Sarcinile olimpiadei din etapa municipală a olimpiadei rusești pentru școlari la matematică

Sarcina 1:

Găsiți toate triplele numerelor diferite de zero a, b și c care formează o progresie aritmetică și astfel încât numerele , , pot fi, de asemenea, compuse progresie aritmetică.

Soluţie: Prin proprietatea progresiei aritmetice avem a + c = 2b și una dintre următoarele ecuații

Primul caz duce la ecuația b² = 2ac, care nu are soluții pentru a + c = 2b; celelalte două conduc la același răspuns: toate triplele de forma - 2t, - 0,5t, t, unde t ≠ 0.

Răspuns: - 2t, - 0,5t și t pentru t ≠ 0.

Sarcina 2:

Găsiți triplete ale numerelor a, b și c, care sunt puteri a lui cinci cu exponenți întregi nenegativi, astfel încât, atribuind notația zecimală a unuia dintre ele notației zecimale a celuilalt, obținem al treilea număr.

Soluţie: Fie a = 5 n , b = 5 m , c = 5 k și numărul b conține exact t zecimale. Avem ecuația: 5 n 10 t + 5 m = 5 k. Evident m< k. Сократив уравнение на 5 в наибольшей степени, получим либо 2 t + 5 m - n - t = 5 k - t , либо 5 n - m + t • 2 t + 1 = 5 k - m . Первое уравнение имеет singura decizieîn numere întregi t = 2, m - n - t = 0, k - t = 1, de unde b = 25, m = 2, n = 0, k = 3 și numerele necesare sunt 1, 25, 125. A doua ecuație se satisface numai pentru n - m + t = 0, ceea ce duce la cazul anterior.

Răspuns: 1, 25 și 125.

Sarcina 3:

Zerourile sunt scrise la vârfurile și punctele de intersecție ale diagonalelor unui pentagon regulat. Într-o singură mișcare, aveți voie să adăugați + 1 sau - 1 simultan la toate numerele situate pe oricare dintre diagonalele pentagonului. Care dintre pentagoanele prezentate în imagini poate fi obținut în câteva mișcări?

0,5 mm em: lățime de linie 0,4 pt 0,4 pt

((Propus de S.E. Nokhrin.))

Soluţie: Să numerotăm diagonalele pentagonului cu numere de la 1 la 5 și să fie x i numărul de unități adăugate diagonalei i-a. Numărul de la orice vârf (punctul de intersecție al diagonalelor) este egal cu suma numerelor x i peste tot i astfel încât diagonala i-a trece prin acest vârf (punctul de intersecție al diagonalelor). Avem un sistem de zece ecuații cu cinci necunoscute, care se dovedește a fi inconsecvent în toate cazurile descrise în figuri.

Răspuns: nu poate fi obținut niciun pentagon.

Sarcina 4:

Într-un triunghi ascuțit ABC se trasează altitudinile: AH, BK și CL. Aflați perimetrul triunghiului HKL dacă se cunosc înălțimea AH = h și unghiul ∠ BAC = α.

((Propus de V.N. Ushakov.))

Soluţie: Liniile KL, KH și HL (vezi figura) decupează triunghiuri similare cu ∆ ABC din ∆ ABC. Într-adevăr, ∆ CHA ∽ ∆ CKB după criteriul I de asemănare a triunghiurilor (2 unghiuri egale). De aici. Dar atunci ∆ KHC ∽ ∆ BAC conform criteriului II al asemănării triunghiurilor (proporționalitatea laturilor și egalitatea unghiurilor dintre aceste laturi). În mod similar, se demonstrează că ∆ AKL ∽ ∆ ABC și ∆ BHL ∽ ∆ ABC. Deci, avem ∠ HLB = ∠ ALK = ∠ C, ∠ AKL = ∠ CKH = ∠ B. Atunci punctele H′ și H″, simetrice față de punctul H față de liniile drepte AB și, respectiv, AC, se află pe linia dreaptă KL. Într-adevăr, ∠ HLB = ∠ H′LB (deoarece ∆ HLO′ = ∆ H′LO′), dar ∠ HLB = ∠ ALK, deci ∠ ALK = ∠ H′LB, ceea ce înseamnă că punctele K, L, H′ se află pe aceeași linie dreaptă. Se dovedește într-un mod similar că H″, K, L se află pe aceeași linie dreaptă. Segmentul H″H′ este egal cu perimetrul ∆ KLH (KH = KH″ și LH = LH′). Să considerăm acum ∆ H″AH′. Este isoscel, pentru că AH′ = AH = AH", și ∠ H″AH′ = 2 (∠ CAH + ∠ BAH) = \ = 2 α . Prin urmare H″H′ = 2AH′ sin \, α . Deci, perimetrul ∆ KLH este egal la 2h sin\, α.

1. Rezolvați un puzzle numeric.

2. Ignat are acum de patru ori vârsta lui mai multi ani decât era sora lui în acel moment când avea jumătate din vârsta lui. Câți ani are Ignat acum, dacă peste 15 ani el și sora lui vor împlini 100 de ani împreună?

3. Copiii ies în perechi din pădurea unde strângeau nuci. Fiecare pereche este formată dintr-un băiat și o fată, iar băiatul are fie de două ori mai multe, fie jumătate mai multe nuci decât fata. S-ar putea ca toată lumea să aibă nuci din 2011 împreună?

4. Tăiați un dreptunghi cu laturile 4 și 9 în cel mai mic număr de bucăți astfel încât să formeze un pătrat din ele.

5. Pe insula O trăiesc cavaleri care spun mereu adevărul și mincinoși care mint mereu. Călătorul a întâlnit doi nativi - A și B. Nativul A a spus fraza:

De macar unul dintre noi (A sau B) este un mincinos.

Este posibil să spunem cine este A și cine este B (cavaler sau ticălos)?

Sarcini olimpice etapa municipală matematică

1. Găsiți toate numerele din trei cifre astfel încât suma cifrelor numărului să fie de 11 ori mai mică decât numărul în sine https://pandia.ru/text/78/035/images/image003_105.gif" width="27 " height="17"> puncte pătrate sunt luate astfel încât linia dreaptă să intersecteze latura în punct, linia dreaptă să intersecteze latura în punct și https://pandia.ru/text/78/035/images/image013_32 .gif" width="104" height="21">.

https://pandia.ru/text/78/035/images/image015_30.gif" width="96" height="24">

5. La trecerea în revistă a trupelor Insulei Mincinoșilor și Cavalerilor (mincinoșii mint mereu, cavalerii spun mereu adevărul), liderul a aliniat toți războinicii. Fiecare dintre războinicii care stăteau în rând a spus: „Vecinii mei din rând sunt mincinoși”. (Războinicii care stăteau la capetele firului au spus: „Vecinul meu din rând este un mincinos.”) Ce cel mai mare număr Ar putea cavalerii să fie în linie dacă războinicii din 2011 ar ieși pentru revizuire?

Sarcini olimpice etapa municipală Olimpiada integrală ruseascăşcolari matematică

1. Vasya a scris mai multe numere întregi pe tablă. Petya și-a semnat pătratul sub fiecare dintre numerele lui Vasya. După care Masha a adunat toate numerele scrise pe tablă și a obținut 2011. Demonstrează că unul dintre băieți a greșit.

2. Cooperativa primește sucul de mere și struguri în cutii identice și produce o băutură de mere-struguri în cutii identice. Se poate suc de mere suficient pentru exact 6 cutii de băutură și o cutie de suc de struguri - exact 10. Când rețeta băuturii a fost schimbată, o cutie de suc de mere a fost suficientă pentru exact 5 cutii de băutură. Câte cutii de băutură sunt suficiente pentru o cutie acum? suc de struguri? (Băutura nu este diluată cu apă.)

3..gif" width="43" height="21 src=">.gif" width="64" height="21 src=">.gif" width="37" height="19 src="> isoscel.

4. Demonstrați că pentru toate pozitive https://pandia.ru/text/78/035/images/image023_20.gif" width="13" height="15"> diferența rădăcinilor ecuației egal cu 3?

3. danezi P puncte, dintre care nici patru nu aparțin aceluiași plan. Câte avioane pot fi desenate prin diferite triplete ale acestor puncte?

4..gif" width="12" height="15 src=">, formând o progresie aritmetică și astfel încât o progresie aritmetică poate fi făcută și din numere.

5. Diagonalele unui paralelogram se intersectează în punct. Fie și punctele de intersecție ale cercurilor, dintre care unul trece prin punctele https://pandia.ru/text/78/035/images/image031_14.gif" width="16" height="17 src=">, iar celălalt prin și https://pandia.ru/text/78/035/images/image002_138.gif" width="19" height="19">, dacă punctul se află pe segment și nu coincide cu acesta se termină.

Sarcini olimpiceetapa municipală matematică

clasa a 7-a

Cel puțin unul dintre noi (A sau B) este un mincinos.

Este posibil să spunem cine este A și cine este B (cavaler sau ticălos)?

Sarcini olimpiceetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

clasa a 8-a

Sarcini olimpiceetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

clasa a 9-a

1. Care numere de cinci cifre sunt mai mari: cele ale căror numere sunt în ordine strict crescătoare sau cele ale căror numere sunt în ordine strict descrescătoare? (De exemplu, primul grup include numărul 12.459, dar nu include numerele 12.495 și 12.259).

Sarcini olimpiceetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

Clasa 10

1. Numerele de la 21 la 30 sunt scrise pe rând Este posibil să se plaseze semnele „+” și „-” între ele, astfel încât valoarea expresiei rezultate să fie egală cu zero?
2. La ce valoridiferența rădăcinilor ecuației egal cu 3?
3. Având în vedere n puncte, dintre care nici patru nu aparțin aceluiași plan. Câte avioane pot fi desenate prin diferite triplete ale acestor puncte?
4. Găsiți toate triplele numerelor diferite de zeroȘi , formând o progresie aritmetică și astfel încât din numereȘi De asemenea, puteți face o progresie aritmetică.
5. Diagonalele unui paralelogramse intersectează într-un punct. Lăsați-l să fie - puncte de intersecție a cercurilor, dintre care unul trece prin puncteși , iar celălalt prin și . Găsiți locul punctelor, dacă punct se află pe segmentși nu coincide cu capetele sale.

Sarcini olimpiceetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

Clasa a 11a

1. Care este cel mai mic natural este divizibil cu 770?
2. Demonstrează că dacă, apoi ecuația
3. Găsiți dacă ; ; .
4. La baza piramida regulata se află un poligon cu un număr impar de laturi. Este posibil să plasați săgeți pe marginile acestei piramide (câte una pe fiecare margine) astfel încât suma vectorilor rezultați să fie egală cu?

1. Sunt 20 de elevi în clasă. Toată lumea este prietenă cu cel puțin alți 10. Demonstrați că în această clasă este posibil să selectați două troici de studenți, astfel încât orice student dintr-o troică să fie prieten cu orice student din cealaltă troică.

Previzualizare:

Clasa a 7-a (soluții și răspunsuri)

Răspunsuri și soluții la problemeetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

1. Răspuns: 2222 – 999 + 11 – 0 = 1234.
2. Răspuns: 40 de ani.

Soluţie: Pentru a rezolva problema, vom folosi tabelul.

Ecuația: . Acum Ignat are 40 de ani.

1. Răspuns: nu s-a putut.

Soluţie: Rețineți că numărul de nuci pentru fiecare pereche de copii este divizibil cu 3. Aceasta înseamnă că numărul total de nuci trebuie să fie divizibil cu 3. Cu toate acestea, 2011 nu este divizibil cu 3.

1. Soluţie:

1. Răspuns: A este un cavaler, B este un mincinos.

Soluţie: Dacă A este un mincinos, atunci afirmația lui este falsă, adică. ambii trebuie să fie cavaleri. Contradicţie. Deci A este un cavaler. Atunci afirmația lui este adevărată și B este un mincinos.

Nota a 8-a (soluții și răspunsuri)

Răspunsuri și soluții la problemeetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

1. Răspuns: 198.

Soluţie: Număr din trei cifrepoate fi scris sub forma. Din condiție urmează că . În dreapta este un număr de două cifre (o singură cifră dacă c = 0) care este divizibil cu 89, ceea ce înseamnă. Dar apoi

1. Răspuns: parte dintr-un cerc cu diametrul OP

Soluție: Fie O - centrul unui cerc dat, M - punctul de mijloc al unei coarde tăiat dintr-un cerc printr-o linie dreaptă care trece printr-un punct P. Atunci PMO = 90 o . Prin urmare, setul necesar este o parte a unui cerc cu un diametru OP , situată în interiorul unui cerc dat.

Soluţie: Condiția implică egalitatea triunghiurilor), Unde . In afara de asta, . Prin urmare triunghiurisunt egali și, prin urmare.

1. Răspuns: 31 11 14

Soluţie:

1. Răspuns: 1006 cavaleri

Soluţie: Rețineți că cei doi războinici care stau unul lângă altul nu puteau fi cavaleri. Într-adevăr, dacă ar fi amândoi cavaleri, amândoi ar spune minciuni. Să alegem războinicul care stă în stânga și să împărțim rândul celor 2010 războinici rămași în 1005 grupuri de doi războinici stând unul lângă celălalt. În fiecare astfel de grupă nu există mai mult de un cavaler, adică. printre războinicii din 2010 luați în considerare nu există mai mult de 1005 cavaleri, adică. în total nu sunt mai mult de 1005 + 1 = 1006 cavaleri în linie.

Luați în considerare linia RLRLR...RLRLR. Într-o astfel de linie sunt exact 1006 cavaleri.

9 clasa (soluții și răspunsuri)

Răspunsuri și soluții la problemeetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

1. Răspuns: mai mult decât cei ale căror numere sunt în ordine descrescătoare.

Soluție: 1) Să scriem numărul primului grup în ordine inversă. Primim numărul celui de-al doilea grup, iar din numere diferite ale primului grup obținem numere diferite al doilea grup. În același timp, numerele din a doua grupă care se termină cu 0, de exemplu 98.760, nu au putut fi obținute prin „inversarea” numerelor primului grup (numărul 06789 = 6789 nu este format din cinci cifre). Aceasta înseamnă că există mai multe numere în a doua grupă.

2) Numerele primului grup se obțin din numărul 123.456.789 prin tăierea a patru cifre, adică. al lor, iar numerele celui de-al doilea grup - de la numărul 9.876.543.210 prin tăierea a cinci cifre, i.e. al lor.

Nota 10 (soluții și răspunsuri)

Răspunsuri și soluții la problemeetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

Exprimând și din ecuațiile (1) și (3) și înlocuind în ecuația (2), obținem, după simplificare, ecuația. Rezolvând-o, vom găsi.

1. Răspuns: , , unde . Soluție: După condiție și una dintre egalități este îndeplinită:, sau . În primul caz, rezolvarea sistemului, , primim . În al doilea caz obținem sau , . Al treilea caz este similar cu al doilea.
2. Răspuns: segment fără capete, unde este punctul se întinde pe grindă şi .

Soluție: Lasă - un cerc care trece prin puncteși și intersectându-se la punct . Apoi, după proprietatea unghiurilor înscrise, deci puncte , , , culcați pe același cerc; Dacăse află pe segment, atunci dacă se află în afara acestui segment (punctulpe imagine). Prin urmare,, din moment ce și , adică cerc care trece prin puncteȘi . Deci, am arătat că ideeatrebuie să se întindă pe segment. Să arătăm acum că orice punct al acestui segment, cu excepțiaȘi , este inclus în locația geometrică dorită a punctelor. Într-adevăr, să. Apoi, alegerea unui punct astfel încât , obținem că și .

Nota a 11-a (soluții și răspunsuri)

Răspunsuri și soluții la problemeetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

Să luăm în considerare primul caz. Deoarece, apoi ramurile parabolei date prin formula, îndreptată în sus. Și de când, atunci există puncte ale parabolei situate sub axă. Aceasta înseamnă că parabola intersectează axala 2 puncte. Prin urmare, ecuațiaare două rădăcini reale.

În al doilea caz, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos și, deci parabola intersectează axala 2 puncte. Apoi ecuațiaare din nou două rădăcini reale.

Metoda 2. Luați în considerare inegalitatea. Deschiderea parantezelor din partea stângă, înmulțirea inegalității cu -4, apoi adăugarea la ambele părți ale inegalității, primim: . Să ne transformăm această inegalitate la forma:. De atunci . Prin urmare, ecuațiaare 2 rădăcini reale.

Soluţie: Soluții evidente, , . Este clar că alte triple de numere cu componente zero nu sunt soluții la acest sistem. Rămâne de luat în considerare cazul când. Apoi, evident- unghiurile unui triunghi dreptunghic cu catete (- naturale). Prin urmare, trei- o alta solutie.

4. Răspuns: Nu.

Soluţie: Lasă săgețile aranjate cumva. Să proiectăm toți vectorii rezultați pe o linie dreaptă care conține înălțimea ASA DE piramide. Proiecțiile vectorilor aflați în planul bazei sunt egale, iar proiecțiile vectorilor care se află pe marginile laterale sunt egale sau - . Deoarece numărul de vectori care se află pe marginile laterale este impar, rezultă că suma proiecțiilor lor nu poate fi egală, prin urmare nu poate fi egalși suma tuturor vectorilor rezultați.

5 . Să numărăm toți elevii din clasă folosind numere naturale de la 1 la 20 și notăm prinnumărul de prieteni comuniȘi studenții și suma tuturor acestor numere prin . Apoi, pentru a demonstra enunțul problemei, este suficient să arătăm că pentru uniiȘi inegalitatea este valabilă.

Numerele totale vor fi . Deoarece fiecare elev are cel puțin 10 prieteni în clasă, la numărarea număruluiLuăm în considerare cel puțin fiecare elev ori, prin urmare.

Astfel, suma a 1140 de numere întregi este de cel puțin 2400, deci unul dintre numerenu mai puțin de 3, ceea ce trebuia dovedit.