Ce este o rădăcină aritmetică. Rădăcina gradului al n-lea: definiții, denumire, exemple

Gradul de rădăcină n dintr-un număr real A, Unde n- un număr natural, se numește un astfel de număr real X, n a cărui putere este egală cu A.

rădăcină de grad n din număr A indicat prin simbol. Conform acestei definiţii.

Găsirea rădăcinii n gradul dintre A numită extragerea rădăcinilor. Număr A se numește număr rădăcină (expresie), n- un indicator al rădăcinii. Pentru ciudat n există o rădăcină n-gradul pentru orice număr real A. Chiar n există o rădăcină n-gradul numai pentru numărul nenegativ A. Pentru a elimina ambiguitatea rădăcinii n gradul dintre A, este introdus conceptul de rădăcină aritmetică n gradul dintre A.

Conceptul de rădăcină aritmetică de gradul N

Dacă și n- număr natural mai mare decât 1 , atunci există și un singur număr nenegativ X, astfel încât egalitatea să fie valabilă. Acest număr X numită rădăcină aritmetică n a-a putere a unui număr nenegativ A si se noteaza. Număr A numit numărul rădăcină n- un indicator al rădăcinii.

Deci, conform definiției, notația , unde , înseamnă, în primul rând, că și, în al doilea rând, că , i.e. .

Conceptul de grad cu un exponent rațional

Gradul cu exponent natural: lat A este un număr real și n este un număr natural mai mare decât unu n-a-a putere a unui număr A sunați la lucru n multiplicatori, fiecare dintre care este egal cu A, adică . Număr A- baza diplomei, n- exponent. Exponent cu exponent zero: prin definiție, dacă , atunci . Puterea zero a unui număr 0 nu are sens. Putere cu un exponent întreg negativ: prin definiție, dacă și n este un număr natural, atunci . Gradul cu un exponent fracționar: prin definiție, dacă și n- numar natural, m este un număr întreg, atunci .

Operații cu rădăcini.

În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina relației este egal cu raportul rădăcinile dividendului și divizorului:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de n ori și ridicați simultan numărul rădăcinii la a n-a putere, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de n ori și, în același timp, extrageți rădăcina gradului al n-lea din numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:

Extinderea conceptului de grad. Până acum, am luat în considerare grade doar cu un indicator natural; dar operațiile cu puteri și rădăcini pot duce și la exponenți negativi, zero și fracționari. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Gradul cu exponent negativ. Puterea unui număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoare absolută indicator negativ:

Acum formula a m: a n \u003d a m - n poate fi folosită nu numai pentru m mai mare decât n, ci și pentru m mai mic decât n.

EXEMPLU a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Dacă dorim ca formula a m: a n = a m - n să fie valabilă pentru m = n , trebuie să definim gradul zero.

Gradul cu exponent zero. Gradul oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina gradului al n-lea din puterea a m a acestui număr a:

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.

Cazul 1

Unde a ≠ 0 nu există.

Într-adevăr, dacă presupunem că x este un anumit număr, atunci, în conformitate cu definiția operației de împărțire, avem: a = 0 · x, i.e. a = 0, ceea ce contrazice condiția: a ≠ 0

Cazul 2

Orice număr.

Într-adevăr, dacă presupunem că această expresie este egală cu un număr x, atunci conform definiției operației de împărțire, avem: 0 = 0 · x . Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, care trebuia demonstrat.

Într-adevăr,

Soluție. Luați în considerare trei cazuri principale:

1) x = 0 - această valoare nu satisface această ecuație

2) pentru x > 0 obținem: x / x = 1, adică. 1 = 1, de unde rezultă că x este orice număr; dar dat fiind că în cazul nostru x > 0 , răspunsul este x > 0 ;

3) la x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

in acest caz nu exista solutie. Deci x > 0.

Rădăcina aritmetică de gradul doi

Definiția 1

A doua rădăcină (sau rădăcină pătrată) a lui $a$ numiți numărul care, la pătrat, devine egal cu $a$.

Exemplul 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, deci $7$ este a doua rădăcină a lui $49$;

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, deci $0,9$ este a doua rădăcină a lui $0,81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, deci $1$ este a doua rădăcină a lui $1$.

Observația 2

Mai simplu spus, pentru orice număr $a

$a=b^2$ este fals pentru $a$ negativ, deoarece $a=b^2$ nu poate fi negativ pentru nicio valoare de $b$.

Se poate concluziona că pentru numerele reale, nu poate exista o a doua rădăcină a unui număr negativ.

Observația 3

pentru că $0^2=0 \cdot 0=0$, atunci din definiție rezultă că zero este a doua rădăcină a lui zero.

Definiția 2

Rădăcina aritmetică a gradului 2 din numărul $a$($a \ge 0$) este un număr nenegativ care, la pătrat, este egal cu $a$.

Se mai numesc rădăcini de gradul 2 rădăcini pătrate.

Desemnați rădăcina aritmetică a gradului 2 al numărului $a$ ca $\sqrt(a)$ sau puteți îndeplini denumirea $\sqrt(a)$. Dar cel mai adesea pentru rădăcină pătrată numărul $2$ – exponent rădăcină- nespecificat. Semnul „$\sqrt( )$” este semnul rădăcinii aritmetice de gradul 2, care se mai numește și „ semn radical". Conceptele „rădăcină” și „radical” sunt denumirile aceluiași obiect.

Dacă există un număr sub semnul rădăcinii aritmetice, atunci se numește numărul rădăcinii, iar dacă expresie, atunci - expresie radicală.

Intrarea $\sqrt(8)$ este citită ca „rădăcina aritmetică a gradului 2 de opt”, iar cuvântul „aritmetică” nu este adesea menționat.

Definiția 3

Prin definitie rădăcina aritmetică de gradul II se poate scrie:

Pentru orice $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Am arătat diferența dintre rădăcina gradului doi și rădăcina aritmetică a gradului doi. În plus, vom lua în considerare numai rădăcinile numerelor și expresiilor nenegative, adică numai aritmetica.

Rădăcina aritmetică de gradul trei

Definiția 4

A treia rădăcină aritmetică (sau rădăcină cubă) a lui $a$($a \ge 0$) este un număr nenegativ care devine egal cu $a$ atunci când este cubit.

Adesea se omite cuvântul aritmetică și se spune „rădăcina gradului 3 din numărul $a$”.

Ele denotă rădăcina aritmetică a gradului 3 de $a$ ca $\sqrt(a)$, semnul „$\sqrt( )$” este semnul rădăcinii aritmetice de gradul 3, iar numărul $3$ în această notație se numește indicator de rădăcină. Numărul sau expresia care se află sub semnul rădăcinii este numită înrădăcinată.

Exemplul 2

$\sqrt(3,5)$ este a treia rădăcină a lui $3,5$ sau rădăcină cubă a $3,5$;

$\sqrt(x+5)$ este a treia rădăcină a lui $x+5$ sau rădăcina cubă a lui $x+5$.

Rădăcina aritmetică de gradul al n-lea

Definiția 5

Aritmetic rădăcina celui de-al n-lea grad din numărul $a \ge 0$ se numește un număr nenegativ, care, ridicat la puterea $n$-a, devine egal cu $a$.

Notația pentru rădăcina aritmetică de gradul $n$ a lui $a \ge 0$:

unde $a$ este un număr radical sau o expresie,

Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr nenegativ este un număr nenegativ, puterea a n-a care este egal cu:

Gradul unei rădăcini este un număr natural mai mare decât 1.

3.

4.

Cazuri speciale:

1. Dacă indexul rădăcină este un număr întreg impar(), atunci expresia radicală poate fi negativă.

În cazul unui exponent impar, ecuația pentru orice valoare reală și întreg ÎNTOTDEAUNA are o singură rădăcină:

Pentru rădăcină chiar gradul identitatea este adevarata:

,

2. Dacă exponentul rădăcinii este un întreg par (), atunci expresia radicală nu poate fi negativă.

În cazul unui exponent par, ecuația Are

la o singură rădăcină

iar dacă și

Pentru o rădăcină de grad par, identitatea este adevărată:

Pentru o rădăcină de grad par, sunt valabile următoarele egalități::

Funcția de putere, proprietățile și graficul acestuia.

Funcția de putere și proprietățile acesteia.

Funcție de putere cu exponent natural. Funcția y \u003d x n, unde n este un număr natural, se numește funcție de putere cu un exponent natural. Pentru n = 1 obținem funcția y = x, proprietățile ei:

direct proportional. Proporționalitatea directă este o funcție dată de formula y \u003d kx n, unde numărul k se numește coeficient de proporționalitate.

Enumerăm proprietățile funcției y = kx.

Domeniul funcției este mulțimea tuturor numerelor reale.

y=kx- nu chiar funcția(f (- x) \u003d k (- x) \u003d - kx \u003d -k (x)).

3) Pentru k > 0, funcția crește, iar pentru k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Graficul (linia dreaptă) este prezentat în Figura II.1.

Orez. II.1.

Cu n=2 obținem funcția y = x 2, proprietățile ei:

Funcția y -x 2 . Enumerăm proprietățile funcției y \u003d x 2.

y \u003d x 2 - o funcție pară (f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2 \u003d f (x)).

Funcția este în scădere pe interval.

În fracția în sine, dacă, atunci - x 1 > - x 2 > 0 și, prin urmare

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, adică și aceasta înseamnă că funcția este în scădere.

Graficul funcției y \u003d x 2 este o parabolă. Acest grafic este prezentat în Figura II.2.

Orez. II.2.

Pentru n \u003d 3, obținem funcția y \u003d x 3, proprietățile sale:

Domeniul de aplicare al funcției este întreaga linie numerică.

y \u003d x 3 - o funcție impară (f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d - x 3 \u003d - f (x)).

3) Funcția y \u003d x 3 crește pe întreaga linie numerică. Graficul funcției y \u003d x 3 este prezentat în figură. Se numește parabolă cubică.

Graficul (parabola cubică) este prezentat în Figura II.3.

Orez. II.3.

Fie n un număr natural par arbitrar mai mare decât doi:

n = 4, 6, 8,... . În acest caz, funcția y \u003d x n are aceleași proprietăți ca și funcția y \u003d x 2. Graficul unei astfel de funcții seamănă cu o parabolă y \u003d x 2, numai ramurile graficului la |n| >1, cu cât urcă mai abrupte, cu atât n este mai mare și cu cât „presează” mai mult pe axa x, cu atât n este mai mare.

Fie n un număr impar arbitrar mai mare de trei: n = 5, 7, 9, ... . În acest caz, funcția y \u003d x n are aceleași proprietăți ca și funcția y \u003d x 3. Graficul unei astfel de funcții seamănă cu o parabolă cubică (numai ramurile graficului urcă și coboară mai abrupt, cu cât n este mai mare. De asemenea, observăm că pe intervalul (0; 1) graficul funcției de putere y \u003d x n cu atât se îndepărtează mai lent de axa x cu creșterea x, decât mai mult decât n.

Funcția de putere cu exponent negativ întreg. Luați în considerare funcția y \u003d x - n, unde n este un număr natural. Cu n = 1 obținem y = x - n sau y = Proprietățile acestei funcții:

Graficul (hiperbola) este prezentat în Figura II.4.

decide o sarcină simplă prin aflarea laturii unui pătrat a cărui arie este de 9 cm 2. Dacă acceptăm că latura pătratului DAR cm, atunci compunem ecuația în funcție de condițiile problemei:

DAR X A = 9

A 2 \u003d 9

A 2 -9 \u003d 0

(A-3)(A+3)=0

A=3 sau A=-3

Lungimea laturii unui pătrat nu poate fi număr negativ, deci latura dorită a pătratului este de 3 cm.

La rezolvarea ecuației, am găsit numerele 3 și -3, ale căror pătrate sunt 9. Fiecare dintre aceste numere se numește rădăcina pătrată a numărului 9. Nenegativul acestor rădăcini, adică numărul 3, se numește rădăcina aritmetică a numărului.

Este destul de logic să acceptăm faptul că rădăcina poate fi găsită de la numere până la gradul al treilea (rădăcină cubă), gradul al patrulea și așa mai departe. Și, în principiu, rădăcina este operația inversă exponențiației.

rădăcinăn gradul din număr α este un astfel de număr b, Unde b n = α .

Aici n- se numeste un numar natural indicator de rădăcină(sau gradul rădăcinii); este de obicei mai mare sau egal cu 2, deoarece este cazul n = 1 banal.

Ei desemnează pe literă astfel încât simbolul (semnul rădăcină) din partea dreaptă este numit radical. Număr α - expresie radicală. Pentru exemplul nostru secundar, soluția ar putea arăta astfel: deoarece (± 3) 2 = 9 .

Am primit pozitiv sens negativ rădăcină. Această caracteristică complică calculele. Pentru a obține claritate, conceptul a fost introdus rădăcină aritmetică, a cărui valoare este întotdeauna cu semn plus, adică numai pozitiv.

Rădăcină numit aritmetic dacă este extras dintr-un număr pozitiv și este el însuși un număr pozitiv.

De exemplu,

Există o singură rădăcină aritmetică a unui grad dat dintr-un număr dat.

Operația de calcul se numește extragerea rădăcinilor n gradul" dintre α . De fapt, efectuăm operația inversă exponențiării și anume găsirea bazei gradului b conform unui indicator cunoscut nși rezultatul exponențiației

α = b n .

Rădăcinile gradului doi și trei sunt folosite în practică mai des decât altele și, prin urmare, li s-au dat nume speciale.

Rădăcină pătrată: În acest caz, exponentul 2 nu este scris de obicei, iar termenul „rădăcină” fără a indica gradul înseamnă cel mai adesea rădăcina pătrată. Interpretată geometric, este lungimea laturii unui pătrat a cărui zonă este α .

Rădăcina cubului: Geometric, lungimea muchiei unui cub, al cărui volum este egal cu α .

Proprietățile rădăcinilor aritmetice.

1) La calcul rădăcina aritmetică a produsului, este necesar să-l extragem din fiecare factor separat

De exemplu,

2) Pentru calcul rădăcină de fracție, este necesar să o extragem din numărătorul și numitorul fracției date

De exemplu,

3) La calcul rădăcina gradului, este necesar să se împartă exponentul la exponentul rădăcinii

De exemplu,

Primele calcule legate de extragerea rădăcinii pătrate au fost găsite în lucrările matematicienilor din Babilonul antic și din China, India, Grecia (despre realizările Egiptul antic nu exista informatii in acest sens in surse).

Matematicienii Babilonului antic (mileniul II î.Hr.) au folosit o specială metoda numerica. Aproximația inițială pentru rădăcina pătrată a fost găsită pe baza numărului natural cel mai apropiat de rădăcină (în jos) n. Reprezentând expresia rădăcină ca: α=n2 +r, primim: x 0 \u003d n + r / 2n, apoi a fost aplicat un proces iterativ de rafinare:

Iterațiile din această metodă converg foarte repede. Pentru ,

De exemplu, α=5; n=2; r=1; x 0 \u003d 9/4 \u003d 2,25și obținem o succesiune de aproximări:

În valoarea finală, toate cifrele sunt corecte, cu excepția ultimei.

Grecii au formulat problema dublării cubului, care s-a rezumat la construcție rădăcină cubă folosind o busolă și o riglă. Reguli pentru calcularea oricărei puteri dintr-un număr întreg, studiate de matematicieni din India și statele arabe. Mai mult, au fost dezvoltate pe scară largă în Europa medievală.

Astăzi, pentru comoditatea calculării rădăcinilor pătrate și cubice, calculatoarele sunt utilizate pe scară largă.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordin judiciar, în litigii, și/sau pe baza cererilor publice sau a solicitărilor de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.