1) Domeniul funcției și domeniul funcției.
Domeniul de aplicare al funcției este setul tuturor valorilor argumentelor valide valide X(variabil X) pentru care funcţia y = f (x) definit. Gama de valori ale unei funcții este setul tuturor valorilor reale y pe care funcția le acceptă.
În matematica elementară, funcțiile sunt studiate numai pe mulțimea numerelor reale.
2) Zerourile funcției.
Funcția zero este o valoare de argument la care valoarea funcției este egală cu zero.
3) Intervale de constanță a funcției.
Intervalele de semn constant ale unei funcții sunt astfel de seturi de valori ale argumentului, pe care valorile funcției sunt doar pozitive sau numai negative.
4) Monotonitatea funcției.
O funcție crescătoare (într-un anumit interval) este o funcție pentru care o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mari a funcției.
Funcție descrescătoare (într-un anumit interval) - o funcție pentru care valoarea mai mare a argumentului din acest interval corespunde valorii mai mici a funcției.
5) Funcția de paritate (impar)..
O funcție pară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare NS din domeniu, egalitatea f (-x) = f (x)... Graficul unei funcții pare este simetric față de axa ordonatelor.
O funcție impară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare NS domeniul definirii satisface egalitatea f (-x) = - f (x). Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.
6) Funcții limitate și nelimitate.
O funcție se numește mărginită dacă există un număr pozitiv M astfel încât | f (x) | ≤ M pentru toate valorile lui x. Dacă nu există un astfel de număr, atunci funcția este nelimitată.
7) Periodicitatea funcției.
O funcție f (x) este periodică dacă există un număr T diferit de zero, astfel încât pentru orice x din domeniul funcției se respectă următoarele: f (x + T) = f (x). Acest cel mai mic număr se numește perioada funcției. Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice. (Formulele trigonometrice).
19. Funcții elementare de bază, proprietățile și grafica acestora. Aplicarea funcțiilor în economie.
Funcții elementare de bază. Proprietățile și graficele lor
1. Funcția liniară.
Funcție liniară numită funcție de forma, unde x este o variabilă, a și b sunt numere reale.
Număr A numită panta unei drepte, este egală cu tangentei unghiului de înclinare a acestei drepte la direcția pozitivă a axei absciselor. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Este definit de două puncte.
Proprietățile funcției liniare
1. Domeniul definiției - mulțimea tuturor numerelor reale: D (y) = R
2. Mulțimea valorilor este mulțimea tuturor numerelor reale: E (y) = R
3. Funcția ia o valoare zero pentru sau.
4. Funcția crește (descrește) pe întregul domeniu de definire.
5. Funcția liniară este continuă pe întregul domeniu al definiției, diferențiabilă și.
2. Funcția pătratică.
O funcție de forma, unde x este o variabilă, coeficienții a, b, c sunt numere reale, se numește pătratică.
Studiul proprietăților funcțiilor și graficelor acestora ocupă un loc semnificativ atât în matematica școlară, cât și în cursurile ulterioare. Mai mult, nu numai la cursurile de analiză matematică și funcțională, și chiar nu numai la alte secțiuni de matematică superioară, ci și la majoritatea disciplinelor restrâns profesionale. De exemplu, în economie - funcții de utilitate, costuri, cerere, ofertă și consum ..., în inginerie radio - funcții de control și funcții de răspuns, în statistică - funcții de distribuție ... funcții. Pentru a face acest lucru, după ce am studiat următorul tabel, vă recomand să urmați linkul „Transformări grafice de funcții”.
| Numele funcției | Formula funcției | Graficul funcției | Numele diagramei | Un comentariu |
|---|---|---|---|---|
| Liniar | y = kx | Drept | Cel mai simplu caz particular de dependență liniară este proporționalitatea directă y = kx, Unde k≠ 0 - coeficient de proporționalitate. Figura prezintă un exemplu pentru k= 1, adică de fapt, graficul dat ilustrează dependența funcțională, care stabilește egalitatea valorii funcției cu valoarea argumentului. | |
| Liniar | y = kx + b |  |
Drept | Caz general de dependență liniară: coeficienți kși b- orice numere reale. Aici k = 0.5, b = -1. |
| cuadratic | y = x 2 |  |
Parabolă | Cel mai simplu caz al unei dependențe pătratice este o parabolă simetrică cu vârful la origine. |
| cuadratic | y = ax 2 + bx + c |  |
Parabolă | Caz general de dependenţă pătratică: coeficient A- un număr real arbitrar care nu este egal cu zero ( A aparține lui R, A ≠ 0), b, c- orice numere reale. |
| Putere | y = x 3 |  |
Parabolă cubică | Cel mai simplu caz este pentru un grad întreg impar. Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea „Mișcarea graficelor de funcții”. |
| Putere | y = x 1/2 |  |
Graficul funcției y = √X |
Cel mai simplu caz pentru o putere fracțională ( X 1/2 = √X). Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea „Mișcarea graficelor de funcții”. |
| Putere | y = k / x |  |
Hiperbolă | Cel mai simplu caz pentru o putere întreagă negativă ( 1 / x = x-1) - relație invers proporțională. Aici k = 1. |
| Indicativ | y = e x |  |
Expozant | Dependența exponențială se numește funcție exponențială pentru bază e- un număr irațional aproximativ egal cu 2,7182818284590... |
| Indicativ | y = un x |  |
Graficul funcției exponențiale | A> 0 și A A... Iată un exemplu pentru y = 2 x (A = 2 > 1). |
| Indicativ | y = un x |  |
Graficul funcției exponențiale | Funcția exponențială este definită pentru A> 0 și A≠ 1. Graficele funcției depind în esență de valoarea parametrului A... Iată un exemplu pentru y = 0,5 x (A = 1/2 < 1). |
| Logaritmic | y= ln X |  |
Graficul funcției logaritmice pentru bază e(logaritmul natural) se numește uneori logaritm. | |
| Logaritmic | y= jurnal un x |  |
Graficul funcției logaritmice | Logaritmii sunt definiti pentru A> 0 și A≠ 1. Graficele funcției depind în esență de valoarea parametrului A... Iată un exemplu pentru y= jurnalul 2 X (A = 2 > 1). |
| Logaritmic | y = jurnal un x |  |
Graficul funcției logaritmice | Logaritmii sunt definiti pentru A> 0 și A≠ 1. Graficele funcției depind în esență de valoarea parametrului A... Iată un exemplu pentru y= log 0,5 X (A = 1/2 < 1). |
| Sinusul | y= păcat X |  |
Sinusoid | Funcția trigonometrică sinusoidală. Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea „Mișcarea graficelor de funcții”. |
| Cosinus | y= cos X |  |
Cosinus | Funcția cosinus trigonometrică. Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea „Mișcarea graficelor de funcții”. |
| Tangentă | y= tg X |  |
Tangensoid | Funcția tangentă trigonometrică. Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea „Mișcarea graficelor de funcții”. |
| Cotangentă | y= ctg X |  |
Cotangensoid | Funcția cotangentă trigonometrică. Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea „Mișcarea graficelor de funcții”. |
| Numele funcției | Formula funcției | Graficul funcției | Numele diagramei |
|---|
1. Funcția liniară fracțională și graficul acesteia
O funcție de forma y = P (x) / Q (x), unde P (x) și Q (x) sunt polinoame, se numește funcție rațională fracțională.
Probabil că ești deja familiarizat cu conceptul de numere raționale. De asemenea funcții raționale Sunt funcții care pot fi reprezentate ca câtul a două polinoame.
Dacă o funcție rațională fracțională este un coeficient de două funcții liniare - polinoame de gradul I, i.e. functia formei
y = (ax + b) / (cx + d), atunci se numește liniar fracționar.
Rețineți că în funcția y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (în caz contrar, funcția devine liniară y = ax / d + b / d) și că a / c ≠ b / d (în caz contrar, funcția este o constantă). Funcția fracțională liniară este definită pentru toate numerele reale, cu excepția x = -d / c. Graficele funcțiilor liniar-fracționale nu diferă ca formă de graficul pe care îl cunoașteți despre y = 1 / x. Se numește curba care este graficul funcției y = 1 / x hiperbolă... Cu o creștere nelimitată a x în valoare absolută, funcția y = 1 / x scade la nesfârșit în valoare absolută și ambele ramuri ale graficului se apropie de axa absciselor: cea din dreapta se apropie de sus, iar cea din stânga - de jos. Liniile drepte de care se apropie ramurile hiperbolei se numesc ei asimptote.
Exemplul 1.
y = (2x + 1) / (x - 3).
Soluţie.
Să selectăm întreaga parte: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1 / x prin următoarele transformări: deplasarea cu 3 segmente unitare la dreapta, întinderea de-a lungul axei Oy de 7 ori și deplasarea cu 2 segmente de unitate în sus.
Orice fracție y = (ax + b) / (cx + d) poate fi scrisă în mod similar, evidențiind „întreaga parte”. În consecință, graficele tuturor funcțiilor liniare-fracționale sunt hiperbole deplasate în diferite moduri de-a lungul axelor de coordonate și întinse de-a lungul axei Oy.
Pentru a reprezenta un grafic al oricărei funcții fracționale liniare arbitrare, nu este deloc necesar să se transforme fracția care definește această funcție. Deoarece știm că graficul este o hiperbolă, va fi suficient să găsim liniile drepte de care se apropie ramurile sale - asimptotele hiperbolei x = -d / c și y = a / c.
Exemplul 2.
Aflați asimptotele graficului funcției y = (3x + 5) / (2x + 2).
Soluţie.
Funcția este nedefinită când x = -1. Prin urmare, linia x = -1 servește ca asimptotă verticală. Pentru a găsi asimptota orizontală, să aflăm de ce se apropie valorile funcției y (x) atunci când argumentul x crește în valoare absolută.
Pentru a face acest lucru, împărțiți numărătorul și numitorul fracției la x:
y = (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).
Ca x → ∞, fracția va tinde spre 3/2. Prin urmare, asimptota orizontală este linia dreaptă y = 3/2.
Exemplul 3.
Trasează funcția y = (2x + 1) / (x + 1).
Soluţie.
Să selectăm „întreaga parte” a fracției:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =
2 - 1 / (x + 1).
Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1 / x prin următoarele transformări: o deplasare cu 1 unitate la stânga, o mapare simetrică față de Ox și o deplasare cu 2 segmente de unitate în sus de-a lungul axei Oy.
Domeniul D (y) = (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).
Intervalul de valori este E (y) = (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).
Puncte de intersecție cu axele: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funcția crește la fiecare dintre intervalele domeniului de definiție.
Răspuns: Figura 1.
2. Funcția rațională fracțională
Se consideră o funcție rațională fracțională de forma y = P (x) / Q (x), unde P (x) și Q (x) sunt polinoame de grad mai mare decât primul.
Exemple de astfel de funcții raționale:
y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) sau y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Dacă funcția y = P (x) / Q (x) este un coeficient de două polinoame de grad mai mare decât primul, atunci graficul său va fi, de regulă, mai dificil și uneori este dificil să îl reprezentați cu acuratețe, cu toate detaliile este uneori dificil. Cu toate acestea, este adesea suficient să aplicați tehnici similare cu cele cu care ne-am întâlnit deja mai sus.
Fie fracția regulată (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P (x) / Q (x) = A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 +... + A m1 / (x - K 1) +... +
L 1 / (x - K s) ms + L 2 / (x - K s) ms-1 +... + L ms / (x - K s) +... +
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 +… + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) +… +
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 +… + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Evident, graficul unei funcții fracționale-raționale poate fi obținut ca sumă a graficelor fracțiilor elementare.
Trasarea funcțiilor raționale fracționale
Să luăm în considerare mai multe moduri de a construi grafice ale unei funcții raționale fracționale.
Exemplul 4.
Trasează funcția y = 1 / x 2.
Soluţie.
Folosim graficul funcției y = x 2 pentru a reprezenta graficul y = 1 / x 2 și folosim tehnica „împărțirii” graficelor.
Domeniul D (y) = (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).
Interval de valori E (y) = (0; + ∞).
Nu există puncte de intersecție cu axele. Funcția este egală. Crește pentru tot x din intervalul (-∞; 0), scade pentru x de la 0 la + ∞.
Răspuns: Figura 2.
Exemplul 5.
Trasează funcția y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Soluţie.
Domeniul D (y) = (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).
y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = - (x - 1) / 3 = -x / 3 + 1/3.
Aici am folosit trucul factorizării, anulării și liniarizării.
Răspuns: Figura 3.
Exemplul 6.
Reprezentați grafic funcția y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Soluţie.
Domeniul definiției D (y) = R. Deoarece funcția este pară, graficul este simetric față de axa ordonatelor. Înainte de a construi graficul, să transformăm din nou expresia, evidențiind întreaga parte:
y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).
Rețineți că selectarea părții întregi în formula unei funcții fracționale-raționale este una dintre principalele în construcția graficelor.
Dacă x → ± ∞, atunci y → 1, adică linia y = 1 este asimptota orizontală.
Răspuns: Figura 4.
Exemplul 7.
Luați în considerare funcția y = x / (x 2 + 1) și încercați să găsiți exact valoarea ei cea mai mare, adică. punctul cel mai înalt din jumătatea dreaptă a graficului. Pentru a reprezenta cu acuratețe acest grafic, cunoștințele de astăzi nu sunt suficiente. Evident, curba noastră nu se poate „crește” foarte sus, pentru că numitorul începe să „depășească” numărătorul destul de repede. Să vedem dacă valoarea funcției poate fi egală cu 1. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația x 2 + 1 = x, x 2 - x + 1 = 0. Această ecuație nu are rădăcini reale. Aceasta înseamnă că presupunerea noastră nu este corectă. Pentru a găsi cea mai mare valoare a unei funcții, trebuie să aflați la ce mai mare A ecuația A = x / (x 2 + 1) va avea o soluție. Înlocuiți ecuația inițială cu una pătratică: Ax 2 - x + A = 0. Această ecuație are soluție când 1 - 4A 2 ≥ 0. De aici găsim cea mai mare valoare A = 1/2. 
Răspuns: Figura 5, max y (x) = ½.
Mai ai întrebări? Nu sunteți sigur cum să trasați graficele funcțiilor?
Pentru a obține ajutor de la un tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să raportăm oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la o competiție sau la un eveniment promoțional similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra acele programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinul instanței, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - să dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte motive importante din punct de vedere social.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm către terțul corespunzător - succesorul legal.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și abuzului, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respect pentru intimitatea ta la nivel de companie
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, aducem regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm cu strictețe implementarea măsurilor de confidențialitate.
Definiție: O funcție numerică este o corespondență care asociază un singur număr y cu fiecare număr x dintr-o mulțime dată.
Desemnare:
unde x este variabila independentă (argument), y este variabila dependentă (funcție). Setul de valori x se numește domeniul funcției (notat cu D (f)). Setul de valori ale lui y se numește intervalul de valori al funcției (notat cu E (f)). Graficul unei funcții este mulțimea de puncte ale planului cu coordonatele (x, f (x))
Metode de setare a funcției.
- metoda analitica (folosind o formula matematica);
- metoda tabulară (folosind un tabel);
- un mod descriptiv (folosind o descriere verbală);
- mod grafic (folosind un grafic).
Principalele proprietăți ale funcției.
1. Paritate pară și impară
O funcție este numită chiar dacă
- domeniul functiei este simetric fata de zero
f (-x) = f (x)
Graficul unei funcții pare este simetric în raport cu axa 0y
O funcție se numește impar dacă
- domeniul functiei este simetric fata de zero
- pentru orice x din domeniu f (-x) = –f (x)
Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.
2.Periodicitatea
O funcție f (x) se numește periodică cu o perioadă dacă pentru orice x din domeniu f (x) = f (x + T) = f (x-T) .
Graficul unei funcții periodice constă în repetarea la nesfârșit a fragmentelor identice.
3. Monotonie (creștere, scădere)
Funcția f (x) crește pe mulțimea Р dacă pentru orice x 1 și x 2 din această mulțime astfel încât x 1
Funcția f (x) scade pe mulțimea Р, dacă pentru orice x 1 și x 2 din această mulțime, astfel încât x 1 f (x 2).
4. Extreme
Punctul X max se numește punctul maxim al funcției f (x) dacă pentru toți x din vreo vecinătate X max, inegalitatea f (x) f (X max) este satisfăcută.
Valoarea Y max = f (X max) se numește maximul acestei funcții.
X max - punct maxim
Max are maximul
Punctul X min se numește punctul minim al funcției f (x) dacă pentru tot x din vreo vecinătate X min, inegalitatea f (x) f (X min) este satisfăcută.
Valoarea Y min = f (X min) se numește minimul acestei funcții.
X min - punct minim
Y min - minim
X min, X max - puncte extreme
Y min, Y max - extrema.
5. Zerouri ale funcției
Zeroul funcției y = f (x) este valoarea argumentului x la care funcția dispare: f (x) = 0.
X 1, X 2, X 3 - zerourile funcției y = f (x).
Probleme și teste pe tema „Proprietățile de bază ale unei funcții”
- Proprietățile funcției - Funcții numerice gradul 9
Lecții: 2 Teme: 11 Teste: 1
- Proprietățile logaritmilor
Lecții: 2 Teme: 14 Teste: 1
- Funcția rădăcină pătrată, proprietăți și grafic - Funcția rădăcină pătrată. Proprietățile rădăcinii pătrate de gradul 8
Lecții: 1 Teme: 9 Teste: 1
- Funcții de putere, proprietățile și graficele lor - Grade și rădăcini. Funcții de putere de gradul 11
Lecții: 4 Teme: 14 Teste: 1
- Funcția exponențială, proprietățile și graficul acesteia - Funcții exponențiale și logaritmice gradul 11
Lecții: 1 Teme: 15 Teste: 1
După ce ați studiat acest subiect, ar trebui să puteți găsi domeniul de definire a diferitelor funcții, să determinați cu ajutorul graficelor intervalele de monotonitate ale unei funcții, să investigați funcții pentru paritatea pară și impară. Să luăm în considerare soluția unor probleme similare în exemplele următoare.
Exemple.
1. Găsiți domeniul funcției.
Soluţie: domeniul functiei se gaseste din conditie
prin urmare, funcția f (x) este pară.
Răspuns: chiar.
D (f) = [-1; 1] - simetric față de zero.
| 2) |
prin urmare, funcția nu este nici pară, nici impară.
Răspuns: nici chiar nici chiar.
