Bună ziua, folosesc acest forum pentru a verifica următoarele dovezi. În general, această problemă este, dar am auzit că școlarii o rezolvă la olimpiade.
Sarcină.
În țară sunt 100 de orașe, unele perechi de orașe sunt legate prin drumuri. Pentru oricare patru orașe, există cel puțin două drumuri între ele. Se știe că nu există nicio rută care să treacă prin fiecare oraș exact o dată.
Demonstrați că puteți alege două orașe în așa fel încât oricare dintre orașele rămase să fie conectat printr-un drum cu cel puțin unul dintre cele două orașe selectate.
Dovada.
Orașele sunt vârfuri. Coastele sunt drumuri.
Să aflăm dacă graficul poate fi deconectat. Dacă componenta este mai mare de 3, atunci selectați 2 vârfuri dintr-unul, unul din celălalt și încă unul din treimi. Se pare că pot fi conectate prin cel mult o margine. Condiția problemei este încălcată.
Să fie două componente, fiecare constând din mai mult de un vârf. Atunci ar trebui să fie toate complete. Dacă nu este cazul, atunci luăm două vârfuri neadiacente din primul, oricare două din celălalt. Doar două orașe pot fi conectate într-un astfel de set. Contradicţie. Același lucru este valabil și pentru cealaltă componentă. Prin urmare, ambele sunt complete. Ei bine, atunci luăm orice vârf din prima și oricare dintre componentele a doua. Condiția sarcinii este îndeplinită.
Acum să fie o componentă doar un vârf de grad 0. Apoi se dovedește că cealaltă componentă va avea 99 de vârfuri. Dacă eliminăm mai mult de două muchii de la orice vârf, atunci condiția este imediat încălcată: luați un vârf de gradul 0, un vârf fără două muchii și un vârf la care nu există muchii din acesta (va fi 1 muchie). Aceasta înseamnă că numai o margine poate fi îndepărtată din fiecare vârf. Dar dacă faci asta, atunci fiecare vârf va avea un grad impar (înainte de a avea fiecare 98). Și poate exista doar un număr par de grade impar, așa că fie scoatem undeva două margini și se încalcă restricția pentru 4 orașe, fie lăsăm toate marginile și apoi un vârf complet.
Orașele din care există drumuri către toate celelalte orașe vor fi numite q și p.
Mai mult, demonstrăm prin inducție că pentru orice graf conex cu constrângerea de 4 orașe și g, condiția va fi îndeplinită în acest mod.
Baza. din 4 vârfuri este evident: luăm orice arbore întindere și în el alegem un alt vârf decât o frunză, iar al doilea este o frunză.
Tranziție. Să fie un grafic de vârfuri. Apoi, pentru toate graficele mai mici decât dimensiunea pentru care este îndeplinită condiția problemei, totul este dovedit.
Este necesar să se demonstreze că se poate folosi ipoteza de inducție.
Să numim vârful care va fi aruncat ca.
Dacă există un grafic dintr-un vârf, unde pentru oricare 4 orașe trebuie să existe două drumuri, atunci acest lucru trebuie să fie valabil și pentru orașe: vom lua în considerare toate orașele fără unul. Principalul lucru este că graficul nu își pierde conectivitatea, iar acest lucru se poate face întotdeauna prin eliminarea numai a vârfului atârnând, dacă există.
Dacă s-a dovedit că calea s-a format în g, atunci nu ar putea fi conectată cu unul dintre capete (în caz contrar, calea din grafic). Prin urmare, pentru ștergere, este un vârf atârnând în arborele care se întinde. Dacă s-a dovedit că acest lucru este încă imposibil: a fost conectat printr-un vârf cu capătul care a fost îndepărtat, atunci îl vom elimina pe celălalt. În același timp, nu s-ar putea întâmpla ca un vârf să fie conectat printr-un vârf la ambele capete: ar fi un grafic pe 3 vârfuri (și dacă există o a doua cale până la capăt, atunci există o cale în interior) , dar se dovedește pentru grafice mai mult decât pentru 4 vârfuri.
Evident, din eliminarea vârfului atârnând din arborele de întindere, conectivitatea nu se pierde.
S-a dovedit acum că dacă există vreun grafic, udv. condiție, atunci puteți alege un vârf, după îndepărtarea căruia se va obține un grafic mai mic care satisface condiția inițială. Prin urmare, putem folosi ipoteza de inducție.
Acum există, conectat la un grafic de vârfuri, această țară de orașe are propriile sale p și q. Este clar că, dacă există o margine de la p sau q, atunci nu trebuie dovedit nimic. Atunci să nu existe drumuri de la p și la q.
Mulțimea care conține drumurile din p se numește A, iar mulțimea care conține drumurile din q se numește B.
Să nu existe drum de la p la q. Atunci orașul să nu fie legat de oraș printr-un drum. Dar atunci trebuie să aibă drumuri atât în p cât și în q, altfel luăm vârfurile,, p și q.
Apoi se dovedește că orașul nu poate fi legat prin drumuri cu orașe din
Dar apoi puteți face orașul un nou p și lăsați q la fel (sau invers).
Prin urmare, mai rămâne un singur caz: p și q sunt conectate printr-un drum.
Vom lăsa aceleași denumirile seturi.
Prin ipoteza de inducție: graficul nu are cale hamiltoniană.
Încă o dată, dacă sunt drumuri de la întregul set sau la tot, atunci totul este deja dovedit.
Acum există o pereche de vârfuri și, de la care nu există muchii la.
Dacă există numai, atunci acoperă tot ceea ce nu acoperă q, atunci p. Apoi - un nou mare oraș.
Dacă este gol, atunci conectat cu și totul este dovedit.
Dacă nu există margine între și, atunci luăm, și p - va exista o margine. Deci este. Acum se dovedește că este, totuși, și un subgraf complet (în caz contrar, luăm fie, p sau q, dacă este necesar, și vârfuri neconectate).
Acum luați în considerare subgraful de pe vârfurile din. Să încercăm să acoperim întregul set de verisine în moduri simple.
Să existe o acoperire de doar 4 căi simple. Luați la vârful extrem de la fiecare: dacă există o muchie, atunci puteți conecta cele două vârfuri extreme și obțineți o cale mai lungă. Rezultatul este un anti-clic la patru vârfuri. Contradicţie.
Acum se știe că setul este acoperit de cel mult 3 căi simple. Vom considera fiecare vârf simplu ca un vârf: dacă puteți ajunge la oricare dintre capete, atunci puteți merge de-a lungul fiecărui vârf din interiorul lui o dată - este simplu, dar puteți face acest lucru, deoarece fiecare vârf de la poate fi atins atât prin p cât și prin q. Acum nu mai sunt decât 3 vârfuri.
Calea poate consta din unul sau mai multe vârfuri. Dacă mai mult, atunci identificăm întreaga cale după un vârf extrem.
Să numim mulțimea din stânga -, dreapta -, mijlocul - (căile sunt comprimate în vârfuri).
Puteți uita de vârf: dacă se dovedește că r are o cale, atunci va exista deja o contradicție cu ipoteza de inducție.
Cazul 1. Setul din mijloc este gol. Apoi pur și simplu (pur și simplu de-a lungul vârfurilor) ocolim mulțimea din stânga, pornind de la orice alt vârf decât, sfârșitul la, apoi la p, apoi imediat q, apoi la și doar ocolim setul din dreapta. S-a dovedit a fi calea.
Cazul 2. Mulțimea din mijloc are un vârf. Totul este la fel, dar de la p la q trecem prin acest vârf.
Cazul 3. Acum există vârfuri în setul de mijloc 
- Tabla are forma unei cruci, care se obține prin aruncarea celulelor de colț dintr-o placă pătrată de $ 4 \ ori 4 $. Este posibil să-l ocoliți cu mișcarea unui cavaler de șah și să reveniți la pătratul original, după ce ați vizitat toate pătratele exact o dată?
- Există 9 orașe în țară Cifra cu numele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Călătorul a descoperit că două orașe sunt conectate printr-o companie aeriană dacă și numai dacă se face un număr din două cifre. sus de cifre este numele acestor orașe este divizibil cu 3. Este posibil să ajungeți din orașul 1 în orașul 9?
- Există 15 telefoane în Little Town. Pot fi conectate cu fire, astfel încât fiecare telefon să fie conectat la exact alte cinci?
- În stat sunt 100 de orașe, iar fiecare dintre ele are 4 drumuri. Câte drumuri sunt în stat?
- Sunt 30 de persoane în clasă. S-ar putea ca 9 dintre ei să aibă 3 prieteni (în această clasă), 11 să aibă 4 prieteni și 10 să aibă 5 prieteni?
- Există 15 telefoane în Little Town. Pot fi conectate cu fire astfel încât să existe 4 telefoane, fiecare dintre ele conectat la alte trei, 8 telefoane, fiecare conectat la șase și 3 telefoane, fiecare dintre ele conectat la alte cinci?
- Regele are 19 baroni vasali. S-ar putea ca fiecare baronie vasală să aibă 1, 5 sau 9 baronii vecine?
- Poate un stat, în care sunt 3 drumuri din fiecare oraș, să aibă exact 100 de drumuri?
- John, sosit de la Disneyland, a spus că pe lacul fermecat sunt 7 insule, din care duc câte 1, 3 sau 5 poduri. Este adevărat că cel puțin unul dintre aceste poduri are neapărat vedere la malul lacului?
- Demonstrați că numărul de oameni care au trăit vreodată pe Pământ și au făcut un număr impar de strângeri de mână este par.
- Este posibil să desenați 9 segmente de linie pe un plan, astfel încât fiecare linie să intersecteze exact alte trei?
- Există 15 orașe în țara lui Seven, fiecare dintre ele fiind conectat prin drumuri cu cel puțin alte 7. Demonstrați că puteți ajunge din orice oraș în oricare altul (poate trecând prin alte orașe).
- Demonstrați că un grafic cu $ n $ vârfuri, gradul fiecăruia dintre ele este de cel puțin $ (n - 1) / 2 $, este conex.
- În Regatul îndepărtat, există un singur tip de transport - un covor zburător. Există 21 de linii de covoare din capitală, una din orașul Dalny și din toate celelalte orașe 20. Demonstrați că puteți zbura din capitală la Dalny (eventual cu transferuri).
- Sunt 100 de drumuri din fiecare oraș din țară, iar din orice oraș poți ajunge în oricare altul. Un drum a fost închis pentru reparații. Demonstrează că acum poți ajunge din orice oraș în oricare altul.
- a) Având în vedere o bucată de sârmă lungă de 120 cm Este posibil, fără a rupe sârma, să se facă un cadru cub cu marginea de 10 cm?
b) Care este cel mai mic număr de ori în care firul va trebui rupt pentru a face în continuare cadrul necesar? - Demonstrați că un grafic în care oricare două vârfuri sunt conectate printr-o singură cale simplă este un arbore.
- Demonstrați că oricare două vârfuri din arbore sunt conectate printr-o singură cale simplă.
- Demonstrați că arborele are un vârf din care iese exact o margine (un astfel de vârf se numește un vârf pandantiv).
- Toate vârfurile din grafic au gradul 3. Demonstrați că are ciclu.
- Demonstrați că eliminarea oricărei muchii din arbore o transformă într-un grafic deconectat.
- Există 101 orașe în țara Trevlyand, iar unele dintre ele sunt conectate prin drumuri. Mai mult decât atât, oricare două orașe sunt conectate printr-o singură cale. Câte drumuri sunt în țara asta?
- Demonstrați că un graf conex cu un număr de muchii mai puțin decât numărul de vârfuri este un arbore.
- Plasa de volei este sub forma unui dreptunghi de 50 $ \ ori 600 $. Care este cel mai mare număr de șiruri care pot fi tăiate fără a se rupe plasa?
- Unele țări au 30 de orașe, fiecare conectat la fiecare drum. Care este cel mai mare număr de drumuri care pot fi închise pentru reparații, astfel încât să poți conduce din fiecare oraș în fiecare?
- Demonstrați că în orice graf conectat este posibil să eliminați un vârf împreună cu toate muchiile care ies din acesta, astfel încât acesta să rămână conectat.
- Țara are 100 de orașe, dintre care unele sunt conectate prin linii aeriene. Se stie ca din orice oras se poate zbura in oricare altul (eventual cu transferuri). Demonstrați că puteți vizita fiecare oraș în cel mult
a) 198 de zboruri;
b) 196 de zboruri. - În țara Ozernaya sunt 7 lacuri, legate prin 10 canale, iar din orice lac poți înota la oricare altul. Câte insule sunt în această țară?
- Am marcat 20 de puncte în pătrat și le-am conectat cu segmente care nu se intersectează între ele și cu vârfurile pătratului, astfel încât pătratul să se rupă în triunghiuri. Câte triunghiuri sunt?
- Un grafic cu 5 vârfuri, fiecare dintre ele conectat printr-o muchie de oricare alta, nu este plat.
- Este posibil să construiți trei case, să săpați trei puțuri și să legați fiecare casă cu fiecare fântână cu poteci, astfel încât potecile să nu se intersecteze?
- Demonstrați că un grafic cu 10 vârfuri, fiecare având gradul 5, nu este plat.
- Demonstrați că un grafic plat are un vârf de grad de cel mult 5.
- Fiecare muchie a unui grafic complet cu 11 vârfuri este colorată într-una din cele două culori: roșu sau albastru. Demonstrați că graficul „roșu” sau „albastru” nu este plat.
- Heptagonul este împărțit în pentagoane convexe și hexagoane, astfel încât fiecare dintre vârfurile sale este vârful a cel puțin două poligoane ale partiției. Demonstrați că numărul de pentagoane din partiție este de cel puțin 13.
2. Rezolvați următoarea problemă de traversare a graficului:
O țară are o capitală și încă 100 de orașe. Unele orașe (inclusiv capitala) sunt conectate prin drumuri cu sens unic. Fiecare oraș fără capitală are 20 de drumuri și fiecare astfel de oraș are 21 de drumuri. Demonstrați că nu puteți conduce către capitală din niciun oraș.
Lasă drumurile să intre în capitală. Atunci numărul total de drumuri „de intrare” este egal cu 21 · 100 + a, iar numărul total de drumuri „de ieșire” nu este mai mare.
20 100 + (100-a). Prin urmare, 21 100 + a 20 100 + (100 - a), adică 2a 0.
Deci a = 0.
3.3.2.1. Digraful G1 (V, E): V = (a, b, c, d, e, f), este definit ca un sistem algebric.
a) Pentru raportul redus, definiți geometric digraful. b) Construiți matricea de adiacență a digrafului.
0) R = ((a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (c, a), (a, c), (d, e), (e, d) );
1) R = ((a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (c, d), (d, c), (c, a), (a, c) );
2) R = ((a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (c, d), (d, c), (d, e), (e, d) );
3) R = ((a, b), (b, c), (a, c), (b, e), (c, f), (c, d), (d, f), (f, e) );
4) R = ((b, c), (a, d), (b, a), (d, c), (b, d), (c, a), (f, d), (f, c) );
5) R = ((b, a), (a, a), (b, c), (c, d), (d, c), (d, b), (d, a), (d, e) );
6) R = ((a, b), (a, c), (a, d), (c, a), (d, e), (e, d), (c, c), (d, b) );
7) R = ((b, a), (c, c), (a, d), (c, a), (d, e), (e, c), (d, b), (e, f) );
8) R = ((a, b), (a, c), (a, d), (e, a), (d, e), (e, d), (c, b), (d, d) );
9) R = ((a, e), (a, a), (a, d), (c, a), (d, e), (d, d), (c, c), (b, d) ).
3.3.2.2. Digraful este definit geometric. Indicați valența vârfurilor.
Construiți matricea de adiacență a digrafului. | ||||
8) 1
3.3.2.3. Este dată o matrice de adiacență a digrafului. a) Definiți geometric digraful, c) construiți matricea de incidență.
001100
001000
3.3.2.4. Este dată matricea de incidență a digrafului. a) Setați digraful geometric, c) construiți o matrice de adiacență.
3.3.2.5. Rezolvați următoarele probleme de traversare a graficului:
0) Dima, sosit din Vrunlandia, a spus că acolo sunt mai multe lacuri, legate prin râuri. Din fiecare lac curg trei râuri și patru râuri curg în fiecare lac. Demonstrează că greșește.
1) În unele state, fiecare oraș este conectat la fiecare drum. Regele nebun vrea să introducă circulația cu sens unic pe șosele pentru ca, după ce a părăsit orice oraș, să fie imposibil să se întoarcă în el. Poti face asta?
2) Se spune că într-un grup de cinci persoane, fiecare este familiarizat cu celelalte două. Este posibilă o astfel de companie?
3) Există 101 orașe într-un stat. Toate orașele sunt conectate prin drumuri cu sens unic, cu 50 de drumuri care intră în fiecare oraș și 50 de drumuri care părăsesc fiecare oraș. Demonstrați că puteți ajunge din orice oraș în oricare altul conducând pe cel mult două drumuri.
4) Există 6 puncte în plan, astfel încât niciunul dintre ele nu se află pe o singură linie dreaptă. Fiecare pereche de puncte este conectată printr-o linie albastră sau roșie. Demonstrați că dintre punctele date puteți alege trei astfel încât toate laturile triunghiului format de ele să fie vopsite în aceeași culoare.
5) Există 101 orașe într-un stat. Unele orașe sunt conectate prin drumuri cu sens unic, fiecare oraș având 40 de drumuri și fiecare oraș având 40 de drumuri. Demonstrați că puteți ajunge din orice oraș în oricare altul conducând pe cel mult trei drumuri.
6) Este posibil să așezați 10 rute de autobuz în oraș și să stabiliți opriri pe ele, astfel încât indiferent de ce 8 rute sunt luate, să existe o oprire care să nu se afle pe niciuna dintre ele și prin toate stațiile să treacă orice 9 rute.
7) Gândacul se târăște de-a lungul marginilor cubului. Va putea el să ocolească secvenţial toate marginile, trecând de-a lungul fiecărei margini exact o dată? Sugestie: gândiți-vă la întrebarea: de câte ori poate un gândac să viziteze fiecare vârf?
8) Artistul a pictat tabloul „Conturul unui pătrat și diagonala lui”. Putea să-și deseneze imaginea fără să ridice creionul de pe hârtie și fără să tragă aceeași linie de două ori? Sugestie: Din fiecare punct trebuie să vină un număr par de linii, cu excepția începutului și a sfârșitului traseului creionului.
9) Arkady, Boris. Vladimir, Grigory și Dmitry au făcut schimb de strângeri de mână la întâlnire (fiecare și-a dat mâna cu fiecare o dată). Câte strângeri de mână s-au făcut în total?
3.3.2.6. Rezolvați următoarele probleme de traversare a graficului:
0) Stația de metrou Uryupinsk este formată din trei linii și are cel puțin două stații terminale și cel puțin două noduri de schimb, iar niciuna dintre stațiile terminale nu este de schimb. Puteți trece de la fiecare linie la fiecare în cel puțin două locuri. Desenați un exemplu de astfel de hartă de metrou dacă știți că o puteți face fără să ridicați creionul de pe hârtie sau să desenați aceeași linie de două ori. Notă: Nu uitați că există linii circulare.
3) Placa are forma unei cruci, care se obține prin aruncarea celulelor de colț dintr-o placă pătrată de 4 × 4. Este posibil să-l ocoliți cu mișcarea unui cavaler de șah și să reveniți la pătratul original, după ce ați vizitat toate pătratele exact o dată?
4) Pietonul s-a plimbat pe șase străzi ale unui oraș, trecând pe lângă fiecare exact de două ori, dar nu a putut ocoli, trecând pe lângă fiecare o singură dată. Ar putea sa fie?
5) Un gândac stă în centrul cubului 3 3 3. Demonstrați că el, târându-se peste margini, nu va putea ocoli toate cuburile 1 1 1 o dată.
6) Mai multe celule sunt marcate într-un pătrat de 6 × 6, astfel încât din oricare marcată să poți merge la oricare alta marcată, trecând doar prin laturile comune ale celulelor marcate. O celulă marcată se numește celulă terminală dacă se învecinează exact cu o celulă marcată de-a lungul părții sale. Marcați mai multe celule astfel încât să obțineți a) 10, b) 11, c) 12 celule.
7) O muscă se așează la unul dintre vârfurile a) unui octaedru b) unui cub. Poate ea să se târască peste toate coastele lui exact o dată și să se întoarcă la
vârful original? (Notă: un octaedru este format din două piramide patrulatere lipite împreună la bazele lor.)
8) Cum, fără a ridica creionul de pe hârtie, să desenați șase segmente de linie astfel încât 16 puncte situate la vârfurile unei grile pătrate de 4 pe 4 să fie tăiate?
9) Este posibil să se deseneze o diagonală în fiecare pătrat de pe suprafața cubului Rubik, astfel încât să se obțină o cale care nu se intersectează? Sugestie: Există doar 54 de pătrate pe suprafața cubului Rubik.
3.4. Probleme de optimizare pe grafice
Dacă un arc al unui graf direcționat G 1 (V, E) este asociat cu un număr real a (u, v), numit greutate, atunci șirul de vârfuri v 0, v 1, ..., vp definește o cale în G 1 și lungimea acestuia
este definită ca suma greutăților:
a (vi 1, vi | |
Dacă într-un mod arbitrar
În grafic, greutatea fiecărui arc este egală cu unu, apoi lungimea căii este egală cu numărul de arce. Problema cu calea cea mai scurtă apare cel mai adesea la rezolvare
transport și sarcini discrete programare dinamică etc. Lungimea drumului cel mai scurt se notează cu r (v i, v j) și se numește distanța de la v i la v j (distanța poate fi negativă). Pentru orice digraf, puteți construi matricea distanțelor R = r (i, j). Matricea este umplută linie cu linie, selectând vârful din stânga (dreapta). Valoarea este cel mai mic număr de arce care conectează vârful din stânga la unul dintre vârfurile din rând.
Dacă nu există cale de la v i la v j, atunci punem r (v i, v j) =. Dacă fiecare contur al graficului nostru are lungime pozitivă, atunci calea cea mai scurtă va fi întotdeauna o cale elementară, adică. nu vor exista repetări în secvența v 1, ..., v p.
Abaterea medie a vârfului vi de la centrul graficului D (vi) este:
D (vi) 1 r (vi, v),
m v V
unde m este numărul de arce din grafic, v trece prin vârfurile graficului, n este numărul de vârfuri din grafic, i = 1..n.
Vârful pentru care D (vi) se dovedește a fi minim se numește centrul graficului (sunt posibile mai multe vârfuri - centrul graficului).
Pe drum sau pe traseu pe graficul G1 (V, E) ne referim la succesiunea vârfurilor și muchiilor sale v1e1v2e2v3 ... vnen vn + 1 în care
oricare două elemente adiacente sunt incidente. O cale se numește simplă dacă tot argintul și toate vârfurile de pe ea, cu excepția primului și ultimului, sunt diferite.
Un traseu se numește lanț dacă toate marginile sale sunt diferite. O rută se numește lanț simplu dacă toate vârfurile sale și, prin urmare, marginile, sunt diferite.
Un ciclu într-un grafic este o cale în care vârful inițial coincide cu vârful final și care conține cel puțin o muchie.
Un ciclu se numește simplu dacă nu există vârfuri identice în el, cu excepția primului și ultimului, adică. dacă toate vârfurile sunt diferite.
Dacă graficul conține netcycles, atunci se numește aciclic.
Acum putem defini diferit conceptul de arbore. Un grafic conex fără cicluri se numește arbore.
Exemple de sarcini
1. Digraful este definit geometric. | ||||||||||
Construi | ||||||||||
distante. | ||||||||||
Calculați centrul digrafului. | ||||||||||
GRAFURI EULER.
Demonstrați că un set complet de piese de domino poate fi așezat conform regulilor de domino.
„Lema despre dansurile rotunde”.Într-o companie, fiecare persoană are exact doi prieteni. Demonstrați că, dacă toți prietenii își dau mâna, atunci formează unul sau mai multe dansuri rotunde.
Există mai mult de 101 orașe în țară. Capitala este legată de companii aeriene cu 100 de orașe, iar fiecare oraș, cu excepția capitalei, este legat de exact zece orașe (compania aeriană operează în ambele sensuri). Se stie ca din orice oras se poate ajunge in oricare altul (poate cu transferuri). Demonstrați că este posibil să închideți jumătate din companiile aeriene care vin din capitală, astfel încât să rămână posibilitatea de a ajunge din orice oraș în oricare.
Demonstrați că un grafic conex cu 2n vârfuri impare poate fi desenat prin ruperea creionului de pe hârtie de exact n – 1 ori și fără a desena vreo muchie de două ori.
Există 3 căi ferate din fiecare oraș din țară. Două companii vor să le privatizeze pe toate. Comitetul Antimonopol cere ca drumurile ambelor companii să părăsească fiecare oraș. Demonstrați că companiile pot conveni între ele să îndeplinească cerințele Comitetului Antimonopol.
Vi se oferă un grafic conex G cu k muchii. Demonstrați că este posibil să enumerați muchiile cu toate numerele 1, 2,..., k astfel încât pentru fiecare vârf de gradul cel puțin doi, mulțimea de numere care marchează muchiile de la acest vârf să aibă un GCD egal cu 1.
În turneul de fotbal, desfășurat între 20 de echipe din orașe diferite, fiecare echipă a avut o întâlnire acasă și nu mai mult de două întâlniri la distanță. Demonstrați că a fost posibil să programați jocuri astfel încât fiecare echipă să joace nu mai mult de un meci pe zi și întregul turneu să fie finalizat în trei zile.
GRAF GAMILTONOV.
Pe suprafața cubului este desenată o polilinie închisă cu opt linkuri, ale cărei vârfuri coincid cu toate vârfurile cubului. Care este cel mai mic număr de legături din această polilinie care poate coincide cu marginile unui cub?
Un cub este compus din opt cuburi mici. Este posibil, lăsând centrul cubului mare și deplasându-ne de-a lungul marginilor cuburilor mici, să ocolim toate vârfurile cuburilor mici, vizitându-le pe fiecare exact o dată?
Sfatul dat 55. Poate calul să ocolească toate celulele, după ce le-a vizitat pe fiecare o dată și să revină la poziția inițială?
Este posibil să ocoliți regele șchiop (regele nu se poate mișca de-a lungul diagonalelor) toate pătratele tablei de șah, începând din colțul din stânga jos și terminând în colțul din dreapta sus?
Poate un cavaler să facă 8 mutări și să se întoarcă la pătratul inițial, după ce a vizitat toate rândurile și verticalele tablei de șah?
A). Piesele alb-negre sunt așezate pe două pătrate ale tablei de șah. Este permis să le muți pe rând, fiecare mișcare deplasând piesa următoare în orice pătrat liber adiacent vertical sau orizontal. Ca urmare a unor astfel de mișcări, toate pozițiile posibile ale aranjamentului acestor două piese se pot întâlni pe tablă și exact o dată? b). Și dacă aveți voie să mutați jetoanele în orice ordine (nu neapărat pe rând)?
Care dintre următoarele trei fapte este cel mai puternic?
În unele state, fiecare 2 orașe sunt conectate printr-un drum. Pe fiecare drum este permis doar circulația într-un singur sens. Dovediți că există un oraș, plecând din care puteți face ocolul întregului stat, vizitând fiecare oraș exact o dată.
În unele țări, fiecare oraș este conectat la fiecare drum cu sens unic. Demonstrează că există un oraș din care poți ajunge în oricare altul.
Există 100 de orașe într-un stat și fiecare este conectat la fiecare drum cu sens unic. Demonstrați că puteți schimba direcția de mișcare pe un drum, astfel încât să puteți ajunge din orice oraș în oricare altul.
Demonstrați cel mai „puternic” fapt și ambele consecințe din acesta.
Într-un turneu de șah cu o rundă, fiecare participant a jucat câte un joc cu fiecare. Demonstrați că participanții pot fi numerotați astfel încât nimeni să nu piardă direct la următorul după număr.
Există N orașe în țară. Fie un drum, fie o cale ferată este așezată între oricare dintre ele. Un turist vrea să meargă prin țară, după ce a vizitat fiecare oraș exact o dată, și să se întoarcă în orașul din care și-a început călătoria. Demonstrați că un turist poate alege orașul din care își va începe călătoria și traseul astfel încât să fie nevoit să schimbe nu mai mult de o dată modul de transport. (Olimpiadă integrală rusească, 2003)
O secvență de 36 de zerouri și unu începe cu 5 zerouri. Toate cele 32 de combinații posibile se găsesc între cinci numere consecutive. Găsiți ultimele cinci cifre ale secvenței.
„Cavaleri la curtea regelui Arthur” – teorema lui Dirac. 2n cavaleri s-au adunat la masa rotundă a Regelui Arthur, fiecare dintre ei nu mai are (n – 1) dușmani printre ceilalți. Demonstrați că consilierul regelui, Merlin, poate așeza cavalerii astfel încât inamicii să nu stea în apropiere. Prezentați teorema lui Dirac în termeni generali.
La conferință au participat 2n persoane, fiecare dintre ele familiarizată cu cel puțin n altele. Demonstrați că participanții pot fi cazați în camere duble, astfel încât oamenii care se cunosc între ei locuiesc în fiecare cameră.
Vi se dau n jetoane de mai multe culori și nu există mai mult de n / 2 jetoane de fiecare culoare. Demonstrați că acestea pot fi așezate pe un cerc, astfel încât să nu stea două jetoane de aceeași culoare unul lângă celălalt.
Într-un stat federal format din două republici, fiecare două orașe sunt legate printr-un drum cu sens unic; în același timp, deplasându-te de-a lungul drumurilor, poți ajunge din orice oraș în oricare altul. Oferă agenția de turism „Hamilton”. n diverse trasee turistice în oraşele primei republici şi m- spre orasele celui de-al doilea (oricare dintre aceste trasee presupune vizitarea fiecarui oras al republicii exact o data si intoarcerea in orasul initial, si toate acestea fara a iesi din republica). Demonstrați că Hamilton ar putea oferi turiști curioși cel puțin mn trasee turistice similare în orașe din întreaga federație.
Turneele sunt grafice complete.
În clasă sunt 28 de elevi. Profesorul poate transfera elevi, dar fiecare elev stă cu același elev în timpul zilei de școală. În care este cel mai mic număr de zile fiecare elev va putea să stea cu toată lumea?
Suma a 1000 de numere reale este 0. Demonstrați că cel puțin 999 de sume în perechi ale acestor numere sunt nenegative.
Sunt 25 de pietre în grămada. Este împărțit în două părți, apoi una dintre părți este din nou împărțită în două etc., până când se obțin 25 de pietre separate. De fiecare dată când unul dintre grămezi este împărțit în două părți, produsul numărului de pietre din aceste părți este înregistrat pe tablă. Demonstrați că la sfârșit toate numerele de pe tablă se adună până la 300.
1996 copii învață la școală. Fiecare dintre ei îi place exact k dintre cei 1995 de studenți rămași. La ce valori k se poate argumenta că vor fi cu siguranță doi elevi ai acestei școli care fie se plac amândoi, fie nu se plac amândoi?
Astronomul observă 50 de stele, suma distanțelor perechi între care este egală cu S. Un nor a venit și a umbrit 25 de stele. Demonstrați că suma distanțelor perechi dintre stelele vizibile este mai mică decât S / 2.
Într-o țară cu 25 de orașe, trei companii aeriene doresc ca toate zborurile non-stop între aceste orașe să fie operate de doar una dintre companiile aeriene pentru orice pereche de orașe, dar orice companie aeriană ar putea duce pasageri din orice oraș în oricare altul fără a ateriza în niciun alt oraș. decât un oraș intermediar... Demonstrează că se poate.
Comisia este formată din 49 de persoane. La fiecare ședință participă exact trei membri ai comisiei. Este posibil să programăm lucrările comisiei astfel încât oricare doi membri ai comisiei să se întâlnească la ședințe exact o dată?
CONECTIVITATE MINIMA.
În orașul N, puteți călători din orice stație de metrou la oricare alta (eventual cu transferuri). Demonstrați că una dintre stațiile de metrou poate fi închisă pentru reparații fără dreptul de a circula prin ea, astfel încât din oricare dintre stațiile rămase să puteți merge la oricare alta.
Demonstrați că în orice graf conectat este posibil să eliminați un vârf împreună cu toate muchiile care ies din acesta, astfel încât acesta să rămână conectat.
Într-un grup de mai multe persoane, unii oameni se cunosc, iar alții nu. În fiecare seară, unul dintre ei aranjează o cină pentru toți cunoscuții săi și le prezintă unul altuia. După ce fiecare persoană a avut cel puțin o cină, s-a dovedit că vreo două persoane încă nu se cunoșteau. Demonstrează că nu se vor cunoaște nici la următoarea cină.
Există 30 de orașe într-o țară și fiecare oraș este conectat la fiecare drum. Care este cel mai mare numar de drumuri care pot fi inchise pentru reparatii astfel incat din fiecare oras sa se poata circula pana la fiecare, eventual prin alte orase?
Un model al unsprezecelea este făcut din sârmă, dintr-un vârf din care sunt desenate toate diagonalele. Doi, pe rând, mănâncă câte un fir. Câștigătorul este cel după care modelul se împarte în două părți pentru prima dată. Cine câștigă dacă este jucat corect: primul jucător sau partenerul său?
Inițial, pe fiecare pătrat al tablei 1n există câte o damă. Prima mutare i se permite să rearanjeze orice damă într-o celulă adiacentă (una dintre cele două, dacă dama nu este pe margine), astfel încât să se formeze o coloană de două dame. Apoi, la următoarea mișcare, fiecare coloană poate fi mutată în orice direcție de atâtea celule câte piese sunt în ea (în cadrul tablei); dacă coloana lovește o celulă care nu este goală, aceasta este plasată deasupra coloanei care stă acolo și este combinată cu aceasta. Demonstrați că în mișcările n-1 puteți aduna toate piesele pe un pătrat.
Sunt 101 conserve de 1001 g, 1002 g, ..., 1101 g. Se pierd etichetele cu cântar, dar managerul crede că își amintește care cutie cântărește cât. El vrea să se convingă de asta în cel mai mic număr de cântăriri. Există două cântare, unul precis și celălalt aspru. Două cutii pot fi comparate într-o singură cântărire. Cântarele precise arată întotdeauna care borcan este mai greu, iar cele grosiere numai dacă diferența este mai mare de 1 g (în caz contrar, arată echilibrul). Îngrijitorul poate folosi doar un cântar. Pe care ar trebui să aleagă? (A. Shapovalov)
Plasa de volei are forma unui dreptunghi cu o dimensiune de 50-600 de celule. Care este cel mai mare număr de frânghii simple (între noduri) care pot fi tăiate astfel încât plasa să nu se rupă?
Există o plasă de frânghie sub forma unui pătrat de 88, împărțit în 11 celule. Care este cea mai lungă frânghie pe care o poți tăia din ea? (Puteți tăia oricare capăt al nodurilor fără a rupe conexiunile celorlalți, dar nu puteți tăia nodul astfel încât capetele să nu se formeze).
Foaia de caiet a fost vopsită în 23 de culori per celule. O pereche de culori se numește bună dacă există două celule adiacente pe lateral, umplute cu aceste culori. Care este numărul minim de perechi bune?
Să numim o tablă de șah 8x8 un labirint, unde partițiile sunt inserate între unele câmpuri. Dacă turnul poate ocoli toate pătratele fără să sară peste partiții, atunci labirintul se numește bun, altfel este rău. Care labirinturi sunt mai multe - bune sau rele?
Țara are 100 de orașe, dintre care unele sunt conectate prin linii aeriene. Se stie ca din orice oras se poate zbura in oricare altul (eventual cu transferuri). Dovediți că puteți vizita fiecare oraș în cel mult: a). 198 de zboruri; b). 196 de zboruri.
Pe o tablă de șah, inițial goală, pionii sunt așezați conform următoarelor reguli: sunt selectate orice patru pătrate goale, ale căror centre sunt vârfurile unui dreptunghi cu laturile paralele cu laturile tablei, după care se așează un pion pe unul dintre aceste pătrate. Apoi sunt selectate patru pătrate goale similare, un pion este plasat din nou pe unul dintre ele și așa mai departe. Care este cel mai mare număr de pioni care pot fi plasați pe tablă urmând aceste reguli?
Gazda a copt o prăjitură pentru oaspeți. La masă pot fi fie p, fie q persoane. Care este numărul minim de bucăți (nu neapărat egale) trebuie să tăiați plăcinta în prealabil, pentru ca în orice caz să poată fi împărțită în mod egal între invitați, dacă: a). p și q sunt coprime; b). p și q au cel mai mare factor comun d?
Obiectul secret este în plan un pătrat 88, împărțit de coridoare în pătrate 11. Există un comutator la fiecare vârf al unui astfel de pătrat. Apăsarea comutatorului afectează imediat toate coridoarele lungi de metri care părăsesc acest vârf, schimbându-le iluminarea cu altele opuse. Paznicul se află în colțul unui obiect complet neluminat. El poate merge doar de-a lungul coridoarelor iluminate și poate acționa întrerupătoarele de câte ori. Poate paznicul să se asigure că poate trece de la orice comutator la oricare altul fără să acţioneze întrerupătoarele?
Într-un grafic conectat 2 n vârfuri, toate de gradul 3. Demonstrați că puteți alege n+1 o muchie astfel încât colorarea corectă în 3 culori a muchiilor selectate stabilește în mod unic colorarea corectă în 3 culori a tuturor muchiilor graficului (colorarea este corectă dacă două muchii cu un vârf comun au culori diferite).
GRAFICE DUPĂ FĂȚI.
Demonstrați că un grafic este bipartit dacă și numai dacă toate ciclurile din el sunt pare.
Demonstrați că un arbore (graf conectat fără cicluri) este un graf bipartit.
Într-un anumit grup de oameni, toată lumea are un inamic și un prieten. Demonstrați că acești oameni pot fi împărțiți în două companii, astfel încât fiecare companie să nu aibă dușmani sau prieteni.
16 echipe joacă în campionatul rus de fotbal. În primul tur, toate echipele au jucat un singur meci. În turul doi, toate echipele au jucat, de asemenea, conform jocului. Demonstrați că puteți specifica 8 echipe astfel încât să nu fi jucat două dintre ele.
Unele mulțimi finite M de noduri sunt marcate pe o foaie de hârtie în carouri. Este întotdeauna posibil să colorați unele puncte din setul M alb, iar restul - roșu, astfel încât pe fiecare linie de grilă diferența dintre numărul de noduri albe și roșii să nu depășească 1 în valoare absolută? (IMO, 1986)
1997 de puncte sunt date în avion. Două leagă la rândul lor aceste puncte cu segmente, iar un segment nu poate fi desenat de două ori. Jucătorul pierde după mutarea căreia se formează pentru prima dată o polilinie închisă cu un număr impar de legături. Cine va câștiga dacă va juca corect?
Am luat 10 puncte pe cerc. Care este cel mai mare număr de segmente de linie cu capete în aceste puncte care pot fi desenate astfel încât să nu formeze trei dintre aceste segmente de linie un triunghi cu vârfuri în aceste puncte?
În satul Martyshkino, fiecare băiat cunoaște toate fetele pe care le cunoaște. Fiecare fată are mai mulți băieți decât fete printre cunoscuții ei. Demonstrați că în Martyshkino nu sunt mai puțini băieți decât fete.
Hidrele sunt compuse din capete și gât (orice gât leagă exact două capete). Cu o singură lovitură de sabie, toate gâturile care ies din orice cap A al hidrei pot fi îndepărtate. Dar, în același timp, din capul lui A, un gât crește instantaneu în toate capetele cu care A nu este conectat. Hercules învinge hidra dacă reușește să o taie în două părți care nu sunt legate de gât. Găsiți cel mai mic N, la care Hercules poate învinge orice hidra de cost, provocând nu mai mult de N lovituri. (RosOl, 2002)
Într-o companie de 2n + 1 persoane, pentru orice n oameni, există o persoană diferită care este familiarizată cu fiecare dintre ei. Demonstrați că există o persoană în această companie care îi cunoaște pe toată lumea. (RosOl, 2002)
GRAFICE PLATE.
Există 5 puncte în plan, dintre care trei nu se află pe o singură linie dreaptă. Demonstrați că vreo patru dintre ele se află la vârfurile unui patrulater convex.
Pe plan sunt 5 cercuri, fiecare dintre ele care se intersectează. Demonstrați că trei dintre ele au un punct comun.
Există 6 puncte în plan (3 albastre și 3 roșii), dintre care trei nu se află pe o singură linie dreaptă. Demonstrați că aproximativ 2 puncte albastre și 2 roșii se află la vârfurile unui patrulater convex.
Există un set complet de piese de domino pe câmpul în carouri (fiecare domino are 2 celule). Hai sa sunăm zonă multe celule cu același număr de piese de domino. Se va chema regiunea legătură dacă din vreuna dintre celulele sale turbul șchiop poate intra în oricare alta. Care este cel mai mare număr de zone conectate pe teren?
ORDINE PARȚIALĂ.
În clasă sunt 12 fete și 12 băieți, toți de diferite înălțimi. La ora de educație fizică erau aliniați în două rânduri (unul în spatele celuilalt): băieții - în înălțime de la stânga la dreapta, iar fetele - în înălțime de la dreapta la stânga. Apoi a fost chemat unul mai mare de la fiecare pereche băiat-fată. Dovediți că i-ați chemat pe cei mai înalți doisprezece ucenici.
Sunt date mai multe numere naturale diferite. Se știe că dintre oricare trei dintre ele, puteți alege două, astfel încât unul să fie divizibil cu celălalt. Demonstrați că toate numerele pot fi colorate în două culori, astfel încât pentru oricare două numere de aceeași culoare unul este divizibil cu celălalt.
Demonstrați că din 17 numere naturale diferite, fie există 5 astfel de numere a, b, c, d, e astfel încât fiecare dintre numerele acestor cinci, cu excepția ultimului, este divizibil cu numărul din spatele lui, fie există sunt cinci astfel de numere care niciunul dintre ele nu este divizibil cu celălalt.
Numerele 1, 2, 3,…, 101 sunt aranjate într-un rând într-o anumită ordine. Demonstrați că puteți tăia oricând 90 de numere din această serie, astfel încât cele 11 rămase să fie în ordine crescătoare sau descrescătoare.
ALGORITMI.
Demonstrați că vârfurile dintr-un arbore care se întind pot fi colorate într-un model de șah.
Într-un grup de oameni, toată lumea are o cunoştinţă. Demonstrați că acest grup poate fi împărțit în două, astfel încât fiecare persoană să aibă un prieten din celălalt grup.
În sat, unele case sunt legate cu fire. Vecinii sunt doi oameni ale căror case sunt legate prin fire. Va fi întotdeauna posibil să se stabilească câte o persoană în fiecare casă – un mincinos sau un cavaler – astfel încât fiecare să răspundă la întrebarea: „Există mincinoși printre vecinii tăi?” – a răspuns pozitiv. (Toată lumea știe despre fiecare dintre vecinii lui, dacă este sau nu mincinos).
Demonstrați că numerele naturale pot fi aranjate la vârfurile unui poliedru, astfel încât în fiecare două vârfuri conectate printr-o muchie să fie numere care nu sunt coprime, dar în fiecare două vârfuri care nu sunt legate printr-o muchie sunt coprime.
V Port Aventura 16 agenți secreti au fost abandonați. Fiecare dintre ei ține cu ochii pe unii dintre colegii lor. Se ştie că dacă agentul A urmărind un agent V apoi agent V nu urmează agentul A... Oricare 10 agenți pot fi renumerotați astfel încât primul să urmeze pe al doilea, al doilea să urmeze al treilea, ..., al zecelea să urmeze primul. Demonstrați că puteți enumera vreo 11 agenți în același mod.
Sub ce n puteți picta toate marginile n-prisma diagonala (baze - n-goni) în trei culori astfel încât la fiecare vârf să convergă muchiile tuturor celor trei culori și fiecare față (inclusiv bazele) să aibă muchii ale tuturor celor trei culori?
A). Demonstrați că vârfurile unei prisme 3n-gonale pot fi colorate cu trei culori, astfel încât fiecare vârf să fie conectat prin muchii la vârfurile tuturor celor trei culori. b). Demonstrați că dacă vârfurile unei prisme cu n laturi pot fi colorate cu trei culori, astfel încât fiecare vârf să fie conectat prin muchii la vârfurile tuturor celor trei culori, atunci n este divizibil cu 3.
„ANTIGRAF”.
Într-o companie de 2n + 1 persoane, pentru orice n oameni, există o persoană diferită care este familiarizată cu fiecare dintre ei. Demonstrați că există o persoană în această companie care îi cunoaște pe toată lumea.
GRAFICE ȘI POLINOMII.
Dat un număr natural k și polinoame R(X) și S(X) cu coeficienți întregi. Se știe că pentru orice număr întreg X număr R(S(X)) – X impartit de k... Demonstrează că numărul S(R(X)) – X este de asemenea împărțit în k pentru orice general X.
Există patru polinoame astfel încât suma oricăror trei dintre ele să aibă cel puțin o rădăcină, iar suma oricăror două să nu aibă rădăcini?
CICLICITATE.
În Orașul Florilor locuiesc 2.000 de bărbați scunzi. Fiecare bărbat scund oferă un cadou fiecărui prieten în fiecare zi. Pentru a evita ruina, este permis sa dai darul mai departe, dar nu celui care ti-a dat acest cadou. Znayka a calculat că niciunul dintre cadourile care i s-au prezentat vineri nu i-ar putea reveni mai devreme de vineri viitoare. Demonstrează că un bărbat scund nu are mai mult de 13 prieteni. (E. Cherepanov)
Există 100 de orașe în stat. Unele perechi de orașe sunt conectate prin drumuri și există cel puțin patru trasee ciclice. Demonstrați că există un traseu ciclic care trece prin cel mult 51 de orașe.
În țară sunt 100 de orașe, unele perechi de orașe sunt legate prin drumuri și sunt în total 200 de drumuri. S-a dovedit că orice traseu ciclic are o lungime de cel puțin cinci. Demonstrați că există două rute ciclice disjunse.
Există o mulțime de lifturi în clădirea Universității din Moscova, iar fiecare lift transportă pasageri doar între vreo două etaje (dar la fiecare etaj poți merge la orice lift care se oprește la el). Se știe că de la orice etaj poți conduce la orice altul, folosind un număr par de lifturi și fără să treci de două ori prin niciun etaj. Demonstrați că puteți face același lucru folosind un număr impar de lifturi dacă doriți.
Există mai multe castele în Oz, fiecare dintre ele având trei căi. Cavalerul rătăcitor și-a părăsit castelul strămoșesc și a pornit într-o călătorie prin țară. Cavalerul iubește varietatea, prin urmare, ajungând la următorul castel, el se întoarce la stânga de fiecare dată dacă a întors la dreapta data anterioară și se întoarce la dreapta dacă a făcut stânga înainte. (Depășind primul castel în drum, cavalerul se poate întoarce în orice direcție). Demonstrează că într-o zi cavalerul se va întoarce la castelul său.
Pe banda fără sfârșit este imprimată o secvență nesfârșită de numere de la 1 la 9. Demonstrați că fie o combinație de numere se va repeta de 10 ori la rând, fie puteți decupa din ea 10 numere de sute de cifre în ordine descrescătoare.
TEOREMA PRIVIND PARITATEA NUMĂRULUI DE VOCAȚII IMPARE.
Vârfurile unui poliedru convex, ale cărui fețe sunt triunghiuri, au fost pictate în trei culori. Demonstrați că numărul de fețe, dintre care toate cele trei vârfuri sunt multicolore, este par.
Numărul de margini.
Un pătrat de 1212 a fost desenat pe o foaie albă de hârtie în carouri. Două celule sunt considerate adiacente dacă au o latură comună. Sasha pictează peste o celulă, înscriind în fiecare celulă umplută numărul vecinilor ei pictați anterior. Care va fi suma tuturor numerelor când toate celulele sunt completate? (A. Shapovalov)
A colorat o coală nesfârșită de hârtie în carouri, cu excepția pătratului 77. În acest pătrat, Vasya a pictat o celulă în care este colorată exact o celulă adiacentă (pe lateral), apoi o altă celulă, care are acum exact o celulă vecină colorată și așa mai departe. Care este cel mai mare număr de celule pe care Vasya le poate colora în acest fel?
Sub ce n> 1 se poate întâmpla ca într-o firmă din n+1 fete și n băieții sunt toți fetele familiarizați cu un număr diferit de băieți și toți băieții sunt familiarizați cu același număr de fete?
AMESTEC.
La unele întâlniri au participat n uman. Se știe că fiecare două cunoștințe dintre ei nu au nicio cunoștință în comun, iar fiecare două fețe necunoscute au exact două cunoștințe comune. A). Demonstrați că toți cei prezenți au același număr de cunoștințe. b). Sub ce n este posibilă starea problemei?
În orașul „Diversității” sunt 10.000 de locuitori, fiecare doi dintre care fie sunt dușmani, fie sunt prieteni unul cu celălalt. În fiecare zi, nu mai mult de un locuitor al orașului poate „începe o nouă viață”, adică. cearta-te cu toti prietenii tai si imprieteneste-te cu toti dusmanii tai; cu toate acestea, oricare trei rezidenți se pot împrieteni unul cu celălalt. Demonstrați că toți locuitorii, fără excepție, se pot împrieteni între ei. Care este cel mai mic număr de zile care este cel mai probabil suficient?
kși n- numere naturale mai mari decât 1. Într-un grup de kn fiecare persoană este familiarizată cu mai mult de ( k–1)n din restul. Demonstrează că poți alege k+1 persoană, astfel încât să se cunoască cu toții. ( olimpiadele poloneze, 68 de ani)
100 de puncte sunt marcate pe avion. Joacă doi, pe rând. Într-o singură mișcare, puteți conecta două puncte cu o săgeată, dacă nu au fost conectate înainte. În acest caz, este interzisă tragerea unei săgeți, după apariția căreia se va putea ajunge din orice punct de-a lungul săgeților la oricare altul. Cel care nu poate face următoarea mișcare fără a încălca regulile pierde. Cine va câștiga dacă este jucat corect: primul jucător sau partenerul său? ( DA. Rostov)
În Județul Unilateral între unele (dar, din păcate, încă nu între toate) moșii există drumuri cu sens unic. Totodată, când apare orice drum nou (tot cu circulație pe sens unic) între moșii care înainte nu erau legate printr-un drum, se dovedește că poți ajunge din orice gospodărie în oricare alta fără a încălca regulile. Demonstrați că oportunitatea există acum. ( DA. Rostov; SPb, oraș 2000)
Mai mulți prieteni s-au întâlnit. Fiecare dintre ei a dat mâna cu toată lumea, cu excepția lui Fedot Burcheev, care, fiind în nebunie, a dat mâna cu unii, dar nu și cu alții. Au fost făcute în total 197 de strângeri de mână. Câte strângeri de mână a făcut Fedot? ( ESTE. Rubanov)
În țară sunt 100 de orașe, fiecare oraș având cel puțin un drum. Demonstrați că este posibil să închideți mai multe drumuri în așa fel încât, ca și până acum, cel puțin un drum să iasă din fiecare oraș și, în același timp, exact un drum să iasă din cel puțin 67 de orașe. ( E.A. Girsh, S.V. Ivanov, D.V. Karpov)
Școala are 40 de săli de clasă, care sunt deschise cu 5 tipuri diferite de chei, iar numărul de tipuri diferite de chei este diferit. Toate cele 40 de chei au fost încuiate în camere, astfel încât în fiecare cameră este încuiată câte o cheie, care nu poate fi deschisă. Paznicul Sergheev are o cheie duplicată la una dintre camere. Demonstrează că poate deschide toate camerele. ( )
Școala are 40 de săli de clasă, care sunt deschise cu 4 tipuri diferite de chei. Toate cele 40 de chei au fost încuiate în camere, astfel încât o cheie este încuiată în fiecare cameră, care nu poate fi deschisă. Paznicul Sergheev știe unde se află cheia. Demonstrați că Sergheev, paznicul, poate face chei duplicate pentru două birouri, cu care puteți deschide toate camerele. ( R.A. Ismailov, S.L. Berlov, D.V. Karpov)
(S. Berlov, Sankt Petersburg, oraș, 2001, 6-1) La expoziția pisicilor stăteau pe rând 19 pisici și 10 pisici, iar lângă fiecare pisică era o pisică mai groasă decât ea. Demonstrează că lângă fiecare pisică era o pisică mai slabă decât el.
(S. Berlov) Continentul pătrat este împărțit în 19 țări sub formă de poligoane convexe și nu există puncte în care granițele a patru sau mai multe țări să convergă. Dintre toate cele trei granițe care converg într-un punct, una este închisă, iar două sunt deschise pentru trecere. Demonstrați că este imposibil să ocoliți toate aceste țări, după ce le-am vizitat pe fiecare o dată și să vă întoarceți în țara inițială.
În țara Falkersonia, unele orașe sunt conectate prin linii aeriene și nu poți ajunge din orașul A în orașul B cu mai puțin de zece transferuri. Demonstrați că toate companiile aeriene pot fi vândute către 11 companii aeriene, astfel încât orice rută de la A la B să circule pe liniile deținute de toate cele 11 companii. (Folclor, 100)
Fiecare elev din clasă este angajat în două cercuri, iar pentru fiecare trei elevi există un cerc în care merg împreună. Demonstrați că există un cerc în care toți elevii învață. (DalFO Olympics 2001, 104)
. Zece persoane au venit în vizită în galoșuri. Au plecat câte unul și fiecare și-a pus o pereche arbitrară de galoșuri în care să se potrivească (adică nu mai mici decât ale lui). Care este cel mai mare număr de oameni care nu pot purta galoșuri?
În țara fabuloasă Perra Terra, printre alți locuitori, locuiesc Karabases și Barabas. Fiecare karaba este familiarizat cu șase karaba și nouă tobe. Fiecare tobă este familiarizată cu zece karabas și șapte tobe. Cine este mai mult în țara asta - carabase sau tobe?
Într-un grup de 100 de persoane, dintre oricare trei, există o persoană care îi cunoaște pe amândouă. Demonstrează că din acest grup poți alege o companie de 50 de persoane în care toată lumea se cunoaște. (S. Berlov)
Douăzeci de domni au venit la club: unii cu pălării, alții fără. Apoi, din când în când, unul dintre domni își scotea pălăria și o punea pe capul altui domn, care în acel moment nu avea pălărie. O oră mai târziu, 10 domni au spus: „Am dat pălăria mai des decât am primit-o!” Câți domni au venit la club purtând pălării? ( SLB, Yu.M. Lifshits; SPb-02)
Într-o firmă există mai mult de 10 persoane și fiecare are un număr de cunoștințe împărțit la 10. Demonstrați că există cel puțin 11 persoane cu același număr de cunoștințe. ( SLB cu sediul în Moldova)
La olimpiade au fost propuse 8 (6) probleme. Fiecare participant a rezolvat exact 3 dintre ele și nici doi participanți nu au rezolvat mai mult de o problemă comună. Care este cel mai mare număr de participanți la Olimpiada? ( Calea Baltică, 01)
Pentru o companie din n persoană este îndeplinită următoarea condiție: dacă vreo 2 persoane au un număr egal de cunoștințe, atunci fiecare dintre ceilalți este familiarizat cu exact unul dintre ei. Sub ce n este posibil? ( Calea Baltică, 2000)
La petrecere au venit 19 invitați. Printre oricare 3 dintre ei, sunt 2 cunoscuți. Demonstrați că oaspeții pot fi împărțiți în 5 grupuri, în fiecare dintre ele familiare cu toată lumea în perechi. ( V.L.Dolnikov, SLB, SVI)
(Folclor) Țara are mai multe orașe și mai multe drumuri cu sens unic. Fiecare drum leagă două orașe și nu trece prin celelalte. În același timp, indiferent în ce două orașe iei, cel puțin dintr-unul dintre ele poți conduce în celălalt fără a încălca regulile de circulație. Demonstrați că există un oraș din care puteți conduce în orice alt oraș fără a încălca regulile de circulație.
Dintre 11 persoane, oricare două au exact un prieten în comun. Demonstrați că cel puțin unul dintre ei este familiarizat cu toți ceilalți.
(Lapok) Dintre 5 persoane, oricare două au exact un prieten comun. Demonstrați că cel puțin unul dintre ei este familiarizat cu toți ceilalți.
(Juriubazat pe fapte clasice) În țară sunt 120 de orașe. Unele perechi de orașe sunt conectate prin drumuri care nu trec prin alte orașe. Fiecare oraș are cel puțin trei drumuri. Demonstrați că există un traseu ciclic care nu se intersectează cu cel mult 11 orașe.
(Yu.M. Rahati) În țara Jureland, unele orașe sunt legate prin drumuri (nu trec prin alte orașe), iar din orice oraș se poate ajunge în oricare altul. Într-o zi nefericită, un trib malefic de Subchiks a capturat un anumit oraș. În fiecare zi următoare, subchiks fie capturau un oraș adiacent unuia dintre cei capturați, fie eliberau orașul capturat, toți cei vecini erau capturați. În plus, niciun oraș nu a fost capturat de mai multe ori. Demonstrați că, dacă subchiks nu mai pot captura nimic, atunci cel puțin unul dintre cele două orașe învecinate este capturat.
(Yu.M. Rahati) La banchet au participat 14 membri ai juriului care au băut 17 sticle de limonada. Patru dintre membrii juriului au băut fiecare sticlă de limonadă. Demonstrați că sunt doi jurați care nu au băut limonadă din aceeași sticlă.
(Folclor) Fiecare dintre cei 7 membri ai echipei nu are mai mult de doi prieteni apropiați. Odată ajunși în aceeași cameră, doi prieteni apropiați încep să discute continuu și toate lucrările din această cameră se opresc. Demonstrați că trei camere sunt suficiente pentru ca căpitanul să mențină întregul echipaj să funcționeze fără probleme.
(Yu.M. Rahati) 10 jucători de șah au jucat un turneu cu o rundă și fiecare a câștigat, pierdut și a remizat 3 jocuri. Se știe că nu există trei jucători de șah care să fi înscris exact 1 punct fiecare în meciuri. Demonstrați că toți cei zece jucători de șah pot fi așezați într-un cerc, astfel încât fiecare dintre ei să câștige împotriva celui din dreapta lui. Pentru o victorie la șah se acordă 1 punct, la egalitate se acordă 0,5 puncte, pentru o înfrângere - 0 puncte.
(Yu.M. Rahati) 10 jucători de șah au jucat un turneu cu o singură rundă, fiecare câștigând și pierzând 4 jocuri și remând un joc. Dovediți că puteți alege trei jucători de șah și să-i așezați într-un cerc, astfel încât fiecare dintre ei să câștige împotriva celui din dreapta lui.
Caracatițele trăiesc în Marea Ploilor, fiecare cu unul sau doi prieteni. Când soarele a răsărit, toate acele caracatițe care aveau doi prieteni s-au făcut albastre, iar toți cei care aveau un singur prieten au devenit roșii. S-a dovedit că oricare doi prieteni sunt multicolori. Apoi 10 caracatițe albastre s-au vopsit în roșu și, în același timp, 12 caracatițe roșii s-au vopsit în albastru, după care oricare doi prieteni au devenit de aceeași culoare. Câte caracatițe sunt în Marea Ploilor?
În curte sunt 12 stâlpi. Electricianului Petrov i s-a dat sarcina de a conecta stâlpii cu fire în așa fel încât fiecare fir să conecteze exact doi stâlpi, să nu fie conectați doi stâlpi de două ori și, cel mai important, că pentru oricare patru stâlpi să existe exact trei fire întinse între acești stâlpi. Demonstrați că electricianul Petrov nu va putea face față acestei sarcini.
Fiecare dintre cele 24 de persoane este familiarizată cu cel puțin 11 din restul. Este întotdeauna posibil să-i găzduiești în camere duble ale hotelului, astfel încât toată lumea să fie aranjată cu cunoștințele lor?
Planeta Thor are forma unei gogoși. Sunt 5 orașe pe el. Este posibil să conectați fiecare pereche de aceste orașe cu drumuri, astfel încât drumurile să nu se intersecteze nicăieri?
Există 45 de limbi vorbite pe insula Noua Babilonia și fiecare locuitor cunoaște cel puțin cinci dintre ele. Se știe că oricare doi rezidenți pot purta o conversație între ei, eventual prin medierea mai multor traducători. Demonstrați că atunci oricare doi insulari pot vorbi unul cu celălalt cu cel mult 15 interpreți.
Într-un grup de 100, unii sunt familiarizați unul cu celălalt, iar fiecare membru al grupului este familiarizat cu cel puțin alți 20. Demonstrați că puteți alege 40 de membri ai grupului și îi puteți împărți în 20 de perechi, astfel încât în fiecare pereche oamenii să fie familiari.
Pe kn cărțile pe ambele părți sunt numere scrise de la 1 la n de 2 k ori fiecare. Demonstrați că aceste cărți pot fi puse pe masă, astfel încât deasupra fiecărui număr să fie scris exact k o singura data.
În țară sunt 201 orașe, fiecare dintre ele având exact 10 drumuri, iar din orice oraș poți ajunge în oricare altul. Demonstrați că puteți alege 20 de orașe, dintre care două nu sunt legate printr-un drum.
În curte sunt mai multe stâlpi, unele perechi sunt legate prin fire. Întins total mn fire, iar aceste fire sunt colorate n culorile și firele de aceeași culoare nu se îndepărtează de la niciun post. Demonstrați că puteți revopsi aceste fire astfel încât firele de toate culorile să fie împărțite în mod egal și că două fire de aceeași culoare încă nu lasă niciun post. (130, Ucraina 1989)
În curte sunt 36 de stâlpi, inițial un fir este întins între oricare doi stâlpi. În fiecare dimineață, în drum spre școală, huliganul Vasya rupe 35 de fire. În fiecare seară, electricianul Petrov reconstruiește firele de la un anumit stâlp. Demonstrați că Vasya poate acționa astfel încât într-o dimineață după următorul act de vandalism să rămână mai puțin de 18 fire. (135, A.V. Pastor, Sankt Petersburg 2000)
100 de puncte sunt marcate pe avion. Joacă doi, pe rând. Într-o singură mișcare, puteți conecta două puncte cu o săgeată, dacă nu au fost conectate înainte. În acest caz, este interzisă tragerea unei săgeți, după apariția căreia se va putea ajunge din orice punct de-a lungul săgeților la oricare altul. Cel care nu poate face următoarea mișcare fără a încălca regulile pierde. Cine va câștiga dacă este jucat corect: primul jucător sau partenerul său?
Au fost selectate mai multe numere diferite dintre numerele întregi de la 1 la 100. Să numim factorul de divizibilitate al unui număr dat numărul de numere selectate cu care numărul dat este divizibil uniform. S-a dovedit că toate numerele selectate au exponenți de divizibilitate diferiți. Care este cel mai mare număr de numere care ar fi putut fi alese?
N cercurile sunt aranjate astfel încât centrul fiecăruia dintre ele să se afle exact în interiorul unuia dintre celelalte, iar în interiorul fiecăruia se află centrul exact al unuia dintre celelalte. Găsiți toate numerele N pentru care acest lucru este posibil.
La congresul tinerilor scriitori au participat 22 de școlari. După congres, fiecare dintre ei a citit lucrările a trei tineri scriitori care au participat la congres. Demonstrați că se poate face o comisie de 4 persoane din delegații la congres pentru ca nimeni din comisie să nu fi citit lucrările celorlalți membri ai acesteia.
În casa de odihnă sunt 1999 de turiști. Unii dintre ei sunt familiarizați unul cu celălalt și oricare doi străini au un prieten comun printre vacanți. Care este cel mai mic număr posibil aburi turiști cunoscuți?
Există 1000 de orașe pe planetă, printre care se numără capitale de state. Unele orașe sunt conectate prin drumuri, astfel încât orice drum leagă exact două orașe și puteți ajunge din orice oraș în oricare altul pe drumuri. În același timp, pentru a ajunge dintr-o capitală în alta, trebuie să circulați pe cel puțin 21 de drumuri. Demonstrați că nu există mai mult de 90 de capitale pe planetă.
1997 cuie sunt bătute în tablă. Doi fac mișcări pe rând. Mișcarea constă în faptul că jucătorul conectează cu un fir orice două cuie care nu au fost conectate înainte. Jucătorul pierde după mutarea căreia devine posibil pentru prima dată să ajungă la firele de la orice cui la oricare altul. Cine va câștiga dacă este jucat corect: cel care face prima mișcare sau partenerul său?
Grafic conectat G rămâne conectat la ștergerea oricăror 18 vârfuri (împreună cu toate marginile care ies din ele). Hai sa sunăm a tăia orice set de 19 vârfuri, atunci când este eliminat, graficul își pierde conectivitatea și bulgăre orice componentă de conectivitate care este creată atunci când ștergeți o tăietură. Se știe că orice piesă cu mai puțin de 10 vârfuri nu este conținută în nicio tăietură. Demonstrați că nicio piesă nu este conținută în tăietură.
Grafic G conectat. Hai sa sunăm a tăia setul de vârfuri care este minim în ceea ce privește includerea, la eliminarea cărora (împreună cu toate muchiile care ies din ele) graficul își pierde conectivitatea. Se știe că la eliminarea vârfurilor tăiate R vârfuri din tăiere S ajunge într-o componentă conectată. Demonstrați că atunci când eliminați vârfurile tăiate S vârfuri din tăiere R ajunge într-o componentă conectată.
Pe hârtia în carouri sunt marcate 49 de puncte de grilă, dispuse într-un pătrat de 66. Care este numărul minim de segmente de unitate cu capete la nodurile marcate care trebuie desenate astfel încât între orice pereche de noduri învecinate să existe o cale nu mai mare de 3?
Într-o companie de n o persoană în care toată lumea este familiarizată cu cel puțin unul dintre ceilalți, toată lumea are cunoștințe egale (se crede că dacă A este familiarizat cu V, atunci V este familiarizat cu A). Demonstrează că poți alege dintre membrii acestei companii cel puțin n/ 3 perechi disjunse de cunoștințe.
Într-o companie, fiecare doi oameni au exact cinci cunoștințe comune. Demonstrați că numărul de cunoștințe (perechi de cunoștințe) este un multiplu de trei. ( Yu.M. Rahati)
În turneul dintr-o rundă, doi participanți au părăsit competiția după runda a cincea. Ca urmare, în cadrul turneului s-au jucat 38 de jocuri. Au avut acești doi timp să se joace unul cu celălalt? ( Bulgaria, 1982)
În turneul dintr-o rundă, șase participanți au părăsit competiția după runda a șasea. Drept urmare, în cadrul turneului s-au jucat 67 de jocuri. Demonstrați că cel puțin doi dintre jucătorii eliminați nu au jucat unul împotriva celuilalt. ( K.A. Knop)
Care este cel mai mic număr posibil de muchii dintr-un grafic cu 100 de vârfuri, dintre oricare 11 vârfuri dintre care există unul conectat la restul de 10 dintre ele? ( R. Fedorov)
Într-un grafic conectat 2 n vârfuri, gradul fiecărui vârf este trei. Demonstrați că numărul de moduri de a colora marginile acestui grafic în trei culori, astfel încât marginile de culori diferite să convergă la fiecare vârf să nu depășească 32 n .
Într-o anumită stare 4 n aeroporturi, exact 3 companii aeriene pleacă din fiecare aeroport (compania aeriană leagă două aeroporturi). Din orice aeroport poți zbura către oricare altul (eventual cu transferuri). Lasa LA - număr de moduri de a vinde toate companii aeriene către trei companii aeriene, astfel încât trei companii aeriene ale companiilor aeriene diferite să plece din fiecare aeroport. Demonstrează asta LA 32 3 n .
Opt jucători de șah au jucat turneul într-o singură rundă. Se știe că în orice trio de jucători de șah erau doi care au remizat între ei. Care este cel mai mic număr de extrageri din acest turneu?
La vârfurile pătratului sunt 4 calculatoare conectate la vecinii lor de pe laturile pătratului. La momentul inițial, știrile importante au venit la fiecare computer (pentru fiecare - propriile sale). În fiecare secundă, un computer poate fie să transmită toate știrile pe care le cunoaște unui computer vecin, fie să primească informații relevante de la un computer vecin, fie să rămână inactiv. Cum pot toate computerele să primească toate știrile din sistem în cel mai scurt timp posibil?
În țara Eleniei n rezidenți. Se unesc în grupuri de hobby. Există exact trei oameni în fiecare cerc și oricare doi în același timp sunt exact într-un cerc. Demonstrează asta nîmpărțirea la 6 dă restul fie 1, fie 3.
Am ajuns în tabără m băieți și d fetelor. Fiecare fată nu cunoaște mai mult de 10 băieți și fiecare băiat cunoaște cel puțin o fată. S-a dovedit că fiecare băiat are mai multe fete pe care le cunoaște decât orice fată pe care o cunoaște - prieteni băieți. Demonstrează asta d 1.1 m. (D.V. Karpov)
Dați un exemplu de tetraedru, a cărui față este fie un pătrat, fie un triunghi echilateral? ( DA. Kramarenko)
Există 2.000 de puncte negre date în spațiu, dintre care patru nu se află în același plan. Unele dintre puncte sunt conectate prin săgeți. Se știe că nu există cale care să urmeze săgețile și să treacă prin toate punctele (chiar dacă poți trece de mai multe ori prin același punct). Demonstrați că unele dintre puncte (cel puțin unul, dar nu toate) pot fi recolorate în albastru, astfel încât nicio săgeată să nu conducă de la un punct albastru la unul negru. ( Belarus, 1992)
Graficul conține un arbore care se întinde cu exact n vârfuri agățate și un copac spanning cu exact m vârfuri suspendate, n k m... Demonstrați că acest grafic conține un arbore de acoperire cu exact k vârfuri agățate.
Într-o companie de 200 de persoane, oricare cinci pot fi așezați la o masă rotundă, astfel încât fiecare dintre ei să stea între doi cunoscuți (se presupune că dacă A este familiarizat cu B, atunci B este familiarizat cu A). Care este cel mai mic număr de perechi de cunoștințe pe care îl poate avea această companie?
Demonstrați că pentru fiecare poliedru, două fețe pot fi vopsite în roșu, iar celelalte două pot fi vopsite în albastru, astfel încât fețele roșii să aibă laturile egale, iar cele albastre de asemenea.
Într-un grafic conex 3 k vârfuri, toate au gradul 3 și fiecare vârf este inclus într-un singur triunghi. Unele dintre marginile graficului au fost eliminate, astfel încât să obținem un copac. Demonstrează că acest copac are cel mult k+2 vârfuri de gradul 1. ( D.V. Karpov)
În regat N orașe și r drumuri (fiecare drum leagă două orașe, iar din orice oraș se poate ajunge la oricare pe drum). Mesageri locuiesc în orașe. La începutul fiecărui an, unul dintre orașe trimite un mesager către toate orașele învecinate (adică, conectate prin drumuri). (Într-un astfel de oraș ar trebui să existe un număr suficient de mesageri pentru aceasta.) După câțiva (mai mult de zero) ani, fiecare oraș s-a dovedit a avea același număr de mesageri ca și inițial. Care este cel mai mic număr de mesageri dintr-un regat? ( I.I. Bogdanov)
Dat un grafic al cărui grad al oricărui vârf este cel puțin k(Unde k2). Demonstrați că acest grafic conține cel puțin un ciclu simplu de lungime k+1. ()
Într-o bandă de teroriști, toată lumea suspectează cel puțin alți 10 de trădare .. Demonstrați că cel puțin 11 teroriști pot fi identificați în această bandă și numerotați astfel încât primul să-l suspecteze pe al doilea, al doilea, al treilea, ..., penultimul - cel ultimul, iar ultimul - primul. ( bazat peKözepiskolai Matematikai Lapok)
Într-un grafic, oricare două cicluri simple de lungime impară nu au muchii comune. Demonstrați că vârfurile acestui grafic pot fi colorate în două culori, astfel încât fiecare vârf să fie conectat printr-o muchie de cel mult un vârf de aceeași culoare. ( S.L. Berlov)
Sunt 100 de orașe în țară. Unele perechi de orașe sunt conectate prin drumuri, dar niciun oraș nu este conectat la toate. Puteți ajunge din orice oraș în oricare altul intrând nu mai mult de un oraș pe drum. Care este cel mai mic număr de drumuri din această țară? ( )
În țară sunt 25 de orașe. Unele perechi de orașe sunt conectate prin drumuri, dar niciun oraș nu este conectat la toate. Puteți ajunge din orice oraș în oricare altul intrând nu mai mult de un oraș pe drum. Demonstrați că în această țară sunt cel puțin 35 de drumuri. ( Közepiskolai Matematikai Lapok)
În țară sunt 9 orașe. Unele perechi de orașe sunt conectate prin drumuri, dar niciun oraș nu este conectat la toate. Puteți ajunge din orice oraș în oricare altul intrând nu mai mult de un oraș pe drum. Pot fi nu mai mult de 13 drumuri în această țară? ( S.L. Berlov, D.V. Karpov, bazat pe Közepiskolai Matematikai Lapok)
Gradele tuturor vârfurilor graficului G mai puțin (unde n> 2), și dintre oricare n+ 1 există două vârfuri neadiacente. Hai sa sunăm bloc Multe n vârfuri adiacente perechi ale graficului G Se știe că oricare două blocuri au un vârf comun. Demonstrați că toate blocurile au un vârf comun. ( C.L. Berlov)
Muchiile unui grafic complet cu n vârfurile sunt pictate în mai multe culori, iar culorile nu sunt mai mici decât n... Demonstrați că există trei vârfuri, toate marginile dintre care sunt colorate diferit. ( P.A. Kozhevnikov)
Muchiile unui grafic complet cu n vârfurile sunt pictate în mai multe culori, astfel încât fiecare culoare să apară cel mult n- de 2 ori. Demonstrați că există trei vârfuri, toate marginile dintre care sunt colorate diferit. ( AMM)
În grafic G sunt selectate seturi de vârfuri S 1 , S 2 , S 3 cu 100 de vârfuri fiecare. Se știe că, atunci când toate vârfurile oricăreia dintre aceste trei mulțimi (și toate muchiile care ies din ele) sunt îndepărtate, vârfurile rămase ale graficului se împart în exact două componente conectate, iar când sunt îndepărtate orice 99 de vârfuri, graficul rămâne conectat. Demonstrați că toate nu sunt incluse în seturi S 1 , S 2 și S 3 vârfurile graficului G poate fi împărțit în 6 grupuri, astfel încât vârfurile unui grup să apară într-o componentă conectată atunci când se elimină oricare dintre mulțimile din graficul vârfurilor S 1 , S 2 sau S 3 .(D.V. Karpov)
Tsar Pea are 20 de curteni. Intrigante unul împotriva celuilalt, au format o serie de societăți secrete. Șeful poliției secrete, studiind aceste societăți, a descoperit trei modele. În primul rând, pentru oricare două societăți secrete, toți curtenii care aparțin ambelor societăți în același timp formează o societate secretă. În al doilea rând, pentru oricare două societăți secrete, toți curtenii incluși în cel puțin una dintre ele formează o societate secretă. În al treilea rând, pentru orice societate secretă, toți curtenii care nu fac parte din ea formează o societate secretă. Ar putea exista exact 2002 de societăți secrete la Curtea Mazării? ( Putnam 1961, reformulare)
Pe marginile dodecaedrului există numere de la 1 la 30 fără repetări. Să numărăm numărul de linii întrerupte formate din trei muchii ale dodecaedrului și astfel încât numerele de pe legături să fie în ordine crescătoare. Găsiți numărul minim posibil de astfel de linii întrerupte. (I.I. Bogdanov, G.R. Chelnokov bazat pe problema olimpiadei poloneze-89/90 )
Pe marginile cubului există numere de la 1 la 12 fără repetări. Să numărăm numărul de linii întrerupte formate din trei margini ale cubului și astfel încât numerele de pe legături să fie în ordine crescătoare. Găsiți numărul minim posibil de astfel de linii întrerupte. (Polonia-89/90)
Într-o companie de 20 de persoane pentru oricare trei există o persoană care le știe pe toate. Demonstrați că există o persoană care are cel puțin nouă cunoștințe. ( S.L.Berlov, I.I.Bogdanov)
Într-o companie de 10 persoane, pentru oricare trei există o persoană care le cunoaște pe toate. Demonstrați că există o persoană care are cel puțin șase cunoștințe.
La simpozion au participat 100 de persoane. Dintre aceștia, 15 sunt francezi, fiecare dintre ei familiarizat cu cel puțin 70 de participanți la simpozion, iar 85 sunt germani, fiecare dintre ei familiarizat cu cel puțin zece participanți. Au fost cazați în 21 de camere. Demonstrați că în unele camere nu există o singură pereche de cunoștințe. ( Y. Lifshits)
În companie sunt 22 de sportivi. Cupluri de sportivi care sunt prieteni unul cu altul.Paisprezece. S-a dovedit că printre oricare 11 sportivi, există cel puțin o pereche de prieteni. Demonstrați că toată lumea poate fi împărțită în două echipe de fotbal, astfel încât fiecare pereche de prieteni să fie în aceeași echipă. ( Simplificarea Major League 10 Challenge)
În coloana cu 4 k vârfuri 3 k coaste. Se știe că dintre oricare 2 k există două vârfuri legate printr-o muchie. Demonstrați că vârfurile graficului pot fi împărțite în două grupuri de 2 k vârfuri în fiecare, astfel încât să nu fie conectate două vârfuri din grupuri diferite printr-o muchie. (R.A.Brualdi, S. Mellendorf)
Un rege de șah beat nu face niciodată două mișcări la rând în aceeași direcție. Pornind de la colț, a ocolit tabla de carouri 99, după ce a vizitat fiecare pătrat o dată și s-a întors la pătratul inițial. Care este cel mai mic număr de mișcări în diagonală pe care le-ar putea face? ( S.L. Berlov bazat pe problema lui O.Yu. Lanina, Olimpiada FML №239, 2002G.)
În țară sunt 7 orașe, între care zboară 7 avioane. Avionul zboară din fiecare oraș în oricare altul timp de exact 1 oră, iar imediat după aterizare poate zbura în următorul oraș (în timp ce pasagerii în tranzit rămân în avion). Faceți un program de zbor astfel încât orice pasager, fără a schimba avionul pe drum, să poată zbura din orice oraș în oricare altul la cel mult 5 ore de la sosirea la aeroport. (Olimpiadii Grossman)
Cele cinci vârfuri ale cubului sunt colorate în roșu. Este adevărat că vor fi cu siguranță trei margini cu ambele capete roșii?
Fedya are un grafic deconectat. El a îndepărtat un vârf din acest grafic în toate modurile posibile și a desenat fiecare dintre graficele rezultate pe o bucată de hârtie separată, după care i-a dat toate aceste frunze lui Dima. Demonstrați că Dima poate folosi aceste bucăți de hârtie pentru a reconstrui graficul original. ( D.V. Karpov, bazat pe ipoteza Ulam)
Fedya are mai multe cutii care conțin bile. El scoate pe rând o minge din cutii, notează pe o foaie separată un set de numere - numărul de bile rămase în fiecare cutie, dacă a mai rămas ceva acolo (fără a specifica ce număr corespunde cărei casete), iar apoi readuce mingea la locul ei. Scotând fiecare minge o dată, îi dă toate frunzele lui Dima. Demonstrați că Dima poate determina câte bile sunt în fiecare cutie. ( D.V. Karpov)
n- numar impar. Vârfurile convexei n-gonurile sunt colorate în mai multe culori, astfel încât fiecare două vârfuri adiacente să fie de o culoare diferită. Demonstrează că asta n-gonul poate fi împărțit în triunghiuri prin diagonale disjunse, niciuna dintre ele nu are aceleași capete. ( Kurszak-1978, nr. 2)
Dat o socoteală pe n culmi. Demonstrați că toate marginile sale pot fi împărțite în cel mult n 2/4 seturi, fiecare dintre ele format dintr-o muchie sau este un triunghi. ( Bogdanov, Karpov)
Orașele A, B, C sunt conectate prin zboruri. Există cel puțin un zbor între oricare două orașe și toate zborurile sunt bilaterale (dacă puteți zbura de la A la B, atunci puteți zbura de la B la A cu același zbor). În plus, se știe că numărul total de moduri de a ajunge din punctul A în punctul C (inclusiv rutele cu modificarea B) este 11, iar numărul total de moduri de a ajunge din punctul A în punctul B (inclusiv rutele cu o modificare în C) este 13. Câte sunt zboruri non-stop între aceste orașe?
Vi se oferă un pătrat în carouri, a cărui latură conține n noduri. O cale ireversibilă este o cale de-a lungul marginilor, a cărei intersecție cu orice orizontală sau verticală este un segment, un punct sau un set gol. Care este cel mai mic număr de căi fără întoarcere care pot acoperi toate vârfurile? ( I. Pușkarev, I. Bogdanov, G. Chelnokov)
Vi se oferă un graf conectat care rămâne conectat atunci când eliminați orice vârf. Se știe că are un triunghi în el. Fiecare vârf, cu excepția unuia, conține un jetoane (toate jetoanele sunt diferite). Este permisă mutarea unui jeton de la un vârf adiacent la unul gol într-unul gol. Demonstrați că prin astfel de acțiuni puteți obține orice din orice configurație de jetoane. ( M.Mazin)
În oraș, 10 străzi se desfășoară de la nord la sud, iar 11 - de la vest la est, formând 110 intersecții. Din ordinul primarului, orice rută de autobuz din oraș poate merge în cel mult două direcții (est-sud, est-nord, vest-sud sau vest-nord). Este posibil să folosiți șapte rute de autobuz pentru a conecta toate intersecțiile din oraș? (Pe baza lui I. Pushkarev, I. Bogdanov, G. Chelnokov)
Care este cel mai mic număr de vârfuri pe care îl poate avea un poliedru convex cu exact trei fețe care sunt pentagoane? ( USAMTS 2003)
numara ...
Teoria grafurilor
DocumentRezultatele obtinute. Unele tipuri graficeEulergrafice La sarcini pe Eulergrafice include puzzle-uri care necesită... toate marginile numarași, mai mult, o dată. Grafic posedând Euler se numește ciclu Eulernumara... Inchis...
Denumirea programului a disciplinei teoria graficului este recomandată pentru direcția (e) de pregătire (specialitatea (specialitatea)
ProgramSpecificații grafice... Subgrafe. Operațiuni terminate grafice... Dicotiledonate grafice... Latimea prima cautare. Copaci. Eulergrafice... Hamiltonian grafice. Euler poteci...
