• 09.10.2014

  Preamplificatorul prezentat în figură este conceput pentru a fi utilizat cu 4 tipuri de surse de sunet, cum ar fi un microfon, CD player, casetofon radio, etc. În același timp, preamplificatorul are o singură intrare care poate modifica sensibilitatea de la 50mV la 500mV. tensiunea de iesire amplificator 1000mV. Prin conectarea diferitelor surse de semnal la comutarea comutatorului SA1, vom obține întotdeauna...

• 20.09.2014

  Alimentatorul este proiectat pentru o sarcină cu o putere de 15 ... 20 wați. Sursa este realizată conform schemei unui convertor de înaltă frecvență pulsat cu un singur ciclu. Un oscilator care funcționează la o frecvență de 20 ... 40 kHz este asamblat pe tranzistor. Frecvența este reglată de capacitatea C5. Elementele VD5, VD6 și C6 formează un circuit pentru pornirea unui oscilator. În circuitul secundar, după redresorul în punte, există un stabilizator liniar convențional pe un microcircuit, care vă permite să aveți ...

• 28.09.2014

  Figura prezintă un generator pe un cip K174XA11, a cărui frecvență este controlată de tensiune. Prin schimbarea capacității C1 de la 560 la 4700pF, se poate obține o gamă largă de frecvență, în timp ce frecvența este ajustată prin schimbarea rezistenței R4. De exemplu, autorul a aflat că, la C1 \u003d 560pF, frecvența generatorului poate fi modificată folosind R4 de la 600Hz la 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Unitatea este proiectată să alimenteze un ULF puternic, este proiectată pentru o tensiune de ieșire de ± 27V și astfel încarcă până la 3A pe fiecare braț. Alimentatorul este bipolar, realizat pe tranzistoare complete compozite KT825-KT827. Ambele brațe ale stabilizatorului sunt realizate conform aceleiași scheme, dar în celălalt braț (nu este afișat), polaritatea condensatoarelor este schimbată și se folosesc tranzistorii celuilalt ...

- Acesta este un poliedru, care este format din baza piramidei și o secțiune paralelă cu aceasta. Putem spune că o piramidă trunchiată este o piramidă cu vârful tăiat. Această cifră are multe proprietăți unice:

• Fețele laterale ale piramidei sunt trapeze;
• Marginile laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite aceeasi lungimeși înclinat față de bază la același unghi;
• Bazele sunt poligoane asemănătoare;
• Într-o piramidă trunchiată obișnuită, fețele sunt trapeze isoscele identice, a căror zonă este egală. Ele sunt, de asemenea, înclinate către bază la un unghi.

Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate este suma ariilor laturilor sale:

Deoarece laturile trunchiului piramidei sunt trapeze, va trebui să utilizați formula pentru a calcula parametrii zona trapezoidală. Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, se poate aplica o altă formulă pentru calcularea suprafeței. Deoarece toate laturile, fețele și unghiurile sale de la bază sunt egale, este posibil să se aplice perimetrele bazei și ale apotemului și, de asemenea, să se obțină aria prin unghiul de la bază.

Dacă, conform condițiilor dintr-o piramidă trunchiată obișnuită, sunt date apotema (înălțimea laturii) și lungimile laturilor bazei, atunci aria poate fi calculată prin semiprodusul sumei perimetrelor de bazele și apotema:

Să ne uităm la un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide trunchiate.
Dată o piramidă pentagonală regulată. Apotema l\u003d 5 cm, lungimea feței în baza mare este A\u003d 6 cm, iar fața este la baza mai mică b\u003d 4 cm. Calculați aria piramidei trunchiate.

Mai întâi, să găsim perimetrele bazelor. Deoarece ni se oferă o piramidă pentagonală, înțelegem că bazele sunt pentagoane. Aceasta înseamnă că bazele sunt o figură cu cinci laturi identice. Aflați perimetrul bazei mai mari:

În același mod, găsim perimetrul bazei mai mici:

Acum putem calcula aria unei piramide trunchiate obișnuite. Inlocuim datele in formula:

Astfel, am calculat aria unei piramide trunchiate obișnuite prin perimetre și apotema.

O altă modalitate de a calcula suprafața laterală piramida corecta, aceasta este formula prin colțurile de la bază și zona acestor baze.

Să ne uităm la un exemplu de calcul. Amintiți-vă că această formulă se aplică numai unei piramide trunchiate obișnuite.

Să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată. Fața bazei inferioare este a = 6 cm, iar fața bazei superioare b = 4 cm.Unghiul diedric la bază este β = 60°. Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite.

Mai întâi, să calculăm aria bazelor. Deoarece piramida este regulată, toate fețele bazelor sunt egale între ele. Având în vedere că baza este un patrulater, înțelegem că va fi necesar să se calculeze suprafata patrata. Este produsul lățimii și lungimii, dar la pătrat, aceste valori sunt aceleași. Găsiți aria bazei mai mari:


Acum folosim valorile găsite pentru a calcula suprafața laterală.

Cunoscând câteva formule simple, am calculat cu ușurință aria trapezului lateral al unei piramide trunchiate prin diferite valori.

În această lecție, vom lua în considerare o piramidă trunchiată, ne vom familiariza cu piramida trunchiată corectă și vom studia proprietățile acestora.

Să ne amintim conceptul de piramidă n-gonală folosind exemplul unei piramide triunghiulare. Este dat triunghiul ABC. În afara planului triunghiului se ia un punct P, legat de vârfurile triunghiului. Suprafața poliedrică rezultată se numește piramidă (Fig. 1).

Orez. 1. Piramidă triunghiulară

Să tăiem piramida cu un plan paralel cu planul bazei piramidei. Figura obţinută între aceste planuri se numeşte trunchi de piramidă (Fig. 2).

Orez. 2. Piramida trunchiată

Elemente principale:

Baza de sus;

Baza inferioară ABC;

Fața laterală;

Dacă PH este înălțimea piramidei originale, atunci este înălțimea piramidei trunchiate.

Proprietățile unei piramide trunchiate decurg din metoda de construcție a acesteia, și anume din paralelismul planurilor bazelor:

Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze. Luați în considerare, de exemplu, o față. Are proprietatea planurilor paralele (deoarece planele sunt paralele, ele decupează fața laterală a piramidei originale ABP de-a lungul unor linii paralele), în același timp nu sunt paralele. Evident, patrulaterul este un trapez, ca toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate.

Raportul bazelor este același pentru toate trapezele:

Avem mai multe perechi de triunghiuri similare cu același coeficient de similitudine. De exemplu, triunghiurile și RAB sunt similare datorită paralelismului planelor și , coeficientului de similitudine:

În același timp, triunghiurile și RCS sunt similare cu coeficientul de similitudine:

Evident, coeficienții de similaritate pentru toate cele trei perechi de triunghiuri similare sunt egali, deci raportul bazelor este același pentru toate trapezele.

O trunchi de piramidă obișnuită este o piramidă trunchiată obținută prin tăierea unei piramide regulate cu un plan paralel cu baza (Fig. 3).

Orez. 3. Corectează piramida trunchiată

Definiție.

O piramidă se numește corectă, la baza căreia se află n-gon regulat, iar vârful este proiectat în centrul acestui n-gon (centrul cercului înscris și circumscris).

LA acest caz la baza piramidei se află un pătrat, iar vârful este proiectat până la punctul de intersecție al diagonalelor sale. Piramida trunchiată patruunghiulară regulată rezultată are ABCD - baza inferioară, - baza superioară. Înălțimea piramidei originale - RO, trunchi de piramidă - (Fig. 4).

Orez. 4. Piramidă trunchiată patruunghiulară regulată

Definiție.

Înălțimea unei trunchi de piramidă este o perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul celei de-a doua baze.

Apotema piramidei originale este RM (M este mijlocul lui AB), apotema piramidei trunchiate este (Fig. 4).

Definiție.

Apotema unei piramide trunchiate este înălțimea oricărei fețe laterale.

Este clar că toate marginile laterale ale piramidei trunchiate sunt egale între ele, adică fețele laterale sunt trapeze isoscele egale.

Aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema.

Dovada (pentru o piramidă trunchiată patruunghiulară obișnuită - Fig. 4):

Deci, trebuie să dovedim:

Suprafața laterală aici va consta din suma suprafețelor fețelor laterale - trapeze. Deoarece trapezele sunt aceleași, avem:

Aria unui trapez isoscel este produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea, apotema este înălțimea trapezului. Avem:

Q.E.D.

Pentru o piramidă n-gonală:

Unde n este numărul de fețe laterale ale piramidei, a și b sunt bazele trapezului, este apotema.

Laturile bazei unei piramide patruunghiulare trunchiate regulate sunt egale cu 3 cm și 9 cm, înălțimea - 4 cm Aflați aria suprafeței laterale.

Orez. 5. Ilustrație pentru problema 1

Decizie. Să ilustrăm condiția:

Dat: , ,

Desenați o linie dreaptă MN prin punctul O paralelă cu cele două laturi ale bazei inferioare, în mod similar trageți o linie dreaptă prin punct (Fig. 6). Deoarece pătratele și construcțiile sunt paralele la bazele piramidei trunchiate, obținem un trapez egal cu fețele laterale. Mai mult, latura sa laterală va trece prin mijlocul marginilor superioare și inferioare ale fețelor laterale și va fi simbolul unei piramide trunchiate.

Orez. 6. Construcții suplimentare

Luați în considerare trapezul rezultat (Fig. 6). În acest trapez se cunosc baza superioară, baza inferioară și înălțimea. Este necesar să găsiți latura laterală, care este apotema piramidei trunchiate date. Desenați perpendicular pe MN. Să aruncăm perpendiculara NQ din punct. Obținem că baza mai mare este împărțită în segmente de trei centimetri (). Luați în considerare un triunghi dreptunghic, catetele din el sunt cunoscute, acesta este un triunghi egiptean, prin teorema lui Pitagora determinăm lungimea ipotenuzei: 5 cm.

Acum există toate elementele pentru determinarea ariei suprafeței laterale a piramidei:

Piramida este străbătută de un plan paralel cu baza. Folosind exemplul unei piramide triunghiulare, demonstrați că marginile laterale și înălțimea piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale.

Dovada. Să ilustrăm:

Orez. 7. Ilustrație pentru problema 2

Este dată piramida RABC. RO este înălțimea piramidei. Piramida este disecata printr-un plan, se obtine, de altfel, si o trunchiata de piramida. Punct - punctul de intersecție al înălțimii RO cu planul bazei piramidei trunchiate. Este necesar să se dovedească:

Cheia soluției este proprietatea planurilor paralele. Două plane paralele tăiați orice al treilea plan astfel încât liniile de intersecție să fie paralele. De aici: . Paralelismul dreptelor corespunzătoare implică prezența a patru perechi de triunghiuri similare:

Din asemănarea triunghiurilor rezultă proporționalitatea laturilor corespunzătoare. Caracteristică importantă este că coeficienții de similaritate pentru aceste triunghiuri sunt aceiași:

Q.E.D.

O piramidă triunghiulară regulată RABC cu o înălțime și o latură a bazei este disecată de un plan care trece prin punctul de mijloc al înălțimii PH paralel cu baza ABC. Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei trunchiate rezultate.

Decizie. Să ilustrăm:

Orez. 8. Ilustrație pentru problema 3

DIA - triunghi dreptunghic, H - centrul triunghiului dat (centrul cercurilor înscrise și circumscrise). RM este apotema piramidei date. - apotema piramidei trunchiate. Conform proprietății planelor paralele (două plane paralele decupează orice al treilea plan, astfel încât liniile de intersecție să fie paralele), avem mai multe perechi de triunghiuri similare cu un coeficient de similaritate egal. În special, ne interesează relația:

Să găsim NM. Aceasta este raza unui cerc înscris în bază, știm formula corespunzătoare:

Acum, din triunghiul dreptunghic РНМ, după teorema lui Pitagora, găsim РМ - apotema piramidei originale:

Din raportul inițial:

Acum cunoaștem toate elementele pentru găsirea suprafeței laterale a unei piramide trunchiate:

Deci, ne-am familiarizat cu conceptele de piramidă trunchiată și piramidă trunchiată obișnuită, am dat definiții de bază, am considerat proprietăți și am demonstrat teorema pe aria suprafeței laterale. Următoarea lecție se va concentra pe rezolvarea problemelor.

Bibliografie

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometrie. Clasele 10-11: un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (de bază și niveluri de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, Rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Sharygin I. F. Geometrie. Clasele 10-11: Manual pentru învățământul general institutii de invatamant/ Sharygin I.F. - M.: Butard, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometrie. Clasa a 10-a: Manual pentru instituții de învățământ general cu studiu aprofundat și de profil al matematicii / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butarda, 2008. - 233 p.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Teme pentru acasă

Piramidă. Piramida trunchiată

Piramidă se numește poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (Fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară în care toate muchiile sunt egale tetraedru .

Coastă laterală piramida se numeste latura fetei laterale care nu apartine bazei Înălţime piramida este distanța de la vârful ei până la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt egale triunghiuri isoscele. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf se numește apotemă . secțiune diagonală O secțiune a unei piramide se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Suprafața laterală piramida se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata intreaga este suma ariilor tuturor fețelor laterale și ale bazei.

Teoreme

1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate în mod egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.

2. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.

3. Dacă în piramidă toate fețele sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului înscris în bază.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, formula este corectă:

Unde V- volum;

S principal- suprafata de baza;

H este înălțimea piramidei.

Pentru o piramidă obișnuită, următoarele formule sunt adevărate:

Unde p- perimetrul bazei;

h a- apotema;

H- inaltimea;

S plin

partea S

S principal- suprafata de baza;

V este volumul unei piramide regulate.

trunchi de piramidă numită porțiunea piramidei cuprinsă între bază și planul de tăiere paralelă cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată corectă numită parte a unei piramide regulate, închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei.

Fundații trunchi de piramidă - poligoane asemănătoare. Fețe laterale - trapez. Înălţime piramida trunchiată se numește distanța dintre bazele sale. Diagonală O piramidă trunchiată este un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. secțiune diagonală O secțiune a unei piramide trunchiate se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Pentru o piramidă trunchiată, formulele sunt valabile:

(4)

Unde S 1 , S 2 - zone ale bazelor superioare și inferioare;

S plin este suprafața totală;

partea S este aria suprafeței laterale;

H- inaltimea;

V este volumul piramidei trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, următoarea formulă este adevărată:

Unde p 1 , p 2 - perimetre de bază;

h a- apotema unei piramide trunchiate regulate.

Exemplul 1 In dreapta piramidă triunghiulară unghiul diedrului la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 18).

Piramida este regulată, ceea ce înseamnă că baza este un triunghi echilateral și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedric de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar va fi unghiul Aîntre două perpendiculare: i.e. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumscris și cercul înscris în triunghi ABC). Unghiul de înclinare al nervurii laterale (de exemplu SB) este unghiul dintre muchia însăși și proiecția acesteia pe planul de bază. Pentru coastă SB acest unghi va fi unghiul SBD. Pentru a găsi tangenta trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEși OB. Fie lungimea segmentului BD este 3 A. punct O segment de linie BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: Din găsim:

Răspuns:

Exemplul 2 Găsiți volumul unei piramide patruunghiulare trunchiate obișnuite dacă diagonalele bazelor sale sunt cm și cm și înălțimea este de 4 cm.

Decizie. Pentru a afla volumul unei piramide trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi zonele bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt de 2 cm, respectiv 8 cm. Aceasta înseamnă ariile bazelor și Înlocuind toate datele în formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:

Răspuns: 112 cmc.

Exemplul 3 Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare regulate ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 19).

Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți bazele și înălțimea. Bazele sunt date după condiție, doar înălțimea rămâne necunoscută. Găsește-l de unde ȘI 1 E perpendicular de la un punct ȘI 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D- perpendicular de la ȘI 1 pe AC. ȘI 1 E\u003d 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. Pentru găsire DE vom realiza un desen suplimentar, în care vom reprezenta o vedere de sus (Fig. 20). Punct O- proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi Fig. 20) şi Pe de altă parte Bine este raza cercului înscris și OM este raza cercului înscris:

MK=DE.

Conform teoremei lui Pitagora din

Zona feței laterale:

Răspuns:

Exemplul 4 La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze Ași b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi egal cu planul bazei piramidei j. Aflați suprafața totală a piramidei.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD este egală cu suma ariilor și aria trapezului ABCD.

Folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct O- proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD la planul de bază. Conform teoremei privind aria proiecției ortogonale a unei figuri plate, obținem:

În mod similar, înseamnă Astfel, problema s-a redus la găsirea zonei trapezului ABCD. Desenați un trapez ABCD separat (Fig. 22). Punct O este centrul unui cerc înscris într-un trapez.

Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci sau Prin teorema lui Pitagora avem