Acasă Fructe de pădure Înmulțirea, împărțirea și anularea fracțiilor algebrice. Lecția "Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice. Ridicarea unei fracții algebrice la putere"

Fructe de pădure

Înmulțirea, împărțirea și anularea fracțiilor algebrice. Lecția "Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice. Ridicarea unei fracții algebrice la putere"

Clasă: 8a Lucru: Algebră

Subiectul lecției:Înmulțirea și împărțirea fracții algebrice... Ridicarea unei fracții algebrice la o putere.

Ţintă: amintiți-vă regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor numerice; explicați regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice; învață să efectueze operațiile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice; pentru a forma capacitatea de a efectua acţiuni cu fracţii algebrice.

Formularul lecției: o lecție de învățare a materialelor noi.

Metoda de predare: problematic, cu o căutare independentă a unei soluții.

Echipament: Computer, proiector.

În timpul orelor

Lecția se desfășoară folosind o prezentare pe computer.

eu. Organizarea lectiei.

eu. Actualizare cunostinte de baza pentru a se pregăti pentru studiul unei noi teme.

Oral:

(Răspunsurile sunt transmise folosind computerul.)

1. Factorizați:

2. Reduce fracția:

3. Înmulțiți fracțiile:

Cum se numesc aceste numere? (Numere reciproce)

Aflați reciproca numărului

Ce două numere se numesc reciproce? (Două numere se numesc reciproce dacă produsul lor este 1.)

Aflați fracția reciprocă:

Împărțiți fracții:

Pronunțăm regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor ordinare.

ΙΙΙ. Subiect nou

Referindu-se la afiș, profesorul spune: a, b, c, d- v în acest caz numerele. Și dacă acestea sunt expresii algebrice, cum se numesc aceste fracții? (Fracții algebrice)

Regulile pentru înmulțirea și împărțirea lor rămân aceleași.

Urmareste pasii:

Primul și al doilea exemplu sunt independent, urmate de elevii care notează soluția pe tablă. Profesorul arată pe tablă soluția celui de-al treilea exemplu.

ΙV. Ancorare

1) Lucrați la cartea de probleme: nr. 5.4 (a, c), nr. 5.7 (a, c), nr. 5.12 (a, c)

2) Lucrați în perechi pe cărți:

(Soluțiile și răspunsurile sunt reflectate prin proiector.)

V. Rezumatul lecției

Nr. 5.16 (a, b) și 5.19 (a, c) - dacă rămâne timp

Vi. Teme pentru acasă

nr. 5,8; nr. 5,10; Nr. 5.13 (a, b).

În acest articol, continuăm să explorăm acțiunile de bază care pot fi efectuate cu fracțiile algebrice. Aici ne vom uita la înmulțirea și împărțirea: mai întâi deducem regulile necesare, iar apoi ilustrează-le rezolvând probleme.

Cum să împărțiți și să înmulțiți corect fracțiile algebrice

Pentru a înmulți fracții algebrice sau a împărți o fracție la alta, trebuie să folosim aceleași reguli ca și pentru fracțiile obișnuite. Să ne amintim formulările lor.

Când trebuie să înmulțim unul fracție comună pe de altă parte, efectuăm înmulțirea separată a numărătorilor și separat a numitorilor, după care notăm fracția finală, plasând pe locuri produsele corespunzătoare. Un exemplu de astfel de calcul:

2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21

Și când trebuie să împărțim fracțiile comune, o facem înmulțind cu reciproca divizorului, de exemplu:

2 3: 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice urmează aceleași principii. Să formulăm o regulă:

Definiția 1

Pentru a înmulți două sau mai multe fracții algebrice, trebuie să înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Rezultatul va fi o fracție cu produsul numărătorilor în numărător și produsul numitorilor în numitor.

În formă literală, regula poate fi scrisă ca a b c d = a c b d. Aici a, b, c și d va reprezenta polinoame definite și b și d nu poate fi nulă.

Definiția 2

Pentru a împărți o fracție algebrică la alta, trebuie să înmulți prima fracție cu inversul celei de-a doua.

Această regulă poate fi scrisă și ca a b: c d = a b d c = a d b c. Literele a, b, c și d aici reprezintă polinoame, dintre care a, b, c și d nu poate fi nulă.

Să ne oprim separat asupra a ceea ce este o fracție algebrică inversă. Este o fracție care, înmulțită cu originalul, dă una în final. Adică, astfel de fracții vor fi similare cu numere reciproc reciproce. În caz contrar, putem spune că o fracție algebrică inversă este formată din aceleași valori ca și cea originală, dar numărătorul și numitorul ei sunt inversate. Deci, în raport cu fracția a · b + 1 a 3, fracția a 3 a · b + 1 va fi inversă.

Rezolvarea problemelor de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice

În acest paragraf, vom vedea cum să aplicăm corect regulile prezentate mai sus în practică. Să începem cu un exemplu simplu și ilustrativ.

Exemplul 1

Condiție:înmulțiți fracția 1 x + y cu 3 x y x 2 + 5 și apoi împărțiți o fracție la cealaltă.

Soluţie

Să facem mai întâi înmulțirea. Conform regulii, trebuie să înmulți separat numărătorii și numitorii:

1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)

Am primit un nou polinom, care trebuie adus la forma standard. Terminăm calculele:

1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y

Acum să vedem cum să împărțim corect o fracție la alta. Conform regulii, trebuie să înlocuim această acțiune prin înmulțirea cu fracția reciprocă x 2 + 5 3 x y:

1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y

Să aducem fracția rezultată la forma standard:

1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2

Răspuns: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y; 1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2.

Destul de des, în procesul de împărțire și înmulțire a fracțiilor obișnuite, se obțin rezultate care pot fi anulate, de exemplu, 2 9 3 8 = 6 72 = 1 12. Când facem acest lucru cu fracții algebrice, putem obține și rezultate anulate. Pentru a face acest lucru, este util să descompuneți mai întâi numărătorul și numitorul polinomului original în factori separați. Dacă este necesar, recitiți articolul despre cum să o faceți corect. Să ne uităm la un exemplu de problemă în care va fi necesară reducerea fracțiilor.

Exemplul 2

Condiție:înmulțiți fracțiile x 2 + 2 x + 1 18 x 3 și 6 x x 2 - 1.

Soluţie

Înainte de a calcula produsul, să împărțim numărătorul primei fracții inițiale în factori separați și numitorul celei de-a doua. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de formulele de înmulțire abreviate. Calculam:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 xx 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 X 18 x 3 x - 1 x + 1

Avem o fracție care poate fi redusă:

x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)

Am scris despre cum se face acest lucru într-un articol despre anularea fracțiilor algebrice.

Înmulțind monomul și polinomul din numitor, obținem rezultatul de care avem nevoie:

x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Iată o transcriere a întregii soluții fără explicații:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 xx 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 X 18 x 3 x - 1 x + 1 = = x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Răspuns: x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 3 x 3 - 3 x 2.

În unele cazuri, este convenabil să transformați fracțiile originale înainte de înmulțire sau împărțire, astfel încât calculele ulterioare să devină mai rapide și mai ușoare.

Exemplul 3

Condiție:împărțiți 2 1 7 x - 1 la 12 x 7 - x.

Rezolvare: Începeți prin a simplifica fracția algebrică 2 1 7 · x - 1 pentru a scăpa de coeficientul fracțional. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale fracției cu șapte (această acțiune este posibilă datorită proprietății principale a unei fracții algebrice). Ca rezultat, obținem următoarele:

2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7

Vedem că numitorul fracției 12 x 7 - x, prin care trebuie să împărțim prima fracție, și numitorul fracției rezultate sunt expresii opuse una față de cealaltă. Schimbând semnele numărătorului și numitorului 12 x 7 - x, obținem 12 x 7 - x = - 12 x x - 7.

După toate transformările, putem merge în sfârșit direct la împărțirea fracțiilor algebrice:

2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = 14 x - 7: - 12 xx - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x

Răspuns: 2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = - 7 6 x.

Cum se înmulțește sau se împarte o fracție algebrică cu un polinom

Pentru a efectua o astfel de acțiune, putem folosi aceleași reguli pe care le-am dat mai sus. În primul rând, trebuie să reprezentați polinomul ca o fracție algebrică cu o unitate în numitor. Această acțiune este similară cu transformarea numar naturalîntr-o fracție obișnuită. De exemplu, puteți înlocui polinomul x 2 + x - 4 pe x 2 + x - 4 1... Expresiile rezultate vor fi identic egale.

Exemplul 4

Condiție:Împărțiți fracția algebrică la polinomul x + 4 5 x y: x 2 - 16.

Soluţie

x + 4 5 x y: x 2 - 16 = x + 4 5 x y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 xy 1 (x - 4) x + 4 = (x + 4) 1 5 xy (x - 4) (x + 4) = 1 5 xyx - 4 = = 1 5 x 2 y - 20 x y

Răspuns: x + 4 5 x y: x 2 - 16 = 1 5 x 2 y - 20 x y.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter

Tema: Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice

Educația este ceea ce rămâne atunci când totul a fost deja uitat.

Laue

Obiective:

Educational:

consolida ZUN pe această temă

efectuează controlul curent inițial al cunoștințelor

lucru pe spații

În curs de dezvoltare:

contribuie la dezvoltarea competenței comunicative, de ex. capacitatea de a coopera eficient cu alte persoane.

promovează dezvoltarea competenței de cooperare, adică capacitatea de a lucra în perechi.

contribuie la dezvoltarea competenței problematice, de ex. capacitatea de a înțelege inevitabilitatea dificultăților în cursul oricărei activități.

Educational:

insufla capacitatea de a evalua în mod adecvat munca depusă de un prieten;

atunci când lucrați în perechi, educați calitățile de ajutor reciproc, sprijin.

Metodic:

crearea condițiilor pentru manifestarea individualității, a activității cognitive a elevilor;

arătați metodologia de desfășurare a lecției cu proiectarea rezultatelor activități de învățareși metodele de cercetare ale acestora bazate pe o abordare bazată pe competențe.

Echipament: tabla, creta colorata. Tabelul „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice”; carduri pentru munca individuala, carduri „memo”. Sarcina într-un moment liber.

În timpul orelor

Organizarea timpului

Planul lecției este scris pe tablă:

Încălzire orală.

Munca individuala.

Rezolvarea sarcinilor.

Lucru pereche.

Rezumatul lecției.

Teme pentru acasă.

Profesor: Pe vremuri în Rusia se credea că, dacă o persoană era versată în matematică, atunci asta însemna cel mai înalt grad Bursa de studiu. Iar capacitatea de a vedea și auzi corect este primul pas către înțelepciune. Aș dori ca toți elevii din clasa dumneavoastră de astăzi să arate cât de înțelepți sunt și cât de cunoscători sunt oamenii în algebra de clasa a VII-a.

Deci, subiectul lecției „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice” În ultima lecție ați început să studiați acest subiect și am discutat de ce îl studiem. Să ne amintim unde ne va fi util după câteva lecții.

Studenți: Pentru acțiuni comune cu fracții algebrice, pentru rezolvarea ecuațiilor și deci a problemelor.

Profesor: Chiar și pe vremuri în Rusia se spunea că înmulțirea este un chin, dar cu împărțirea este o nenorocire. Oricine știa să înmulțească și să împartă rapid și precis a fost considerat un mare matematician.

Ce obiective îți vei stabili?

Studenți: Continuați să studiați subiectul, învățați să înmulțiți și să împărțiți rapid și precis.

Profesor: Pentru a ne atinge obiectivele, noi (deschidem planul scris pe tablă, îl pronunțăm)

1. Încălzirea verbală: (în acest moment 3 - 4 persoane rezolvă simulatorul de reducere a fracțiilor în perechi) factor prin completarea golurilor

1 = (y-1) (…), 5a + 5b =… (a + b), xy-x = x (…), 14-2x =…

reduce fracția

Fracții, fracții, fracții bat, nu le cruțați.

găsiți greșeala făcută la înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice

Profesor: Unde este greseala? De ce se face greșeala? Ce regulă nu știa elevul? Ce știa el? Cum se face corect?

2. Lucru în caiet, nr.Din manual 488 (1) Analiză, rezolvare, verificare.

Profesor: Și acum vei avea ocazia să-ți arăți cunoștințele atunci când efectuați testul, iar pentru a vă inspira să lucrați voi citi poezia „Pentru ca profesorul să scrie” 5 „în jurnal, numărătorul poate fi înmulțit cu numărătorul. într-o clipă și pentru ca profesorul să fie fericit cu tine, înmulți primul numitor cu al doilea "

Autoverificare, verificare reciprocă. După criteriile (afișate pe tablă) B-1 (321), B-2 (132) conform codurilor corecte, evaluare în perechi. Rezultatul inițial. Estimări.

Corectarea erorilor in perechi „elev-profesor”

Dacă nu există greșeli în perechi, ei își fac sarcina în momentul liber.

Simplificați expresia și găsiți-i sensul când

5. Rezumatul lecției

La sfârșitul lecției, aș dori să știu de la tine ce tipuri de muncă ți-au cauzat dificultăți? De ce crezi? Ce ai invatat nou? Câți dintre voi sunteți mulțumiți de munca voastră la lecție? Crezi că obiectivele stabilite la începutul lecției au fost atinse?

Profesor: Aș dori să închei lecția cu cuvintele inginerului-fizician francez Laue: „Educația este ceea ce rămâne atunci când tot ce s-a învățat a fost deja uitat”.

Sper că nu veți uita acest material, pentru ca acest lucru să nu se întâmple, trebuie să faceți d/z Nr. 486,487,488 chiar.

Exemplu.

Aflați produsul fracțiilor algebrice și.

Soluţie.

Înainte de a efectua înmulțirea fracțiilor, factorizează polinomul în numărătorul primei fracții și numitorul celei de-a doua. Formulele de înmulțire prescurtate corespunzătoare ne vor ajuta în acest sens: x 2 + 2 x + 1 = (x + 1) 2 și x 2 −1 = (x − 1) (x + 1). În acest fel, .

Evident, fracția rezultată poate fi anulată (am discutat despre acest proces în articolul anularea fracțiilor algebrice).

Rămâne doar să scrieți rezultatul sub forma unei fracții algebrice, pentru care trebuie să înmulțiți un monom cu un polinom în numitor: .

De obicei, soluția este scrisă fără explicații sub forma unei secvențe de egalități:

Răspuns:

Uneori, cu fracțiile algebrice care trebuie înmulțite sau împărțite, trebuie să efectuați unele transformări pentru a face acești pași mai ușori și mai rapid.

Exemplu.

Împărțiți o fracție algebrică la o fracție.

Soluţie.

Să simplificăm forma fracției algebrice scăpând de coeficientul fracțional. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărătorul și numitorul cu 7, ceea ce ne permite să facem proprietatea principală a unei fracții algebrice, avem .

Acum a devenit clar că numitorul fracției rezultate și numitorul fracției cu care trebuie să împărțim sunt expresii opuse. Schimbăm semnele numărătorului și numitorului fracției, avem .

În acest articol, ne vom uita la operații de bază cu fracții algebrice:

reducerea fracțiilor
înmulțirea fracțiilor
împărțirea fracțiilor

Sa incepem cu anularea fracțiilor algebrice.

Aparent, algoritm evident.

La anulați fracțiile algebrice, trebuie sa

1. Factorizați numărătorul și numitorul unei fracții.

2. Reduceți factori egali.

Totuși, școlarii fac adesea greșeala de a „anula” nu factori, ci termeni. De exemplu, sunt amatori care, într-o fracțiune, „scad” și obțin drept rezultat, ceea ce, desigur, nu este adevărat.

Să luăm în considerare câteva exemple:

1. Reduce fracția:

1. Să factorizăm numărătorul după formula pătratului sumei, iar numitorul după formula diferenței de pătrate

2. Împărțiți numărătorul și numitorul la

2. Reduce fracția:

1. Factorizați numărătorul. Deoarece numărătorul conține patru termeni, vom aplica gruparea.

2. Factorizați numitorul. Vom aplica și gruparea.

3. Să notăm fracția pe care am obținut-o și să anulăm aceiași factori:

Înmulțirea fracțiilor algebrice.

La înmulțirea fracțiilor algebrice, înmulțim numărătorul cu numărătorul și înmulțim numitorul cu numitorul.

Important! Nu este nevoie să vă grăbiți să înmulțiți în numărătorul și numitorul fracției. După ce am scris în numărător produsul numărătorilor fracțiilor, iar în numitor - produsul numitorilor, trebuie să factorăm fiecare factor și să anulăm fracția.

Să luăm în considerare câteva exemple:

3. Simplificați expresia:

1. Să notăm produsul fracțiilor: la numărător, produsul numărătorilor, iar la numitor, produsul numitorilor:

2. Să factorizăm fiecare paranteză:

Acum trebuie să anulăm aceiași factori. Rețineți că expresiile și diferă doar prin semn: iar ca urmare a împărțirii primei expresii la a doua, obținem -1.