Ce este o definiție de triunghi versatilă. Ce este un triunghi. Ce sunt ei. Triunghi - definiție și concepte generale

Astăzi mergem în țara Geometriei, unde ne vom familiariza cu diferite tipuri de triunghiuri.

Luați în considerare formele geometrice și găsiți printre ele „de prisos” (Fig. 1).

Orez. 1. Ilustrație de exemplu

Vedem că figurile # 1, 2, 3, 5 sunt patrulatere. Fiecare dintre ele are propriul nume (Fig. 2).

Orez. 2. Patraunghiuri

Aceasta înseamnă că figura „în plus” este un triunghi (Fig. 3).

Orez. 3. Ilustrație de exemplu

Un triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi.

Punctele sunt numite vârfurile triunghiului, segmente - it petreceri... Laturile triunghiului formează sunt trei colțuri la vârfurile triunghiului.

Principalele semne ale unui triunghi sunt trei laturi si trei colturi. Din punct de vedere al unghiului, triunghiurile sunt unghi ascuțit, dreptunghiular și unghi obtuz.

Un triunghi se numește unghi ascuțit dacă toate cele trei colțuri sunt acute, adică mai mici de 90 ° (Fig. 4).

Orez. 4. Triunghi unghiular acut

Un triunghi se numește dreptunghiular dacă unul dintre colțurile sale are 90 ° (Fig. 5).

Orez. 5. Triunghi dreptunghic

Un triunghi se numește obtuz dacă unul dintre colțurile sale este obtuz, adică mai mult de 90 ° (Fig. 6).

Orez. 6. Triunghi obtuz

După numărul de laturi egale, triunghiurile sunt echilaterale, isoscele, versatile.

Un triunghi isoscel este un triunghi ale cărui două laturi sunt egale (Fig. 7).

Orez. 7. Triunghi isoscel

Aceste partide sunt chemate lateral, A treia parte - bază. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.

Triunghiurile isoscele sunt unghiular acut si unghiul obtuz(fig. 8) .

Orez. 8. Triunghiuri isoscele acute și obtuze

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate cele trei laturi sunt egale (Fig. 9).

Orez. 9. Triunghi echilateral

Într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt egale. Triunghiuri echilaterale mereu unghiular acut.

Un triunghi se numește versatil, în care toate cele trei laturi au lungimi diferite (Fig. 10).

Orez. 10. Triunghi versatil

Finalizați sarcina. Împărțiți aceste triunghiuri în trei grupe (fig. 11).

Orez. 11. Ilustrație pentru sarcină

În primul rând, distribuim după mărimea unghiurilor.

Triunghiuri acute: nr. 1, nr. 3.

Triunghiuri dreptunghiulare: nr. 2, nr. 6.

Triunghiuri obtuze: nr. 4, nr. 5.

Vom distribui aceleași triunghiuri în grupuri în funcție de numărul de laturi egale.

Triunghiuri versatile: nr. 4, nr. 6.

Triunghiuri isoscele: nr. 2, nr. 3, nr. 5.

Triunghi echilateral: nr. 1.

Luați în considerare desenele.

Gândiți-vă ce bucată de sârmă ați făcut fiecare triunghi (fig. 12).

Orez. 12. Ilustrație pentru sarcină

Poți să raționezi așa.

Prima bucată de sârmă este împărțită în trei părți egale, astfel încât din ea se poate face un triunghi echilateral. În figură, el este prezentat ca al treilea.

A doua bucată de sârmă este împărțită în trei părți diferite, astfel încât să puteți face un triunghi versatil din ea. El este prezentat primul în figură.

A treia bucată de sârmă este împărțită în trei părți, unde cele două părți au aceeași lungime, ceea ce înseamnă că din ea se poate face un triunghi isoscel. În figură, el este prezentat ca al doilea.

Astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu diferitele tipuri de triunghiuri.

Bibliografie

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova şi alţii.Matematică: Manual. Clasa 3: în 2 părți, partea 1. - M .: „Educație”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova şi alţii.Matematică: Manual. Clasa a 3-a: în 2 părți, partea a 2-a. - M .: „Educație”, 2012.
3. M.I. Moreau. Lecții de matematică: orientări pentru profesori. Clasa 3. - M .: Educație, 2012.
4. Act normativ normativ. Monitorizarea și evaluarea rezultatelor învățării. - M .: „Educația”, 2011.
5. „Școala Rusiei”: programe pentru școala elementară. - M .: „Educația”, 2011.
6. SI. Volkova. Matematică: Lucrări de verificare. Clasa 3. - M .: Educație, 2012.
7. V.N. Rudnitskaia. Teste. - M .: „Examen”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Teme pentru acasă

1. Completează frazele.

a) Un triunghi este o figură formată din ..., care nu se află pe o singură linie dreaptă, și ..., care leagă aceste puncte în perechi.

b) Se numesc puncte … , segmente - it … ... Laturile triunghiului se formează la vârfurile triunghiului ….

c) Din punct de vedere al unghiului, triunghiurile sunt…,…,….

d) După numărul de laturi egale, triunghiurile sunt…,…,….

2. Desenați

a) un triunghi dreptunghic;

b) triunghi unghiular ascutit;

c) triunghi obtuz;

d) un triunghi echilateral;

e) triunghi versatil;

f) triunghi isoscel.

3. Faceți o temă pe tema lecției pentru colegii tăi.

Astăzi mergem în țara Geometriei, unde ne vom familiariza cu diferite tipuri de triunghiuri.

Luați în considerare formele geometrice și găsiți printre ele „de prisos” (Fig. 1).

Orez. 1. Ilustrație de exemplu

Vedem că figurile # 1, 2, 3, 5 sunt patrulatere. Fiecare dintre ele are propriul nume (Fig. 2).

Orez. 2. Patraunghiuri

Aceasta înseamnă că figura „în plus” este un triunghi (Fig. 3).

Orez. 3. Ilustrație de exemplu

Un triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi.

Punctele sunt numite vârfurile triunghiului, segmente - it petreceri... Laturile triunghiului formează sunt trei colțuri la vârfurile triunghiului.

Principalele semne ale unui triunghi sunt trei laturi si trei colturi. Din punct de vedere al unghiului, triunghiurile sunt unghi ascuțit, dreptunghiular și unghi obtuz.

Un triunghi se numește unghi ascuțit dacă toate cele trei colțuri sunt acute, adică mai mici de 90 ° (Fig. 4).

Orez. 4. Triunghi unghiular acut

Un triunghi se numește dreptunghiular dacă unul dintre colțurile sale are 90 ° (Fig. 5).

Orez. 5. Triunghi dreptunghic

Un triunghi se numește obtuz dacă unul dintre colțurile sale este obtuz, adică mai mult de 90 ° (Fig. 6).

Orez. 6. Triunghi obtuz

După numărul de laturi egale, triunghiurile sunt echilaterale, isoscele, versatile.

Un triunghi isoscel este un triunghi ale cărui două laturi sunt egale (Fig. 7).

Orez. 7. Triunghi isoscel

Aceste partide sunt chemate lateral, A treia parte - bază. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.

Triunghiurile isoscele sunt unghiular acut si unghiul obtuz(fig. 8) .

Orez. 8. Triunghiuri isoscele acute și obtuze

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate cele trei laturi sunt egale (Fig. 9).

Orez. 9. Triunghi echilateral

Într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt egale. Triunghiuri echilaterale mereu unghiular acut.

Un triunghi se numește versatil, în care toate cele trei laturi au lungimi diferite (Fig. 10).

Orez. 10. Triunghi versatil

Finalizați sarcina. Împărțiți aceste triunghiuri în trei grupe (fig. 11).

Orez. 11. Ilustrație pentru sarcină

În primul rând, distribuim după mărimea unghiurilor.

Triunghiuri acute: nr. 1, nr. 3.

Triunghiuri dreptunghiulare: nr. 2, nr. 6.

Triunghiuri obtuze: nr. 4, nr. 5.

Vom distribui aceleași triunghiuri în grupuri în funcție de numărul de laturi egale.

Triunghiuri versatile: nr. 4, nr. 6.

Triunghiuri isoscele: nr. 2, nr. 3, nr. 5.

Triunghi echilateral: nr. 1.

Luați în considerare desenele.

Gândiți-vă ce bucată de sârmă ați făcut fiecare triunghi (fig. 12).

Orez. 12. Ilustrație pentru sarcină

Poți să raționezi așa.

Prima bucată de sârmă este împărțită în trei părți egale, astfel încât din ea se poate face un triunghi echilateral. În figură, el este prezentat ca al treilea.

A doua bucată de sârmă este împărțită în trei părți diferite, astfel încât să puteți face un triunghi versatil din ea. El este prezentat primul în figură.

A treia bucată de sârmă este împărțită în trei părți, unde cele două părți au aceeași lungime, ceea ce înseamnă că din ea se poate face un triunghi isoscel. În figură, el este prezentat ca al doilea.

Astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu diferitele tipuri de triunghiuri.

Bibliografie

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova şi alţii.Matematică: Manual. Clasa 3: în 2 părți, partea 1. - M .: „Educație”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova şi alţii.Matematică: Manual. Clasa a 3-a: în 2 părți, partea a 2-a. - M .: „Educație”, 2012.
3. M.I. Moreau. Lecții de matematică: orientări pentru profesori. Clasa 3. - M .: Educație, 2012.
4. Act normativ normativ. Monitorizarea și evaluarea rezultatelor învățării. - M .: „Educația”, 2011.
5. „Școala Rusiei”: programe pentru școala elementară. - M .: „Educația”, 2011.
6. SI. Volkova. Matematică: Lucrări de verificare. Clasa 3. - M .: Educație, 2012.
7. V.N. Rudnitskaia. Teste. - M .: „Examen”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Teme pentru acasă

1. Completează frazele.

a) Un triunghi este o figură formată din ..., care nu se află pe o singură linie dreaptă, și ..., care leagă aceste puncte în perechi.

b) Se numesc puncte … , segmente - it … ... Laturile triunghiului se formează la vârfurile triunghiului ….

c) Din punct de vedere al unghiului, triunghiurile sunt…,…,….

d) După numărul de laturi egale, triunghiurile sunt…,…,….

2. Desenați

a) un triunghi dreptunghic;

b) triunghi unghiular ascutit;

c) triunghi obtuz;

d) un triunghi echilateral;

e) triunghi versatil;

f) triunghi isoscel.

3. Faceți o temă pe tema lecției pentru colegii tăi.

Denumiri standard

Triunghi cu vârfuri A, Bși C notat ca (vezi fig.). Triunghiul are trei laturi:

Lungimile laturilor triunghiului sunt indicate prin litere latine mici (a, b, c):

Triunghiul are următoarele unghiuri:

Unghiurile de la vârfurile corespunzătoare sunt în mod tradițional notate cu litere grecești (α, β, γ).

Teste de egalitate pentru triunghiuri

Un triunghi pe planul euclidian poate fi determinat în mod unic (până la congruență) prin următoarele triple ale elementelor de bază:

1. a, b, γ (egalitatea pe două laturi și unghiul care se află între ele);
2. a, β, γ (egalitate în latură și două unghiuri adiacente);
3. a, b, c (egalitate pe trei laturi).

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare:

1. de-a lungul piciorului și ipotenuzei;
2. pe două picioare;
3. de-a lungul piciorului și colțului ascuțit;
4. prin ipotenuză și unghi ascuțit.

Unele puncte din triunghi sunt „pereche”. De exemplu, există două puncte din care toate laturile sunt vizibile fie la 60 °, fie la 120 °. Sunt chemați puncte Torricelli... Există, de asemenea, două puncte, ale căror proiecții la laturi se află la vârfurile unui triunghi regulat. Aceasta - Apollonius arată... Sunt numite puncte și altele asemenea puncte Brocard.

Direct

În orice triunghi, centrul de greutate, ortocentrul și centrul cercului circumscris se află pe o singură linie dreaptă, numită linia dreaptă a lui Euler.

Linia dreaptă care trece prin centrul cercului circumscris și punctul Lemoine se numește Axa Brocard... Punctele lui Apollonius se află pe el. De asemenea, punctul Torricelli și punctul Lemoine se află pe o singură linie dreaptă. Bazele bisectoarelor exterioare ale unghiurilor unui triunghi se află pe o singură dreaptă, numită axa bisectoarelor exterioare... Punctele de intersecție ale dreptelor care conțin laturile ortotriunghiului cu liniile care conțin laturile triunghiului se află și ele pe o singură dreaptă. Această linie se numește axul ortocentric, este perpendicular pe dreapta lui Euler.

Dacă luăm un punct de pe cercul circumscris unui triunghi, atunci proiecțiile sale pe laturile triunghiului vor fi situate pe o singură dreaptă, numită Simson e hetero acest punct. Liniile lui Simson de puncte diametral opuse sunt perpendiculare.

Triunghiuri

• Se numește un triunghi cu vârfuri la baza chevianelor trase printr-un punct dat triunghi chevian acest punct.
• Se numește un triunghi cu vârfuri în proiecțiile unui punct dat pe laturi ascuns sau triunghiul pedalei acest punct.
• Triunghiul de la vârfurile din al doilea punct de intersecție al dreptelor trasate prin vârfuri și acest punct, cu cercul circumscris, se numește Triunghiul Chevian de circumferință... Triunghiul circumferențial-chevian este similar cu cel podderny.

Cercuri

• Cerc înscris- un cerc tangent la toate cele trei laturi ale triunghiului. Ea este singura. Centrul cercului înscris se numește incentrum.
• Cerc circumscris- un cerc care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului. Cercul circumscris este, de asemenea, unic.
• Excerciază- un cerc tangent la o latură a triunghiului și continuarea celorlalte două laturi. Există trei astfel de cercuri într-un triunghi. Centrul lor radical este centrul cercului înscris al triunghiului median, numit Ideea lui Spiker.

Punctele de mijloc ale celor trei laturi ale triunghiului, bazele celor trei înălțimi ale sale și punctele de mijloc ale celor trei segmente care leagă vârfurile sale de ortocentrul, se află pe un cerc, numit un cerc de nouă puncte sau cercul lui Euler... Centrul cercului de nouă puncte se află pe linia lui Euler. Cercul de nouă puncte atinge cercul și cele trei puncte ex. Punctul tangent al cercului înscris și al cercului în nouă puncte se numește punctul Feuerbach... Dacă, din fiecare vârf, așezăm exteriorul triunghiului pe linii drepte care conțin laturi, orteze egale în lungime cu laturile opuse, atunci cele șase puncte rezultate se află pe un cerc - Cercul lui Conway... Trei cercuri pot fi înscrise în orice triunghi în așa fel încât fiecare dintre ele să atingă două laturi ale triunghiului și alte două cercuri. Se numesc astfel de cercuri cercuri Malfatti... Centrele cercurilor circumscrise a șase triunghiuri, în care triunghiul este împărțit prin mediane, se află pe un cerc, care se numește cercul lui Lamun.

Un triunghi are trei cercuri care ating două laturi ale triunghiului și cercul circumferitor. Se numesc astfel de cercuri pe jumătate scrisă sau cercurile lui Verrier... Segmentele care leagă punctele de tangență ale cercurilor Verriere cu cercul circumscris se intersectează într-un punct, numit Punctul Verrier... Acesta servește ca centru al homoteziei, care transformă cercul circumferitor într-un cerc înscris. Punctele de tangență ale cercurilor Verrière cu laturile se află pe o linie dreaptă care trece prin centrul cercului înscris.

Segmentele care leagă punctele de tangență ale cercului înscris cu vârfurile se intersectează într-un punct, numit punct Gergonne, iar segmentele de dreaptă care leagă vârfurile cu punctele de tangență ale excercurilor sunt în punctul Nagel.

Elipse, parabole și hiperbole

Conica înscrisă (elipsa) și perspectiva acesteia

Un număr infinit de conice (elipse, parabole sau hiperbole) pot fi înscrise într-un triunghi. Dacă înscrieți o conică arbitrară într-un triunghi și conectați punctele de tangență cu vârfuri opuse, atunci liniile drepte rezultate se intersectează într-un punct, numit perspectivă conici. Pentru orice punct al planului care nu se află în lateral sau pe prelungirea lui, există o conică înscrisă cu o perspectivă în acest punct.

Elipsa descrisă a lui Steiner și chevians care trec prin focarele sale

O elipsă poate fi înscrisă într-un triunghi care atinge laturile din mijloc. O astfel de elipsă se numește inscripţionată elipsa Steiner(perspectiva sa va fi centrul triunghiului). Se numește elipsa descrisă, care atinge liniile care trec prin vârfurile paralele cu laturile descris de elipsa Steiner... Dacă printr-o transformare afină („înclinare”) transformăm un triunghi într-unul regulat, atunci elipsa lui Steiner înscrisă și circumscrisă va intra în cercul înscris și circumscris. Chevianele desenate prin focarele elipsei Steiner descrise (punctele Skutin) sunt egale (teorema lui Skutin). Dintre toate elipsele descrise, elipsa Steiner descrisă are cea mai mică zonă, iar dintre toate elipsele înscrise, elipsa Steiner înscrisă are cea mai mare zonă.

Elipsa lui Brocard și perspectiva ei - punctul Lemoine

Se numește o elipsă cu focare în punctele Brocard Elipsa lui Brocard... Punctul Lemoine îi servește drept perspectivă.

Proprietățile parabolelor înscrise

Parabola Kipert

Perspectivele parabolelor înscrise se află pe elipsa Steiner descrisă. Focalizarea parabolei înscrise se află pe cercul circumferitor, iar directricea trece prin ortocentru. Se numește o parabolă înscrisă într-un triunghi având drept directrice a lui Euler parabola Kipert... Perspectiva sa este al patrulea punct de intersecție al cercului circumscris și elipsei Steiner circumscrise, numită punctul Steiner.

Hiperbola lui Kipert

Dacă hiperbola descrisă trece prin punctul de intersecție al înălțimilor, atunci este echilaterală (adică asimptotele sale sunt perpendiculare). Punctul de intersecție al asimptotelor hiperbolei echilaterale se află pe cercul de nouă puncte.

Transformări

Dacă liniile drepte care trec prin vârfuri și un punct care nu se află pe laturi și prelungirile lor sunt reflectate în raport cu bisectoarele corespunzătoare, atunci imaginile lor se vor intersecta și într-un punct, care se numește conjugat izogonal original (dacă punctul se află pe cercul circumscris, atunci liniile drepte rezultate vor fi paralele). Multe perechi de puncte remarcabile sunt conjugate izogonal: centrul cercului circumscris și ortocentrul, centroidul și punctul lui Lemoine, punctele lui Brocard. Punctele Apollonius sunt conjugate izogonal cu punctele Torricelli, iar centrul cercului înscris este conjugat izogonal cu el însuși. Sub acțiunea conjugării izogonale, liniile drepte trec în conice descrise, iar conici descrise - în linii drepte. Deci, hiperbola Kipert și axa Brocard, hiperbola Enzhabek și linia Euler, hiperbola Feuerbach și linia centrelor înscrise în jurul cercurilor circumscrise sunt conjugate izogonal. Cercurile circumscrise ale triunghiurilor hipodermice ale punctelor conjugate izogonal coincid. Focalele elipselor înscrise sunt conjugate izogonal.

Dacă, în loc de o cheviana simetrică, luăm o cheviana, a cărei bază este îndepărtată de la mijlocul laturii în același mod ca baza originalului, atunci și astfel de chevian se vor intersecta într-un punct. Transformarea rezultată se numește conjugare izotomică... De asemenea, transformă liniile drepte în conice descrise. Punctele lui Gergonne și Nagel sunt conjugate izotomic. În cadrul transformărilor afine, punctele conjugate izotomic sunt transformate în cele conjugate izotomic. În cazul conjugării izotomice, elipsa Steiner descrisă va merge la linia infinit îndepărtată.

Dacă în segmentele tăiate de laturile triunghiului din cercul circumscris, înscriem cercuri tangente la laturile de la baza chevianelor trasate printr-un anumit punct, apoi conectăm punctele de tangență ale acestor cercuri cu cercul circumscris. cu vârfuri opuse, atunci astfel de linii drepte se vor intersecta într-un punct. Se numește transformarea planului care potrivește punctul rezultat cu punctul original transformare izo-circulară... Compoziția de conjugare izogonală și izotomică este compoziția de transformare izocirculară cu ea însăși. Această compoziție este o transformare proiectivă, care lasă laturile triunghiului pe loc și transferă axa bisectoarelor exterioare pe dreapta la infinit.

Dacă continuăm laturile triunghiului chevian ale unui punct și luăm punctele lor de intersecție cu laturile corespunzătoare, atunci punctele de intersecție obținute se vor afla pe o singură dreaptă, numită polar triliniar punct de start. Axa ortocentrică - polar triliniar al ortocentrului; axa bisectoarelor exterioare servește ca polară triliniară a centrului cercului înscris. Polarii triliniari ai punctelor situate pe conica circumscrisă se intersectează într-un punct (pentru cercul circumscris acesta este punctul Lemoine, pentru elipsa Steiner circumscrisă - centroidul). Compoziția unui conjugat izogonal (sau izotomic) și a unui polar triliniar este o transformare a dualității (dacă un punct conjugat izogonal (izotomic) la un punct se află pe polara triliniară a unui punct, atunci o polară triliniară a unui punct izogonal (izotomic) ) la un punct conjugat se află pe o polară triliniară a unui punct).

Cuburi

Relații într-un triunghi

Notă:în această secțiune,, sunt lungimile celor trei laturi ale triunghiului și,, sunt unghiurile situate, respectiv, opuse acestor trei laturi (unghiuri opuse).

Inegalitatea triunghiului

Într-un triunghi nedegenerat, suma lungimilor celor două laturi ale sale este mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi, într-un triunghi degenerat este egală cu. Cu alte cuvinte, lungimile laturilor unui triunghi sunt legate de următoarele inegalități:

Inegalitatea triunghiului este una dintre axiomele metricii.

Teorema sumei unghiurilor unui triunghi

Teorema sinusului

,

unde R este raza unui cerc circumscris unui triunghi. Din teoremă rezultă că dacă a< b < c, то α < β < γ.

Teorema cosinusului

Teorema tangentei

Alte rapoarte

Rapoartele metrice dintr-un triunghi sunt date pentru:

Rezolvarea triunghiurilor

Calculul laturilor și unghiurilor necunoscute ale unui triunghi, pe baza celor cunoscute, a primit istoric denumirea de „soluție de triunghiuri”. În acest caz, se folosesc teoremele trigonometrice generale de mai sus.

Aria unui triunghi

Cazuri speciale Denumiri

Următoarele inegalități sunt valabile pentru zonă:

Calcularea ariei unui triunghi în spațiu folosind vectori

Fie vârfurile triunghiului să fie în punctele,,.

Să introducem vectorul zonă. Lungimea acestui vector este egală cu aria triunghiului și este îndreptată de-a lungul normalei la planul triunghiului:

Punem, unde,, - proiectia triunghiului pe planurile de coordonate. în care

si asemanator

Aria triunghiului este.

O alternativă este să se calculeze lungimile laturilor (conform teoremei lui Pitagora) și apoi după formula lui Heron.

Teoreme triunghiulare

Această secțiune este incompletă.

Dintre toate poligoanele triunghiuri au cel mai mic număr de colțuri și laturi.

Triunghiurile pot fi distinse după aspectul unghiurilor lor.

Dacă toate colțurile unui triunghi sunt ascuțite, atunci se numește triunghi cu unghi ascuțit.(Fig. 113, a).

Dacă unul dintre colțurile unui triunghi este drept, atunci se numește triunghi dreptunghic.(Fig. 113, b).

Dacă unul dintre colțurile unui triunghi este obtuz, atunci se numește triunghi obtuz.(Fig. 113, c).

Ei spun că noi clasificate triunghiuri după aspectul colțurilor lor.

Triunghiurile pot fi clasificate nu numai după tipul de unghiuri, ci și după numărul de laturi egale.

Dacă cele două laturi ale unui triunghi sunt egale, atunci se numește triunghi isoscel.

Figura 114, a prezintă un triunghi isoscel ABC, pentru care AB = BC. În figură, laturile egale sunt marcate cu un număr egal de liniuțe. Se numesc laturile egale AB si BC laturile laterale, iar partea AC este bază triunghi isoscel ABC.

Dacă laturile unui triunghi sunt egale, atunci se numește triunghi echilateral.

Triunghiul prezentat în figura 114, b, este echilateral, are MN = NE = EM.

Un triunghi cu trei laturi de lungimi diferite se numește triunghi versatil.

Triunghiurile prezentate în Figura 113 sunt versatile. Dacă latura unui triunghi echilateral este a, atunci perimetrul acestuia se calculează cu formula:

P = 3 a

Exemplu 1 . Folosind o riglă și un raportor, construiți un triunghi cu două laturi egale cu 3 cm și 2 cm, iar unghiul dintre ele este de 50 °.

Cu ajutorul unui raportor, construiți un unghi A, a cărui măsură este de 50 ° (Fig. 115). Pe laturile acestui unghi de la vârful său, folosind o riglă, puneți deoparte un segment AB de 3 cm lungime și un segment AC de 2 cm lungime (Fig. 116). Conectând punctele B și C printr-un segment, obținem triunghiul necesar ABC (fig. 117).

Exemplu 2 . Folosind rigla și raportorul, construiți un triunghi ABC cu latura AB egală cu 2 cm și unghiurile CAB și CBA egale cu 40 ° și, respectiv, 110 °.

Soluţie. Cu ajutorul unei rigle construim un segment AB de 2 cm lungime (Fig. 118). Din raza AB, folosind un raportor, amânăm unghiul cu vârful în punctul A, a cărui măsură este de 40 °. Din raza BA în aceeași direcție față de linia dreaptă AB, în care a fost așezat primul unghi, amânăm unghiul cu vârful în punctul B, a cărui măsură de grad este de 110 ° (Fig. 119).

După ce am găsit punctul C de intersecție a laturilor unghiurilor A și B, obținem triunghiul dorit ABC (Fig. 120).

Chiar și copiii preșcolari știu cum arată un triunghi. Dar cu ceea ce sunt, băieții încep deja să înțeleagă la școală. Unul dintre tipuri este un triunghi obtuz. Cel mai simplu mod de a înțelege ce este este dacă vezi o poză cu imaginea lui. Și în teorie este așa numit „cel mai simplu poligon” cu trei laturi și vârfuri, dintre care unul este

Înțelegerea conceptelor

În geometrie se disting aceste tipuri de figuri cu trei laturi: triunghiuri ascuțite, dreptunghiulare și obtuze. Mai mult, proprietățile acestor poligoane simple sunt aceleași pentru toți. Deci, pentru toate speciile enumerate, se va observa o astfel de inegalitate. Suma lungimilor oricăror două laturi va fi în mod necesar mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi.

Dar pentru a fi siguri că vorbim despre o figură completă, și nu despre un set de vârfuri individuale, este necesar să verificați dacă este îndeplinită condiția principală: suma unghiurilor unui triunghi obtuz este de 180 de grade. Același lucru este valabil și pentru alte tipuri de forme cu trei laturi. Adevărat, într-un triunghi obtuz, unul dintre unghiuri va fi chiar mai mare de 90 °, iar celelalte două vor fi cu siguranță ascuțite. În acest caz, este cel mai mare unghi care va fi opus celei mai lungi laturi. Adevărat, acestea sunt departe de toate proprietățile unui triunghi obtuz. Dar chiar și cunoscând doar aceste caracteristici, școlarii pot rezolva multe probleme de geometrie.

Pentru fiecare poligon cu trei vârfuri, este și adevărat că, continuând oricare dintre laturi, obținem un unghi, a cărui dimensiune va fi egală cu suma a două vârfuri interne neadiacente. Perimetrul unui triunghi obtuz se calculează în același mod ca și pentru alte forme. Este egal cu suma lungimilor tuturor laturilor sale. Pentru definiție, matematicienii au derivat diverse formule, în funcție de ce date sunt prezente inițial.

Tipul corect

Una dintre cele mai importante condiții pentru rezolvarea problemelor de geometrie este desenul corect. Adesea profesorii de matematică spun că el va ajuta nu numai să vizualizeze ceea ce este dat și ce se cere de la tine, ci cu 80% mai aproape de răspunsul corect. De aceea este important să știi să construiești un triunghi obtuz. Dacă doriți doar o formă ipotetică, atunci puteți desena orice poligon cu trei laturi, astfel încât unul dintre colțuri să fie mai mare de 90 de grade.

Dacă sunt date anumite valori ale lungimilor laturilor sau gradelor unghiurilor, atunci este necesar să desenați un triunghi obtuz în conformitate cu acestea. În acest caz, este necesar să încercați să descrieți unghiurile cât mai precis posibil, calculându-le cu ajutorul unui raportor și să afișați laturile proporțional cu condițiile date în sarcină.

Liniile principale

Adesea nu este suficient ca elevii să știe doar cum ar trebui să arate anumite cifre. Ele nu pot fi limitate doar la informații despre care triunghi este obtuz și care este dreptunghiular. Cursul de matematică prevede că cunoștințele lor despre principalele caracteristici ale figurilor ar trebui să fie mai complete.

Deci, fiecare elev ar trebui să înțeleagă definiția bisectoarei, medianei, perpendicularei și înălțimii. În plus, el trebuie să le cunoască proprietățile de bază.

Deci, bisectoarele împart unghiul în jumătate, iar partea opusă - în segmente care sunt proporționale cu laturile adiacente.

Mediana împarte orice triunghi în două cu suprafață egală. În punctul în care se intersectează, fiecare dintre ele este împărțit în 2 segmente într-un raport de 2: 1, văzut de la vârful din care a ieșit. În acest caz, mediana mare este întotdeauna atrasă de partea sa cea mai mică.

Nu se acordă mai puțină atenție înălțimii. Este perpendicular pe partea opusă colțului. Înălțimea unui triunghi obtuz are propriile sale caracteristici. Dacă este desenat dintr-un vârf ascuțit, atunci nu cade pe partea acestui poligon cel mai simplu, ci pe continuarea lui.

Punctul de mijloc este segmentul de linie care se extinde din centrul feței triunghiului. În plus, este situat în unghi drept față de acesta.

Lucrul cu cercuri

La începutul studiului geometriei, copiii trebuie doar să înțeleagă cum să deseneze un triunghi obtuz, să învețe să-l distingă de alte tipuri și să-și amintească principalele proprietăți. Dar aceste cunoștințe nu sunt suficiente pentru elevii de liceu. De exemplu, la examen, există adesea întrebări despre cercuri circumscrise și înscrise. Primul dintre ele atinge toate cele trei vârfuri ale triunghiului, iar al doilea are un punct comun cu toate laturile.

Este deja mult mai dificil să construiți un triunghi obtuz înscris sau descris, deoarece pentru aceasta trebuie mai întâi să aflați unde ar trebui să fie centrul cercului și raza acestuia. Apropo, în acest caz, nu numai un creion cu riglă, ci și o busolă va deveni un instrument necesar.

Aceleași dificultăți apar la construirea poligoanelor înscrise cu trei laturi. Diverse formule au fost derivate de matematicieni care fac posibilă determinarea locației lor cât mai precis posibil.

Triunghiuri înscrise

După cum am menționat mai devreme, dacă un cerc trece prin toate cele trei vârfuri, atunci acesta se numește cerc circumscripțional. Principala sa proprietate este că este singurul. Pentru a afla cum ar trebui să fie situat cercul circumscris unui triunghi obtuz, trebuie să vă amintiți că centrul său se află la intersecția a trei perpendiculare medii care merg pe laturile figurii. Dacă într-un poligon cu unghi ascuțit cu trei vârfuri acest punct va fi în interiorul lui, atunci într-un poligon cu unghi obtuz - în afara lui.

Știind, de exemplu, că una dintre laturile unui triunghi obtuz este egală cu raza acestuia, puteți găsi unghiul care se află opus feței cunoscute. Sinusul său va fi egal cu rezultatul împărțirii lungimii laturii cunoscute la 2R (unde R este raza cercului). Adică, păcatul unghiului va fi ½. Aceasta înseamnă că unghiul va fi egal cu 150 °.

Dacă trebuie să găsiți raza cercului circumscris unui triunghi obtuz, atunci veți avea nevoie de informații despre lungimea laturilor sale (c, v, b) și aria sa S. La urma urmei, raza se calculează după cum urmează: ( cxvxb): 4 x S. Apropo, nu contează ce fel de figură aveți: un triunghi obtuz versatil, isoscel, dreptunghiular sau în unghi ascuțit. În orice situație, datorită formulei de mai sus, puteți afla aria unui poligon dat cu trei laturi.

Triunghiuri descrise

De asemenea, destul de des trebuie să lucrați cu cercuri înscrise. Conform uneia dintre formule, raza unei astfel de figuri, înmulțită cu ½ din perimetru, va fi egală cu aria triunghiului. Adevărat, pentru a-ți da seama, trebuie să cunoști laturile unui triunghi obtuz. Într-adevăr, pentru a determina jumătate din perimetru, este necesar să adăugați lungimile lor și să le împărțiți la 2.

Pentru a înțelege unde ar trebui să fie situat centrul unui cerc înscris într-un triunghi obtuz, este necesar să desenați trei bisectoare. Acestea sunt liniile care bisectează colțurile. Centrul cercului va fi situat la intersecția lor. Mai mult, va fi echidistant de fiecare parte.

Raza unui astfel de cerc înscris într-un triunghi obtuz este egală cu câtul (p-c) x (p-v) x (p-b): p. Mai mult, p este semiperimetrul triunghiului, c, v, b sunt laturile acestuia.