Ecuații logaritmice. De la simplu la complex. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Cum se rezolvă, cu exemple Rezolvarea ecuațiilor logaritmice pătratice

În această lecție vom trece în revistă faptele teoretice de bază despre logaritmi și vom lua în considerare rezolvarea celor mai simple ecuații logaritmice.

Să ne amintim definiția centrală - definiția unui logaritm. Implică rezolvarea unei ecuații exponențiale. Această ecuație are o singură rădăcină, se numește logaritmul lui b la baza a:

Definiție:

Logaritmul lui b la baza a este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obține b.

Să vă reamintim identitate logaritmică de bază.

Expresia (expresia 1) este rădăcina ecuației (expresia 2). Înlocuiți valoarea x din expresia 1 în loc de x în expresia 2 și obțineți identitatea logaritmică principală:

Deci vedem că fiecare valoare este asociată cu o valoare. Notăm b cu x(), c cu y și obținem astfel o funcție logaritmică:

De exemplu:

Să ne amintim proprietățile de bază ale funcției logaritmice.

Să fim atenți încă o dată, aici, deoarece sub logaritm poate exista o expresie strict pozitivă, ca bază a logaritmului.

Orez. 1. Graficul unei funcții logaritmice în diferite baze

Graficul funcției la este afișat cu negru. Orez. 1. Dacă argumentul crește de la zero la infinit, funcția crește de la minus la plus infinit.

Graficul funcției la este afișat cu roșu. Orez. 1.

Proprietățile acestei funcții:

Domeniu: ;

Interval de valori: ;

Funcția este monotonă în întregul său domeniu de definire. Când crește monoton (strict), o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. Când monoton (strict) scade, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

Proprietățile funcției logaritmice sunt cheia pentru rezolvarea unei varietăți de ecuații logaritmice.

Să considerăm cea mai simplă ecuație logaritmică, de regulă, toate celelalte ecuații logaritmice sunt reduse la această formă.

Deoarece bazele logaritmilor și logaritmii înșiși sunt egale, funcțiile de sub logaritm sunt, de asemenea, egale, dar nu trebuie să pierdem domeniul de definiție. Doar un număr pozitiv poate apărea sub logaritm, avem:

Am aflat că funcțiile f și g sunt egale, deci este suficient să alegeți orice inegalitate pentru a respecta ODZ.

Astfel, avem un sistem mixt în care există o ecuație și o inegalitate:

De regulă, nu este necesar să se rezolve o inegalitate, este suficient să se rezolve ecuația și să se înlocuiască rădăcinile găsite în inegalitate, efectuând astfel o verificare.

Să formulăm o metodă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații logaritmice:

Egalizarea bazelor logaritmilor;

Echivalează funcții sublogaritmice;

Efectuați verificarea.

Să ne uităm la exemple specifice.

Exemplul 1 - rezolvați ecuația:

Bazele logaritmilor sunt inițial egale, avem dreptul de a echivala expresii sublogaritmice, nu uitați de ODZ, alegem primul logaritm pentru a compune inegalitatea:

Exemplul 2 - rezolvați ecuația:

Această ecuație diferă de cea anterioară prin faptul că bazele logaritmilor sunt mai mici decât unu, dar acest lucru nu afectează soluția în niciun fel:

Să găsim rădăcina și să o înlocuim în inegalitate:

Am primit o inegalitate incorectă, ceea ce înseamnă că rădăcina găsită nu satisface ODZ.

Exemplul 3 - rezolvați ecuația:

Bazele logaritmilor sunt inițial egale, avem dreptul de a echivala expresii sublogaritmice, nu uitați de ODZ, alegem al doilea logaritm pentru a compune inegalitatea:

Să găsim rădăcina și să o înlocuim în inegalitate:

Evident, doar prima rădăcină satisface DD.

Exemple:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Cum se rezolvă ecuații logaritmice:

Când rezolvați o ecuație logaritmică, ar trebui să vă străduiți să o transformați în forma \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), și apoi să faceți tranziția la \(f(x) )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Exemplu:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Soluţie: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Examinare:\(10>2\) - potrivit pentru DL Răspuns:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Foarte important! Această tranziție poate fi făcută numai dacă:

Ai scris pentru ecuația originală, iar la sfârșit vei verifica dacă cele găsite sunt incluse în DL. Dacă nu se face acest lucru, pot apărea rădăcini suplimentare, ceea ce înseamnă o decizie greșită.

Numărul (sau expresia) din stânga și din dreapta este același;

Logaritmii din stânga și din dreapta sunt „puri”, adică nu ar trebui să existe înmulțiri, împărțiri etc. – numai logaritmi unici de fiecare parte a semnului egal.

De exemplu:

Rețineți că ecuațiile 3 și 4 pot fi rezolvate cu ușurință prin aplicarea proprietăților necesare ale logaritmilor.

Exemplu . Rezolvați ecuația \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Soluţie :

		Să scriem ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		În stânga în fața logaritmului este coeficientul, în dreapta este suma logaritmilor. Asta ne deranjează. Să le mutăm pe cele două la exponentul \(x\) conform proprietății: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Să reprezentăm suma logaritmilor ca un logaritm conform proprietății: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Am redus ecuația la forma \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) și am notat ODZ, ceea ce înseamnă că putem trece la forma \(f(x) =g(x)\ ).
		S-a întâmplat . O rezolvăm și obținem rădăcinile.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Verificăm dacă rădăcinile sunt potrivite pentru ODZ. Pentru a face acest lucru, în \(x>0\) în loc de \(x\) înlocuim \(5\) și \(-5\). Această operație poate fi efectuată pe cale orală.
\(5>0\), \(-5>0\)		Prima inegalitate este adevărată, a doua nu. Aceasta înseamnă că \(5\) este rădăcina ecuației, dar \(-5\) nu este. Scriem răspunsul.

Răspuns : \(5\)

Exemplu : Rezolvați ecuația \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Soluţie :

		Să scriem ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		O ecuație tipică rezolvată folosind . Înlocuiți \(\log_2⁡x\) cu \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Avem cel obișnuit. Îi căutăm rădăcinile.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Efectuarea unei înlocuiri inverse
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Transformăm părțile din dreapta, reprezentându-le ca logaritmi: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) și \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Acum ecuațiile noastre sunt \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), și putem trece la \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Verificăm corespondența rădăcinilor ODZ. Pentru a face acest lucru, înlocuiți \(4\) și \(2\) în inegalitatea \(x>0\) în loc de \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		Ambele inegalități sunt adevărate. Aceasta înseamnă că atât \(4\) cât și \(2\) sunt rădăcini ale ecuației.

Răspuns : \(4\); \(2\).

Acest articol conține o prezentare sistematică a metodelor de rezolvare a ecuațiilor logaritmice într-o variabilă. Acest lucru îl va ajuta pe profesor, în primul rând în sens didactic: selecția exercițiilor vă permite să creați sarcini individuale pentru elevi, ținând cont de capacitățile acestora. Aceste exerciții pot fi folosite pentru o lecție de generalizare și pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat.
Scurte informații teoretice și soluții la probleme permit elevilor să-și dezvolte în mod independent abilitățile de rezolvare a ecuațiilor logaritmice.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Ecuații logaritmice – ecuații care conțin o necunoscută sub semn logaritm La rezolvarea ecuațiilor logaritmice, se folosesc adesea informații teoretice:

De obicei, rezolvarea ecuațiilor logaritmice începe cu determinarea ODZ. În ecuațiile logaritmice, se recomandă transformarea tuturor logaritmilor astfel încât bazele lor să fie egale. Apoi, ecuațiile fie sunt exprimate printr-un logaritm, care este notat cu o nouă variabilă, fie ecuația este convertită într-o formă convenabilă pentru potențare.
Transformările expresiilor logaritmice nu ar trebui să conducă la o îngustare a DO, dar dacă metoda soluției aplicată restrânge DO, lăsând în considerare numerele individuale, atunci aceste numere de la sfârșitul problemei trebuie verificate prin substituție în ecuația originală, deoarece Când ODZ se îngustează, este posibilă pierderea rădăcinii.

1. Ecuații de formă– o expresie care conține un număr necunoscut și numărul .

1) utilizați definiția logaritmului: ;
2) verificați sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați rădăcinile (soluții) corespunzătoare.
Dacă ) .

2. Ecuații de gradul întâi în raport cu un logaritm, a cărui soluție folosește proprietățile logaritmilor.

Pentru a rezolva astfel de ecuații aveți nevoie de:

1) folosind proprietățile logaritmilor, transformați ecuația;
2) rezolvați ecuația rezultată;
3) verificați sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați rădăcinile (soluții) corespunzătoare.
).

3. Ecuația gradului doi și superior relativ la logaritm.

Pentru a rezolva astfel de ecuații aveți nevoie de:

1. faceți o înlocuire variabilă;
2. rezolvați ecuația rezultată;
3. faceți o înlocuire inversă;
4. rezolvați ecuația rezultată;
5. verificați sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați rădăcinile (soluții) corespunzătoare.

4. Ecuații care conțin necunoscutul în bază și în exponent.

Pentru a rezolva astfel de ecuații aveți nevoie de:

1. luați logaritmul ecuației;
2. rezolvați ecuația rezultată;
3. faceți o verificare sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați-le pe cele corespunzătoare
   rădăcini (soluții).

5. Ecuații care nu au soluție.

1. Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesar să găsiți ecuațiile ODZ.
2. Analizați părțile stânga și dreaptă ale ecuației.
3. Trageți concluziile adecvate.

Ecuația inițială este echivalentă cu sistemul:

Demonstrați că ecuația nu are soluție.

ODZ a ecuației este determinată de inegalitatea x ≥ 0. Pe ODZ avem

Suma unui număr pozitiv și a unui număr nenegativ nu este egală cu zero, deci ecuația inițială nu are soluții.

Răspuns: nu există soluții.

Doar o rădăcină x = 0 intră în ODZ Răspuns: 0.

Vom face o înlocuire inversă.

Rădăcinile găsite aparțin ODZ.

Ecuația ODZ este mulțimea tuturor numerelor pozitive.

Deoarece

Aceste ecuații se rezolvă în mod similar:

Sarcini pentru soluție independentă:

Cărți uzate.

1. Beschetnov V.M. Matematică. Demiurgul Moscovei 1994
2. Borodulya I.T. Funcții exponențiale și logaritmice. (sarcini și exerciții). „Iluminismul” de la Moscova 1984
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Probleme de matematică. Ecuații și inegalități. Moscova „Știință” 1987
4. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric. Moscova „Ilexa” 2007
5. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V.. Probleme în algebră și principii de analiză. „Iluminismul” de la Moscova 2003

Ecuații logaritmice. Continuăm să luăm în considerare problemele din partea B a examenului unificat de stat la matematică. Am examinat deja soluțiile unor ecuații din articolele „”, „”. În acest articol ne vom uita la ecuațiile logaritmice. Voi spune imediat că nu vor exista transformări complexe la rezolvarea unor astfel de ecuații la examenul de stat unificat. Sunt simple.

Este suficient să cunoaștem și să înțelegem identitatea logaritmică de bază, să cunoaștem proprietățile logaritmului. Vă rugăm să rețineți că, după ce o rezolvați, TREBUIE să faceți o verificare - înlocuiți valoarea rezultată în ecuația originală și calculați, în final ar trebui să obțineți egalitatea corectă.

Definiție:

Logaritmul unui număr la baza b este exponentul,la care trebuie ridicat b pentru a obține a.

De exemplu:

Log 3 9 = 2, deoarece 3 2 = 9

Proprietățile logaritmilor:

Cazuri speciale de logaritmi:

Să rezolvăm problemele. În primul exemplu vom face o verificare. Faceți singur verificarea ulterioară.

Aflați rădăcina ecuației: log 3 (4–x) = 4

Deoarece log b a = x b x = a, atunci

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Examinare:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Corect.

Răspuns: – 77

Decide pentru tine:

Aflați rădăcina ecuației: log 2 (4 – x) = 7

Găsiți rădăcina ecuației log 5(4 + x) = 2

Folosim identitatea logaritmică de bază.

Deoarece log a b = x b x = a, atunci

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Examinare:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Corect.

Raspuns: 21

Aflați rădăcina ecuației log 3 (14 – x) = log 3 5.

Are loc următoarea proprietate, sensul ei este următorul: dacă în stânga și dreapta ecuației avem logaritmi cu aceeași bază, atunci putem echivala expresiile sub semnele logaritmilor.

14 – x = 5

x=9

Faceți o verificare.

Raspuns: 9

Decide pentru tine:

Aflați rădăcina ecuației log 5 (5 – x) = log 5 3.

Aflați rădăcina ecuației: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Dacă log c a = log c b, atunci a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Faceți o verificare.

Raspuns: 6

Aflați rădăcina ecuației log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Faceți o verificare.

Un mic plus - proprietatea este folosită aici

grade ().

Răspuns: – 51

Decide pentru tine:

Aflați rădăcina ecuației: log 1/7 (7 – x) = – 2

Aflați rădăcina ecuației log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Să transformăm partea dreaptă. Să folosim proprietatea:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Dacă log c a = log c b, atunci a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Faceți o verificare.

Răspuns: - 21

Decide pentru tine:

Aflați rădăcina ecuației: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Rezolvați ecuația log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Dacă log c a = log c b, atunci a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Faceți o verificare.

Răspuns: 2,75

Decide pentru tine:

Aflați rădăcina ecuației log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Rezolvați ecuația log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Este necesar să se obțină o expresie a formei din partea dreaptă a ecuației:

jurnalul 2 (......)

Reprezentăm 1 ca logaritm de bază 2:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Primim:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Dacă log c a = log c b, atunci a = b, atunci

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Faceți o verificare.

Răspuns: 0,4

Decide pentru tine: În continuare trebuie să rezolvați ecuația pătratică. Apropo,

rădăcinile sunt 6 și – 4.

Rădăcină „–4" nu este o soluție, deoarece baza logaritmului trebuie să fie mai mare decât zero și cu "– 4" este egal cu " – 5". Soluția este rădăcina 6.Faceți o verificare.

Raspuns: 6.

R mananca pe cont propriu:

Rezolvați ecuația log x –5 49 = 2. Dacă ecuația are mai multe rădăcini, răspundeți cu cea mai mică.

După cum ați văzut, fără transformări complicate cu ecuații logaritmiceNu. Este suficient să cunoști proprietățile logaritmului și să le poți aplica. În problemele de USE legate de transformarea expresiilor logaritmice se realizează transformări mai serioase și sunt necesare abilități mai aprofundate în rezolvare. Vom privi astfel de exemple, nu le ratați!Vă doresc succes!!!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Cu acest videoclip încep o serie lungă de lecții despre ecuații logaritmice. Acum aveți trei exemple în fața dvs., pe baza cărora vom învăța să rezolvăm cele mai simple probleme, care se numesc - protozoare.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Permiteți-mi să vă reamintesc că cea mai simplă ecuație logaritmică este următoarea:

log a f(x) = b

În acest caz, este important ca variabila x să fie prezentă doar în interiorul argumentului, adică doar în funcția f (x). Și numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz nu sunt funcții care conțin variabila x.

Metode de rezolvare de bază

Există multe modalități de a rezolva astfel de structuri. De exemplu, majoritatea profesorilor de la școală oferă această metodă: Exprimați imediat funcția f (x) folosind formula f ( x) = a b . Adică, atunci când dai peste cea mai simplă construcție, poți trece imediat la soluție fără acțiuni și construcții suplimentare.

Da, desigur, decizia va fi corectă. Cu toate acestea, problema cu această formulă este că majoritatea studenților Nu înțeleg, de unde vine și de ce ridicăm litera a la litera b.

Drept urmare, văd adesea greșeli foarte enervante când, de exemplu, aceste litere sunt schimbate. Această formulă trebuie fie înțeleasă, fie înghesuită, iar a doua metodă duce la greșeli în cele mai inoportune și cruciale momente: în timpul examenelor, testelor etc.

De aceea, sugerez tuturor elevilor mei să renunțe la formula școlară standard și să folosească a doua abordare pentru a rezolva ecuații logaritmice, care, după cum probabil ați ghicit din nume, se numește formă canonică.

Ideea formei canonice este simplă. Să ne uităm din nou la problema noastră: în stânga avem log a, iar prin litera a înțelegem un număr și în niciun caz o funcție care conține variabila x. În consecință, această scrisoare este supusă tuturor restricțiilor care sunt impuse pe baza logaritmului. și anume:

1 ≠ a > 0

Pe de altă parte, din aceeași ecuație vedem că logaritmul trebuie să fie egal cu numărul b și nu sunt impuse restricții asupra acestei litere, deoarece poate lua orice valoare - atât pozitivă, cât și negativă. Totul depinde de ce valori ia funcția f(x).

Și aici ne amintim minunata noastră regulă că orice număr b poate fi reprezentat ca un logaritm la baza a lui a la puterea lui b:

b = log a a b

Cum să-ți amintești această formulă? Da, foarte simplu. Să scriem următoarea construcție:

b = b 1 = b log a a

Desigur, în acest caz apar toate restricțiile pe care le-am notat la început. Acum să folosim proprietatea de bază a logaritmului și să introducem multiplicatorul b ca putere a lui a. Primim:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Ca rezultat, ecuația inițială va fi rescrisă după cum urmează:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Asta e tot. Noua funcție nu mai conține un logaritm și poate fi rezolvată folosind tehnici algebrice standard.

Desigur, cineva va obiecta acum: de ce a fost necesar să se vină cu un fel de formulă canonică, de ce să se efectueze doi pași suplimentari inutile dacă a fost posibil să se treacă imediat de la designul original la formula finală? Da, fie doar pentru că majoritatea studenților nu înțeleg de unde vine această formulă și, ca urmare, greșesc în mod regulat atunci când o aplică.

Dar această secvență de acțiuni, constând din trei pași, vă permite să rezolvați ecuația logaritmică inițială, chiar dacă nu înțelegeți de unde vine formula finală. Apropo, această intrare se numește formula canonică:

log a f (x) = log a a b

Comoditatea formei canonice constă și în faptul că poate fi folosită pentru a rezolva o clasă foarte largă de ecuații logaritmice, și nu doar pe cele mai simple pe care le luăm în considerare astăzi.

Exemple de soluții

Acum să ne uităm la exemple reale. Deci, hai să decidem:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Să-l rescriem astfel:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mulți studenți se grăbesc și încearcă să ridice imediat numărul 0,5 la puterea care ne-a venit din problema inițială. Într-adevăr, atunci când ești deja bine pregătit în rezolvarea unor astfel de probleme, poți face imediat acest pas.

Cu toate acestea, dacă acum abia începeți să studiați acest subiect, este mai bine să nu vă grăbiți nicăieri pentru a evita greșelile jignitoare. Deci, avem forma canonică. Avem:

3x − 1 = 0,5 −3

Aceasta nu mai este o ecuație logaritmică, ci liniară în raport cu variabila x. Pentru a o rezolva, să ne uităm mai întâi la numărul 0,5 la puterea lui -3. Rețineți că 0,5 este 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Convertiți toate fracțiile zecimale în fracții comune atunci când rezolvați o ecuație logaritmică.

Rescriem și obținem:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Gata, am primit răspunsul. Prima problemă a fost rezolvată.

A doua sarcină

Să trecem la a doua sarcină:

După cum vedem, această ecuație nu mai este cea mai simplă. Numai pentru că există o diferență în stânga și nu un singur logaritm la o bază.

Prin urmare, trebuie să scăpăm cumva de această diferență. În acest caz, totul este foarte simplu. Să aruncăm o privire mai atentă la baze: în stânga este numărul de sub rădăcină:

Recomandare generală: în toate ecuațiile logaritmice, încercați să scăpați de radicali, adică de la intrările cu rădăcini și treceți la funcții de putere, pur și simplu pentru că exponenții acestor puteri sunt ușor scoși din semnul logaritmului și, în cele din urmă, astfel de o intrare simplifică și accelerează considerabil calculele. Să o scriem astfel:

Acum să ne amintim de proprietatea remarcabilă a logaritmului: puterile pot fi derivate din argument, precum și din bază. În cazul motivelor, se întâmplă următoarele:

log a k b = 1/k loga b

Cu alte cuvinte, numărul care era în puterea de bază este adus înainte și în același timp inversat, adică devine un număr reciproc. În cazul nostru, gradul de bază a fost 1/2. Prin urmare, îl putem scoate ca 2/1. Primim:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să scăpați de logaritmi la acest pas. Amintiți-vă matematica de clasa a 4-a-5 și ordinea operațiilor: se face mai întâi înmulțirea, și abia apoi adunarea și scăderea. În acest caz, scădem unul dintre aceleași elemente din 10 elemente:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Acum ecuația noastră arată așa cum ar trebui. Aceasta este cea mai simplă construcție și o rezolvăm folosind forma canonică:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Asta e tot. A doua problemă a fost rezolvată.

Al treilea exemplu

Să trecem la a treia sarcină:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Permiteți-mi să vă reamintesc următoarea formulă:

log b = log 10 b

Dacă dintr-un motiv oarecare sunteți confuz de notația log b , atunci când efectuați toate calculele puteți scrie pur și simplu log 10 b . Puteți lucra cu logaritmi zecimali în același mod ca și cu alții: luați puteri, adăugați și reprezentați orice numere sub forma lg 10.

Aceste proprietăți le vom folosi acum pentru a rezolva problema, deoarece nu este cea mai simplă pe care am notat-o ​​chiar la începutul lecției noastre.

Mai întâi, rețineți că factorul 2 în fața lui lg 5 poate fi introdus și devine o putere a bazei 5. În plus, termenul liber 3 este reprezentabil și ca logaritm - acest lucru este foarte ușor de observat din notația noastră.

Judecă singur: orice număr poate fi reprezentat ca log la baza 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Să rescriem problema inițială ținând cont de modificările obținute:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000

Avem din nou în fața noastră forma canonică și am obținut-o fără a trece prin etapa de transformare, adică cea mai simplă ecuație logaritmică nu a apărut nicăieri.

Exact despre asta am vorbit chiar la începutul lecției. Forma canonică vă permite să rezolvați o clasă mai largă de probleme decât formula școlară standard pe care o dau majoritatea profesorilor de școală.

Ei bine, asta este, scăpăm de semnul logaritmului zecimal și obținem o construcție liniară simplă:

x + 3 = 25.000
x = 24.997

Toate! Problema este rezolvată.

O notă despre domeniul de aplicare

Aici aș dori să fac o remarcă importantă cu privire la sfera definiției. Cu siguranță acum vor exista elevi și profesori care vor spune: „Când rezolvăm expresii cu logaritmi, trebuie să ne amintim că argumentul f (x) trebuie să fie mai mare decât zero!” În acest sens, se ridică o întrebare logică: de ce nu am cerut ca această inegalitate să fie satisfăcută în vreuna dintre problemele luate în considerare?

Nu vă faceți griji. În aceste cazuri, nu vor apărea rădăcini suplimentare. Și acesta este un alt truc grozav care vă permite să accelerați soluția. Doar să știți că dacă în problemă variabila x apare doar într-un singur loc (sau mai degrabă, într-un singur argument al unui singur logaritm), și nicăieri în cazul nostru nu apare variabila x, atunci scrieți domeniul de definiție nu este nevoie, deoarece va fi executat automat.

Judecă singur: în prima ecuație am obținut că 3x - 1, adică argumentul ar trebui să fie egal cu 8. Aceasta înseamnă automat că 3x - 1 va fi mai mare decât zero.

Cu același succes putem scrie că în al doilea caz x ar trebui să fie egal cu 5 2, adică este cu siguranță mai mare decât zero. Și în al treilea caz, unde x + 3 = 25.000, adică din nou, evident mai mare decât zero. Cu alte cuvinte, domeniul de aplicare este satisfăcut automat, dar numai dacă x apare doar în argumentul unui singur logaritm.

Este tot ce trebuie să știi pentru a rezolva cele mai simple probleme. Această regulă singură, împreună cu regulile de transformare, vă vor permite să rezolvați o clasă foarte largă de probleme.

Dar să fim sinceri: pentru a înțelege în sfârșit această tehnică, pentru a învăța cum să aplicați forma canonică a ecuației logaritmice, nu este suficient să vizionați doar o lecție video. Prin urmare, chiar acum, descărcați opțiunile pentru soluții independente care sunt atașate acestei lecții video și începeți să rezolvați cel puțin una dintre aceste două lucrări independente.

Îți va lua literalmente câteva minute. Dar efectul unui astfel de antrenament va fi mult mai mare decât dacă ați viziona pur și simplu această lecție video.

Sper că această lecție vă va ajuta să înțelegeți ecuațiile logaritmice. Utilizați forma canonică, simplificați expresiile folosind regulile de lucru cu logaritmi - și nu vă va teme de probleme. Asta e tot ce am pentru azi.

Ținând cont de domeniul definiției

Acum să vorbim despre domeniul de definire al funcției logaritmice și despre modul în care aceasta afectează soluția ecuațiilor logaritmice. Luați în considerare o construcție a formei

log a f(x) = b

O astfel de expresie se numește cea mai simplă - conține o singură funcție, iar numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz o funcție care depinde de variabila x. Se poate rezolva foarte simplu. Trebuie doar să utilizați formula:

b = log a a b

Această formulă este una dintre proprietățile cheie ale logaritmului și, atunci când o înlocuim în expresia noastră originală, obținem următoarele:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Aceasta este o formulă familiară din manualele școlare. Mulți elevi vor avea probabil o întrebare: deoarece în expresia originală funcția f (x) se află sub semnul log, i se impun următoarele restricții:

f(x) > 0

Această limitare se aplică deoarece logaritmul numerelor negative nu există. Deci, poate, ca urmare a acestei limitări, ar trebui introdusă o verificare a răspunsurilor? Poate că trebuie introduse în sursă?

Nu, în cele mai simple ecuații logaritmice nu este necesară verificarea suplimentară. Si de aceea. Aruncă o privire la formula noastră finală:

f (x) = a b

Faptul este că numărul a este în orice caz mai mare decât 0 - această cerință este impusă și de logaritm. Numărul a este baza. În acest caz, nu se impun restricții asupra numărului b. Dar acest lucru nu contează, deoarece indiferent de puterea la care ridicăm un număr pozitiv, vom obține totuși un număr pozitiv la ieșire. Astfel, cerința f(x) > 0 este satisfăcută automat.

Ceea ce merită verificat este domeniul funcției de sub semnul jurnalului. Pot exista structuri destul de complexe și cu siguranță trebuie să fii cu ochii pe ele în timpul procesului de soluție. Să aruncăm o privire.

Prima sarcină:

Primul pas: convertiți fracția din dreapta. Primim:

Scăpăm de semnul logaritmului și obținem ecuația irațională obișnuită:

Dintre rădăcinile obținute, doar prima ni se potrivește, deoarece a doua rădăcină este mai mică decât zero. Singurul răspuns va fi numărul 9. Gata, problema este rezolvată. Nu sunt necesare verificări suplimentare pentru a se asigura că expresia de sub semnul logaritmului este mai mare decât 0, deoarece nu este doar mai mare decât 0, ci, în funcție de condiția ecuației, este egală cu 2. Prin urmare, cerința „mai mare decât zero ” este satisfăcut automat.

Să trecem la a doua sarcină:

Totul este la fel aici. Rescriem construcția, înlocuind triplul:

Scăpăm de semnele logaritmului și obținem o ecuație irațională:

Patram ambele laturi tinand cont de restrictii si obtinem:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Rezolvăm ecuația rezultată prin discriminantul:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Dar x = −6 nu ne convine, deoarece dacă substituim acest număr în inegalitatea noastră, obținem:

−6 + 4 = −2 < 0

În cazul nostru, se cere ca acesta să fie mai mare decât 0 sau, în cazuri extreme, egal. Dar x = −1 ni se potrivește:

−1 + 4 = 3 > 0

Singurul răspuns în cazul nostru va fi x = −1. Asta e soluția. Să ne întoarcem la începutul calculelor noastre.

Principala concluzie din această lecție este că nu trebuie să verificați constrângerile unei funcții în ecuații logaritmice simple. Deoarece în timpul procesului de rezolvare toate constrângerile sunt satisfăcute automat.

Cu toate acestea, acest lucru nu înseamnă în niciun caz că puteți uita cu totul de verificare. În procesul de lucru la o ecuație logaritmică, se poate transforma într-una irațională, care va avea propriile restricții și cerințe pentru partea dreaptă, pe care le-am văzut astăzi în două exemple diferite.

Simțiți-vă liber să rezolvați astfel de probleme și fiți deosebit de atenți dacă există o rădăcină în argument.

Ecuații logaritmice cu baze diferite

Continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și să ne uităm la încă două tehnici destul de interesante cu care este la modă să rezolvăm construcții mai complexe. Dar mai întâi, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme:

log a f(x) = b

În această intrare, a și b sunt numere, iar în funcția f (x) variabila x trebuie să fie prezentă și numai acolo, adică x trebuie să fie doar în argument. Vom transforma astfel de ecuații logaritmice folosind forma canonică. Pentru a face acest lucru, rețineți că

b = log a a b

Mai mult, a b este tocmai un argument. Să rescriem această expresie după cum urmează:

log a f (x) = log a a b

Este exact ceea ce încercăm să realizăm, astfel încât să existe un logaritm care să bazeze a atât pe stânga, cât și pe dreapta. În acest caz, putem, la figurat vorbind, să bifurcăm semnele log, iar din punct de vedere matematic putem spune că pur și simplu echivalăm argumentele:

f (x) = a b

Ca urmare, vom obține o nouă expresie care va fi mult mai ușor de rezolvat. Să aplicăm această regulă problemelor noastre de astăzi.

Deci, primul design:

În primul rând, observ că în dreapta este o fracție al cărei numitor este log. Când vedeți o expresie ca aceasta, este o idee bună să vă amintiți o proprietate minunată a logaritmilor:

Tradus în rusă, aceasta înseamnă că orice logaritm poate fi reprezentat ca câtul a doi logaritmi cu orice bază c. Desigur 0< с ≠ 1.

Deci: această formulă are un caz special minunat, când variabila c este egală cu variabila b. În acest caz, obținem o construcție ca:

Aceasta este exact construcția pe care o vedem din semnul din dreapta în ecuația noastră. Să înlocuim această construcție cu log a b , obținem:

Cu alte cuvinte, în comparație cu sarcina originală, am schimbat argumentul și baza logaritmului. În schimb, a trebuit să inversăm fracția.

Reamintim că orice grad poate fi derivat din bază conform următoarei reguli:

Cu alte cuvinte, coeficientul k, care este puterea bazei, este exprimat ca o fracție inversată. Să o redăm ca o fracție inversată:

Factorul fracționar nu poate fi lăsat în față, deoarece în acest caz nu vom putea reprezenta această notație ca formă canonică (la urma urmei, în forma canonică nu există un factor suplimentar înaintea celui de-al doilea logaritm). Prin urmare, să adăugăm fracția 1/4 la argument ca putere:

Acum echivalăm argumentele ale căror baze sunt aceleași (și bazele noastre sunt într-adevăr aceleași) și scriem:

x + 5 = 1

x = −4

Asta e tot. Am primit răspunsul la prima ecuație logaritmică. Vă rugăm să rețineți: în problema inițială, variabila x apare într-un singur log și apare în argumentul său. Prin urmare, nu este nevoie să verificăm domeniul, iar numărul nostru x = −4 este într-adevăr răspunsul.

Acum să trecem la a doua expresie:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Aici, pe lângă logaritmii obișnuiți, va trebui să lucrăm cu log f (x). Cum se rezolvă o astfel de ecuație? Pentru un student nepregătit, poate părea că aceasta este un fel de sarcină grea, dar de fapt totul poate fi rezolvat într-un mod elementar.

Aruncă o privire atentă la termenul lg 2 log 2 7. Ce putem spune despre el? Bazele și argumentele log și lg sunt aceleași, iar acest lucru ar trebui să dea câteva idei. Să ne amintim încă o dată cum sunt scoase puterile de sub semnul logaritmului:

log a b n = nlog a b

Cu alte cuvinte, ceea ce a fost o putere a lui b în argument devine un factor în fața logului însuși. Să aplicăm această formulă expresiei lg 2 log 2 7. Nu vă speriați de lg 2 - aceasta este cea mai comună expresie. Îl poți rescrie după cum urmează:

Toate regulile care se aplică oricărui alt logaritm sunt valabile pentru acesta. În special, factorul din față poate fi adăugat la gradul argumentului. Hai sa o scriem:

De foarte multe ori, elevii nu văd direct această acțiune, pentru că nu este bine să introduceți un jurnal sub semnul altuia. De fapt, nu este nimic criminal în asta. Mai mult, obținem o formulă care este ușor de calculat dacă vă amintiți o regulă importantă:

Această formulă poate fi considerată atât ca o definiție, cât și ca una dintre proprietățile sale. În orice caz, dacă convertiți o ecuație logaritmică, ar trebui să cunoașteți această formulă la fel cum ați cunoaște reprezentarea în log a oricărui număr.

Să revenim la sarcina noastră. O rescriem ținând cont de faptul că primul termen din dreapta semnului egal va fi pur și simplu egal cu lg 7. Avem:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Să mutăm lg 7 la stânga, obținem:

lg 56 − log 7 = −3lg (x + 4)

Scădem expresiile din stânga pentru că au aceeași bază:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Acum să aruncăm o privire mai atentă la ecuația pe care o avem. Este practic forma canonică, dar există un factor -3 în dreapta. Să-l adăugăm la argumentul lg corect:

log 8 = log (x + 4) −3

În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, așa că tăiem semnele lg și echivalăm argumentele:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Asta e tot! Am rezolvat a doua ecuație logaritmică. În acest caz, nu sunt necesare verificări suplimentare, deoarece în problema inițială x era prezent doar într-un singur argument.

Permiteți-mi să enumeram din nou punctele cheie ale acestei lecții.

Formula principală care este predată în toate lecțiile de pe această pagină dedicată rezolvării ecuațiilor logaritmice este forma canonică. Și nu vă speriați de faptul că majoritatea manualelor școlare vă învață să rezolvați astfel de probleme altfel. Acest instrument funcționează foarte eficient și vă permite să rezolvați o clasă mult mai largă de probleme decât cele mai simple pe care le-am studiat chiar la începutul lecției noastre.

În plus, pentru a rezolva ecuații logaritmice va fi util să cunoaștem proprietățile de bază. Și anume:

1. Formula de mutare la o singură bază și cazul special în care înregistrăm invers (aceasta ne-a fost foarte util în prima problemă);
2. Formula pentru adunarea și scăderea puterilor din semnul logaritmului. Aici, mulți studenți se blochează și nu văd că gradul scos și introdus poate conține el însuși log f (x). Nimic în neregulă cu asta. Putem introduce un buștean după semnul celuilalt și, în același timp, simplificăm semnificativ soluția problemei, ceea ce observăm în al doilea caz.

În concluzie, aș dori să adaug că nu este necesară verificarea domeniului de definiție în fiecare dintre aceste cazuri, deoarece peste tot variabila x este prezentă într-un singur semn de log, și în același timp este în argumentul său. În consecință, toate cerințele domeniului de aplicare sunt îndeplinite automat.

Probleme cu baza variabilă

Astăzi ne vom uita la ecuațiile logaritmice, care pentru mulți studenți par nestandard, dacă nu complet de nerezolvat. Vorbim despre expresii bazate nu pe numere, ci pe variabile și chiar pe funcții. Vom rezolva astfel de construcții folosind tehnica noastră standard și anume prin forma canonică.

În primul rând, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme, pe baza numerelor obișnuite. Deci, cea mai simplă construcție se numește

log a f(x) = b

Pentru a rezolva astfel de probleme putem folosi următoarea formulă:

b = log a a b

Ne rescriem expresia originală și obținem:

log a f (x) = log a a b

Apoi echivalăm argumentele, adică scriem:

f (x) = a b

Astfel, scăpăm de semnul jurnalului și rezolvăm problema obișnuită. În acest caz, rădăcinile obținute din soluție vor fi rădăcinile ecuației logaritmice originale. În plus, o înregistrare când atât stânga, cât și dreapta sunt în același logaritm cu aceeași bază se numește exact forma canonică. La un astfel de record vom încerca să reducem modelele de astăzi. Deci să mergem.

Prima sarcină:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Înlocuiți 1 cu log x − 2 (x − 2) 1 . Gradul pe care îl observăm în argument este de fapt numărul b care stătea în dreapta semnului egal. Astfel, să ne rescriem expresia. Primim:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Ce vedem? În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, astfel încât să putem echivala argumentele în siguranță. Primim:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Dar soluția nu se termină aici, deoarece această ecuație nu este echivalentă cu cea inițială. La urma urmei, construcția rezultată constă din funcții care sunt definite pe întreaga linie numerică, iar logaritmii noștri originali nu sunt definiți peste tot și nu întotdeauna.

Prin urmare, trebuie să scriem domeniul definiției separat. Să nu despărțim firele de păr și să notăm mai întâi toate cerințele:

În primul rând, argumentul fiecărui logaritm trebuie să fie mai mare decât 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

În al doilea rând, baza trebuie să fie nu numai mai mare decât 0, ci și diferită de 1:

x − 2 ≠ 1

Ca rezultat, obținem sistemul:

Dar nu vă alarmați: atunci când procesați ecuații logaritmice, un astfel de sistem poate fi simplificat semnificativ.

Judecăți singuri: pe de o parte, ni se cere ca funcția pătratică să fie mai mare decât zero, iar pe de altă parte, această funcție pătratică este echivalată cu o anumită expresie liniară, care se cere și ca aceasta să fie mai mare decât zero.

În acest caz, dacă solicităm ca x − 2 > 0, atunci cerința 2x 2 − 13x + 18 > 0 va fi automat satisfăcută. Prin urmare, putem tăia în siguranță inegalitatea care conține funcția pătratică. Astfel, numărul de expresii conținute în sistemul nostru se va reduce la trei.

Desigur, am putea la fel de ușor să tăiem inegalitatea liniară, adică să tăiem x − 2 > 0 și să cerem ca 2x 2 − 13x + 18 > 0. Dar trebuie să fii de acord că rezolvarea celei mai simple inegalități liniare este mult mai rapidă și mai simplu, decât pătratic, chiar și cu condiția ca în urma rezolvării întregului sistem să obținem aceleași rădăcini.

În general, încercați să optimizați calculele ori de câte ori este posibil. Și în cazul ecuațiilor logaritmice, tăiați cele mai dificile inegalități.

Să rescriem sistemul nostru:

Iată un sistem de trei expresii, dintre care două, de fapt, ne-am ocupat deja. Să scriem separat ecuația pătratică și să o rezolvăm:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

În fața noastră este un trinom pătratic redus și, prin urmare, putem folosi formulele lui Vieta. Primim:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Acum ne întoarcem la sistemul nostru și aflăm că x = 2 nu ni se potrivește, deoarece ni se cere ca x să fie strict mai mare decât 2.

Dar x = 5 ni se potrivește perfect: numărul 5 este mai mare decât 2 și, în același timp, 5 nu este egal cu 3. Prin urmare, singura soluție a acestui sistem va fi x = 5.

Gata, problema este rezolvată, inclusiv ținând cont de ODZ. Să trecem la a doua ecuație. Mai multe calcule interesante și informative ne așteaptă aici:

Primul pas: ca data trecută, aducem toată această chestiune în formă canonică. Pentru a face acest lucru, putem scrie numărul 9 după cum urmează:

Baza rădăcină poate fi lăsată neatinsă, dar este mai bine să transformați argumentul. Să trecem de la rădăcină la putere cu un exponent rațional. Hai sa scriem:

Permiteți-mi să nu rescriu întreaga noastră ecuație logaritmică mare, ci doar echivalez imediat argumentele:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

În fața noastră este un trinom pătratic nou redus, să folosim formulele lui Vieta și să scriem:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Deci, am primit rădăcinile, dar nimeni nu ne-a garantat că se vor potrivi cu ecuația logaritmică inițială. La urma urmei, semnele de jurnal impun restricții suplimentare (aici ar fi trebuit să notăm sistemul, dar din cauza naturii greoaie a întregii structuri, am decis să calculez domeniul de definiție separat).

În primul rând, rețineți că argumentele trebuie să fie mai mari decât 0 și anume:

Acestea sunt cerințele impuse de domeniul de aplicare al definiției.

Să observăm imediat că, deoarece echivalăm primele două expresii ale sistemului una cu cealaltă, putem tăia oricare dintre ele. Să-l tăiem pe primul pentru că pare mai amenințător decât al doilea.

În plus, rețineți că soluția pentru a doua și a treia inegalități vor fi aceleași mulțimi (cubul unui număr este mai mare decât zero, dacă acest număr în sine este mai mare decât zero; în mod similar, cu o rădăcină de gradul trei - aceste inegalități sunt complet analoge, așa că le putem tăia).

Dar cu a treia inegalitate acest lucru nu va funcționa. Să scăpăm de semnul radical din stânga ridicând ambele părți într-un cub. Primim:

Deci obținem următoarele cerințe:

− 2 ≠ x > −3

Care dintre rădăcinile noastre: x 1 = −3 sau x 2 = −1 îndeplinește aceste cerințe? Evident, doar x = −1, deoarece x = −3 nu satisface prima inegalitate (deoarece inegalitatea noastră este strictă). Deci, revenind la problema noastră, obținem o rădăcină: x = −1. Gata, problema rezolvata.

Încă o dată, punctele cheie ale acestei sarcini:

1. Simțiți-vă liber să aplicați și să rezolvați ecuații logaritmice folosind forma canonică. Elevii care fac o astfel de notație, în loc să treacă direct de la problema inițială la o construcție precum log a f (x) = b, fac mult mai puține erori decât cei care se grăbesc undeva, sărind peste pașii intermediari de calcul;
2. De îndată ce o bază variabilă apare într-un logaritm, problema încetează să fie cea mai simplă. Prin urmare, la rezolvarea acesteia, este necesar să se țină cont de domeniul definiției: argumentele trebuie să fie mai mari decât zero, iar bazele nu trebuie să fie doar mai mari decât 0, dar nici nu trebuie să fie egale cu 1.

Cerințele finale pot fi aplicate răspunsurilor finale în moduri diferite. De exemplu, puteți rezolva un întreg sistem care conține toate cerințele pentru domeniul de definire. Pe de altă parte, puteți mai întâi să rezolvați problema în sine și apoi să vă amintiți domeniul de definiție, să îl rezolvați separat sub forma unui sistem și să îl aplicați la rădăcinile obținute.

Ce metodă să alegeți atunci când rezolvați o anumită ecuație logaritmică depinde de dvs. În orice caz, răspunsul va fi același.