Acasă Flori de interior Cum să înțelegeți de ce „plus” pentru „minus” dă „minus”? Acțiuni cu minus. De ce un minus pentru un minus dă un plus

Flori de interior

Cum să înțelegeți de ce „plus” pentru „minus” dă „minus”? Acțiuni cu minus. De ce un minus pentru un minus dă un plus

1) De ce minus unu este înmulțit cu minus unu egal cu plus unu?

2) De ce minus unu este înmulțit cu plus unu egal cu minus unu?

Dușmanul dușmanului meu este prietenul meu

Cel mai simplu răspuns este: „Pentru că acestea sunt regulile pentru a trata numerele negative”. Regulile pe care le predăm la școală și le aplicăm de-a lungul vieții. Cu toate acestea, manualele nu explică de ce regulile sunt exact așa. Vom încerca mai întâi să înțelegem acest lucru pe baza istoriei dezvoltării aritmeticii, iar apoi vom răspunde la această întrebare din punctul de vedere al matematicii moderne.

Odată, oamenii știau doar numere întregi: 1, 2, 3, ... Au fost folosite pentru a număra ustensile, pradă, inamici etc. Dar numerele sunt destul de inutile - trebuie să știi cum să le gestionezi. Adunarea este vizuală și de înțeles, în plus, suma a două numere naturale este și un număr natural (un matematician ar spune că mulțimea numerelor naturale este închisă în raport cu operația de adunare). Înmulțirea este în esență aceeași adunare dacă vorbim despre numere naturale. În viață, efectuăm adesea acțiuni asociate cu aceste două operațiuni (de exemplu, la cumpărături, adunăm și înmulțim), și este ciudat să credem că strămoșii noștri le-au întâlnit mai rar - adunarea și înmulțirea au fost stăpânite de omenire de foarte mult timp. în urmă. Adesea este necesară împărțirea unor cantități la altele, dar aici rezultatul nu este întotdeauna exprimat ca număr natural - așa au apărut numerele fracționale.

În documentele indiene, numerele negative apar încă din secolul al VII-lea d.Hr.; chinezii se pare că au început să le folosească puțin mai devreme. Au fost folosite pentru contabilizarea datoriilor sau în calcule intermediare pentru a simplifica soluția ecuațiilor - era doar un instrument pentru obținerea unui răspuns pozitiv. Faptul că numerele negative, spre deosebire de cele pozitive, nu exprimă prezența vreunei entități, a stârnit o neîncredere puternică. Oamenii au evitat literalmente numere negative: dacă problema a primit un răspuns negativ, s-a considerat că nu a existat deloc răspuns. Această neîncredere a persistat foarte mult timp, iar chiar Descartes – unul dintre „fondatorii” matematicii moderne – le-a numit „false” (în secolul al XVII-lea!).

Luați în considerare, de exemplu, ecuația 7x - 17 = 2x - 2... Se poate rezolva astfel: mutați membrii cu necunoscutul în partea stângă, iar restul în dreapta, se va dovedi 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3... Cu această soluție, nu am întâlnit nici măcar numere negative.

Dar s-ar putea face accidental într-un alt mod: transferați termenii cu necunoscutul în partea dreaptă și obțineți 2 - 17 = 2x - 7x, (–15) = (–5) x... Pentru a găsi necunoscutul, trebuie să împărțiți un număr negativ la altul: x = (–15) / (- 5)... Dar răspunsul corect este cunoscut și rămâne de concluzionat că (–15)/(–5) = 3 .

Ce demonstrează acest exemplu simplu? În primul rând, logica devine clară, care a determinat regulile pentru acțiunile asupra numerelor negative: rezultatele acestor acțiuni trebuie să se potrivească cu răspunsurile care se obțin într-un mod diferit, fără numere negative... În al doilea rând, permițând utilizarea numerelor negative, scăpăm de plictisitoare (dacă ecuația se dovedește a fi mai complicată, cu un numar mare termeni) a căutării acelei căi de soluție în care toate acțiunile sunt efectuate numai asupra numerelor naturale. Mai mult, nu ne mai putem gândi de fiecare dată la semnificația valorilor convertite - și acesta este deja un pas către transformarea matematicii într-o știință abstractă.

Regulile pentru acțiunile asupra numerelor negative nu s-au format imediat, ci au devenit o generalizare a numeroase exemple care au apărut la rezolvarea problemelor aplicate. În general, dezvoltarea matematicii poate fi împărțită condiționat în etape: fiecare etapă următoare diferă de cea anterioară printr-un nou nivel de abstractizare în studiul obiectelor. Așadar, în secolul al XIX-lea, matematicienii și-au dat seama că numerele întregi și polinoamele, cu toată diferența lor externă, au multe în comun: ambele pot fi adunate, scăzute și înmulțite. Aceste operații respectă aceleași legi – atât în cazul numerelor, cât și în cazul polinoamelor. Dar împărțirea numerelor întregi între ele, astfel încât rezultatul să fie din nou numere întregi, poate nu întotdeauna. La fel este și cu polinoamele.

Apoi au ieșit la iveală alte agregate obiecte matematice, pe care se pot efectua astfel de operații: serii formale de puteri, funcții continue... În cele din urmă, s-a înțeles că dacă studiezi proprietățile operațiilor în sine, atunci rezultatele pot fi aplicate tuturor acestor seturi de obiecte (această abordare este tipic pentru toate matematicile moderne).

Ca urmare, a apărut un nou concept: inel... Acesta este doar un set de elemente plus acțiunile care pot fi efectuate asupra lor. Regulile sunt fundamentale aici (se numesc axiome), care se supun acțiunilor, și nu naturii elementelor mulțimii (iată-l, nou nivel abstractizare!). Dorind să subliniem că este importantă structura care ia naștere după introducerea axiomelor, spun matematicienii: inelul numerelor întregi, inelul polinoamelor etc. Pornind de la axiome, se pot deduce și alte proprietăți ale inelelor.

Vom formula axiomele unui inel (care, desigur, sunt asemănătoare regulilor pentru tratarea numerelor întregi), apoi vom demonstra că în orice inel, înmulțirea unui minus cu un minus are ca rezultat un plus.

Inel numită o mulțime cu două operații binare (adică fiecare operație implică două elemente ale inelului), care sunt denumite în mod tradițional adunare și înmulțire și următoarele axiome:

adăugarea elementelor inelare respectă deplasarea ( A + B = B + A pentru orice elemente Ași B) și combinație ( A + (B + C) = (A + B) + C) legi; există un element special în inel 0 (adăugare neutru) astfel încât A + 0 = A, și pentru orice element A este elementul opus (notat (-A)), ce A + (–A) = 0;
înmulțirea respectă legea combinației: A (B C) = (A B) C;
adunarea și înmulțirea sunt legate de următoarele reguli pentru extinderea parantezelor: (A + B) C = A C + B Cși A (B + C) = A B + A C.

Rețineți că inelele, în foarte design general, nu necesită nici permutabilitatea înmulțirii, nici reversibilitatea acesteia (adică nu este întotdeauna posibilă împărțirea), nici existența unei unități - un element neutru în înmulțire. Dacă introducem aceste axiome, atunci obținem alte structuri algebrice, dar în ele toate teoremele dovedite pentru inele vor fi adevărate.

Acum să demonstrăm asta pentru orice element Ași B un inel arbitrar este adevărat, în primul rând, (–A) B = - (A B), și în al doilea rând (- (- A)) = A... Afirmațiile despre unități decurg ușor de aici: (–1) · 1 = - (1 · 1) = –1și (–1) · (–1) = - ((- 1) · 1) = - (- 1) = 1.

Pentru a face acest lucru, trebuie să stabilim câteva fapte. Mai întâi, să demonstrăm că fiecare element poate avea un singur opus. Într-adevăr, lasă elementul A sunt doua opuse: Bși CU... Acesta este A + B = 0 = A + C... Luați în considerare suma A + B + C... Folosind legile de combinație și deplasare și proprietatea zero, obținem că, pe de o parte, suma este egală cu B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, iar pe de altă parte, este egal cu C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C... Mijloace, B = C.

Rețineți acum că și A, și (- (- A)) sunt opuse aceluiaşi element (-A) deci trebuie sa fie egali.

Primul fapt se dovedește astfel: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, acesta este (–A) · B opusul A B deci este egal cu - (A B).

Pentru a fi riguros din punct de vedere matematic, haideți să explicăm de ce 0 B = 0 pentru orice element B... Într-adevăr, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B... Adică adaosul 0 B nu modifică suma. Prin urmare, acest produs este egal cu zero.

Și faptul că în inel există exact un zero (la urma urmei, axiomele spun că un astfel de element există, dar nu se spune nimic despre unicitatea lui!), îl vom lăsa cititorului ca un simplu exercițiu.

„Inamicul dușmanului meu este prietenul meu”

De ce minus unu este înmulțit cu minus unu egal cu plus unu? De ce minus unu este înmulțit cu plus unu egal cu minus unu? Cel mai simplu răspuns este: „Pentru că acestea sunt regulile pentru a trata numerele negative”. Regulile pe care le predăm la școală și le aplicăm de-a lungul vieții. Cu toate acestea, manualele nu explică de ce regulile sunt exact așa. Vom încerca mai întâi să înțelegem acest lucru pe baza istoriei dezvoltării aritmeticii, iar apoi vom răspunde la această întrebare din punctul de vedere al matematicii moderne.

Cu mult timp în urmă, oamenii știau doar numerele naturale: erau folosite pentru a număra ustensile, prada, inamicii etc. Dar numerele în sine sunt destul de inutile - trebuie să știi cum să le gestionezi. Adunarea este vizuală și de înțeles, în plus, suma a două numere naturale este și un număr natural (un matematician ar spune că mulțimea numerelor naturale este închisă în raport cu operația de adunare). Înmulțirea este în esență aceeași adunare dacă vorbim despre numere naturale. În viață, efectuăm adesea acțiuni asociate cu aceste două operațiuni (de exemplu, la cumpărături, adunăm și înmulțim), și este ciudat să credem că strămoșii noștri le-au întâlnit mai rar - adunarea și înmulțirea au fost stăpânite de omenire de foarte mult timp. în urmă. Adesea este necesară împărțirea unor cantități la altele, dar aici rezultatul nu este întotdeauna exprimat ca număr natural - așa au apărut numerele fracționale.

În documentele indiene, numerele negative apar încă din secolul al VII-lea d.Hr.; chinezii se pare că au început să le folosească puțin mai devreme. Au fost folosite pentru contabilizarea datoriilor sau în calcule intermediare pentru a simplifica soluția ecuațiilor - era doar un instrument pentru obținerea unui răspuns pozitiv. Faptul că numerele negative, spre deosebire de cele pozitive, nu exprimă prezența vreunei entități, a stârnit o neîncredere puternică. Oamenii în sensul literal al cuvântului au evitat numerele negative: dacă o problemă a primit un răspuns negativ, ei credeau că nu există niciun răspuns. Această neîncredere a persistat foarte mult timp, iar chiar Descartes – unul dintre „fondatorii” matematicii moderne – le-a numit „false” (în secolul al XVII-lea!).

Luați în considerare ecuația, de exemplu. Se poate rezolva astfel: mutați termenii cu necunoscutul în partea stângă, iar restul la dreapta, se va dovedi,,. Cu această soluție, nu am întâlnit nici măcar numere negative.

Dar a fost posibil să o faceți accidental într-un alt mod: transferați termenii cu necunoscutul în partea dreaptă și obțineți. Pentru a găsi necunoscutul, trebuie să împărțiți un număr negativ la altul:. Dar răspunsul corect este cunoscut și rămâne de concluzionat că.

Ce demonstrează acest exemplu simplu? În primul rând, devine clară logica care a definit regulile acțiunilor asupra numerelor negative: rezultatele acestor acțiuni trebuie să coincidă cu răspunsurile care se obțin într-un mod diferit, fără numere negative. În al doilea rând, permițând utilizarea numerelor negative, scăpăm de căutarea plictisitoare (dacă ecuația se dovedește a fi mai complicată, cu un număr mare de termeni) a unei căi de soluție în care toate acțiunile sunt efectuate numai pe numere naturale. Mai mult, nu ne mai putem gândi de fiecare dată la semnificația valorilor convertite - și acesta este deja un pas către transformarea matematicii într-o știință abstractă.

Apoi au fost descoperite și alte seturi de obiecte matematice, asupra cărora se pot efectua astfel de operații: serii de puteri formale, funcții continue... pentru toată matematica modernă).

Ca urmare, a apărut un nou concept: un inel. Acesta este doar un set de elemente plus acțiunile care pot fi efectuate asupra lor. Aici fundamentale sunt doar regulile (se numesc axiome), care se supun acțiunilor, și nu natura elementelor mulțimii (iată-l, un nou nivel de abstractizare!). Dorind să subliniem că este importantă structura care ia naștere după introducerea axiomelor, spun matematicienii: inelul numerelor întregi, inelul polinoamelor etc. Pornind de la axiome, se pot deduce și alte proprietăți ale inelelor.

Un inel este o mulțime cu două operații binare (adică fiecare operație implică două elemente ale inelului), care se numesc în mod tradițional adunare și înmulțire și următoarele axiome:

Rețineți că inelele, în construcția lor cea mai generală, nu necesită nici permutabilitatea înmulțirii, nici reversibilitatea acesteia (adică nu este întotdeauna posibilă împărțirea), nici existența unei unități - un element neutru în înmulțire. Dacă introducem aceste axiome, atunci obținem alte structuri algebrice, dar în ele toate teoremele dovedite pentru inele vor fi adevărate.

Acum să demonstrăm că pentru orice element și un inel arbitrar este adevărat, în primul rând și în al doilea rând. De aici rezultă cu ușurință afirmațiile despre unități: și.

Pentru a face acest lucru, trebuie să stabilim câteva fapte. Mai întâi, să demonstrăm că fiecare element poate avea un singur opus. Într-adevăr, să fie elementul să aibă două opuse: și. Acesta este . Luați în considerare suma. Folosind legile de combinare și deplasare și proprietatea zero, obținem că, pe de o parte, suma este egală, iar pe de altă parte, este egală. Mijloace, .

Rețineți că și, și sunt opuse aceluiași element, deci trebuie să fie egale.

Primul fapt se dovedește astfel: adică este opus, deci este egal.

Pentru a fi riguros din punct de vedere matematic, să explicăm de ce pentru orice element. Într-adevăr, . Adică, adăugarea nu modifică suma. Prin urmare, acest produs este egal cu zero.

Evgheni Epifanov
"Elemente"

Comentarii: 0

Jacques Sesiano

De-a lungul celor două milenii, au existat trei extensii importante ale domeniului numeric. În primul rând, în jurul anului 450 î.Hr. oamenii de știință ai școlii lui Pitagora au dovedit existența numerelor iraționale. Scopul lor inițial a fost de a cuantifica diagonala pătratului unității. În al doilea rând, în secolele XIII-XV, oamenii de știință europeni, rezolvă sisteme ecuatii lineare, a admis posibilitatea unei singure decizii negative. Și în al treilea rând, în 1572, algebrisul italian Rafael Bombelli a folosit numere complexe pentru a obține o soluție reală a unei anumite ecuații cubice.

I. V. Proskuryakov

Scopul acestei cărți este o definire riguroasă a numerelor, polinoamelor și fracțiilor algebrice și fundamentarea proprietăților lor deja cunoscute din școală, și nu familiarizarea cititorului cu noi proprietăți. Prin urmare, cititorul nu va găsi fapte noi pentru el (cu excepția, poate, a unor proprietăți, numere reale și complexe), ci va învăța să demonstreze lucruri care îi sunt bine cunoscute, începând cu „de două ori doi - patru” şi terminând cu regulile acţiunilor cu polinoame şi fracții algebrice... Dar cititorul va cunoaște un număr concepte generale jucând rolul principal în algebră.

Ilya Șciurov

Matematicianul Ilya Shchurov despre fracții zecimale, transcendența și iraționalitatea lui Pi.

Leon Takhtadzhyan

Acestea vor fi patru povestiri scurte. Vom începe cu numere, apoi vorbim despre mișcare, apoi vorbim despre schimbare, apoi vorbim despre forme și dimensiuni, apoi despre început și sfârșit. În acest stil oarecum criptat, vom încerca să privim matematica din interior și din exterior, și exact ca un obiect. La ce cred matematicienii și cum trăiesc - putem vorbi despre asta mai târziu.

Vladlen Timorin

Matematicianul Vladlen Timorin despre avantajele numerelor complexe, cuaternioane Hamilton, numere Cayley opt-dimensionale și varietatea numerelor în geometrie.

Jacques Sesiano

Știm puține despre Diophantus. Se pare că locuia în Alexandria. Niciun matematician grec nu îl menționează până în secolul al IV-lea, așa că probabil a trăit la mijlocul secolului al III-lea. Cel mai loc de muncă principal Diophantus, „Aritmetică” (Ἀριθμητικά), a avut loc la începutul a 13 „cărți” (βιβλία), adică capitole. Avem astăzi 10 dintre ele și anume: 6 în textul grecesc și alte 4 în cel medieval Traducere arabă care plasează în mijlocul cărților grecești: cărțile I-III în greacă, IV-VII în arabă, VIII-X în greacă. „Aritmetica” de Diophantus este în primul rând o colecție de probleme, în total aproximativ 260. Pentru a spune adevărul, nu există nicio teorie; sunt doar instrucțiuni generaleîn introducerea cărții, și observații private în unele probleme, atunci când este necesar. „Aritmetica” are deja trăsăturile unui tratat algebric. În primul rând, Diophantus folosește semne diferite să exprime necunoscutul și puterile lui, de asemenea unele calcule; ca orice simbolism algebric al Evului Mediu, simbolismul ei provine din cuvintele matematice. Apoi, Diophantus explică cum se rezolvă problema într-un mod algebric. Dar problemele lui Diofant nu sunt algebrice în sensul obișnuit, deoarece aproape totul se reduce la rezolvarea unei ecuații nedefinite sau a unor sisteme de astfel de ecuații.

Lumea matematicii este de neconceput fără ele - fără numere prime. Ce sunt numerele prime, ce este special la ele și ce semnificație au Viata de zi cu zi? În acest film, profesorul britanic de matematică Marcus du Sautoy descoperă misterul numerelor prime.

George Shabbat

La școală, cu toții ni se insufla ideea eronată că pe mulțimea numerelor raționale Q există o distanță naturală unică (modul de diferență), față de care toate operațiile aritmetice sunt continue. Cu toate acestea, există și un set infinit de așa-numitele distanțe p-adice, câte una pentru fiecare număr p. Conform teoremei lui Ostrovsky, distanța „obișnuită”, împreună cu toate cele p-adice, epuizează de fapt toate distanțele rezonabile Q. Termenul de democrație adelică a fost introdus de Yu. I. Manin. Conform principiului democrației adelice, toate distanțele rezonabile pe Q sunt egale înaintea legilor matematicii (poate doar tradiționalul „puțin = puțin mai egal...”

Vladimir Arnold

J. L. Lagrange a demonstrat că o succesiune de coeficienti incompleti (începând de la un loc) este periodică dacă și numai dacă numărul x este o iraționalitate pătratică. RO Kuz'min a dovedit că într-o succesiune de câte incomplete ale aproape oricărui număr real, proporţia d_m egală cu m câte incomplete este aceeaşi (pentru numerele reale tipice). Fracția d_m scade cu m → ∞ cu 1 / m ^ 2 și valoarea ei a fost prezisă de Gauss (care nu a demonstrat nimic). V. I. Arnolda a prezentat (acum 20 de ani) o presupunere că statistica Gauss – Kuzmin d_m este valabilă și pentru perioadele fracțiilor continue ale rădăcinilor ecuații pătratice x ^ 2 + px + q = 0 (cu numere întregi p și q): dacă scriem împreună coeficientii incompleti care alcătuiesc perioadele tuturor fracțiilor continuate ale rădăcinilor unor astfel de ecuații cu p ^ 2 + q ^ 2≤R ^ 2, atunci fracția coeficientului incomplet m dintre ele va tinde către numărul d_m ca R → ∞. V. A. Bykovsky cu studenții săi din Khabarovsk au demonstrat recent această veche ipoteză. În ciuda acestui fapt, problema statisticii nu a literelor, ci a cuvintelor compuse din ele, care sunt perioade de fracții continuate ale unor rădăcini x ale ecuațiilor x ^ 2 + px + q = 0, este departe de a fi rezolvată.

Reed Miles

Las titlul și rezumatul cât mai vagi, ca să pot vorbi despre ce am chef în ziua respectivă. Multe varietăți de interes în clasificarea soiurilor sunt obținute ca Spec sau Proj ale unui inel Gorenstein. În codimensiunea ⩽3, binecunoscuta teorie a structurii oferă metode explicite de calcul cu inele Gorenstein. În schimb, nu există o teorie a structurii utilizabilă pentru inelele de codimensiune ⩾4. Cu toate acestea, în multe cazuri, proiecția Gorenstein ( si este invers, Kustin – Miller unprojection) oferă metode de atacare a acestor inele. Aceste metode se aplică claselor sporadice de inele canonice ale suprafețelor algebrice obișnuite și construcțiilor mai sistematice ale Q-Fano 3-folds, legăturile Sarkisov între acestea și 3-folds-urile de tip A din teoria Mori.

Când ascultă un profesor de matematică, majoritatea elevilor iau materialul ca pe o axiomă. În același timp, puțini oameni încearcă să ajungă la fund și să-și dea seama de ce „minus” cu „plus” dă semnul „minus”, iar când se înmulțesc două numere negative, iese unul pozitiv.

Legile matematicii

Majoritatea adulților sunt incapabili să își explice singuri sau copiilor lor de ce este așa. Ei au învățat ferm acest material la școală, dar nici măcar nu au încercat să-și dea seama de unde provin aceste reguli. Dar în zadar. Adesea, copiii moderni nu sunt atât de încrezători, trebuie să ajungă la fundul problemei și să înțeleagă, să zicem, de ce „plus” pentru „minus” dă „minus”. Și uneori băieții întreabă în mod specific întrebări complicate, pentru a ne bucura de momentul în care adulții nu pot da un răspuns inteligibil. Și este într-adevăr un dezastru dacă un tânăr profesor are probleme...

Apropo, trebuie menționat că regula de mai sus este valabilă atât pentru înmulțire, cât și pentru împărțire. Produsul unui număr negativ și al unui număr pozitiv va da doar „minus. Dacă este vorba aproximativ două cifre cu semnul „-”, rezultatul va fi un număr pozitiv. Același lucru este valabil și pentru divizare. Dacă unul dintre numere este negativ, atunci câtul va fi, de asemenea, cu semnul „-”.

Pentru a explica corectitudinea acestei legi a matematicii, este necesar să se formuleze axiomele inelului. Dar mai întâi trebuie să înțelegeți ce este. În matematică, un inel este de obicei numit o mulțime în care sunt implicate două operații cu două elemente. Dar este mai bine să ne ocupăm de asta cu un exemplu.

Axioma inelului

Există mai multe legi matematice.

Primul dintre ele este deplasabil, potrivit lui, C + V = V + C.
Al doilea se numește combinația (V + C) + D = V + (C + D).

Ele sunt, de asemenea, supuse înmulțirii (V x C) x D = V x (C x D).

Nimeni nu a anulat regulile prin care parantezele se deschid (V + C) x D = V x D + C x D, este și adevărat că C x (V + D) = C x V + C x D.

În plus, s-a stabilit că în inel poate fi introdus un element special, neutru de adunare, atunci când este utilizat, se va întâmpla următoarele: C + 0 = C. În plus, pentru fiecare C există un element opus, care poate se notează ca (-C). În acest caz, C + (-C) = 0.

Derivarea axiomelor pentru numere negative

Acceptând afirmațiile de mai sus, puteți răspunde la întrebarea: „Plus la minus dă ce semn?” Cunoscând axioma despre înmulțirea numerelor negative, este necesar să confirmăm că într-adevăr (-C) x V = - (C x V). Și, de asemenea, că următoarea egalitate este adevărată: (- (- C)) = C.

Pentru a face acest lucru, va trebui mai întâi să dovediți că fiecare dintre elemente are un singur „frate” opus. Luați în considerare următorul exemplu de probă. Să încercăm să ne imaginăm că pentru C două numere sunt opuse - V și D. Rezultă că C + V = 0 și C + D = 0, adică C + V = 0 = C + D. Amintind legile deplasării și aproximativ proprietățile numărului 0, putem considera suma tuturor celor trei numere: C, V și D. Să încercăm să aflăm valoarea lui V. Este logic ca V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, deoarece valoarea lui C + D, așa cum a fost acceptat mai sus, este egală cu 0. Prin urmare, V = V + C + D.

Valoarea pentru D este afișată în același mod: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Pe baza acestui lucru, devine clar că V = D.

Pentru a înțelege de ce, totuși, „plus” pentru „minus” dă un „minus”, este necesar să înțelegem următoarele. Deci, pentru elementul (-C), C și (- (- C)) sunt opuse, adică sunt egale între ele.

Atunci este evident că 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Rezultă că C x V este opus cu (-) C x V, deci (- C) x V = - (C x V).

Pentru o rigoare matematică completă, este de asemenea necesar să confirmăm că 0 x V = 0 pentru orice element. Dacă urmați logica, atunci 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Aceasta înseamnă că adăugarea produsului 0 x V nu modifică în niciun fel cantitatea setată. La urma urmei, acest produs este egal cu zero.

Cunoscând toate aceste axiome, se poate deduce nu doar cât dă „plus” pe „minus”, ci și ce se obține prin înmulțirea numerelor negative.

Înmulțirea și împărțirea a două numere cu „-”

Dacă nu vă aprofundați în nuanțe matematice, atunci puteți încerca mai multe într-un mod simplu explicați regulile de tratare a numerelor negative.

Să presupunem că C - (-V) = D, pe baza acesteia, C = D + (-V), adică C = D - V. Transferăm V și obținem că C + V = D. Adică C + V = C - (-V). Acest exemplu explică de ce într-o expresie în care există două „minusuri” la rând, semnele menționate ar trebui schimbate în „plus”. Acum să ne ocupăm de înmulțire.

(-C) x (-V) = D, puteți adăuga și scădea două produse identice expresiei, care nu-și vor schimba valoarea: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Reamintind regulile de lucru cu paranteze, obținem:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

De aici rezultă că C x V = (-C) x (-V).

În mod similar, puteți demonstra că împărțirea a două numere negative va avea ca rezultat unul pozitiv.

Reguli generale de matematică

Desigur, această explicație nu va funcționa pentru școlari. clasele elementare care abia încep să învețe numerele negative abstracte. Este mai bine pentru ei să explice pe obiecte vizibile, manipulând termenul familiar prin oglindă. De exemplu, acolo se află jucării inventate, dar nu existente. Acestea pot fi afișate cu semnul „-”. Înmulțirea a două obiecte asemănătoare oglinzii le transferă într-o altă lume, care este echivalată cu prezentul, adică, ca urmare, avem numere pozitive. Dar înmulțirea unui număr negativ abstract cu unul pozitiv dă doar rezultatul familiar tuturor. La urma urmei, „plus” înmulțit cu „minus” dă „minus”. Adevărat, copiii nu se străduiesc prea mult să pătrundă în toate nuanțele matematice.

Deși, să fiu sincer, pentru mulți oameni, chiar și cu educatie inalta multe reguli rămân un mister. Toată lumea ia de la sine înțeles ceea ce îi învață profesorii, fără a ezita să se aprofundeze în toate dificultățile cu care este plină matematica. „Minus” pentru „minus” dă „plus” - toată lumea știe despre asta, fără excepție. Acest lucru este valabil atât pentru numere întregi, cât și pentru numere fracționale.

Atentie, doar AZI!

Tehnici de sortare în programare: sortare cu bule

Într-adevăr, de ce? Cel mai simplu răspuns este: „Pentru că acestea sunt regulile pentru a trata numerele negative”. Regulile pe care le predăm la școală și le aplicăm de-a lungul vieții. Cu toate acestea, manualele nu explică de ce regulile sunt exact așa. Ne-am amintit că exact așa nu ne mai punem o întrebare.

Să ne întrebăm...

Cu mult timp în urmă, numai numerele naturale erau cunoscute de oameni: 1, 2, 3, ... Erau folosite pentru a număra ustensile, prada, inamicii etc. Dar numerele în sine sunt destul de inutile - trebuie să știi cum să te descurci lor. Adunarea este vizuală și de înțeles, în plus, suma a două numere naturale este și un număr natural (un matematician ar spune că mulțimea numerelor naturale este închisă în raport cu operația de adunare). Înmulțirea este în esență aceeași adunare dacă vorbim despre numere naturale. În viață, efectuăm adesea acțiuni asociate cu aceste două operațiuni (de exemplu, la cumpărături, adunăm și înmulțim), și este ciudat să credem că strămoșii noștri le-au întâlnit mai rar - adunarea și înmulțirea au fost stăpânite de omenire de foarte mult timp. în urmă. Adesea este necesară împărțirea unor cantități la altele, dar aici rezultatul nu este întotdeauna exprimat ca număr natural - așa au apărut numerele fracționale.

Scăderea, desigur, este de asemenea indispensabilă. Dar, în practică, avem tendința de a scădea numărul mai mic din numărul mai mare și nu este nevoie să folosim numere negative. (Dacă am 5 bomboane și îi dau surorii mele 3, atunci voi avea 5 - 3 = 2 bomboane, dar nu îi pot da 7 bomboane dacă aș vrea.) Acest lucru poate explica de ce oamenii nu au folosit numere negative pentru o perioadă lungă de timp.

În documentele indiene, numerele negative apar încă din secolul al VII-lea d.Hr.; chinezii se pare că au început să le folosească puțin mai devreme. Au fost folosite pentru contabilizarea datoriilor sau în calcule intermediare pentru a simplifica soluția ecuațiilor - era doar un instrument pentru obținerea unui răspuns pozitiv. Faptul că numerele negative, spre deosebire de cele pozitive, nu exprimă prezența vreunei entități, a stârnit o neîncredere puternică. Oamenii în sensul literal al cuvântului au evitat numerele negative: dacă o problemă a primit un răspuns negativ, ei credeau că nu există niciun răspuns. Această neîncredere a persistat foarte mult timp, iar chiar Descartes – unul dintre „fondatorii” matematicii moderne – le-a numit „false” (în secolul al XVII-lea!).

De exemplu, luați în considerare ecuația 7x - 17 = 2x - 2. Se poate rezolva astfel: mutați termenii cu necunoscutul în partea stângă, iar restul la dreapta, obțineți 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Cu această soluție, nici măcar nu am întâlnit numere negative.

Dar a fost posibil să o faceți accidental într-un alt mod: transferați termenii cu necunoscutul în partea dreaptă și obțineți 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5) x. Pentru a găsi necunoscutul, trebuie să împărțiți un număr negativ la altul: x = (-15) / (- 5). Dar răspunsul corect este cunoscut și rămâne de concluzionat că (-15) / (- 5) = 3.

Apoi au fost descoperite și alte seturi de obiecte matematice, asupra cărora se pot efectua astfel de operații: serii de puteri formale, funcții continue... pentru toată matematica modernă).

Un inel este o mulțime cu două operații binare (adică fiecare operație implică două elemente ale inelului), care se numesc în mod tradițional adunare și înmulțire și următoarele axiome:

Adunarea elementelor inelare respectă legile deplasării (A + B = B + A pentru orice elemente A și B) și combinației (A + (B + C) = (A + B) + C); inelul conține un element special 0 (un element neutru pentru adunare) astfel încât A + 0 = A, iar pentru orice element A există un element opus (notat cu (-A)) astfel încât A + (-A) = 0 ;
- înmulţirea respectă legea combinaţiei: A · (B · C) = (A · B) · C;
adunarea și înmulțirea sunt legate de următoarele reguli de extindere a parantezei: (A + B) C = A C + B C și A (B + C) = A B + A C.

Acum să demonstrăm că pentru orice elemente A și B ale unui inel arbitrar, în primul rând, (-A) B = - (A B), și în al doilea rând, (- (- A)) = A. Acest lucru implică cu ușurință afirmații despre unități: ( -1) 1 = - (1 1) = -1 și (-1) (-1) = - ((- 1) 1) = - (- 1) = 1.

Pentru a face acest lucru, trebuie să stabilim câteva fapte. Mai întâi, să demonstrăm că fiecare element poate avea un singur opus. Într-adevăr, să fie elementul A două opuse: B și C. Adică A + B = 0 = A + C. Să considerăm suma A + B + C. Folosind legile de combinare și transpunere și proprietatea zero, obținem că , cu pe de o parte, suma este B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, iar pe de altă parte, este C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Deci B = C.

Rețineți acum că atât A cât și (- (- A)) sunt opuse aceluiași element (-A), deci trebuie să fie egale.

Primul fapt se obține astfel: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, adică (-A) B este opus lui A B, deci este egal cu - (AB).

Pentru a fi riguros din punct de vedere matematic, să explicăm de ce 0 · B = 0 pentru orice element B. Într-adevăr, 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B. Adică, adăugarea 0 · B nu modifică suma. Prin urmare, acest produs este egal cu zero.

Evgheni Epifanov

Două negative fac o afirmație- aceasta este o regulă pe care am învățat-o la școală și am aplicat-o toată viața. Cine dintre noi s-a întrebat de ce? Desigur, este mai ușor să ne amintim această afirmație fără întrebări inutile și să nu aprofundezi în esența problemei. Acum există deja suficiente informații care trebuie „digerate”. Dar pentru cei care sunt încă interesați de această întrebare, vom încerca să dăm o explicație a acestui fenomen matematic.

Din cele mai vechi timpuri, oamenii au folosit numere naturale pozitive: 1, 2, 3, 4, 5, ... Numerele erau folosite pentru a număra animalele, recoltele, inamicii etc. La adunarea și înmulțirea a două numere pozitive, au primit întotdeauna un număr pozitiv, la împărțirea unor valori cu altele, nu au obținut întotdeauna numere naturale - așa au apărut numerele fracționale. Dar scăderea? Din copilărie, știm că este mai bine să adunăm mai puțin la cel mai mare și să scădem pe cel mai mic din cel mai mare, în timp ce din nou nu folosim numere negative. Se dovedește că dacă am 10 mere, nu pot da cuiva decât mai puțin de 10 sau 10. Nu pot da 13 mere pentru că nu le am. Nu a fost nevoie de numere negative de mult timp.

Abia din secolul al VII-lea d.Hr. numerele negative au fost folosite în unele sisteme de numărare ca valori auxiliare care au făcut posibilă obținerea unui număr pozitiv în răspuns.

Să luăm în considerare un exemplu, 6x - 30 = 3x - 9. Pentru a găsi răspunsul, este necesar să lăsați termenii cu necunoscute în partea stângă, iar restul - în dreapta: 6x - 3x = 30 - 9, 3x = 21, x = 7. La rezolvarea acestei ecuații, nu am întâlnit nici măcar numere negative. Am putea muta termeni cu necunoscute în partea dreaptă și fără necunoscute - în stânga: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x). Când împărțim un număr negativ la negativ, obținem un răspuns pozitiv: x = 7.

Ce vedem?

Acțiunile cu numere negative ar trebui să ne conducă la același răspuns ca și acțiunile cu numere numai pozitive. Nu ne mai putem gândi la inutilitatea practică și la semnificația acțiunilor - ele ne ajută să rezolvăm problema mult mai rapid, fără a reduce ecuația la o formă cu doar numere pozitive. În exemplul nostru, nu am folosit calcule complexe, ci cu un numar mare calcularea termenilor cu numere negative ne poate ușura munca.

De-a lungul timpului, după experimente și calcule pe termen lung, a fost posibil să se identifice regulile care se supun tuturor numerelor și acțiunilor asupra lor (în matematică, ele se numesc axiome). De aici a venit o axiomă care spune că atunci când două numere negative sunt înmulțite, obținem pozitiv.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.