Acasă Flori de interior Adunarea vectorilor după regula paralelogramului. Adăugarea de forțe. Regula forțelor paralelogramului și poligonului

Flori de interior

Adunarea vectorilor după regula paralelogramului. Adăugarea de forțe. Regula forțelor paralelogramului și poligonului

7. Regula paralelogramului pentru particule elementare și pentru diferite tipuri de Forțe

Lumea din jurul nostru este țesută din Forțe, deoarece Forța este Eter, iar Eterul este peste tot în Univers. Puterea este ceea ce caută să se clinteze.

Una dintre diferențele dintre mecanica corpurilor și mecanica particulelor elementare stabile este că particulele stabile sub influența Forțelor se pot mișca doar. Ele nu se pot deforma și se prăbușesc dintr-un motiv evident - sunt indivizibile. În timp ce un corp (sau chiar o particulă instabilă - un conglomerat), atunci când Forța (sau Forțele) acționează asupra lui, se poate mișca, se poate deforma și se poate prăbuși.

În mecanica corpurilor (în mecanica clasică) există o modalitate minunată care ajută la aflarea în ce direcție va tinde corpul să se miște sub influența tuturor Forțelor care acționează asupra lui. Și, de asemenea, calculați valoarea forței rezultante. Această metodă este bine cunoscută ca Regula Forțelor Paralelogramului.

A deschis-o Galileo Galilei, A definiție precisă a dat această regulă Pierre Varignon în 1687.

Regula paralelogramului de forțe este că vectorul forței rezultante este diagonala paralelogramului construit pe vectorii celor doi termeni ai forțelor ca pe laturi.

Această regulă este surprinzător de bună pentru a ajuta la calcularea cu precizie a direcției în care corpul se va mișca (sau tinde să se miște) dacă mai mult de o Forță acționează asupra lui. Și în lumea noastră, orice corp este întotdeauna influențat simultan de un set imens de forțe externe(deoarece orice particulă din compoziția oricărui element chimic este o sursă de Forță).

În plus, această regulă de paralelogram este perfectă pentru particulele elementare. Cu ajutorul acestuia, putem afla exact în ce direcție va fi deplasată o particulă elementară în fiecare moment de timp, dacă două sau mai multe Forțe acționează asupra ei simultan. Și, de asemenea, vom afla raportul dintre valorile Forțelor - inițială și rezultantă. Mai mult, tipul fiecăreia dintre Forțe poate fi oricare. Paralelogramul diagonal - acesta este indicatorul de direcție, precum și indicatorul mărimii forței rezultate. Cu toate acestea, acordați atenție unui detaliu important - un nou Paralelogram de Forțe ar trebui construit pentru fiecare moment următor al mișcării particulei.

Să aruncăm o privire mai atentă la esența regulii paralelogramului. Și în cursul acestei analize, îi vom da un nume ușor diferit - Regula de supunere față de Forța dominantă... Acest lucru ne va permite să înțelegem mai bine particularitățile comportamentului particulelor elementare (și oricăror conglomerate de particule), deoarece regula paralelogramului în forma în care există acum nu dezvăluie pe deplin sensul a ceea ce se întâmplă cu o particulă atunci când mai mult. decât o Forță acționează asupra ei. De exemplu, nu spune nimic despre existența diferitelor tipuri de Forțe.

Puterea dominantă este Puterea care este cea mai mare ca mărime. După cum am spus mai devreme, mărimea Forței este viteza fluxului eteric care transportă particula. Mai mult, în rolul fluxului de eter, pur și simplu Eterul poate acționa, umplând particula (ca în cazul Forței de Presiune a Suprafeței Particulei).

Regula de supunere la Forța dominantă (Regula Paralelogramului) se reduce la faptul că o particulă asupra căreia acționează mai multe Forțe se va supune în cea mai mare măsură celei mai mari dintre ele. Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că vectorul rezultantei tuturor Forțelor în fiecare moment de timp va fi mai deplasat către vectorul Forță, care este cea mai mare ca mărime. Adică domină cea mai mare Forță, dar și restul Forțelor își exercită influența asupra poziției vectorului Forței rezultante. Puteți clarifica în continuare denumirea regulii - Supunerea Forței Dominante, ținând cont de acțiunile celorlalte Forțe.

Forța dominantă deplasează vectorul forței rezultante mai mult decât altele în direcția sa. Și alte Forțe mai mici nu permit acestui vector să se supună complet acestei puteri cele mai mari. Ele întind vectorul în direcția lor proporțional cu mărimea lor.

În general, atunci când se analizează orice situație în care o particulă elementară este influențată de mai mult de o Forță, este necesar să se țină cont de o serie de factori. La început , trebuie să aflați câte Forțe acționează asupra particulei și magnitudinea fiecăreia dintre ele... În al doilea rând, trebuie să aflați în ce unghi se află vectorii de forță unul față de celălalt.Și în al treilea rând, este necesar să se țină cont de tipul fiecărei Forțe... Doar evaluând toți acești factori, se poate încerca să calculeze care va fi direcția și viteza particulei în fiecare moment de timp. Să aruncăm o privire mai atentă la acești factori.

1) Cantitatea și numărul total Forțele care acționează asupra unei particule ar trebui evaluate de la caz la caz.

În cazul în care numărul de Forțe care acționează asupra unei particule depășește două, se procedează la fel ca și în cazul corpurilor. Construim un paralelogram pentru două forțe. Apoi construim următorul paralelogram folosind vectorul rezultat al rezultantei și următorul din Forțe. Și tot așa, până când toate Forțele sunt luate în considerare.

2) Unghiul dintre vectorii Forțelor care acționează asupra particulei este foarte important în determinarea mărimii și direcției Forței rezultante.

A) Unghiul dintre vectorii Forțelor de la 0? pana la 90 ?.

În acest caz, există un fel de însumare a Forțelor care acționează asupra particulei. Desigur, forța rezultată nu va fi exact egală cu suma ambelor forțe care acționează asupra particulei. Dar, în orice caz, se va dovedi a fi mai mare decât oricare dintre cele două Forțe, din vectorii cărora construim un paralelogram. Puteți vedea acest lucru după dimensiunea diagonalei paralelogramului. Și cu cât unghiul este mai ascuțit, cu atât valoarea forței rezultante este mai mare.

Caz extrem unghi ascutit- 0?, adică fără unghi. Vectorii Forțelor sunt pe aceeași linie dreaptă, iar direcția lor este aceeași. V în acest caz este imposibil de construit un paralelogram. În schimb, există o linie dreaptă, pe ea punem două segmente, fiecare dintre ele egal cu valoarea unuia dintre forţe de operare... La 0? există o însumare completă a vectorilor Forțelor.

B) Unghiul dintre vectorii Forțelor este mai mare de 90 °.

În acest caz, dacă puteți vedea din imagine, există un fel de scădere a Forțelor. Forța rezultată se dovedește întotdeauna a fi mai mare decât cea mai mică dintre cele două Forțe și mai mică decât cea mai mare. Confirmarea acestui lucru este dimensiunea diagonalei. Și cu cât unghiul este mai mare, cu atât valoarea forței rezultante este mai mică.

Cazul extrem al unui unghi obtuz este de 180 de grade. Vectorii Forțelor se află pe o singură linie dreaptă. Totuși, spre deosebire de unghiul egal cu 0θ, vectorii sunt direcționați opus. În acest caz extrem, are loc scăderea din vectorul forței mai mari a vectorului celui mai mic. Diferența rezultată corespunde exact cu valoarea forței rezultante.

În orice caz, pentru orice valoare a unghiului, vectorul forței rezultante este întotdeauna mai deplasat față de vectorul celei mai mari dintre cele două forțe. Adică, o Forță mare face ca particula să se miște mai mult în direcția ei.

3) Și, în sfârșit, oferim informații despre cum cât de mult depinde regula paralelogramului de tipul de forțe care acționează asupra particulei.

A) Chiar dacă sursele tuturor tipurilor de forță sunt diferite, efectul lor asupra unei particule poate fi comparat, deoarece oricare dintre forțe tinde să pună particula în mișcare. Și, prin urmare, chiar dacă Forțele acționează asupra particulei tipuri diferite, puteți construi un paralelogram de forțe pe vectori, iar diagonala acestuia va fi o indicație a direcției în care se va mișca particula.

Mărimea vectorului Forță este cu atât mai mare, cu atât Forța este mai mare. Și Forța este cu atât mai mare, cu atât viteza cu care s-ar mișca particula este mai mare această direcție, nu acționați asupra ei încă o altă Forță (sau alte Forțe).

Lungimea vectorului forței rezultate (rezultate) - diagonala - corespunde vitezei cu care particula se va deplasa sub acțiunea ambelor forțe aplicate acesteia.

B) Am stabilit mai devreme că există doar patru tipuri principale de Putere. Când Galileo a dedus Regula Paralelogramului, este evident că a făcut-o în raport cu Forțele cu care unele corpuri le apasă pe altele sau le trage, obligându-le să se miște în acest fel. Tip similar Forțele sunt denumite în această carte forța presiunii de suprafață a particulelor. Am auzit puțin despre utilizarea regulii paralelogramului și pentru gravitație. Mai mult, această limitare se referă la Forța de Repulsie și Forța de Inerție, dintre care prima aproape nu este recunoscută de știință, iar cea din urmă nu îi este deloc cunoscută.

Dar cumva, această Regulă are un caracter universal și poate fi folosit pentru oricare dintre cele patru tipuri de Forță - Suprafața particulelor, Atracție, Repulsie și Inerție. Cu toate acestea, în forma sa neschimbată, poate fi aplicat numai pentru forța de presiune a suprafeței particulelor, adică pentru același caz descris de Galileo pentru corpuri.

Două corpuri acționează asupra corpului din ambele părți - fie apăsați pe el, fie trageți-l. În cazul nostru, două particule vor apăsa pe particule (ele nu pot trage mecanic particula).

Luată separat, o particulă liberă nu va exercita niciodată presiune pe termen lung asupra unei alte particule, cu excepția cazului în care Forța de atracție a acestei particule acționează asupra ei. Sau dacă particulele fac parte din corpuri, iar corpurile, strângându-se unul pe altul, apasă și pe orice particulă dintre ele. Prin urmare, în cazul nostru, vorbim despre presiunea simultană asupra unei particule a două particule ca urmare a ciocnirii lor cu aceasta. După ce alte două particule se ciocnesc cu o particulă, aceasta începe să se miște prin inerție exact în conformitate cu regula paralelogramului. Diagonala (vectorul forței rezultante) arată direcția în care se va mișca particula. Cât timp va dura mișcarea inerțială depinde de viteza cu care particulele s-au deplasat în momentul ciocnirii cu aceasta, de unghiul dintre vectorii Forțelor și, de asemenea, de calitatea particulei în sine.

V) Singura dificultate cu care ne vom confrunta atunci când construim Paralelogramul Forțelor este legată de Forțele de Atracție și Repulsie. Aici în cauză chiar mai degrabă nu despre complexitate, ci despre nefamiliaritate. Sursele forțelor de atracție sau de repulsie sunt distanțate de particule la una sau alta distanță. Cu toate acestea, efectul acestor Forțe este resimțit direct de particule. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece interacțiunea gravitațională sau antigravitațională se propagă instantaneu. Această răspândire instantanee se explică prin faptul că „pânza” eterică este un fel de monolit care umple uniform întregul Univers. Iar apariția în această pânză a oricărui exces sau lipsă de Eter se simte imediat la orice distanță.

În acest caz, când tipurile de Forță care acționează asupra particulei sunt diferite, vectorul Forță ar trebui să indice direcția în care Forța tinde să deplaseze particula. Deci, de exemplu, dacă Forța de Atracție acționează asupra unei particule, atunci vectorul va fi direcționat către obiect, sursa acestei Forțe, și nu de la acesta. Dar în cazul Forței de repulsie, contrariul este adevărat. Vectorul va fi direcționat de la sursa forței date.

În ceea ce privește forța de presiune a suprafeței particulelor, aici totul este la fel ca în mecanica corpurilor. În acest caz, sursa Forței contactează direct particula - se ciocnește cu ea. Și vectorul acestei Forțe este îndreptat în aceeași direcție cu vectorul de mișcare al particulei, a cărei suprafață exercită presiune.

Și, în sfârșit, ultima dintre Forțe - Inerția. Se poate vorbi despre prezența acestei Forțe doar dacă particula se mișcă inerțial. Dacă particula nu se mișcă prin inerție, atunci nu există nici forță inerțială. Vectorul forței inerțiale coincide întotdeauna cu vectorul de mișcare al particulei în acest moment... Sursa Forței de Inerție este eterul emis de emisfera posterioară a particulei.

G) Nu se va întâmpla niciodată ca ambele Forțe care acționează asupra unei particule să fie inerțiale, deoarece o particulă se poate mișca prin inerție la un moment dat într-o singură direcție.

D) Dacă una sau ambele Forțe care acționează asupra unei particule sunt de tipul Atracție sau Repulsie, particula se va mișca într-o parabolă, treptat deplasându-se sub influența celei mai mari dintre Forțe.

Dacă una dintre forțele care acționează asupra particulei aparține tipului de atracție sau repulsie, iar a doua este forța de inerție, atunci traiectoria particulei este de asemenea parabolică.

E) Nu se întâmplă niciodată ca Forța de Atracție și Forța de Repulsie să acționeze simultan asupra unei particule și, în același timp, vectorii lor să se afle pe aceeași linie dreaptă și să fie direcționați opus. Acest lucru se explică prin faptul că Forța de Atracție și Forța de Repulsie sunt Forțe Antipode. Vectorul Forței de Atractie este îndreptat către sursa Forței. Și vectorul Forței de Repulsie este din el. Prin urmare, dacă sursele Forțelor de Atracție și Repulsie sunt situate de-a lungul laturi diferite din particulă, vectorii Forțelor lor vor fi însumați. Dacă sursele de forțe sunt situate pe o parte a particulei, atunci particula va simți doar una dintre forțe - fie atracție, fie repulsie. Și totul pentru că Câmpurile de Atractie și Câmpurile de Repulsie ecranează și afectează amploarea reciprocă.

Dar, în orice caz, puteți aplica regula paralelogramului oricărei particule și o puteți utiliza pentru a determina direcția și mărimea vectorului forței rezultante. În conformitate cu mărimea și direcția acestui vector, particula se va mișca la un moment dat.

Tot ceea ce tocmai s-a spus despre Regula Paralelogramului pentru particule poate fi folosit pe deplin pentru corpuri.

Din cartea Magia în teorie și practică de Crowley Aleister

Capitolul XXI. DESPRE MAGIA NEGRA; DESPRE TIPURILE DE BAZĂ DE OPERAȚII DE ARTE MAGIC; ȘI DESPRE FORȚELE SPHINXULUI? I După cum sa spus deja la începutul primului capitol, Singurul și Cel mai Înalt Ritual este realizarea Cunoașterii și Convorbirii cu Sfântul Înger Păzitor. „Aceasta este o decolare verticală dreaptă

Din cartea Termodinamica autor Danina Tatiana

02. Temperatura particulelor elementare În fizică, conceptul de „temperatură” se referă la materie (corp, mediu - acestea sunt sinonime) în ansamblu. De fapt, „temperatura” caracterizează, în primul rând, luată separat particule elementare, precum și complexe de particule elementare -

Din cartea Biologie (inclusiv Pranoologie) autor Danina Tatiana

13. Propagarea în materie a celei de-a doua componente a căldurii - particule elementare Deci, nu toate element chimicîn procesul de încălzire, acesta capătă un Câmp de repulsie (cu excepția acelor elemente care aveau deja un Câmp de repulsie). Și, în consecință, nu toate încălzite

Din cartea Ethereal Mechanics autor Danina Tatiana

07. Elemente chimice din ADN-ul nucleelor celulare - purtători de particule din planul astral Un element chimic este un conglomerat de particule de calitate diferită... În funcție de elementul chimic din corpul reprezentantului cărui regat, acesta are unul sau altul

Din cartea Legi și concepte oculte de bază autor Danina Tatiana

8. Procesele și fenomenele mecanice relevă proprietăți mecanice particule elementare Procesul mecanic și fenomenul mecanic sunt cazuri speciale proces fizicşi un fenomen fizic.Un proces este un eveniment care se produce în timp.

Din cartea Chiromanție și numerologie. Cunoștințe secrete autoarea Nadejdina Vera

26. Inerția particulelor în condiții reale Principalele caracteristici ale mișcării inerțiale a particulelor elementare considerate de noi puțin mai devreme fără nicio condiție suplimentară sunt aplicabile doar în condiții ideale. Da, numai în conditii ideale traiectoria mișcării

Din cartea Sensul secret al vieții. Volumul 3 autorul Livraga Jorge Angel

28. Informații generale despre ciocnirea particulelor Să analizăm de ce există un astfel de fenomen mecanic precum „coliziunea” particulelor elementare. În primul rând, să aflăm ceea ce vom numi „coliziune”. Ciocnirea este momentul contactului a două particule, deși

Din cartea autorului

30. Ciocnirea particulelor libere care se mișcă prin inerție Și acum să luăm în considerare cazul ciocnirii particulelor libere, ambele fiind în proces de mișcare inerțială înainte de momentul contactului.Ce se întâmplă cu fiecare dintre particule după ce se ciocnesc? Foarte

Din cartea autorului

09. Structura și calitatea particulelor elementare (Suflete). Yin și Yang Dintre toate sinonimele menționate anterior ale termenului ocult „Suflet”, cel mai științific ar trebui considerat conceptul de „particulă elementară”.

Din cartea autorului

11. Câmpurile de atracție și repulsie - o manifestare externă a calității particulelor elementare Dacă în particule eterul a fost doar distrus și nu a apărut, atunci din spațiul înconjurător ar veni exact atât cât ar trebui distrus.

Din cartea autorului

15. Cele șapte planuri sunt un agregat de particule elementare În literatura ezoterică, în special în cărțile lui E. Blavatsky și A. Bailey, un astfel de concept precum „Planuri” este adesea menționat. Ce sunt, ce sunt și câți sunt în total? Planul este întreaga totalitate a Sufletelor

Din cartea autorului

16. Șapte Raze, Șapte Frați, Șapte Sephiroth, Șapte Rishi, Șapte Fii, Șapte Spirite, Șapte Principii - toate acestea sunt șapte tipuri de Suflete (particule elementare) Șapte Raze, Șapte Frați, Șapte Sephiroth, Șapte Rishi, Șapte Fii, Șapte Spirite, șapte principii... Această listă este și mai lungă, iar în viitor noi

Din cartea autorului

19. Clasificarea particulelor după „elemente” („elemente”) „Filozofii greci antici credeau că Pământul a fost construit din doar câteva „elemente primare”. Empedocle din Akragant, care a trăit în aproximativ 430 î.Hr., a identificat patru astfel de elemente elementare: pământ, aer, apă și

Din cartea autorului

31. Eterul este cauza durității particulelor elementare Particulele elementare în sine, lipsite de calitate – adică nu absorb și nu creează Eter – sunt „efemere” între ele – ca și când nu ar exista unul pentru celălalt.Aceasta înseamnă că toate particulele elementare

Din cartea autorului

Secretele numerelor elementare Numărul „0” „O” reprezintă infinitul, ființa infinită fără limite, cauza principală a tot ceea ce există, Brahmanda sau oul Universului, Sistem solar in intregimea sa. Astfel, zero definește universalitatea, cosmopolitismul. El

Din cartea autorului

X. A. Livraga. O tipuri diferite oameni Jorge A. Livraga: M-ai întrebat despre diferite tipuri de oameni, despre natura lor interioară. După cum știi, ceea ce numim o persoană nu este începutul sau sfârșitul, ci doar un moment în evoluția Monadei (Zonei) , care vine din adâncuri

Modul în care se adaugă vectorii nu este întotdeauna clar pentru elevi. Copiii habar nu au ce se ascunde în spatele lor. Trebuie doar să memorezi regulile și să nu te gândești la esență. Prin urmare, este vorba despre principiile de adunare și scădere a cantităților vectoriale de care sunt necesare multe cunoștințe.

Ca urmare a adăugării a doi sau mai mulți vectori, obțineți întotdeauna încă unul. Mai mult, el va fi întotdeauna neapărat același, indiferent de primirea descoperirii sale.

Cel mai adesea în curs şcolar geometrie, se ia în considerare adăugarea a doi vectori. Se poate realiza după regula unui triunghi sau a unui paralelogram. Aceste imagini arată diferit, dar rezultatul acțiunii este același.

Cum funcționează adăugarea triunghiului?

Este folosit când vectorii sunt necoliniari. Adică nu se află pe o singură linie dreaptă sau paralelă.

În acest caz, este necesar să se amâne primul vector dintr-un punct arbitrar. De la capătul său, este necesar să se tragă o paralelă și egală cu a doua. Rezultatul este un vector care începe la începutul primului și se termină la sfârșitul celui de-al doilea. Desenul seamănă cu un triunghi. De aici și numele regulii.

Dacă vectorii sunt coliniari, atunci se poate aplica și această regulă. Doar desenul va fi amplasat de-a lungul unei linii.

Cum se realizează adăugarea paralelogramelor?

Încă o dată? se aplică numai vectorilor necoliniari. Construcția se realizează după un principiu diferit. Deși începutul este același. Este necesar să se amâne primul vector. Și de la începutul său - al doilea. Pe baza lor, completați un paralelogram și trasați o diagonală de la începutul ambilor vectori. Va fi rezultatul. Așa se adaugă vectorii conform regulii paralelogramului.

Până acum, au fost două. Dar dacă sunt 3 sau 10? Utilizați următoarea tehnică.

Cum și când se aplică regula poligonului?

Dacă trebuie să efectuați adăugarea de vectori, al căror număr este mai mare de doi, nu ar trebui să vă intimidați. Este suficient să le amânați pe toate și să conectați începutul lanțului cu sfârșitul său. Acest vector va fi suma necesară.

Ce proprietăți sunt valabile pentru acțiunile asupra vectorilor?

Despre vectorul zero. Care susține că atunci când se adaugă la acesta, se obține originalul.

Despre vectorul opus. Adică despre unul care are direcția opusă și valoare egală ca mărime. Suma lor va fi zero.

Despre comutativitatea adunării. Ce se știe de atunci scoala primara... Schimbarea locurilor termenilor nu schimbă rezultatul. Cu alte cuvinte, nu contează ce vector să amâne primul. Răspunsul va fi în continuare corect și singurul.

Despre asociativitatea adunării. Această lege vă permite să adăugați în perechi orice vector din triplu și să adăugați o treime la ei. Dacă scrieți asta folosind semne, obțineți următoarele:

primul + (al doilea + al treilea) = al doilea + (primul + al treilea) = al treilea + (primul + al doilea).

Ce se știe despre diferența de vector?

Nu există o operație de scădere separată. Acest lucru se datorează faptului că este în esență un plus. Numai celui de-al doilea dintre ei i se dă direcția opusă. Și apoi totul se face ca și cum s-ar lua în considerare adăugarea vectorilor. Prin urmare, practic nu vorbesc despre diferența lor.

Pentru a simplifica lucrul cu scăderea lor, regula triunghiului a fost modificată. Acum (la scăderea) al doilea vector trebuie amânat de la începutul primului. Răspunsul va fi cel care leagă punctul final al scăderii de acesta. Deși puteți amâna așa cum este descris mai devreme, pur și simplu schimbând direcția celui de-al doilea.

Cum să găsiți suma și diferența vectorilor în coordonate?

În problemă, sunt date coordonatele vectorilor și trebuie să aflați valorile acestora pentru cel final. În acest caz, construcțiile nu trebuie efectuate. Adică, puteți folosi formule simple care descriu regula pentru adăugarea vectorilor. Arata asa:

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Este ușor de observat că coordonatele trebuie doar să fie adăugate sau scăzute, în funcție de sarcina specifică.

Primul exemplu cu soluție

Condiție. Având în vedere un dreptunghi AVSD. Laturile sale sunt de 6 și 8 cm Punctul de intersecție al diagonalelor este desemnat cu litera O. Este necesar să se calculeze diferența dintre vectorii AO și BO.

Soluţie. Mai întâi trebuie să desenați acești vectori. Ele sunt direcționate de la vârfurile dreptunghiului până la intersecția diagonalelor.

Dacă te uiți cu atenție la desen, poți vedea că vectorii sunt deja aliniați, astfel încât al doilea dintre ei să atingă capătul primului. Dar direcția sa este greșită. Ar trebui să înceapă din acest punct. Aceasta este dacă vectorii sunt adăugați, iar în problemă - scădere. Stop. Această acțiune înseamnă că trebuie să adăugați vectorul direcțional opus. Aceasta înseamnă că VO trebuie înlocuit cu OV. Și se dovedește că cei doi vectori au format deja o pereche de laturi din regula triunghiului. Prin urmare, rezultatul adunării lor, adică diferența dorită, este vectorul AB.

Și coincide cu latura dreptunghiului. Pentru a scrie răspunsul numeric, aveți nevoie de următoarele. Desenați un dreptunghi pe lungime, astfel încât partea mai mare să fie orizontală. Începeți să numerotați vârfurile din stânga jos și mergeți în sens invers acelor de ceasornic. Atunci lungimea vectorului AB va fi de 8 cm.

Răspuns. Diferența dintre AO și AO este de 8 cm.

Al doilea exemplu și soluția sa detaliată

Condiție. În rombul AVSD diagonalele au 12 și 16 cm Punctul de intersecție a acestora este desemnat cu litera O. Calculați lungimea vectorului format din diferența dintre vectorii AO și BO.

Soluţie. Fie ca desemnarea vârfurilor rombului să fie aceeași ca în problema anterioară. Similar cu soluția din primul exemplu, se dovedește că diferența dorită este egală cu vectorul AB. Și lungimea lui este necunoscută. Soluția problemei s-a redus la calcularea uneia dintre laturile rombului.

În acest scop, va trebui să luați în considerare triunghiul ABO. Este dreptunghiulară deoarece diagonalele rombului se intersectează la 90 de grade. Și picioarele lui sunt egale cu jumătate din diagonale. Adică 6 și 8 cm.Latura căutată în problemă coincide cu ipotenuza din acest triunghi.

Pentru a-l găsi necesită teorema lui Pitagora. Pătratul ipotenuzei va fi egal cu suma numerelor 6 2 și 8 2. După pătrat se obțin valorile: 36 și 64. Suma lor este 100. Rezultă că ipotenuza este de 10 cm.

Răspuns. Diferența dintre vectorii AO și VO este de 10 cm.

Al treilea exemplu cu soluție detaliată

Condiție. Calculați diferența și suma a doi vectori. Coordonatele lor sunt cunoscute: primul are 1 și 2, al doilea are 4 și 8.

Soluţie. Pentru a găsi suma, trebuie să adăugați prima și a doua coordonată în perechi. Rezultatul va fi numerele 5 și 10. Răspunsul va fi un vector cu coordonatele (5; 10).

Pentru diferență, trebuie să scazi coordonatele. După finalizarea acestei acțiuni, se vor obține numerele -3 și -6. Acestea vor fi coordonatele vectorului dorit.

Răspuns. Suma vectorilor este (5; 10), diferența lor este (-3; -6).

Al patrulea exemplu

Condiție. Lungimea vectorului AB este de 6 cm, BC - 8 cm.Al doilea este pus deoparte de capătul primului la un unghi de 90 de grade. Calculaţi: a) diferenţa dintre modulele vectorilor BA şi BC şi modulul diferenţei dintre BA şi BC; b) suma acelorași module și modulul sumei.

Rezolvare: a) Lungimile vectorilor sunt deja date în problemă. Prin urmare, nu este dificil să calculăm diferența lor. 6 - 8 = -2. Situația cu modulul diferenței este ceva mai complicată. Mai întâi trebuie să aflați care vector va fi rezultatul scăderii. În acest scop, vectorul VA, care este îndreptat în direcția opusă AB, ar trebui amânat. Apoi desenați vectorul BC de la capătul său, îndreptându-l în direcția opusă celei inițiale. Rezultatul scăderii este vectorul CA. Modulul său poate fi calculat prin teorema lui Pitagora. Calculele simple duc la o valoare de 10 cm.

b) Suma modulelor vectorilor este egală cu 14 cm.Pentru găsirea celui de-al doilea răspuns este necesară o anumită transformare. Vectorul BA este îndreptat invers față de ceea ce este dat - AB. Ambii vectori sunt direcționați din același punct. În această situație, puteți folosi regula paralelogramului. Rezultatul adunării va fi o diagonală și nu doar un paralelogram, ci un dreptunghi. Diagonalele sale sunt egale, ceea ce înseamnă că modulul sumei este același ca în paragraful anterior.

Raspuns: a) -2 si 10 cm; b) 14 și 10 cm.

vector dintr-un punct dat.

Definiția 1

Dacă punctul $ A $ este începutul unui vector $ \ overrightarrow (a) $, atunci se spune că vectorul $ \ overrightarrow (a) $ este amânat din punctul $ A $ (Fig. 1).

Figura 1. $ \ overrightarrow (a) $ amânat de la punctul $ A $

Să introducem următoarea teoremă:

Teorema 1

Din orice punct $ K $, puteți amâna vectorul $ \ overrightarrow (a) $ și, în plus, doar unul.

Dovada.

Existenţă: Există două cazuri de luat în considerare aici:

Vectorul $ \ overrightarrow (a) $ este nul.

În acest caz, este evident că vectorul necesar este vectorul $ \ overrightarrow (KK) $.

Vectorul $ \ overrightarrow (a) $ este diferit de zero.

Să notăm cu punctul $ A $ începutul vectorului $ \ overrightarrow (a) $, iar cu punctul $ B $ - sfârșitul vectorului $ \ overrightarrow (a) $. Desenați o dreaptă $ b $ prin punctul $ K $ paralel cu vectorul $ \ overrightarrow (a) $. Puneți pe această linie segmentele $ \ stânga | KL \ dreapta | = | AB | $ și $ \ stânga | KM \ dreapta | = | AB | $. Luați în considerare vectorii $ \ overrightarrow (KL) $ și $ \ overrightarrow (KM) $. Dintre acești doi vectori, cel dorit va fi cel care va fi codirecțional cu vectorul $ \ overrightarrow (a) $ (Fig. 2)

Figura 2. Ilustrarea teoremei 1

unicitate: unicitatea decurge imediat din construcţia efectuată în clauza de „existenţă”.

Teorema este demonstrată.

Adăugarea vectorilor. Regula triunghiului

Să ni se dau vectorii $ \ overrightarrow (a) $ și $ \ overrightarrow (b) $.

Definiția 2

Suma vectorilor $ \ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) $ este un vector $ \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (AC) $, construit astfel: Vector $ \ overrightarrow (AB) = \ overrightarrow (a ) $, atunci se trasează vectorul $ \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (b) $ din punctul obținut $ B $ și se leagă punctul $ A $ cu punctul $ C $ (Fig. 3).

Figura 3. Suma vectorilor

Observație 1

În caz contrar, se mai numește și definiția 2 regula triunghiului pentru a adăuga doi vectori.

Din această regulă decurg mai multe proprietăți ale adunării a doi vectori:

Pentru orice vector $ \ overrightarrow (a) $, egalitatea

\ [\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (0) = \ overrightarrow (a) \]

Pentru orice puncte arbitrare $ A, \ B \ și \ C $, egalitatea

\ [\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AC) \]

Observația 2

Similar cu regula triunghiului, puteți construi suma oricărui număr de vectori. Această regulă de adunare se numește regula poligonului.

Regula paralelogramului

Pe lângă regula triunghiului pentru adăugarea a doi vectori, există și o regulă paralelogramă pentru adăugarea a doi vectori. Mai întâi formulăm și demonstrăm următoarea teoremă.

Teorema 2

Pentru oricare trei vectori $ \ overrightarrow (a), \ \ overrightarrow (b) \ și \ \ overrightarrow (c) $ următoarele două legi sunt adevărate:

Legea călătoriilor:

\ [\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (a) \]

Legea combinației:

\ [\ stânga (\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) \ right) + \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (a) + \ stânga (\ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (c) \ dreapta) \ ]

Dovada.

Legea călătoriilor:

Legea combinației:

Să construim următoarea figură: Să lăsăm deoparte vectorul $ \ overrightarrow (AB) = \ overrightarrow (a) $ dintr-un punct arbitrar $ A $, din punctul rezultat $ B $ - vector $ \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (b) $ și din punctele $ C $ - vector $ \ overrightarrow (CD) = \ overrightarrow (c) $ (Fig. 5).

Figura 5. Ilustrarea legii combinației

Din proprietatea regulii triunghiului $ \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AC) $, obținem:

Prin urmare, $ \ left (\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) \ right) + \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (a) + \ left (\ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (c) \ right) $.

Teorema este demonstrată.

Din această teoremă, putem extrage acum regula paralelogramului pentru suma a doi vectori necoliniari: pentru a adăuga doi vectori necoliniari $ \ overrightarrow (a) $ și $ \ overrightarrow (b) $, trebuie să amânați vectorii $ \ overrightarrow (AB ) = \ overrightarrow (a) $ și $ \ overrightarrow (AD) = \ overrightarrow (b) $ și construiți un paralelogram $ ABCD $. Apoi $ \ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (AC) $.

Un exemplu de problemă de adiție vectorială

Exemplul 1

Având în vedere un patrulater $ ABCD $. Demonstrați că $ \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD) = \ overrightarrow (AD) $

Figura 6.

Dovada.

Să folosim proprietatea regulii triunghiului $ \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AC) $, obținem:

\ [\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD) = \ overrightarrow (AC) + \ overrightarrow (CD) = \ overrightarrow (AD) \]

Ca urmare a adăugării a doi sau mai mulți vectori, obțineți întotdeauna încă unul. Mai mult, el va fi întotdeauna neapărat același, indiferent de primirea descoperirii sale.

Cel mai adesea la cursul de geometrie școlară se ia în considerare adăugarea a doi vectori. Se poate realiza după regula unui triunghi sau a unui paralelogram. Aceste imagini arată diferit, dar rezultatul acțiunii este același.

Cum funcționează adăugarea triunghiului?

Este folosit când vectorii sunt necoliniari. Adică nu se află pe o singură linie dreaptă sau paralelă.

Dacă vectorii sunt coliniari, atunci se poate aplica și această regulă. Doar desenul va fi amplasat de-a lungul unei linii.

Cum se realizează adăugarea paralelogramelor?

Până acum, au fost două. Dar dacă sunt 3 sau 10? Utilizați următoarea tehnică.

Cum și când se aplică regula poligonului?

Ce proprietăți sunt valabile pentru acțiunile asupra vectorilor?

Despre vectorul zero. Care susține că atunci când se adaugă la acesta, se obține originalul.

Despre vectorul opus. Adică despre unul care are direcția opusă și valoare egală ca mărime. Suma lor va fi zero.

Despre comutativitatea adunării. Ce se știe încă din școala elementară. Schimbarea locurilor termenilor nu schimbă rezultatul. Cu alte cuvinte, nu contează ce vector să amâne primul. Răspunsul va fi în continuare corect și singurul.

primul + (al doilea + al treilea) = al doilea + (primul + al treilea) = al treilea + (primul + al doilea).

Ce se știe despre diferența de vector?

Cum să găsiți suma și diferența vectorilor în coordonate?

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Este ușor de observat că coordonatele trebuie doar să fie adăugate sau scăzute, în funcție de sarcina specifică.

Primul exemplu cu soluție

Soluţie. Mai întâi trebuie să desenați acești vectori. Ele sunt direcționate de la vârfurile dreptunghiului până la intersecția diagonalelor.

Răspuns. Diferența dintre AO și AO este de 8 cm.

Al doilea exemplu și soluția sa detaliată

Condiție. În rombul AVSD diagonalele au 12 și 16 cm Punctul de intersecție a acestora este desemnat cu litera O. Calculați lungimea vectorului format din diferența dintre vectorii AO și BO.

Răspuns. Diferența dintre vectorii AO și VO este de 10 cm.

Al treilea exemplu cu soluție detaliată

Condiție. Calculați diferența și suma a doi vectori. Coordonatele lor sunt cunoscute: primul are 1 și 2, al doilea are 4 și 8.

Soluţie. Pentru a găsi suma, trebuie să adăugați prima și a doua coordonată în perechi. Rezultatul va fi numerele 5 și 10. Răspunsul va fi un vector cu coordonatele (5; 10).

Pentru diferență, trebuie să scazi coordonatele. După finalizarea acestei acțiuni, se vor obține numerele -3 și -6. Acestea vor fi coordonatele vectorului dorit.

Răspuns. Suma vectorilor este (5; 10), diferența lor este (-3; -6).

Al patrulea exemplu

Raspuns: a) -2 si 10 cm; b) 14 și 10 cm.

Adunarea forțelor se realizează folosind regula de adunare vectorială. Sau așa-numita regulă a paralelogramului. Deoarece forța este reprezentată ca un vector, adică este un segment, a cărui lungime este afișată valoare numerică forță, iar direcția indică direcția forței. Adică, adăugați forțe, adică vectori, folosind însumarea geometrică a vectorilor.

Pe de altă parte, adunarea forțelor înseamnă găsirea rezultantei mai multor forțe. Adică atunci când organismul este afectat de mai multe forte diferite... Diferite atât ca dimensiune, cât și ca direcție. Este necesar să se găsească forța rezultată care va acționa asupra corpului în ansamblu. În acest caz, forțele pot fi adăugate în perechi folosind regula paralelogramului. Mai întâi, adună cele două forțe. Mai adăugăm unul la rezultatul lor. Și așa mai departe până când toate forțele se adună.

Figura 1 - Regula paralelogramului.

Regula paralelogramului poate fi descrisă după cum urmează. Pentru două forțe care ies dintr-un punct și având între ele un unghi diferit de zero sau 180 de grade. Puteți construi un paralelogram. Prin transferarea începutului unui vector la sfârșitul altuia. Diagonala acestui paralelogram va fi rezultanta acestor forțe.

Dar puteți folosi și regula poligonului forței. În acest caz, punctul de plecare este selectat. Primul vector al forței care acționează asupra corpului părăsește acest punct, apoi următorul vector se adaugă la capătul său, folosind metoda transfer paralel... Și așa mai departe până când se obține un poligon de forță. În final, rezultanta tuturor forțelor dintr-un astfel de sistem va fi un vector desenat de la punctul de plecare până la sfârșitul ultimului vector.

Figura 2 - Poligonul forțelor.

În cazul în care corpul se mișcă sub acțiunea mai multor forțe aplicate în diferite puncte ale corpului. Se poate considera că se mișcă sub acțiunea forței rezultante aplicate centrului de masă al corpului dat.

Odată cu adăugarea forțelor, pentru a simplifica calculele mișcării, se folosește și metoda de descompunere a forțelor. După cum sugerează și numele, esența metodei este că o forță care acționează asupra corpului este descompusă în forțele componente. În acest caz, forțele constitutive au asupra corpului același efect ca forța inițială.

Descompunerea fortelor se realizeaza si dupa regula paralelogramului. Trebuie să iasă din același punct. Din același punct din care iese forța de descompunere. De regulă, forța descompusă este reprezentată sub formă de proiecții pe axe perpendiculare. De exemplu, cum acționează forța gravitației și forța de frecare asupra unei bare situate pe un plan înclinat.