Astăzi vom învăța cum să pătram rapid expresii mari fără un calculator. În mare, mă refer la numere cuprinse între zece și o sută. Expresiile mari sunt extrem de rare în problemele reale și știți deja să numărați valorile mai mici de zece, deoarece aceasta este o masă de înmulțire obișnuită. Materialul din lecția de astăzi va fi util studenților destul de experimentați, deoarece studenții începători pur și simplu nu vor aprecia viteza și eficacitatea acestei tehnici.
Mai întâi, să ne dăm seama despre ce vorbim în general. Ca exemplu, îmi propun să construim o expresie numerică arbitrară, așa cum facem de obicei. Să spunem 34. Îl ridicăm înmulțindu-l cu ea însăși cu o coloană:
\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 este pătratul 34.
Problema cu această metodă poate fi descrisă în două puncte:
1) necesită documentație scrisă;
2) este foarte ușor să faci o greșeală în timpul procesului de calcul.
Astăzi vom învăța cum să înmulțim rapid fără un calculator, oral și practic fără greșeli.
Asadar, haideti sa începem. Pentru a funcționa, avem nevoie de formula pentru pătratul sumei și diferenței. Să le scriem:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Ce ne oferă asta? Faptul este că orice valoare din intervalul de la 10 la 100 poate fi reprezentată ca număr $a$, care este divizibil cu 10, și numărul $b$, care este restul împărțirii cu 10.
De exemplu, 28 poate fi reprezentat după cum urmează:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]
Vă prezentăm exemplele rămase în același mod:
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
Ce ne spune ideea asta? Cert este că, cu o sumă sau o diferență, putem aplica calculele descrise mai sus. Desigur, pentru a scurta calculele, pentru fiecare element ar trebui să alegeți expresia cu cel mai mic al doilea termen. De exemplu, dintre opțiunile $20+8$ și $30-2$, ar trebui să alegeți opțiunea $30-2$.
În mod similar, selectăm opțiuni pentru exemplele rămase:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]
De ce ar trebui să ne străduim să reducem al doilea termen atunci când ne înmulțim rapid? Totul este despre calculele inițiale ale pătratului sumei și diferenței. Cert este că termenul $2ab$ cu un plus sau un minus este cel mai greu de calculat atunci când rezolvi probleme reale. Și dacă factorul $a$, un multiplu de 10, se înmulțește întotdeauna cu ușurință, atunci cu factorul $b$, care este un număr care variază de la unu la zece, mulți elevi au în mod regulat dificultăți.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Așa că în trei minute am făcut înmulțirea a opt exemple. Adică mai puțin de 25 de secunde pe expresie. În realitate, după puțină practică, vei număra și mai repede. Nu vă va dura mai mult de cinci până la șase secunde pentru a calcula orice expresie de două cifre.
Dar asta nu este tot. Pentru cei cărora tehnica arătată nu li se pare suficient de rapidă și de mișto, le propun o metodă și mai rapidă de înmulțire, care însă nu funcționează pentru toate sarcinile, ci doar pentru cele care diferă cu unu de multiplii lui 10. În lecția noastră există patru astfel de valori: 51, 21, 81 și 39.
S-ar părea mult mai rapid; le numărăm deja în câteva rânduri. Dar, de fapt, este posibil să accelerezi, iar acest lucru se face după cum urmează. Notăm valoarea care este un multiplu de zece, care se apropie cel mai mult de ceea ce avem nevoie. De exemplu, să luăm 51. Prin urmare, pentru început, să construim cincizeci:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Multiplii de zece sunt mult mai ușor de pătrat. Și acum pur și simplu adăugăm cincizeci și 51 la expresia originală. Răspunsul va fi același:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
Și așa cu toate numerele care diferă cu unul.
Dacă valoarea pe care o căutăm este mai mare decât cea pe care o numărăm, atunci adunăm numere la pătratul rezultat. Dacă numărul dorit este mai mic, ca în cazul lui 39, atunci când efectuați acțiunea, trebuie să scădeți valoarea din pătrat. Să exersăm fără a folosi un calculator:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
După cum puteți vedea, în toate cazurile răspunsurile sunt aceleași. În plus, această tehnică este aplicabilă oricăror valori adiacente. De exemplu:
\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]
În același timp, nu trebuie să ne amintim calculele pătratelor sumei și diferenței și să folosim un calculator. Viteza de lucru este dincolo de laude. Prin urmare, amintiți-vă, exersați și utilizați în practică.
Puncte cheie
Folosind această tehnică, puteți înmulți cu ușurință orice numere naturale cuprinse între 10 și 100. Mai mult, toate calculele sunt efectuate oral, fără calculator și chiar fără hârtie!
Mai întâi, amintiți-vă pătratele valorilor care sunt multipli de 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=((((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(align)\]
Cum să numere și mai repede
Dar asta nu este tot! Folosind aceste expresii, puteți pătra instantaneu numere „adiacente” celor de referință. De exemplu, știm 152 (valoarea de referință), dar trebuie să găsim 142 (un număr alăturat care este cu unul mai mic decât valoarea de referință). Hai sa o scriem:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(align)\]
Vă rugăm să rețineți: fără misticism! Pătratele numerelor care diferă cu 1 se obțin de fapt prin înmulțirea numerelor de referință cu ele însele prin scăderea sau adunarea a două valori:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(align)\]
De ce se întâmplă asta? Să scriem formula pentru pătratul sumei (și diferenței). Fie $n$ valoarea noastră de referință. Apoi se calculează astfel:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1) )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- aceasta este formula.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
- o formulă similară pentru numere mai mari decât 1.
Sper că această tehnică vă va economisi timp la toate testele și examenele de matematică cu miză mare. Și asta e tot pentru mine. Te văd!
Pătratul unui număr este rezultatul unei operații matematice care ridică acest număr la a doua putere, adică înmulțește acest număr cu el însuși o dată. Este obișnuit să desemnăm o astfel de operație după cum urmează: Z2, unde Z este numărul nostru, 2 este gradul de „pătrat”. Articolul nostru vă va spune cum să calculați pătratul unui număr.
Calculați pătratul
Dacă numărul este simplu și mic, atunci este ușor să faci asta fie în capul tău, fie folosind tabla înmulțirii, pe care o cunoaștem cu toții bine. De exemplu:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Dacă numărul este mare sau „uriaș”, atunci puteți folosi fie tabelul cu pătrate pe care toată lumea le-a învățat la școală, fie un calculator. De exemplu:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
De asemenea, pentru a obține rezultatul necesar din cele două exemple de mai sus, puteți înmulți aceste numere într-o coloană.
Pentru a obține pătratul oricărei fracții, trebuie să:
- Convertiți o fracție (dacă fracția are o parte întreagă sau este o zecimală) într-o fracție improprie. Dacă fracția este corectă, atunci nu este nevoie să convertiți nimic.
- Înmulțiți numitorul cu numitorul și numărătorul cu numărătorul fracției.
De exemplu:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17)2 = (14x14)/(17x17) = 196/289.
În oricare dintre aceste opțiuni, cel mai simplu mod este să folosești un calculator. Pentru a face acest lucru aveți nevoie de:
- Introduceți un număr pe tastatură
- Faceți clic pe butonul cu semnul „înmulțire”.
- Apăsați butonul cu semnul egal
De asemenea, puteți utiliza întotdeauna motoarele de căutare pe Internet, cum ar fi Google. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să introduceți interogarea corespunzătoare în câmpul motorului de căutare și să obțineți un rezultat gata făcut.
De exemplu: pentru a calcula pătratul numărului 9,17, trebuie să tastați 9,17*9,17 sau 9,17^2 sau „9,17 pătrat” în motorul de căutare. În oricare dintre aceste opțiuni, motorul de căutare vă va oferi rezultatul corect - 84.0889.
Acum știi cum să calculezi pătratul oricărui număr care te interesează, fie că este un număr întreg sau o fracție, fie că este mare sau mic!
Formule de înmulțire prescurtate.
Studierea formulelor de înmulțire prescurtate: pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii; diferența de pătrate a două expresii; cubul sumei și cubul diferenței a două expresii; sume și diferențe de cuburi a două expresii.
Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.
Pentru a simplifica expresiile, a factoriza polinoamele și a reduce polinoamele la forma standard, se folosesc formule de înmulțire abreviate. Formule de înmulțire prescurtate pe care trebuie să le știi pe de rost.
Fie a, b R. Atunci:
1. Pătratul sumei a două expresii este egal cu pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Pătratul diferenței a două expresii este egal cu pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Diferența de pătrate două expresii este egală cu produsul dintre diferența acestor expresii și suma lor.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Cubul sumei două expresii este egal cu cubul primei expresii plus triplul produsului pătratului primei expresii și al doilea plus triplul produsului primei expresii și pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresii.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Cub de diferență două expresii este egală cu cubul primei expresii minus triplul produsului pătratului primei expresii și al doilea plus triplul produsului primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua expresii.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Suma cuburilor două expresii este egal cu produsul dintre suma primei și a doua expresii și pătratul incomplet al diferenței acestor expresii.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Diferența de cuburi două expresii este egal cu produsul diferenței primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al sumei acestor expresii.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.
Exemplul 1.
calculati
a) Folosind formula pentru pătratul sumei a două expresii, avem
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Folosind formula pentru pătratul diferenței a două expresii, obținem
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Exemplul 2.
calculati
Folosind formula pentru diferența pătratelor a două expresii, obținem
Exemplul 3.
Simplificați o expresie
(x - y) 2 + (x + y) 2
Să folosim formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Formule de înmulțire prescurtate într-un singur tabel:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
