Pe tablă sunt scrise 100 de numere naturale diferite cu suma 5120.
a) Se poate scrie numărul 230?
b) Se poate face fără numărul 14?
c) Care este cel mai mic număr de multipli de 14 de pe tablă?
Soluţie.
a) Să se scrie pe tablă numărul 230 și 99 de alte numere naturale diferite. Cea mai mică sumă posibilă a numerelor de pe tablă se realizează cu condiția ca suma a 99 de numere naturale diferite să fie minimă. Și acest lucru, la rândul său, este posibil dacă 99 de numere naturale diferite sunt o progresie aritmetică cu primul termen și diferența. Suma acestor numere, conform formulei pentru suma unei progresii aritmetice, este:
Suma tuturor numerelor de pe tablă S va fi egal cu:
Este ușor de observat că suma rezultată este mai mare decât 5120, ceea ce înseamnă că orice sumă a 100 de numere naturale diferite, printre care sunt 230, este mai mare decât 5120, prin urmare, nu poate fi 230 pe tablă.
b) Să presupunem că pe tablă nu este scris numărul 14. În acest caz, suma minimă posibilă S numerele de pe tablă vor consta din două sume de progresii aritmetice: suma primilor 13 membri ai progresiei cu primul membru, diferența (adică seria 1,2,3, .. 13) și suma primii 87 de membri ai progresiei cu primul membru, diferența (adică seria 15,16,17, .. 101). Să găsim această sumă:
Este ușor de observat că suma rezultată este mai mare decât 5120, ceea ce înseamnă că orice sumă de 100 de numere naturale diferite, printre care nu există 14, este mai mare de 5120, prin urmare, nu se poate face fără numărul 14 de pe tablă.
c) Să presupunem că pe tablă sunt scrise toate numerele de la 1 la 100. Apoi rezultă că seria rezultată este o progresie aritmetică cu primul termen, diferența. Prin formula pentru suma unei progresii aritmetice, găsim suma tuturor numerelor de pe tablă:
Suma primită nu satisface condiția problemei. Acum, pentru a crește suma tuturor numerelor scrise pe tablă la cea indicată în condiție, vom încerca să înlocuim numerele care sunt multiple ai lui 14 cu alte numere care urmează sutei: 70 va fi înlocuit cu 110, 84 - cu 104 și 98 - cu 108. Suma rezultată S va fi egal cu:
Odată cu înlocuirea suplimentară a numerelor care sunt multipli de 14 cu numere mai mari de 100, suma va crește și nu corespunde stării problemei. Deci cel mai mic număr de multipli ai lui 14 este 4.
Să dăm o altă soluție punctului c).
Să dăm un exemplu, când pe tablă sunt patru numere care sunt multipli ai lui 14 (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Să demonstrăm că nu pot exista trei numere care sunt multipli ai lui 14. Pentru a elimina numărul maxim de numere care sunt multipli ai lui 14, este necesar ca diferențele dintre numerele noi și cele vechi să fie minime. Adică, este necesar să înlocuiți cele mai mari numere, multipli de 14, cu cele mai mici posibil, mai mari de o sută de numere. Fie numărul multiplilor lui 14 3. Atunci suma minimă a numerelor scrise pe tablă este:
Suma rezultată este mai mare decât 5120. Odată cu înlocuirea ulterioară a numerelor care sunt multipli de 14 cu numere mai mari de 100, suma va crește, ceea ce înseamnă că pe tablă pot exista nu mai puțin de patru numere care sunt multipli de 14.
A) Nu b) Nu c) 4.
Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului de matematică la 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. Potrivit și pentru promovarea examenului de bază la matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examen și nici un student de o sută de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria de care ai nevoie. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. S-au demontat toate sarcinile relevante din partea 1 din Banca de sarcini a FIPI. Cursul îndeplinește pe deplin cerințele examenului-2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și direct.
Sute de teme de examen. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de USE. Stereometrie. Soluții complicate, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, grade și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.
Pe tablă sunt scrise 100 de numere naturale diferite cu suma 5120.
a) Se poate scrie numărul 230?
b) Se poate face fără numărul 14?
c) Care este cel mai mic număr de multipli de 14 de pe tablă?
Soluţie.
a) Să se scrie pe tablă numărul 230 și 99 de alte numere naturale diferite. Cea mai mică sumă posibilă a numerelor de pe tablă se realizează cu condiția ca suma a 99 de numere naturale diferite să fie minimă. Și acest lucru, la rândul său, este posibil dacă 99 de numere naturale diferite sunt o progresie aritmetică cu primul termen și diferența. Suma acestor numere, conform formulei pentru suma unei progresii aritmetice, este:
Suma tuturor numerelor de pe tablă S va fi egal cu:
Este ușor de observat că suma rezultată este mai mare decât 5120, ceea ce înseamnă că orice sumă a 100 de numere naturale diferite, printre care sunt 230, este mai mare decât 5120, prin urmare, nu poate fi 230 pe tablă.
b) Să presupunem că pe tablă nu este scris numărul 14. În acest caz, suma minimă posibilă S numerele de pe tablă vor consta din două sume de progresii aritmetice: suma primilor 13 membri ai progresiei cu primul membru, diferența (adică seria 1,2,3, .. 13) și suma primii 87 de membri ai progresiei cu primul membru, diferența (adică seria 15,16,17, .. 101). Să găsim această sumă:
Este ușor de observat că suma rezultată este mai mare decât 5120, ceea ce înseamnă că orice sumă de 100 de numere naturale diferite, printre care nu există 14, este mai mare de 5120, prin urmare, nu se poate face fără numărul 14 de pe tablă.
c) Să presupunem că pe tablă sunt scrise toate numerele de la 1 la 100. Apoi rezultă că seria rezultată este o progresie aritmetică cu primul termen, diferența. Prin formula pentru suma unei progresii aritmetice, găsim suma tuturor numerelor de pe tablă:
Suma primită nu satisface condiția problemei. Acum, pentru a crește suma tuturor numerelor scrise pe tablă la cea indicată în condiție, vom încerca să înlocuim numerele care sunt multiple ai lui 14 cu alte numere care urmează sutei: 70 va fi înlocuit cu 110, 84 - cu 104 și 98 - cu 108. Suma rezultată S va fi egal cu:
Odată cu înlocuirea suplimentară a numerelor care sunt multipli de 14 cu numere mai mari de 100, suma va crește și nu corespunde stării problemei. Deci cel mai mic număr de multipli ai lui 14 este 4.
Să dăm o altă soluție punctului c).
Să dăm un exemplu, când pe tablă sunt patru numere care sunt multipli ai lui 14 (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Să demonstrăm că nu pot exista trei numere care sunt multipli ai lui 14. Pentru a elimina numărul maxim de numere care sunt multipli ai lui 14, este necesar ca diferențele dintre numerele noi și cele vechi să fie minime. Adică, este necesar să înlocuiți cele mai mari numere, multipli de 14, cu cele mai mici posibil, mai mari de o sută de numere. Fie numărul multiplilor lui 14 3. Atunci suma minimă a numerelor scrise pe tablă este:
Suma rezultată este mai mare decât 5120. Odată cu înlocuirea ulterioară a numerelor care sunt multipli de 14 cu numere mai mari de 100, suma va crește, ceea ce înseamnă că pe tablă pot exista nu mai puțin de patru numere care sunt multipli de 14.
A) Nu b) Nu c) 4.
