Discurs introductiv al profesorului:
Un mic context istoric: Mulți oameni de știință au fost pasionați de problemele de tăiere din cele mai vechi timpuri. Soluții la multe probleme simple de tăiere au fost găsite de grecii antici, chinezi, dar primul tratat sistematic pe această temă aparține condeiului lui Abul-Vef. Geometrii au început să abordeze serios problema tăierii figurilor în cel mai mic număr de bucăți și apoi construirea unei alte figuri la începutul secolului al XX-lea. Unul dintre fondatorii acestei secțiuni a fost faimosul fondator de puzzle Henry E. Dudeney.
Astăzi, iubitorii de puzzle-uri sunt pasionați să rezolve mai întâi problemele de tăiere, deoarece nu există o metodă universală de rezolvare a unor astfel de probleme și toți cei care se angajează să le rezolve își pot arăta pe deplin ingeniozitatea, intuiția și capacitatea de a gândi creativ. (În lecție, vom indica doar unul dintre exemplele posibile de tăiere. Se poate presupune că elevii pot obține o altă combinație corectă - nu vă fie teamă de aceasta).
Această lecție ar trebui să fie desfășurată sub forma unei lecții practice. Împărțiți participanții la cerc în grupuri de 2-3 persoane. Furnizați fiecărei grupe cifre pregătite în prealabil de către profesor. Elevii au o riglă (cu diviziuni), un creion, foarfece. Doar tăieturile drepte sunt permise cu foarfece. După ce tăiați o figură în părți, este necesar să compuneți o altă figură din aceleași părți.
Sarcini de tăiere:
1). Încercați să tăiați figura prezentată în figură în 3 părți egale:
Sugestie: Formele mici sunt foarte asemănătoare cu litera T.
2). Acum tăiați această cifră în 4 părți egale:
Sugestie: este ușor de ghicit că figurile mici vor consta din 3 celule și nu există atât de multe cifre de trei celule. Există doar două tipuri: colț și dreptunghi.
3). Împărțiți figura în două părți identice și pliați tabla de șah din părțile rezultate.
Sugestie: Oferă să începi sarcina din a doua parte, cum să obții o tablă de șah. Amintiți-vă ce formă are o tablă de șah (pătrat). Numărați numărul de celule în lungime, lățime. (Amintiți-vă că ar trebui să existe 8 celule).
4). Încercați trei lovituri de cuțit pentru a tăia brânza în opt bucăți egale.
Sugestie: încercați să tăiați brânza pe lungime.
Sarcini pentru soluție independentă:
1). Tăiați un pătrat de hârtie și faceți următoarele:
· tăiați în astfel de 4 părți, din care puteți face două pătrate egale mai mici.
tăiați în cinci părți - patru triunghiuri isoscele și un pătrat - și pliați-le astfel încât să obțineți trei pătrate.
a) Tăiați un triunghi arbitrar în mai multe bucăți, astfel încât acestea să poată fi pliate într-un dreptunghi.
b) Tăiați un dreptunghi arbitrar în mai multe bucăți, astfel încât acestea să poată fi pliate într-un pătrat.
c) Tăiați două pătrate arbitrare în mai multe bucăți, astfel încât un pătrat mare să poată fi pliat din ele.
Sfat 1
b) Mai întâi, construiți dintr-un dreptunghi arbitrar un astfel de dreptunghi, raportul dintre latura cea mai mare și cea mai mică să nu depășească patru.
c) Folosiți teorema lui Pitagora.
Sfat 2
a) Desenați o înălțime sau o linie mediană.
b) Pune un dreptunghi pe pătratul pe care vrei să-l obții și desenează o „diagonală”.
c) Atașați pătratele unul de celălalt, pe latura pătratului mai mare, măsurați un segment egal cu lungimea pătratului mai mic, apoi conectați-l la vârfurile „opuse” ale fiecăruia dintre pătrate (vezi Fig. 1) .
Soluţie
a) Fie dat un triunghi arbitrar ABC. Desenați linia de mijloc MN paralel cu latura AB, iar în triunghiul rezultat CMN hai sa coboram inaltimea CD. În plus, picăm direct MN perpendiculare AKȘi BL. Atunci este ușor de observat că ∆ AKM = ∆CDMși ∆ BLN = ∆CDN ca triunghiuri dreptunghiulare cu perechea corespunzătoare de laturi și perechea de unghiuri egale.
De aici urmează metoda tăierii acestui triunghi și apoi rearanjarea pieselor. Și anume, vom desena tăieturi de-a lungul segmentelor MNȘi CD. După aceea, să mutam triunghiurile CDMȘi CDNîn loc de triunghiuri AKMȘi BLN respectiv, așa cum se arată în fig. 2. Avem un dreptunghi AKLB, așa cum este necesar în sarcină.
Rețineți că această metodă nu va funcționa dacă unul dintre colțuri TAXI sau CBA- prost. Acest lucru se datorează faptului că în acest caz înălțimea CD nu se află în interiorul triunghiului CMN. Dar acest lucru nu este prea înfricoșător: dacă tragem linia de mijloc paralelă cu cea mai lungă latură a triunghiului original, atunci în triunghiul tăiat vom coborî înălțimea din unghiul obtuz și, cu siguranță, se va afla în interiorul triunghiului.
b) Fie dat un dreptunghi ABCD, ale căror laturi ANUNȚȘi AB egal AȘi b respectiv, și A > b. Apoi, aria pătratului pe care dorim să o obținem ca rezultat ar trebui să fie egală cu ab. Prin urmare, lungimea laturii pătratului este √ ab, care este mai mic decât ANUNȚ, dar mai mult decât AB.
Să construim un pătrat APQR, egal cu cel dorit, astfel încât punctul B culca pe margine AP, și punctul R- pe segment ANUNȚ. Lasa PD traversează segmente î.HrȘi QR la puncte MȘi N respectiv. Atunci este ușor de observat că triunghiurile PBM, PADȘi NRD asemănător, și pe lângă BP = (√ab – b) Și RD = (A – √ab). Mijloace,
Prin urmare, ∆ PBM = ∆NRD pe două laturi și unghiul dintre ele. De asemenea, este ușor să obțineți egalitățile PQ = MCȘi NQ = CD, ceea ce înseamnă că ∆ PQN = ∆MCD tot pe două laturi și unghiul dintre ele.
Din toate argumentele de mai sus rezultă metoda de tăiere. Așa este, mai întâi amânăm pe laterale ANUNȚȘi î.Hr segmente ARȘi CM, ale căror lungimi sunt √ ab(despre cum să construiți segmente de forma √ ab, consultați problema „Poligoane regulate” - bara laterală din secțiunea „Soluție”). Apoi, restabiliți perpendiculara pe segment ANUNȚ la punct R. Acum rămâne doar să tăiați triunghiurile MCDȘi NRDși aranjați-le așa cum se arată în fig. 3.
Rețineți că, pentru a utiliza această metodă, este necesar ca punctul M era în interiorul segmentului BK(altfel nu tot triunghiul NRD cuprinse într-un dreptunghi ABCD). Adică este necesar ca
Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci mai întâi trebuie să faceți dreptunghiul dat mai larg și mai puțin lung. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să o tăiați în jumătate și să mutați piesele așa cum se arată în Fig. 4. Este clar că după o astfel de operație, raportul dintre latura mai mare și cea mai mică va scădea de patru ori. Deci, făcând-o de un număr suficient de mare de ori, în final obținem un dreptunghi la care tăierea din Fig. 3.
c) Se consideră două pătrate date ABCDȘi DPQR, atașându-le între ele astfel încât să se intersecteze de-a lungul lateral CD pătrat mai mic și avea un vârf comun D. Vom presupune că PD = AȘi AB = bși, după cum am menționat deja, A > b. Apoi pe lateral DR pătrat mai mare, putem considera un astfel de punct M, ce DOMNUL = AB. Conform teoremei lui Pitagora.
Lăsați liniile care trec prin puncte BȘi Q paralele cu liniile drepte MQȘi BM respectiv, se intersectează în punct N. Apoi patrulaterul BMQN este un paralelogram și, deoarece toate laturile sale sunt egale, este un romb. Dar ∆ BAM = ∆MRQ pe trei laturi, de unde rezulta (avand in vedere ca unghiurile BAMȘi MRQ linii drepte) care . În acest fel, BMQN- pătrat. Deoarece zona sa este ( A 2 + b 2), atunci acesta este exact pătratul pe care trebuie să-l obținem.
Pentru a trece la tăiere, rămâne de observat că ∆ BAM = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. După aceea, ceea ce trebuie făcut devine evident: este necesar să tăiați triunghiurile BAMȘi MRQși aranjați-le așa cum se arată în fig. cinci.
Postfaţă
După rezolvarea problemelor propuse, cititorul, foarte posibil, se va gândi la următoarea întrebare: când un poligon dat poate fi tăiat prin linii drepte într-un număr finit de astfel de bucăți care formează un alt poligon dat? După puțină gândire, va înțelege că măcar este necesar ca ariile acestor poligoane să fie egale. Astfel, întrebarea inițială se transformă în următoarea: este adevărat că dacă două poligoane au aceeași zonă, atunci unul dintre ele poate fi tăiat în bucăți care formează al doilea (această proprietate a două poligoane se numește echiconsistență)? Se pare că acesta este într-adevăr cazul, iar teorema Bolyai-Gervin, dovedită în anii 30 ai secolului al XIX-lea, ne spune despre acest lucru. Mai precis, formularea sa este următoarea.
Teorema Bolyai-Gervin. Două poligoane sunt egale dacă și numai dacă au dimensiuni egale.
Ideea din spatele dovezii acestui rezultat remarcabil este următoarea. În primul rând, vom demonstra nu afirmația teoremei în sine, ci faptul că fiecare dintre cele două poligoane date egale poate fi tăiat în bucăți care formează un pătrat de aceeași zonă. Pentru a face acest lucru, mai întâi împărțim fiecare dintre poligoane în triunghiuri (o astfel de partiție se numește triangulaţie). Și apoi transformăm fiecare triunghi într-un pătrat (de exemplu, folosind metoda descrisă în paragrafele a) și b) ale acestei probleme). Rămâne să adăugați un pătrat mare dintr-un număr mare de pătrate mici - putem face acest lucru datorită punctului c).
O întrebare similară pentru poliedre este una dintre celebrele probleme ale lui David Hilbert (a treia) prezentată de acesta într-un raport la cel de-al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor de la Paris în 1900. În mod caracteristic, răspunsul la acesta s-a dovedit a fi negativ. Deja, luarea în considerare a două astfel de poliedre cele mai simple, precum un cub și un tetraedru obișnuit, arată că niciunul dintre ele nu poate fi tăiat într-un număr finit de părți, astfel încât celălalt să fie compus din ele. Și acest lucru nu este întâmplător - o astfel de tăiere pur și simplu nu există.
Soluția celei de-a treia probleme a lui Hilbert a fost obținută de unul dintre studenții săi, Max Dehn, încă din 1901. Den a descoperit o cantitate invariantă care nu s-a schimbat atunci când a tăiat poliedre în bucăți și a le împături în forme noi. Cu toate acestea, această valoare sa dovedit a fi diferită pentru unele poliedre (în special, cubul și tetraedrul obișnuit). Această din urmă împrejurare indică clar faptul că aceste poliedre nu sunt compuse în mod egal.
Sarcina 1: Un dreptunghi ale cărui laturi sunt numere întregi poate fi tăiat în figuri de formă (latura celulei din figură este egală cu unu). Demonstrați că poate fi tăiat în dreptunghiuri de 1 × 5.
(D.~Karpov)
Soluţie: Aria acestui dreptunghi este divizibilă uniform cu aria figurii specificate, adică cu 5. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul lungimilor laturilor. Deoarece lungimile laturilor sunt numere întregi și 5 este un număr prim, lungimea uneia dintre laturi trebuie să fie divizibilă cu 5. Împărțim această latură și latura opusă în segmente de lungime 5, iar celelalte două laturi în segmente de lungime 1, după care conectăm punctele corespunzătoare din laturile opuse cu linii drepte. Sarcina 2: Rezolvarea sistemului de ecuații în numere reale(A.~Khrabrov)
Soluţie: Răspuns: sistemul are o soluție unică: a = b = c = d = 0. Adunând cele două ecuații ale sistemului, obținem ecuația 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd Din inegalitățile 2ab ≤ a² + b² și 2cd ≤ c² + d² rezultă că partea dreaptă a acestei ecuații nu este mai mare decât partea stângă, iar egalitatea poate fi obținută numai dacă b = 0, c = 0, a = b și c = d. Prin urmare, singura soluție posibilă pentru acest sistem este a = b = c = d = 0.A doua opțiune este rezolvată într-un mod similar.
Sarcina 3:În romb ABCD, pe laturile AB și BC, punctele E și, respectiv, F sunt luate astfel încât CF/BF = BE/AE = 1994 . S-a dovedit că DE = DF. Aflați valoarea unghiului EDF.
Din condiţiile problemei (în ambele variante) rezultă că BE = CF. Pe latura AB, să punem un segment AK egal cu BE. Triunghiurile ADK și CDF sunt egale în două laturi și unghi (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF). Prin urmare, DK = DF = DE, adică triunghiul DKE este isoscel. În special, unghiurile DKE și DEK sunt egale la baza sa. Prin urmare, triunghiurile ADK și BDE sunt congruente (pe două laturi și un unghi: AK = BE, DK = DE, ∠DKA = ∠DEB). Prin urmare, AD \u003d BD, adică triunghiul ABD este echilateral. Prin urmare, ∠ BAD = 60, ∠ ABC = 120.
(A.~Khrabrov)
Soluţie: Lăsați echipa A să învingă echipa B într-un meci cu aceste reguli (poate asigurând o victorie înainte de termen). Aceasta înseamnă că pentru orice rezultat imaginabil al penalty-urilor rămase (neexecutate), echipa A ar fi avut un scor mai mare decât echipa B. Să ne imaginăm că echipele au continuat să execute penalty-uri după încheierea meciului și au luat toate penalty-urile rămase, cu echipa A nu a mai marcat goluri și echipa B nu a mai ratat niciodată. În același timp, numărul total de goluri marcate de A va rămâne în continuare mai mare decât cele marcate de B (exact asta înseamnă cuvintele „victorie timpurie”). Cât mai poate fi? Doar cu 1 sau 2. Într-adevăr, dacă diferența era mai mare de două, atunci victoria echipei A ar fi devenit inevitabilă și mai devreme, înainte de a sparge ultima pereche de penalty-uri.Mai mult, observăm că în continuarea meciului pe care îl avem în vedere, exact jumătate din toate loviturile au lovit poarta. Astfel, din toate cele 129 de perechi de lovituri, exact jumătate au lovit poarta, adică exact 129. Aceste 129 de goluri sunt împărțite între A și B, astfel încât A are încă 1 sau 2. Acest lucru determină în mod unic numărul de goluri marcate de echipa A - 65.
Sarcina 5: Rezolvați ecuația în numere naturale:(D.~Karpov)
Soluţie: Această ecuație are o soluție unică: x = 2, y = 1, z = 2 (în ambele cazuri). Că este o soluție rezultă din identitatea generală a² + (2a + 1) = (a + 1)²\, aplicată în prima versiune la a = 105, iar în a doua la a = 201.Nu există alte soluții, deoarece dacă z > 2, atunci partea dreaptă a ecuației este divizibilă cu 8, dar partea stângă nu este, deoarece 105 x poate da doar restul 1 când este împărțit la 8, iar 211 y poate da doar restul 1. resturile 1 și 3. Rămâne de menționat că nici pentru z = 1 nu există soluții, în timp ce pentru z = 2 valorile y = 1 și x = 2 sunt determinate în mod unic.
În atenția tutorilor de matematică și a profesorilor de diferite opțiuni și cercuri, este oferită o selecție de probleme de tăiere geometrică distractive și în curs de dezvoltare. Scopul utilizării unor astfel de sarcini de către un tutor în cursurile sale nu este doar de a-l interesa pe elev în combinații interesante și eficiente de celule și forme, ci și de a forma în el un simț al liniilor, unghiurilor și formelor. Setul de sarcini se adresează în principal copiilor din clasele 4-6, deși este posibil să-l folosească chiar și cu elevii de liceu. Exercițiile solicită elevilor să aibă o concentrare ridicată și constantă a atenției și sunt excelente pentru dezvoltarea și antrenarea memoriei vizuale. Recomandat pentru profesorii de matematică care pregătesc elevii pentru examenele de admitere la școlile de matematică și clasele care impun cerințe speciale nivelului de gândire independentă și creativitate a copilului. Nivelul sarcinilor corespunde nivelului olimpiadelor introductive din liceul „școala a doua” (a doua școală de matematică), micul Mekhmat a Universității de Stat din Moscova, școala Kurchatov etc.
Nota profesorului de matematică:
În unele soluții de probleme, pe care le puteți vizualiza făcând clic pe indicatorul corespunzător, este indicat doar unul dintre exemplele posibile de tăiere. Recunosc pe deplin că este posibil să obțineți o altă combinație corectă - nu vă fie teamă de asta. Verificați cu atenție soluția mouse-ului și dacă îndeplinește condiția, atunci nu ezitați să vă ocupați de următoarea sarcină.
1) Încercați să tăiați figura prezentată în figură în 3 părți egale:
: Cifrele mici sunt foarte asemănătoare cu litera T
2) Acum tăiați această cifră în 4 părți egale:
Sugestie pentru profesor de matematică: Este ușor de ghicit că figurile mici vor consta din 3 celule și nu există atât de multe cifre de trei celule. Există doar două tipuri de ele: un colț și un dreptunghi de 1 × 3.
3) Tăiați această cifră în 5 părți egale:
Aflați numărul de celule din care constă fiecare astfel de figură. Aceste figurine arată ca litera G.
4) Și acum trebuie să tăiați cifra a zece celule în 4 inegal dreptunghi (sau pătrat) unul față de celălalt.
Indicarea unui tutore la matematică: Selectați un dreptunghi, apoi încercați să introduceți încă trei în celulele rămase. Dacă nu funcționează, atunci schimbați primul dreptunghi și încercați din nou.
5) Sarcina devine mai complicată: trebuie să tăiați figura în 4 diferite ca formă figuri (nu neapărat în dreptunghiuri).
Sugestie pentru profesor de matematică: desenați mai întâi separat toate tipurile de forme de diferite forme (vor fi mai mult de patru) și repetați metoda de enumerare a opțiunilor ca în sarcina anterioară.
:
6) Tăiați această figură în 5 figuri de patru celule de forme diferite, astfel încât în fiecare dintre ele să fie pictată o singură celulă verde.
Sfat profesor de matematică:Încercați să începeți să tăiați de la marginea superioară a acestei forme și veți înțelege imediat cum să procedați.
:
7) Pe baza problemei anterioare. Aflați câte figuri de diferite forme există, constând din exact patru celule? Figurile pot fi răsucite, rotite, dar este imposibil să ridicați sostola (de la suprafața sa), pe care se află. Adică, cele două cifre date nu vor fi considerate egale, deoarece nu pot fi obținute una de la alta prin rotație.
Sfat profesor de matematică: Studiați soluția problemei anterioare și încercați să vă imaginați diferitele poziții ale acestor figuri la întoarcere. Este ușor de ghicit că răspunsul în problema noastră va fi numărul 5 sau mai mult. (De fapt, chiar mai mult de șase). Există 7 tipuri de figuri descrise în total.
8) Tăiați un pătrat de 16 celule în 4 părți egale, astfel încât fiecare dintre cele patru părți să aibă exact o celulă verde.
Sugestie pentru profesor de matematică: Aspectul figurilor mici nu este un pătrat sau un dreptunghi și nici măcar un colț de patru celule. Deci, în ce forme ar trebui să încercăm să tăiem?
9) Tăiați figura ilustrată în două părți, astfel încât un pătrat să poată fi pliat din părțile rezultate.
Sugestie pentru profesor de matematică: În total, există 16 celule în figură, ceea ce înseamnă că pătratul va avea dimensiunea de 4 × 4. Și cumva trebuie să umpleți fereastra din mijloc. Cum să o facă? Poate un fel de schimbare? Apoi, deoarece lungimea dreptunghiului este egală cu un număr impar de celule, tăierea ar trebui să se facă nu cu o tăietură verticală, ci de-a lungul unei linii întrerupte. Astfel încât partea superioară să fie tăiată pe o parte din celulele din mijloc, iar partea inferioară pe cealaltă parte.
10) Tăiați un dreptunghi de 4×9 în două părți, astfel încât acestea să poată fi pliate într-un pătrat.
Sugestie pentru profesor de matematică: Există 36 de celule în dreptunghi. Prin urmare, pătratul va avea dimensiunea de 6 × 6. Deoarece partea lungă este formată din nouă celule, trei dintre ele trebuie tăiate. Cum va merge această tăietură?
11) Crucea a cinci celule prezentată în figură trebuie tăiată (puteți tăia celulele în sine) în astfel de părți din care ar putea fi pliat un pătrat.
Sugestie pentru profesor de matematică: Este clar că, indiferent de modul în care tăiem de-a lungul liniilor celulelor, nu vom obține un pătrat, deoarece există doar 5 celule. Aceasta este singura sarcină în care este permis să tăiați nu în celule. Cu toate acestea, ar fi totuși bine să le lăsăm drept ghid. de exemplu, merită remarcat faptul că trebuie să îndepărtăm cumva adânciturile pe care le avem - și anume, în colțurile interioare ale crucii noastre. Cum ai face-o? De exemplu, tăierea unor triunghiuri proeminente din colțurile exterioare ale crucii...
