Subiect: Proprietățile logaritmilor.
Goluri: 1. Educațional: formarea capacității de a efectua transformări identice,
folosind proprietățile logaritmilor.
2. Obiective de dezvoltare: dezvoltarea gândirii independente, a abilităților
justifica decizia ta.
3. Scopuri educaţionale: să contribuie la educarea nevoii cognitive
elevilor prin crearea unei situaţii problematice.
Concepte de bază: logaritmul produsului,
logaritmul coeficientului, logaritmul gradului.
Activitate independentă a elevilor: rezolvarea problemelor pe tema „Proprietățile logaritmilor”
Întrebare fundamentală: Este posibil fără ele?
Intrebare problema:
Actualizare.(3 minute.)
Scriitorul francez Anatole France (1844-1924) a remarcat: „Învățatul nu poate fi decât distractiv. Pentru a digera cunoștințele, trebuie să le absorbi cu poftă de mâncare.
Să urmăm sfatul scriitorului: vom fi activi în lecție, atenți, vom „absorbi” cunoștințele cu mare dorință.
Sarcina este aceasta: să înveți cum să rezolvi expresii logaritmice folosind proprietățile logaritmilor.
1. Discutia nr.180(3) din casa. Sarcini
log 0,2 log 2 (2x+3)
log 0,2 log 2 (2x+3)log 0,2 5
log 2 (2x+3)log 2 32
Calculati:
a) log 1/3 1/3 c) log 1/3 1/9 e) log 1/3 9
b) log 1/3 3 d) log 1/3 1 f) log 1/3
3. Specificați domeniul de aplicare al funcției:
a) y=log 3 x c) y=log 3 |x|
b) y=log 3 (x-1) d) y=log 3 (-x)
4. Determinați natura monotonității funcției:
a) y=log 3 x b) y=log 1/3 x c) y= -log 5 x
Învățarea de materiale noi.(10 minute.)
Intrebare problema:
Cum se obțin proprietățile logaritmilor folosind proprietățile puterilor?
a x=b x=log a b
și y=c y=log a c
c=a x b y = a log a b a log a c = a log a b+ log a c
log a (bc)=log a b+log a c
În mod similar, puteți obține logaritmul coeficientului și gradului:
log a b/c= log a b - log a c
log a b p = p log a b
Trecerea la un logaritm cu o nouă bază.
log a b = x , a x = b (logaritm)
log c a x = log c b
x log c a = log c b
x= log c b / log c a
log a p b = 1 /p log a b(exponent exponent)
(Formulele intră în tabel)
| Proprietățile logaritmilor | Denumirea și formularea proprietății |
| Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor |
|
| Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor |
|
| log a b p = p log a b | Logaritmul gradului este egal cu produsul exponentului exponent pe logaritm al bazei acelui exponent |
Elevii copiază tabelul în caiete.
| Logaritmi cu același temeiuri | logaritmi cu diferite temeiuri |
| log a (bc) = log a b + log a c log a b / c = log a b - log a c log a b p =p log a b | log a b= log c b/ log c a log a p b=1/p log a b |
III. Aplicație. (20 de minute.)
Nr. 182 (1-5) (elevii analizează sarcinile pentru posibilitatea de utilizare
proprietățile logaritmilor)
log 6 2+ log 6 3
log 1/15 25 + log 1/15 9
log 3 12 – log 3 4
log 2 12+ log 0,5 3
log 3 18 + log 1/3 2
Întrebări pentru această problemă:
Bazele logaritmilor din sarcină sunt aceleași?
Cu ce parte a mesei vei lucra?
Ce formulă din tabel se va aplica?
Ce vei obține ca rezultat?
Notează calculele.
formula corespunzătoare, numiți expresiile rezultate și ea
sens.
Nr 183 (1.2) - frontal.
Știind că log 6 2=a exprimă prin expresia 1) log 6 16
Nr. 183 (3.4) - independent.
(Răspunsuri: în 3) 7.5a; în 4) -4a)
Nr 183 (5) - frontal
log 2 6= log 6 6 / log 6 2=1/a
(Elevii ar trebui să observe că acest logaritm are o bază diferită și să folosească rezultatul acestei sarcini pentru a obține o altă formulă log a b= 1/log b a)
Lucrări manuale: exemplul nr. 1.
log 2 x = 3-4log 2 + 3log 2 3
3- 4 log 2 + 3 log 2 3 = log 2 2 3 – log 2 () 4 + log 2 3 3 = log 2 2 3 3 3 /() 4 = log 2 8* 3 3 /3 2 =
Log 2 (8*3)=log 2 24
log 2 x= log 2 24, x=24
Din exemplul luat în considerare, elevii se familiarizează cu noul termen „potenciare” - găsirea unui număr folosind un logaritm cunoscut.
Nr. 185 (2) - independent
(Răspuns: a=20,25)
IV. Teme pentru acasă: Clauza 11 (Ex. 1); (1 minut.)
Nr. 181(1) - derivarea formulei pentru logaritmul coeficientului
№ 182 (3,5,7 *)
V. Rezumatul lecției: (1 minut)
Concluzie: - ce subiect a fost luat în considerare?
Care a fost sarcina din lecție?
Ce proprietăți ale logaritmilor cunoașteți?
Care este logaritmul produsului?
Care este logaritmul coeficientului?
Care este logaritmul gradului?
Evaluare cu explicație.
VI. Resurse informative:
G. K. Muravina, O. V. Muravina
Algebra și începuturile analizei.
G. K. Muravina, O. V. Muravina
Algebra și începuturile analizei. Manual 10kl. Moscova: Dropia, 2004
A. Ya. Simonov şi alţii.
Sistemul sarcinilor de pregătire și exercițiilor la matematică. Moscova: Iluminismul, 1998
v. Număr încrucișat. (tradus din engleză - număr cruce) - unul dintre tipuri
puzzle-uri cu numere.
Subiectul lecției: Logaritmii și proprietățile lor.
Scopul lecției:
- educational- să formeze conceptul de logaritm, să studieze proprietățile de bază ale logaritmilor și să promoveze formarea capacității de a aplica proprietățile logaritmilor la rezolvarea sarcinilor.
- Educational - dezvoltarea gândirii logice; tehnica de calcul; capacitatea de a lucra rațional.
- Educational - să promoveze educația de interes pentru matematică, să cultive sentimentul de autocontrol, responsabilitate.
Tipul de lecție : O lecție în studiul și consolidarea primară a noilor cunoștințe.
Echipament: computer, proiector multimedia, prezentare „Logaritmii și proprietățile lor”, fișe.
Manual: Algebra și începuturile analizei matematice, 10-11. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin și colab., Educație, 2014.
În timpul orelor:
1. Moment organizatoric:verificarea pregătirii elevilor pentru lecție.
2. Repetarea materialului acoperit.
Întrebări ale profesorului:
1) Definiți gradul. Ce este baza și exponentul? (Rădăcina a n-a a numărului dar se numește un număr a cărui putere a n-a este egală cu dar . 3 4 = 81.)
2) Formulați proprietățile gradului.
3. Învățarea unui subiect nou.
Tema lecției de astăzi este Logaritmii și proprietățile lor (deschideți caietele și notați data și subiectul).
În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de „logaritm”, vom lua în considerare și proprietățile logaritmilor.
Să punem o întrebare:
1) La ce putere trebuie ridicat 5 pentru a obține 25? Evident, al doilea. Exponentul la care trebuie să ridici numărul 5 pentru a obține 25 este 2.
2) La ce putere trebuie ridicat 3 pentru a obține 27? Evident, al treilea. Exponentul la care trebuie să ridici numărul 3 pentru a obține 27 este 3.
În toate cazurile, căutam un indicator al gradului în care ceva trebuie ridicat pentru a obține ceva. Exponentul la care trebuie ridicat ceva se numește logaritm și este notat cu log.
Numărul pe care îl ridicăm la o putere, adică baza gradului se numește baza logaritmului și se scrie în indice. Apoi se scrie numărul pe care îl primim, adică numarul pe care il cautam: log 5 25=2
Această intrare spune: „Logaritmul numărului 25 la baza 5”. Logaritmul numărului 25 la baza 5 este exponentul la care trebuie să creșteți 5 pentru a obține 25. Acest exponent este 2.
Să analizăm al doilea exemplu într-un mod similar.
Dăm definiția logaritmului.
Definiție . Logaritmul unui număr b>0 baza a>0, a ≠ 1 este exponentul la care trebuie ridicat numărul A, pentru a obține un număr b.
Logaritmul unui număr b la baza a este notat cu log a b.
Istoria logaritmului:
Logaritmii au fost introduși de matematicianul scoțian John Napier (1550-1617) și de matematicianul Jost Burgi (1552-1632).
Bürgi a ajuns la logaritmi mai devreme, dar și-a publicat tabelele cu întârziere (în 1620) și pentru prima dată în 1614. A apărut lucrarea lui Napier „Descrierea uimitoarei tabele de logaritmi”.
Din punct de vedere al practicii computaționale, invenția logaritmilor poate fi plasată în siguranță alături de alte mari invenții mai vechi - sistemul nostru de numerotare zecimală.
La o duzină de ani după apariția logaritmilor lui Napier, omul de știință englez Gunter a inventat un dispozitiv de numărare foarte popular - o regulă de calcul. Ea a ajutat astronomii și inginerii în calculele lor, a făcut posibilă obținerea rapidă a unui răspuns cu o precizie suficientă de trei cifre semnificative. Acum calculatoarele l-au înlocuit, dar nici primele computere, nici microcalculatoarele nu ar fi fost create fără o regulă de calcul.
Luați în considerare exemple:
log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2;
Log 5 1/125 =-3; log-2 (-8) - nu există; Buturuga 5 1=0; log 4 4=1
Luați în considerare aceste exemple:
10 . log a 1=0, a>0, a ≠ 1;
douăzeci . log a a=1, a>0, a ≠ 1.
Aceste două formule sunt proprietăți ale logaritmului. Ele pot fi folosite pentru a rezolva probleme.
Cum se trece de la logaritmic la exponențial? log a b=c, c – este logaritmul, exponentul la care doriți să creșteți a pentru a obține b . Prin urmare, a de gradul c este egal cu b: a c = b.
Obținem principala identitate logaritmică: a log a b = b. (Dovada este dată de profesor pe tablă).
Luați în considerare un exemplu.
5 log 5 13 =13
Să luăm în considerare câteva proprietăți mai importante ale logaritmilor.
Proprietățile logaritmilor:
3°. log a xy = log a x + log a y.
4°. log a x/y = log a x - log a y.
5°. log a x p = p log a x, pentru orice p real.
Luați în considerare un exemplu pentru verificarea a 3 proprietăți:
log 2 8 + log 2 16= log 2 8∙16= log 2 128=7
3 +4 = 7
Luați în considerare un exemplu pentru verificarea a 5 proprietăți:
3 ∙ log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9
3∙3 = 9
4. Fixare.
Exercitiul 1. Denumiți proprietatea care este utilizată la calcularea următorilor logaritmi și calculați (verbal):
- log 6 6
- log 0,5 1
- log 6 3+ log 6 2
- log 3 6 - log 3 2
- log 4 4 8
Sarcina 2.
Iata 8 exemple rezolvate, printre care sunt corecte, restul cu eroare. Determinați egalitatea corectă (numiți-i numărul), corectați erorile din restul.
- log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6
- log 5 5 3 = 2;
- log 3 45 - log 3 5 = log 3 40
- 3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)
- log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;
- 2∙log 5 6 = log 5 12
- 3∙log 2 3 = log 2 27
- log 2 16 2 = 8.
Lecție pe tema „Logaritmul, proprietățile sale”.
Chertikhina L.P.
profesor
GB POU "VPT"
„Ia cât poți și vrei,
dar nu mai puțin decât obligatoriu.
Obiectivele lecției:
să cunoască și să fie capabil să noteze definiția logaritmului, identitatea logaritmică de bază;
să fie capabil să aplice definiția logaritmului și a identității logaritmice de bază la rezolvarea exercițiilor;
familiarizează-te cu proprietățile logaritmilor;
învață să deosebești proprietățile logaritmilor prin înregistrarea lor;
învață cum să aplici proprietățile logaritmilor la rezolvarea sarcinilor;
consolidarea abilităților de calcul;
continuă să lucrezi la vorbirea matematică.
pentru a forma abilități de muncă independentă, lucru cu un manual, abilități de dobândire independentă a cunoștințelor;
dezvolta capacitatea de a evidenția principalul lucru atunci când lucrezi cu text;
să formeze independența gândirii, operații mentale: comparație, analiză, sinteză, generalizare, analogie;
arătați elevilor rolul muncii sistematice pentru aprofundarea și îmbunătățirea forței cunoștințelor, cultura îndeplinirii sarcinilor;
dezvolta creativitatea elevilor.
Tip de lecție: comunicarea noilor cunoștințe.
Timp cheltuit: 1,5 ore
Echipament:
tabelul proprietăților jurnalului
carduri de sarcini;
PC profesor, proiector multimedia;
Planul lecțieiOrganizarea timpului. 1 minut.
Stabilirea obiectivelor. 1 minut.
Verificarea materialului învățat anterior 5 min
Introducere în conceptul de logaritm.
Definiția logaritmului. 5 minute
6. Context istoric 10 min
Identitatea logaritmică de bază. 10 minute
Proprietățile de bază ale logaritmilor 10 min
Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor. 7 min.
Teme pentru acasă. 1 minut.
Aplicarea creativă a cunoștințelor, abilităților și abilităților. 25 min.
Rezumând. 5 minute.
Băieți, astăzi în lecție trebuie să testați capacitatea de a rezolva cele mai simple ecuații exponențiale, astfel încât să puteți introduce un nou concept pentru voi, apoi ne vom familiariza cu proprietățile noului concept; trebuie să înveți să deosebești aceste proprietăți scriindu-le; învață cum să aplici aceste proprietăți în rezolvarea problemelor.
Fii colectat, atent și observator. Noroc!
Verificarea materialului studiat anterior.Elevii sunt invitați să determine tema lecției prin rezolvarea de ecuații
2 x =; 3 x =; 5 x \u003d 1/125; 2 x \u003d 1 / 4;
2 x = 4; 3 x = 81; 7 x \u003d 1 / 7; 3 x = 1/81
- Denumiți noul concept cu care ne vom familiariza:
- Tema lecției noastre este „Logaritmul și proprietățile sale”. Încercați să găsiți rădăcina ecuației 2 x = 5. Putem scrie răspunsul la această ecuație folosind un nou concept. Citiți textul diapozitivului și scrieți rădăcina ecuației.
4.1. Definiţia logarithm(diapozitivele 5-7)Logaritmul unui număr pozitiv b față de baza a, unde a0, a ≠ 1, este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține numărul b.
1) log 10 100 = 2, deoarece 10 2 \u003d 100 (definiția logaritmului și proprietățile gradului),
2) log 5 5 3 = 3, deoarece 5 3 = 5 3 (…),
3) log 4 = –1, deoarece 4 -1 = (...).
În înregistrare b=at număr A este baza gradului, t- indicator, b- grad. Număr t -este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obține numărul b. Prin urmare, t este logaritmul numărului b prin rațiune A: t=log
A
b
.
Înlocuirea în egalitate t=logAb expresie b sub forma unei diplome, obținem încă o identitate:
Buturuga A A t =t .
Putem spune că formulele At=bȘi t=logAb sunt echivalente, exprimă aceeași relație între numere a, bȘi t(la a0, a1, b0). Număr t- în mod arbitrar, nu se impun restricții asupra exponentului.
Înlocuirea în egalitate At=b introducerea numărului t sub forma unui logaritm, obținem o egalitate numită identitate logaritmică de bază
:
=b
.
1) (3 2) log 3 7 = (3 log 3 7) 2 = 7 2 = 49 (puterea gradului, identitatea logaritmică de bază, definiția gradului),
2) 7 2 log 7 3 = (7 log 7 3) 2 = 3 2 = 9 (…),
3) 10 3 log 10 5 = (10 log 10 5) 3 = 5 3 = 125 (…),
4) 0,1 2 log 0,1 10 = (0,1 log 0,1 10) 2 = 10 2 = 100 (…).
Ai făcut o treabă grozavă cu exemplele. Acum calculați următoarele sarcini scrise pe tablă:
a) log 15 3 + log 15 5 = ...,
b) log 15 45 – log 15 3 = …,
c) log 4 8 =…,
d) 7 = ... .
Ce credeți că trebuie să știm pentru a efectua operații cu logaritmi?
Dacă studenții au dificultăți, atunci puneți întrebarea: „Pentru a efectua acțiuni cu grade, ce trebuie să știți?” (Răspuns: „Proprietăți ale gradului”). Revizuiți întrebarea inițială. (Proprietățile logaritmilor)
Iată un tabel cu proprietățile logaritmilor. Este necesar să se dea un nume fiecărei proprietăți și să le formuleze corect.
| Numele proprietății logaritmilor | Proprietățile logaritmilor |
|
| logaritmul unitar. | log a 1 = 0, a 0, a 1. |
|
| logaritm de bază. | log a a = 1, a 0, a 1. |
|
slide 2
Obiectivele lecției:
Educațional: revizuiți definiția logaritmului; familiarizează-te cu proprietățile logaritmilor; invata sa aplici proprietatile logaritmilor la rezolvarea exercitiilor.
slide 3
Definiţia logarithm
Logaritmul unui număr pozitiv b în baza a, unde a > 0 și a ≠ 1, este exponentul la care trebuie să ridicați numărul a pentru a obține numărul b. Identitatea logaritmică de bază alogab=b (unde a>0, a≠1, b>0)
slide 4
Istoria apariției logaritmilor
Cuvântul logaritm provine din două cuvinte grecești și este tradus ca raport de numere. Pe parcursul secolului al XVI-lea cantitatea de muncă asociată cu efectuarea de calcule aproximative în cursul rezolvării diferitelor probleme și, în primul rând, a problemelor de astronomie, care are aplicație practică directă (la determinarea poziției navelor din stele și Soare), a crescut brusc . Cele mai mari probleme au apărut la efectuarea operațiilor de înmulțire și împărțire. Încercările de simplificare parțială a acestor operațiuni prin reducerea lor la adăugare nu au avut mare succes.
slide 5
Logaritmii au intrat neobișnuit de repede în practică. Inventatorii logaritmilor nu s-au limitat la dezvoltarea unei noi teorii. A fost creat un instrument practic - tabele de logaritmi - care a crescut dramatic productivitatea calculatoarelor. Adăugăm că deja în 1623, adică. La doar 9 ani de la publicarea primelor tabele, matematicianul englez D. Gunter a inventat prima regulă de calcul, care a devenit un instrument de lucru pentru multe generații. Primele tabele de logaritmi au fost întocmite independent de matematicianul scoțian J. Napier (1550 - 1617) și de elvețianul I. Burgi (1552 - 1632). Tabelele lui Napier au inclus valorile logaritmilor sinusurilor, cosinusurilor și tangentelor pentru unghiuri de la 0 la 900 în trepte de 1 minut. Burgi și-a pregătit tabelele de logaritmi de numere, dar acestea au fost publicate în 1620, după publicarea tabelelor lui Napier și, prin urmare, au trecut neobservate. Napier John (1550-1617)
slide 6
Invenția logaritmilor, după ce a redus munca astronomului, i-a prelungit viața. PS Laplace Prin urmare, descoperirea logaritmilor, care reduce înmulțirea și împărțirea numerelor la adunarea și scăderea logaritmilor lor, a prelungit, potrivit lui Laplace, viața calculatoarelor.
Slide 7
proprietăți de grad
ax ay = ax + y = ax –y (x)y = ax y
Slide 8
Calculati:
Slide 9
Verifica:
Slide 10
PROPRIETĂȚI LOGARITMMILOR
diapozitivul 11
Aplicarea materialului studiat
a) log 153 + log 155 = log 15(3 5) = log 1515 = 1, b) log 1545 - log 153 = log 15 = log 1515 = 1 c) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6, d ) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. 93; #290,291 - 294, 296* (exemple ciudate)
slide 12
Găsiți a doua jumătate a formulei
diapozitivul 13
Verifica:
Slide 14
Tema pentru acasă: 1. Învățați proprietățile logaritmilor 2. Manual: § 16 p. 92-93; 3. Caiet de sarcini: nr. 290.291.296 (chiar exemple)
diapozitivul 15
Continuați fraza: „Azi la lecția am învățat...” „Astăzi la lecția am învățat...” „Astăzi la lecția am întâlnit...” „Astăzi la lecția am repetat...” „Astăzi în lecția pe care am reparat-o...” Lecția s-a terminat!
slide 16
Manuale și materiale didactice folosite: Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei. Nota 11: manual nivel profil / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov și alții - M.: Mnemozina, 2007. Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei. Nota 11: cartea de probleme a nivelului de profil / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov și alții - M.: Mnemozina, 2007. Literatura metodologică utilizată: Mordkovich A.G. Algebră. 10-11: ghidul profesorului. - M.: Mnemosyne, 2000 (Kaliningrad: Amber Tale, GIPP). Matematica. Supliment săptămânal la ziarul „Primul septembrie”.
Dezvoltarea metodică a unei lecții de matematică
„Logaritmii și proprietățile lor”
Scopul lecției:
educational- introducerea conceptului de logaritm, studierea proprietăților de bază ale logaritmilor și contribuția la formarea capacității de a aplica proprietățile logaritmilor la rezolvarea sarcinilor.
Educational- dezvoltarea gândirii matematice; tehnica de calcul; capacitatea de a gândi logic și de a lucra rațional; pentru a promova dezvoltarea deprinderilor de autocontrol la elevi.
Educational- sa promoveze educatia interesului pentru subiect, sa cultive sentimentul de autocontrol, responsabilitate.
Obiectivele lecției:
Să dezvolte la elevi capacitatea de a compara, compara, analiza, trage concluzii independente.
Competente cheie: capacitatea de a căuta, extrage, sistematiza, analiza și selecta în mod independent informațiile necesare pentru rezolvarea problemelor educaționale; capacitatea de a stăpâni în mod independent cunoștințele și abilitățile necesare pentru a rezolva problema.
Tipul de lecție: O lecție în studiul și consolidarea primară a noilor cunoștințe.
Echipament: computer, proiector multimedia, prezentare „Logaritmii și proprietățile lor”, fișe.
Cuvinte cheie: logaritm; proprietățile logaritmului.
Software: MS power point.
Comunicări între subiecte: istorie.
Comunicari intra-subiect: „Rădăcina gradului n-lea și proprietățile lor”.
Planul lecției
Organizarea timpului.
Repetarea materialului acoperit.
Explicația noului material.
Consolidare.
Muncă independentă.
Teme pentru acasă. Rezumând lecția.
În timpul orelor:
- Moment de organizare: verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție; raportul ofițerului .
Bună seara studenți.
Vreau să încep această lecție cu cuvintele lui A.N. Krylova: „Mai devreme sau mai târziu, fiecare idee matematică corectă își găsește aplicare în cutare sau cutare chestiune.”
Repetarea materialului acoperit.
Elevii sunt rugați să-și amintească:
Ce este gradul, baza și exponentul.
a n-a rădăcină a unui număr dar se numește un număr a cărui putere a n-a este egală cu dar. 3 4 = 81.
2) Proprietățile de bază ale gradelor.
3. Postează un subiect nou.
Acum să trecem la un subiect nou. Tema lecției de astăzi este Logaritmul și proprietățile acestuia (deschideți caietele și notați data și subiectul).
În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de „logaritm”, vom lua în considerare și proprietățile logaritmilor. Acest subiect este relevant, deoarece. logaritmul se regăsește întotdeauna pe certificarea finală la matematică.
Să punem o întrebare:
1) La ce putere trebuie ridicat 3 pentru a obține 9? Evident, al doilea. Exponentul la care trebuie să ridici numărul 3 pentru a obține 9 este 2.
2) La ce putere trebuie ridicat 2 pentru a obține 8? Evident, al doilea. Exponentul la care trebuie să ridici numărul 2 pentru a obține 8 este 3.
În toate cazurile, am căutat un indicator al gradului în care ceva trebuie ridicat pentru a obține ceva. Exponentul la care trebuie ridicat ceva se numește logaritm și este notat cu log.
Numărul pe care îl ridicăm la o putere, adică baza gradului se numește baza logaritmului și se scrie în indice. Apoi se scrie numărul pe care îl primim, adică numarul pe care il cautam: log 3 9=2
Această intrare spune: „Logaritmul numărului 9 la baza 3”. Logaritmul în baza 3 a lui 9 este exponentul la care trebuie să creșteți 3 pentru a obține 9. Acest exponent este 2.
La fel și al doilea exemplu.
Dăm definiția logaritmului.
Definiție. Logaritmul unui număr b>0 prin rațiune a>0, a ≠ 1 este exponentul la care trebuie ridicat numărulA, pentru a obține un numărb .
Logaritmul unui număr b prin rațiune A notat log A b.
Istoria logaritmului:
Logaritmii au fost introduși de matematicianul scoțian John Napier (1550-1617) și de matematicianul Jost Burgi (1552-1632).
Din punctul de vedere al practicii computaționale, inventarea logaritmilor, dacă este posibil, poate fi pusă în siguranță alături de alte, mai vechi, mari invenții ale hindușilor - sistemul nostru de numerotare zecimală.
La o duzină de ani după apariția logaritmilor lui Napier, omul de știință englez Gunter a inventat un dispozitiv de numărare foarte popular - o regulă de calcul.
Ea a ajutat astronomii și inginerii în calculele lor, a făcut posibilă obținerea rapidă a unui răspuns cu o precizie suficientă de trei cifre semnificative. Acum calculatoarele l-au înlocuit, dar fără regula de calcul nu ar fi fost construite nici primele calculatoare, nici microcalculatoarele.
Luați în considerare exemple:
log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2; log 5 1/125=-3; log -2 -8- nu există; log 5 1=0; log 4 4=1
Luați în considerare aceste exemple:
10 . log a 1=0, a>0, a ≠ 1;
douăzeci . log a a=1, a>0, a ≠ 1.
Aceste două formule sunt proprietăți ale logaritmului. Scrieți proprietățile și trebuie reținute.
În matematică, se acceptă următoarea abreviere:
Buturuga 10 a=lga este logaritmul zecimal al numărului a(litera „o” este omisă, iar baza 10 nu este pusă).
Buturuga e a=lnnatural logaritmul lui a.„e” este un astfel de număr irațional egal cu 2,7 (litera „o” este omisă, iar baza „e” nu este pusă).
Luați în considerare exemple:
log 10=1; log 1=0
log e=1; log 1=0 .
Cum se trece de la logaritmic la exponențial: Buturuga dar b\u003d s, s - este logaritmul, exponentul la care doriți să creșteți dar, A obtine b. Prin urmare, dar grad din egală b: dar din = b.
Luați în considerare cinci egalități logaritmice. Sarcina: verificarea corectitudinii acestora. Aceste exemple conțin erori. Să folosim această diagramă pentru a o testa.
lg 1 = 2 (10 2 =100)- această ecuație nu este corectă.
Buturuga 1/2 4 = 2- această ecuație nu este corectă.
Buturuga 3 1=1 - această ecuație nu este corectă.
Buturuga 1/3 9 = -2 - această egalitate este corectă.
Buturuga 4 16 = -2- această ecuație nu este corectă.
Obținem identitatea logaritmică principală: a log a b = b
Luați în considerare un exemplu.
5 Buturuga 5 13 =13
Proprietățile logaritmilor:
3°. log a xy = log a x + log a y.
4°. log a x/y = log a x - log a y.
5°. log a x p = p · log a x, pentru orice p real.
Luați în considerare un exemplu pentru verificarea a 3 proprietăți:
log 2 8 + log 2 32= log 2 8∙32= log 2 256=8
Luați în considerare un exemplu pentru verificarea a 5 proprietăți:
3∙ Buturuga 2 8= Buturuga 2 8 3 = Buturuga 2 512 =9
3∙3 = 9
Formula pentru trecerea de la o bază a unui logaritm la alta bază este:
Această formulă va fi necesară atunci când se calculează logaritmul folosind un calculator. Să luăm un exemplu: Buturuga 3 7 = lg7 / lg3. Calculatorul poate calcula doar logaritmul zecimal și natural. Introduceți numărul 7 și apăsați butonul „jurnal”, introduceți și numărul 3 și apăsați butonul „jurnal”, împărțiți valoarea superioară la cea inferioară și obțineți răspunsul.
- Consolidare.
- log 6 6
Iata 8 exemple rezolvate, printre care sunt corecte, restul cu eroare. Determinați egalitatea corectă (numiți-i numărul), corectați erorile din restul.
- log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6
log 5 5 3 = 2;
log 3 45 - log 3 5 = log 3 40
3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)
log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;
2∙log 5 6 = log 5 12
3∙log 2 3 = log 2 27
log 2 16 2 = 8.
- Verificarea ZUN - lucru independent pe carduri.
- log 4 16 log 25 125 log 8 2 log 6 6
- log 3 27 log 4 8 log 49 7 log 5 5
Rezumând. Teme pentru acasă. Notare.
