Conceptul de funcție numerică. Modalități de a seta o funcție. Proprietățile funcției.
O funcție numerică este o funcție care acționează de la un spațiu numeric (set) la un alt spațiu numeric (set).
Există trei moduri principale de a defini o funcție: analitică, tabelară și grafică.
1. Analitice.
Metoda de specificare a unei funcții folosind o formulă se numește analitică. Această metodă este cea principală din covoraș. analiză, dar în practică nu este convenabil.
2. Mod tabelar de setare a funcției.
O funcție poate fi definită folosind un tabel care conține valorile argumentului și valorile funcției corespunzătoare ale acestora.
3. Mod grafic atribuiri de funcții.
Funcția y \u003d f (x) este numită dată grafic dacă graficul său este construit. Această metodă de setare a funcției face posibilă determinarea valorilor funcției doar aproximativ, deoarece construirea unui grafic și găsirea valorilor funcției pe acesta este asociată cu erori.
Proprietățile unei funcții care trebuie luate în considerare la trasarea graficului acesteia:
1) Regiunea definiții ale funcției.
Domeniul de aplicare a funcției, adică acele valori pe care le poate lua argumentul x al funcției F =y (x).
2) Intervale de funcție crescătoare și descrescătoare.
Funcția se numește crescător pe intervalul considerat, dacă valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mari a funcției y(x). Aceasta înseamnă că dacă două argumente arbitrare x 1 și x 2 sunt luate din intervalul considerat și x 1 > x 2, atunci y (x 1) > y (x 2).
Funcția se numește descrescătoare pe intervalul luat în considerare, dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției y(x). Aceasta înseamnă că dacă două argumente arbitrare x 1 și x 2 sunt luate din intervalul considerat și x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Zerourile funcției.
Punctele în care funcția F \u003d y (x) intersectează axa absciselor (se obțin prin rezolvarea ecuației y (x) \u003d 0) și se numesc zerouri ale funcției.
4) Funcții pare și impare.
Funcția se numește par, dacă pentru toate valorile argumentului din domenii
y(-x) = y(x).
Programa chiar funcția simetric față de axa y.
Funcția se numește impar, dacă pentru toate valorile argumentului din domeniul de aplicare
y(-x) = -y(x).
Graficul unei funcții pare este simetric față de origine.
Multe funcții nu sunt nici pare, nici impare.
5) Periodicitatea funcției.
Funcția se numește periodică, dacă există un număr P astfel încât pentru toate valorile argumentului din domeniul definiției
y(x + P) = y(x).
Funcție liniară, proprietățile și graficul acestuia.
O funcție liniară este o funcție a formei y = kx + b, definit pe mulțimea tuturor numerelor reale.
k– factor de pantă (număr real)
b– termen liber (număr real)
X este o variabilă independentă.
· Într-un caz particular, dacă k = 0, obținem o funcție constantă y = b, al cărei grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox, care trece prin punctul cu coordonatele (0; b).
· Dacă b = 0, atunci obținem funcția y = kx, care este o proporționalitate directă.
o sens geometric coeficientul b este lungimea segmentului pe care linia dreaptă o taie de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.
o Semnificația geometrică a coeficientului k este unghiul de înclinare al dreptei față de direcția pozitivă a axei Ox, este considerat în sens invers acelor de ceasornic.
Proprietățile funcției liniare:
1) Domeniul de definire al unei funcții liniare este întreaga axă reală;
2) Dacă k ≠ 0, atunci domeniul funcției liniare este întreaga axă reală.
Dacă k = 0, atunci domeniul funcției liniare este format din numărul b;
3) Egalitatea și imparitatea unei funcții liniare depind de valorile coeficienților k și b.
a) b ≠ 0, k = 0, prin urmare, y = b este par;
b) b = 0, k ≠ 0, deci y = kx este impar;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, deci y = kx + b este o funcție vedere generala;
d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 este atât o funcție pară, cât și o funcție impară.
4) Funcția liniară nu are proprietatea de periodicitate;
5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:
Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, prin urmare (-b / k; 0) este punctul de intersecție cu axa absciselor.
Oy: y = 0k + b = b, prin urmare (0; b) este punctul de intersecție cu axa y.
Cometariu. Dacă b = 0 și k = 0, atunci funcția y = 0 dispare pentru orice valoare a lui x. Dacă b ≠ 0 și k = 0, atunci funcția y = b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei x.
6) Intervalele constantei semnului depind de coeficientul k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b este pozitiv pentru x din (-b/k; +∞),
y = kx + b este negativ pentru x din (-∞; -b/k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b este pozitiv pentru x din (-∞; -b/k),
y = kx + b este negativ pentru x din (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b este pozitiv în întregul domeniu,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Intervalele de monotonitate ale unei funcţii liniare depind de coeficientul k.
k > 0, prin urmare y = kx + b crește pe întregul domeniu,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Funcția y \u003d ax 2 + bx + c, proprietățile și graficul acesteia.
| Funcția y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c sunt valori constante, a ≠ 0) se numește pătratică.În cel mai simplu caz, y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0), graficul este o linie curbă care trece prin origine. Curba care servește ca grafic al funcției y \u003d ax 2 este o parabolă. Fiecare parabolă are o axă de simetrie numită axa parabolei. Se numește punctul O al intersecției parabolei cu axa ei vârful parabolei. |
 |
| Graficul poate fi construit după următoarea schemă: 1) Aflați coordonatele vârfului parabolei x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Mai construim câteva puncte care aparțin parabolei, atunci când construim, puteți folosi simetriile parabolei față de dreapta x = -b / 2a. 3) Conectăm punctele indicate cu o linie netedă. Exemplu. Construiți un grafic al funcției în \u003d x 2 + 2x - 3. Soluții. Graficul funcției este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus. Abscisa vârfului parabolei x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, ordonatele sale y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. Deci, vârful parabolei este punctul (-1; -4). Să facem un tabel de valori pentru mai multe puncte care sunt situate în dreapta axei de simetrie a parabolei - linia dreaptă x = -1. Proprietățile funcției.
|
Această lecție video despre cursul de matematică vă va prezenta proprietățile funcției y = k / x, cu condiția ca valoarea lui k să fie negativă.
În tutorialele noastre video anterioare, v-ați familiarizat cu funcția y egal cu k împărțit la x, graficul acesteia, care se numește „hiperbolă”, precum și cu proprietățile graficului atunci când valoare pozitivă k. Acest videoclip vă va prezenta proprietățile coeficientului k cu o valoare negativă, adică mai putin de zero.
Proprietățile unei egalități în care y este egal cu coeficientul k împărțit la variabila independentă x, cu condiția ca coeficientul să aibă sens negativ sunt prezentate în videoclip.
Când descriu proprietățile acestei funcții, în primul rând, se bazează pe modelul său geometric - o hiperbolă.
Proprietatea 1. Domeniul funcției este format din toate numerele, dar rezultă că x nu poate fi egal cu 0, deoarece este imposibil de împărțit la zero.
Proprietatea 2. y este mai mare decât zero cu condiția ca x să fie mai mic decât zero; și, în consecință, invers, y este mai mic decât zero la o valoare când x este în intervalul mai mare decât zero și la infinit.
Proprietatea 3. Funcția crește la intervale de la minus infinit la zero și de la zero la plus infinit: (-∞, 0) și (0, +∞).
Proprietatea 4. Funcția este infinită, deoarece nu are restricții nici de jos, nici de sus.
Proprietatea 5. Funcția nu are nici cele mai mici, nici cele mai mari valori, deoarece este infinită.
Proprietatea 6. Funcția este continuă pe intervalele de la minus infinit la zero (-∞, 0) și de la zero la infinit (0, +∞), în timp ce trebuie indicat că suferă o discontinuitate atunci când x are valoarea zero. .
Proprietatea 7. Gama de funcții este unirea a două raze deschise de la minus infinit la zero (-∞, 0) și de la zero la plus infinit (0, +∞).
Următorul videoclip oferă exemple. Vom lua în considerare doar câteva dintre ele, vă recomandăm să vizionați singuri restul în videoclipurile furnizate.
Deci, să ne uităm la primul exemplu. Este necesar să se rezolve ecuația următorul fel: 4/x = 5-x.
Pentru o mai mare comoditate, împărțim soluția acestei egalități în mai multe etape:
1) În primul rând, scriem egalitatea noastră ca două ecuații separate: y = 4/x și y = 5-x/
2) Apoi, așa cum se arată în videoclip, graficăm funcția y = 4/x, care este o hiperbolă.
3) În continuare, construim un grafic al unei funcții liniare. ÎN acest caz este o linie dreaptă care poate fi trasă din două puncte. Graficele sunt prezentate în materialul nostru video.
4) Deja conform desenului în sine, determinăm punctele în care se intersectează ambele grafice, atât hiperbola, cât și linia dreaptă. Trebuie indicat că se intersectează în punctele A (1; 4) și B (4; 1). Verificarea rezultatelor obținute arată că acestea sunt corecte. Această ecuație poate avea două rădăcini 1 și 4.
Următorul exemplu, discutat în tutorialul video, are următoarea sarcină: reprezentați și citiți graficul funcției y = f(x), unde f(x) = -x2, dacă variabila x este în intervalul de la mai mare decât sau egal cu -2 până la mai mare decât sau este 1 și y = -1/x dacă x este mai mare decât unu.
Soluția se realizează în mai multe etape. Mai întâi, construim un grafic al funcției y = -x2, care se numește „parabolă”, și selectăm partea sa în zona de la -2 la 1. Pentru a vizualiza graficul, consultați videoclipul.
Următorul pas este să construiți o hiperbolă pentru egalitatea y = -1/x și să selectați partea ei pe raza deschisă de la unitate la infinit. Apoi, deplasăm ambele grafice în același sistem de coordonate. Ca rezultat, obținem un grafic al funcției y \u003d f (x).
În continuare, ar trebui să citiți graficul funcției y \u003d f (x):
1. Domeniul de definiție al funcției este o rază în zona de la -2 la +∞.
2. y este egal cu zero când x este egal cu zero; y este mai mic decât zero când x este mai mare sau egal cu -2 și mai mic decât zero și când x este mai mare decât zero.
3. Funcția crește în zona de la -2 la 0 și în zona de la 1 la infinit, graficul arată o scădere a segmentului de la zero la unu.
4. O funcție cu parametri dați este mărginită atât de jos, cât și de sus.
5. Cea mai mică valoare variabila y este egală cu - 4 și este cuprinsă la valoarea lui x la nivelul - 2; Si deasemenea cea mai mare valoare y este 0, care este atins când x este zero.
6. În domeniul dat de definiție, funcția noastră este continuă.
7. Zona valorii a funcției este situată pe segmentul de la -4 la 0.
8. Funcția este convexă în sus pe segmentul de la -2 la 1 și pe raza de la 1 la infinit.
Vă puteți familiariza cu exemplele rămase urmărind videoclipul prezentat.
Atribuții pentru proprietăți și grafice funcţie pătratică cauzează, după cum arată practica, dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece funcția pătratică este trecută în clasa a 8-a, iar apoi întregul prim trimestru al clasei a IX-a este „extorcat” de proprietățile parabolei și graficele acesteia sunt construite pentru diverși parametri.
Acest lucru se datorează faptului că forțând elevii să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirea” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor primite din imagine. Aparent, se presupune că, după ce a construit două duzini de grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspect grafică. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o asemenea generalizare, experiență serioasă mini-cercetare matematică, pe care majoritatea elevilor de clasa a IX-a, desigur, nu o au. Între timp, în GIA își propun să se determine semnele coeficienților tocmai după grafic.
Nu vom cere imposibilul de la școlari și pur și simplu oferim unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.
Deci, o funcție a formei y=ax2+bx+c se numește pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, componenta principală este toporul 2. i.e dar nu trebuie să fie egal cu zero, coeficienții rămași ( bȘi din) poate fi egal cu zero.
Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul parabolei.
Cea mai simplă dependență pentru coeficient dar. Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă dar> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă dar < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой dar > 0.
y = 0,5x2 - 3x + 1
În acest caz dar = 0,5
Și acum pentru dar < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
În acest caz dar = - 0,5
Influența coeficientului din de asemenea, destul de ușor de urmărit. Imaginați-vă că vrem să găsim valoarea unei funcții într-un punct X= 0. Înlocuiți zero în formula:
y = A 0 2 + b 0 + c = c. Se pare că y = c. i.e din este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De regulă, acest punct este ușor de găsit pe diagramă. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. i.e din> 0 sau din < 0.
din > 0:
y=x2+4x+3
din < 0
y = x 2 + 4x - 3
În consecință, dacă din= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:
y=x2+4x
Mai dificil cu parametrul b. Punctul prin care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din dar. Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonatele axei X) se găsește prin formula x în \u003d - b / (2a). În acest fel, b = - 2ax in. Adică procedăm astfel: pe grafic găsim vârful parabolei, determinăm semnul abscisei sale, adică privim în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.
Cu toate acestea, acesta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului dar. Adică pentru a vedea unde sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2ax in determina semnul b.
Luați în considerare un exemplu:
Ramuri îndreptate în sus dar> 0, parabola traversează axa la sub zero înseamnă din < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Deci b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: dar > 0, b < 0, din < 0.
Învață să iei derivate ale funcțiilor. Derivata caracterizează rata de schimbare a unei funcții la un anumit punct situat pe graficul acestei funcții. În acest caz, graficul poate fi fie o linie dreaptă, fie o linie curbă. Adică, derivata caracterizează rata de schimbare a funcției la un anumit moment în timp. Tine minte reguli generale pentru care sunt luate derivate și abia apoi treceți la pasul următor.
- Citește articolul.
- Este descris cum se iau cele mai simple derivate, de exemplu, derivata unei ecuații exponențiale. Calculele prezentate în următorii pași se vor baza pe metodele descrise acolo.
Învață să faci distincția între problemele în care panta trebuie calculată în termeni de derivată a unei funcții.În sarcini, nu este întotdeauna sugerat să găsiți panta sau derivata unei funcții. De exemplu, vi se poate cere să găsiți rata de schimbare a unei funcții în punctul A(x, y). De asemenea, vi se poate cere să găsiți panta tangentei în punctul A(x, y). În ambele cazuri, este necesar să se ia derivata funcției.
Luați derivata funcției date. Nu trebuie să construiți un grafic aici - aveți nevoie doar de ecuația funcției. În exemplul nostru, luăm derivata funcției . Luați derivatul conform metodelor prezentate în articolul menționat mai sus:
- Derivat:
Înlocuiți coordonatele punctului dat în derivata găsită pentru a calcula panta. Derivata functiei este egala cu panta intr-un anumit punct. Cu alte cuvinte, f „(x) este panta funcției în orice punct (x, f (x)). În exemplul nostru:
- Aflați panta funcției f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) la punctul A(4,2).
- Derivata functiei:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Înlocuiți valoarea coordonatei x a punctului dat:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
- Găsiți panta:
- Panta funcției f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) la punctul A(4,2) este 22.
Dacă este posibil, verificați răspunsul pe un grafic. Rețineți că factorul de pantă nu poate fi calculat în fiecare punct. Calculul diferențial ia în considerare funcții complexe și grafice complexe, unde panta nu poate fi calculată în fiecare punct și, în unele cazuri, punctele nu se află deloc pe grafice. Dacă este posibil, utilizați un calculator grafic pentru a verifica dacă panta funcției care vi se oferă este corectă. În caz contrar, trageți o tangentă la grafic în punctul dat și luați în considerare dacă valoarea pantei găsite corespunde cu ceea ce vedeți pe grafic.
- Tangenta va avea aceeași pantă ca și graficul funcției la un anumit punct. Pentru a desena o tangentă într-un punct dat, deplasați-vă la dreapta/stânga pe axa x (în exemplul nostru, 22 de valori la dreapta), apoi în sus una pe axa y. Marcați punctul și apoi conectați-l până la punctul pe care l-ai dat. În exemplul nostru, conectați punctele cu coordonatele (4,2) și (26,3).
