Cele corecte au fost scrise pe tablă. Soluții de probleme

Sursa misiunii: Decizia 3754. UTILIZARE 2016. Matematică, I. V. Iashchenko. 30 de opțiuni pentru elemente tipice de testare.

Sarcina 19. Pe tablă erau scrise 20 de numere naturale (nu neapărat diferite), fiecare dintre ele nu depășește 40. În loc de unele numere (poate unul), numerele de pe tablă erau scrise mai puțin decât cele inițiale pe rând. Numerele, care apoi s-au dovedit a fi 0, au fost șterse de pe tablă.

a) S-ar putea ca media aritmetică a numerelor de pe tablă să crească?

b) Media aritmetică a numerelor scrise inițial a fost 27. Aritmetica medie a numerelor rămase pe tablă se poate dovedi a fi 34?

c) Media aritmetică a numerelor scrise inițial a fost 27. Găsiți cea mai mare valoare posibilă a mediei aritmetice a numerelor care rămân pe tablă.

Soluţie.

A) Da, poate, de exemplu, dacă iei 19 numere egale cu 10, iar 20 este egal cu 1, atunci după scăderea numărului 20 cu 1, devine egal cu 0 și valoarea medie nu mai este de 20 de numere, ci 19 , atunci avem:

Media inițială :;

Valoarea medie după modificare: .

După cum puteți vedea, a doua valoare medie a devenit mai mare decât cea inițială.

b) Să presupunem că pentru a îndeplini această condiție, trebuie să luați unități, apoi să luați numere și un număr, în total 20 de numere. Media lor aritmetică va fi

,

iar după ștergerea unităților ar trebui să obțină

,

adică avem un sistem de ecuații:

Scăzând a doua din prima ecuație, obținem:

Astfel, pentru a îndeplini condiția acestui paragraf, trebuie să luați un număr fracționat de numere, ceea ce este imposibil în cadrul acestei sarcini.

Răspuns: Nu.

v) Pentru a obține media maximă a numerelor rămase pe tablă, trebuie mai întâi să notați un set de numere format din cel mai mare număr de numere (care, apoi, vor fi șterse de pe tablă), iar restul numerelor trebuie fii maxim. Scriem această condiție în formular

,

unde este numărul de unități; - Numărul 20 (este ales astfel încât să ofere o medie de 27). Prin urmare, avem:

Din expresia rezultată, se poate observa că valoarea minimă la care obținem valoarea maximă. Astfel, avem o succesiune de numere, a căror sumă este egală cu

nimic de făcut.

Sarcina este o glumă. Ira a împrumutat 100 de ruble de la mama ei, dar le-a pierdut. Apoi am împrumutat 50 de ruble de la un prieten. Pentru 20 p. a cumpărat plăcinte, iar restul de 30 de ruble. s-a întors la mama. Se pare că îi datorează mamei sale 70 de ruble. plus 50 p. prieten, doar 120 de ruble, plus 20 de ruble, pe care le-am cheltuit pe plăcinte. În total 140 de ruble, dar în total trebuie să returneze 150 de ruble. Întrebare: unde mai sunt 10 ruble?

Soluţie. Ira a pierdut și a cheltuit 100 + 20 = 120 de ruble. Și trebuie să returnez exact acești bani: 100 - 30 = 70 de ruble mamei. iar iubita 50 p. Și toate celelalte calcule sunt de la cel rău.

1.7. Multiplicare. Legile multiplicării

1.8. Legea distribuției

V Secțiunea 1.7 introduce conceptul unui produs de două numere folosind exemplul produsului numerelor 3 și 4. Rețineți că acest produs este suma a trei termeni, fiecare dintre aceștia fiind egal cu 4, adică 3 ∙ 4 = 4 + 4 + 4. Acest lucru este necesar pentru ca mai departe sub 3 ∙ a intelege suma a + a + a. Pentru orice număr a, egalitatea 1 ∙ a = a este considerată adevărată.

Această abordare a definiției unei opere pare incomodă, deoarece în școala elementară se spune că 3 ∙ 4 este 3 + 3 + 3 + 3 (luați 3 de 4 ori). Dar acest inconvenient aparent este eliminat chiar în prima lecție, de îndată ce se arată că legea deplasării multiplicării este valabilă.

Legea mișcării și combinației multiplicării se explică prin numărarea numărului de pătrate și a numărului de cuburi.

Pentru orice număr a, egalitățile 0 ∙ a = 0, a ∙ 0 = 0. În plus, egalitatea 0 ∙ 0 = 0 este adevărată.

V Clauza 1.8 explică legea distribuției la calcularea numărului de pătrate, arată aplicarea legii distribuției la deschiderea parantezelor și scoaterea factorului comun din paranteze.

Când studiază toate cele trei legi, elevii ar trebui învățați să scrie legi folosind litere care denotă numere arbitrare și să memoreze formulările legilor. Acest lucru ajută la dezvoltarea unui discurs matematic clar, dă

„șabloane de vorbire” ale elevilor pentru răspunsuri orale.

În continuare, studenții ar trebui să fie atrași de avantajele vitezei de calcul pe care le are cel care deține legile studiate. Astfel, profesorul creează o motivație intra-subiect care vine de la subiect (și nu din exterior) la învățare.

RT. Utilizarea sarcinilor 66–70 în prima lecție vă va permite să repetați tabelul de înmulțire, să atrageți atenția elevilor asupra perechilor de factori care dau 10, 100, 1000 în înmulțire, etc. a legilor studiate.

Decizii și comentarii

90. a) Numărul 12 a fost mai întâi mărit de 2 ori, rezultatul obținut a fost mărit de 3 ori. Care este rezultatul?

b) Am conceput un număr, l-am mărit de 3 ori, rezultatul obținut a fost mărit de 4 ori mai mult. De câte ori a crescut numărul ca urmare?

Soluţie. a) 12 ∙ 2 = 24, 24 ∙ 3 = 72, rezultatul este 72.

Aici este indicat să întrebați elevii: de câte ori numărul 12 a crescut de 2 ori. Răspunsul poate fi obținut folosind legea combinației înmulțirii: (12 ∙ 2) ∙ 3 = 12 ∙ (2 ∙ 3) = 12 ∙ 6 - numărul 12 a crescut de 6 ori în 2 ori. Acest răspuns îi va pregăti pe elevi să rezolve 90 b. Problema pe cont propriu.

b) În primul rând, problema poate fi rezolvată pentru un anumit număr conceput, de exemplu, 2 sau 3. Se pare că, în ambele cazuri, numărul conceput a crescut de 12 ori. Pentru a arăta că răspunsul la această problemă nu depinde cu adevărat de alegerea numărului conceput, denotăm numărul conceput prin litera a. Apoi (a ∙ 3) ∙ 4 = a ∙ (3 ∙ 4) = a ∙ 12 - numărul a din 2 ori a crescut de 12 ori.

91. Ce legi sunt utilizate în următoarele calcule:

20 ∙ 30 = (2 ∙ 10) ∙ (3 ∙ 10) = (2 ∙ 3) ∙ (10 ∙ 10) = 6 ∙ 100 = 600?

a) Calculați: 20 ∙ 50.

Soluţie. Au fost utilizate ambele legi ale multiplicării: deplasarea și combinația. Rețineți că aplicarea acestor legi de mai sus nu este prezentată în detaliu, de exemplu, astfel:

20 ∙ 30 = (2 ∙ 10) ∙ (3 ∙ 10) = ((2 ∙ 10) ∙ 3) ∙ 10 = (2 ∙ (10 ∙3)) ∙ 10 = = 2 ∙ (3 ∙ 10) ∙ 10 = ((2 ∙ 3) ∙ 10) ∙ 10 = (2 ∙ 3) ∙ (10 ∙ 10) = 6 ∙ 100 = 600,

întrucât studenții nu au încă motivația de a fi exacți în conversia expresiilor numerice. Cu toate acestea, atunci când efectuați următoarele sarcini, este posibil să nu solicitați o astfel de înregistrare incompletă a soluțiilor, care este prezentată mai sus. Soluția poate fi scrisă pe scurt: a) 20 ∙ 50 = 1000.

(27 + 73) = 356 100 + 644 100 = (356 + 644) 100 = 1000 100 =100 000.

Controlul intermediar. DM. C - 2.

1.9. Adunarea și scăderea de coloane a numerelor

1.10. Înmulțirea numerelor cu o coloană

Scopul acestor puncte este de a demonstra elevilor cum se folosesc legile adunării și multiplicării, legea distribuției atunci când se adaugă, se scade și se înmulțesc numere multidigit într-o coloană. Acest lucru nu implică faptul că elevii ar trebui să facă singuri justificări similare, dar ar fi util pentru ei să observe că corectitudinea calculelor coloanei rezultă din validitatea legilor adunării și multiplicării.

O atenție deosebită trebuie acordată corectitudinii semnării multiplicatorilor unul sub altul, a cărui înregistrare se termină cu zerouri.

Din acest moment, calculele dintr-o coloană sunt incluse în practica de calcul a elevilor din clasa a cincea, dar este necesar să atragem atenția elevilor că uneori calculele cu numere din mai multe cifre pot fi mai ușor de realizat fără o coloană dacă observați perechi de numere care dau sume „rotunde” (sarcina 135); sau dacă observați că factorul comun poate fi scos din paranteze (sarcina 144). Este necesar să se dezvolte și să se susțină în orice mod posibil dorința elevilor de a calcula economic și, pentru aceasta, așa cum am menționat deja, li se cere observație

și posesia teoriei studiate.

V în viitor, dorința de a economisi timp în calcule ar trebui să devină un stimulent pentru dezvoltarea observației, precum și pentru

formarea ideii că cunoașterea multor informații teoretice poate simplifica soluționarea problemei.

RT. Utilizarea sarcinilor77, 78 în prima lecție despre adunarea și scăderea coloanelor va intensifica procesul de învățare, deoarece elevii trebuie doar să scrie răspunsurile în coloanele deja scrise. Task79 le pregătește pentru task80 și taskurile133 și134 din manual. Sarcina 81 se realizează la începutul studiului multiplicării coloanelor, în timp ce este necesar să atragem atenția elevilor asupra înregistrării multiplicatorilor. Sarcina 82 este dedicată rezolvării puzzle-urilor.

Decizii și comentarii

133. Exemple de adunare și scădere efectuate corect au fost scrise pe tablă, apoi unele numere au fost șterse și înlocuite cu litere. Rescrieți exemplele, înlocuind literele cu cifre, astfel încât să obțineți din nou intrările corecte:

În continuare, elevii pot primi răspunsuri selectând un număr adecvat și verificând corectitudinea răspunsului, dar va fi mai bine dacă tabla oferă exemple de raționament: pentru a obține 8, adăugați 5 la 3 (exemplu "a") etc.

Răspuns. a) 725 + 173 = 898; b) 952 - 664 = 288; c) 502 + 879 = 1381;

d) 1456 - 568 = 888.

134. Reconstruiți exemplele, presupunând că aceleași litere înseamnă aceleași numere, iar literele diferite înseamnă numere diferite:

algoritm liniar pentru găsirea unui răspuns. La fiecare pas, el dă o singură semnificație literei.

1) Suma a două numere din patru cifre este un număr din cinci cifre. Prin urmare, d

1, adică

1raka 2) Suma p + p este un număr care se termină cu o cifră pare, adică a - par

număr, dar apoi (vezi locul sutelor sumei) a = 2, adică

1p2k2 3) Suma p + p este un număr care se termină în 2, acest lucru este posibil doar în două

cazuri: p = 1 sau p = 6. Dar numărul 1 există deja (litere diferite corespund unor numere diferite), prin urmare, p = 6, adică

162k2 4) Thenak = 5, y = 8, adică

Exemplul „c” a fost restaurat și toate cifrele au fost găsite fără ambiguități.

d) Această sarcină este mai dificilă, atunci când este efectuată, este implementat un algoritm de ramificare pentru găsirea unui răspuns. La un moment dat, nu dă singurul sens pentru scrisoare. Dificultatea constă în a ne aminti pentru a completa raționamentul pentru fiecare ramură a algoritmului.

1) Suma a două numere din șase cifre este, prin urmare, un număr din șapte cifre și =

2) Suma b + b se termină cu o cifră pare, adică e este un număr par, în locul zecilor + l este un număr care se termină cu o cifră pare. Pentru a obține numărul 1 în locul zecilor sumei, este necesar să fie ≥ 5 sau = 0 sau = 5.

3) Dacă l = 0, adică

toa = 5, adică e.

1sde01e Dar, în locul al mii, sumele + m + 1 se termină cu un număr impar, adică e

Un număr impar, dar deasupra sa stabilit că e este un număr par. Contradicția rezultată înseamnă că 0. Prin urmare, = 5.

4) Deoarece l = 5, adică e.

1sde51e apoi în locul sutelor suma a + a + 1 se termină în 5. Acest lucru este posibil în două cazuri:

a = 2 sau a = 7. Dar pentru a = 7 în locul miilor, numărul este impar, ceea ce este imposibil, deoarece s-a stabilit mai sus că e este un număr par. În consecință, a ≠ 7. Prin urmare, a = 2.

5) Deoarece a = 2, adică

1sde51e și întrucât e este un număr par, atunci nu poate fi zero (dacă e = 0, atunci b = 0 sau = 5,

ceea ce este imposibil, deoarece sa stabilit deja că b ≥ 5, iar numărul 5 există deja). Numărul 2 există deja, deci ≠ 2. Prin urmare, rămâne să luăm în considerare trei cazuri posibile: e = 4, e = 6,

e = 8.

6) Dacă e = 4, atunci = 7, atunci (vezi locul mii) m = 2 sau m = 7, ceea ce este imposibil, deoarece numerele 2 și 7 sunt deja acolo.

7) Dacă e = 6, atunci în locul zecilor de mii din suma d = 3 (deoarece numărul 2 este deja

este), dar atunci suma nu va fi un număr din șapte cifre, ceea ce este imposibil. Prin urmare, e = 8.

8) Deoarece f = 8, atunci = 9, m = 4, q = 6, s = 3, adică e.

Exemplul „d” a fost restaurat și toate cifrele au fost găsite fără ambiguități. Afișarea soluțiilor la exemplele „c” și „d” pe tablă este mai ușoară decât publicarea în

carte, deoarece în cazul unui algoritm liniar, folosind o cârpă și cretă, puteți înlocui treptat literele cu cifre și din acest exemplu cu litere puteți obține exemplul dorit cu cifre. Și în cazul unui algoritm de ramificare, este necesar să lăsați pe tablă toate opțiunile care nu sunt considerate pe deplin. Schema algoritmului implementat la rezolvarea sarcinii d) poate fi descrisă după cum urmează:

Desigur, studenții pot ridica doar numerele de care au nevoie, dar apoi nu vor fi siguri că soluția pe care au găsit-o este singura.

135. a) Efectuați pașii: (5486 + 3578) + 1422.

Soluţie. Aici aș dori ca, pe lângă capacitatea de a aplica calcule de 2 ori într-o coloană, unul dintre studenți a observat că suma celui de-al doilea și al treilea număr este „rotundă”, deci calculul este ușor de realizat într-o linie:

(5486 + 3578) + 1422 = 5486 + (3578 + 1422) = 5486 + 5000 = 10 486.

146. Produsul a patru numere naturale consecutive este egal cu

3024. Găsiți aceste numere.

Soluţie. Rețineți că nu există 10 sau 5 printre cele patru numere căutate, deoarece dacă ar exista cel puțin unul dintre acești factori, atunci produsul s-ar termina cu zero. Rămâne să verificăm: 1 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 4 = 24, 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024.

Răspuns. 6, 7, 8, 9.

1.11. Grad cu exponent natural

Această clauză introduce conceptul de grad cu un exponent natural pentru cazurile n> 1 și n = 1. Studenții trebuie să stăpânească terminologia: gradul, baza gradului (numărul pe care îl ridicăm la o putere), exponent (arată gradul la care ridicăm baza gradului), numerele pătrate, numerele cubului și învățăm cum să calculăm gradele.

RT. Este recomandabil să utilizați sarcinile 83-86 la etapa inițială a studierii materialului. Când studiați acest element, puteți utiliza sarcinile 87-90.

Soluții și comentarii

171. Printre primele cinci numere naturale, există două numere inegale m

și n astfel încât n m = m n. Găsiți aceste numere.

Soluţie. Aceste numere sunt 2 și 4. Într-adevăr, 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16, 42 = 4 ∙ 4 = = 16,

adică 24 = 42.

Răspuns. 2 și 4.

1.12. Întreaga diviziune

Această clauză introduce conceptul de divizare întreagă și terminologia corespunzătoare, explică de ce orice număr natural sau zero nu poate fi împărțit la zero. Sunt date exemple de simplificare a divizării în unele cazuri. Ar trebui să acordați atenție proprietății coeficientului, care uneori ajută la simplificarea calculelor (sarcinile 186-187). De exemplu, atunci când împărțiți un număr la 5, puteți dividenda și

divizorul se înmulțește cu 2 și noul dividend se împarte cu 10:

320: 5 = 640: 10 = 64.

Dovada acestei proprietăți a coeficientului nu a fost efectuată în manual. În lecție, este suficient să-i dăm un astfel de exemplu: „Să dovedim că dacă 320: 5 = c, atunci (320 ∙ 2): (5 ∙ 2) = c, unde c este un număr natural”.

Pentru a face acest lucru, înmulțim c cu 5 ∙ 2 și verificăm dacă rezultatul este 320 ∙ 2. În acest caz, luăm în considerare faptul că, de la 320: 5 = c, atunci egalitatea c ∙ 5 = 320 este adevărată.

c ∙ (5 ∙ 2) = (c ∙ 5) ∙ 2 = 320 ∙ 2.

Astfel, proprietatea coeficientului este dovedită pentru coeficientul 320: 5 și numărul natural c.

Rețineți că dacă în loc de numerele 320 și 5 luăm orice numere naturale a și b astfel încât egalitatea a: b = c este adevărată și, în loc de numărul 2, luăm orice număr natural d, atunci, argumentând în mod similar, vom obțineți o dovadă a aceleiași afirmații în formă generală:

a: b = (a ∙ c): (b ∙ c).

În acest moment, sarcinile sunt selectate astfel încât la rezolvarea lor să nu fie necesară împărțirea într-o coloană, care va fi studiată în paragraful 1.15.

RT. Este recomandabil să utilizați sarcinile 91-93 în etapa inițială a studiului diviziunii. Ei testează înțelegerea regulii diviziunii (definiție). Sarcinile 94–97 pentru calcule fără coloană. Task98 pentru a găsi componente necunoscute în timpul multiplicării și divizării. Sarcinile 99–107 pentru a testa înțelegerea relației componentelor în multiplicare și divizare.

Decizii și comentarii

188. Dovediți că dacă fiecare dintre numerele naturale a și b este divizibil cu un număr natural c, atunci egalitatea (a + b): c = a: c + b: c este adevărată.

Soluţie. Să dăm o dovadă generală. Deoarece fiecare dintre numerele naturale a și b este divizibil cu un număr natural c, există numere naturale a: c și b: c. Înmulțim suma lor cu c și transformăm produsul rezultat folosind legea distribuției și definiția coeficientului (a: c este numărul care, înmulțit cu c, dă a, prin urmare (a: c) ∙ c = a):

(a: c + b: c) ∙ c = (a: c) ∙ c + (b: c) ∙ c = a + b,

prin urmare, egalitatea (a + b): c = a: c + b: c este adevărată.

Dacă profesorul consideră că elevii nu sunt încă pregătiți să accepte dovada generală (în litere) din clasa sa, atunci este mai bine să o citați pentru un caz specific, de exemplu, acesta: (15+ 35): 5 = 15: 5 + 35: 5. Cu toate acestea, nu trebuie efectuată dovada prin calcule - asigurați-vă că stânga și dreapta vor primi același răspuns (o astfel de „dovadă” nu va funcționa în litere). Este necesar, deși pe anumite numere, să se efectueze același raționament ca și în proba generală, acest lucru îi va învăța treptat pe elevi să demonstreze afirmațiile.

Controlul intermediar. DM. C - 3.

1.13. Rezolvarea problemelor de cuvinte folosind înmulțirea și împărțirea

În acest moment, lucrările începute mai devreme privind învățarea elevilor de a rezolva probleme prin metode aritmetice continuă. În textul educațional, problemele sunt rezolvate cu explicații, dar din când în când este necesar să le oferim elevilor o instrucțiune: „Și această problemă trebuie rezolvată cu întrebări”. O atenție deosebită ar trebui acordată faptului că unii elevi de la școala elementară au concepții greșite înrădăcinate cu privire la alegerea acțiunii pentru rezolvarea problemei. Dacă întâmpină întrebarea „cât?” În textul problemei, atunci spun că este necesar să scădem etc. Prin urmare, task193 trebuie finalizat în clasă și asigurați-vă că acțiunile pentru obținerea răspunsului sunt alese corect.

RT. Problemele 108-117 pot fi utilizate în primele lecții pe această temă, rezolvând problemele 108-112 cu întrebări și problemele 113-117 cu explicații. Rezolvarea problemelor 118-137 implică utilizarea tuturor acțiunilor studiate.

Decizii și comentarii

193. a) Fiecare căruță a fost încărcată cu 8 pungi de cartofi. Câte căruțe au încărcat cele 72 de pungi?

b) Unele dintre cele 40 de pungi au fost umplute cu zahăr granulat. Au mai rămas 10 pachete goale. În câte pungi s-a turnat zahăr granulat?

c) În atelierul de cusut sunt 2 bucăți de pânză, câte 60 m. Câți metri de pânză rămân?

SOLUȚII DE PROBLEME

Note generale privind verificarea.

Criteriile sunt scrise pe baza soluției „reduse” la problemă.

În cazul unei soluții „diferite”, trebuie elaborate alte criterii în conformitate cu cerințele generale pentru criterii.

1. Tanya a mers să cumpere pixuri și creioane. Cheltuind toți banii, putea cumpăra 6 pixuri sau 12 creioane. Ea a decis să le cumpere pe amândouă în mod egal cu toți banii. Cat de mult?

Răspuns: 4.

Soluţie.

Un stilou este ca două creioane, iar un stilou și un creion sunt ca trei creioane. Prin urmare, Tanya poate cumpăra 12: 3 = 4 seturi de stilou și creion.

Criterii de verificare.

Răspuns pe baza unui exemplu numeric specific: 1 punct

2. Gemenii Anya, Manya și Tanya au copt prăjituri de ziua lor. Dacă Anya și Manya ar fi copt de două ori mai multe prăjituri, numărul total de prăjituri ar fi crescut cu 60%. Ce procent de prăjituri a copt Tanya?

Soluţie. Dacă și Tanya ar coace de două ori mai multe prăjituri, atunci toate prăjiturile ar fi crescut cu 100%. Ponderea Ani și Mani este de 60%, ceea ce înseamnă că ponderea Tanya este de 100% -60% = 40%.

Criterii de verificare.

Nu există progrese rezonabile, dar există un răspuns: 0 puncte

Se consideră un caz special: 1 punct.

Există o acțiune de 100% -60%, dar nu se face o presupunere despre Tanya: 2 puncte

3. Patru numere naturale au fost scrise pe tablă. Adăugându-le în toate modurile diferite posibile în două, Petya a obținut următoarele șase sume: 17, 18, 20, 21, 23, 26. Dovediți că Petya a făcut o greșeală la calcularea sumelor.

Soluţie. Suma tuturor celor șase sume pereche este 125. Fiecare dintre numerele scrise pe tablă este inclusă în această sumă de trei ori, ceea ce înseamnă că această sumă trebuie să fie multiplu de 3, dar 125 nu este divizibil cu 3.

Criterii de verificare:

S-a găsit suma tuturor sumelor perechi egale cu 125: 1 punct.

Se indică faptul că fiecare număr este folosit de trei ori ca supliment: 2 puncte.

Se fac ambele afirmații anterioare: 3 puncte

Se observă că, de vreme ce fiecare număr este un sumand de trei ori, atunci suma ar trebui să fie divizibilă cu 3, dar concluzia că au ajuns la o contradicție nu se face: 6 puncte.

Prezența tuturor detaliilor în soluție: 7 puncte.

Metoda 2. Să aranjăm numerele scrise în ordine descrescătoare: a £ b £ c £ d. Atunci

a + b = 17, a + c = 18, b + d = 23, c + d = 26. 18 + 23 = a + b + c + d = 17 + 26. (sau 26-23 = c - b = 18-17) Am avut o contradicție, prin urmare, a existat o eroare în calcule.

Această soluție este prezentată pentru a demonstra faptul că condiția „numere naturale” este de prisos. Este pentru învățarea copiilor o abordare diferită a sarcinii (metoda extremului).

4. Petya are un dreptunghi 5 × 7 și un pătrat 1 × 1. Poate Petya să taie acest dreptunghi în 2 părți care nu sunt dreptunghiuri și apoi să adauge un pătrat de 6 × 6 din aceste două părți și acest pătrat de 1 × 1? (Dacă este posibil, ar trebui arătat cum este tăiat dreptunghiul și cum se face pătratul. Sau ar trebui să se explice de ce acest lucru nu este posibil.)

Răspuns. Poate.

Sunt specificate mai multe tăieturi dreptunghiulare și ansambluri pătrate.

(Există și alte soluții.)

Imaginea 1

Figura 2.

Figura 3

Figura 4.

Criterii de verificare:

Dacă există tăiere, dar există un singur desen, adică se arată cum să asamblați sau cum să tăiați: 4 puncte.

5. Șase prieteni: Andrey, Vitya, Borya, Sasha, Tolya și Gena, - aliniați la rând în ordine descrescătoare a înălțimii lor (niciunul dintre ei nu are aceeași înălțime). Apoi, Gena și Andrey și-au schimbat locul, Borya și Vitya și-au schimbat locul și, în cele din urmă, Sasha și Tolya și-au schimbat locul. S-a dovedit că acum băieții sunt în ordine crescătoare de înălțime. Găsiți-l pe cel mai înalt dintre băieți dacă se știe că Borya este mai înalt decât Andrei și Gena, dar mai jos decât Sasha.

Soluţie... Deoarece, după toate permutările, băieții s-au aliniat în ordinea opusă, cele mai înalte și mai mici locuri schimbate (1). Această pereche nu poate include Andrey și Gena: ambii sunt mai mici decât Bori (2). Borya nu poate intra în această pereche. El este mai jos decât Sasha, dar mai înalt decât Andrey, ceea ce înseamnă că nu este cel mai înalt și nu cel mai mic (3). A mai rămas o singură pereche: Sasha și Tolya. Sasha este mai înaltă decât Bory și nu poate fi cea mai mică (4). Aceasta înseamnă că cel mai înalt este Sasha, iar cel mai mic este Tolya.

Criterii de verificare:

Este indicat doar răspunsul corect: 1 punct.

Există prima afirmație (1): 2 puncte.

Există enunțuri (1) și (2): 3 puncte.

Există enunțuri (1) și (2) și (3): 6 puncte.

Toate afirmațiile sunt acolo: 7 puncte.

6. Există 10 dame pe o bandă de 1´20 pe 10 câmpuri din stânga. Un verificator se poate deplasa la o celulă liberă adiacentă la dreapta sau poate sări peste o verificare adiacentă la dreapta la următoarea celulă după aceasta, dacă această celulă este liberă. Nu este permisă deplasarea spre stânga. Este posibil să rearanjați toate dame la rând fără spații în ordine inversă?

Soluţie... Să numerotăm damele cu numerele 1,2,3, ..., 9,10.

Exemplu permutări. Mișcările constau din două părți: mișcare impar (dezasamblare) și mișcare pară (asamblare).

Criterii de verificare:

Toate permutările sunt indicate: 7 puncte.

Sunt indicate începutul și sfârșitul, dar există puncte de suspensie. 6 puncte.

Dacă este și acolo, dar există o săritură de mișcări - 5 puncte.

Cometariu. Mișcarea fiecărei piese este arătată de poziția de început și de sfârșit, mișcările intermediare sunt ușor de recuperat. Nu este necesar să găsiți defecte la astfel de pase.

1. În numărul scris pe tablă, Petya a șters trei numere și a obținut un multiplu de 9. Ce număr este scris acum pe tablă? (Enumerați toate posibilitățile și demonstrați că nu există altele.)

Un număr este divizibil cu 9 numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9. Suma cifrelor numărului scris este 30. Suma a trei cifre de la 1 la 3 poate varia de la 3 la 9. Prin urmare, după lovire din trei cifre, suma cifrelor noului număr poate fi de la 23 la 27. Dintre acestea, doar 27 sunt divizibile cu 9. Aceasta înseamnă că au fost tăiate trei cifre, a căror sumă este 3, adică trei unități. Numărul va rămâne pe tablă :.

Criterii de verificare.

Răspunsul este dat: 1 punct.

Este indicat faptul că este necesară divizibilitatea sumei cifrelor cu 9, deci trebuie să tăiați trei cifre, a căror sumă este 3, ceea ce înseamnă că acestea sunt trei unități: 4 puncte.

Pentru o soluție completă, trebuie arătat că nu se poate obține nicio altă sumă de cifre, divizibilă cu 9. Dacă se face acest lucru - 7 puncte. Dacă raționamentul arată că trei sunt tăiate, dar numărul nu este afișat: minus 1 punct.

2. Natasha și Inna au cumpărat fiecare aceeași cutie cu pliculețe de ceai. Se știe că au preparat două sau trei căni de ceai cu o singură pungă. Această cutie a fost suficientă pentru Natasha pentru 53 de căni de ceai, iar pentru Inna pentru 76. Câte pungi erau în cutie? Răspunsul trebuie justificat.

Soluţie

Rețineți că ar putea fi nu mai puțin de 26 de plicuri în cutie: dacă sunt cel puțin 25, atunci Inna nu poate bea mai mult = 75 de căni, dar a băut 76. Pe de altă parte, în cutie
nu ar putea fi mai mult de 26 de plicuri: dacă sunt cel puțin 27, atunci Natasha nu ar putea bea mai puțin = 54 de căni, dar a băut 53. Astfel, în cutie erau 26 de plicuri: Inna a preparat 24 de plicuri de trei ori și 2 plicuri de două ori, iar Natasha a preparat 1 plic de trei ori și 25 plicuri de două ori.

Criterii de verificare.

Răspuns doar la 26 de plicuri: 0 puncte.

Este imperativ să arăți o modalitate de a bea 53 și 76 de căni de ceai, altfel soluția nu va fi completă. Lipsesc fiecare exemplu: minus 1 punct.

3. Șapte pitici de diferite vârste stau în spate masa rotunda... Se știe că fiecare pitic poate spune adevărul sau minciuna. Fiecare dintre ei a spus că este mai în vârstă decât vecinii săi. Care este cel mai mare număr de afirmații veridice care ar putea fi?

Grad. Luați în considerare un gnom senior. Nu putea spune adevărul. Împărțiți restul de 6 în trei perechi de adiacente. În fiecare pereche, un singur gnom putea spune adevărul. Înseamnă că nu mai mult de trei pitici au spus adevărul. Exemplu: 7, 5, 6, 3, 4, 1, 2. (Piticii sunt numerotați după vechime.)

Criterii de verificare.

Problemă de evaluare plus un exemplu.

Exemplu: 2 puncte.

Scor: 4 puncte.

Când evaluați, este important ca gnomii vecini să nu poată spune amândoi adevărul și, dacă cel puțin patru spun adevărul, atunci există vecini printre ei.

Toți împreună 7 puncte.

Cometariu. Dacă gnomii stăteau la rând, atunci 4 gnomi ar putea spune adevărul.

6, 7, 4, 5, 2, 3, 1.

4. Se știe că . Găsi .

Soluţie

Să adăugăm fracțiile din partea stângă:

Unde înseamnă asta ... Încă o dată, adăugând fracțiile din partea stângă a ultimei egalități, obținem.

În cele din urmă, avem

5. Copiii mici au mâncat dulciuri. Fiecare a mâncat 11 bomboane mai puține decât oricine altcineva combinat, dar totuși mai multe bomboane. Câte bomboane s-au mâncat în total?

Soluţie

Să alegem unul dintre copii - de exemplu, Petya. Dacă luați 11 din toate celelalte bomboane, va exista aceeași cantitate ca a lui Petya. Aceasta înseamnă că dublul numărului de bomboane Petya este egal cu numărul total de bomboane minus unsprezece. Același lucru se poate spune despre oricare dintre copii, ceea ce înseamnă că toți copiii au o cotă egală de dulciuri - să zicem, o grămadă.
Este clar că toată lumea a mâncat un număr întreg de grămezi mai puțin decât ceilalți împreună. Prin urmare, 11 este împărțit la dimensiunea grămezii. Aceasta înseamnă (deoarece, în funcție de condiție, fiecare a mâncat mai mult de 1 bomboană), există 11 bomboane în grămezi, adică fiecare a mâncat o grămadă mai puțin decât celelalte împreună. Petya a mâncat o grămadă, deci restul - două. Aceasta înseamnă că există trei grămezi în total și 33 de bomboane.
Aceeași soluție poate fi scrisă și algebric.
Să denotăm prin S numărul total de dulciuri pe care le-au mâncat copiii. Dacă unul dintre copii a mâncat A dulciuri, apoi, după condiție, toți ceilalți au mâncat a + 11 bomboane, și astfel au mâncat toți împreună S = a +(a + 11)= 2a + 11 bomboane. Acest raționament este valabil pentru fiecare copil, astfel încât toți copiii au mâncat aceeași cantitate de bomboane: a =(S– 11)/ 2 bucăți.
Acum denotăm prin N Numărul de copii. Apoi condiția este scrisă ca a = a(N– 1)– 11, de unde 11 = a(N– 2). Numărul 11 ​​este simplu, deci unul dintre factori este 1, iar celălalt este 11. Dar prin condiție a> 1, prin urmare a = 11 , N– 2= 1. Astfel N = 3 și a fost mâncat S = aN = 33 bomboane.

Răspuns: 33 bomboane.

Singurul răspuns: 0 puncte.

6. Punctele K și D au fost luate pe laturile AB și respectiv AC ale triunghiului ABC. Punctul E a fost ales astfel încât K să fie punctul de mijloc al segmentului DE. S-a dovedit că РEAK = РACB și AE = DC. Demonstrați că BD este bisectoarea unghiului ABC.

Din punctul D cădem perpendiculare DL și DM pe liniile AB și respectiv BC. Din punctul E coborâm EN perpendicular pe dreapta AB. Triunghiurile dreptunghiulare AEN și CDM sunt egale în ipotenuză și unghi acut. Prin urmare, DM = EN. În plus, EN = DL (din egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare, dacă N și L sunt diferite sau ca coincid cu segmentele EK și DK, dacă punctele N, L și K coincid).

Prin urmare, DL = DM, iar punctul D este echidistant de laturile unghiului ABC și, prin urmare, se află pe bisectoarea acestui unghi.

Criterii de verificare. Perpendiculare dorite omise: 1 punct.

La dovedirea egalității EN = DL, nu a fost luat în considerare cazul coincidenței bazelor perpendiculare: minus 1 punct.

1. Cub de număr natural N este divizibil până în 2010. Rezultă că numărul în sine N divizibil până în 2010? Răspuns: ar trebui.

Soluţie... 2010 = 2 * 3 * 5 * 67. Numerele 2, 3, 5 și 67 sunt prime.

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "width =" 19 height = 15 "height =" 15 ">. gif" width = "21" height = "21 src ="> divizibil cu 3 divizibil cu 3,

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "width =" 19 "height =" 15 "> divizibil cu 5,

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "width =" 19 "height =" 15 "> este divizibil cu 67.

Singurul răspuns dat: 0 puncte.

2. Există cutii de diferite dimensiuni: A, B, C și D. Se știe că 11 cutii A și 7 cutii B conțin aceeași cantitate ca 12 cutii C. C 6 cutii A și 5 cutii B conțin aceeași cantitate ca 6 cutii C și 1 cutie D. 6 cutii D sunt complet umplute cu apă. 3 cutii A și 8 cutii B vor fi suficiente pentru a turna toată apa din 6 cutii D?

Soluţie. Fie https://pandia.ru/text/77/496/images/image021_51.gif "height =" 15 src = "> volumele de cutii A, B, C și respectiv D.

Pentru un sistem corect compus de ecuații: 2 puncte.

3. Dat fiind un paralelogram KLMN vârf acut K... Pe raze KLși ML puncte marcate Ași B respectiv și A.M = LMși BK = KL.

a) Dovediți că UN = BN.

b) Dovediți că triunghiurile ABNși BKL Sunt asemănătoare.

Soluţie.

Din egalitatea triunghiurilor AMNși BKN(pe ambele părți și unghiul dintre ele), segmentele sunt egale UNși BN.

Din egalitatea unghiurilor AKBși AMB(unghiurile de la vârfurile unor triunghiuri isosceluri similare BKLși AML) rezultă că punctele A, B, K, Mîntindeți-vă pe un cerc și de atunci

atunci punctul se află și pe acest cerc N... Prin urmare, unghiurile BNAși BKL la vârfuri Nși K triunghiuri isoscel BNAși BKL sunt egale. Prin urmare, triunghiurile sunt similare.

Punctul a) este dovedit: 3 puncte.

Punctul b) este dovedit: 4 puncte.

4. Dovediți că dacă ecuațiile și https://pandia.ru/text/77/496/images/image028_31.gif "width =" 263 "height =" 24 "> nu au rădăcini.

Soluţie.

Să luăm una arbitrară.

Atunci nu are rădăcini, deci pentru oricare.

Prin urmare, ecuația nu are rădăcini pentru niciunul. Prin urmare, pentru oricine.

https://pandia.ru/text/77/496/images/image034_29.gif "width =" 255 "height =" 22 src = ">

pentru oricine . Adică ecuația

Este dovedit că pentru orice +4 puncte.

Dacă nu există o explicație corespunzătoare, atunci nu există o adăugare corespunzătoare de puncte.

5. Vasya a uitat codul format din patru cifre în camera de depozitare (codul poate fi de la 0000 la 9999). Își amintește doar că numărul care specifică codul este divizibil cu 3 și 7 și nu este divizibil cu 5 și 9. Câte opțiuni va trebui să treacă pentru a fi sigur că ghicește codul?

Răspuns: 254.

Soluţie.Într-o singură direcție.

Codul 0000 nu funcționează.

Dintre numerele de la 1 la 9999 exact = 476 sunt divizibile cu 21..gif "lățime =" 65 "înălțime =" 39 ">. Dar între 158 numere divizibile cu 9 și dintre 95 numere divizibile cu 5, există coincidențe. divizibil cu 45. Există exact astfel de numere din 476 numere divizibile cu 21. Apoi, există exact + 31 = 254 numere care îndeplinesc condiția problemei.

9 * 5 * 7 = 315, prin urmare, printre numerele de la 1 la 315, de la 316 la 630, de la 630 la 945 etc., există același număr de numere care satisfac condiția problemei. Există exact 8 astfel de numere de la 1 la 315 (acestea sunt numerele 21, 42, 84, 147, 168, 231, 273, 294). Prin urmare, de la 1 la 315 * 31 = 9765 astfel de numere 31 * 8 = 248. Rămâne să luăm în considerare numerele de la 9766 la 9999 și să ne asigurăm că dintre ele exact 6 numere satisfac condiția problemei (9786, 9807, 9849, 9912, 9933, 9996). Total 248 + 6 = 254 numere.

Răspuns fără soluție: 0 puncte.

Formula indicată este + 31 = 254: + 3 puncte.

Fiecare eroare de calcul: - 1 punct.

Răspuns fără soluție: 0 puncte.

Se indică faptul că dintre fiecare dintre următoarele 315 de numere același număr de numere care îndeplinesc condiția problemei: +3 puncte.

Se calculează că exact 8 de la 1 la 315 îndeplinește condiția: +1 punct.

Se calculează că exact 6 de la 9766 la 9999 îndeplinesc condiția problemei: +1 punct.

Formula este ca 248 + 6 = 254: +2 puncte.

Dacă cineva are răbdare să noteze toate cele 254 de numere și să nu se înșele: 7 puncte.

6. Punctele A și B sunt luate pe graficul funcției ... Dintre acestea, perpendicularele sunt omise față de axa absciselor, bazele perpendicularelor sunt HA și HB; C este originea. Să se demonstreze că aria figurii mărginită de liniile drepte CA, CB și arcul AB este egală cu aria figurii mărginite de liniile drepte AHA, BHB, axa abscisei și arcul AB. 5. Punctele A și B sunt luate pe graficul funcției. Dintre acestea, perpendicularele sunt omise față de axa absciselor, bazele perpendicularelor sunt HA și HB; C este originea. Să se demonstreze că aria figurii mărginită de liniile drepte CA, CB și arcul AB este egală cu aria figurii mărginite de liniile drepte AHA, BHB, axa abscisei și arcul AB.

Soluţie. Putem presupune că abscisa punctului A este mai mică decât abscisa punctului B (vezi Fig.) Se consideră punctul K de intersecție a segmentelor AHA și СB. Apoi diferența zonelor considerate este egală cu diferența dintre ariile triunghiului СAK și patrulaterul HAKBHB, care, la rândul său, este egal cu diferența dintre ariile triunghiurilor СAHA și СBHB. Și din moment ce СHA * AHA = СHB * BHB = 2010 (A și B sunt pe grafic), aceste zone sunt egale.

Se arată că diferența dintre zonele luate în considerare este https://pandia.ru/text/77/496/images/image044_20.gif "width =" 101 "height =" 23 src = ">: 4 puncte.

Este dovedit că fie : +3 puncte.

1. ... Dovediți că pentru toate numerele naturale inegalitatea

Soluţie:Împărțiți ambele părți ale inegalității la o valoare pozitivă.Obțineți inegalitate Dacă atunci gradul este negativ și inegalitatea este adevărată..gif "lățime =" 61 "înălțime =" 19 ">: 0 puncte.

Am primit vizualizarea sau: 1 punct

2. Poate pentru unele k naturale suma cifrelor să coincidă pentru următoarele două numere https://pandia.ru/text/77/496/images/image059_10.gif "width =" 76 "height =" 24 src = ">?

Răspuns: nu poate.

Soluţie. Să denotăm https://pandia.ru/text/77/496/images/image061_11.gif "width =" 171 "height =" 24 src = ">. Unul din trei numere consecutive este divizibil cu trei, prin urmare, unul dintre numerele sunt https: //pandia.ru/text/77/496/images/image064_9.gif "width =" 53 "height =" 21 src = "> este divizibil cu trei, iar celălalt nu. Prin urmare, suma cifrelor numai a unuia dintre ele este divizibilă cu trei. Prin urmare, ele sunt diferite.

3. Trinomii pătrate și rădăcini reale pozitive X 1, X 2 și X 3, X 4, respectiv, și X1 < X3 < X2 < X4 . Dovediți că un trinom pătrat https://pandia.ru/text/77/496/images/image068_9.gif "width =" 85 "height =" 51 src = ">. Gif" width = "111" height = "21 ">.

Este posibilă o altă justificare pentru inegalități - A<-c, b<d folosind proprietățile unei funcții pătratice.

O soluție este dată, dar când trecem de la inegalități - A<-cși b<d la inegalități A 2<c 2, 4b2 <4d2 nedovedit că - A, b,-c, d pozitiv: 5 puncte.

4. 2010 zerouri sunt inserate între fiecare două cifre din 1331. Dovediți că numărul rezultat este divizibil cu 1331.

Soluţie. Să ne imaginăm numărul https://pandia.ru/text/77/496/images/image072_8.gif "width =" 386 "height =" 24 ">

https://pandia.ru/text/77/496/images/image074_8.gif "width =" 55 "height =" 35 src = "> divizibil cu 11 (divizibil cu 11), ceea ce înseamnă 100..0013 divizibil cu 113 = 1331.

Numărul este prezentat sub forma https://pandia.ru/text/77/496/images/image076_8.gif "width =" 31 "height =" 24 ">.

Soluţie.Lasa O Este centrul cercului, deoarece D AB C este izoscel, atunci BO=OC... Luați în considerare D FBOși D ECO: Ð FBO=Ð ECO= a, Bf× CE=6, BO× OC=Î.Hr. 2/4 = 6, adică Bf× CE=BO× OCÛ https://pandia.ru/text/77/496/images/image079_8.gif "width =" 103 height = 38 "height =" 38 ">. Din moment ce Ð BOF= b, l EOC= g, apoi РFOE = a. Din egalități BO= OCși urmează că. Luați în considerare D DUŞMANși D ECO: Ð DUŞMAN=Ð ECO= a și https://pandia.ru/text/77/496/images/image047_16.gif "width =" 13 height = 15 "height =" 15 "> inegalitatea este adevărată

Soluţie:Împărțiți ambele părți ale inegalității la o valoare pozitivă.Obțineți inegalitate Dacă atunci gradul este negativ și inegalitatea este adevărată..gif "lățime =" 61 "înălțime =" 19 ">: 0 puncte.

Am primit vizualizarea sau: 1 punct

Dovedit doar pentru unul dintre cazuri sau: 3 puncte.

2. Rezolvați ecuația: https://pandia.ru/text/77/496/images/image082_8.gif "height =" 20 src = ">

Răspuns: Nu există soluții.

Prima soluție: secvența https://pandia.ru/text/77/496/images/image084_7.gif "width =" 31 "height =" 21 "> .. gif" width = "13" height = "15" > nu este egal cu 0. Ecuația nu are rădăcini.

Dacă se observă că aceasta este suma unei progresii geometrice: 1 punct

Suma găsită, dar nu s-a făcut nicio concluzie: +1 punct.

Înlocuire efectuată: 1 punct.

A doua soluție: nu o soluție la ecuație. Împărțiți ambele părți ale ecuației cu și obțineți ecuația.

Rescriem termenii în următoarea ordine

https://pandia.ru/text/77/496/images/image092_6.gif "width =" 75 "height =" 21 "> .. gif" width = "84" height = "24"> care are rădăcini , Rețineți că, conform inegalității Cauchy și de aceea ambele rădăcini nu se potrivesc.