Definiție
Accelerație centripetă se numește componenta accelerației complete punct material deplasarea de-a lungul unei traiectorii curbe, care determină viteza de schimbare a direcției vectorului viteză.
O altă componentă a accelerației totale este accelerația tangențială, care este responsabilă pentru modificarea mărimii vitezei. Indică accelerația centripetă, de obicei $ (\ overline (a)) _ n $. Accelerația centripetă se mai numește și normală.
Accelerația centripetă este egală cu:
\ [(\ overline (a)) _ n = \ frac (v ^ 2) (r ^ 2) \ overline (r \) = \ frac (v ^ 2) (r) (\ overline (e)) _ r \ stânga (1 \ dreapta), \]
unde $ (\ overline (e)) _ r = \ frac (\ overline (r \)) (r) $ - vector unitar, care este îndreptat de la centrul de curbură al traiectoriei către punctul în cauză; $ r $ - raza de curbură a traiectoriei la locul punctului material în momentul de timp considerat.
Primele formule corecte de calcul a acceleraţiei centripete au fost obţinute de H. Huygens.
Unitatea de măsură a accelerației centripete în Sistemul internațional de unități este metrul împărțit la al doilea pătrat:
\ [\ stânga = \ frac (m) (s ^ 2). \]
Formula accelerației centripete cu mișcarea uniformă a unui punct de-a lungul unui cerc
Luați în considerare mișcarea uniformă a unui punct material de-a lungul unui cerc. Cu o astfel de mișcare, valoarea vitezei punctului material este neschimbată ($ v = const $). Dar asta nu înseamnă că accelerația totală a unui punct material cu acest tip de mișcare este zero. Vectorul viteză instantanee este direcționat tangențial la cercul de-a lungul căruia se mișcă punctul. În consecință, în această mișcare, viteza își schimbă constant direcția. De aici rezultă că punctul are accelerație.
Luați în considerare punctele A și B care se află pe traiectoria particulei. Vectorul schimbării vitezei pentru punctele A și B se găsește astfel:
\ [\ Delta \ overline (v) = (\ overline (v)) "- \ overline (v) \ stânga (2 \ dreapta). \]
Dacă timpul necesar pentru a trece de la punctul A la punctul B tinde spre zero, atunci arcul AB nu diferă puțin de coarda AB. Triunghiurile AOB și BMN sunt similare, obținem:
\ [\ frac (\ Delta v) (v) = \ frac (\ Delta l) (R) = \ alpha \ stânga (3 \ dreapta). \]
Valoarea modulului de accelerație medie se determină astfel:
\ [\ stânga \ langle a \ dreapta \ rangle = \ frac (\ Delta v) (\ Delta t) = \ frac (v \ Delta l) (R \ Delta t) \ stânga (4 \ dreapta). \]
Să trecem la limita la $ \ Delta t \ la 0 \ $ de la $ \ left \ langle a \ right \ rangle \ \ $ în formula (4):
Vectorul accelerație medie formează un unghi cu vectorul viteză egal cu:
\ [\ beta = \ frac (\ pi + \ alpha) (2) \ stânga (6 \ dreapta). \]
La $ \ Delta t \ to 0 \ $ unghiul $ \ alpha \ to 0. $ Se dovedește că vectorul accelerație instantanee face unghiul $ \ frac (\ pi) (2) $ cu vectorul viteză.
Și astfel încât un punct material care se mișcă uniform de-a lungul unui cerc are o accelerație care este îndreptată spre centrul cercului ($ (\ overline (a)) _ n \ bot \ overline (v) $), valoarea sa este egală cu viteza in patrat impartita la cercurile cu raza:
unde $ \ omega $ este viteza unghiulară a punctului material ($ v = \ omega \ cdot R $). În formă vectorială, formula pentru accelerația centripetă poate fi scrisă pe baza (7) ca:
\ [(\ overline (a)) _ n = - (\ omega) ^ 2 \ overline (R) \ \ stânga (8 \ dreapta), \]
unde $ \ overline (R) $ este vectorul rază, egală ca lungime cu raza arcului de cerc, îndreptată de la centrul de curbură către locația punctului material luat în considerare.
Exemple de sarcini cu o soluție
Exemplul 1
Exercițiu. Ecuație vectorială $ \ overline (r) \ left (t \ right) = \ overline (i) (\ cos \ left (\ omega t \ right) + \ overline (j) (\ sin \ left (\ omega t \ right) ) \) \) $, unde $ \ omega = 2 \ \ frac (rad) (s), $ descrie mișcarea unui punct material. Pe ce traiectorie se află acest punct? Care este modulul accelerației sale centripete? Luați în considerare toate cantitățile din SI.
Soluţie. Luați în considerare ecuația de mișcare pentru un punct:
\ [\ overline (r) \ left (t \ right) = \ overline (i) (\ cos \ left (\ omega t \ right) + \ overline (j) (\ sin (\ omega t) \) \) \ \ stânga (1,1 \ dreapta). \]
Într-un sistem de coordonate carteziene, această ecuație este echivalentă cu sistemul de ecuații:
\ [\ left \ (\ begin (array) (c) x = (\ cos \ left (\ omega t \ right) ;; \) \\ y = (\ sin \ left (\ omega t \ right) \) \ end (matrice) \ stânga (1,2 \ dreapta). \ dreapta. \]
Pentru a înțelege traiectoria de-a lungul căreia se mișcă punctul, ar trebui să excludem timpul din ecuațiile sistemului (1.2). Pentru a face acest lucru, pătram ambele ecuații și le adunăm:
Din ecuația (1.3), vedem că traiectoria punctului este un cerc (Fig. 2) de rază $ R = 1 $ m.
Pentru a găsi accelerația centripetă, folosim formula:
Modulul de viteză se determină folosind sistemul de ecuații (1.2). Să găsim componentele vitezei, care sunt egale:
\ [\ left \ (\ begin (array) (c) v_x = \ frac (dx) (dt) = - \ omega (\ sin \ left (\ omega t \ right) \), \\ v_y = \ frac ( dy) (dt) = \ omega ((\ cos \ stânga (\ omega t \ dreapta) \), \) \ end (matrice) \ dreapta. \ stânga (1,5 \ dreapta). \]
Pătratul modulului de viteză va fi:
Din ceea ce a fost obținut modulul de viteză (1.6), vedem că punctul nostru se mișcă uniform în jurul circumferinței, prin urmare, accelerația centripetă va coincide cu accelerația completă.
Înlocuind $ v ^ 2 $ din (1.6) în formula (1.4), avem:
Să calculăm $ a_n $:
$ a_n = \ frac (4) (1) = 4 \ \ stânga (\ frac (m) (c ^ 2) \ dreapta). $
Răspuns. 1) Circumferința; 2) $ a_n = 4 \ \ frac (m) (c ^ 2) $
Exemplul 2
Exercițiu. Care este accelerația centripetă a punctelor de pe marginea discului la un moment egal cu $ t = 2 $ c, dacă discul se rotește în conformitate cu ecuația: $ \ varphi (t) = 3 + 2t ^ 3 $? Raza discului este $ R = 0, (\ rm 1) $ m.
Soluţie. Vom căuta accelerația centripetă a punctelor discului folosind formula:
Găsim viteza unghiulară folosind ecuația $ \ varphi (t) = 3 + 2t ^ 3 $ ca:
\ [\ omega = \ frac (d \ varphi) (dt) = 6t ^ 2. \ \]
La $ t = 2 \ $ c, viteza unghiulară este egală cu:
\ [\ omega \ stânga (t = 2 \ dreapta) = 24 \ \ stânga (\ frac (rad) (c) \ dreapta). \]
Puteți calcula accelerația centripetă folosind formula (2.1):
Răspuns.$ a_n = 57,6 \ frac (m) (s ^ 2) $
Două raze care emană din el formează un unghi. Valoarea sa poate fi specificată atât în radiani, cât și în grade. Acum, la o anumită distanță de punctul central, desenați mental un cerc. Măsura unghiului, exprimată în radiani, este atunci raportul matematic dintre lungimea arcului L, despărțit de două raze, la valoarea distanței dintre punctul centralși o linie circulară (R), adică:
Dacă acum ne imaginăm sistemul descris ca material, atunci nu numai conceptul de unghi și rază, ci și accelerație centripetă, rotație etc. i se pot aplica. Majoritatea descriu comportamentul unui punct pe un cerc rotativ. Apropo, un disc solid poate fi reprezentat și printr-un set de cercuri, a căror diferență este doar la distanța de la centru.
Una dintre caracteristicile unui astfel de sistem rotativ este perioada orbitală. Indică valoarea timpului pentru ca un punct dintr-un cerc arbitrar să revină la poziția inițială sau, ceea ce este și adevărat, să se rotească la 360 de grade. La o viteză de rotație constantă, este îndeplinită corespondența T = (2 * 3,1416) / Ug (în continuare Ug este unghiul).
Viteza indică numărul revoluții complete executat în 1 secundă. La viteză constantă, obținem v = 1 / T.
Depinde de timp și de așa-numitul unghi de rotație. Adică, dacă luăm un punct arbitrar A de pe cerc ca punct de referință, atunci când sistemul se rotește, acest punct se va deplasa la A1 în timpul t, formând un unghi între razele A-centrul și A1-centrul. Cunoscând timpul și unghiul, puteți calcula viteza unghiulară.
Și din moment ce există un cerc, mișcare și viteză, atunci există și o accelerație centripetă. Este una dintre componentele care descriu mișcarea în cazul mișcării curbilinii. Termenii „normal” și „accelerare centripetă” sunt identici. Diferența este că al doilea este folosit pentru a descrie mișcarea într-un cerc atunci când vectorul de accelerație este direcționat către centrul sistemului. Prin urmare, este întotdeauna necesar să știm exact cum se mișcă corpul (punctul) și accelerația sa centripetă. Definiția sa este următoarea: este viteza de schimbare a vitezei, al cărei vector este îndreptat perpendicular pe direcția vectorului și schimbă direcția acestuia din urmă. Enciclopedia indică faptul că Huygens a fost angajat în studiul acestei probleme. Formula pentru accelerarea centripetă, propusă de el, arată astfel:
Acs = (v * v) / r,
unde r este raza de curbură a traseului parcurs; v este viteza de deplasare.
Formula prin care se calculează accelerația centripetă este încă aprig dezbătută printre entuziaști. De exemplu, recent a fost exprimată o teorie interesantă.
Huygens, avand in vedere sistemul, a pornit de la faptul ca corpul se misca intr-un cerc de raza R cu viteza v masurata in punctul initial A. Deoarece vectorul de inertie este indreptat de-a lungul traseului, se obtine o traiectorie sub forma unei drepte. linia AB. Cu toate acestea, forța centripetă ține corpul pe un cerc în punctul C. Dacă desemnăm centrul drept O și trasăm linii AB, BO (suma BS și CO), precum și AO, atunci se obține un triunghi. Conform legii lui Pitagora:
BS = (a * (t * t)) / 2, unde a - accelerație; t - timp (a * t * t - aceasta este viteza).
Dacă acum folosim formula lui Pitagora, atunci:
R2 + t2 + v2 = R2 + (a * t2 * 2 * R) / 2+ (a * t2 / 2) 2, unde R este raza, iar ortografia alfanumerică fără semnul înmulțirii este gradul.
Huygens a admis că, întrucât timpul t este mic, acesta poate fi ignorat în calcule. Transformând formula anterioară, ea a ajuns la binecunoscutul Acs = (v * v) / r.
Cu toate acestea, deoarece timpul este pătrat, apare o progresie: cu cât t este mai mare, cu atât eroarea este mai mare. De exemplu, pentru 0,9 se dovedește a fi necontabilizat pentru aproape valoarea finală de 20%.
Conceptul de accelerație centripetă este important pentru stiinta moderna, dar, evident, este prea devreme pentru a pune capăt acestei probleme.
Când se deplasează într-un cerc cu o viteză liniară constantă ca mărime υ, corpul are o accelerație centripetă constantă îndreptată spre centrul cercului.
a q = υ 2 / R, (18)
unde R este raza cercului.
Derivarea formulei pentru accelerația centripetă
A-prioriu.
Figura 6 Derivarea formulei pentru accelerația centripetă
În figură, triunghiurile formate de vectorii deplasărilor și vitezelor sunt similare. Având în vedere că 
=
= R și 
=
= υ, din asemănarea triunghiurilor găsim:
(20)
(21)
Plasați originea în centrul cercului și selectați planul în care se află cercul dincolo de plan (x, y). Poziția unui punct pe un cerc în orice moment este determinată în mod unic de unghiul polar φ, măsurat în radiani (rad) și
x = R cos (φ + φ 0), y = R sin (φ + φ 0), (22)
unde φ 0 definește faza initiala(poziția inițială a unui punct pe cerc în momentul zero al timpului).
În cazul rotației uniforme, unghiul φ, măsurat în radiani, crește liniar cu timpul:
φ = ωt, (23)
unde ω se numește frecvență ciclică (circulară). Dimensiunea frecvenței ciclice: [ω] = s –1 = Hz.
Frecvența ciclică este egală cu valoarea unghiului de rotație (măsurată în rad) pe unitatea de timp, deci se numește altfel viteză unghiulară.
Dependența coordonatelor unui punct dintr-un cerc în timp în cazul rotației uniforme cu o frecvență dată poate fi scrisă ca:
x = R cos (ωt + φ 0), (24)
y = R sin (ωt + φ 0).
Timpul în care se încheie o revoluție se numește perioada T.
Frecvența ν = 1 / T. (25)
Dimensiunea frecvenței: [ν] = s –1 = Hz.
Relația frecvenței ciclice cu perioada și frecvența: 2π = ωT, de unde
ω = 2π / T = 2πν. (26)
Relația dintre viteza liniară și viteza unghiulară se găsește din egalitatea:
2πR = υT, de unde
υ = 2πR / T = ωR. (27)
Expresia pentru accelerația centripetă poate fi scrisă căi diferite folosind legăturile dintre viteză, frecvență și perioadă:
A q = υ 2 / R = ω 2 R = 4π 2 ν 2 R = 4π 2 R / T 2. (28)
4.6 Relația dintre mișcările de translație și de rotație
Principalele caracteristici cinematice ale mișcării în linie dreaptă cu accelerație constantă: deplasarea s, viteza υ și accelerația A... Caracteristici corespunzătoare la deplasarea de-a lungul unui cerc cu raza R: deplasarea unghiulară φ, viteza unghiulară ω și accelerația unghiulară ε (în cazul în care corpul se rotește cu viteză variabilă).
Din considerente geometrice, urmează următoarele conexiuni între aceste caracteristici:
deplasarea s → deplasarea unghiulară φ = s / R;
viteza υ → viteza unghiulară ω = υ / R;
accelerare A→ accelerația unghiulară ε = A/ R.
Toate formulele pentru cinematica mișcării uniform accelerate de-a lungul unei linii drepte pot fi transformate în formule pentru cinematica de rotație de-a lungul unui cerc dacă se fac modificările indicate. De exemplu:
s = υt → φ = ωt, (29)
υ = υ 0 + A t → ω = ω 0 + ε t. (29a)
Relația dintre vitezele liniare și unghiulare ale unui punct atunci când se rotește în jurul unui cerc poate fi scrisă sub formă vectorială. Într-adevăr, să fie situat un cerc centrat la origine în planul (x, y). În orice moment în timp, vectorul 
trasat de la origine până la punctul de pe cerc în care se află corpul este perpendicular pe vectorul viteză al corpului 
tangențială la cerc în acest punct. Definim un vector 
, care este egală ca mărime cu viteza unghiulară ω și este îndreptată de-a lungul axei de rotație în direcția care este determinată de regula șurubului drept: dacă șurubul este înșurubat astfel încât sensul de rotație să coincidă cu direcția lui rotirea punctului în jurul circumferinței, apoi direcția de mișcare a șurubului arată direcția vectorului 
... Apoi conexiunea a trei vectori reciproc perpendiculari 
,
și 
poate fi scris folosind produsul încrucișat al vectorilor.
Ne permite să existe pe această planetă. Cum poți înțelege ce reprezintă accelerația centripetă? Definiția acestui cantitate fizica prezentat mai jos.
Observatii
Cel mai simplu exemplu de accelerație a unui corp care se mișcă într-un cerc poate fi observat prin rotirea unei pietre pe o frânghie. Tragi de frânghie și frânghia trage piatra spre centru. În fiecare moment în timp, frânghia conferă o anumită mișcare pietrei și de fiecare dată - într-o nouă direcție. Vă puteți imagina mișcarea frânghiei ca pe o serie de smucituri slabe. O liniuță - și frânghia își schimbă direcția, o altă smucitură - o altă schimbare și așa mai departe într-un cerc. Dacă eliberați brusc frânghia, smucitura se va opri și, odată cu aceasta, schimbarea direcției de viteză se va opri. Piatra se va deplasa într-o direcție tangentă la cerc. Apare întrebarea: „Cu ce accelerație se va mișca corpul în acest moment?”
Formula de accelerare centripetă
În primul rând, trebuie remarcat faptul că mișcarea corpului într-un cerc este complexă. Piatra participă la două tipuri de mișcare în același timp: sub acțiunea forței, se deplasează spre centrul de rotație și, în același timp, se îndepărtează de acest centru tangențial la cerc. Conform celei de-a doua legi a lui Newton, forța care ține o piatră pe o frânghie este îndreptată spre centrul de rotație de-a lungul acelei frânghii. Vectorul accelerație va fi direcționat acolo.
Fie ca pentru ceva timp piatra noastră, mișcându-se uniform cu viteza V, ajunge din punctul A în punctul B. Să presupunem că în momentul în care corpul a traversat punctul B, forța centripetă a încetat să mai acționeze asupra lui. Apoi, într-o perioadă de timp, ar fi ajuns în punctul K. Se află pe o dreaptă tangentă. Dacă în același moment de timp ar acționa asupra corpului doar forțe centripete, atunci în timpul t, mișcându-se cu aceeași accelerație, acesta ar fi în punctul O, care se află pe o dreaptă reprezentând diametrul unui cerc. Ambele segmente sunt vectori și respectă regula de adunare a vectorului. Ca urmare a însumării acestor două mișcări pentru un interval de timp t, obținem mișcarea rezultată de-a lungul arcului AB.
Dacă intervalul de timp t este considerat neglijabil de mic, atunci arcul AB va diferi puțin de coarda AB. Astfel, este posibilă înlocuirea mișcării arcului cu mișcarea coardei. În acest caz, mișcarea pietrei de-a lungul coardei se va supune legilor mișcare dreaptă, adică distanța parcursă AB va fi egală cu produsul dintre viteza pietrei și timpul de mișcare a acesteia. AB = V x t.
Să notăm accelerația centripetă dorită cu litera a. Apoi, calea parcursă numai sub acțiunea accelerației centripete poate fi calculată folosind formula pentru mișcarea uniform accelerată:
Distanța AB este egală cu produsul dintre viteză și timp, adică AB = V x t,
AO - calculat mai devreme prin formula mișcării uniform accelerate pentru deplasarea în linie dreaptă: AO = la 2/2.
Înlocuind aceste date în formulă și transformându-le, obținem o formulă simplă și elegantă pentru accelerația centripetă:
În cuvinte, aceasta poate fi exprimată după cum urmează: accelerația centripetă a unui corp care se mișcă într-un cerc este egală cu câtul împărțirii vitezei liniare într-un pătrat la raza cercului de-a lungul căruia corpul se rotește. Forța centripetă în acest caz va arăta ca în imaginea de mai jos.
Viteză unghiulară
Viteza unghiulară este egală cu câtul vitezei liniare împărțit la raza cercului. Afirmația inversă este de asemenea adevărată: V = ωR, unde ω este viteza unghiulară
Dacă introduceți această valoare în formulă, puteți obține o expresie pentru accelerația centrifugă pentru viteza unghiulară. Va arata asa:
Accelerație fără schimbarea vitezei
Și totuși, de ce un corp cu accelerație îndreptată spre centru nu se mișcă mai repede și nu se apropie de centrul de rotație? Răspunsul se află chiar în formularea accelerației. Dovezile sugerează că mișcarea circulară este reală, dar necesită accelerare spre centru pentru a o susține. Sub acțiunea forței cauzate de această accelerație, cantitatea de mișcare se modifică, în urma căreia traiectoria mișcării este constant curbată, tot timpul schimbând direcția vectorului viteză, dar neschimbându-l. valoare absolută... Mișcându-se în cerc, piatra noastră îndelungată de suferință se repezi spre interior, altfel ar continua să se miște tangențial. În fiecare moment de timp, plecând tangenţial, piatra este atrasă de centru, dar nu cade în el. Un alt exemplu de accelerație centripetă ar fi un schior de apă care face cercuri mici pe apă. Figura sportivului este înclinată; pare să cadă, continuând să se miște și aplecându-se înainte.
Astfel, putem concluziona că accelerația nu crește viteza corpului, deoarece vectorii viteză și accelerație sunt perpendiculari unul pe celălalt. Adăugând vectorului viteză, accelerația schimbă doar direcția de mișcare și menține corpul pe orbită.
Depășirea marjei de siguranță
În experimentul anterior, am avut de-a face cu o frânghie perfectă care nu s-a rupt. Dar, să zicem, frânghia noastră este cea mai comună și poți chiar să calculezi efortul după care pur și simplu se va rupe. Pentru a calcula această forță, este suficient să comparăm marja de siguranță a frânghiei cu sarcina pe care o experimentează în timpul rotației pietrei. Rotind piatra într-un ritm mai rapid, îi spui cantitate mare mișcare, ceea ce înseamnă mai multă accelerație.
Cu un diametru de frânghie de iută de aproximativ 20 mm, rezistența sa la tracțiune este de aproximativ 26 kN. Este de remarcat faptul că lungimea frânghiei nu apare nicăieri. Rotind o greutate de 1 kg pe o frânghie cu raza de 1 m, putem calcula că viteza liniară necesară ruperii acesteia este de 26 x 10 3 = 1 kg x V 2/1 m. Astfel, viteza care este periculoasă pentru depășirea va fi egală cu √ 26 x 10 3 = 161 m / s.
Gravitatie
Când luăm în considerare experimentul, am neglijat efectul gravitației, deoarece la viteze atât de mari efectul său este neglijabil. Dar puteți observa că atunci când desfaceți o frânghie lungă, corpul urmează o traiectorie mai complexă și se apropie treptat de sol.
Corpuri cerești
Dacă transferați legile mișcării într-un cerc în spațiu și le aplicați mișcării corpurilor cerești, puteți redescoperi mai multe formule de mult familiare. De exemplu, forța cu care un corp este atras de Pământ este cunoscută prin formula:
În cazul nostru, factorul g este aceeași accelerație centripetă care a fost derivată din formula anterioară. Numai în acest caz va fi îndeplinit rolul pietrei corp ceresc, gravitând spre Pământ, iar rolul frânghiei este forța gravitației. Factorul g va fi exprimat în termeni de raza planetei noastre și viteza de rotație a acesteia.
Rezultate
Esența accelerației centripete este munca grea și ingrată de a menține un corp în mișcare pe orbită. Un caz paradoxal se observă când la accelerație constantă corpul nu își schimbă mărimea vitezei sale. Pentru o minte neantrenată, o astfel de afirmație este mai degrabă paradoxală. Cu toate acestea, atunci când se calculează mișcarea unui electron în jurul nucleului și când se calculează viteza de rotație a unei stele în jurul unei găuri negre, accelerația centripetă joacă un rol important.
