Regula adunării și scăderii fracțiilor algebrice. Adunarea fracțiilor algebrice

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale și de formare în magazinul online „Integral”
Manual pentru manualul Muravina G.K. Manual pentru manualul Makarychev Yu.N.

Ce este o fracție algebrică?

O fracție algebrică este o expresie de forma: $\frac(P)(Q)$.

Unde:
P este numărătorul unei fracții algebrice.
Q este numitorul unei fracții algebrice.

Aici sunt cateva exemple fracții algebrice:

$\frac(a)(b)$, $\frac(12)(q-p)$, $\frac(7y-4)(y)$.

Proprietățile de bază ale fracțiilor algebrice

Proprietatea 1.
Atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții pot fi înmulțiți cu același număr (fie cu un monom, fie cu un polinom). Ca rezultat, vom obține aceeași fracție, dar prezentată într-o formă diferită.

În caz contrar, această transformare se numește identic. Este folosit pentru a aduce o expresie algebrică (și nu numai) într-o formă mai simplă, iar lucrul cu această expresie va fi mai convenabil.

$\frac(a)(4b^2)=\frac(a*3b)(4b^2*3b)=\frac(3ab)(12b^3)$.

Am înmulțit atât numărătorul, cât și numitorul cu monomiul $3b$. Ca rezultat, am obținut o fracție identică cu cea inițială.

$\frac(a^2)(6b^3)=\frac(a^2*2)(6b^3*2)=\frac(2a^2)(12b^3)$.

Dacă este necesar, o fracție algebrică poate fi înmulțită cu un număr prim. În acest exemplu, am înmulțit atât numărătorul, cât și numitorul cu numărul 2. Și din nou am obținut o fracție identică cu cea inițială.

Proprietatea 2.
Atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții pot fi împărțiți la același număr (fie un monom, fie un polinom). Ca rezultat, obținem aceeași fracție, dar prezentată într-o formă diferită.

Ca și în cazul înmulțirii, se recurge la această transformare identică pentru a reprezenta o fracție în mai mult formă simplăși ușurează lucrul cu.

Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu aceiași numitori

Dacă fracțiile algebrice au aceiași numitori, se adună ca fracțiile obișnuite (se adaugă doar numărătorii, iar numitorul rămâne comun).

Regula generala:

$\frac(a)(d)+\frac(b)(d)-\frac(c)(d)=\frac(a+b-c)(d)$.

Exemplu.

Simplificați expresia:

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)$.

Decizie.

Folosim regula de adunare a fracțiilor, care este descrisă mai sus, adică adunăm numărătorii și notăm numitorul comun.

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)=\frac ((2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5))(a^2-ab)$.

Să lucrăm cu numărătorul.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.

Rezultatul este o fracție:

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)$.

Băieți, înainte de a termina soluția, verificați dacă este posibil să simplificați și mai mult rezultatul. La urma urmei, acesta este scopul transformării - pentru a simplifica expresia.
Dacă te uiți cu atenție, poți înțelege că fracția rezultată poate fi simplificată și mai mult.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)=\frac(2a(a+b))(a(a-b))=\frac(2(a+b))(a-b)=\ frac(2a+2b)(a-b)$.

Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți

Când adăugați fracții algebrice cu numitori diferiți, trebuie să acționați în același mod ca atunci când lucrați cu fracții obișnuite. Mai întâi trebuie să reduceți fracția la un numitor comun, apoi să adăugați sau să scădeți numărătorii fracțiilor, în conformitate cu regula generala pe care le-am revizuit.

Exemplu.
Calculati:

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)$.

Decizie.
Să aducem aceste fracții la un numitor comun. LA acest exemplu numitorul comun este monomul $12b^3$.
Apoi.

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)=\frac(3ab)(12b^3)+\frac(2a^2)(12b^3)=
\frac(3ab+2a^2)(12b^3)$.

Cea mai grea parte este găsirea numitorului comun pentru fracții. În unele cazuri, acest lucru nu este sarcină simplă.
Când găsiți un numitor comun, puteți urma regulile:
1. Dacă ambii numitori sunt monomii fără paranteze, atunci este mai bine să alegeți mai întâi un numitor comun pentru număr și apoi pentru variabilă. În exemplul nostru, numărul este 12 și variabila este $b^3$.
2. Dacă numitorul este o expresie mai complexă, de exemplu, $x + 1$, $x + y$ și altele asemenea, atunci este mai bine să alegeți numitorul sub forma unui produs al numitorilor, de exemplu, $ (x + y) (x - y) $. Un astfel de numitor este divizibil atât cu $x + y$ cât și cu $x - y$.

Tine minte!
Pentru două fracții algebrice cu numitori comuni, puteți alege câte doriți. Dar pentru a simplifica calculele, trebuie să alegeți cel mai simplu posibil.

formează capacitatea de a efectua acțiuni (adunare și scădere) cu fracții algebrice cu numitori diferiți, pe baza regulii adunării și scăderii fracții obișnuite cu numitori diferiți;

repetați și consolidați adunarea și scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.

Echipament: Material demonstrativ.

Sarcini pentru actualizarea cunoștințelor:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) Algoritm de adunare și scădere a fracțiilor obișnuite cu numitori diferiți.

Pentru a adăuga sau scădea fracții comune cu numitori diferiți:

1. Convertiți aceste fracții la cel mai mic numitor comun.
2. Adăugați sau scădeți fracțiile rezultate.

2) Algoritm pentru reducerea fracțiilor algebrice la un numitor comun.

1. Să găsim factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții: aceștia vor fi produsele acelor factori care se află la numitorul comun (noul), dar care nu sunt la numitorul vechi.

3) Standarde pentru munca independentă cu autotest:

3) Card pentru etapa de reflecție.

1. Acest subiect este clar pentru mine.
2. Știu cum să găsesc factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții.
3. Pot găsi noi numărători pentru fiecare dintre fracții.
4. În munca independentă, am reușit.
5. Am putut înțelege motivul greșelii pe care am făcut-o în munca mea independentă.
6. Sunt mulțumit de munca mea la clasă.

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Autodeterminare la activitate.

Obiectivele etapei:

1. Includerea elevilor în activități de învățare: continuarea călătoriei prin țară „Expresii algebrice”.
2. Determinarea conținutului lecției: continuarea lucrului cu fracții algebrice.

Organizare proces educațional la pasul 1:

Buna dimineata baieti! Continuăm călătoria noastră fascinantă prin țară „Expresii algebrice”.

Ce „locuitori” ai țării am întâlnit în lecțiile anterioare? (Cu expresii algebrice.)

Ce putem face cu expresiile algebrice familiare? (Adunare si scadere.)

Care caracteristică proeminentă fracții algebrice pe care deja știm să le adunăm și să scădem? (Adunăm și scădem fracții care au același numitor.)

Dreapta. Dar înțelegem bine împreună că abilitățile de a efectua acțiuni cu fracții algebrice care au aceiași numitori nu sunt suficiente. Ce altceva crezi că trebuie să învățăm să facem? (Efectuați acțiuni cu fracții care au numitori diferiți.)

Bine făcut! Să ne continuăm călătoria atunci? (Da!)

2. Actualizarea cunoștințelor și fixarea dificultăților în activități.

Obiectivele etapei:

1. Actualizați cunoștințele despre efectuarea de acțiuni cu fracții cu aceiași numitori, metode de calcul oral.
2. Remediați dificultatea.

Organizarea procesului educațional la etapa 2:

Există mai multe exemple pe tablă pentru a efectua acțiuni cu fracții:

5) -=-==.

Elevii sunt încurajați să își exprime soluțiile într-un discurs puternic.

În primul exemplu, băieții dau cu ușurință răspunsul corect, amintindu-și algoritmul pentru efectuarea acțiunilor cu fracții algebrice care au aceiași numitori.

Când comentariul la exemplul #2 a fost deja făcut, profesorul se concentrează pe exemplul #2:

Băieți, uitați ce avem interesant în exemplul numărul 2? (Nu numai că am efectuat acțiuni cu fracții algebrice care au aceiași numitori, dar am efectuat și reducerea fracției algebrice rezultate: am scos semnul minus din paranteze, am obținut aceiași factori în numărător și numitor, prin care am ulterior a redus rezultatul.)

Este foarte bine că nu ați uitat că proprietatea de bază a unei fracții este aplicabilă nu numai fracțiilor obișnuite, ci și fracțiilor algebrice!

Cine va comenta soluția următoarelor trei exemple pentru toată lumea?

Cel mai probabil, va exista un student care poate rezolva cu ușurință exemplul numărul 3.

Ce ai folosit când ai rezolvat exemplul numărul 3? (M-a ajutat algoritmul de adunare și scădere a fracțiilor obișnuite cu diferiți numitori.)

Cum te-ai comportat mai exact? (Am redus fracțiile algebrice la cel mai mic numitor comun de 15 și apoi le-am adăugat.)

Minunat! Și cum ne descurcăm cu ultimele două exemple?

Când vine vorba de următoarele două exemple, băieții (fiecare pentru ei înșiși) remediază dificultatea care a apărut.

Cuvintele elevilor sunt cam așa:

Mi se pare greu să completez exemplele 4-5, pentru că înaintea mea sunt fracții algebrice, nu cu „aceiași” numitori, iar acești numitori diferiți includ variabile (nr. 4), iar în nr. 5 există expresii literale în numitori în general!..."

Răspunsurile la sarcinile 4-5 nu au fost primite.

3. Identificarea locului și cauzelor dificultăților și stabilirea scopului activității.

Obiectivele etapei:

1. Fix trăsătură distinctivă sarcini care au cauzat dificultăți în activitățile de învățare.
2. Precizați scopul și tema lecției.

Organizarea procesului educațional la etapa 3:

Baieti? Unde a apărut dificultatea? (În exemplele 4-5.)

De ce, atunci când le rezolvi, nu ești pregătit să discuti soluția și să dai un răspuns? (Deoarece fracțiile algebrice propuse în aceste sarcini au numitori diferiți și suntem familiarizați cu algoritmul de efectuare a operațiilor cu fracții algebrice care au aceiași numitori.

Ce altceva trebuie să putem face? (Trebuie să învățați cum să adăugați și să scădeți fracții cu numitori diferiți.)

Sunt de acord cu tine. Cum putem formula subiectul lecției noastre de astăzi? (Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți.)

Tema lecției este scrisă în caiete.

4. Construirea unui proiect pentru a ieși din dificultate.

Scopul etapei:

1. Copiii construiesc un nou mod de a face lucrurile.
2. Fixarea algoritmului de reducere a fracțiilor algebrice la un numitor comun.

Organizarea procesului educațional la etapa 4:

Care este scopul lecției noastre de astăzi? (Învățați să adăugați și să scădeți fracții algebrice cu diferiți numitori.)

Cum să fii? (Pentru aceasta, trebuie să construim un algoritm munca in continuare cu fracții algebrice.)

Ce trebuie să găsim pentru a atinge scopul lecției? (Un algoritm pentru reducerea fracțiilor algebrice la un numitor comun, astfel încât ulterior să putem lucra după regula obișnuită de adunare și scădere a fracțiilor cu aceiași numitori.)

Lucrarea poate fi organizată pe grupe, fiecărei grupe i se dă o foaie de hârtie și un marker. Elevii pot oferi propriile variante ale algoritmului sub forma unei liste de pași. Ai 5 minute de lucru. Grupurile își postează opțiunile pentru un algoritm sau o regulă, apoi fiecare opțiune este analizată.

Cel mai probabil, unul dintre elevi va face cu siguranță o analogie a algoritmului lor cu algoritmul de adunare și scădere a fracțiilor obișnuite cu diferiți numitori: mai întâi, aduc fracțiile la un numitor comun folosind factorii suplimentari corespunzători, apoi adună și scăde fracții rezultate cu aceiași numitori.

Ulterior, o singură variantă este derivată din aceasta. Poate fi asa:

1. Descompunem toți numitorii în factori.
2. De la primul numitor scriem produsul tuturor factorilor săi, de la numitorii rămași atribuim factorii lipsă acestui produs. Produsul rezultat va fi numitorul comun (nou).
3. Să găsim factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții: acestea vor fi produsele acelor factori care sunt în noul numitor, dar care nu sunt în vechiul numitor.
4. Să găsim un numărător nou pentru fiecare fracție: acesta va fi produsul dintre vechiul numărător și un factor suplimentar.
5. Să scriem fiecare fracție cu un numărător nou și un numitor comun (nou).

Ei bine, să aplicăm regula noastră pentru a finaliza sarcinile propuse nerezolvate. Fiecare sarcină (4, 5) este rostită pe rând de unii elevi ai clasei, profesorul fixează soluția pe tablă.

Suntem pur și simplu genii! Am construit un algoritm pentru adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu diferiți numitori. Prin eforturi comune, am eliminat dificultatea, întrucât avem acum un adevărat „ghid” (algoritm) în țara necunoscută nouă „Fracțiuni algebrice”!

5. Consolidarea primară în vorbirea externă.

Scopul etapei:

1. Antrenați capacitatea de a aduce fracțiile algebrice la un numitor comun.
2. Organizați pronunția conținutului studiat al regulii-algoritm în vorbirea externă.

Organizarea procesului educațional la etapa 5:

Băieți, dar știm cu toții bine că doar a căuta și a cunoaște „harta zonei” nu este o călătorie. Ce ar trebui să facem pentru a pătrunde mai adânc și mai mult în lumea fracțiilor algebrice? (Trebuie să rezolvăm exemple și, în general, să exersăm rezolvarea exemplelor, pentru a consolida noul nostru algoritm.)

Destul de bine. Prin urmare, îmi propun să începem studiul nostru.

Elevul pronunță verbal planul deciziei sale, profesorul corectează dacă sunt făcute unele inexactități.

Aproximativ suna asa:

Trebuie să alegem un număr care va fi împărțit în același timp la 2 și 5. Acesta este numărul 10. Apoi selectăm variabilele în gradul de care avem nevoie. Deci noul nostru numitor va fi 10xy. Selectăm multiplicatori suplimentari. Pentru prima fracție: 5y, pentru a doua: 2x. Înmulțim factorii suplimentari selectați cu fiecare numărător vechi. Obținem fracții algebrice cu aceiași numitori, efectuăm scăderea conform regulii deja cunoscute nouă.

Sunt multumit. Și acum echipa noastră mare se va împărți în perechi și ne vom continua drumul interesant.

Nr. 133 (a, d). Elevii lucrează în perechi, spunându-și unul altuia soluția:

a) +=+= =;

d) +=+= =.

6. Lucru independent cu autotest.

Obiectivele etapei:

1. Petrece muncă independentă.
2. Efectuați un autotest în raport cu standardul de autotest pregătit.
3. Elevii vor înregistra dificultățile, vor identifica cauzele erorilor și vor corecta erorile.

Organizarea procesului educațional la etapa 6:

Am observat cu atenție munca dvs. și am ajuns la concluzia că fiecare dintre voi este deja pregătit să se gândească în mod independent la modalități și să găsească soluții la exemple pe tema noastră de astăzi. Prin urmare, vă ofer o mică lucrare independentă, după care vi se va oferi un standard cu soluția și răspunsul corect.

Nr. 134 (a, b): efectuați lucrări la opțiuni.

După finalizarea lucrărilor, se efectuează o verificare standard. Când verifică soluțiile, elevii marchează „+” soluția corectă, „?” nu este decizia corectă. Este de dorit ca elevii care greșesc să explice motivul pentru care au făcut sarcina incorect.

Erorile sunt analizate și corectate.

Deci, ce dificultăți ați întâlnit în drum? (Am făcut o greșeală când am deschis parantezele care sunt precedate de semnul minus.)

Care este motivul pentru aceasta? (Pur și simplu din cauza neatenției, dar pe viitor voi fi mai atent!)

Ce altceva părea dificil? (Mi-a fost greu să găsesc factori suplimentari pentru fracții?)

Cu siguranță ar trebui să studiați pasul 3 al algoritmului mai detaliat, astfel încât o astfel de problemă să nu apară în viitor!

Au existat alte dificultăți? (Și pur și simplu nu am adus termeni similari).

Și o vom repara. Când ați făcut tot ce este posibil conform noului algoritm, trebuie să vă amintiți mult timp materialul studiat. În special, reducerea unor termeni similari, sau reducerea fracțiilor etc.

7. Includerea noilor cunoștințe în sistemul de cunoștințe.

Scopul etapei: repetarea și consolidarea algoritmului de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu numitori diferiți studiat în lecție.

8. Reflecția lecției.

Scopul etapei: fixarea noului conținut, evaluarea propriilor activități.

Organizarea procesului educațional la etapa 8:

Care a fost scopul nostru la începutul lecției? (Aflați cum să adăugați și să scădeți fracții cu numitori diferiți.)

Cu ce ​​am venit pentru a atinge scopul? (Un algoritm pentru adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu diferiți numitori.)

Ce altceva am folosit? (Am factorizat numitorii, am selectat LCM-uri pentru coeficienți și factori suplimentari pentru numărători.)

Acum ia un pix colorat sau un pix și marchează cu un semn „+” acele afirmații cu adevărul cărora ești de acord:

Fiecare elev are o fișă cu fraze. Copiii notează și arată profesorului.

Bine făcut!

Teme pentru acasă: paragraful 4 (manual); Nr. 126, 127 (caietul de sarcini).

Lecția video „Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți” este ajutor vizual, cu ajutorul căruia se oferă material teoretic, sunt explicați în detaliu algoritmii și caracteristicile efectuării operațiilor de scădere, adunare a fracțiilor cu diferiți numitori. Cu ajutorul manualului, profesorului îi este mai ușor să-și formeze capacitatea elevilor de a efectua operații cu fracții algebrice. În timpul tutorialului video, sunt luate în considerare o serie de exemple, a căror soluție este descrisă în detaliu, acordând atenție detaliilor importante.

Utilizarea unei lecții video într-o lecție de matematică îi permite profesorului să atingă mai rapid obiectivele de învățare și să sporească eficacitatea învățării. Vizibilitatea demonstrației îi ajută pe elevi să-și amintească materialul, să-l stăpânească mai profund, astfel încât videoclipul poate fi folosit pentru a însoți explicația profesorului. Dacă acest videoclip este folosit ca parte a lecției, atunci timpul profesorului este eliberat pentru întărire munca individualași utilizarea altor instrumente de învățare pentru a îmbunătăți eficiența învățării.

Demo-ul începe prin introducerea subiectului tutorialului video. Se observă că efectuarea operațiilor de scădere, adunare a fracțiilor algebrice este similară cu efectuarea operațiilor cu fracții obișnuite. Se reamintește mecanismul de scădere, adunare pentru fracțiile obișnuite - fracțiile sunt reduse la un numitor comun, după care operațiile în sine sunt efectuate direct.

Algoritmul de scădere, adunare a fracțiilor algebrice este exprimat și descris pe ecran. Constă în două etape - reducerea fracțiilor la aceiași numitori și apoi efectuarea adunării (sau scăderii) fracțiilor cu numitori egali. Aplicarea algoritmului este luată în considerare pe exemplul de găsire a valorilor expresiilor a/4b 2 -a 2 /6b 3 , precum și x/(x+y)-x/(x-y). Se observă că pentru a rezolva primul exemplu, este necesar să aducem ambele fracții la același numitor. Acest numitor va fi 12b 3 . Aducerea acestor fracții la numitorul 12b 3 a fost discutată în detaliu în ultimul tutorial video. Prin transformare rezultă două fracții cu numitori egali 3ab/12b 3 și 2a 2 /12b 3 . Aceste fracții se adună conform regulii de adunare a fracțiilor cu numitori egali. După adăugarea numărătorilor fracțiilor, rezultă fracția (3ab+2a 2)/12b 3 . În continuare se descrie soluția exemplului x/(x+y)-x/(x-y). După reducerea fracțiilor la același numitor se obțin fracțiile (x 2 -xy) / (x 2 -y 2) și (x 2 + xy) / (x 2 -y 2). Conform regulii de scădere a fracțiilor cu numitori egali, efectuăm o operație cu numărători, după care obținem o fracție -2xy / (x 2 -y 2).

Se observă că cel mai dificil pas în rezolvarea problemelor de adunare, scădere a fracțiilor cu numitori diferiți este reducerea lor la un numitor comun. Sunt oferite sfaturi despre cum să vă dezvoltați cu ușurință abilitățile în rezolvarea acestor probleme. Înțelegeți numitorul comun al unei fracții. Constă dintr-un coeficient numeric cu o variabilă ridicată la o putere. Se poate observa că expresia poate fi împărțită la numitorii primei și celei de-a doua fracții. În acest caz, coeficientul numeric 12 este cel mai mic multiplu comun al coeficienților numerici ai fracțiilor 4 și 6. Iar variabila b conține ambii numitori 4b 2 și 6b 3 . În acest caz, numitorul comun conține variabila în cea mai mare măsură dintre numitorii fracțiilor originale. De asemenea, se ia în considerare găsirea unui numitor comun pentru x/(x+y) și x/(x-y). Se observă că numitorul comun (x+y)(x-y) se împarte la fiecare numitor. Deci, soluția problemei se rezumă la găsirea celui mai mic multiplu comun al coeficienților numerici disponibili, precum și la găsirea celui mai mare exponent pentru o variabilă literă care apare de mai multe ori. Apoi, după colectarea acestor părți într-un produs comun, se obține un numitor comun.

Un algoritm pentru găsirea unui numitor comun pentru mai multe fracții este exprimat și formulat pe ecran. Acest algoritm este format din patru etape, în prima dintre care numitorii sunt factorizați. La a doua etapă a algoritmului se găsește cel mai mic multiplu comun al datelor disponibile ale coeficienților incluși în numitorii fracțiilor. În a treia etapă, se întocmește un produs, care include factorii literali ai expansiunilor numitorilor, în timp ce indicatorul literal prezent în mai mulți numitori este ales în cea mai mare măsură. La a patra etapă, factorii numerici și alfabetici găsiți în etapele anterioare sunt colectați într-un singur produs. Acesta va fi numitorul comun. Se face o observație la algoritmul considerat. În exemplul găsirii numitorului comun al fracțiilor a / 4b 2 și a 2 / 6b 3, se observă că pe lângă 12b 3 există și alți numitori 24b 3 și 48a 2 b 3 . Și pentru fiecare set de fracții, există mulți numitori comuni. Cu toate acestea, numitorul 12b 3 este cel mai simplu și mai convenabil, așa că este numit și cel mai mic numitor comun al fracțiilor originale. Factorii suplimentari sunt rezultatul numitorului comun parțial și al numitorului inițial al fracției. Demonstrat în detaliu prin animație, modul în care numărătorul, numitorul fracțiilor este înmulțit cu un factor suplimentar.

În plus, se propune să se ia în considerare algoritmul de reducere a fracțiilor algebrice la un numitor comun într-o formă mai simplă, astfel încât să fie mai ușor de înțeles pentru elevi. De asemenea, constă din patru pași, primul dintre care este factorizarea numitorilor. Apoi se propune să se scrie toți factorii de la primul numitor, pentru a completa produsul cu factorii lipsă de la numitorii rămași. Astfel, se găsește un numitor comun. Se găsesc factori suplimentari pentru fiecare fracție din acei factori ai numitorului care nu s-au încadrat în numitorul comun. Al patrulea pas este determinarea pentru fiecare fracție a unui numărător nou, care este produsul dintre vechiul numărător și un factor suplimentar. Apoi fiecare fracție se scrie cu un numărător și un numitor nou.

Următorul exemplu descrie o simplificare a expresiei 3a/(4a 2 -1)-(a+1)/(2a 2 +a). În prima etapă a soluției, numitorii fiecărei fracții sunt descompuși în factori. Pentru produse, factorul comun este (2a + 1). Completând produsul cu factorii rămași (2a-1) și a, se obține un numitor comun de forma a (2a-1) (2a + 1). în construcție masa auxiliara, care indică numitorul comun, numitorii, factorii suplimentari. În a doua etapă a soluției, fiecare numărător este înmulțit cu un factor suplimentar, se efectuează scăderea. Rezultatul este o fracție (a 2 -a + 1) / a (2a-1) (2a + 1).

Exemplul 3 are în vedere o simplificare a expresiei b/(2a 4 +4a 3 b+2a 2 b 2)-1/(3ab 2 -3a 3)+b/(6a 4 -6a 3 b). Soluția este analizată și în etape, se atrage atenția asupra trăsăturilor esențiale ale operațiilor, se descriu în detaliu reducerea fracțiilor la un numitor comun, efectuarea operațiilor cu numărătorul. În urma calculelor și după transformare se obține o fracție (2a 3 +6a 2 b-ab 2 +b 3)/6a 3 (a-b)(a+b) 2 .

Lecția video „Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu diferiți numitori” poate servi ca mijloc de creștere a eficienței unei lecții de matematică pe această temă. Manualul va fi util profesorului care învățământ la distanță, pentru vizualizare material educativ. Pentru studenți, o lecție video poate fi recomandată pentru auto-studiu, deoarece explică în detaliu și clar caracteristicile efectuării operațiilor studiate.

Tema lecției: Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice.

Obiectivele lecției:

Tutoriale:

1. revizuiți regulile de adunare și scădere a fracțiilor cu același numitor
2. introduceți reguli de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu aceiași numitori;
3. pentru a forma capacitatea de a efectua adunarea și scăderea cu fracții algebrice.

În curs de dezvoltare:

1. dezvolta gândirea, atenția, memoria, capacitatea de a analiza, compara, compara;
2. extinderea orizontului elevilor;

1. completarea vocabularului;

Educational:

1. a menționa interes cognitiv la subiect.
2. Cultivați o cultură a muncii intelectuale

Echipament:

1. carduri - sarcini de testare;
2. un calculator;
3. proiector;
4. ecran;
5. prezentarea lecției

Motto:

Nu poți învăța matematica privindu-ți vecinul făcând asta!

Slide 2.

Planul lecției.

1. Raportarea scopului și temei lecției (2 min);
2. Actualizați cunostinte de bazași aptitudinile elevilor (4 min);
3. Lucrare orală (5 min);
4. Învățarea de materiale noi (8 min);
5. Educație fizică (2 min);
6. Consolidarea materialului nou (10 min);
7. Test cu variante multiple (10 min);
8. Rezultatul lecției, concluzii (2 min);
9. Teme pentru acasă. (2 minute).

Slide 3.

În timpul orelor.

I. Moment organizatoric:

1) mesajul temei lecției;

2) comunicarea scopurilor și obiectivelor lecției.

II. Actualizare de cunoștințe:

Ce este o fracție algebrică? Dă exemple.

Ce înseamnă reducerea unei fracții algebrice?

Cum se aduce fracțiile algebrice la un numitor comun?

slide 4.

III. Lucrare orala:

1. Citiți fracții:
2. Găsiți o expresie care este redundantă a) (a + c) 2; b) ; în); G).
3. Restaurați înregistrările parțial șterse: pentru a reduce la un numitor comun

Slide 5.

1. gaseste greseala

slide 6.

1. Pentru fiecare fracție, găsiți fracția egală cu aceasta, folosind numărul de corespondență - litera:

1) ; 2) 3) .

A) b); în) .

slide 7.8

IV. Învățarea de materiale noi.
1) Repetați regulile de adunare și scădere a fracțiilor numerice cu aceiași numitori. Apoi rezolvați verbal următoarele exemple:

2) Amintiți-vă regulile de adunare și scădere a polinoamelor și scrieți următoarele exerciții pe tablă:

3) Elevii ar trebui să sugereze reguli pentru realizarea următoarelor exemple scrise pe tablă:

Se discută soluția exemplelor. Dacă elevii nu se pot descurca singuri, explică profesorul.

slide 9.

Regulile de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu aceiași numitori sunt scrise într-un caiet.
, .

slide 10.

V. Educație fizică pentru ochi

Exercițiul 1. Efectuați 15 mișcări oscilatorii ale ochilor pe orizontală de la dreapta la stânga, apoi de la stânga la dreapta.

Exercițiul 2. Efectuați 15 mișcări oscilatorii ale ochilor vertical în sus - în jos și în jos - în sus.

Exercițiul 3. Tot 15, dar circular mișcări de rotație ochii de la stânga la dreapta.

Exercițiul 4. La fel, dar de la dreapta la stânga.

Exercițiul 5. Faceți 15 mișcări circulare de rotație cu ochii, mai întâi spre dreapta, apoi spre partea stanga, ca și cum ar fi desenat o figură opt întinsă pe o parte cu ochii.

VI. Consolidarea materialului nou.
1) Lucrul frontal.

1) Rezolvați sarcini

№ 462 (1,3)

2) Adăugați fracții:

3) Scăderea fracțiilor:

4) Efectuați acțiuni.

Slide 11.

2) Munca individuală.
Patru elevi efectuează lucrări independente pe tablă, propuse pe fișe.

Cardul 1.

Cardul 2.

Cardul 3.

Cardul 4.

Restul în caiete: Efectuați adunarea și scăderea fracțiilor:
A) b)
în)

VII. Efectuarea muncii în grup și analiza rezultatelor.

Fiecare grup primește sarcini de testare, după finalizarea cărora primesc un cuvânt - numele unui matematician celebru.

	Exercițiu	Posibil răspuns	Scrisoare
		x + 10

	Exercițiu	Posibil răspuns	Scrisoare

	Exercițiu	Posibil răspuns	Scrisoare

	Exercițiu	Posibil răspuns	Scrisoare

Tabel de răspunsuri:

numărul locului de muncă
Scrisoare

Verificați calitatea lucrării.

Ai primit numele unui matematician celebru din scrisorile primite?

Dacă ai răspuns corect la toate întrebările, ai primit un rating „EXCELENT”!!!

Dacă ai greșit într-un singur pas - nu e rău, dar probabil că omul de știință ar fi jignit. Ai fost evaluat „BUN”!

Dacă ai greșit în doi pași, atunci nu ai ascultat bine profesorul la lecție și va trebui să citești subiectul din manualul de algebră. Ai fost evaluat „SATISFACTOR”.

Dacă ai greșit în mai mult de doi pași, atunci nu l-ai ascultat deloc pe profesor în lecție și va trebui să citești cu mare atenție manualul de algebră. Ai fost evaluat „NESATISFACTOR”.

Slide 13-17.

Când timpul este disponibil, sarcinile sunt rezolvate:
1. Demonstrați că expresia
pentru toate valorile lui a2 ia valori pozitive.
2. Prezentați o fracție ca sumă sau diferență a unei expresii întregi și a unei fracții:
A); b) c)

3. Știind că, găsiți valoarea fracției:
A); b) c)

VIII. Rezumând.

eu X. Teme:Citiți materialul manual p.26, aflați regulile acestui paragraf. Rezolvarea problemelor nr. 462(2,4); faceți 5 exemple de adunare și scădere a fracțiilor algebrice; găsiți informații despre matematicienii ale căror nume le-am auzit astăzi.

Cum se efectuează adăugarea fracțiilor algebrice (raționale)?

Pentru a adăuga fracții algebrice, aveți nevoie de:

1) Aflați cea mai mică dintre aceste fracții.

2) Găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție (pentru aceasta trebuie să împărțiți noul numitor la cel vechi).

3) Înmulțiți factorul suplimentar cu numărătorul și numitorul.

4) Efectuați adunarea fracțiilor cu aceiași numitori

(Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul același).

Exemple de adunare de fracții algebrice.

Cel mai mic numitor comun este suma tuturor factorilor luați la cea mai mare putere. LA acest caz este egal cu ab.

Pentru a găsi un factor suplimentar pentru fiecare fracție, împărțim noul numitor la cel vechi. ab:a=b, ab:(ab)=1.

Numătorul are un factor comun a. O scoatem din paranteză și reducem fracția cu a:

Numitorii acestor fracții sunt polinoame, așa că trebuie încercați. În numitorul primei fracții există un factor comun x, în a doua - 5. Le scoatem din paranteze:

Numitorul comun este format din toți factorii incluși în numitor și este egal cu 5x(x-5).

Pentru a găsi un factor suplimentar pentru fiecare fracție, împărțim noul numitor la cel vechi.

(Dacă nu vă place împărțirea, o puteți face diferit. Raționăm astfel: de ce aveți nevoie pentru a înmulți vechiul numitor pentru a obține unul nou? Pentru a obține 5x(x-5) din x (x-5) ), trebuie să înmulțiți prima expresie cu 5. Pentru a obține de la 5 (x-5) pentru a obține 5x(x-5), trebuie să înmulțiți prima expresie cu x. Astfel, factorul suplimentar la prima fracție este 5, la al doilea - x).

Numătorul este pătratul complet al diferenței. O prăbușim conform formulei și reducem fracția cu (x-5):

Numitorul primei fracții este un polinom. Nu ia în calcul factori, astfel încât numitorul comun al acestor fracții este egal cu produsul numitorilor m (m + 3):

Polinoame în numitorii fracțiilor,. Scoatem factorul comun x din numitorul primei fracții și 2 din numitorul celei de-a doua fracții:

Numitorul primei fracții dintre paranteze este diferența de pătrate.