Acasă îngrășăminte Cum să desenezi o linie de intersecție a doi. Intersecția a două plane. Rotație în jurul unei axe date

îngrășăminte

Cum să desenezi o linie de intersecție a doi. Intersecția a două plane. Rotație în jurul unei axe date

Construcția punctului de intersecție a unei drepte cu un plan proeminent se reduce la construirea unei a doua proiecții punctuale pe diagramă, deoarece o proiecție punctuală se află întotdeauna pe urma planului de proiectare, deoarece tot ceea ce este în planul de proiectare este proiectat pe una dintre urmele planului. Pe fig. 224, A este prezentată construcția unui punct de intersecție a unei drepte EF cu un plan triunghiular proiectat în față ABC(plan perpendicular v) Spre avion V triunghi ABC proiectat în segment a"c" linie dreaptă și punct la" va fi, de asemenea, pe această linie și va fi în punctul de intersecție e „f Cu la fel de". O proiecție orizontală este construită folosind o linie de conexiune de proiecție. Vizibilitatea unei drepte în raport cu planul unui triunghi ABC determinată de poziția relativă a proiecțiilor triunghiului ABC si direct EF la suprafata v. Direcția de vedere din fig. 224, A indicat printr-o săgeată. Acea secțiune a liniei drepte, a cărei proiecție frontală este deasupra proiecției triunghiului, va fi vizibilă. În stânga punctului la" proiecția dreptei este deasupra proiecției triunghiului, deci, pe plan H această zonă este vizibilă.

Pe fig. 224, b Drept EF traversează un plan orizontal R. proiecție frontală la" puncte La- punctele de intersecție ale dreptei EF cu planul P - va fi situat în punctul de intersecție al proiecției e " f„cu plan de urmărire P v ,întrucât planul orizontal este planul care se proiectează în față. vedere în plan k puncte La se găsesc cu ajutorul unei linii de legătură de proiecţie.

Construirea unei linii de intersecție a două plane se reduce la găsirea a două puncte comune acestor două planuri. Acest lucru este suficient pentru a construi o linie de intersecție, deoarece linia de intersecție este o linie dreaptă, iar o linie dreaptă este definită de două puncte. Când un plan proiectant se intersectează cu un plan în poziție generală, una dintre proiecțiile dreptei de intersecție coincide cu urma planului situat în planul proiecțiilor pe care planul proiectant este perpendicular. Pe fig. 225, A proiecție frontală t "p" linii de intersecție MN se potrivește cu urma Pv planul de proiecție frontală R, iar în fig. 225, b proiecție orizontală kl coincide cu urma planului care se proiectează orizontal R. Alte proiecții ale liniei de intersecție sunt construite folosind linii de conexiune de proiecție.

Construcția punctului de intersecție a unei drepte cu un plan în poziție generală(Fig. 226, A) realizat cu ajutorul unui plan auxiliar proiectant R, care este trecută prin această linie EF. Construiți o linie de intersecție 12 plan auxiliar R. cu un plan triunghiular dat abc, primi in avion R doua linii drepte: EF- linie dată și 12 - linie construită de intersecție care se intersectează într-un punct K.

Găsirea proiecțiilor unui punct La prezentată în fig. 226b. Construcțiile sunt realizate în următoarea secvență.

Printr-o linie dreaptă EF desenați un plan auxiliar proiectat orizontal R. Urma ei Rn coincide cu proiecția orizontală ef Drept EF.

Construirea unei proiecții frontale 1 × 2" linii de intersecție 12 avion R cu un plan triunghiular dat ABC folosind linii de legătură de proiecție, deoarece proiecția orizontală a liniei de intersecție este cunoscută. Se potrivește cu orizontală RH avion R.

Determinați proiecția frontală la" punctul dorit LA, care se află la intersecţia proiecţiei frontale a acestei linii cu proiecţia 1"2" linii de intersecție. Proiecția orizontală a unui punct este construită folosind o linie de conexiune de proiecție.

Vizibilitatea unei drepte în raport cu planul unui triunghi ABC determinat prin metoda punctelor concurente. Pentru a determina vizibilitatea unei linii drepte pe planul de proiecție frontală (Fig. 226, b) compara coordonatele Y puncte 3 și 4, ale căror proiecţii frontale coincid. Coordona Y puncte 3, culcat pe o linie dreaptă soare, mai puțin coordonate Y puncte 4, culcat pe o linie dreaptă EF. De aici și punctul 4 este mai aproape de observator (direcția vederii este indicată de o săgeată) și proiecția unei linii drepte este reprezentată pe un plan V vizibil. Linia trece prin fața triunghiului. În stânga punctului LA' linia este acoperită de planul triunghiului ABC. Vizibilitatea pe planul orizontal de proiecție este afișată prin compararea coordonaților Z ale punctelor 1 și 5. pentru că Z1> Z 5 puncte 1 vizibil. Prin urmare, în dreapta punctului 1 (până la punctul LA) Drept EF invizibil.

Pentru a construi o linie de intersecție a două plane în poziție generală, se folosesc plane secante auxiliare. Acest lucru este prezentat în fig. 227 a. Un plan este definit de un triunghi abc, celălalt – linii paralele EFși MN. Avioane specificate (Fig. 227, A) se intersectează cu al treilea plan auxiliar. Pentru ușurința construcției, planurile orizontale sau frontale sunt luate ca planuri auxiliare. În acest caz, planul auxiliar R este un plan orizontal. Intersectează planele date în linii drepte 12 și 34, care la intersectie dau un punct La, aparținând tuturor celor trei planuri și, în consecință, celor două date, adică situate pe linia de intersecție a planurilor date. Al doilea punct se găsește folosind al doilea plan auxiliar Q. Am găsit două puncte Lași L definiți linia de intersecție a două plane.

Pe fig. 227, b plan auxiliar R stabilite de urma frontală. Proiecții frontale ale liniilor de intersecție 1"2" și 3"4" avion R cu planuri date coincid cu traseul frontal R v avion R, pentru că avionul R perpendicular pe plan V,și tot ceea ce se află în el (inclusiv liniile de intersecție) este proiectat pe urma sa frontală R.v. Proiecțiile orizontale ale acestor linii sunt construite folosind liniile de legătură de proiecție trase din proiecțiile frontale ale punctelor 1", 2", 3", 4" până la intersecția cu proiecțiile orizontale ale liniilor corespunzătoare în punctele 1, 2, 3, 4. Proiecțiile orizontale construite ale liniilor de intersecție sunt extinse până când se intersectează una cu cealaltă în punctul respectiv k, care este proiecția orizontală a punctului K aparținând dreptei de intersecție a două plane. Proiecția frontală a acestui punct este pe urmă R.v.

Sarcina are nevoie găsiți linia de intersecție a două plane și determinați dimensiunea reală a unuia dintre ele metoda mișcării plan-paralel.

Pentru a rezolva o astfel de problemă clasică în geometria descriptivă, trebuie să cunoașteți următorul material teoretic:

- trasarea proiecțiilor punctelor în spațiu pe un desen complex după coordonatele date;

- metode de precizare a unui plan pe un desen complex, a unui plan de poziție generală și particulară;

- liniile principale ale avionului;

- determinarea punctului de intersecție a unei drepte cu un plan (aflare „puncte de întâlnire”);

- metoda miscarii plan-paralel pentru a determina marimea naturala a unei figuri plate;

— definirea vizibilității pe trasarea liniilor drepte și a planurilor cu ajutorul punctelor concurente.

Procedura de rezolvare a problemei

1. Conform opțiunii Atribuire prin coordonate punct, punem două plane pe desenul complex, specificate sub formă de triunghiuri ABC(A’, B’, C’; A, B, C) și DKE(D', K', E'; D, K, E) ( fig.1.1).

Fig.1.1

2 . Pentru a găsi linia de intersecție, folosim metoda planului de proiectie. Esența sa este că o latură (linia) a primului plan (triunghi) este luată și se află în planul proiectant. Se determină punctul de intersecție al acestei drepte cu planul celui de-al doilea triunghi. Repetând această sarcină din nou, dar pentru linia celui de-al doilea triunghi și planul primului triunghi, determinăm al doilea punct de intersecție. Deoarece punctele obținute aparțin simultan ambelor plane, ele trebuie să fie pe linia de intersecție a acestor plane. Conectând aceste puncte cu o dreaptă, vom avea linia de intersecție dorită a planurilor.

3. Problema se rezolva astfel:

A)înglobând într-un plan de proiecţie F(F') latură AB(A’ B’) a primului triunghi din planul de proiecție frontală V. Marcam punctele de intersecție ale planului proeminent cu laturile DKși DE al doilea triunghi, obținând puncte 1(1') și 2(2'). Le transferăm de-a lungul liniilor de comunicare pe planul orizontal al proiecțiilor H pe laturile corespunzătoare ale triunghiului, punct 1 (1) pe partea de DEși punct 2(2) pe partea de DK.

Fig.1.2

b) prin conectarea proiecţiilor punctelor 1 și 2, vom avea proiectia planului proiectant F. Apoi punctul de intersecție al dreptei AB cu planul triunghiului DKE se determină (după regulă) împreună cu intersecția proiecției planului proeminent 1-2 și proiecția cu același nume AB. Astfel, am obținut o proiecție orizontală a primului punct de intersecție al planurilor - M, de-a lungul căruia determinăm (proiectăm de-a lungul liniilor de comunicare) proiecția sa frontală - M’ pe o linie dreaptă A’ B’ (fig.1.2.a);

în) găsim al doilea punct în același mod. Încheiem în planul de proiectare G(G) latura celui de-al doilea triunghi DK(DK) . Marcam punctele de intersecție ale planului proeminent cu laturile primului triunghi ACșiî.Hrîntr-o proiecție orizontală, obținând proiecții de puncte 3 și 4. Le proiectăm pe laturile corespunzătoare în plan frontal, obținem 3’ si 4'. Conectându-le cu o linie dreaptă, avem proiecția planului proiectant. Apoi, al doilea punct de intersecție al planurilor va fi la intersecția dreptei 3’-4’ cu latura unui triunghi D’ K’ , care a fost închis într-un plan proeminent. Astfel, am obținut proiecția frontală a celui de-al doilea punct de intersecție - N’ , de-a lungul liniei de comunicare găsim proiecția orizontală - N (fig.1.2.b).

G) prin conectarea punctelor MN(MN) și (M’ N’) pe planurile orizontale și frontale, avem linia de intersecție dorită a planurilor date.

4. Cu ajutorul punctelor concurente, determinăm vizibilitatea avioanelor. Luați o pereche de puncte concurente, de exemplu, 1’=5’ în proiecție frontală. Le proiectăm pe laturile corespunzătoare în plan orizontal, obținem 1 și 5. Vedem că ideea 1 culcat pe o parte DE are o coordonată mare față de axă X decât punct 5 culcat pe o parte ALA. Prin urmare, conform regulii coordonatei mai mari, punctul 1 iar latura triunghiului D'E’ în plan frontal va fi vizibil. Astfel, se determină vizibilitatea fiecărei laturi a triunghiului în planul orizontal și frontal. Liniile vizibile din desene sunt desenate cu o linie de contur solidă, iar liniile nevizibile sunt desenate cu o linie întreruptă. Amintiți-vă că în punctele de intersecție ale planelor ( M— N șiM’- N’ ) va schimba vizibilitatea.

Fig.1.3

RFig.1.4 .

Graficul arată în plus definiția vizibilității în plan orizontal folosind puncte concurente 3 și 6 pe linii drepte DKși AB.

5. Folosind metoda deplasării plan-paralel, determinăm dimensiunea reală a planului triunghiului ABC, Pentru ce:

A)în planul specificat printr-un punct C(C) conduce un frontal C— F(DIN-FșiC’- F’) ;

b) pe câmpul liber al desenului într-o proiecție orizontală, luăm (marcăm) un punct arbitrar De la 1, presupunând că acesta este unul dintre vârfurile triunghiului (în special, vârful C). Din aceasta restabilim perpendiculara pe planul frontal (prin axa x);

Fig.1.5

în) prin mișcare plan-paralelă traducem proiecția orizontală a triunghiului ABC, într-o nouă poziție A 1 B 1 C 1 în aşa fel încât în proiecţia frontală să ia o poziţie proeminentă (transformată în linie dreaptă). Pentru a face acest lucru: pe perpendiculara din punct De la 1, amânați proiecția frontală a orizontalei C 1 — F 1 (lungime lCF) obținem un punct F 1 . O soluție a unui compas dintr-un punct F1 mărimea FA facem un arc serif, și dintr-un punct C 1 - dimensiunea crestăturii CA, apoi la intersecția liniilor arcului obținem un punct A 1 (al doilea vârf al triunghiului);

- la fel obținem un punct B 1 (din punct C 1 faceți o crestătură cu dimensiunea C— B(57mm), iar din punct F 1 magnitudinea F— B(90mm).Rețineți că, cu soluția corectă, trei puncte A 1 F’ 1 și B’ 1 trebuie să se afle pe o singură linie dreaptă (latura triunghiului A 1 — B 1 ) celelalte două laturi DIN 1 — A 1 și C 1 — B 1 sunt obținute prin conectarea vârfurilor lor;

G) Din metoda de rotație rezultă că atunci când se deplasează sau se rotește un punct într-un plan de proiecție - pe planul conjugat, proiecția acestui punct ar trebui să se miște în linie dreaptă, în cazul nostru particular, de-a lungul unei axe paralele drepte X. Apoi tragem din puncte A’ B’ C’ Din proiecția frontală, acestea sunt linii drepte (se numesc planuri de rotație ale punctelor), iar din proiecțiile frontale ale punctelor deplasate A 1 ÎN 1C 1 restabiliți perpendiculare (linii de legătură) ( fig.1.6).

Fig.1.6

Intersecția acestor drepte cu perpendicularele corespunzătoare oferă noi poziții ale proiecției frontale a triunghiului ABC, specific A’ 1 ÎN 1C’ 1 care ar trebui să devină o proeminentă (linie dreaptă) de la orizontală h 1 am desenat perpendicular pe planul de proiecție frontală ( fig.1.6);

5) apoi, pentru a obține dimensiunea naturală a triunghiului, este suficient să extindeți proiecția frontală a acestuia până la paralelism cu planul orizontal. Inversarea se efectuează folosind o busolă printr-un punct A' 1, considerându-l ca centru de rotație, punem un triunghi A’ 1 ÎN 1C’ 1 paralel cu axa X, primim A’ 2 IN 2C’ 2 . După cum sa menționat mai sus, atunci când punctul se rotește, pe proiecția conjugată (acum pe orizontală), se deplasează de-a lungul liniilor drepte paralele cu axa X. Omiterea perpendicularelor (linii de legătură) din proiecțiile frontale ale punctelor A’ 2 IN 2C’ 2 încrucișându-le cu liniile corespunzătoare găsim proiecția orizontală a triunghiului ABC (A 2 IN 2C 2 ) marime adevarata ( fig.1.7).

Orez. 1.7

Am toate soluțiile gata făcute la problemele cu astfel de coordonate, puteți cumpăra

Preț 55 de ruble, desene pe geometrie descriptiva din cartea lui Frolov, le puteti descarca usor imediat dupa plata sau iti trimit un email. Sunt într-o arhivă ZIP în diferite formate:
*.jpg – desenul color obișnuit al desenului pe o scară de la 1 la 1 la o rezoluție bună de 300 dpi;
*.cdw – formatul programului Compass 12 și o versiune ulterioară sau versiunea LT;
*.dwg și .dxf — AUTOCAD, format de program nanoCAD;

Secțiunea: Geometrie descriptivă /

Două plane din spațiu pot fi paralele sau care se intersectează, un caz special de planuri care se intersectează sunt plane reciproc perpendiculare.

Construcția liniei de intersecție a planelor este una dintre sarcinile principale ale geometriei descriptive, care au o importanță practică deosebită. Aparține așa-numitului pozițional sarcini.

pozițional numite sarcini pentru a determina elementele comune ale diferitelor forme geometrice conjugate. Acestea includ sarcini pentru apartenență elemente geometrice şi pana la intersectie obiecte geometrice, de exemplu, intersecția unei linii și un plan cu o suprafață, intersecția a două suprafețe și, în special, problema intersecției a două plane.

Linia de intersecție a două plane este o dreaptă care aparține simultan ambelor plane care se intersectează. Prin urmare, pentru a construi o linie de intersecție a planelor, este necesar să se determine două puncte ale acestei linii sau un punct și direcția dreptei de intersecție.

Considera caz special intersecția planurilor când unul dintre ele este proiectat. Pe fig. 3.6 prezintă un plan în poziție generală - dat de triunghiul ABC și proiectat orizontal P. Două puncte comune aparținând ambelor plane sunt punctele D și E, care determină linia de intersecție.

Pentru determinarea acestor puncte s-au găsit punctele de intersecție a laturilor AB și BC cu planul proeminent. Construcția punctelor D și E atât pe un desen spațial (Fig. 3.6, a) cât și pe o diagramă (Fig. 3.6, b) nu provoacă dificultăți, deoarece se bazează pe proprietatea colectivă de a proiecta urme de planuri discutate mai sus.

Prin legarea proiecțiilor cu același nume ale punctelor D și E, obținem proiecțiile dreptei de intersecție a planului triunghiului ABC și a planului P. Astfel, proiecția orizontală D 1 E 1 a dreptei de intersecție. a planurilor date coincide cu proiecţia orizontală a planului proeminent P - cu traseul orizontal al acestuia.

Considera caz general intersecții când ambele plane sunt în poziție comună. Pe fig. 3.7. sunt prezentate două plane în poziție generală, date de un triunghi și două drepte paralele. Pentru a determina cele două puncte comune ale dreptei de intersecție a planurilor, desenăm două plane de nivel auxiliare (orizontale) R și T. Planul auxiliar R intersectează planurile date de-a lungul a două orizontale h și h 1, care în intersecția lor definesc punctul. 1, comun planurilor P și Q, astfel încât acestea aparțin simultan planului secant auxiliar R. Al doilea plan - mediatorul T intersectează, de asemenea, fiecare dintre planurile date de-a lungul orizontalelor h 2 și h 3, care sunt paralele cu primul. două orizontale. La intersecția curbelor de nivel, obținem al doilea punct comun din 2 plane date. Combinând pe diagramă (Fig. 3.8, b) proiecțiile cu același nume ale acestor puncte, obținem proiecțiile dreptei de intersecție a planelor.

Pe fig. 3.8 prezintă două plane definite de urme. Punctele comune ale planurilor sunt punctele de intersecție ale M și N urme cu același nume. Conectând proiecțiile cu același nume ale acestor puncte cu o linie dreaptă, am primit proiecțiile dreptei de intersecție a planurilor.

Dacă punctele de intersecție ale urmelor cu același nume se află în afara câmpului de desen (a se vedea exemplul 5), și, de asemenea, în cazurile în care planurile sunt specificate nu prin urme, ci prin alte elemente geometrice, atunci pentru a determina linia de intersecție a avioane, ar trebui să le folosiți planuri de nivel auxiliar- orizontală sau frontală. De remarcat că la construirea liniei de intersecție a planurilor specificate de urme, rolul planurilor secante auxiliare este îndeplinit de planurile de proiecție P 1 și P 2 .

Pe fig. 3.9 arată cazul intersecției a două plane, când direcția dreptei de intersecție este cunoscută, deoarece planul P este planul de nivel (P||P 1). Prin urmare, este suficient să aveți un singur punct de intersecție al urmelor și apoi să trasați o linie dreaptă prin acest punct, pe baza poziției planurilor și a urmelor acestora. În cazul nostru, linia de intersecție este orizontala comună a planurilor NA P și T.

Una dintre problemele fundamentale ale geometriei descriptive este problema construirii unei linii de intersecție a două plane în poziție generală. Cazurile de specificare a planurilor sunt diferite, dar în orice caz, veți întâlni o sarcină în care va fi necesar să construiți o linie de intersecție a două plane date prin triunghiuri (sau alte figuri geometrice plate). Propun acum să luăm în considerare algoritmul pentru rezolvarea unei astfel de probleme.

Deci, sunt date două plane date de triunghiuri ABC și DEF. Metoda se rezumă la găsirea pe rând a două puncte de intersecție a două muchii ale unui triunghi cu planul altuia. Prin conectarea acestor puncte obținem linia de intersecție a celor două plane. Construcția punctului de intersecție a unei linii drepte cu un plan a fost luată în considerare mai detaliat în lecția anterioară, voi aminti doar acțiunile mecanice:

Închidem linia AC în planul de proiectare frontală și transferăm de-a lungul liniilor de comunicație către proiecția orizontală punctele de intersecție ale acestui plan cu liniile DE și DF - punctele 1 și 2

Pe proiecția orizontală, să conectăm proiecțiile punctelor 1 și 2 și să găsim punctul de intersecție al dreptei rezultate cu proiecția orizontală a dreptei pe care am închis-o în planul de proiectare frontală, în acest caz, cu linia dreaptă AC . Avem punctul M.

Închidem linia BC în planul de proiectare frontală și transferăm de-a lungul liniilor de comunicație către proiecția orizontală punctele de intersecție ale acestui plan cu liniile EF și DF - punctele 3 și 4

Legăm proiecțiile orizontale și obținem punctul de intersecție al acestei drepte cu dreapta BC - punctul N.

Legând punctele M și N obținem linia de intersecție a planelor date de triunghiuri. De fapt, linia de intersecție a fost deja găsită. - Rămâne doar să se determine vizibilitatea marginilor triunghiurilor. Acest lucru se face prin metoda punctelor concurente.

Cu ajutorul celor mai atenți vizitatori ai site-ului a fost posibil să se constate o inexactitate în determinarea vizibilității avioanelor. Mai jos este un desen în care vizibilitatea liniilor care delimitează planurile pe plan orizontal a fost corectată

17. Metoda de inlocuire a planurilor de proiectie.

METODA DE ÎNLOCUIRE A AVIONULUI DE PROIECTIE

Modificarea poziției relative a obiectului studiat și a planurilor de proiecție se realizează prin înlocuirea unuia dintre planuri P 1 sau P 2 avioane noi P 4 (orez. 148 ). Noul plan este întotdeauna ales perpendicular pe planul de proiecție rămas.

Pentru a rezolva unele probleme, poate fi necesară înlocuirea dublă a planurilor de proiecție (Fig. 149 ). O tranziție secvențială de la un sistem de planuri de proiecție la altul trebuie efectuată urmând următoarea regulă: distanța de la proiecția punctului nou la noua axă trebuie să fie egală cu distanța de la proiecția punctului înlocuită la axa înlocuită.

Sarcina 1 : Determinați lungimea reală a segmentului AB linie dreaptă de poziție generală (Fig. 148 ). Din proprietatea proiecției paralele, se știe că un segment este proiectat pe un plan la dimensiune completă dacă este paralel cu acest plan.

Să alegem un nou plan de proiecție P 4 , paralel cu segmentul AB și perpendicular pe plan P 1 . Prin introducerea unui nou avion, trecem din sistemul de avioane P 1 P 2 în sistem P 1 P 4 , iar în noul sistem de avioane proiecția segmentului DAR 4 LA 4 va fi lungimea naturală a segmentului AB .

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca o linie de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuații liniare

(V.5)

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: un sistem de două ecuații liniare independente de forma (V.5) definește o dreaptă drept o linie de intersecție a planelor (dacă acestea nu sunt paralele). Se numesc ecuațiile sistemului (V.5). ecuație generală drept în spațiu
.

ExempluV.12 . Compuneți ecuația canonică a dreptei dată de ecuațiile generale ale planelor

Soluţie. Pentru a scrie ecuația canonică a unei linii sau, care este aceeași, ecuația unei linii care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linie. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două plane de coordonate, de exemplu Oyzși Oxz.

Punct de intersecție a unei drepte cu un plan Oyz are o abscisă
. Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații
, obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei
,
impreuna cu
definește un punct
linie dreaptă dorită. Presupunând în acest sistem de ecuații
, obținem sistemul

a cărui soluție
,
impreuna cu
definește un punct
intersecția unei drepte cu un plan Oxz.

Acum scriem ecuațiile unei drepte care trece prin puncte
și
:
sau
, Unde
va fi vectorul de direcție al acestei drepte.

ExempluV.13. Linia dreaptă este dată de ecuația canonică
. Scrieți ecuația generală pentru această dreaptă.

Soluţie. Ecuația canonică a unei linii drepte poate fi scrisă ca un sistem de două ecuații independente:



Am obținut ecuația generală a unei drepte, care este dată acum de intersecția a două plane, dintre care unul
paralel cu axa Oz (
), si celalalt
– topoare OU (
).

Această linie poate fi reprezentată ca o linie de intersecție a altor două plane prin scrierea ecuației sale canonice sub forma unei alte perechi de ecuații independente:



cometariu . Aceeași linie poate fi dată de sisteme diferite de două ecuații liniare (adică de intersecția unor planuri diferite, deoarece printr-o singură linie pot fi trase nenumărate plane), precum și de ecuații canonice diferite (în funcție de alegerea unui punct pe linie și vectorul ei de direcție) .

Un vector diferit de zero paralel cu o dreaptă, îl vom numi vector ghid .

Lăsați spațiul tridimensional linie dreaptă dată l trecând prin punct
, și vectorul său de direcție
.

Orice vector
, Unde
, situat pe o linie dreaptă, este coliniar cu vectorul , deci coordonatele lor sunt proporționale, adică

. (V.6)

Această ecuație se numește ecuația canonică a dreptei. În cazul particular când ﻉ este un plan, obținem ecuația unei drepte pe un plan

. (V.7)

ExempluV.14. Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte
,
.

Unde
,
,
.

Este convenabil să scrieți ecuația (V.6) în formă parametrică. Deoarece coordonatele vectorilor de direcție ai dreptelor paralele sunt proporționale, presupunând

Unde t - parametru,
.

Distanța de la punct la linie

Considerăm un spațiu euclidian bidimensional ﻉ cu un sistem de coordonate carteziene. Lasă punctul
ﻉ și lﻉ. Găsiți distanța de la acest punct la linie. Sa punem
, și o linie dreaptă l este dat de ecuație
(Fig. V.8).

Distanţă
, vector
, Unde
este vectorul linie normal l,
și sunt coliniare, deci coordonatele lor sunt proporționale, adică
, Prin urmare,
,
.

De aici
sau înmulțirea acestor ecuații cu Ași B respectiv și adunându-le împreună, găsim
, prin urmare

(V.8)

definește distanța de la un punct
spre drept
.

ExempluV.15. Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct
perpendicular pe linie l:
și găsiți distanța de la
spre drept l.

Din fig. V.8 avem
, iar vectorul normal este o linie dreaptă l
. Din condiția de perpendicularitate avem

pentru că
, apoi

. (V.9)

Aceasta este ecuația dreptei care trece prin punct
, perpendicular pe linie
.

Să avem ecuația dreptei (V.9) care trece prin punct
, perpendicular pe linie l:
. Găsiți distanța de la punct
spre drept l, folosind formula (V.8).

Pentru a găsi distanța dorită, este suficient să găsiți ecuația unei drepte care trece prin două puncte
și punct
culcat pe linia de la baza perpendicularei. Lăsa
, apoi

pentru că
, și vectorul
, apoi

. (V.11)

De la punctul
se află pe o linie dreaptă l, atunci avem o altă egalitate
sau

Să aducem sistemul într-o formă convenabilă pentru aplicarea metodei lui Cramer

Soluția ei arată ca

. (V.12)

Înlocuind (V.12) în (V.10), obținem distanța inițială.

ExempluV.16. Un punct este dat în spațiul bidimensional
si direct
. Găsiți distanța de la punct
la o linie dreaptă; scrieți ecuația unei drepte care trece printr-un punct
perpendicular pe o dreaptă dată și găsiți distanța de la punct
până la baza perpendicularei pe dreapta inițială.

Prin formula (V.8) avem

Ecuația unei drepte care conține o perpendiculară poate fi găsită ca o dreaptă care trece prin două puncte
și
, folosind formula (V.11). pentru că
, apoi, ținând cont de faptul că
, A
, avem

Pentru a găsi coordonatele
avem un sistem luând în considerare faptul că punctul
se află pe linia originală

Prin urmare,
,
, de aici.

Considerăm un spațiu euclidian tridimensional ﻉ. Lasă punctul
ﻉ și avion ﻉ. Găsiți distanța de la acest punct
la planul  dat de ecuaţie (Fig. V.9).