recomandă demonstrarea teoremelor date mai sus din cauza timpului insuficient în lecții. Puteți invita studenți care posedă abilități suficiente pentru a le dovedi indicând (la discreția profesorului) cursul sau planul probei.
O minge poate fi descrisă în jurul unei piramide dacă și numai dacă un cerc poate fi descris în jurul bazei sale.
Pentru a construi centrul O al acestei mingi, aveți nevoie de:
1. Aflați centrul O, un cerc circumscris bazei.
2. Prin punctul O, trasați o dreaptă perpendiculară pe planul bazei.
3. Prin mijlocul oricărei margini laterale a piramidei trageți un plan perpendicular pe această margine.
4. Aflați punctul O al intersecției dreptei și planului construit.
Un caz special: marginile laterale ale piramidei sunt egale. Atunci:
mingea poate fi descrisă;
centrul O al mingii se află la înălțimea piramidei;
Unde este raza sferei descrise; - coasta laterala; H este înălțimea piramidei.
5.2. Bilă și prismă
O minge poate fi descrisă în apropierea prismei dacă și numai dacă prisma este dreaptă și un cerc poate fi descris în apropierea bazei sale.
Centrul mingii este punctul de mijloc al segmentului care leagă centrele cercurilor descrise lângă baze.
unde este raza sferei descrise; - raza circumscrisului în jurul bazei cercului; H este înălțimea prismei.
5.3. Bilă și cilindru
O minge poate fi întotdeauna descrisă în jurul unui cilindru. Centrul bilei este centrul de simetrie al secțiunii axiale a cilindrului.
5.4. Minge și con
O minge poate fi întotdeauna descrisă lângă un con. Centrul mingii; servește ca centru al unui cerc circumscris secțiunii axiale a conului.
În jurul unei sfere este descrisă o prismă pătrangulară regulată, al cărei volum este de 65 dm 3. Calculați raportul dintre suprafața totală a prismei și volumul mingii
O prismă se numește regulată dacă bazele sale sunt poligoane regulate, iar marginile laterale sunt perpendiculare pe bază. Un patrulater regulat este un pătrat. Punctul de intersecție al diagonalelor pătratului este centrul acestuia, precum și centrul cercului înscris. Să dovedim acest fapt. deși această dovadă este puțin probabil să fie cerută și poate fi omisă
Ca formă particulară a unui paralelogram, a unui dreptunghi și a unui romb, pătratul are proprietățile lor: diagonalele sunt egale și sunt împărțite la punctul de intersecție în jumătate și sunt bisectoarele colțurilor pătratului. Prin punctul E, trasați o dreaptă TK paralelă cu AB. AB este perpendicular pe BC, ceea ce înseamnă că TC este, de asemenea, perpendicular pe BC (dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe oricare a treia dreaptă, atunci a doua dreaptă paralelă este perpendiculară pe această (a treia) dreaptă). În același mod, vom trasa o linie dreaptă MR. Triunghiurile dreptunghiulare BET și AEK sunt egale ca ipotenuză și unghi ascuțit (BE = AE - jumătate din diagonale, ∠ EBT = ∠ EAK - jumătate din unghiul drept), deci ET = EK. Să demonstrăm în același mod că EM = EP. Și din egalitatea triunghiurilor CEP și CET (același semn), vedem că ET = EP, adică. ET = EP = EK = EM sau pur și simplu spuneți că punctul M este echidistant de laturile pătratului, iar aceasta este condiția necesară pentru a-l recunoaște ca centru al cercului înscris în acest pătrat.
Luați în considerare un dreptunghi AVTK (acest patrulater este un dreptunghi, deoarece toate colțurile din el sunt linii drepte prin construcție). Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt egale - AB = CT (trebuie remarcat că CT este diametrul bazei) - aceasta înseamnă că latura de bază este egală cu diametrul cercului înscris.
Să desenăm planele prin paralel (două drepte perpendiculare pe același plan, paralele) AA 1, CC 1 și BB 1 și respectiv DD 1 (liniile paralele definesc un singur plan). Planurile AA 1 C 1 C și BB 1 D 1 D sunt perpendiculare pe baza ABCD, deoarece trece prin drepte (coaste laterale) perpendicular pe acesta.
Din punctul H (intersecția diagonalelor) în planul AA 1 C 1 C perpendicular pe baza ABCD. Atunci vom proceda la fel și în planul BB 1 D 1 D. Din teoremă: dacă dintr-un punct aparținând unuia dintre cele două plane perpendiculare, se trage o perpendiculară pe celălalt plan, atunci această perpendiculară se află complet în primul plan, obținem că această perpendiculară ar trebui să se afle și în planul AA 1 C 1 C și în planul BB 1 D 1 D. Acest lucru este posibil numai dacă această perpendiculară coincide cu linia de intersecție a acestor plane - NU. Acestea. segmentul NU este o linie dreaptă pe care se află centrul cercului înscris (întrucât NU este echidistant de planurile fețelor laterale, iar aceasta decurge la rândul său din echidistanța punctelor E și H de la vârfurile bazelor corespunzătoare). (după cum s-a dovedit: punctul de intersecție al diagonalelor este echidistant față de laturile pătratului), dar din faptul că NU este perpendicular pe baze, putem concluziona că NU este diametrul bilei. Teorema. O bilă poate fi înscris într-o prismă regulată dacă și numai dacă înălțimea sa este egală cu diametrul unui cerc înscris în bază.bila, atunci înălțimea sa este egală cu diametrul cercului înscris în bază. A, iar înălțimea prismei este dincolo de h, atunci folosind această teoremă, concluzionăm A= h și apoi volumul prismei poate fi găsit astfel: 
În plus, folosind faptul că înălțimea este egală cu diametrul bilei înscrise și cu latura bazei prismei, găsim raza bilei și apoi volumul acesteia: 
Trebuie spus că marginile laterale sunt egale cu înălțimea (segmentele de linii drepte paralele închise între plane paralele sunt egale), iar întrucât înălțimea este egală cu latura bazei, atunci în general toate marginile prismei sunt egale între ele și toate fețele sunt în esență pătrate cu o zonă A 2. De fapt, o astfel de figură se numește cub - un caz special de paralelipiped. Rămâne să găsiți suprafața completă a cubului și să o raportați la volumul mingii: 
2. Partea bazei 
Sarcini
1. Aflați aria suprafeței unei prisme drepte, la baza căreia se află un romb cu diagonalele egale cu 3 și 4 și o margine laterală egală cu 5.
Raspuns: 62.
2. La baza unei prisme drepte se află un romb cu diagonalele egale cu 6 și 8. Suprafața sa este de 248. Aflați marginea laterală a acestei prisme.
Raspuns: 10.
3. Aflați marginea laterală a unei prisme pătraunghiulare regulate dacă laturile bazei sale sunt 3 și aria suprafeței este 66.
Raspuns: 4.
4. O prismă patruunghiulară obișnuită este descrisă în jurul unui cilindru a cărui rază de bază și înălțime sunt egale cu 2. Aflați aria suprafeței laterale a prismei.
Raspuns: 32.
5. O prismă patruunghiulară obișnuită este descrisă în jurul unui cilindru a cărui rază de bază este 2. Aria suprafeței laterale a prismei este de 48. Aflați înălțimea cilindrului.
Prismă dreaptă (hexagonală regulată)
O prismă în care marginile laterale sunt perpendiculare pe baze, iar bazele sunt pătrate egale.
1. Fețe laterale - dreptunghiuri egale
2. Partea bazei 
Sarcini
1. Aflați volumul unei prisme hexagonale regulate ale cărei laturi de bază sunt 1 și marginile laterale sunt egale.
Răspuns: 4.5.
2. Aflați aria suprafeței laterale a unei prisme hexagonale regulate ale cărei laturi de bază sunt 3 și înălțimea este 6.
Raspuns: 108.
3. Aflați volumul unei prisme hexagonale regulate cu toate muchiile egale cu √3.
Răspuns: 13.5
4. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 ale prismei hexagonale regulate ABCDEFA1B1C1D1E1F1, a cărei aria bazei este 6, iar marginea laterală este 2 .
Prismă dreaptă (arbitrară n-cărbune)
O prismă în care marginile laterale sunt perpendiculare pe baze, iar bazele sunt n-goni egale.
1. Dacă baza este un poligon regulat, atunci fețele laterale sunt dreptunghiuri egale.
2. Partea bazei 
.
Piramidă
O piramidă este un poliedru compus dintr-un n-gon A1A2 ... AnA1 și n triunghiuri (A1A2P, A1A3P etc.).
1. Secțiunea paralelă cu baza piramidei este un poligon asemănător bazei. Zonele de secțiune transversală și de bază sunt denumite pătratele distanțelor lor până la vârful piramidei.
2. O piramidă se numește regulată dacă baza ei este un poligon regulat, iar vârful este proiectat în centrul bazei.
3. Toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale, iar marginile laterale sunt triunghiuri isoscele egale.
4. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite se numește apotema.
5. Suprafața laterală a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei înmulțit cu apotema.
Sarcini
1. De câte ori va crește volumul unui tetraedru obișnuit dacă toate marginile sale sunt dublate?
Raspuns: 8.
2. Laturile bazei unei piramide hexagonale obișnuite sunt 10, marginile laterale sunt 13. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Raspuns: 360.
5. Aflați volumul piramidei prezentate în figură. Baza sa este un poligon, ale cărui laturi adiacente sunt perpendiculare, iar una dintre marginile laterale este perpendiculară pe planul bazei și este egală cu 3.
Raspuns: 27.
6. Aflați volumul unei piramide triunghiulare regulate cu laturile bazei egale cu 1 și înălțimea egală cu.
Răspuns: 0,25.
7. Marginile laterale ale piramidei triunghiulare sunt reciproc perpendiculare, fiecare dintre ele fiind egală cu 3. Aflați volumul piramidei.
Răspuns: 4.5.
8. Diagonala bazei unei piramide patrulatere regulate este 8. Muchia laterală este 5. Aflați volumul piramidei.
Raspuns: 32.
9. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, înălțimea este 12, volumul este 200. Aflați marginea laterală a piramidei.
Raspuns: 13.
10. Laturile bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt 6, marginile laterale sunt 5. Aflați aria suprafeței piramidei.
Raspuns: 84.
11. Volumul unei piramide hexagonale regulate 6. Latura bazei este 1. Aflați muchia laterală.
12. De câte ori va crește aria suprafeței unui tetraedru obișnuit dacă toate marginile sale sunt dublate?
Raspuns: 4.
13. Volumul unei piramide patruunghiulare obișnuite este 12. Aflați volumul piramidei tăiat din ea de planul care trece prin diagonala bazei și mijlocul muchiei laterale opuse.
Raspuns: 3.
14. De câte ori va scădea volumul unui octaedru dacă toate muchiile sale sunt reduse la jumătate?
Raspuns: 8.
15. Volumul unei piramide triunghiulare este 15. Planul trece prin latura bazei acestei piramide și intersectează marginea laterală opusă într-un punct care o împarte în raport de 1: 2, numărând din vârful piramidei. Găsiți cel mai mare dintre volumele piramidelor în care avionul împarte piramida originală.
Raspuns: 10.
16. Aflați înălțimea unei piramide triunghiulare regulate, ale cărei laturi ale bazei sunt 2, iar volumul este.
Raspuns: 3.
17. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, înălțimea este 6, marginea laterală este 10. Aflați volumul acesteia.
Răspuns: 256.
18. Dintr-o piramidă triunghiulară, al cărei volum este 12, o piramidă triunghiulară este tăiată de un plan care trece prin vârful piramidei și linia mediană a bazei. Aflați volumul piramidei triunghiulare tăiate.
Raspuns: 3.
Cilindru
Cilindru - un corp delimitat de o suprafață cilindrică și două cercuri cu limite.
| H |
| R |
| Volumul corpului | Suprafata laterala | Zona de bază | Suprafata totala |
 |  |  |  |
 |  |  |
1. Generatoare ale unui cilindru - segmente generatoare închise între baze.
2. Înălțimea cilindrului este lungimea generatricei.
3. Secțiune axială - un dreptunghi, dintre care două laturi sunt generatrice, iar celelalte două sunt diametrele bazelor cilindrului.
4. Secțiune circulară - o secțiune, al cărei plan de tăiere este perpendicular pe axa cilindrului.
5. Dezvoltarea suprafeței laterale a cilindrului - un dreptunghi reprezentând două margini tăiate ale suprafeței laterale a cilindrului de-a lungul generatricei.
6. Aria suprafeței laterale a cilindrului este aria măturarii acestuia.
7. Suprafața totală a unui cilindru se numește suma ariilor suprafeței laterale și a celor două baze.
8. O minge poate fi întotdeauna descrisă în jurul unui cilindru. Centrul său se află la mijlocul înălțimii. 
, unde R este raza sferei, r este raza bazei cilindrului, H este înălțimea cilindrului.
9. O bilă poate fi înscrisă într-un cilindru dacă diametrul bazei cilindrului este egal cu înălțimea acestuia, 
.
Sarcini
1. O parte este coborâtă într-un vas cilindric care conține 6 litri de apă. În același timp, nivelul lichidului din vas a crescut de 1,5 ori. Care este volumul piesei?
Raspuns: 3.
2. Aflați volumul unui cilindru a cărui zonă de bază este 1, iar generatoarea este 6 și este înclinată față de planul de bază la un unghi de 30o.
Raspuns: 3.
3. Cilindrul și conul au o bază și o înălțime comune. Aflați volumul cilindrului dacă volumul conului este 50.
Raspuns: 150.
4. Apa, care se afla într-un vas cilindric la nivelul de 12 cm, a fost turnată într-un vas cilindric, de două ori mai mare în diametru. La ce înălțime va fi nivelul apei în al doilea vas?
5. Aria secțiunii axiale a cilindrului este egală. Găsiți aria suprafeței laterale a cilindrului.
Raspuns: 2.
6. O prismă patruunghiulară obișnuită este descrisă în jurul unui cilindru a cărui rază de bază și înălțime sunt egale cu 2. Aflați aria suprafeței laterale a prismei.
Raspuns: 32.
7. Circumferința bazei cilindrului este 3. Aria suprafeței laterale este 6. Aflați înălțimea cilindrului.
8. Un cerc cilindric are de două ori înălțimea celui de-al doilea, dar al doilea este de o ori și jumătate mai lat. Aflați raportul dintre volumul celui de-al doilea cerc și volumul primului.
Răspuns: 1.125.
9. Intr-un vas cilindric nivelul lichidului ajunge la 18 cm.La ce inaltime va fi nivelul lichidului daca se toarna intr-un al doilea vas al carui diametru este de 3 ori pe primul?
Raspuns: 2.
Con
Un con este un corp delimitat de o suprafață conică și un cerc.
  |
| axa conului |
| R |
| vârf |
| generatoare |
| suprafata laterala |
| r |
| Volumul corpului | Suprafata laterala | Zona de bază | Suprafata totala |
 |  | |  |
 |  |
1. Zona suprafeței laterale a conului este zona măturarii acestuia.
2. Relația dintre unghiul de măturare și unghiul de la vârful secțiunii axiale 
.
1. Cilindrul și conul au o bază și o înălțime comune. Aflați volumul cilindrului dacă volumul conului este 50.
Raspuns: 150.
2. Aflați volumul unui con a cărui aria bazei este 2, iar generatoarea este 6 și este înclinată față de planul bazei la un unghi de 30o.
Raspuns: 2.
3. Volumul conului este de 12. Se trasează o secțiune paralelă cu baza conului, împărțind înălțimea la jumătate. Aflați volumul conului tăiat.
Răspuns: 1.5.
4. De câte ori este volumul unui con descris despre o piramidă patruunghiulară obișnuită mai mare decât volumul unui con înscris în această piramidă?
Raspuns: 2.
5. Înălțimea conului este 6, generatoarea este 10. Aflați volumul împărțit la.
Raspuns: 128.
6. Cilindrul și conul au o bază și o înălțime comune. Aflați volumul conului dacă volumul cilindrului este 48.
Raspuns: 16.
7. Diametrul bazei conului este de 6, iar unghiul de vârf al secțiunii axiale este de 90 °. Calculați volumul conului împărțit la.
8. Conul este descris despre o piramidă patruunghiulară regulată cu latura bazei de 4 și înălțimea de 6. Aflați volumul împărțit la.
9. Conul se obține prin rotirea unui triunghi dreptunghic isoscel în jurul catetei, egal cu 6. Aflați volumul împărțit la.
Sferă și minge
O sferă este o suprafață formată din toate punctele din spațiu situate la o distanță dată de un punct dat. O minge este un corp delimitat de o sferă.
1. O secțiune a unei sfere de către un plan este un cerc dacă distanța de la centrul sferei la plan este mai mică decât raza sferei.
2. Secțiunea unei sfere de către un plan este un cerc.
3. Planul tangent la sferă este un plan care are un singur punct comun cu sfera.
4. Raza sferei, trasă la punctul de tangență al sferei și al planului, este perpendiculară pe planul tangent.
5. Dacă raza sferei este perpendiculară pe planul care trece prin capătul său situat pe sferă, atunci acest plan este tangent la sferă.
6. Un poliedru se numește circumscris unei sfere dacă sfera atinge toate fețele sale.
7. Segmente de tangente la sferă, trase dintr-un punct, sunt egale și formează unghiuri egale cu o dreaptă care trece prin acest punct și centrul sferei.
8. O sferă este înscrisă într-o suprafață cilindrică dacă atinge toți generatorii săi.
9. O sferă este înscrisă într-o suprafață conică dacă atinge toți generatorii săi.
Sarcini
1. Razele celor două bile sunt 6 și 8. Aflați raza bilei a cărei suprafață este egală cu suma ariilor suprafețelor lor.
Raspuns: 10.
2. Aria cercului mare al mingii este 1. Aflați aria suprafeței mingii.
3. De câte ori va crește aria suprafeței sferei dacă raza ei este dublată?
4. Razele celor trei bile sunt egale cu 3, 4 și 5. Aflați raza bilei, al cărei volum este egal cu suma volumelor lor.
Raspuns: 6.
5. Un paralelipiped dreptunghiular este descris în jurul unei sfere cu raza 2. Găsiți-i aria suprafeței.
Raspuns: 96.
6. Cubul este înscris într-o bilă de rază. Găsiți aria suprafeței unui cub.
Raspuns: 24.
7. Un paralelipiped dreptunghiular este descris în jurul unei sfere cu raza 2. Aflați-i volumul.
8. Volumul paralelipipedului dreptunghiular circumscris sferei este de 216. Aflați raza sferei.
Raspuns: 3.
9. Aria suprafeței unui paralelipiped dreptunghiular, circumscris unei sfere, este egală cu 96. Aflați raza sferei.
Raspuns: 2.
10. Un cilindru este descris lângă minge, a cărui suprafață laterală este de 9. Găsiți suprafața mingii.
Raspuns: 9.
11. De câte ori este descrisă aria suprafeței unei bile despre un cub mai mult decât aria unei bile înscrise în același cub?
Raspuns: 3.
12. Cubul este înscris într-o bilă de rază. Aflați volumul cubului.
Raspuns: 8.
Poliedre compozite
Sarcini
1. Figura prezintă un poliedru, toate unghiurile diedrice ale unui poliedru sunt drepte. Aflați distanța dintre vârfurile A și C2.
Raspuns: 3.
2. Găsiți colțul CAD2 al poliedrului prezentat în figură. Toate unghiurile diedrice ale unui poliedru sunt drepte. Dați răspunsul în grade.
Raspuns: 60.
3. Găsiți aria suprafeței poliedrului prezentat în figură (toate unghiurile diedrice sunt drepte).
Raspuns: 18.
4. Găsiți aria suprafeței poliedrului prezentat în figură (toate unghiurile diedrice sunt drepte).
Raspuns: 132
5. Găsiți aria suprafeței crucii spațiale prezentate în figură și formată din cuburi de unitate.
Raspuns: 30
6. Aflați volumul poliedrului prezentat în figură (toate unghiurile diedrice sunt drepte).
Raspuns: 8
7. Aflați volumul poliedrului prezentat în figură (toate unghiurile diedrice sunt drepte).
Raspuns: 78
8. Figura prezintă un poliedru, toate unghiurile diedrice ale unui poliedru sunt drepte. Aflați tangenta unghiului ABB3.
Raspuns: 2
10. Figura prezintă un poliedru, toate unghiurile diedrice ale unui poliedru sunt drepte. Aflați tangenta unghiului C3D3B3.
Raspuns: 3
11. Prin linia mediană a bazei prismei triunghiulare se trasează un plan paralel cu nervura laterală. Aflați aria suprafeței laterale a prismei dacă aria suprafeței laterale a prismei triunghiulare trunchiate este 37.
Raspuns: 74.
12. Figura prezintă un poliedru, toate unghiurile diedrice ale unui poliedru sunt drepte. Aflați pătratul distanței dintre B2 și D3.
Raspuns: 11.
