Funcția y = și graficul acesteia.
OBIECTIVE:
1) introduceți definiția funcției y = ;
2) învață cum să grafici funcția y = folosind programul Agrapher;
3) pentru a forma capacitatea de a construi schițe de grafice ale funcției y \u003d folosind proprietățile transformării graficelor de funcții;
I. Material nou - conversație extinsă.
Y: Se consideră funcţiile date de formulele y = ; y = ; y = .
Care sunt expresiile scrise în partea dreaptă a acestor formule?
D: Părțile drepte ale acestor formule au forma unei fracții raționale, în care numărătorul este un binom de gradul I sau un număr altul decât zero, iar numitorul este un binom de gradul I.
U: Se obișnuiește să se specifice astfel de funcții printr-o formulă de formă
Luați în considerare cazurile când a) c = 0 sau c) = .
(Dacă în al doilea caz elevii vor întâmpina dificultăți, atunci trebuie să le cereți să se exprime din dintr-o proporție dată și apoi înlocuiți expresia rezultată în formula (1)).
D1: Dacă c \u003d 0, atunci y \u003d x + b este o funcție liniară.
D2: Dacă = , atunci c = . Înlocuirea valorii din în formula (1) obținem:
Adică, y = este o funcție liniară.
Y: O funcție care poate fi specificată printr-o formulă de forma y \u003d, unde litera x denotă un independent
această variabilă și literele a, b, c și d sunt numere arbitrare, iar c0 și ad sunt toate 0, se numește funcție liniară-fracțională.
Să arătăm că graficul unei funcții liniar-fracționale este o hiperbolă.
Exemplul 1 Să reprezentăm grafic funcția y = . Să extragem partea întreagă din fracție.
Avem: = = = 1 + .
Graficul funcției y \u003d +1 poate fi obținut din graficul funcției y \u003d folosind două translații paralele: o deplasare de 2 unități la dreapta de-a lungul axei X și o deplasare de 1 unitate în sus în direcția axa Y. Cu aceste deplasări, asimptotele hiperbolei y \u003d se vor deplasa: linia dreaptă x \u003d 0 (adică, axa y) este de 2 unități la dreapta, iar linia dreaptă y = 0 (adică, axa x) este cu o unitate în sus. Înainte de a trasa, să desenăm asimptote pe planul de coordonate cu o linie punctată: linii drepte x = 2 și y = 1 (Fig. 1a). Având în vedere că hiperbola este formată din două ramuri, pentru a construi fiecare dintre ele, vom compila, folosind programul Agrapher, două tabele: unul pentru x>2, iar celălalt pentru x<2.
| X | 1 | 0 | -1 | -2 | -4 | -10 |
| la | -5 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 |
| X | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 |
| la | 7 | 4 | 3 | 2,5 | 2 | 1,6 |
Marcați (folosind programul Agrapher) în planul de coordonate punctele ale căror coordonate sunt înregistrate în primul tabel și conectați-le cu o linie continuă netedă. Obținem o ramură a hiperbolei. În mod similar, folosind cel de-al doilea tabel, obținem a doua ramură a hiperbolei (Fig. 1b).
Exemplul 2. Să diagramăm funcția y \u003d -. Selectăm partea întreagă din fracție împărțind binomul 2x + 10 la binomul x + 3. Obținem = 2 +. Prin urmare, y = -2.
Graficul funcției y = -2 poate fi obținut din graficul funcției y = - folosind două translații paralele: o deplasare de 3 unități la stânga și o deplasare de 2 unități în jos. Asimptotele hiperbolei sunt liniile drepte x = -3 și y = -2. Compilați (folosind programul Agrapher) tabele pentru x<-3 и для х>-3.
| X | -2 | -1 | 1 | 2 | 7 |
| la | -6 | -4 | -3 | -2,8 | -2,4 |
| X | -4 | -5 | -7 | -8 | -11 |
| la | 2 | 0 | -1 | -1,2 | -1,5 |
După construirea (folosind programul Agrapher) puncte în planul de coordonate și trasând prin ele ramuri ale hiperbolei, obținem un grafic al funcției y = - (Fig. 2).
W: Care este graficul unei funcții fracționale liniare?
D: Graficul oricărei funcții liniar-fracționale este o hiperbolă.
Î: Cum se trasează o funcție fracțională liniară?
D: Graficul unei funcții liniar-fracționale este obținut din graficul funcției y \u003d folosind translații paralele de-a lungul axelor de coordonate, ramurile hiperbolei unei funcții liniar-fracționale sunt simetrice față de punct (-. Dreptul linia x \u003d - se numește asimptota verticală a hiperbolei. Linia dreaptă y \u003d se numește asimptotă orizontală.
Î: Care este domeniul unei funcții liniar-fracționale?
Î: Care este intervalul unei funcții fracționale liniare?
D: E(y) = .
T: Funcția are zerouri?
D: Dacă x \u003d 0, atunci f (0) \u003d, d. Adică, funcția are zerouri - punctul A.
Î: Graficul unei funcții fracționale liniare are puncte de intersecție cu axa x?
D: Dacă y = 0, atunci x = -. Deci, dacă a, atunci punctul de intersecție cu axa X are coordonate. Dacă a \u003d 0, în, atunci graficul unei funcții liniar-fracționale nu are puncte de intersecție cu axa absciselor.
Y: Funcția scade la intervale ale întregului domeniu de definiție dacă bc-ad > 0 și crește la intervale ale întregului domeniu de definiție dacă bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.
T: Este posibil să specificați cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției?
D: Funcția nu are valori maxime și minime.
T: Care linii sunt asimptotele graficului unei funcții liniar-fracționale?
D: Asimptota verticală este linia dreaptă x = -; iar asimptota orizontală este linia dreaptă y = .
(Elevii notează toate concluziile generalizate - definițiile și proprietățile unei funcții liniar-fracționale într-un caiet)
II. Consolidare.
Când se construiesc și se „citesc” grafice ale funcțiilor liniar-fracționale, sunt utilizate proprietățile programului Agrapher
III. Predarea muncii independente.
- Găsiți centrul hiperbolei, asimptotele și reprezentați grafic funcția:
a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; e) y = ; f) y = ;
g) y = h) y = -
Fiecare elev lucrează în ritmul său. Dacă este necesar, profesorul oferă asistență punând întrebări, răspunsurile la care vor ajuta elevul să îndeplinească corect sarcina.
Lucrări de laborator și practice privind studiul proprietăților funcțiilor y = și y = și a caracteristicilor graficelor acestor funcții.
OBIECTIVE: 1) să continue formarea deprinderilor de a construi grafice ale funcţiilor y = şi y = folosind programul Agrapher;
2) să consolideze abilitățile de „citire a graficelor” ale funcțiilor și a capacității de „predire” modificări ale graficelor sub diferite transformări ale funcțiilor liniare fracționale.
I. Repetarea diferenţiată a proprietăţilor unei funcţii liniar-fracţionare.
Fiecărui elev i se dă un cartonaș - un tipărit cu sarcini. Toate construcțiile sunt realizate folosind programul Agrapher. Rezultatele fiecărei sarcini sunt discutate imediat.
Fiecare elev, cu ajutorul autocontrolului, poate corecta rezultatele obținute în timpul temei și poate cere ajutorul unui profesor sau unui student consultant.
Aflați valoarea argumentului X pentru care f(x) =6 ; f(x)=-2,5.
3. Construiți un grafic al funcției y \u003d Stabiliți dacă punctul aparține graficului acestei funcție: a) A (20; 0,5); b) B(-30;-); c) C(-4;2,5); d) D(25;0,4)?
4. Trasează funcția y \u003d Găsiți intervalele în care y\u003e 0 și în care y<0.
5. Trasează funcția y = . Găsiți domeniul și domeniul funcției.
6. Indicați asimptotele hiperbolei - graficul funcției y \u003d -. Efectuați complot.
7. Trasează funcția y = . Găsiți zerourile funcției.
II.Laborator și lucrări practice.
Fiecărui elev i se dau 2 cartonașe: cardul numărul 1 „Instruire” cu un plan care se lucrează, iar textul cu sarcina și cardul numărul 2 „ Rezultatele studiului funcțional ”.
- Trasează funcția specificată.
- Găsiți domeniul de aplicare al funcției.
- Găsiți intervalul funcției.
- Dați asimptotele hiperbolei.
- Aflați zerourile funcției (f(x) = 0).
- Aflați punctul de intersecție al hiperbolei cu axa x (y = 0).
7. Aflaţi golurile în care: a) y<0; б) y>0.
8. Precizați intervale de creștere (scădere) a funcției.
eu optiunea.
Construiți, folosind programul Agrapher, un grafic al funcției și explorați proprietățile acestuia:
a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = e) y = . -cinci-
În această lecție, vom lua în considerare o funcție liniar-fracțională, vom rezolva probleme folosind o funcție liniar-fracțională, modul, parametru.
Tema: Repetiția
Lecţie: Funcție liniară fracțională
Definiție:
O funcție liniară-fracțională se numește funcție de forma:
De exemplu:
Să demonstrăm că graficul acestei funcții liniar-fracționale este o hiperbolă.
Să scoatem doi doi din numărător, obținem:
Avem x atât la numărător, cât și la numitor. Acum transformăm astfel încât expresia să apară la numărător:
Acum să reducem fracția termen cu termen:
Evident, graficul acestei funcții este o hiperbolă.
Putem oferi o a doua modalitate de demonstrare, și anume împărțirea numărătorului la numitor într-o coloană:
Primit:
Este important să puteți construi cu ușurință un grafic al unei funcții liniar-fracționale, în special pentru a găsi centrul de simetrie al unei hiperbole. Să rezolvăm problema.
Exemplul 1 - schițați un grafic al funcției:
Am convertit deja această funcție și am primit:
Pentru a construi acest grafic, nu vom deplasa axele sau hiperbola în sine. Folosim metoda standard de construire a graficelor de funcții, folosind prezența intervalelor de constanță.
Acționăm conform algoritmului. În primul rând, examinăm funcția dată.
Astfel, avem trei intervale de constanță: în extrema dreaptă () funcția are semnul plus, apoi semnele alternează, întrucât toate rădăcinile au gradul I. Deci, pe interval funcția este negativă, pe interval funcția este pozitivă.
Construim o schiță a graficului în vecinătatea rădăcinilor și a punctelor de rupere ale ODZ. Avem: deoarece în punctul semnul funcției se schimbă din plus în minus, atunci curba este mai întâi deasupra axei, apoi trece prin zero și apoi este situată sub axa x. Când numitorul unei fracții este practic zero, atunci când valoarea argumentului tinde spre trei, valoarea fracției tinde spre infinit. În acest caz, când argumentul se apropie de triplul din stânga, funcția este negativă și tinde spre minus infinit, în dreapta, funcția este pozitivă și iese din plus infinit.
Acum construim o schiță a graficului funcției în vecinătatea punctelor infinit îndepărtate, i.e. când argumentul tinde spre plus sau minus infinit. În acest caz, termenii constanți pot fi neglijați. Avem:
Astfel, avem o asimptotă orizontală și una verticală, centrul hiperbolei este punctul (3;2). Să ilustrăm:
Orez. 1. Graficul unei hiperbole de exemplu 1
Problemele cu o funcție liniar-fracțională pot fi complicate de prezența unui modul sau a unui parametru. Pentru a construi, de exemplu, un grafic al funcției, trebuie să urmați următorul algoritm:
Orez. 2. Ilustrație pentru algoritm
Graficul rezultat are ramuri care sunt deasupra axei x și sub axa x.
1. Aplicați modulul specificat. În acest caz, părțile graficului care se află deasupra axei x rămân neschimbate, iar cele care se află sub axa sunt oglindite în raport cu axa x. Primim:
Orez. 3. Ilustrație pentru algoritm
Exemplul 2 - reprezentați graficul unei funcții:
Orez. 4. Graficul funcției de exemplu 2
Să luăm în considerare următoarea sarcină - să trasăm un grafic al funcției. Pentru a face acest lucru, trebuie să urmați următorul algoritm:
1. Reprezentați grafic funcția submodulară
Să presupunem că avem următorul grafic:
Orez. 5. Ilustrație pentru algoritm
1. Aplicați modulul specificat. Pentru a înțelege cum să faceți acest lucru, să extindem modulul.
Astfel, pentru valorile funcției cu valori nenegative ale argumentului, nu vor exista modificări. În ceea ce privește a doua ecuație, știm că se obține printr-o mapare simetrică în jurul axei y. avem un grafic al functiei:
Orez. 6. Ilustrație pentru algoritm
Exemplul 3 - reprezentați graficul unei funcții:
Conform algoritmului, mai întâi trebuie să reprezentați un grafic al funcției submodulare, l-am construit deja (a se vedea figura 1)
Orez. 7. Graficul funcției de exemplu 3
Exemplul 4 - găsiți numărul de rădăcini ale unei ecuații cu un parametru:
Amintiți-vă că rezolvarea unei ecuații cu un parametru înseamnă iterare peste toate valorile parametrului și specificarea răspunsului pentru fiecare dintre ele. Acționăm conform metodologiei. Mai întâi, construim un grafic al funcției, am făcut deja acest lucru în exemplul anterior (vezi Figura 7). Apoi, trebuie să tăiați graficul cu o familie de linii pentru diferite a, să găsiți punctele de intersecție și să scrieți răspunsul.
Privind graficul, scriem răspunsul: pentru și ecuația are două soluții; pentru , ecuația are o soluție; pentru , ecuația nu are soluții.
1. Funcția fracțională liniară și graficul acesteia
O funcție de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame, se numește funcție rațională fracțională.
Probabil că ești deja familiarizat cu conceptul de numere raționale. În mod similar funcții raționale sunt funcții care pot fi reprezentate ca un coeficient de două polinoame.
Dacă o funcție rațională fracțională este un coeficient de două funcții liniare - polinoame de gradul I, i.e. funcția de vizualizare
y = (ax + b) / (cx + d), atunci se numește liniar fracționar.
Rețineți că în funcția y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (în caz contrar, funcția devine liniară y = ax/d + b/d) și că a/c ≠ b/d (în caz contrar, funcția este o constantă). Funcția liniar-fracțională este definită pentru toate numerele reale, cu excepția x = -d/c. Graficele funcțiilor liniar-fracționale nu diferă ca formă de graficul pe care îl cunoașteți y = 1/x. Se numește curba care este graficul funcției y = 1/x hiperbolă. Cu o creștere nelimitată a x în valoare absolută, funcția y = 1/x scade la nesfârșit în valoare absolută și ambele ramuri ale graficului se apropie de axa absciselor: cea dreaptă se apropie de sus, iar cea stângă se apropie de jos. Liniile abordate de ramurile unei hiperbole se numesc ei asimptote.
Exemplul 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Soluţie.
Să selectăm partea întreagă: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: deplasare cu 3 segmente unitare la dreapta, întindere de-a lungul axei Oy de 7 ori și deplasare cu 2 segmente de unitate în sus.
Orice fracție y = (ax + b) / (cx + d) poate fi scrisă în același mod, evidențiind „întreaga parte”. În consecință, graficele tuturor funcțiilor liniare-fracționale sunt hiperbole deplasate de-a lungul axelor de coordonate în diferite moduri și întinse de-a lungul axei Oy.
Pentru a reprezenta un grafic al unei funcții liniar-fracționale arbitrare, nu este deloc necesar să se transforme fracția care definește această funcție. Deoarece știm că graficul este o hiperbolă, va fi suficient să găsim liniile de care se apropie ramurile sale - asimptotele hiperbolei x = -d/c și y = a/c.
Exemplul 2
Aflați asimptotele graficului funcției y = (3x + 5)/(2x + 2).
Soluţie.
Funcția nu este definită, când x = -1. Prin urmare, linia x = -1 servește ca asimptotă verticală. Pentru a găsi asimptota orizontală, să aflăm ce se apropie de valorile funcției y(x) atunci când argumentul x crește în valoare absolută.
Pentru a face acest lucru, împărțim numărătorul și numitorul fracției la x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Ca x → ∞ fracția tinde spre 3/2. Prin urmare, asimptota orizontală este linia dreaptă y = 3/2.
Exemplul 3
Trasează funcția y = (2x + 1)/(x + 1).
Soluţie.
Selectăm „întreaga parte” a fracției:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: o deplasare de 1 unitate la stânga, un afișaj simetric față de Ox și o deplasare de 2 unităţi de intervale în sus de-a lungul axei Oy.
Domeniul definiției D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Interval de valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Puncte de intersecție cu axele: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funcția crește pe fiecare dintre intervalele domeniului de definiție.
Răspuns: figura 1.
2. Funcția fracțională-rațională
Se consideră o funcție rațională fracțională de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame de grad mai mare decât primul.
Exemple de astfel de funcții raționale:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) sau y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Dacă funcția y = P(x) / Q(x) este un coeficient de două polinoame de grad mai mare decât primul, atunci graficul său va fi, de regulă, mai complicat și uneori poate fi dificil să îl construiți exact. , cu toate detaliile. Cu toate acestea, este adesea suficient să aplicați tehnici similare cu cele cu care ne-am întâlnit deja mai sus.
Fie fracția proprie (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Evident, graficul unei funcții raționale fracționale poate fi obținut ca sumă de grafice ale fracțiilor elementare.
Trasarea funcțiilor raționale fracționale
Luați în considerare mai multe moduri de a reprezenta o funcție fracțională-rațională.
Exemplul 4
Trasează funcția y = 1/x 2 .
Soluţie.
Folosim graficul funcției y \u003d x 2 pentru a reprezenta graficul y \u003d 1 / x 2 și folosim metoda de „împărțire” a graficelor.
Domeniul D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Interval de valori E(y) = (0; +∞).
Nu există puncte de intersecție cu axele. Funcția este egală. Crește pentru tot x din intervalul (-∞; 0), scade pentru x de la 0 la +∞.
Răspuns: figura 2.
Exemplul 5
Trasează funcția y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Soluţie.
Domeniul D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Aici am folosit tehnica factorizării, reducerii și reducerii la o funcție liniară.
Răspuns: figura 3.
Exemplul 6
Trasează funcția y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Soluţie.
Domeniul de definiție este D(y) = R. Deoarece funcția este pară, graficul este simetric față de axa y. Înainte de a trasa, transformăm din nou expresia prin evidențierea părții întregi:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Rețineți că selecția părții întregi în formula unei funcții fracționale-raționale este una dintre principalele la trasarea graficelor.
Dacă x → ±∞, atunci y → 1, adică linia y = 1 este o asimptotă orizontală.
Răspuns: figura 4.
Exemplul 7
Luați în considerare funcția y = x/(x 2 + 1) și încercați să găsiți exact valoarea ei cea mai mare, adică. cel mai înalt punct din jumătatea dreaptă a graficului. Pentru a construi cu acuratețe acest grafic, cunoștințele de astăzi nu sunt suficiente. Este evident că curba noastră nu poate „urca” foarte sus, din moment ce numitorul începe rapid să „depășească” numărătorul. Să vedem dacă valoarea funcției poate fi egală cu 1. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Această ecuație nu are rădăcini reale. Deci presupunerea noastră este greșită. Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției, trebuie să aflați pentru care A mai mare ecuația A \u003d x / (x 2 + 1) va avea o soluție. Să înlocuim ecuația inițială cu una pătratică: Ax 2 - x + A \u003d 0. Această ecuație are o soluție când 1 - 4A 2 ≥ 0. De aici găsim cea mai mare valoare A \u003d 1/2. 
Răspuns: Figura 5, max y(x) = ½.
Aveti vreo intrebare? Nu știți cum să construiți grafice de funcții?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!
blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.
topor +b
O funcție fracțională liniară este o funcție a formei y = --- ,
cx +d
Unde X- variabil, A,b,c,d sunt niște numere și c ≠ 0, anunț-bc ≠ 0.
Proprietățile unei funcții liniar-fracționale:
Graficul unei funcții liniar-fracționale este o hiperbolă, care poate fi obținută din hiperbola y = k/x folosind translații paralele de-a lungul axelor de coordonate. Pentru a face acest lucru, formula unei funcții liniar-fracționale trebuie reprezentată în următoarea formă:
k
y = n + ---
x-m
Unde n- numărul de unități prin care hiperbola este deplasată la dreapta sau la stânga, m- numărul de unități cu care hiperbola se mișcă în sus sau în jos. În acest caz, asimptotele hiperbolei sunt deplasate pe liniile x = m, y = n.
O asimptotă este o linie dreaptă abordată de punctele curbei pe măsură ce se îndepărtează la infinit (vezi figura de mai jos).
În ceea ce privește transferurile paralele, consultați secțiunile anterioare.
Exemplul 1 Găsiți asimptotele hiperbolei și trasați graficul funcției:
X + 8
y = ---
X – 2
Soluţie:
k
Să reprezentăm fracția ca n + ---
x-m
Pentru aceasta X+ 8 scriem în următoarea formă: x - 2 + 10 (adică 8 a fost prezentat ca -2 + 10).
X+ 8 x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
X – 2 X – 2 X – 2 X – 2
De ce a luat expresia această formă? Răspunsul este simplu: faceți adunarea (aducând ambii termeni la un numitor comun) și veți reveni la expresia anterioară. Adică este rezultatul transformării expresiei date.
Deci, avem toate valorile necesare:
k = 10, m = 2, n = 1.
Astfel, am găsit asimptotele hiperbolei noastre (pe baza faptului că x = m, y = n):
Adică, o asimptotă a hiperbolei este paralelă cu axa y la o distanță de 2 unități în dreapta acesteia, iar a doua asimptotă este paralelă cu axa X 1 unitate deasupra ei.
Să diagramăm această funcție. Pentru a face acest lucru, vom face următoarele:
1) desenăm în planul de coordonate cu o linie punctată asimptotele - linia x = 2 și linia y = 1.
2) deoarece hiperbola constă din două ramuri, atunci pentru a construi aceste ramuri vom compila două tabele: unul pentru x<2, другую для x>2.
Mai întâi, selectăm valorile x pentru prima opțiune (x<2). Если x = –3, то:
10
y = 1 + --- = 1 - 2 = -1
–3
– 2
Alegem valori arbitrar diferite X(de exemplu, -2, -1, 0 și 1). Calculați valorile corespunzătoare y. Rezultatele tuturor calculelor obținute sunt înscrise în tabel:
Acum să facem un tabel pentru opțiunea x>2:
Aici coeficienții la X iar termenii liberi din numărător și numitor sunt dați numere reale. Graficul unei funcții liniar-fracționale în cazul general este hiperbolă.
Cea mai simplă funcție fracțională liniară y = - tu-
greve proporționalitate inversă; hiperbola care o reprezintă este bine cunoscută dintr-un curs de liceu (Fig. 5.5).
Orez. 5.5
Exemplu. 5.3
Trasează graficul unei funcții liniar-fracționale:
- 1. Întrucât această fracție nu are sens când x = 3, apoi domeniul funcției X constă din două intervale infinite:
- 3) și (3; +°°).
2. Pentru a studia comportamentul unei funcții la limita domeniului de definiție (adică atunci când X-»3 și la X-> ±°°), este util să convertiți această expresie într-o sumă de doi termeni, după cum urmează:
Deoarece primul termen este constant, comportamentul funcției la graniță este de fapt determinat de al doilea termen variabil. Prin examinarea procesului de schimbare X->3 și X->±°°, nu urmatoarele concluzii referitor la functia data:
- a) la x->3 pe dreapta(adică pentru *>3) valoarea funcției crește la nesfârșit: la-> +°°: la x->3 stânga(adică pentru x y-Astfel, hiperbola dorită se apropie de linia dreaptă la nesfârșit cu ecuația x \u003d 3 (stânga josȘi sus în dreapta)şi astfel această linie este asimptotă verticală hiperbolă;
- b) când x ->±°° al doilea termen scade la nesfârşit, prin urmare valoarea funcţiei se apropie de primul termen constant pe termen nelimitat, adică. a valorifica y= 2. În acest caz, graficul funcției se apropie la nesfârșit (stânga jos și dreapta sus) la dreapta dată de ecuație y= 2; deci această linie este asimptotă orizontală hiperbolă.
Cometariu. Informațiile obținute în acest paragraf sunt cele mai importante pentru caracterizarea comportamentului graficului unei funcții într-o parte îndepărtată a planului (figurat vorbind, la infinit).
- 3. Presupunând n = 0, găsim y = ~. Prin urmare, hy-
perbola traversează axa OU la punct M x = (0;-^).
- 4. Funcția zero ( la= 0) va fi la X= -2; prin urmare această hiperbola intersectează axa Ohîn punctul M2 (-2; 0).
- 5. O fracție este pozitivă dacă numărătorul și numitorul sunt de același semn și negativă dacă sunt de semne diferite. Rezolvând sistemele de inegalități corespunzătoare, constatăm că funcția are două intervale pozitive: (-°°; -2) și (3; +°°) și un interval negativ: (-2; 3).
- 6. Reprezentarea unei funcții ca sumă a doi termeni (vezi n. 2) face destul de ușor să găsim două intervale de scădere: (-°°; 3) și (3; +°°).
- 7. Evident, această funcție nu are extreme.
- 8. Mulțimea Y a valorilor acestei funcție: (-°°; 2) și (2; +°°).
- 9. Nu există nici paritate, ciudatenie, periodicitate. Informațiile colectate sunt suficiente pentru schematic
desenează o hiperbolă grafic reflectând proprietăţile acestei funcţii (Fig. 5.6).
Orez. 5.6
Funcțiile discutate până în acest punct sunt numite algebric. Să luăm în considerare acum transcendent funcții.
