Piramidă triunghiulară isoscelă. Piramidă. Piramida trunchiată

Ipoteză: credem că perfecţiunea formei piramidei se datorează legilor matematice inerente formei acesteia.

Ţintă: După ce ați studiat piramida ca corp geometric, explicați perfecțiunea formei sale.

Sarcini:

1. Dați o definiție matematică a unei piramide.

2. Studiați piramida ca corp geometric.

3. Înțelegeți ce cunoștințe matematice au încorporat egiptenii în piramidele lor.

Întrebări private:

1. Ce este o piramidă ca corp geometric?

2. Cum poate fi explicată din punct de vedere matematic forma unică a piramidei?

3. Ce explică minunile geometrice ale piramidei?

4. Ce explică perfecțiunea formei piramidei?

Definiția piramidei.

PIRAMIDĂ (din greacă pyramis, gen. pyramidos) - un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun (desen). Pe baza numărului de colțuri ale bazei, piramidele sunt clasificate ca triunghiulare, patrulatere etc.

PIRAMIDĂ - o structură monumentală care are forma geometrică a unei piramide (uneori și în trepte sau în formă de turn). Piramidele sunt numele dat mormintelor gigantice ale vechilor faraoni egipteni din mileniul III-II î.Hr. e., precum și vechile socluri ale templului american (în Mexic, Guatemala, Honduras, Peru), asociate cu cultele cosmologice.

Este posibil ca cuvântul grecesc „piramidă” să provină din expresia egipteană per-em-us, adică dintr-un termen care înseamnă înălțimea piramidei. Remarcabilul egiptolog rus V. Struve credea că grecescul „puram...j” provine din egipteanul antic „p”-mr”.

Din istorie. După ce am studiat materialul din manualul „Geometrie” de către autorii lui Atanasyan. Butuzov și alții, am aflat că: Un poliedru compus dintr-un n-gon A1A2A3 ... Un și n triunghiuri PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 se numește piramidă. Poligonul A1A2A3...An este baza piramidei, iar triunghiurile PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 sunt fețele laterale ale piramidei, P este vârful piramidei, segmentele PA1, PA2,..., PAn sunt marginile laterale.

Cu toate acestea, această definiție a unei piramide nu a existat întotdeauna. De exemplu, matematicianul grec antic, autorul unor tratate teoretice de matematică care au ajuns până la noi, Euclid, definește o piramidă ca fiind o figură solidă limitată de planuri care converg de la un plan la un punct.

Dar această definiție a fost criticată deja în vremuri străvechi. Deci Heron a propus următoarea definiție a unei piramide: „Este o figură delimitată de triunghiuri care converg într-un punct și a cărei bază este un poligon”.

Grupul nostru, comparând aceste definiții, a ajuns la concluzia că nu au o formulare clară a conceptului de „fundație”.

Am examinat aceste definiții și am găsit definiția lui Adrien Marie Legendre, care în 1794 în lucrarea sa „Elementele de geometrie” definește piramida astfel: „O piramidă este o figură corporală, format din triunghiuri, convergând într-un punct și se termină pe laturi diferite ale unei baze plate.”

Ni se pare că ultima definiție oferă o idee clară despre piramidă, deoarece aceasta despre care vorbim că baza este plată. O altă definiție a piramidei a apărut într-un manual din secolul al XIX-lea: „o piramidă este un unghi solid intersectat de un plan”.

Piramida ca corp geometric.

Acea. O piramidă este un poliedru, una dintre fețele căruia (baza) este un poligon, celelalte fețe (laturile) sunt triunghiuri care au un vârf comun (vârful piramidei).

Se numește perpendiculara trasată din vârful piramidei pe planul bazei înălţimeh piramide.

Pe lângă piramida arbitrară, există piramida corecta la baza căruia se află un poligon regulat şi trunchi de piramidă.

În figură există o piramidă PABCD, ABCD este baza sa, PO este înălțimea sa.

Suprafata totala piramida este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Sfull = Sside + Smain, Unde Latură– suma suprafețelor fețelor laterale.

Volumul piramidei se gaseste prin formula:

V=1/3Sbas. h, unde Sbas. - suprafata de baza, h- înălțime.

Axa unei piramide regulate este linia dreaptă care conține înălțimea acesteia.
Apotema ST este înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite.

Aria feței laterale a unei piramide regulate este exprimată astfel: Sside. =1/2P h, unde P este perimetrul bazei, h- inaltimea fetei laterale (apotema unei piramide regulate). Dacă piramida este intersectată de planul A’B’C’D’, paralel cu baza, atunci:

1) nervurile laterale și înălțimea sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

2) în secțiune transversală se obține un poligon A’B’C’D’, asemănător bazei;

DIV_ADBLOCK914">

O piramidă triunghiulară regulată se numește tetraedru .

Piramida trunchiată se obține prin tăierea părții sale superioare din piramidă cu un plan paralel cu baza (figura ABCDD’C’B’A’).

Bazele unei piramide trunchiate– poligoane similare ABCD și A`B`C`D`, fețele laterale sunt trapeze.

Înălţime trunchi de piramidă - distanța dintre baze.

Volum trunchiat piramida se gaseste dupa formula:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite se exprimă după cum urmează: Sside. = ½(P+P') h, unde P și P’ sunt perimetrele bazelor, h- înălțimea feței laterale (apotema unui piram trunchiat obișnuit

Secțiuni ale unei piramide.

Secțiunile unei piramide prin planuri care trec prin vârful ei sunt triunghiuri.

O secțiune care trece prin două margini laterale neadiacente ale unei piramide se numește secțiune diagonală.

Dacă secțiunea trece printr-un punct de pe marginea laterală și pe partea bazei, atunci urma sa până în planul bazei piramidei va fi această parte.

O secțiune care trece printr-un punct situat pe fața piramidei și o urmă de secțiune dată pe planul de bază, apoi construcția trebuie efectuată după cum urmează:

· găsiți punctul de intersecție al planului unei fețe date și urma secțiunii piramidei și desemnați-o;

construiți o linie dreaptă care trece prin punct datși punctul de intersecție rezultat;

· repetați acești pași pentru fețele următoare.

, care corespunde raportului catetelor unui triunghi dreptunghic 4:3. Acest raport al picioarelor corespunde binecunoscutului triunghi dreptunghic cu laturile 3:4:5, care se numește triunghiul „perfect”, „sacru” sau „egiptean”. Potrivit istoricilor, triunghiului „egiptean” i s-a dat un sens magic. Plutarh a scris că egiptenii comparau natura universului cu un triunghi „sacru”; au asemănat simbolic piciorul vertical cu soțul, baza cu soția și ipotenuza cu ceea ce se naște din ambele.

Pentru un triunghi 3:4:5, egalitatea este adevărată: 32 + 42 = 52, care exprimă teorema lui Pitagora. Nu a fost această teoremă pe care preoții egipteni au vrut să o perpetueze ridicând o piramidă bazată pe triunghiul 3:4:5? E greu să găsești mai multe bun exemplu pentru a ilustra teorema lui Pitagora, care era cunoscută egiptenilor cu mult înainte de descoperirea ei de către Pitagora.

Astfel, genialii creatori ai piramidelor egiptene au căutat să uimească descendenții îndepărtați cu profunzimea cunoștințelor lor și au reușit acest lucru alegând triunghiul dreptunghic „de aur” ca „idee geometrică principală” pentru piramida lui Keops și „sacru” sau „egiptean” pentru piramida Khafre.triunghi.

Foarte des în cercetările lor, oamenii de știință folosesc proprietățile piramidelor cu proporții ale raportului de aur.

Dicționarul enciclopedic matematic oferă următoarea definiție a Secțiunii de Aur - aceasta este o diviziune armonică, diviziune în rapoarte extreme și medii - împărțind segmentul AB în două părți, astfel încât partea sa mai mare AC este media proporțională între întregul segment. AB și partea sa mai mică NE.

Determinarea algebrică a secțiunii de aur a unui segment AB = a reduce la rezolvarea ecuației a: x = x: (a – x), din care x este aproximativ egal cu 0,62a. Raportul x poate fi exprimat ca fracții 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, unde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sunt numere Fibonacci.

Construcția geometrică a Secțiunii de Aur a segmentului AB se realizează după cum urmează: în punctul B, se restabilește o perpendiculară pe AB, pe ea este așezat segmentul BE = 1/2 AB, A și E sunt conectate, DE = BE este concediat și, în final, AC = AD, apoi egalitatea AB este satisfăcută: CB = 2:3.

Raportul de aur este adesea folosit în opere de artă, arhitectură și se găsește în natură. Exemple vii sunt sculptura lui Apollo Belvedere, Partenonul. În timpul construcției Partenonului s-a folosit raportul dintre înălțimea clădirii și lungimea acesteia și acest raport este de 0,618. Obiectele din jurul nostru oferă, de asemenea, exemple ale raportului de aur, de exemplu, legăturile multor cărți au un raport lățime-lungime apropiat de 0,618. Având în vedere dispunerea frunzelor pe tulpina comună a plantelor, puteți observa că între fiecare două perechi de frunze a treia este situată la Raportul de Aur (diapozitive). Fiecare dintre noi „poartă” Raportul de Aur cu noi „în mâinile noastre” - acesta este raportul dintre falangele degetelor.

Datorită descoperirii mai multor papirusuri matematice, egiptologii au aflat câte ceva despre sistemele egiptene antice de calcul și măsurare. Sarcinile cuprinse în ele erau rezolvate de către cărturari. Unul dintre cele mai faimoase este Papirusul matematic Rhind. Studiind aceste probleme, egiptologii au aflat cum se comportau egiptenii antici in cantitati diferite, care au apărut în calculul măsurilor de greutate, lungime și volum, care foloseau adesea fracții și modul în care aceștia s-au ocupat de unghiuri.

Vechii egipteni foloseau o metodă de calcul a unghiurilor bazată pe raportul dintre înălțimea și baza unui triunghi dreptunghic. Ei exprimau orice unghi în limbajul unui gradient. Gradientul pantei a fost exprimat ca un raport de număr întreg numit „seced”. În Mathematics in the Age of the Pharaohs, Richard Pillins explică: „Seked-ul unei piramide regulate este înclinarea oricăreia dintre cele patru fețe triunghiulare față de planul bazei, măsurată prin al n-lea număr de unități orizontale per unitate verticală de ridicare. . Astfel, această unitate de măsură este echivalentă cu cotangentei noastre moderne a unghiului de înclinare. Prin urmare, cuvântul egiptean „seced” este legat de al nostru cuvânt modern"gradient"".

Cheia numerică a piramidelor constă în raportul dintre înălțimea lor și bază. În termeni practici, acesta este cel mai simplu mod de a realiza șabloanele necesare pentru a verifica constant unghiul corect de înclinare pe tot parcursul construcției piramidei.

Egiptologii ar fi bucuroși să ne convingă că fiecare faraon dorește să-și exprime individualitatea, de unde și diferențele de unghiuri de înclinare pentru fiecare piramidă. Dar ar putea exista un alt motiv. Poate că toți au vrut să întruchipeze diferite asociații simbolice, ascunse în proporții diferite. Cu toate acestea, unghiul piramidei lui Khafre (bazat pe triunghi (3:4:5) apare în cele trei probleme prezentate de piramide din Papirusul matematic Rhind). Deci această atitudine era bine cunoscută vechilor egipteni.

Pentru a fi corect față de egiptologii care susțin că egiptenii antici nu cunoșteau triunghiul 3:4:5, lungimea ipotenuzei 5 nu a fost niciodată menționată. Dar probleme de matematicăîntrebările referitoare la piramide sunt întotdeauna decise pe baza celui de-al doilea unghi - raportul dintre înălțime și bază. Deoarece lungimea ipotenuzei nu a fost niciodată menționată, s-a ajuns la concluzia că egiptenii nu au calculat niciodată lungimea celei de-a treia laturi.

Raporturile înălțime-bază folosite în piramidele din Giza erau, fără îndoială, cunoscute egiptenilor antici. Este posibil ca aceste relații pentru fiecare piramidă să fi fost alese în mod arbitrar. Cu toate acestea, acest lucru contrazice importanța acordată simbolismului numerelor în toate tipurile de egiptean Arte vizuale. Este foarte probabil ca astfel de relații să fie semnificative, deoarece exprimau idei religioase specifice. Cu alte cuvinte, întregul complex Giza a fost subordonat unui design coerent conceput pentru a reflecta o anumită temă divină. Acest lucru ar explica de ce designerii au ales unghiuri diferite pentru cele trei piramide.

În Misterul lui Orion, Bauval și Gilbert au prezentat dovezi convingătoare care leagă piramidele din Giza de constelația Orion, în special de stelele centurii lui Orion.Aceeași constelație este prezentă în mitul lui Isis și Osiris și există motive pentru a vedea fiecare piramidă ca pe o reprezentarea uneia dintre cele trei zeități principale - Osiris, Isis și Horus.

MIRACURI „GEOMETRICE”.

Printre grandioasele piramide ale Egiptului ocupă un loc aparte Marea Piramidă a faraonului Keops (Khufu). Înainte de a începe să analizăm forma și dimensiunea piramidei Keops, ar trebui să ne amintim ce sistem de măsuri au folosit egiptenii. Egiptenii aveau trei unități de lungime: un „cot” (466 mm), care era egal cu șapte „palme” (66,5 mm), care, la rândul lor, era egal cu patru „degete” (16,6 mm).

Să analizăm dimensiunile piramidei Keops (Fig. 2), urmând argumentele date în minunata carte a savantului ucrainean Nikolai Vasyutinsky " ratia de aur" (1990).

Majoritatea cercetătorilor sunt de acord că lungimea laturii bazei piramidei, de exemplu, GF egal cu L= 233,16 m. Această valoare corespunde aproape exact la 500 de „coate”. Respectarea deplină a 500 de „coturi” va avea loc dacă lungimea „cotului” este considerată egală cu 0,4663 m.

Înălțimea piramidei ( H) este estimat de cercetători în mod variat de la 146,6 la 148,2 m. Și în funcție de înălțimea acceptată a piramidei, toate relațiile dintre elementele sale geometrice se schimbă. Care este motivul diferențelor de estimări ale înălțimii piramidei? Cert este că, strict vorbind, piramida lui Keops este trunchiată. Platforma sa superioară măsoară astăzi aproximativ 10 ´ 10 m, dar acum un secol avea 6 ´ 6 m. Evident, vârful piramidei a fost demontat și nu corespunde cu cel inițial.

Când se evaluează înălțimea piramidei, este necesar să se țină cont de acest lucru factor fizic, ca „schiță” a structurii. In spate perioadă lungă de timp sub influența presiunii colosale (atingând 500 de tone pe 1 m2 suprafata de jos) înălțimea piramidei a scăzut față de înălțimea ei inițială.

Care a fost înălțimea inițială a piramidei? Această înălțime poate fi recreată prin găsirea „ideei geometrice” de bază a piramidei.

Figura 2.

În 1837, colonelul englez G. Wise a măsurat unghiul de înclinare al fețelor piramidei: s-a dovedit a fi egal A= 51°51". Această valoare este încă recunoscută de majoritatea cercetătorilor astăzi. Valoarea unghiului specificată corespunde tangentei (tg A), egal cu 1,27306. Această valoare corespunde raportului dintre înălțimea piramidei AC la jumătatea bazei sale C.B.(Fig.2), adică A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Și aici, cercetătorii au avut o mare surpriză!.png" width="25" height="24">= 1.272. Comparând această valoare cu valoarea tg A= 1,27306, vedem că aceste valori sunt foarte apropiate unele de altele. Dacă luăm unghiul A= 51°50”, adică reduceți-l cu doar un minut de arc, apoi valoarea A va deveni egal cu 1,272, adică va coincide cu valoarea. De remarcat că în 1840 G. Wise și-a repetat măsurătorile și a clarificat că valoarea unghiului A=51°50".

Aceste măsurători i-au condus pe cercetători la următoarea ipoteză foarte interesantă: triunghiul ACB al piramidei lui Keops s-a bazat pe relația AC / C.B. = = 1,272!

Luați în considerare acum triunghiul dreptunghic ABC, în care raportul picioarelor A.C. / C.B.= (Fig. 2). Dacă acum lungimile laturilor dreptunghiului ABC desemnat prin X, y, z, și, de asemenea, să ia în considerare faptul că raportul y/X= , apoi în conformitate cu teorema lui Pitagora, lungimea z poate fi calculat folosind formula:

Dacă acceptăm X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figura 3. Triunghi dreptunghic „de aur”.

Un triunghi dreptunghic în care laturile sunt legate ca t:de aur" triunghi dreptunghic.

Apoi, dacă luăm ca bază ipoteza că „ideea geometrică” principală a piramidei lui Cheops este un triunghi dreptunghic „de aur”, atunci de aici putem calcula cu ușurință înălțimea „proiectului” a piramidei lui Cheops. Este egal cu:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Să derivăm acum câteva alte relații pentru piramida lui Keops, care decurg din ipoteza „de aur”. În special, vom găsi raportul dintre zona exterioară a piramidei și zona bazei sale. Pentru a face acest lucru, luăm lungimea piciorului C.B. pe unitate, adică: C.B.= 1. Dar apoi lungimea laturii bazei piramidei GF= 2 și aria bazei EFGH va fi egal SEFGH = 4.

Să calculăm acum aria feței laterale a piramidei Keops SD. Pentru că înălțimea AB triunghi AEF egal cu t, atunci aria feței laterale va fi egală cu SD = t. Apoi, aria totală a tuturor celor patru fețe laterale ale piramidei va fi egală cu 4 t, iar raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și zona bazei va fi egal cu raportul de aur! Asta e - principalul mister geometric al piramidei lui Keops!

Grupul de „miracole geometrice” din piramida lui Keops include proprietăți reale și exagerate ale relațiilor dintre diferitele dimensiuni din piramidă.

De regulă, ele sunt obținute în căutarea anumitor „constante”, în special, numărul „pi” (numărul lui Ludolfo), egal cu 3,14159...; baza logaritmilor naturali „e” (numărul Neperovo), egală cu 2,71828...; numărul „F”, numărul „secțiunii de aur”, egal cu, de exemplu, 0,618... etc.

Puteti numi, de exemplu: 1) Proprietatea lui Herodot: (Inaltime)2 = 0,5 art. de bază x Apothem; 2) Proprietatea lui V. Pret: Inaltime: 0,5 art. baza = rădăcina pătrată a lui „F”; 3) Proprietatea lui M. Eist: Perimetrul bazei: 2 Inaltime = "Pi"; într-o interpretare diferită - 2 linguri. de bază : Înălțime = „Pi”; 4) Proprietatea lui G. Muchia: Raza cercului înscris: 0,5 art. de bază = "F"; 5) Proprietatea lui K. Kleppisch: (Art. principal.)2: 2(Art. principal. x Apothem) = (Art. principal. W. Apothema) = 2(Art. principal. x Apothem) : ((2 art. principal. .baza X Apotema) + (art. baza)2). etc. Puteți veni cu multe astfel de proprietăți, mai ales dacă conectați două piramide adiacente. De exemplu, ca „Proprietățile lui A. Arefyev” se poate menționa că diferența dintre volumele piramidei lui Keops și piramidei lui Khafre este egală cu dublul volumului piramidei lui Mikerin...

Mulți prevederi interesanteÎn special, construcția piramidelor conform „raportului de aur” este descrisă în cărțile lui D. Hambidge „Simetria dinamică în arhitectură” și M. Gick „Estetica proporției în natură și artă”. Să ne amintim că „raportul de aur” este împărțirea unui segment într-un astfel de raport încât partea A este de atâtea ori mai mare decât partea B, de câte ori A este mai mic decât întregul segment A + B. Raportul A/B este egal cu numărul „F” == 1.618. .. Utilizarea „raportului de aur” este indicată nu numai în piramidele individuale, ci și în întregul complex de piramide de la Giza.

Cel mai curios lucru, însă, este că una și aceeași piramidă a lui Cheops pur și simplu „nu poate” conține atât de multe proprietăți minunate. Luând o anumită proprietate una câte una, aceasta poate fi „montată”, dar toate nu se potrivesc deodată - nu coincid, se contrazic. Prin urmare, dacă, de exemplu, la verificarea tuturor proprietăților, luăm inițial aceeași parte a bazei piramidei (233 m), atunci înălțimile piramidelor cu proprietăți diferite vor fi și ele diferite. Cu alte cuvinte, există o anumită „familie” de piramide care sunt similare în exterior cu Keops, dar au proprietăți diferite. Rețineți că nu există nimic deosebit de miraculos în proprietățile „geometrice” - multe apar pur automat, din proprietățile figurii în sine. Un „miracol” ar trebui considerat doar ceva ce era în mod clar imposibil pentru egiptenii antici. Aceasta, în special, include miracole „cosmice”, în care măsurătorile piramidei Cheops sau ale complexului piramidal de la Giza sunt comparate cu unele măsurători astronomice și sunt indicate numere „pare”: de un milion de ori mai puțin, de un miliard de ori mai puțin și curând. Să luăm în considerare câteva relații „cosmice”.

Una dintre afirmații este: „dacă împărțiți latura bazei piramidei la lungimea exactă a anului, obțineți exact 10 milioane de parte din axa pământului”. Calculați: împărțiți 233 la 365, obținem 0,638. Raza Pământului este de 6378 km.

O altă afirmație este de fapt opusă celei anterioare. F. Noetling a subliniat că, dacă folosiți „cotul egiptean” pe care l-a inventat el însuși, atunci partea piramidei va corespunde „cea mai precisă durată”. an solar, exprimată la cea mai apropiată miliardime dintr-o zi” - 365.540.903.777.

Afirmația lui P. Smith: „Înălțimea piramidei este exact o miliardime din distanța de la Pământ la Soare”. Deși înălțimea luată de obicei este de 146,6 m, Smith a considerat-o ca 148,2 m. Conform măsurătorilor radar moderne, semi-axa majoră a orbitei pământului este de 149.597.870 + 1,6 km. Aceasta este distanța medie de la Pământ la Soare, dar la periheliu este cu 5.000.000 de kilometri mai mică decât la afeliu.

O ultima afirmatie interesanta:

„Cum putem explica că masele piramidelor lui Keops, Khafre și Mykerinus se relaționează între ele, ca și masele planetelor Pământ, Venus și Marte?” Să calculăm. Masele celor trei piramide sunt: ​​Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Raporturile maselor celor trei planete: Venus - 0,815; Pământ - 1.000; Marte - 0,108.

Deci, în ciuda scepticismului, remarcăm armonia binecunoscută a construcției enunțurilor: 1) înălțimea piramidei, ca o linie „care merge în spațiu”, corespunde distanței de la Pământ la Soare; 2) partea bazei piramidei, cea mai apropiată „de substrat”, adică de Pământ, este responsabilă pentru raza pământului și circulația pământului; 3) volumele piramidei (citește - mase) corespund raportului dintre masele planetelor cele mai apropiate de Pământ. Un „cifr” similar poate fi urmărit, de exemplu, în limbajul albinelor analizat de Karl von Frisch. Cu toate acestea, ne vom abține de la a comenta această problemă pentru moment.

FORMA DE PIRAMIDĂ

Celebra formă tetraedrică a piramidelor nu a apărut imediat. Sciții au făcut înmormântări sub formă de dealuri de pământ - movile. Egiptenii au construit „dealuri” din piatră – piramide. Acest lucru s-a întâmplat pentru prima dată după unificarea Egiptului de Sus și de Jos, în secolul al 28-lea î.Hr., când înaintea fondatorului dinastia a III-a Faraonul Djoser (Zoser) a fost însărcinat cu întărirea unității țării.

Și aici, potrivit istoricilor, rol importantîn întărire Guvernul central jucat de „noul concept de îndumnezeire” al regelui. Deși înmormântările regale se distingeau printr-o splendoare mai mare, ele, în principiu, nu diferă de mormintele nobililor de curte; erau aceleași structuri - mastabas. Deasupra camerei cu sarcofagul care conține mumia, o movilă dreptunghiulară de pietre mici, unde a fost ridicată apoi o mică clădire din blocuri mari de piatră - „mastaba” (în arabă - „bancă”). Faraonul Djoser a ridicat prima piramidă pe locul mastabei predecesorului său, Sanakht. A fost treptă și a fost o etapă vizibilă de tranziție de la o formă arhitecturală la alta, de la o mastaba la o piramidă.

În acest fel, înțeleptul și arhitectul Imhotep, care mai târziu a fost considerat un vrăjitor și identificat de greci cu zeul Asclepius, l-a „crescut” pe faraon. Parcă s-au ridicat șase mastaba la rând. Mai mult, prima piramidă a ocupat o suprafață de 1125 x 115 metri, cu o înălțime estimată de 66 de metri (conform standardelor egiptene - 1000 de „palmii”). La început, arhitectul a plănuit să construiască o mastaba, dar nu alungită, ci în plan pătrat. Ulterior a fost extins, dar din moment ce prelungirea a fost făcută mai jos, părea că sunt două trepte.

Această situație nu l-a mulțumit pe arhitect, iar pe platforma superioară a uriașei mastabe plate, Imhotep a mai așezat trei, scăzând treptat spre vârf. Mormântul era situat sub piramidă.

Mai multe piramide trepte sunt cunoscute, dar mai târziu constructorii au trecut la construirea de piramide tetraedrice care ne sunt mai familiare. De ce, totuși, nu triunghiular sau, să zicem, octogonal? Un răspuns indirect este dat de faptul că aproape toate piramidele sunt orientate perfect de-a lungul celor patru direcții cardinale și, prin urmare, au patru laturi. În plus, piramida era o „casă”, carcasa unei camere funerare pătraunghiulare.

Dar ce a determinat unghiul de înclinare al fețelor? În cartea „Principiul proporțiilor” un întreg capitol este dedicat acestui lucru: „Ce ar fi putut determina unghiurile de înclinare ale piramidelor”. În special, se indică faptul că „imaginea spre care gravitează marile piramide ale Vechiului Regat este un triunghi cu unghi drept la vârf.

În spațiu este un semi-octaedru: o piramidă în care marginile și laturile bazei sunt egale, marginile sunt triunghiuri echilaterale.” Anumite considerații sunt date pe acest subiect în cărțile lui Hambidge, Gick și alții.

Care este avantajul unghiului semi-octaedru? Conform descrierilor făcute de arheologi și istorici, unele piramide s-au prăbușit sub propria greutate. Ceea ce era necesar era un „unghi de durabilitate”, un unghi care era cel mai sigur din punct de vedere energetic. Pur empiric, acest unghi poate fi luat din unghiul vârfului într-o grămadă de nisip uscat care se prăbușește. Dar pentru a obține date exacte, trebuie să utilizați un model. Luând patru bile bine fixate, trebuie să plasați o a cincea pe ele și să măsurați unghiurile de înclinare. Cu toate acestea, puteți face o greșeală aici, așa că un calcul teoretic vă ajută: ar trebui să conectați centrele bilelor cu linii (mental). Baza va fi un pătrat cu o latură egală cu dublul razei. Pătratul va fi doar baza piramidei, a cărei lungime a marginilor va fi, de asemenea, egală cu dublul razei.

Astfel, un pachet strâns de bile precum 1:4 ne va oferi un semi-octaedru obișnuit.

Cu toate acestea, de ce multe piramide, care gravitează spre o formă similară, nu o păstrează totuși? Piramidele probabil îmbătrânesc. Contrar celebrului zical:

„Totul în lume se teme de timp, iar timpul se teme de piramide”, clădirile piramidelor trebuie să îmbătrânească, nu numai procesele de intemperii externe pot și ar trebui să apară în ele, ci și procesele de „contracție” internă, care pot determină ca piramidele să devină mai joase. Contracția este posibilă și pentru că, așa cum a relevat lucrările lui D. Davidovits, egiptenii antici au folosit tehnologia de a face blocuri din așchii de var, cu alte cuvinte, din „beton”. Tocmai procese similare ar putea explica motivul distrugerii Piramidei Medum, situată la 50 km sud de Cairo. Are 4600 de ani, dimensiunile bazei sunt 146 x 146 m, inaltimea este de 118 m. „De ce este atât de desfigurat?” se întreabă V. Zamarovsky. „Referirile obișnuite la efectele distructive ale timpului și „folosirea pietrei pentru alte clădiri” nu sunt potrivite aici.

La urma urmei, majoritatea blocurilor și plăcilor sale de parament au rămas pe loc până în ziua de azi, în ruine la poalele sale." După cum vom vedea, o serie de prevederi ne fac chiar să credem că celebra piramidă a lui Keops, de asemenea, a "zărit". în orice caz, în toate imaginile antice, piramidele sunt ascuțite...

Forma piramidelor ar fi putut fi generată și prin imitație: niște mostre naturale, „perfecțiune miraculoasă”, să zicem, niște cristale sub formă de octaedru.

Cristale similare ar putea fi cristale de diamant și aur. Caracteristică un numar mare de semne „suprapuse” pentru concepte precum Faraon, Soare, Aur, Diamant. Peste tot - nobil, genial (strălucitor), grozav, impecabil și așa mai departe. Asemănările nu sunt întâmplătoare.

Cultul solar, după cum se știe, a format o parte importantă a religiei Egiptul antic. „Oricât vom traduce numele celei mai mari piramide”, notează unul dintre manualele moderne, „Cerul lui Khufu” sau „Cerul lui Khufu”, însemna că regele este soarele.” Dacă Khufu, în strălucirea puterii sale, și-a imaginat că este al doilea soare, atunci fiul său Djedef-Ra a devenit primul dintre regii egipteni care s-a numit „fiul lui Ra”, adică fiul Soarelui. Soarele a fost simbolizat printre aproape toate popoarele prin „metalul solar”, aurul. „Un disc mare de aur strălucitor” - așa numeau egiptenii lumina zilei noastre. Egiptenii cunoșteau perfect aurul, cunoșteau formele sale native, unde cristalele de aur pot apărea sub formă de octaedre.

„Piatra soarelui”—diamantul—este, de asemenea, interesantă aici ca „probă de forme”. Numele diamantului provine tocmai din lumea arabă, „almas” - cel mai dur, cel mai dur, indestructibil. Vechii egipteni cunoșteau destul de bine diamantul și proprietățile sale. Potrivit unor autori, au folosit chiar tuburi de bronz cu freze de diamant pentru găurire.

În prezent, principalul furnizor de diamante este Africa de Sud, dar Africa de Vest este și ea bogată în diamante. Teritoriul Republicii Mali este chiar numit „Țara diamantelor”. Între timp, pe teritoriul Mali locuiesc dogonii, alături de care susținătorii ipotezei paleo-vizitei pun multe speranțe (vezi mai jos). Diamantele nu ar fi putut fi motivul contactelor vechilor egipteni cu această regiune. Cu toate acestea, într-un fel sau altul, este posibil ca tocmai prin copierea octaedrelor de diamant și cristale de aur, egiptenii antici să-i îndumnezeeze pe faraoni, „indestructibili” ca diamantul și „străluciți” ca aurul, fiii Soarelui, comparabili doar la cele mai minunate creații ale naturii.

Concluzie:

După ce am studiat piramida ca corp geometric, făcând cunoștință cu elementele și proprietățile sale, ne-am convins de validitatea opiniei despre frumusețea formei piramidei.

În urma cercetărilor noastre, am ajuns la concluzia că egiptenii, după ce au adunat cele mai valoroase cunoștințe matematice, le-au întruchipat într-o piramidă. Prin urmare, piramida este cu adevărat cea mai perfectă creație a naturii și a omului.

BIBLIOGRAFIE

„Geometrie: manual. pentru clasele 7 – 9. educatie generala instituţii\ etc. - ed. a IX-a - M.: Educaţie, 1999

Istoria matematicii în școală, M: „Prosveshchenie”, 1982.

Geometrie clasele 10-11, M: „Iluminism”, 2000

Peter Tompkins „Secretele” Marea Piramida Cheops", M: "Tsentropoligraf", 2005.

Resurse de internet

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Instrucțiuni

În cazul în care la bază piramide se află un pătrat, lungimea diagonalei sale este cunoscută, precum și lungimea marginii acestuia piramide, Acea înălţime acest piramide poate fi exprimat din teorema lui Pitagora, deoarece un triunghi format dintr-o muchie piramide, iar jumătate din diagonala de la bază este un triunghi dreptunghic.
Teorema lui Pitagora afirmă că pătratul ipotenuzei dintr-un triunghi dreptunghiular este egal ca mărime cu suma pătratelor catetelor sale (a² = b² + c²). Margine piramide- ipotenuza, unul dintre catete este jumatatea diagonalei patratului. Apoi lungimea piciorului necunoscut (înălțimea) este găsită folosind formulele:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².

Pentru a face ambele situații cât mai clare și de înțeles posibil, puteți lua în considerare o pereche.
Exemplul 1: Zona de bază piramide 46 cm², volumul său este de 120 cm³. Pe baza acestor date, înălțimea piramide se afla astfel:
h = 3*120/46 = 7,83 cm
Răspuns: înălțimea acestui lucru piramide va avea aproximativ 7,83 cm
Exemplul 2: U piramide, la baza căruia se află un poligon - un pătrat, diagonala sa este de 14 cm, lungimea marginii este de 15 cm. Conform acestor date, pentru a găsi înălţime piramide, trebuie să utilizați următoarea formulă(care este o consecință a teoremei lui Pitagora):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 cm
Răspuns: înălțimea acestui lucru piramide este √29 cm sau aproximativ 5,4 cm

Notă

Dacă la baza piramidei există un pătrat sau un alt poligon regulat, atunci această piramidă poate fi numită regulată. O astfel de piramidă are o serie de proprietăți:
coastele sale laterale sunt egale;
marginile sale - triunghiuri isoscele, care sunt egale între ele;
în jurul unei astfel de piramide se poate descrie o sferă și, de asemenea, să o înscrie.

Surse:

• Piramida corectă

O piramidă este o figură a cărei bază este un poligon, iar fețele sale sunt triunghiuri cu un vârf comun pentru toți. În problemele tipice, este adesea necesar să se construiască și să se determine lungimea unei perpendiculare trase dintr-un vârf piramide la planul bazei sale. Lungimea acestui segment se numește înălțime piramide.

Vei avea nevoie

• - rigla
• - creion
• - busolă

Instrucțiuni

Pentru a finaliza, construiți o piramidă în conformitate cu condițiile sarcinii. De exemplu, pentru a construi un tetraedru obișnuit, trebuie să desenați o figură astfel încât toate cele 6 margini să fie egale între ele. Dacă trebuie să construiți înălţime patruunghiulară, atunci numai 4 margini ale bazei ar trebui să fie egale. Apoi puteți construi marginile fețelor laterale inegale cu marginile poligonului. Numiți piramida, etichetând toate vârfurile cu litere latine. De exemplu, pentru piramide cu un triunghi la baza poti alege A, B, C (pentru baza), S (pentru varf). Dacă condiția specifică dimensiunile specifice ale nervurilor, atunci când construiți figura, porniți de la aceste valori.

Pentru a începe, selectați condiționat, folosind o busolă, tangenta din interior la toate marginile poligonului. Dacă o piramidă, atunci punctul (numiți-l, de exemplu, H) de pe bază piramide, în care coboară înălțimea, trebuie să corespundă centrului cercului înscris în baza corectă piramide. Centrul va corespunde unui punct echidistant de orice alt punct de pe cerc. Dacă conectați vârful piramide S cu centrul cercului H, atunci segmentul SH va fi înălțimea piramide. Amintiți-vă că un cerc poate fi înscris într-un patrulater ale cărui laturi opuse au aceeași sumă. Acest lucru se aplică pătratului și rombului. În acest caz, punctul H se va afla pe patrulater. Pentru orice triunghi este posibil să se înscrie și să descrie un cerc.

A construi înălţime piramide, folosiți o busolă pentru a desena un cerc și apoi folosiți o riglă pentru a conecta centrul său H cu vârful S. SH este înălțimea dorită. Dacă la bază piramide SABC este o figură neregulată, atunci înălțimea va conecta vârful piramide cu centrul cercului în care este înscris poligonul de bază. Toate vârfurile poligonului se află pe un astfel de cerc. În acest caz, acest segment va fi perpendicular pe planul bazei piramide. Puteți descrie un cerc în jurul unui patrulater dacă suma unghiurilor opuse este de 180°. Apoi, centrul unui astfel de cerc se va afla la intersecția diagonalelor corespunzătoare

Cum poți construi o piramidă? La suprafață R Să construim un poligon, de exemplu pentagonul ABCDE. Din avion R Să luăm punctul S. Conectând punctul S cu segmente la toate punctele poligonului, obținem piramida SABCDE (Fig.).

Punctul S este numit top, iar poligonul ABCDE este bază această piramidă. Astfel, o piramidă cu vârful S și baza ABCDE este uniunea tuturor segmentelor în care M ∈ ABCDE.

Se numesc triunghiuri SAB, SBC, SCD, SDE, SEA fetele laterale piramide, aspecte comune fețe laterale SA, SB, SC, SD, SE - coaste laterale.

Piramidele se numesc triunghiular, patruunghiular, p-unghiular in functie de numarul de laturi ale bazei. În fig. Sunt oferite imagini cu piramide triunghiulare, patrulatere și hexagonale.

Se numește planul care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei diagonală, iar secțiunea rezultată este diagonală.În fig. 186 una dintre secțiunile diagonale ale piramidei hexagonale este umbrită.

Segmentul perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia se numește înălțimea piramidei (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei).

Piramida se numește corect, dacă baza piramidei este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.

Toate fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele congruente. Într-o piramidă obișnuită, toate marginile laterale sunt congruente.

Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema piramide. Toate apotemele unei piramide regulate sunt congruente.

Dacă desemnăm latura bazei ca A, iar apotema prin h, atunci aria unei fețe laterale a piramidei este 1/2 Ah.

Se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale ale piramidei suprafata laterala piramidă și este desemnată cu latura S.

Deoarece suprafata laterala o piramidă obișnuită este formată din n fețe congruente, deci

partea S = 1/2 ahn= P h / 2 ,

unde P este perimetrul bazei piramidei. Prin urmare,

partea S =P h / 2

adică Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema.

Suprafața totală a piramidei este calculată prin formula

S = S ocn. + partea S. .

Volumul piramidei este egal cu o treime din produsul ariei bazei sale S ocn. la inaltimea H:

V = 1 / 3 S principal. N.

Derivarea acestei formule și a altor câteva formule va fi dată într-unul din capitolele următoare.

Să construim acum o piramidă într-un mod diferit. Să fie dat un unghi poliedric, de exemplu, pentaedric, cu vârful S (Fig.).

Să desenăm un avion R astfel încât să intersecteze toate muchiile unui unghi poliedric dat în puncte diferite A, B, C, D, E (Fig.). Atunci piramida SABCDE poate fi considerată ca intersecția unui unghi poliedric și a unui semispațiu cu granița R, în care se află vârful S.

Evident, numărul tuturor fețelor piramidei poate fi arbitrar, dar nu mai puțin de patru. Când un unghi triedric se intersectează cu un plan, se obține o piramidă triunghiulară, care are patru laturi. Orice piramidă triunghiulară este uneori numită tetraedru, ceea ce înseamnă tetraedru.

Piramida trunchiată se poate obţine dacă piramida este intersectată de un plan paralel cu planul bazei.

În fig. Se oferă o imagine a unei piramide trunchiate pătraunghiulare.

Piramidele trunchiate se mai numesc triunghiular, patruunghiular, n-gonalîn funcţie de numărul de laturi ale bazei. Din construcția unei trunchi de piramidă rezultă că are două baze: superioară și inferioară. Bazele unei piramide trunchiate sunt două poligoane, ale căror laturi sunt paralele în perechi. Fețele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze.

Înălţime o trunchi de piramidă este un segment perpendicular trasat din orice punct al bazei superioare pe planul celei inferioare.

Piramida trunchiată obișnuită numită partea unei piramide regulate închisă între bază și un plan de secțiune paralel cu bază. Înălțimea feței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite (trapez) se numește apotema.

Se poate dovedi că o piramidă trunchiată obișnuită are margini laterale congruente, toate fețele laterale sunt congruente și toate apotemele sunt congruente.

Dacă în corect trunchiat n-piramida cărbunelui prin AȘi b n indicați lungimile laturilor bazelor superioare și inferioare și prin h este lungimea apotemului, atunci aria fiecărei fețe laterale a piramidei este egală cu

1 / 2 (A + b n) h

Suma ariilor tuturor fețelor laterale ale piramidei se numește aria suprafeței sale laterale și este desemnată partea S. . Evident, pentru un trunchiat corect n-piramida cărbunelui

partea S = n 1 / 2 (A + b n) h.

Deoarece pa= P și nb n= P 1 - perimetrele bazelor trunchiului piramidei, atunci

partea S = 1 / 2 (P + P 1) h,

adică aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este egală cu jumătate din produsul sumei perimetrelor bazelor sale și apotema.

Secțiune paralelă cu baza piramidei

Teorema. Dacă piramida este intersectată de un plan paralel cu baza, atunci:

1) nervurile laterale și înălțimea vor fi împărțite în părți proporționale;

2) în secțiune transversală veți obține un poligon similar cu baza;

3) ariile și bazele secțiunii transversale sunt legate ca pătratele distanțelor lor față de vârf.

Este suficient să demonstrați teorema pentru o piramidă triunghiulară.

Deoarece planurile paralele sunt intersectate de un al treilea plan de-a lungul unor linii paralele, atunci (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (fig.).

Liniile paralele taie laturile unui unghi în părți proporționale și, prin urmare

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Prin urmare, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 și

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\dreapta|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 şi

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Prin urmare,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

Unghiurile corespunzătoare ale triunghiurilor ABC și A 1 B 1 C 1 sunt congruente, asemenea unghiurilor cu laturile paralele și identice. De aceea

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Arii triunghiurilor similare sunt legate ca pătratele laturilor corespunzătoare:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1) )\dreapta|) $$

Prin urmare,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Teorema. Dacă două piramide cu înălțimi egale sunt tăiate la aceeași distanță de vârf de planuri paralele cu bazele, atunci ariile secțiunilor sunt proporționale cu ariile bazelor.

Fie (Fig. 84) B și B 1 ariile bazelor a două piramide, H este înălțimea fiecăreia dintre ele, bȘi b 1 - zone secționate prin plane paralele cu bazele și îndepărtate de la vârfuri la aceeași distanță h.

Conform teoremei anterioare vom avea:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: și \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
Unde
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: sau \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Consecinţă. Dacă B = B 1, atunci b = b 1, adică Dacă două piramide cu înălțimi egale au baze egale, atunci secțiunile distanțate egal de vârf sunt de asemenea egale.

Alte materiale

Textul lucrării este postat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere

Când întâlnim cuvântul „piramidă”, memoria noastră asociativă ne duce în Egipt. Dacă vorbim despre monumente de arhitectură timpurie, putem spune că numărul lor este de cel puțin câteva sute. Un scriitor arab din secolul al XIII-lea spunea: „Totul în lume se teme de timp, iar timpul se teme de piramide”. Piramidele sunt singurul miracol dintre cele șapte minuni ale lumii care a supraviețuit până în vremea noastră, până în epocă. tehnologia calculatoarelor. Cu toate acestea, cercetătorii încă nu au reușit să găsească cheile tuturor misterelor lor. Cu cât învățăm mai multe despre piramide, cu atât avem mai multe întrebări. Piramidele prezintă interes pentru istorici, fizicieni, biologi, medici, filozofi etc. Ele trezesc un mare interes și încurajează un studiu mai profund al proprietăților lor, atât din punct de vedere matematic, cât și din alt punct de vedere (istoric, geografic etc.).

De aceea scop Cercetarea noastră a fost de a studia proprietățile piramidei din diferite puncte de vedere. Am identificat ca obiective intermediare: luarea în considerare a proprietăților piramidei din punct de vedere al matematicii, studiul ipotezelor despre existența secretelor și misterelor piramidei, precum și posibilitățile de aplicare a acesteia.

Obiect Studiul din această lucrare este o piramidă.

Articol cercetare: caracteristici și proprietăți ale piramidei.

Sarcini cercetare:

Studiați literatura științifică populară pe tema cercetării.

Considerați piramida ca pe un corp geometric.

Determinați proprietățile și caracteristicile piramidei.

Găsiți material care confirmă aplicarea proprietăților piramidei în diverse zone stiinta si Tehnologie.

Metode cercetare: analiză, sinteză, analogie, modelare mentală.

Rezultatul așteptat al lucrării ar trebui să existe informații structurate despre piramidă, proprietățile sale și posibilitățile de aplicare.

Etapele pregătirii proiectului:

Determinarea temei, a scopurilor și a obiectivelor proiectului.

Studierea și colectarea materialelor.

Întocmirea unui plan de proiect.

Formularea rezultatului așteptat al activității pe proiect, inclusiv asimilarea de material nou, formarea de cunoștințe, deprinderi și abilități în activitatea subiectului.

Prezentarea rezultatelor cercetării.

Reflecţie

Piramida ca corp geometric

Să luăm în considerare originile cuvântului și termenului „ piramidă" Este imediat de remarcat faptul că „piramida” sau „ piramidă"(Engleză), " piramidă"(limbi franceză, spaniolă și slavă), "piramida"(germană) este un termen occidental cu originile sale în Grecia antică. În greacă veche πύραμίς ("P iramis"si multe altele. h. Πύραμίδες « piramide„) are mai multe sensuri. Grecii antici numeau piramidă» prăjitură de grâu care semăna cu forma clădirilor egiptene. Mai târziu, cuvântul a ajuns să însemne „o structură monumentală cu o zonă pătrată la bază și laturile înclinate care se întâlnesc în vârf. Dicționar etimologic indică faptul că grecescul „pyramis” provine din egipteanul „ pimar." Prima interpretare scrisă a cuvântului "piramidă" găsit în Europa în 1555 și înseamnă: „unul dintre tipurile de structuri antice ale regilor”. După descoperirea piramidelor din Mexic și odată cu dezvoltarea științei în secolul al XVIII-lea, piramida a devenit nu doar un monument arhitectural antic, ci și o figură geometrică obișnuită cu patru laturi simetrice (1716). Începutul geometriei piramidei a fost pus în Egiptul Antic și în Babilon dezvoltare activă primit în Grecia antică. Primul care a stabilit volumul piramidei a fost Democrit și a fost dovedit de Eudoxus din Cnidus.

Prima definiție aparține matematicianului grec antic, autorul tratatelor teoretice de matematică care au ajuns până la noi, Euclid. În volumul XII al „Principiilor” sale, el definește o piramidă ca fiind o figură solidă delimitată de planuri care dintr-un plan (bază) converg într-un punct (apex). Dar această definiție a fost criticată deja în vremuri străvechi. Deci Heron a propus următoarea definiție a unei piramide: „Este o figură delimitată de triunghiuri care converg într-un punct și a cărei bază este un poligon”.

Există o definiție matematician francez Adrien Marie Legendre, care în 1794 în lucrarea sa „Elementele de geometrie” definește o piramidă astfel: „O piramidă este o figură solidă formată din triunghiuri care converg într-un punct și se termină pe diferite laturi ale unei baze plate”.

Dicționarele moderne interpretează termenul „piramidă” după cum urmează:

	Un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun	Dicționar explicativ al limbii ruse, ed. D. N. Ushakova
	Un corp delimitat de triunghiuri egale ale cărui vârfuri formează un singur punct și formează un pătrat cu bazele lor	Dicţionar explicativ al lui V.I. Dahl
	Un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun	Dicţionar explicativ, ed. S.I. Ozhegova și N.Yu.Shvedova
	Un poliedru a cărui bază este un poligon și ale cărui fețe laterale sunt triunghiuri care au un vârf comun	T. F. Efremov. Noul dicționar explicativ și formativ de cuvinte al limbii ruse.
	Un poliedru, dintre care o față este un poligon, iar celelalte fețe sunt triunghiuri având un vârf comun	Dicţionar cuvinte străine
	Un corp geometric, a cărui bază este un poligon, iar laturile sunt atâtea triunghiuri câte laturi are baza, convergând la vârfuri către un punct.	Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse
	Un poliedru, a cărui față este un poligon plat și toate celelalte fețe sunt triunghiuri, ale căror baze sunt laturile bazei poligonului, iar vârfurile converg într-un punct	F. Brockhaus, I.A. Efron. Dicţionar enciclopedic
	Un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun	Modern Dicţionar
	Un poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun	Dicționar enciclopedic matematic

Analizând definițiile piramidei, putem concluziona că toate sursele au formulări similare:

O piramidă este un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun. Pe baza numărului de colțuri ale bazei, piramidele sunt clasificate ca triunghiulare, patrulatere etc.

Poligonul A 1 A 2 A 3 ... An este baza piramidei, iar triunghiurile RA 1 A 2 , RA 2 A 3 , ..., RANA 1 sunt fețele laterale ale piramidei, P este vârful piramidei. piramidă, segmente RA 1 , RA 2 , ..., RAN - nervuri laterale.

Se numește perpendiculara trasată din vârful piramidei pe planul bazei înălțime piramide.

Pe lângă o piramidă arbitrară, există o piramidă obișnuită, la baza căreia se află un poligon regulat și o piramidă trunchiată.

Zonă Suprafața totală a unei piramide este suma ariilor tuturor fețelor sale. Sfull = S latura + S principal, unde S latura este suma ariilor fețelor laterale.

Volum piramida se gaseste prin formula: V=1/3S main.h, unde S main. - suprafata bazei, h - inaltime.

LA proprietățile piramidei raporta:

Când toate marginile laterale sunt de aceeași dimensiune, atunci este ușor să descrii un cerc în jurul bazei piramidei, cu vârful piramidei proiectat în centrul acestui cerc; nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei; Mai mult, este adevărat și opusul, adică. când nervurile laterale se formează cu planul bazei unghiuri egale, sau când un cerc poate fi descris lângă baza piramidei și vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc, ceea ce înseamnă că toate marginile laterale ale piramidei au aceeași dimensiune.

Când fețele laterale au un unghi de înclinare față de planul bazei de aceeași mărime, atunci este ușor să descrii un cerc în jurul bazei piramidei, iar vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc. ; înălțimile fețelor laterale sunt de lungime egală; Aria suprafeței laterale este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.

Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat, iar vârful său este proiectat în centrul bazei. Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri egale, isoscele (Fig. 2a). Axă a unei piramide regulate este linia dreaptă care conține înălțimea acesteia. Apotema -înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia.

Pătrat faţa laterală a unei piramide regulate se exprimă astfel: Sside. =1/2P h, unde P este perimetrul bazei, h este înălțimea feței laterale (apotema unei piramide regulate). Dacă piramida este intersectată de planul A’B’C’D’, paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimea sunt împărțite de acest plan în părți proporționale; în secțiune transversală se obține un poligon A’B’C’D’, asemănător bazei; Zonele și bazele secțiunii transversale sunt legate ca pătratele distanțelor lor de la vârf.

Piramida trunchiată se obține prin tăierea părții sale superioare din piramidă cu un plan paralel cu baza (Fig. 2b). Bazele trunchiului piramidei sunt poligoane similare ABCD și A`B`C`D`, fețele laterale sunt trapeze. Înălțimea unei piramide trunchiate este distanța dintre baze. Volumul unei trunchi de piramidă se găsește prin formula: V = 1/3 h (S + + S'), unde S și S' sunt ariile bazelor ABCD și A'B'C'D', h este inaltimea.

Bazele unei piramide n-gonale trunchiate regulate sunt n-goni regulate. Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este exprimată astfel: Sside. = ½(P+P’)h, unde P și P’ sunt perimetrele bazelor, h este înălțimea feței laterale (apotema unei piramide trunchiate obișnuite)

Secțiunile unei piramide prin planuri care trec prin vârful ei sunt triunghiuri. Secțiunea care trece prin două margini laterale neadiacente ale piramidei se numește secțiune diagonală. Dacă secțiunea trece printr-un punct de pe marginea laterală și pe partea bazei, atunci urma sa până în planul bazei piramidei va fi această parte. O secțiune care trece printr-un punct situat pe fața piramidei și o urmă de secțiune dată pe planul de bază, apoi construcția trebuie efectuată după cum urmează: găsiți punctul de intersecție al planului feței date și urma secțiunii a piramida și desemnați-o; construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat și punctul de intersecție rezultat; repetă acești pași pentru fețele următoare.

piramida dreptunghiulara - Aceasta este o piramidă în care una dintre marginile laterale este perpendiculară pe bază. În acest caz, această margine va fi înălțimea piramidei (Fig. 2c).

Piramidă triunghiulară regulată este o piramidă a cărei bază este triunghi regulat, iar partea superioară este proiectată spre centrul bazei. Un caz special al unei piramide triunghiulare regulate este tetraedru. (Fig. 2a)

Să luăm în considerare teoremele care leagă piramida cu altele corpuri geometrice.

Sferă

O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide când la baza piramidei există un poligon în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin punctele medii ale marginilor piramidei perpendicular pe acestea. Din această teoremă rezultă că o sferă poate fi descrisă atât în ​​jurul oricărei piramide triunghiulare, cât și în jurul oricărei piramide regulate; O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă atunci când planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.

Con

Se spune că un con este înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid, iar baza lui este înscrisă în baza piramidei. Mai mult, este posibil să se potrivească un con într-o piramidă numai atunci când apotemele piramidei sunt egale între ele (o condiție necesară și suficientă); Se spune că un con este descris în apropierea unei piramide atunci când vârfurile lor coincid, iar baza lui este descrisă lângă baza piramidei. Mai mult, este posibil să descriem un con în apropierea unei piramide numai atunci când toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele (o condiție necesară și suficientă); Înălțimile unor astfel de conuri și piramide sunt egale între ele.

Cilindru

Se spune că un cilindru este înscris într-o piramidă dacă una dintre bazele sale coincide cu un cerc înscris în secțiunea piramidei printr-un plan paralel cu baza, iar cealaltă bază aparține bazei piramidei. Se spune că un cilindru este descris lângă o piramidă dacă vârful piramidei aparține uneia dintre bazele sale, iar cealaltă bază este descrisă lângă baza piramidei. Mai mult, este posibil să descrii un cilindru lângă o piramidă numai dacă există un poligon înscris la baza piramidei (o condiție necesară și suficientă).

Foarte des în cercetarea lor, oamenii de știință folosesc proprietățile piramidei cu proporții ale raportului de aur. Ne vom uita la modul în care au fost utilizate rapoartele de aur la construirea piramidelor în paragraful următor și aici ne vom opri asupra definiției raportului de aur.

Dicționarul enciclopedic matematic oferă următoarea definiție ratia de aur- aceasta este împărțirea segmentului AB în două părți, astfel încât partea sa mai mare AC să fie proporțională medie între întregul segment AB și partea sa mai mică CD.

Determinarea algebrică a secțiunii de aur a segmentului AB = a se reduce la rezolvarea ecuației a:x = x:(a-x), din care x este aproximativ egal cu 0,62a. Raportul x poate fi exprimat ca fracții n/n+1= 0,618, unde n este numărul Fibonacci numerotat n.

Raportul de aur este adesea folosit în opere de artă, arhitectură și se găsește în natură. Exemple vii sunt sculptura lui Apollo Belvedere și Partenonul. În timpul construcției Partenonului s-a folosit raportul dintre înălțimea clădirii și lungimea acesteia și acest raport este de 0,618. Obiectele din jurul nostru oferă, de asemenea, exemple ale raportului de aur, de exemplu, legăturile multor cărți au și un raport lățime-lungime apropiat de 0,618.

Astfel, după ce am studiat literatura științifică populară privind problema de cercetare, am ajuns la concluzia că o piramidă este un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun. Am examinat elementele și proprietățile piramidei, tipurile sale și relația cu proporțiile raportului de aur.

2. Caracteristicile piramidei

Deci, în Marele Dicționar Enciclopedic este scris că o piramidă este o structură monumentală care are forma geometrică a unei piramide (uneori în trepte sau în formă de turn). Piramidele erau numele dat mormintelor faraonilor egipteni antici din mileniul III - II i.Hr. e., precum și socluri ale templelor din America Centrală și de Sud asociate cu cultele cosmologice. Printre grandioasele piramide ale Egiptului, Marea Piramidă a faraonului Keops ocupă un loc aparte. Înainte de a începe să analizăm forma și dimensiunea piramidei Keops, ar trebui să ne amintim ce sistem de măsuri au folosit egiptenii. Egiptenii aveau trei unități de lungime: un „cot” (466 mm), care era egal cu șapte „palme” (66,5 mm), care la rândul lor era egal cu patru „degete” (16,6 mm).

Majoritatea cercetătorilor sunt de acord că lungimea laturii bazei piramidei, de exemplu, GF, este egală cu L = 233,16 m. Această valoare corespunde aproape exact la 500 de „coți”. Respectarea deplină a 500 de „coturi” va avea loc dacă lungimea „cotului” este considerată egală cu 0,4663 m.

Înălțimea piramidei (H) este estimată de cercetători în mod variat de la 146,6 la 148,2 m. Și în funcție de înălțimea acceptată a piramidei, toate relațiile dintre elementele sale geometrice se schimbă. Care este motivul diferențelor de estimări ale înălțimii piramidei? Faptul este că piramida lui Keops este trunchiată. Platforma sa superioară măsoară astăzi aproximativ 10x10 m, dar în urmă cu un secol avea 6x6 m. Evident, vârful piramidei a fost demontat și nu corespunde cu cel inițial. Atunci când se evaluează înălțimea piramidei, este necesar să se ia în considerare un astfel de factor fizic precum așezarea structurii. Pe o perioadă lungă de timp, sub influența presiunii colosale (atingând 500 de tone la 1 m 2 de suprafață inferioară), înălțimea piramidei a scăzut față de înălțimea ei inițială. Înălțimea originală a piramidei poate fi recreată prin găsirea unei idei geometrice de bază.

În 1837, colonelul englez G. Wise a măsurat unghiul de înclinare al fețelor piramidei: s-a dovedit a fi egal cu a = 51°51". Această valoare este recunoscută și astăzi de majoritatea cercetătorilor. Valoarea indicată a unghiul corespunde unei tangente (tg a) egală cu 1,27306. Această valoare corespunde raportului dintre înălțimea piramidei AC și jumătate din baza acesteia CB, adică AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Și iată că cercetătorii au avut o mare surpriză! Cert este că, dacă luăm rădăcina pătrată a raportului de aur, obținem următorul rezultat = 1,272. Comparând această valoare cu valoarea tg a = 1,27306, vedem că aceste valori sunt foarte apropiate unele de altele. Dacă luăm unghiul a = 51°50", adică îl reducem cu doar un minut de arc, atunci valoarea lui a va deveni egală cu 1,272, adică va coincide cu valoarea. De remarcat că în 1840 G. Wise și-a repetat măsurătorile și a clarificat că valoarea unghiului a = 51°50".

Aceste măsurători i-au condus pe cercetători la următoarea ipoteză interesantă: triunghiul ACB al piramidei lui Keops s-a bazat pe raportul AC / CB = 1,272.

Să considerăm acum un triunghi dreptunghic ABC, în care raportul catetelor AC / CB = . Dacă notăm acum lungimile laturilor dreptunghiului ABC cu x, y, z și, de asemenea, luăm în considerare că raportul y/x =, atunci în conformitate cu teorema lui Pitagora, lungimea z poate fi calculată folosind formula:

Dacă acceptăm x = 1, y = , atunci:

Un triunghi dreptunghic în care laturile sunt în raportul t::1 se numește triunghi dreptunghic „de aur”.

Apoi, dacă luăm ca bază ipoteza că „ideea geometrică” principală a piramidei lui Cheops este un triunghi dreptunghic „de aur”, atunci de aici putem calcula cu ușurință înălțimea „proiectului” a piramidei lui Cheops. Este egal cu:

H = (L/2)/= 148,28 m.

Să derivăm acum câteva alte relații pentru piramida lui Keops, care decurg din ipoteza „de aur”. În special, vom găsi raportul dintre zona exterioară a piramidei și zona bazei sale. Pentru a face acest lucru, luăm lungimea piciorului CB ca una, adică: CB = 1. Dar atunci lungimea laturii bazei piramidei este GF = 2, iar aria bazei EFGH va să fie egal cu S EFGH = 4.

Să calculăm acum aria feței laterale a piramidei Cheops S D . Deoarece înălțimea AB a triunghiului AEF este egală cu t, aria feței laterale va fi egală cu S D = t. Atunci aria totală a tuturor celor patru fețe laterale ale piramidei va fi egală cu 4t și raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și zona bazei va fi egal cu raportul de aur. Acesta este principalul mister geometric al piramidei lui Keops.

Și, de asemenea, în timpul construcției piramidelor egiptene, s-a constatat că un pătrat construit la înălțimea piramidei este exact egal cu suprafata fiecare dintre triunghiurile laterale. Acest lucru este confirmat de ultimele măsurători.

Știm că relația dintre lungimea unui cerc și diametrul acestuia este o valoare constantă, binecunoscută matematicienilor moderni și școlarilor - acesta este numărul „Pi” = 3,1416... Dar dacă adunăm cele patru laturi ale bazei din piramida lui Keops, obținem 931,22 m. Împărțind acest număr la de două ori înălțimea piramidei (2x148,208), obținem 3,1416..., adică numărul „Pi”. În consecință, piramida lui Cheops este un monument unic, care reprezintă întruchiparea materială a numărului „Pi”, care joacă un rol important în matematică.

Astfel, prezența raportului de aur în dimensiunile piramidei - raportul dintre latura dublă a piramidei și înălțimea acesteia - este un număr foarte apropiat ca valoare de numărul π. Aceasta este, fără îndoială, și o caracteristică. Deși mulți autori consideră că această coincidență este întâmplătoare, întrucât fracția 14/11 este „o bună aproximare pentru rădăcină pătrată din raportul secțiunii de aur și din raportul dintre ariile unui pătrat și ale unui cerc înscrise în el.”

Cu toate acestea, este incorect să vorbim aici doar despre piramidele egiptene. Nu există doar piramide egiptene, există o întreagă rețea de piramide pe Pământ. Principalele monumente (piramidele egiptene și mexicane, Insula Paștelui și complexul Stonehenge din Anglia) la prima vedere sunt împrăștiate întâmplător pe planeta noastră. Dar dacă complexul tibetan de piramide este inclus în studiu, atunci apare un sistem matematic strict al locației lor pe suprafața Pământului. Pe fundalul lanțului Himalaya, se remarcă clar o formațiune piramidală - Muntele Kailash. Locația orașului Kailash, piramidele egiptene și mexicane este foarte interesantă și anume - dacă conectezi orașul Kailash cu piramidele mexicane, atunci linia care le leagă merge spre Insula Paștelui. Dacă conectați orașul Kailash cu piramidele egiptene, atunci linia conexiunii lor merge din nou spre Insula Paștelui. Exact o pătrime conturată glob. Dacă combinăm piramidele mexicane și egiptene, vom vedea două triunghi egal. Dacă le găsiți zonele, atunci suma lor este egală cu un sfert din suprafața globului.

A fost dezvăluită o legătură incontestabilă între complexul piramidal tibetan cu alte structuri antichitate - piramidele egiptene și mexicane, coloșii Insulei Paștelui și complexul Stonehenge din Anglia. Înălțimea principalei piramide a Tibetului - Muntele Kailash - este 6714 metri. Distanța de la Kailash la polul Nord egală 6714 kilometri, distanța de la Kailash la Stonehenge este 6714 kilometri Dacă le punem pe glob de la Polul Nord 6714 kilometri, apoi vom ajunge la așa-numitul Turn al Diavolului, care arată ca o trunchi de piramidă. Și în sfârșit, exact 6714 kilometri de la Stonehenge până la Triunghiul Bermudelor.

În urma acestor studii, putem concluziona că există un sistem piramidal-geografic pe Pământ.

Astfel, caracteristicile includ raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și zona bazei va fi egal cu raportul de aur; prezența în dimensiunile piramidei a raportului de aur - raportul dintre latura dublă a piramidei și înălțimea acesteia - este un număr foarte apropiat ca valoare de numărul π, adică. piramida lui Keops este un monument unic, care reprezintă întruchiparea materială a numărului „Pi”; existenţa unui sistem piramidal-geografic.

3. Alte proprietăți și utilizări ale piramidei.

Să luăm în considerare aplicarea practică a acestei figuri geometrice. De exemplu, hologramă.În primul rând, să ne uităm la ce este holografia. Holografie - un set de tehnologii pentru înregistrarea, reproducerea și remodelarea cu acuratețe a câmpurilor de unde optice radiatie electromagnetica, o tehnică fotografică specială în care se folosește un laser pentru a înregistra și apoi a reconstrui imagini ale obiectelor tridimensionale care sunt foarte asemănătoare cu lucrurile reale. O hologramă este un produs al holografiei, o imagine tridimensională creată cu ajutorul unui laser care reproduce o imagine a unui obiect tridimensional. Folosind o piramidă tetraedrică trunchiată obișnuită, puteți recrea o imagine - o hologramă. Se creează un fișier foto și o piramidă tetraedică trunchiată obișnuită dintr-un material translucid. Se face o mică adâncitură din pixelul cel mai de jos și cel din mijloc în raport cu axa ordonatelor. Acest punct va fi mijlocul laturii pătratului format din secțiune. Fotografia este înmulțită, iar copiile sale sunt poziționate în același mod față de celelalte trei fețe. Așezați piramida pe pătrat cu secțiunea transversală în jos, astfel încât să coincidă cu pătratul. Monitorul generează undă de lumină, fiecare dintre cele patru fotografii identice, fiind într-un plan care este o proiecție a feței piramidei, cade pe fața însăși. Ca urmare, pe fiecare dintre cele patru fețe avem imagini identice, iar din moment ce materialul din care este realizată piramida are proprietatea de transparență, undele par a fi refractate, întâlnindu-se în centru. Ca rezultat, obținem același model de interferență val în picioare, axa centrală sau a cărei axă de rotație este înălțimea unei piramide trunchiate obișnuite. Această metodă funcționează și cu imagini video, deoarece principiul de funcționare rămâne neschimbat.

Având în vedere cazuri speciale, puteți observa că piramida este utilizată pe scară largă în viața de zi cu zi, chiar și în gospodărie. Forma piramidală se găsește frecvent, în primul rând în natură: plante, cristale, molecula de metan are forma unei piramide triunghiulare regulate - un tetraedru, Celula unitară a unui cristal de diamant este, de asemenea, un tetraedru, cu atomi de carbon localizați în centru și patru vârfuri. Piramidele se găsesc acasă și în jucăriile copiilor. Butoanele și tastaturile computerelor sunt adesea ca o piramidă trunchiată de tip patrulater. Ele pot fi văzute sub formă de elemente ale clădirilor sau structurilor arhitecturale în sine, cum ar fi structurile de acoperiș translucide.

Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a termenului „piramidă”

Piramide ecologice- acestea sunt modele grafice (de obicei sub formă de triunghiuri) care reflectă numărul de indivizi (piramida de numere), cantitatea de biomasă a acestora (piramida de biomasă) sau energia conținută în ele (piramida de energie) pe fiecare nivel troficşi indicând o scădere a tuturor indicatorilor cu o creştere a nivelului trofic

Piramida informației. Ea reflectă ierarhia diferitelor tipuri de informații. Furnizarea de informații este structurată după următoarea schemă piramidală: în partea de sus se află principalii indicatori prin care puteți urmări clar ritmul mișcării întreprinderii către obiectivul ales. Dacă ceva nu este în regulă, atunci puteți merge la nivelul de mijloc al piramidei - date generalizate. Ele clarifică imaginea pentru fiecare indicator individual sau împreună unul cu celălalt. Folosind aceste date, puteți determina locația posibilă a unei defecțiuni sau probleme. Pentru mai mult informatii complete trebuie să mergi la baza piramidei - descriere detaliata stările tuturor proceselor în formă numerică. Aceste date ajută la identificarea cauzei problemei, astfel încât să poată fi corectată și evitată în viitor.

Taxonomia lui Bloom. Taxonomia lui Bloom oferă o clasificare a sarcinilor sub forma unei piramide pe care profesorii o stabilesc elevilor și, în consecință, obiectivele de învățare. Ea se împarte scopuri educationaleîn trei domenii: cognitiv, afectiv și psihomotoriu. În cadrul fiecărei sfere individuale, pentru a trece la un nivel superior, este necesară experiența nivelurilor anterioare distinse în această sferă.

Piramida financiară- fenomen specific dezvoltare economică. Numele „piramidă” ilustrează clar situația în care oamenii „din partea de jos” a piramidei dau bani în vârful mic. Mai mult, fiecare nou participant plătește pentru a crește posibilitatea promovării sale în vârful piramidei

Piramida nevoilor Maslow reflectă una dintre cele mai populare și teorii cunoscute motivația – teoria ierarhiei are nevoie. Nevoile lui Maslow distribuite pe măsură ce cresc, explicând această construcție prin faptul că o persoană nu poate experimenta nevoi nivel inalt, deocamdată are nevoie de lucruri mai primitive. Pe măsură ce nevoile inferioare sunt satisfăcute, nevoile de nivel superior devin din ce în ce mai relevante, dar asta nu înseamnă că locul nevoii anterioare este luat de una nouă doar atunci când cea anterioară este pe deplin satisfăcută.

Un alt exemplu de utilizare a termenului „piramidă” este Piramida alimentelor - reprezentarea schematică a principiilor mâncat sănătos dezvoltat de nutriționiști. Alimentele care alcătuiesc baza piramidei trebuie consumate cât mai des posibil, în timp ce alimentele din vârful piramidei trebuie evitate sau consumate în cantități limitate.

Astfel, toate cele de mai sus arată varietatea de utilizări ale piramidei în viața noastră. Poate că piramida are mult mai mult obiectiv înalt, și este destinat pentru ceva mai mult decât utilizările practice care sunt deschise în prezent.

Concluzie

Întâlnim în mod constant piramide în viața noastră – acestea sunt piramide egiptene antice și jucării cu care se joacă copiii; obiecte de arhitectura si design, cristale naturale; virusuri care pot fi observate doar cu un microscop electronic. De-a lungul multor milenii ale existenței lor, piramidele au devenit un fel de simbol, personificând dorința omului de a ajunge la culmea cunoașterii.

În timpul studiului, am stabilit că piramidele sunt un fenomen destul de comun pe tot globul.

Am studiat literatura științifică populară pe tema cercetării, am examinat diverse interpretări ale termenului „piramidă”, am stabilit că, în sens geometric, o piramidă este un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având o vârf comun. Am studiat tipurile de piramide (regulate, trunchiate, dreptunghiulare), elemente (apotem, fețe laterale, margini laterale, vârf, înălțime, bază, secțiune diagonală) și proprietățile piramidelor geometrice când marginile laterale sunt egale și când fețele laterale. sunt înclinate față de planul bazei la același unghi. Am examinat teoremele care leagă piramida cu alte corpuri geometrice (sferă, con, cilindru).

Am inclus următoarele caracteristici ale piramidei:

raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și zona bazei va fi egal cu raportul de aur;

prezența în dimensiunile piramidei a raportului de aur - raportul dintre latura dublă a piramidei și înălțimea acesteia - este un număr foarte apropiat ca valoare de numărul π, adică. piramida lui Keops este un monument unic, care reprezintă întruchiparea materială a numărului „Pi”;

existenţa unui sistem piramidal-geografic.

Am studiat utilizarea modernă a acestei figuri geometrice. Ne-am uitat la modul în care piramida și holograma sunt conectate și am observat că forma piramidală se găsește cel mai adesea în natură (plante, cristale, molecule de metan, structura rețelei de diamant etc.). Pe parcursul studiului, am întâlnit materiale care confirmă utilizarea proprietăților piramidei în diferite domenii ale științei și tehnologiei, în viața de zi cu zi a oamenilor, în analiza informațiilor, în economie și în multe alte domenii. Și au ajuns la concluzia că, probabil, piramidele au un scop mult mai înalt și sunt destinate pentru ceva mai mare decât modalitățile practice de utilizare care sunt acum descoperite.

Bibliografie.

Van der Waerden, Bartel Leendert. Trezirea Științei. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei. [Text]/ B. L. Van der Waerden - KomKniga, 2007

Voloshinov A.V. Matematică și artă. [Text]/ A.V. Voloshinov - Moscova: „Iluminismul” 2000.

Istoria lumii(enciclopedie pentru copii). [Text]/ - M.: „Avanta+”, 1993.

Halogramă . [Resursa electronica] - https://hi-news.ru/tag/hologramma - articol pe internet

Geometrie [Text]: manual. 10 - 11 clase pentru instituțiile de învățământ Atanasyan L.S., V.F. Butuzov și alții - ediția a 22-a. - M.: Educație, 2013.

Coppens F. Nouă eră piramide [Text]/ F. Coppens - Smolensk: Rusich, 2010

Dicționar enciclopedic matematic. [Text]/ A. M. Prokhorov și alții - M.: Enciclopedia sovietică, 1988.

Muldashev E.R. Sistemul mondial piramidele și monumentele antichității ne-au salvat de la sfârșitul lumii, dar ... [Text] / E. R. Muldashev - M.: „AiF-Print”; M.: „OLMA-PRESS”; Sankt Petersburg: Editura „Neva”; 2003.

Perelman Ya. I. Aritmetică distractivă. [Text]/ Ya. I. Perelman - M.: Tsentrpoligraf, 2017

Reichard G. Piramide. [Text]/ Hans Reichard - M.: Slovo, 1978

Terra-Lexicon. Dicționar enciclopedic ilustrat. [Text]/ - M.: TERRA, 1998.

Tompkins P. Secretele Marii Piramide a lui Keops. [Text]/ Peter Tompkins. - M.: „Centropoligraf”, 2008

Uvarov V. Proprietățile magice ale piramidelor. [Text]/ V. Uvarov - Lenizdat, 2006.

Sharygin I.F.. Geometrie clasele 10-11. [Text]/ I.F. Sharygin:. - M: „Iluminismul”, 2000

Yakovenko M. Cheia înțelegerii piramidei [Resursa electronică] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - articol pe Internet