Universitatea Națională de Cercetare

Departamentul de Geologie Aplicată

Rezumat în matematică superioară

La subiect: „Funcții elementare de bază,

proprietățile și grafica lor"

Efectuat:

Verificat:

profesor

Definiție. Funcția dată de formula y = ax (unde a> 0, a ≠ 1) se numește funcție exponențială cu baza a.

Să formulăm principalele proprietăți ale funcției exponențiale:

1. Domeniul definiției - mulțimea (R) a tuturor numerelor reale.

2. Gama de valori - mulțimea (R +) a tuturor numerelor reale pozitive.

3. Pentru a> 1 funcția crește pe întreaga dreaptă numerică; la 0<а<1 функция убывает.

4. Este o funcție generală.

, pe intervalul xÎ [-3; 3], pe intervalul xÎ [-3; 3]

O funcție de forma y (x) = x n, unde n este un număr ÎR, se numește funcție de putere. Numărul n poate lua diferite valori: atât întreg cât și fracționar, atât par, cât și impar. În funcție de aceasta, funcția de putere va avea o formă diferită. Luați în considerare cazuri speciale care sunt funcții de putere și reflectați principalele proprietăți ale acestui tip de curbe în următoarea ordine: funcția de putere y = x² (funcția cu exponent par este o parabolă), funcția de putere y = x³ (funcția cu exponent impar este parabola cubică). ) și funcția y = √x (x la ½ grad) (funcție cu exponent fracționar), funcție cu exponent întreg negativ (hiperbolă).

Funcția de putere y = x²

1. D (x) = R - funcția este definită pe toate axele numerice;

2.E (y) = și crește în interval

Funcția de putere y = x³

1. Graficul funcției y = x³ se numește parabolă cubică. Funcția de putere y = x³ are următoarele proprietăți:

2. D (x) = R - funcția este definită pe toate axele numerice;

3. E (y) = (- ∞; ∞) - funcția ia toate valorile pe domeniul său de definiție;

4. La x = 0 y = 0 - funcția trece prin originea coordonatelor O (0; 0).

5. Funcția crește pe întregul domeniu de definiție.

6. Funcția este impară (simetrică față de origine).

, pe intervalul xÎ [-3; 3]

În funcție de factorul numeric din fața lui x³, funcția poate fi abruptă / blândă și crește / descrește.

Funcția de putere cu exponent întreg negativ:

Dacă exponentul n este impar, atunci graficul unei astfel de funcții de putere se numește hiperbolă. O funcție de putere cu un exponent întreg negativ are următoarele proprietăți:

1. D (x) = (- ∞; 0) U (0; ∞) pentru orice n;

2. E (y) = (- ∞; 0) U (0; ∞) dacă n este un număr impar; E (y) = (0; ∞) dacă n este un număr par;

3. Funcția scade pe întregul domeniu de definiție, dacă n este un număr impar; funcția crește pe intervalul (-∞; 0) și scade pe intervalul (0; ∞), dacă n este un număr par.

4. Funcția este impară (simetrică față de origine) dacă n este un număr impar; funcția este chiar dacă n este un număr par.

5. Funcția trece prin punctele (1; 1) și (-1; -1) dacă n este un număr impar și prin punctele (1; 1) și (-1; 1) dacă n este un număr par.

, pe intervalul xÎ [-3; 3]

Funcția exponent fracționar

O funcție de putere cu un exponent fracționar al formei (imagine) are un grafic al funcției prezentat în figură. O funcție de putere cu un exponent fracționar are următoarele proprietăți: (imagine)

1. D (x) ÎR, dacă n este un număr impar și D (x) =, pe intervalul xÎ, pe intervalul xÎ [-3; 3]

Funcția logaritmică y = log a x are următoarele proprietăți:

1. Domeniul definiției D (x) Î (0; + ∞).

2. Interval de valori E (y) Î (- ∞; + ∞)

3. Funcția nu este nici pară, nici impară (generală).

4. Funcția crește pe intervalul (0; + ∞) pentru a> 1, scade pe (0; + ∞) pentru 0< а < 1.

Graficul funcției y = log a x poate fi obținut din graficul funcției y = a x folosind o transformare de simetrie față de dreapta y = x. În Figura 9, un grafic al funcției logaritmice este reprezentat pentru a> 1, iar în Figura 10 - pentru 0< a < 1.

; pe intervalul xÎ; pe intervalul xÎ

Funcțiile y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x se numesc funcții trigonometrice.

Funcțiile y = sin x, y = tan x, y = ctg x sunt impare, iar funcția y = cos x este pară.

Funcția y = sin (x).

1. Domeniul definiției D (x) ÎR.

2. Interval de valori E (y) Î [- 1; 1].

3. Funcția este periodică; perioada principală este 2π.

4. Funcția este impară.

5. Funcția crește la intervalele [-π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn] și scade pe intervalele [π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn], n Î Z.

Graficul funcției y = sin (x) este prezentat în Figura 11.

Elevii se confruntă cu sarcina de a reprezenta un grafic de funcții chiar la începutul studiului algebrei și continuă să le construiască de la an la an. Pornind de la graficul unei funcții liniare, pentru construcția căreia trebuie să cunoașteți doar două puncte, până la o parabolă, pentru care aveți nevoie deja de 6 puncte, o hiperbolă și o sinusoidă. În fiecare an funcțiile devin din ce în ce mai complexe și nu se mai pot construi graficele lor după un șablon; este necesar să se efectueze studii mai complexe folosind derivate și limite.

Să vedem cum să găsim graficul unei funcții? Pentru a face acest lucru, să începem cu cele mai simple funcții, ale căror grafice sunt reprezentate prin puncte, apoi să luăm în considerare un plan pentru construirea de funcții mai complexe.

Trasarea unei funcții liniare

Pentru a construi cele mai simple grafice, se folosește un tabel cu valorile funcției. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Să încercăm să găsim punctele graficului funcției y = 4x + 5.

1. Pentru a face acest lucru, luați două valori arbitrare ale variabilei x, înlocuiți-le una câte una în funcție, găsiți valoarea variabilei y și introduceți totul în tabel.
2. Luați valoarea x = 0 și înlocuiți-o în funcție în loc de x - 0. Obținem: y = 4 * 0 + 5, adică y = 5 scriem această valoare în tabel sub 0. În mod similar, luăm x = 0 obținem y = 4 * 1 + 5 , y = 9.
3. Acum, pentru a construi un grafic al funcției, trebuie să reprezentați aceste puncte pe planul de coordonate. Apoi trebuie să desenați o linie dreaptă.

Trasarea unei funcții cuadratice

O funcție pătratică este o funcție de forma y = ax 2 + bx + c, unde x este o variabilă, a, b, c sunt numere (a nu este egal cu 0). De exemplu: y = x 2, y = x 2 +5, y = (x-3) 2, y = 2x 2 + 3x + 5.

Pentru a construi cea mai simplă funcție pătratică y = x 2, se iau de obicei 5-7 puncte. Să luăm valorile pentru variabila x: -2, -1, 0, 1, 2 și să găsim valorile lui y în același mod ca atunci când trasăm primul grafic.

Graficul unei funcții pătratice se numește parabolă. După ce construiesc grafice ale unei funcții, elevii au noi sarcini legate de grafic.

Exemplul 1: găsiți abscisa punctului din graficul funcției y = x 2, dacă ordonata este 9. Pentru a rezolva problema, trebuie să înlocuiți 9 în funcție în loc de y. Obținem 9 = x 2 și rezolva aceasta ecuatie. x = 3 și x = -3. Acest lucru poate fi văzut și în graficul funcției.

Examinând o funcție și trasând-o

Pentru a construi grafice cu funcții mai complexe, trebuie să urmați câțiva pași care vizează studierea acesteia. Este nevoie de:

1. Găsiți domeniul funcției. Domeniul de aplicare sunt toate valorile pe care variabila x le poate lua. Din domeniul definiției este necesar să se excludă acele puncte la care numitorul devine 0 sau expresia radicală devine negativă.
2. Setați funcția să fie pară sau impară. Reamintim că par este funcția care îndeplinește condiția f (-x) = f (x). Graficul său este simetric față de Oy. Funcția va fi impară dacă îndeplinește condiția f (-x) = - f (x). În acest caz, graficul este simetric față de origine.
3. Aflați punctele de intersecție cu axele de coordonate. Pentru a găsi abscisa punctului de intersecție cu axa Ox, este necesar să se rezolve ecuația f (x) = 0 (ordonata este egală cu 0). Pentru a găsi ordonata punctului de intersecție cu axa Oy, este necesar să înlocuiți 0 în funcție în loc de variabila x (abscisa este egală cu 0).
4. Găsiți asimptotele funcției. Un asyptot este o linie dreaptă de care graficul se apropie la nesfârșit, dar nu o traversează niciodată. Să vedem cum să găsim asimptotele graficului unei funcții.
   • Linie de asimptotă verticală de forma x = a
   • Asimptota orizontală este o linie dreaptă de forma y = a
   • Asimptota oblică este o dreaptă de forma y = kx + b
5. Aflați punctele extreme ale funcției, intervalele de creștere și scădere ale funcției. Să găsim punctele extreme ale funcției. Pentru a face acest lucru, este necesar să găsiți prima derivată și să o echivalați cu 0. În aceste puncte funcția se poate schimba de la creștere la descrescătoare. Să determinăm semnul derivatei pe fiecare interval. Dacă derivata este pozitivă, atunci graficul funcției crește, dacă este negativă, scade.
6. Aflați punctele de inflexiune ale graficului funcției, intervalele de convexitate în sus și în jos.

Găsirea punctelor de inflexiune este acum mai ușoară ca niciodată. Trebuie doar să găsiți derivata a doua, apoi să o echivalați cu zero. În continuare, găsim semnul derivatei a doua pe fiecare interval. Dacă este pozitivă, atunci graficul funcției este convex în jos, dacă este negativ, este în sus.

Acest material metodologic este doar pentru referință și se referă la o gamă largă de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor principalelor funcții elementare și ia în considerare cea mai importantă problemă - cum să construiți un grafic corect și RAPID... În cursul studierii matematicii superioare fără a cunoaște graficele principalelor funcții elementare, va fi dificil, de aceea este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc., pentru a ne aminti unele valorile funcțiilor. De asemenea, vom vorbi despre unele dintre proprietățile principalelor funcții.

Nu pretind completitudinea și temeinicia științifică a materialelor, accentul se va pune, în primul rând, în practică - acele lucruri cu care trebuie să se ocupe la propriu la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară... Grafice pentru manechine? Se poate spune si asa.

La cererea populară din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultrascurt pe această temă
- stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, până și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă simbol, o versiune demonstrativă poate fi vizualizată. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și imediat începem:

Cum se trasează corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna întocmite de către elevi în caiete separate, aliniate într-o cușcă. De ce ai nevoie de linii în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru proiectarea de înaltă calitate și precisă a desenelor.

Orice desen al unui grafic al unei funcții începe cu axe de coordonate.

Desenele sunt disponibile în 2D și 3D.

Luați în considerare mai întâi cazul bidimensional sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare:

1) Desenăm axele de coordonate. Axa se numește abscisă iar axa este axa y ... Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă... De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu majuscule „X” și „Y”. Nu uitați să semnați topoarele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trage zero și doi unu... La efectuarea unui desen, scara cea mai convenabilă și obișnuită este: 1 unitate = 2 celule (desen din stânga) - dacă este posibil, rămâneți de ea. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe foaia caietului - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Rareori, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU TREBUIE să „mâzgălești cu o mitralieră” ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Căci planul de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar elevul nu este un porumbel. Am pus zeroși două unități de-a lungul axelor... Uneori in loc de unități, este convenabil să „marcați” alte valori, de exemplu, „două” pe abscisă și „trei” pe ordonată - și acest sistem (0, 2 și 3) va seta, de asemenea, fără ambiguitate grila de coordonate.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a fi construit desenul.... Deci, de exemplu, dacă sarcina vă cere să desenați un triunghi cu vârfuri,,, atunci este destul de clar că scara populară de 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la subiect - aici trebuie să măsori cincisprezece centimetri în jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică de 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că 30 de celule tetradice conțin 15 centimetri? Măsoară într-un caiet pentru dobândă 15 centimetri cu o riglă. În URSS, poate că acest lucru a fost adevărat... Este interesant de remarcat că dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Poate că acest lucru va părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de aspecte este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau o scurtă recomandare pentru papetărie. Astăzi, majoritatea caietelor sunt la vânzare, ca să nu spun cuvinte rele, pline de homosexualitate. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Ei economisesc pe hârtie. Pentru înregistrarea testelor, recomand să folosiți caietele de la Arkhangelsk PPM (18 coli, cutie) sau „Pyaterochka”, cu toate acestea, este mai scump. Este indicat să alegeți un pix cu gel, chiar și cea mai ieftină reumplere chinezească cu gel este mult mai bună decât un pix care fie unge, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” din memoria mea este „Erich Krause”. Ea scrie clar, frumos și stabil - fie cu miezul plin, fie cu unul aproape gol.

În plus: Vederea unui sistem de coordonate dreptunghiular prin ochii geometriei analitice este tratată în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor, informații detaliate despre sferturile de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

Caz tridimensional

Aici este aproape la fel.

1) Desenăm axele de coordonate. Standard: axa aplicată - îndreptată în sus, axa - îndreptată spre dreapta, axa - stânga și în jos strict la un unghi de 45 de grade.

2) Semnăm axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scara axei - jumătate din scara celorlalte axe... De asemenea, observați că în desenul din dreapta am folosit un "serif" non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus)... Din punctul meu de vedere, acest lucru este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu este nevoie să căutați mijlocul unei celule la microscop și să „sculptați” o unitate chiar lângă origine.

Când desenați din nou 3D - acordați prioritate scarei
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt acolo pentru a fi încălcate. Ce am de gând să fac acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect din punctul de vedere al designului corect. Aș putea desena toate diagramele manual, dar desenarea lor este de fapt groaznică, deoarece Excel le va desena mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

Funcția liniară este dată de ecuație. Graficul funcțiilor liniare este Drept... Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să cunoști două puncte.

Exemplul 1

Trasează funcția. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Daca atunci

Luați un alt punct, de exemplu, 1.

Daca atunci

La completarea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, calculator.

S-au găsit două puncte, să executăm desenul:

Când întocmim un desen, semnăm întotdeauna grafice.

Nu va fi de prisos să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am aranjat semnăturile, semnăturile nu trebuie să permită discrepanțe la studierea desenului... În acest caz, a fost extrem de nedorit să se pună o semnătură în apropierea punctului de intersecție a liniilor sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Graficul proporțional direct trece întotdeauna prin origine. Astfel, construcția unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți un singur punct.

2) Ecuația formei stabilește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este stabilită de ecuație. Graficul funcției este construit imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, înregistrarea trebuie înțeleasă astfel: „jocul este întotdeauna egal cu –4, pentru orice valoare a lui x”.

3) Ecuația formei stabilește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa în sine este stabilită de ecuație. Graficul funcției este, de asemenea, construit imediat. Notația trebuie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, este egal cu 1”.

Unii se vor întreba, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa, doar de-a lungul anilor de practică, am întâlnit o duzină de studenți care au rămas perplexi de sarcina de a construi un grafic ca sau.

Desenarea unei linii drepte este cel mai frecvent pas în desen.

Linia dreaptă este considerată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei care doresc pot consulta articolul Ecuația unei drepte pe un plan.

Grafic cuadratic, cubic al funcției, grafic polinomial

Parabolă. Graficul funcției cuadratice () este o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Să ne amintim câteva dintre proprietățile funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: - în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa, puteți afla din articolul teoretic despre derivată și din lecția despre extremele unei funcții. Între timp, calculăm valoarea corespunzătoare a „jocului”:

Deci vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, simetria parabolei nu a fost anulată.

În ce ordine să găsiți restul punctelor, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit în mod figurat „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Să executăm desenul:

Încă un semn util îmi vine în minte din graficele examinate:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoașterea aprofundată a curbei poate fi obținută în lecția Hyperbola și Parabola.

O parabolă cubică este dată de o funcție. Iată un desen cunoscut de la școală:

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul funcției

Reprezintă una dintre ramurile parabolei. Să executăm desenul:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul hiperbolei la.

Va fi o MARE greșeală dacă neglijați să permiteți intersecția graficului cu asimptota la întocmirea desenului.

De asemenea, limitele unilaterale ne spun că hiperbola nelimitat de susși nelimitat de jos.

Să investigăm funcția la infinit: adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul funcției, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, și, prin urmare, hiperbola este simetrică față de origine. Acest fapt este evident din desen, în plus, este ușor de verificat analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale hiperbolei.

Dacă, atunci hiperbola este situată în primul și al treilea sferturi de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă, atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea trimestru de coordonate.

Regularitatea indicată a locului de reședință al hiperbolei este ușor de analizat din punct de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punct cu punct, în timp ce este avantajos să selectăm valorile astfel încât să fie împărțit în întregime:

Să executăm desenul:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, aici funcția impară va ajuta doar. Aproximativ, în tabelul de construcție punct cu punct, adăugați mental un minus fiecărui număr, puneți punctele corespunzătoare și desenați oa doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia considerată pot fi găsite în articolul Hyperbola și Parabola.

Graficul funcției exponențiale

În această secțiune, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri exponențialul este cel care se întâlnește.

Permiteți-mi să vă reamintesc că - acesta este un număr irațional: acesta va fi necesar la construirea unui program, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte sunt probabil suficiente:

Să lăsăm graficul funcției în pace pentru moment, mai multe despre asta mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

În principiu, graficele funcțiilor arată la fel etc.

Trebuie să spun că al doilea caz este mai puțin frecvent în practică, dar apare, așa că am considerat că este necesar să îl includ în acest articol.

Graficul funcției logaritmice

Luați în considerare o funcție cu logaritm natural.
Să executăm un desen punct cu punct:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniu:

Gama de valori:.

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: ... Deci axa este asimptotă verticală pentru graficul funcției cu „x” tinde spre zero în dreapta.

Este imperativ să cunoașteți și să vă amintiți valoarea tipică a logaritmului.: .

În principiu, graficul logaritmului de bază arată la fel:,, (logaritmul zecimal baza 10), etc. Mai mult, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul, din anumite motive nu-mi amintesc ultima dată când am construit un grafic pe o astfel de bază. Iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

La sfârșitul paragrafului, voi mai spune despre un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmicăSunt două funcții reciproc inverse... Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice cu funcții trigonometrice

Cum începe chinul trigonometric la școală? Dreapta. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie se numește sinusoid.

Permiteți-mi să vă reamintesc că „pi” este un număr irațional, iar în trigonometrie orbiește în ochi.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct. Ce înseamnă? Să ne uităm la segment. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniu:, adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Gama de valori:. Funcția este limitat:, adică toți „gamerii” stau strict în segment.
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai precis, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au soluție.

Să alegem un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și să trasăm valorile argumentului pe axa absciselor NS, iar pe ordonată - valorile funcției y = f (x).

Graficul funcției y = f (x) este mulțimea tuturor punctelor ale căror abscise aparțin domeniului funcției, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.

Cu alte cuvinte, graficul funcției y = f (x) este mulțimea tuturor punctelor planului, coordonatele NS, la care satisfac relatia y = f (x).

În fig. 45 și 46 sunt grafice ale funcțiilor y = 2x + 1și y = x 2 - 2x.

Strict vorbind, ar trebui să distingem între graficul funcției (a cărui definiție matematică exactă a fost dată mai sus) și curba desenată, care oferă întotdeauna doar o schiță mai mult sau mai puțin precisă a graficului (și chiar și atunci, de regulă, nu întregul grafic, ci doar partea lui situată în partea finală a planului). În cele ce urmează, totuși, vom spune de obicei „grafic” mai degrabă decât „graf schiță”.

Folosind graficul, puteți găsi valoarea unei funcții într-un punct. Și anume, dacă punctul x = a aparține domeniului funcției y = f (x), apoi pentru a găsi numărul f (a)(adică, valorile funcției la punctul x = a) ar trebui să faci asta. Este necesar printr-un punct cu abscisă x = a trageți o linie dreaptă paralelă cu ordonata; această linie va intersecta graficul funcției y = f (x) la un moment dat; ordonata acestui punct va fi, în virtutea definiţiei graficului, egală cu f (a)(fig. 47).

De exemplu, pentru funcție f (x) = x 2 - 2x folosind graficul (Fig. 46) găsim f (-1) = 3, f (0) = 0, f (1) = -l, f (2) = 0 etc.

Graficul funcției ilustrează clar comportamentul și proprietățile unei funcții. De exemplu, dintr-o considerație a fig. 46 este clar că funcţia y = x 2 - 2x ia valori pozitive la NS< 0 iar la x> 2, negativ - la 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x ia la x = 1.

Pentru a trasa funcția f (x) trebuie să găsiți toate punctele avionului, coordonatele NS,la care satisfac ecuația y = f (x)... În cele mai multe cazuri, acest lucru nu se poate face, deoarece există o infinitate de astfel de puncte. Prin urmare, graficul funcției este reprezentat aproximativ - cu mai mult sau mai puțină precizie. Cea mai simplă este metoda de reprezentare grafică în mai multe puncte. Constă în faptul că argumentul NS dați un număr finit de valori - să spunem, x 1, x 2, x 3, ..., x k și alcătuiți un tabel care să conțină valorile selectate ale funcției.

Tabelul arată astfel:

După ce am întocmit un astfel de tabel, putem contura mai multe puncte ale graficului funcției y = f (x)... Apoi, conectând aceste puncte cu o linie netedă, obținem o vedere aproximativă a graficului funcției y = f (x).

Trebuie remarcat, totuși, că metoda de reprezentare în mai multe puncte este foarte nesigură. De fapt, comportamentul graficului dintre punctele desemnate și comportamentul acestuia în afara segmentului dintre extrema punctelor luate rămâne necunoscut.

Exemplul 1... Pentru a trasa funcția y = f (x) cineva a făcut un tabel de valori ale argumentelor și ale funcției:

Cele cinci puncte corespunzătoare sunt prezentate în Fig. 48.

Pe baza locației acestor puncte, a concluzionat că graficul funcției este o linie dreaptă (prezentată în Fig. 48 printr-o linie punctată). Această concluzie poate fi considerată de încredere? Dacă nu există considerații suplimentare care să susțină această concluzie, cu greu poate fi considerată de încredere. de încredere.

Pentru a fundamenta afirmația noastră, luați în considerare funcția

.

Calculele arată că valorile acestei funcții la punctele -2, -1, 0, 1, 2 sunt descrise doar de tabelul de mai sus. Totuși, graficul acestei funcții nu este deloc o linie dreaptă (este prezentat în Fig. 49). Un alt exemplu este funcția y = x + l + sinπx; valorile sale sunt descrise și în tabelul de mai sus.

Aceste exemple arată că metoda pură de graficare cu mai multe puncte nu este de încredere. Prin urmare, pentru a construi un grafic al unei funcții date, de regulă, procedați după cum urmează. În primul rând, studiem proprietățile acestei funcții, cu ajutorul căreia puteți construi o schiță a graficului. Apoi, calculând valorile funcției în mai multe puncte (ale căror alegere depinde de proprietățile setate ale funcției), sunt găsite punctele corespunzătoare ale graficului. Și, în sfârșit, o curbă este trasată prin punctele construite folosind proprietățile acestei funcții.

Unele (cele mai simple și des folosite) proprietăți ale funcțiilor folosite pentru a găsi o schiță a unui grafic, le vom lua în considerare mai târziu, iar acum vom analiza câteva dintre cele mai frecvent utilizate metode de reprezentare a graficului.

Graficul funcției y = | f (x) |.

Adesea trebuie să reprezentați o funcție y = | f (x)|, unde f (x) - funcţie dată. Să ne amintim cum se face acest lucru. După definiția valorii absolute a unui număr, puteți scrie

Aceasta înseamnă că graficul funcției y = | f (x) | poate fi obținut din grafic, funcție y = f (x) astfel: toate punctele graficului funcţiei y = f (x) pentru care ordonatele sunt nenegative ar trebui lăsate neschimbate; mai departe, în locul punctelor graficului funcției y = f (x) cu coordonate negative, ar trebui să construiți punctele corespunzătoare ale graficului funcției y = -f (x)(adică o parte a graficului funcției
y = f (x) care se află sub axă NS, ar trebui să fie reflectată simetric în jurul axei NS).

Exemplul 2. Funcția Plot y = | x |.

Luăm graficul funcției y = x(Fig. 50, a) și o parte din acest grafic la NS< 0 (întins sub ax NS) reflectă simetric în jurul axei NS... Ca rezultat, obținem graficul funcției y = | x |(Fig. 50, b).

Exemplul 3... Funcția Plot y = | x 2 - 2x |.

În primul rând, să diagramăm funcția y = x 2 - 2x. Graficul acestei funcții este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, vârful parabolei are coordonatele (1; -1), graficul său intersectează axa absciselor în punctele 0 și 2. Pe intervalul (0; 2). ), funcția ia valori negative, prin urmare această parte a graficului este reflectată simetric față de axa absciselor. Figura 51 prezintă graficul funcției y = | x 2 -2x | pe baza graficului funcției y = x 2 - 2x

Graficul funcției y = f (x) + g (x)

Luați în considerare problema reprezentării grafice a funcției y = f (x) + g (x). dacă sunt date grafice de funcții y = f (x)și y = g (x).

Rețineți că domeniul funcției y = | f (x) + g (x) | este mulțimea tuturor acelor valori ale lui x pentru care sunt definite ambele funcții y = f (x) și y = g (x), adică acest domeniu este intersecția domeniilor, funcțiilor f (x) și g ( X).

Lasă punctele (x 0, y 1) și (x 0, y 2) aparțin respectiv graficelor de funcții y = f (x)și y = g (x), adică y 1 = f (x 0), y 2 = g (x 0). Atunci punctul (x0 ;. y1 + y2) aparține graficului funcției y = f (x) + g (x)(pentru f (x 0) + g (x 0) = y 1 + y2),. și orice punct din graficul funcției y = f (x) + g (x) poate fi obtinut in acest fel. Prin urmare, graficul funcției y = f (x) + g (x) pot fi obținute din graficele de funcții y = f (x)... și y = g (x)înlocuind fiecare punct ( x n, y 1) grafică funcțională y = f (x) punct (x n, y 1 + y 2), Unde y 2 = g (x n), adică prin deplasarea fiecărui punct ( x n, y 1) graficul funcției y = f (x) de-a lungul axei la prin suma y 1 = g (x n). În acest caz, sunt luate în considerare numai astfel de puncte NS n pentru care sunt definite ambele funcții y = f (x)și y = g (x).

Această metodă de reprezentare a unei funcții y = f (x) + g (x) se numește adunarea graficelor funcțiilor y = f (x)și y = g (x)

Exemplul 4... În figură, prin adăugarea de grafice, este trasat un grafic al funcției
y = x + sinx.

La trasarea funcției y = x + sinx noi am crezut asta f (x) = x, A g (x) = sinx. Pentru a reprezenta graficul funcției, selectați punctele cu abscise -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5 ,, 1,5, 2. Valori f (x) = x, g (x) = sinx, y = x + sinx calculați în punctele selectate și plasați rezultatele în tabel.

Să vedem cum să explorezi o funcție folosind un grafic. Se pare că, privind graficul, puteți afla tot ce ne interesează, și anume:

• domeniul functional
• intervalul de funcții
• zerouri ale funcției
• intervale de creştere şi scădere
• puncte maxime și minime
• cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției de pe segment.

Să clarificăm terminologia:

Abscisă este coordonata orizontală a punctului.
Ordonată este coordonata verticală.
Axa absciselor- o axă orizontală, denumită cel mai adesea axă.
axa Y- axa verticală, sau axa.

Argument este variabila independentă de care depind valorile funcției. Cel mai adesea indicat.
Cu alte cuvinte, noi înșine alegem, înlocuim funcții în formulă și obținem.

Domeniu funcții - setul acelor (și numai acelea) valori ale argumentului pentru care există funcția.
Este indicat prin: sau.

În figura noastră, domeniul funcției este un segment. Pe acest segment este trasat graficul funcției. Doar aici există această funcție.

Gama de funcții este setul de valori pe care le ia o variabilă. În imaginea noastră, acesta este un segment - de la cea mai mică la cea mai mare valoare.

Zerourile funcției- punctele în care valoarea funcției este egală cu zero, adică. În figura noastră, acestea sunt puncte și.

Valorile funcției sunt pozitive Unde . În figura noastră, acestea sunt lacune și.
Valorile funcției sunt negative Unde . Avem acest interval (sau interval) de la până.

Cele mai importante concepte sunt funcţia crescătoare şi descrescătoare pe vreun platou. Ca set, puteți lua un segment, un interval, o uniune de intervale sau întreaga linie numerică.

Funcţie creste

Cu alte cuvinte, cu cât mai mult, cu atât mai mult, adică graficul merge la dreapta și în sus.

Funcţie scade pe o mulțime dacă, pentru oricare și aparținând mulțimii, inegalitatea decurge din inegalitate.

Pentru o funcție descrescătoare, o valoare mai mare corespunde unei valori mai mici. Graficul merge la dreapta și în jos.

În figura noastră, funcția crește în interval și scade în intervalele și.

Să definim ce este punctele maxime și minime ale funcției.

Punct maxim este un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta este mai mare decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Cu alte cuvinte, punctul maxim este un astfel de punct, valoarea funcției la care Mai mult decât în ​​cele vecine. Aceasta este o „movilă” locală pe diagramă.

În figura noastră - punctul maxim.

Punct minim- un punct interior al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta să fie mai mică decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Adică, punctul minim este astfel încât valoarea funcției din el să fie mai mică decât în ​​cele învecinate. Aceasta este o „gaură” locală pe diagramă.

În imaginea noastră - punctul minim.

Punctul este granița. Nu este un punct intern al domeniului definiției și, prin urmare, nu se potrivește definiției unui punct maxim. La urma urmei, nu are vecini în stânga. În același mod, nu poate fi un punct minim pe graficul nostru.

Punctele maxime și minime sunt numite colectiv punctele extreme ale funcției... În cazul nostru, acesta este și.

Și ce să faci dacă trebuie să găsești, de exemplu, functie minima pe segment? În acest caz, răspunsul este. deoarece functie minima este valoarea sa la punctul minim.

La fel, maximul funcției noastre este. Se ajunge la un punct.

Putem spune că extremele funcției sunt egale cu și.

Uneori, în sarcini pe care trebuie să le găsiți valorile mai mari și cele mai mici ale funcției pe un segment dat. Ele nu coincid neapărat cu extreme.

În cazul nostru cea mai mică valoare a funcției pe segment este egal și coincide cu minimul funcției. Dar cea mai mare valoare pe acest segment este egală cu. Se ajunge la capătul din stânga al segmentului de linie.

În orice caz, cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un segment sunt atinse fie la punctele extreme, fie la capetele segmentului.