Metoda de spațiere- aceasta mod universal soluții la aproape orice inegalități care apar în curs şcolar algebră. Se bazează pe următoarele proprietăți ale funcțiilor:

1. Funcția continuă g(x) poate schimba semnul doar în punctul în care este egală cu 0. Grafic, aceasta înseamnă că graficul unei funcții continue se poate muta dintr-un semiplan în altul numai dacă traversează x- axa (ne amintim că ordonata oricărui punct situat pe axa OX (axa absciselor) este egală cu zero, adică valoarea funcției în acest punct este 0):

Vedem că funcția y=g(x) prezentată pe grafic traversează axa OX în punctele x= -8, x=-2, x=4, x=8. Aceste puncte se numesc zerouri ale funcției. Și în aceleași puncte funcția g(x) își schimbă semnul.

2. Funcția poate schimba și semnul în zerouri al numitorului - cel mai simplu exemplu caracteristică binecunoscută:

Vedem că funcția își schimbă semnul la rădăcina numitorului, în punctul , dar nu dispare în niciun punct. Astfel, dacă funcția conține o fracție, poate schimba semnul din rădăcinile numitorului.

2. Cu toate acestea, funcția nu își schimbă întotdeauna semnul la rădăcina numărătorului sau la rădăcina numitorului. De exemplu, funcția y=x 2 nu își schimbă semnul în punctul x=0:

pentru că ecuația x 2 \u003d 0 are două rădăcini egale x \u003d 0, în punctul x \u003d 0, funcția, așa cum ar fi, se transformă de două ori la 0. O astfel de rădăcină se numește rădăcina celei de-a doua multiplicități.

Funcţie schimbă semnul la zero al numărătorului, dar nu schimbă semnul la zero al numitorului: , întrucât rădăcina este rădăcina celei de-a doua multiplicități, adică a multiplicității pare:

Important! La rădăcinile multiplicității chiar, funcția nu își schimbă semnul.

Notă! Orice neliniară inegalitatea cursului școlar de algebră, de regulă, se rezolvă folosind metoda intervalelor.

Va ofer unul detaliat, in urma caruia puteti evita greselile cand rezolvarea inegalităților neliniare.

1. Mai întâi trebuie să aduceți inegalitatea în formă

P(x)V0,

unde V este semnul de inegalitate:<,>,≤ sau ≥. Pentru asta ai nevoie de:

a) mutați toți termenii în partea stângă a inegalității,

b) găsiți rădăcinile expresiei rezultate,

c) factorizați partea stângă a inegalității

d) scrieți aceiași factori ca o diplomă.

Atenţie! Ultima acțiune trebuie făcută pentru a nu greși cu multiplicitatea rădăcinilor - dacă rezultatul este un factor în chiar gradul, deci rădăcina corespunzătoare are multiplicitate pară.

2. Pune rădăcinile găsite pe dreapta numerică.

3. Dacă inegalitatea este strictă, atunci cercurile care denotă rădăcinile pe axa numerică sunt lăsate „goale”, dacă inegalitatea nu este strictă, atunci cercurile sunt pictate peste.

4. Selectăm rădăcinile multiplicității chiar - în ele P(x) semnul nu se schimba.

5. Determinați semnul P(x) pe partea dreaptă a golului. Pentru a face acest lucru, luați o valoare arbitrară x 0, care este mai mare decât cea mai mare rădăcină și înlocuiți în P(x).

Dacă P(x 0)>0 (sau ≥0), atunci în intervalul din dreapta punem semnul „+”.

Dacă P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

La trecerea printr-un punct care desemnează o rădăcină de multiplicitate pară, semnul NU SE schimbă.

7. Încă o dată ne uităm la semnul inegalității originale și selectăm intervalele semnului de care avem nevoie.

8. Atentie! Dacă inegalitatea noastră NU este STRICTĂ, atunci verificăm separat condiția egalității la zero.

9. Notează răspunsul.

Dacă originalul inegalitatea conține o necunoscută în numitor, apoi transferăm și toți termenii la stânga și reducem partea stângă a inegalității la forma

(unde V este semnul de inegalitate:< или >)

O inegalitate strictă de acest fel este echivalentă cu inegalitatea

NU strict o inegalitate a formei

echivalează cu sistem:

În practică, dacă funcția are forma , atunci procedăm după cum urmează:

1. Aflați rădăcinile numărătorului și numitorului.
2. Le punem pe ax. Toate cercurile sunt lăsate goale. Apoi, dacă inegalitatea nu este strictă, atunci pictăm peste rădăcinile numărătorului și lăsăm întotdeauna goale rădăcinile numitorului.
3. În continuare, urmăm algoritmul general:
4. Selectăm rădăcinile multiplicității par (dacă numărătorul și numitorul conțin aceleași rădăcini, atunci numărăm de câte ori apar aceleași rădăcini). Nu există nicio schimbare de semn în rădăcinile multiplicității chiar.
5. Aflăm semnul în intervalul din dreapta.
6. Am pus semne.
7. În cazul unei inegalități nestricte, condiția de egalitate, condiția de egalitate la zero, se verifică separat.
8. Selectăm intervalele necesare și separat rădăcinile în picioare.
9. Scriem răspunsul.

Pentru a înțelege mai bine algoritm de rezolvare a inegalităților prin metoda intervalului, urmăriți LECȚIA VIDEO în care exemplul este analizat în detaliu rezolvarea inegalității prin metoda intervalelor.

Metoda de spațiere este un algoritm special conceput pentru a rezolva inegalitățile complexe de forma f(x) > 0. Algoritmul constă din 5 pași:

1. Rezolvați ecuația f(x) = 0. Astfel, în loc de o inegalitate, obținem o ecuație care este mult mai ușor de rezolvat;
2. Marcați toate rădăcinile obținute pe linia de coordonate. Astfel, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale;
3. Aflați multiplicitatea rădăcinilor. Dacă rădăcinile sunt de multiplicitate uniformă, atunci desenăm o buclă peste rădăcină. (Rădăcina este considerată multiplu dacă există un număr par de soluții identice)
4. Aflați semnul (plus sau minus) al funcției f(x) în intervalul din dreapta. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți în f (x) orice număr care va fi în dreapta tuturor rădăcinilor marcate;
5. Marcați semnele pe intervalele rămase, alternându-le.

După aceea, rămâne doar să scriem intervalele care ne interesează. Ele sunt marcate cu un semn „+” dacă inegalitatea a fost de forma f(x) > 0, sau cu un semn „−” dacă inegalitatea a fost de forma f(x)< 0.

În cazul inegalităților nestricte (≤ , ≥), este necesar să se includă în intervale punctele care sunt soluția ecuației f(x) = 0;

Exemplul 1:

Rezolvați inegalitatea:

(x - 2)(x + 7)< 0

Lucrăm la metoda intervalelor.

Pasul 1: înlocuiți inegalitatea cu o ecuație și rezolvați-o:

(x - 2)(x + 7) = 0

Produsul este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Are două rădăcini.

Pasul 2: marcați aceste rădăcini pe linia de coordonate. Noi avem:

Pasul 3: găsim semnul funcției pe intervalul din dreapta (în dreapta punctului marcat x = 2). Pentru a face acest lucru, luați orice număr care mai mult număr x = 2. De exemplu, să luăm x = 3 (dar nimeni nu interzice să luăm x = 4, x = 10 și chiar x = 10.000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Obținem că f(3) = 10 > 0 (10 este un număr pozitiv), așa că punem un semn plus în intervalul din dreapta.

Pasul 4: trebuie să marcați semnele pe intervalele rămase. Amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul trebuie să se schimbe. De exemplu, în dreapta rădăcinii x = 2 există un plus (ne-am asigurat de acest lucru în pasul anterior), deci trebuie să fie un minus în stânga. Acest minus se extinde la întregul interval (−7; 2), deci există un minus la dreapta rădăcinii x = −7. Prin urmare, există un plus la stânga rădăcinii x = −7. Rămâne să marcați aceste semne pe axa de coordonate.

Să revenim la inegalitatea inițială, care arăta astfel:

(x - 2)(x + 7)< 0

Deci funcția ar trebui să fie mai putin de zero. Aceasta înseamnă că ne interesează semnul minus, care apare doar pe un interval: (−7; 2). Acesta va fi răspunsul.

Exemplul 2:

Rezolvați inegalitatea:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Soluţie:

Mai întâi trebuie să găsiți rădăcinile ecuației

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Să restrângem prima paranteză, obținem:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Rezolvând aceste ecuații obținem:

Să reprezentăm punctele pe dreapta numerică:

pentru că x 2 și x 3 sunt rădăcini multiple, atunci va fi un punct pe linie și deasupra lui „ O buclă”.

Luați orice număr mai mic decât punctul din stânga și înlocuiți-l în inegalitatea inițială. Să luăm numărul -1.

Nu uitați să includeți soluția ecuației (găsită de X), deoarece inegalitatea noastră nu este strictă.

Răspuns: () U ∪(3)∪ (semnul nu este definit pe intervalul (−6, 4), deoarece nu face parte din domeniul funcției). Pentru a face acest lucru, luați un punct din fiecare interval, de exemplu, 16 , 8 , 6 și −8 , și calculați valoarea funcției f din ele:

Dacă aveți întrebări despre cum s-a aflat care sunt valorile calculate ale funcției, pozitive sau negative, atunci studiați materialul articolului compararea numerelor.

Așezăm semnele pe care tocmai le-am definit și aplicăm hașura peste goluri cu semnul minus:

Ca răspuns, scriem unirea a două goluri cu semnul −, avem (−∞, −6]∪(7, 12) . Rețineți că −6 este inclus în răspuns (punctul corespunzător este solid, nu perforat) Ideea este că acesta nu este zero al funcției (pe care, la rezolvarea unei inegalități stricte, nu l-am include în răspuns), ci punctul limită al domeniului de definiție (este colorat, nu negru), în timp ce introducem domeniul definiției. Valoarea funcției în acest moment este negativă (după cum este evidențiată de semnul minus pe intervalul corespunzător), adică satisface inegalitatea, dar 4 nu trebuie inclus în răspuns (de asemenea ca întreg intervalul ∪(7, 12) .

Bibliografie.

1. Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
2. Mordkovich A. G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
3. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
4. Kudryavtsev L.D. Curs de analiză matematică (în două volume): Un manual pentru studenții universităților și colegiilor tehnice. - M .: Mai sus. scoala, 1981, v. 1. - 687 p., ill.

Primul nivel

metoda intervalului. Ghid cuprinzător (2019)

Trebuie doar să înțelegi această metodă și să o cunoști ca pe dosul mâinii! Numai pentru că este folosit pentru rezolvarea inegalităților raționale și pentru că, cunoscând în mod corespunzător această metodă, rezolvarea acestor inegalități este surprinzător de simplă. Puțin mai târziu, vă voi dezvălui câteva secrete despre cum să economisiți timp în rezolvarea acestor inegalități. Ei bine, ești intrigat? Atunci să mergem!

Esența metodei este factorizarea inegalității (repetarea subiectului) și determinarea ODZ și semnul factorilor, acum voi explica totul. Să luăm cel mai simplu exemplu: .

Nu este necesar să scrieți aici aria valorilor admisibile (), deoarece nu există o diviziune cu o variabilă, iar radicalii (rădăcinile) nu sunt observați aici. Totul aici este deja multiplicat pentru noi. Dar nu vă relaxați, toate acestea sunt pentru a reaminti elementele de bază și pentru a înțelege esența!

Să presupunem că nu cunoașteți metoda intervalelor, cum ați proceda pentru a rezolva această inegalitate? Fii logic și construiește pe ceea ce știi deja. În primul rând, partea stângă va fi mai mare decât zero dacă ambele expresii între paranteze sunt fie mai mari decât zero, fie mai mici decât zero, deoarece „Plus” pe „plus” face „plus” și „minus” pe „minus” face „plus”, nu? Și dacă semnele expresiilor din paranteze sunt diferite, atunci partea stângă va fi mai mică decât zero. Dar de ce avem nevoie pentru a afla acele valori pentru care expresiile dintre paranteze vor fi negative sau pozitive?

Trebuie să rezolvăm ecuația, este exact aceeași cu inegalitatea, doar că în loc de semn va fi un semn, rădăcinile acestei ecuații ne vor permite să determinăm acele valori la limită, abate de la care factorii și vor fi mai mari. sau mai puțin de zero.

Și acum intervalele în sine. Ce este un interval? Acesta este un anumit interval al dreptei numerice, adică toate numerele posibile cuprinse între două numere - capetele intervalului. Nu este atât de ușor să-ți imaginezi aceste goluri în capul tău, așa că se obișnuiește să desenezi intervale, acum te voi învăța.

Desenăm o axă, pe ea se află întreaga serie de numere de la și către. Punctele sunt trasate pe axă, așa-numitele zerouri ale funcției, valori la care expresia este egală cu zero. Aceste puncte sunt „înțepate”, ceea ce înseamnă că nu se numără printre acele valori pentru care inegalitatea este adevărată. În acest caz, sunt perforate. semnul în inegalitate și nu, adică strict mai mare decât și nu mai mare decât sau egal cu.

Vreau să spun că nu este necesar să se marcheze zero, aici este fără cercuri, dar așa, pentru înțelegere și orientare de-a lungul axei. Bine, axa a fost desenată, punctele (sau mai degrabă cercurile) au fost setate, atunci ce, cum mă va ajuta asta să rezolv? - tu intrebi. Acum luați valoarea pentru x din intervale în ordine și înlocuiți-le în inegalitatea dvs. și vedeți care va fi semnul ca rezultat al înmulțirii.

Pe scurt, luăm doar un exemplu, înlocuim-l aici, se va dovedi, ceea ce înseamnă că pe întreg intervalul (pe întregul interval) de la până, din care am luat, inegalitatea va fi adevărată. Cu alte cuvinte, dacă x este de la până, atunci inegalitatea este adevărată.

Facem același lucru cu un interval de la până, luați sau, de exemplu, înlocuiți în, determinăm semnul, semnul va fi „minus”. Și facem același lucru cu ultimul, al treilea interval de la până, unde semnul se va dovedi a fi „plus”. A apărut o astfel de grămadă de texte, dar există puțină vizibilitate, nu?

Privește din nou la inegalitate.

Acum, pe aceeași axă, aplicăm și semnele care vor fi rezultatul. Linia întreruptă, în exemplul meu, denotă secțiunile pozitive și negative ale axei.

Privește inegalitatea - la imagine, din nou la inegalitate - și din nou la imagine este ceva clar? Acum încercați să spuneți la ce intervale de x, inegalitatea va fi adevărată. Așa este, de la până la inegalitatea va fi adevărată și de la până la, iar pe intervalul de la până la inegalitatea lui zero și acest interval ne interesează puțin, pentru că avem un semn în inegalitate.

Ei bine, din moment ce v-ați dat seama, atunci rămâne la latitudinea dvs. să scrieți răspunsul! Ca răspuns, scriem acele intervale la care partea stângă este mai mare decât zero, care se citește ca X aparține intervalului de la minus infinit la minus unu și de la doi la plus infinit. Merită să lămurim că parantezele înseamnă că valorile de care este delimitat intervalul nu sunt soluții la inegalitate, adică nu sunt incluse în răspuns, ci doar spun că înainte, de exemplu, dar nu există soluţie.

Acum un exemplu în care va trebui să desenați nu numai intervalul:

Ce crezi că ar trebui făcut înainte de a pune puncte pe axă? Da, luați în considerare:

Desenăm intervale și plasăm semne, observăm punctele pe care le-am perforat, deoarece semnul este strict mai mic decât zero:

Este timpul să vă dezvălui un secret pe care l-am promis la începutul acestui topic! Dar dacă vă spun că nu puteți înlocui valorile din fiecare interval pentru a determina semnul, ci puteți determina semnul într-unul dintre intervale, iar în rest doar alternați semnele!

Astfel, am economisit puțin timp la așezarea semnelor - cred că de data asta câștigată la examen nu va strica!

Scriem răspunsul:

Acum luați în considerare un exemplu de inegalitate rațională fracțională - o inegalitate, ambele părți din care sunt expresii raționale (vezi).

Ce poți spune despre această inegalitate? Și o privești ca pe o ecuație rațională fracțională, ce facem mai întâi? Vedem imediat că nu există rădăcini, ceea ce înseamnă că este cu siguranță rațional, dar apoi există o fracție și chiar cu o necunoscută la numitor!

Așa este, ODZ este necesar!

Deci, să mergem mai departe, aici toți factorii cu excepția unuia au o variabilă de gradul întâi, dar există un factor în care x are un grad al doilea. De obicei, semnul nostru s-a schimbat după ce am trecut printr-unul dintre punctele în care partea stângă a inegalității capătă o valoare zero, pentru care am determinat ce ar trebui să fie x în fiecare factor. Și aici, așa că este întotdeauna pozitiv, pentru că. orice număr pătrat > zero și un termen pozitiv.

Cum credeți că va afecta valoarea inegalității? Așa este - nu contează! Putem împărți în siguranță inegalitatea în ambele părți și, prin urmare, putem elimina acest factor, astfel încât să nu ne rănească ochii.

este timpul să desenați intervale, pentru aceasta trebuie să determinați acele valori de limită, abate de la care multiplicatorii și vor fi mai mari și mai mici decât zero. Dar atenție că aici semnul înseamnă punctul în care partea stângă a inegalității ia valoare zero, nu o vom perfora, pentru că este inclus în numărul de soluții, avem un astfel de punct, acesta este punctul unde x este egal cu unu. Putem colora punctul în care numitorul este negativ? - Desigur că nu!

Numitorul nu trebuie să fie zero, deci intervalul va arăta astfel:

Conform acestei scheme, poți deja să scrii cu ușurință un răspuns, pot spune doar că acum ai la dispoziție un nou tip de paranteză - pătrat! Aici este o paranteză [ spune că valoarea se află în intervalul de soluție, i.e. face parte din răspuns, această paranteză corespunde unui punct umplut (nu perforat) pe axă.

Deci, ai primit același răspuns?

Factorizăm și transferăm totul într-o singură direcție, deoarece trebuie să lăsăm zero doar în dreapta pentru a compara cu el:

Vă atrag atenția că în ultima transformare, pentru a ajunge atât la numărător cât și la numitor, înmulțesc ambele părți ale inegalității cu. Amintiți-vă că atunci când înmulțiți ambele părți ale inegalității cu, semnul inegalității este inversat!!!

Scriem ODZ:

În caz contrar, numitorul se va transforma la zero și, după cum vă amintiți, nu puteți împărți la zero!

De acord, în inegalitatea rezultată este tentant să se reducă în numărător și numitor! Nu poți face asta, poți pierde unele dintre decizii sau ODZ!

Acum încercați să puneți singur puncte pe axă. Voi observa doar că atunci când desenați puncte, trebuie să acordați atenție faptului că un punct cu o valoare, care, pe baza semnului, se pare, ar trebui să fie desenat pe axă așa cum este completat, nu va fi completat. , va fi scos! De ce să te întreb? Și îți amintești de ODZ, nu vei împărți la zero așa?

Amintiți-vă, ODZ este mai presus de toate! Dacă toate inegalitățile și semnele egale spun un lucru, iar ODZ spune altceva, ai încredere în ODZ, mare și puternic! Ei bine, tu ai construit intervalele, sunt sigur că mi-ai luat sfatul despre alternanță și ai prins așa (vezi poza de mai jos) Acum taie-l și nu mai repeta această greșeală! ce greseala? - tu intrebi.

Cert este că în această inegalitate factorul s-a repetat de două ori (mai țineți minte cum ați încercat încă să-l reduceți?). Deci, dacă un factor se repetă în inegalitate de un număr par de ori, atunci când trece printr-un punct de pe axa care transformă acest factor la zero (în acest caz, un punct), semnul nu se va schimba, dacă este impar, atunci semnul se schimba!

Următoarea axă cu intervale și semne va fi corectă:

Și, atenție că semnul care nu ne interesează este cel care a fost la început (când tocmai am văzut inegalitatea, semnul era), după transformări, semnul s-a schimbat, ceea ce înseamnă că ne interesează intervale cu semnul.

Răspuns:

Voi mai spune că sunt situații în care există rădăcini ale inegalității care nu sunt incluse în niciun decalaj, ca răspuns sunt scrise între paranteze, așa, de exemplu:. Despre astfel de situații puteți citi mai multe în articolul Nivel Intermediar.

Să rezumăm cum să rezolvăm inegalitățile folosind metoda intervalului:

1. Transferam totul in stanga, in dreapta lasam doar zero;
2. Găsim ODZ;
3. Punem pe axa toate radacinile inegalitatii;
4. Luăm unul arbitrar dintr-unul dintre intervale și determinăm semnul în intervalul căruia îi aparține rădăcina, alternăm semnele, acordând atenție rădăcinilor care se repetă de mai multe ori în inegalitate, depinde de numărul par sau impar de ori de repetare a acestora indiferent dacă semnul se schimbă la trecerea prin ele sau nu;
5. Ca răspuns, scriem intervalele, observând punctele perforate și nu (vezi ODZ), punând tipurile necesare de paranteze între ele.

Și în sfârșit, secțiunea noastră preferată, „do it yourself”!

Exemple:

Raspunsuri:

METODA INTERVALULUI. NIVEL MEDIU

Funcție liniară

O funcție a formei se numește liniară. Să luăm ca exemplu o funcție. Este pozitiv la și negativ la. Punctul este zero al funcției (). Să arătăm semnele acestei funcții pe axa reală:

Spunem că „funcția își schimbă semnul la trecerea printr-un punct”.

Se poate observa că semnele funcției corespund poziției graficului funcției: dacă graficul este deasupra axei, semnul este „ ”, dacă este sub - „ ”.

Dacă generalizăm regula rezultată la o funcție liniară arbitrară, obținem următorul algoritm:

• Găsim zeroul funcției;
• O marcam pe axa numerica;
• Determinăm semnul funcției pe laturile opuse ale lui zero.

funcţie pătratică

Sper că vă amintiți cum se rezolvă inegalitățile pătratice? Daca nu, citeste threadul. Permiteți-mi să vă reamintesc forma generală a unei funcții pătratice: .

Acum să ne amintim ce semne este nevoie funcţie pătratică. Graficul său este o parabolă, iar funcția ia semnul „ ” pentru cei în care parabola este deasupra axei și „ ” - dacă parabola este sub axa:

Dacă funcția are zerouri (valori la care), parabola intersectează axa în două puncte - rădăcinile ecuației pătratice corespunzătoare. Astfel, axa este împărțită în trei intervale, iar semnele funcției se schimbă alternativ la trecerea prin fiecare rădăcină.

Este posibil să determinați cumva semnele fără să desenați o parabolă de fiecare dată?

Reamintim că trinomul pătrat poate fi factorizat:

De exemplu: .

Observați rădăcinile de pe axă:

Ne amintim că semnul unei funcții se poate schimba doar la trecerea prin rădăcină. Folosim acest fapt: pentru fiecare dintre cele trei intervale în care axa este împărțită prin rădăcini, este suficient să se determine semnul funcției doar într-un punct ales arbitrar: în celelalte puncte ale intervalului, semnul va fi la fel.

În exemplul nostru: pentru ambele expresii dintre paranteze sunt pozitive (înlocuim, de exemplu:). Punem semnul „” pe axă:

Ei bine, dacă (înlocuiți, de exemplu) ambele paranteze sunt negative, atunci produsul este pozitiv:

Asta e metoda intervalului: cunoscând semnele factorilor pe fiecare interval, determinăm semnul întregului produs.

Să luăm în considerare și cazurile în care funcția nu are zerouri sau este doar unul.

Dacă nu există, atunci nu există rădăcini. Aceasta înseamnă că nu va exista nicio „trecere prin rădăcină”. Aceasta înseamnă că funcția de pe întreaga axă a numerelor ia un singur semn. Este ușor de determinat prin înlocuirea acesteia într-o funcție.

Dacă există o singură rădăcină, parabola atinge axa, astfel încât semnul funcției nu se schimbă la trecerea prin rădăcină. Care este regula pentru astfel de situatii?

Dacă eliminăm o astfel de funcție, obținem doi factori identici:

Și orice expresie la pătrat este nenegativă! Prin urmare, semnul funcției nu se schimbă. În astfel de cazuri, vom selecta rădăcina, când trecem prin care semnul nu se schimbă, încercuind-o cu un pătrat:

O astfel de rădăcină va fi numită multiplu.

Metoda intervalelor în inegalități

Acum orice inegalitate pătratică poate fi rezolvată fără a trasa o parabolă. Este suficient doar să plasați semnele funcției pătratice pe axă și să alegeți intervalele în funcție de semnul inegalității. De exemplu:

Măsurăm rădăcinile pe axă și aranjam semnele:

Avem nevoie de partea axei cu semnul „”; deoarece inegalitatea nu este strictă, rădăcinile în sine sunt incluse și în soluție:

Acum luați în considerare o inegalitate rațională - o inegalitate, ambele părți din care sunt expresii raționale (vezi).

Exemplu:

Toți factorii, cu excepția unuia - - aici sunt „liniari”, adică conțin o variabilă doar în primul grad. Avem nevoie de astfel de factori liniari pentru a aplica metoda intervalului - semnul se schimbă la trecerea prin rădăcinile lor. Dar multiplicatorul nu are deloc rădăcini. Aceasta înseamnă că este întotdeauna pozitiv (verificați-l singur) și, prin urmare, nu afectează semnul întregii inegalități. Aceasta înseamnă că puteți împărți părțile stânga și dreaptă ale inegalității în ea și, astfel, scăpați de ea:

Acum totul este la fel ca în cazul inegalităților pătratice: determinăm în ce puncte dispar fiecare dintre factori, marchem aceste puncte pe axă și aranjam semnele. Vă atrag atenția asupra unui fapt foarte important:

Răspuns: . Exemplu: .

Pentru a aplica metoda intervalului, este necesar ca într-una din părțile inegalității să fie. Prin urmare, mutăm partea dreaptă spre stânga:

Numătorul și numitorul au același factor, dar nu ne grăbim să-l reducem! La urma urmei, atunci putem uita să scoatem în evidență acest punct. Este mai bine să marcați această rădăcină ca multiplu, adică atunci când treceți prin ea, semnul nu se va schimba:

Răspuns: .

Și încă un exemplu foarte ilustrativ:

Din nou, nu reducem aceiași factori ai numărătorului și numitorului, deoarece dacă reducem, va trebui să ne amintim în mod special că trebuie să punem un punct.

• : ori repetate;
• : ori;
• : ori (la numărător și unul la numitor).

În cazul unui număr par, procedăm la fel ca înainte: încercuim punctul cu un pătrat și nu schimbăm semnul la trecerea prin rădăcină. Dar în cazul unui număr impar, această regulă nu este îndeplinită: semnul se va schimba în continuare la trecerea prin rădăcină. Prin urmare, nu facem nimic suplimentar cu o astfel de rădăcină, de parcă nu este un multiplu al nostru. Regulile de mai sus se aplică tuturor puterilor pare și impare.

Ce scriem in raspuns?

Dacă alternarea semnelor este încălcată, trebuie să fiți foarte atenți, deoarece cu o inegalitate nestrictă, răspunsul ar trebui să includă toate punctele umplute. Dar unii dintre ei stau adesea singuri, adică nu intră în zona umbrită. În acest caz, le adăugăm la răspuns ca puncte izolate (în acolade):

Exemple (decideți singur):

Raspunsuri:

1. Dacă printre factori este simplu - aceasta este rădăcina, deoarece poate fi reprezentată ca.
   .

METODA INTERVALULUI. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Metoda intervalului este folosită pentru a rezolva inegalitățile raționale. Constă în determinarea semnului produsului din semnele factorilor pe diferite intervale.

Algoritm de rezolvare a inegalităților raționale prin metoda intervalului.

• Transferam totul in stanga, in dreapta lasam doar zero;
• Găsim ODZ;
• Punem pe axa toate radacinile inegalitatii;
• Luăm unul arbitrar dintr-unul dintre intervale și determinăm semnul în intervalul căruia îi aparține rădăcina, alternăm semnele, acordând atenție rădăcinilor care se repetă de mai multe ori în inegalitate, depinde de numărul par sau impar de ori de repetare a acestora indiferent dacă semnul se schimbă la trecerea prin ele sau nu;
• Ca răspuns, scriem intervalele, observând punctele perforate și nu (vezi ODZ), punând tipurile necesare de paranteze între ele.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? Nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - 999 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

În al doilea caz vă vom oferi simulator „6000 de sarcini cu soluții și răspunsuri, pentru fiecare subiect, pentru toate nivelurile de complexitate”. Este cu siguranță suficient să puneți mâna pe rezolvarea problemelor pe orice subiect.

De fapt, acesta este mult mai mult decât un simplu simulator - un întreg program de antrenament. Dacă este necesar, îl puteți folosi și GRATUIT.

Accesul la toate textele și programele este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!