Obiectivele lecției:
Didactic:
- Nivelul 1 - să învețe cum să rezolvi cele mai simple inegalități logaritmice folosind definiția logaritmului, proprietățile logaritmilor;
- Nivelul 2 - rezolvați inegalitățile logaritmice alegând singur o metodă de rezolvare;
- Nivelul 3 - să poată aplica cunoștințele și abilitățile în situații non-standard.
În curs de dezvoltare: dezvolta memoria, atentia, gandirea logica, abilitatile de comparare, sa poata generaliza si sa traga concluzii
Educational: pentru a aduce în evidență acuratețea, responsabilitatea pentru sarcina îndeplinită, asistența reciprocă.
Metode de predare: verbal , picturale , practic , căutare parțială , autoguvernare , Control.
Forme de organizare a activității cognitive a elevilor: frontal , individual , lucra in perechi.
Echipament: un set de elemente de testare, note de fundal, foi goale pentru soluții.
Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.
În timpul orelor
1. Moment organizatoric. Se anunță tema și scopurile lecției, schema lecției: fiecărui elev i se dă o fișă de evaluare, pe care elevul o completează în timpul lecției; pentru fiecare pereche de elevi - materiale tipărite cu teme, temele trebuie efectuate în perechi; foi goale pentru soluții; foi suport: definirea logaritmului; graficul unei funcții logaritmice, proprietățile acesteia; proprietățile logaritmilor; algoritm de rezolvare a inegalităților logaritmice.
Toate deciziile după autoevaluare sunt transmise profesorului.
Fișa de calificare a elevului
2. Actualizarea cunoștințelor.
Instrucțiunile profesorului. Amintiți-vă definiția unui logaritm, graficul unei funcții logaritmice și proprietățile acesteia. Pentru a face acest lucru, citiți textul de la pp. 88–90, 98–101 din manualul „Algebra și începuturile analizei 10–11”, editat de Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin și alții.
Elevilor li se oferă foi pe care sunt scrise: definiția logaritmului; prezintă un grafic al unei funcții logaritmice, proprietățile acesteia; proprietățile logaritmilor; un algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice, un exemplu de rezolvare a unei inegalități logaritmice care se reduce la un pătrat.
3. Învățarea de noi materiale.
Soluția inegalităților logaritmice se bazează pe monotonitatea funcției logaritmice.
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice:
A) Aflați domeniul inegalității (expresia sublogaritmică este mai mare decât zero).
B) Prezentați (dacă este posibil) părțile stânga și dreaptă ale inegalității sub formă de logaritmi pe aceeași bază.
C) Determinaţi dacă funcţia logaritmică este crescătoare sau descrescătoare: dacă t> 1, atunci este crescătoare; daca 0
D) Treceți la o inegalitate mai simplă (expresii sublogaritmice), ținând cont că semnul de inegalitate va rămâne dacă funcția crește, și se va modifica dacă scade.
Elementul de învățare #1.
Scop: stabilirea soluției celor mai simple inegalități logaritmice
Forma de organizare a activității cognitive a elevilor: munca individuală.
Teme de auto-studiu timp de 10 minute. Pentru fiecare inegalitate, există mai multe opțiuni de răspuns, trebuie să o alegeți pe cea corectă și să verificați după cheie.
CHEIE: 13321, număr maxim de puncte - 6 puncte.
Elementul de învățare #2.
Scop: fixarea soluției inegalităților logaritmice, aplicând proprietățile logaritmilor.
Instrucțiunile profesorului. Amintiți-vă proprietățile de bază ale logaritmilor. Pentru a face acest lucru, citiți textul manualului de la paginile 92, 103-104.
Teme de auto-studiu timp de 10 minute.
CHEIE: 2113, număr maxim de puncte - 8 puncte.
Elementul de învățare nr. 3.
Scop: studierea soluției inegalităților logaritmice prin metoda reducerii la pătrat.
Instrucțiunile profesorului: metoda de reducere a inegalității la un pătrat este că trebuie să transformați inegalitatea într-o astfel de formă încât o funcție logaritmică să fie desemnată printr-o nouă variabilă, obținându-se astfel o inegalitate pătrată în raport cu această variabilă.
Să aplicăm metoda de spațiere.
Ai trecut de primul nivel de asimilare a materialului. Acum va trebui să alegeți independent o metodă de rezolvare a ecuațiilor logaritmice, folosind toate cunoștințele și capacitățile dumneavoastră.
Elementul de învățare #4.
Scop: consolidarea soluției inegalităților logaritmice prin alegerea unei soluții raționale pe cont propriu.
Teme de auto-studiu timp de 10 minute
Elementul de învățare #5.
Instrucțiunile profesorului. Bine făcut! Ai stăpânit rezolvarea ecuațiilor de al doilea nivel de dificultate. Scopul activității dvs. ulterioare este să vă aplicați cunoștințele și abilitățile în situații mai complexe și non-standard.
Sarcini pentru soluție independentă:
Instrucțiunile profesorului. Este grozav dacă ai făcut față întregii sarcini. Bine făcut!
Nota pentru întreaga lecție depinde de numărul de puncte obținute pentru toate elementele educaționale:
- dacă N ≥ 20, atunci obțineți nota „5”,
- la 16 ≤ N ≤ 19 - rating „4”,
- la 8 ≤ N ≤ 15 - gradul „3”,
- la N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).
Dați vulpile de evaluare profesorului.
5. Tema pentru acasă: dacă ați obținut mai mult de 15 b - finalizați lucrarea greșelilor (soluțiile puteți lua de la profesor), dacă ați obținut mai mult de 15 b - finalizați sarcina de creație la tema „Inegalități logaritmice”.
Sunt în interiorul logaritmilor.
Exemple:
\ (\ log_3x≥ \ log_39 \)
\ (\ log_3 ((x ^ 2-3))< \log_3{(2x)}\)
\ (\ log_ (x + 1) ((x ^ 2 + 3x-7))> 2 \)
\ (\ lg ^ 2 ((x + 1)) + 10≤11 \ lg ((x + 1)) \)
Cum se rezolvă inegalitățile logaritmice:
Orice inegalitate logaritmică ar trebui redusă la forma \ (\ log_a (f (x)) ˅ \ log_a (g (x)) \) (simbolul \ (˅ \) înseamnă oricare dintre). Această formă vă permite să scăpați de logaritmi și bazele lor, făcând trecerea la inegalitatea expresiilor sub logaritmi, adică la forma \ (f (x) ˅ g (x) \).
Dar există o subtilitate foarte importantă atunci când efectuați această tranziție:
\ (- \) dacă este un număr și este mai mare decât 1, semnul inegalității rămâne același în timpul tranziției,
\ (- \) dacă baza este un număr mai mare decât 0, dar mai mic decât 1 (se află între zero și unu), atunci semnul inegalității trebuie inversat, i.e.
|
\ (\ log_2 ((8-x))<1\) Soluţie: |
\ (\ log \) \ (_ (0,5) \) \ ((2x-4) \) ≥ \ (\ log \) \ (_ (0,5) \) \ (((x + unu))\) Soluţie: |
Foarte important!În orice inegalitate, trecerea de la forma \ (\ log_a (f (x)) ˅ \ log_a (g (x)) \) la compararea expresiilor sub logaritmi se poate face numai dacă:
Exemplu ... Rezolvați inegalitatea: \ (\ log \) \ (≤-1 \)
Soluţie:
|
\ (\ Buturuga \) \ (_ (\ frac (1) (3)) (\ frac (3x-2) (2x-3)) \)\(≤-1\) |
Să scriem ODZ. |
|
ODZ: \ (\ frac (3x-2) (2x-3) \) \ (> 0 \) |
|
|
\ ( \ frac (3x-2-3 (2x-3)) (2x-3) \)\(≥\) \(0\) |
Deschidem parantezele, dăm. |
|
\ ( \ frac (-3x + 7) (2x-3) \) \ (≥ \) \ (0 \) |
Înmulțim inegalitatea cu \ (- 1 \), fără a uita să inversăm semnul de comparație. |
|
\ ( \ frac (3x-7) (2x-3) \) \ (≤ \) \ (0 \) |
|
|
\ ( \ frac (3 (x- \ frac (7) (3))) (2 (x- \ frac (3) (2))) \)\(≤\) \(0\) |
Să construim o axă numerică și să marchem punctele \ (\ frac (7) (3) \) și \ (\ frac (3) (2) \ pe ea. Rețineți că punctul de la numitor este perforat, în ciuda faptului că inegalitatea nu este strictă. Ideea este că acest punct nu va fi o soluție, deoarece atunci când este înlocuit în inegalitate, ne va conduce la împărțirea la zero. |
|
|
Acum, pe aceeași axă numerică, trasăm ODZ și scriem ca răspuns intervalul care se încadrează în ODZ. |
|
|
Scriem răspunsul final. |
Exemplu ... Rezolvați inegalitatea: \ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \)
Soluţie:
|
\ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \) |
Să scriem ODZ. |
|
ODZ: \ (x> 0 \) |
Să trecem la soluție. |
|
Rezolvare: \ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \) |
Avem în fața noastră o inegalitate tipică pătrat-logaritmică. O facem. |
|
\ (t = \ log_3x \) |
Extindeți partea stângă a inegalității în. |
|
\ (D = 1 + 8 = 9 \) |
|
|
Acum trebuie să reveniți la variabila inițială - x. Pentru a face acest lucru, mergeți la unul care are aceeași soluție și faceți înlocuirea inversă. |
|
|
\ (\ stânga [\ începe (adunat) t> 2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \ log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Convertiți \ (2 = \ log_39 \), \ (- 1 = \ log_3 \ frac (1) (3) \). |
|
\ (\ stânga [\ începe (adunat) \ log_3x> \ log_39 \\ \ log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Facem trecerea la compararea argumentelor. Bazele logaritmilor sunt mai mari decât \ (1 \), deci semnul inegalităților nu se modifică. |
|
\ (\ stânga [\ începe (adunat) x> 9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Să combinăm soluția inegalității și DHS într-o singură figură. |
|
|
Să scriem răspunsul. |
INEGALITATI LOGARITMICE ÎN UTILIZARE
Sechin Mihail Alexandrovici
Mica Academie de Științe a tinerilor studenți din Republica Kazahstan „Căutător”
MBOU „Școala secundară Sovetskaya nr. 1”, clasa a 11-a, oraș. districtul Sovetsky Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor de MBOU „Școala sovietică №1”
districtul sovietic
Obiectiv: investigarea mecanismului de rezolvare a inegalităților logaritmice C3 folosind metode non-standard, dezvăluind fapte interesante ale logaritmului.
Subiect de studiu:
3) Învață să rezolvi inegalitățile logaritmice specifice C3 folosind metode non-standard.
Rezultate:
Conţinut
Introducere …………………………………………………………………… .4
Capitolul 1. Context ………………………………………………………… ... 5
Capitolul 2. Colecția de inegalități logaritmice ………………………… 7
2.1. Tranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor …………… 7
2.2. Metoda raționalizării ………………………………………………………… 15
2.3. Înlocuire non-standard ................................................................. .. ..... 22
2.4. Misiuni de capcană ……………………………………………………… 27
Concluzie …………………………………………………………………… 30
Literatură……………………………………………………………………. 31
Introducere
Sunt în clasa a XI-a și plănuiesc să intru într-o universitate în care matematica este o materie de specialitate. Și, prin urmare, lucrez mult cu problemele părții C. În sarcina C3, trebuie să rezolvați o inegalitate non-standard sau un sistem de inegalități, de obicei asociat cu logaritmi. În timpul pregătirii pentru examen, m-am confruntat cu problema lipsei metodelor și tehnicilor de rezolvare a inegalităților logaritmice ale examenului, oferite în C3. Metodele care sunt studiate în programa școlară pe această temă nu oferă o bază pentru rezolvarea sarcinilor C3. Profesorul de matematică m-a invitat să lucrez singur cu sarcinile C3 sub îndrumarea ei. În plus, m-a interesat întrebarea: apar logaritmi în viața noastră?
Având în vedere acest lucru, a fost aleasă tema:
„Inegalități logaritmice la examen”
Obiectiv: investigarea mecanismului de rezolvare a problemelor C3 folosind metode non-standard, dezvăluind fapte interesante ale logaritmului.
Subiect de studiu:
1) Găsiți informațiile necesare despre metodele nestandard de rezolvare a inegalităților logaritmice.
2) Găsiți mai multe informații despre logaritmi.
3) Învață să rezolvi probleme specifice C3 folosind metode non-standard.
Rezultate:
Semnificația practică constă în extinderea aparatului de rezolvare a problemelor C3. Acest material poate fi folosit la unele lecții, pentru cercuri, activități extracurriculare la matematică.
Produsul proiectului va fi colecția „Inegalități logaritmice C3 cu soluții”.
Capitolul 1. Context
În timpul secolului al XVI-lea, numărul de calcule aproximative a crescut rapid, în primul rând în astronomie. Îmbunătățirea instrumentelor, studiul mișcărilor planetare și alte lucrări au necesitat calcule colosale, uneori mulți ani. Astronomia era în pericol real de a se îneca în calcule neîmplinite. Au apărut dificultăți în alte domenii, de exemplu, în domeniul asigurărilor, au fost necesare tabele de dobândă compusă pentru diferite valori ale dobânzii. Principala dificultate a fost reprezentată de înmulțirea, împărțirea numerelor cu mai multe cifre, în special a mărimilor trigonometrice.
Descoperirea logaritmilor sa bazat pe proprietățile binecunoscute ale progresiilor până la sfârșitul secolului al XVI-lea. Arhimede a vorbit despre legătura dintre membrii progresiei geometrice q, q2, q3, ... și progresia aritmetică a exponenților lor 1, 2, 3, ... O altă condiție prealabilă a fost extinderea conceptului de grad la indicatori negativi și fracționari. Mulți autori au subliniat că înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere și extragerea unei rădăcini corespund exponențial în aritmetică - în aceeași ordine - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.
Aceasta a fost ideea din spatele logaritmului ca exponent.
În istoria dezvoltării doctrinei logaritmilor au trecut mai multe etape.
Etapa 1
Logaritmii au fost inventați nu mai târziu de 1594 independent de baronul scoțian Napier (1550-1617) și zece ani mai târziu de mecanicul elvețian Burghi (1552-1632). Ambii au vrut să ofere un nou mijloc convenabil de calcule aritmetice, deși au abordat această problemă în moduri diferite. Neper a exprimat cinematic funcția logaritmică și, astfel, a intrat într-o nouă zonă a teoriei funcțiilor. Burghi a rămas pe baza luării în considerare a progresiilor discrete. Cu toate acestea, definiția logaritmului pentru ambele nu seamănă cu cea modernă. Termenul „logaritm” (logaritm) îi aparține lui Napier. A luat naștere dintr-o combinație de cuvinte grecești: logos – „relație” și ariqmo – „număr”, care însemna „număr de relații”. Inițial, Napier a folosit un alt termen: numeri artificiales - „numere artificiale”, spre deosebire de numeri naturalts - „numere naturale”.
În 1615, într-o conversație cu Henry Briggs (1561-1631), profesor de matematică la Gresch College din Londra, Napier a propus să ia zero pentru logaritmul lui unu și 100 pentru logaritmul lui zece, sau, care se reduce la același lucru, pur și simplu 1. Așa au apărut logaritmii zecimal și au fost tipărite primele tabele logaritmice. Mai târziu, librarul și matematicianul olandez Andrian Flakk (1600-1667) a completat tabelele Briggs. Napier și Briggs, deși au ajuns la logaritmi mai devreme decât oricine altcineva, și-au publicat tabelele mai târziu decât alții - în 1620. Semnele Bușten și Bușten au fost introduse în 1624 de I. Kepler. Termenul de „logaritm natural” a fost introdus de Mengoli în 1659, urmat de N. Mercator în 1668, iar profesorul londonez John Speidel a publicat tabele de logaritmi naturali ai numerelor de la 1 la 1000 sub titlul „Noi logaritmi”.
În limba rusă, primele tabele logaritmice au fost publicate în 1703. Dar în toate tabelele logaritmice au fost făcute erori în calcul. Primele tabele fără erori au fost publicate în 1857 la Berlin, prelucrate de matematicianul german K. Bremiker (1804-1877).
Etapa 2
Dezvoltarea ulterioară a teoriei logaritmilor este asociată cu o aplicare mai largă a geometriei analitice și calculul infinitezimalului. Stabilirea unei legături între cuadratura unei hiperbole echilaterale și logaritmul natural datează din acel moment. Teoria logaritmilor din această perioadă este asociată cu numele unui număr de matematicieni.
Matematician, astronom și inginer german Nikolaus Mercator în compoziție
„Logaritmologia” (1668) oferă o serie care dă expansiunea lui ln (x + 1) în
puteri ale lui x:
Această expresie corespunde exact liniei gândirii sale, deși el, desigur, nu a folosit semnele d, ..., ci simboluri mai greoaie. Odată cu descoperirea seriei logaritmice, tehnica de calcul a logaritmilor s-a schimbat: au început să fie determinate folosind serii infinite. În prelegerile sale „Matematica elementară din cel mai înalt punct de vedere”, citite în 1907-1908, F. Klein a sugerat folosirea formulei ca punct de plecare pentru construirea teoriei logaritmilor.
Etapa 3
Definirea unei funcții logaritmice în funcție de invers
exponențial, logaritmul ca indicator al gradului unei baze date
nu a fost formulată imediat. Scris de Leonard Euler (1707-1783)
O introducere în analiza infinitezimalului (1748) a servit ca un alt articol
dezvoltarea teoriei funcţiei logaritmice. În acest fel,
Au trecut 134 de ani de când logaritmii au fost introduși pentru prima dată
(numărând din 1614) înainte ca matematicienii să ajungă la definiție
conceptul de logaritm, care stă acum la baza cursului școlar.
Capitolul 2. Colecția inegalităților logaritmice
2.1. Tranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor.
Tranziții echivalente
dacă a> 1
daca 0 <
а <
1
Metoda intervalului generalizat
Această metodă este cea mai versatilă pentru rezolvarea inegalităților de aproape orice tip. Schema de soluții arată astfel:
1. Reduceți inegalitatea la forma în care funcția este situată în partea stângă 
, iar în dreapta 0.
2. Găsiți domeniul funcției .
3. Aflați zerourile funcției , adică să rezolve ecuația 
(și rezolvarea unei ecuații este de obicei mai ușoară decât rezolvarea unei inegalități).
4. Desenați domeniul și zerourile funcției pe linia numerică.
5. Determinați semnele funcției la intervalele obtinute.
6. Selectați intervale în care funcția preia valorile necesare și notați răspunsul.
Exemplul 1.
Soluţie:
Să aplicăm metoda de spațiere
Unde
Pentru aceste valori, toate expresiile sub semnul logaritmilor sunt pozitive.
Răspuns:
Exemplul 2.
Soluţie:
1 cale . ODZ este definit de inegalitate X> 3. Luând logaritmul pentru astfel de X baza 10, obținem
Ultima inegalitate ar putea fi rezolvată prin aplicarea regulilor de descompunere, i.e. comparând factorii cu zero. Cu toate acestea, în acest caz, este ușor de determinat intervalele de constanță ale funcției
de aceea se poate aplica metoda spatierii.
Funcţie f(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ este continuă la X> 3 și dispare în puncte X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Astfel, definim intervalele de constanță ale funcției f(X):
Răspuns:
a 2-a cale . Să aplicăm ideile metodei intervalelor direct inegalității inițiale.
Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că expresiile A b - A c și ( A - 1)(b- 1) au un singur semn. Apoi inegalitatea noastră pentru X> 3 este echivalent cu inegalitatea
sau
Ultima inegalitate se rezolvă prin metoda intervalelor
Răspuns:
Exemplul 3.
Soluţie:
Să aplicăm metoda de spațiere
Răspuns:
Exemplul 4.
Soluţie:
Din 2 X 2 - 3X+ 3> 0 pentru toate reale X, atunci
Pentru a rezolva a doua inegalitate, folosim metoda intervalelor
În prima inegalitate, facem înlocuirea
atunci ajungem la inegalitatea 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y care satisfac inegalitatea -0,5< y < 1.
Unde, de când
obţinem inegalitatea
care se realizează cu acelea X pentru care 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Acum, ținând cont de soluția celei de-a doua inegalități a sistemului, obținem în sfârșit
Răspuns:
Exemplul 5.
Soluţie:
Inegalitatea este echivalentă cu un set de sisteme
sau
Să aplicăm metoda intervalelor sau
Răspuns:
Exemplul 6.
Soluţie:
Inegalitatea este echivalentă cu sistemul
Lăsa
atunci y > 0,
și prima inegalitate
sistemul ia forma
sau prin extindere
trinom pătrat prin factori,
Aplicând metoda intervalelor la ultima inegalitate,
vedem că soluţiile sale satisfac condiţia y> 0 va fi tot y > 4.
Astfel, inegalitatea originală este echivalentă cu sistemul:
Deci, soluțiile la inegalitate sunt toate
2.2. Metoda de raționalizare.
Anterior, metoda de raționalizare a inegalității nu a fost rezolvată, nu era cunoscută. Aceasta este „o nouă metodă modernă eficientă pentru rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice” (citat din cartea lui S. I. Kolesnikova)
Și chiar dacă profesorul l-a cunoscut, a existat o reținere - examinatorul îl cunoaște și de ce nu este dat la școală? Au fost situații când profesorul i-a spus elevului: "De unde l-ai luat? Stai jos - 2."
Metoda este acum promovată pe scară largă. Și pentru experți există linii directoare asociate cu această metodă, iar în „Edițiile cele mai complete ale opțiunilor standard...” în soluția C3 se folosește această metodă.
METODA MINUNATĂ!
„Masa magică”
În alte surse
dacă a> 1 și b> 1, apoi log a b> 0 și (a -1) (b -1)> 0;
dacă a> 1 și 0 daca 0<A<1 и b
>1, apoi log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
daca 0<A<1 и 00 și (a -1) (b -1)> 0. Raționamentul de mai sus este simplu, dar simplifică considerabil soluția inegalităților logaritmice. Exemplul 4.
log x (x 2 -3)<0
Soluţie:
Exemplul 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Soluţie: Exemplul 6.
Pentru a rezolva această inegalitate, în locul numitorului, vom scrie (x-1-1) (x-1), iar în locul numărătorului, produsul (x-1) (x-3-9 + x). Exemplul 7.
Exemplul 8.
2.3. Înlocuire non-standard. Exemplul 1.
Exemplul 2.
Exemplul 3.
Exemplul 4.
Exemplul 5.
Exemplul 6.
Exemplul 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Să facem înlocuirea y = 3 x -1; atunci această inegalitate ia forma Log 4 log 0,25 pentru că log 0,25 Facem modificarea t = log 4 y și obținem inegalitatea t 2 -2t + ≥0, a cărei soluție este intervalele - Astfel, pentru a găsi valorile lui y, avem un set de două cele mai simple inegalități Prin urmare, inegalitatea originală este echivalentă cu colecția a două inegalități exponențiale, Soluția primei inegalități a acestei mulțimi este intervalul 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Exemplul 8.
Soluţie:
Inegalitatea este echivalentă cu sistemul Soluția celei de-a doua inegalități, care determină DHS, va fi setul celor X,
pentru care X > 0.
Pentru a rezolva prima inegalitate, facem substituția Apoi obținem inegalitatea sau Mulțimea soluțiilor ultimei inegalități se găsește prin metodă intervale: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, primim sau Multe dintre acestea X care satisfac ultima inegalitate aparține ODZ ( X> 0), prin urmare, este o soluție a sistemului și de aici inegalitatea inițială. Răspuns: 2.4. Sarcini cu capcane. Exemplul 1.
Soluţie. Inegalitățile ODZ sunt toate x care îndeplinesc condiția 0 Exemplul 2.
log 2 (2 x + 1-x 2)> log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Răspuns... (0; 0,5) U.
Răspuns :
(3;6)
.
= -log 4 = - (log 4 y -log 4 16) = 2-log 4 y, apoi rescrie ultima inegalitate ca 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Soluția pentru această mulțime este intervalele 0<у≤2 и 8≤у<+.
adică agregatele 
... Astfel, inegalitatea originală este valabilă pentru toate valorile lui x din intervalele 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Prin urmare, toți x din intervalul 0
Concluzie
Nu a fost ușor să găsești metode speciale de rezolvare a problemelor C3 din marea abundență de diferite surse educaționale. Pe parcursul lucrărilor efectuate, am putut studia metode non-standard pentru rezolvarea inegalităților logaritmice complexe. Acestea sunt: tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor, metoda raționalizării , substituție non-standard , sarcini cu capcane pe ODZ. Aceste metode sunt absente în programa școlară.
Folosind diferite metode, am rezolvat 27 de inegalități propuse la examenul din partea C și anume C3. Aceste inegalități cu soluții prin metode au stat la baza colecției „Inegalități logaritmice C3 cu soluții”, care a devenit un produs de proiect al muncii mele. S-a confirmat ipoteza pe care mi-am propus-o la începutul proiectului: sarcinile C3 pot fi rezolvate eficient, cunoscând aceste metode.
În plus, am găsit fapte interesante despre logaritmi. A fost interesant pentru mine să o fac. Produsele mele de design vor fi utile atât pentru studenți, cât și pentru profesori.
Concluzii:
Astfel, scopul stabilit al proiectului a fost atins, problema a fost rezolvată. Și am obținut cea mai completă și versatilă experiență în activități de proiect în toate etapele de lucru. Pe parcursul lucrului la proiect, principalul meu impact de dezvoltare a fost asupra competenței mentale, activități legate de operații mentale logice, dezvoltarea competenței creative, inițiativă personală, responsabilitate, perseverență, activitate.
O garanție a succesului la crearea unui proiect de cercetare pt Am devenit: experiență școlară semnificativă, capacitatea de a extrage informații din diverse surse, de a le verifica fiabilitatea, de a le clasifica după importanță.
Pe lângă cunoștințele directe ale disciplinei în matematică, și-a extins abilitățile practice în domeniul informaticii, a dobândit noi cunoștințe și experiență în domeniul psihologiei, a stabilit contacte cu colegii de clasă și a învățat să coopereze cu adulții. Pe parcursul activităților proiectului s-au dezvoltat abilități și abilități educaționale generale organizatorice, intelectuale și comunicative.
Literatură
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sisteme de inegalități cu o variabilă (sarcini tipice C3).
2. Malkova A. G. Pregătirea pentru examenul la matematică.
3. Samarova SS Soluția inegalităților logaritmice.
4. Matematică. Culegere de lucrări de formare editată de A.L. Semyonova și I.V. Iascenko. -M .: MTsNMO, 2009 .-- 72 p. -
Dintre toată varietatea de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate folosind o formulă specială, care din anumite motive este rareori spusă la școală:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0
În loc de caseta de selectare „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași.
Deci scăpăm de logaritmi și reducem problema la inegalitatea rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când scapi de logaritmi, pot apărea rădăcini inutile. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți intervalul de valori acceptabile. Dacă ați uitat ODZ al logaritmului, vă recomand insistent să îl repetați - vezi „Ce este un logaritm”.
Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori admisibile trebuie scris și rezolvat separat:
f (x)> 0; g (x)> 0; k (x)> 0; k (x) ≠ 1.
Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie îndeplinite simultan. Când se găsește intervalul de valori acceptabile, rămâne să îl traversați cu soluția inegalității raționale - și răspunsul este gata.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
Pentru început, să scriem ODZ al logaritmului:
Primele două inegalități sunt îndeplinite automat, iar ultima va trebui descrisă. Deoarece pătratul unui număr este zero dacă și numai dacă numărul însuși este zero, avem:
x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Rezultă că ODZ a logaritmului este toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală:
Efectuăm trecerea de la o inegalitate logaritmică la una rațională. În inegalitatea inițială există un semn „mai puțin”, ceea ce înseamnă că inegalitatea rezultată trebuie să fie și cu un semn „mai puțin”. Noi avem:
(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.
Zerourile acestei expresii: x = 3; x = −3; x = 0. Mai mult, x = 0 este o rădăcină a celei de-a doua multiplicități, ceea ce înseamnă că la trecerea prin aceasta, semnul funcției nu se modifică. Noi avem:
Se obține x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Acest set este complet conținut în ODZ al logaritmului, ceea ce înseamnă că acesta este răspunsul.
Transformarea inegalităților logaritmice
Adesea inegalitatea originală diferă de cea de mai sus. Este ușor să-l remediați conform regulilor standard pentru lucrul cu logaritmi - consultați „Proprietățile de bază ale logaritmilor”. Și anume:
- Orice număr poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază dată;
- Suma și diferența logaritmilor cu aceleași baze pot fi înlocuite cu un logaritm.
De asemenea, aș dori să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece inegalitatea inițială poate conține mai mulți logaritmi, este necesar să se găsească ODV pentru fiecare dintre aceștia. Astfel, schema generală de rezolvare a inegalităților logaritmice este următoarea:
- Aflați ODV-ul fiecărui logaritm inclus în inegalitate;
- Reduceți inegalitatea la cea standard conform formulelor de adunare și scădere a logaritmilor;
- Rezolvați inegalitatea rezultată conform schemei prezentate mai sus.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
Să găsim domeniul de definiție (ODZ) al primului logaritm:
Rezolvăm prin metoda intervalelor. Aflați zerourile numărătorului:
3x - 2 = 0;
x = 2/3.
Apoi - zerourile numitorului:
x - 1 = 0;
x = 1.
Marcam zerourile și semnele pe săgeata de coordonate:
Se obține x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Al doilea logaritm al ODV va fi același. Dacă nu crezi, poți verifica. Acum transformăm al doilea logaritm astfel încât să existe un doi la bază:
După cum puteți vedea, tripleții de la bază și din fața logaritmului s-au contractat. Au primit doi logaritmi cu aceeași bază. Le adaugam:
log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
A primit inegalitatea logaritmică standard. Scăpăm de logaritmi prin formulă. Deoarece inegalitatea originală conține un semn mai mic decât, expresia rațională rezultată trebuie, de asemenea, să fie mai mică decât zero. Noi avem:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Avem două seturi:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
- Răspunsul candidatului: x ∈ (−1; 3).
Rămâne să traversăm aceste seturi - obținem răspunsul real:
Suntem interesați de intersecția mulțimilor, așa că selectați intervalele completate pe ambele săgeți. Se obține x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - toate punctele sunt perforate.
Rezolvând inegalitățile logaritmice, folosim proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice. De asemenea, folosim definiția unui logaritm și formule logaritmice de bază.
Să recapitulăm ce sunt logaritmii:
Logaritm un număr de bază pozitiv este un indicator al gradului în care trebuie să creșteți pentru a obține.
în care
Identitatea logaritmică de bază:
Formule de bază pentru logaritmi:
(Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor)
(Logaritmul coeficientului este egal cu diferența dintre logaritmi)
(Formula pentru logaritmul puterii)
Formula pentru tranziția la o nouă bază:
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice
Putem spune că inegalitățile logaritmice sunt rezolvate după un anumit algoritm. Trebuie să notăm intervalul de valori acceptabile (ADV) ale inegalității. Reduceți inegalitatea la forma Semnul de aici poate fi oricare: Este important ca stânga și dreapta din inegalitate să fie logaritmii pe aceeași bază.
Și după aceea „aruncăm” logaritmii! Mai mult, dacă baza este gradul, semnul inegalității rămâne același. Dacă baza este astfel încât semnul inegalității este inversat.
Desigur, nu doar „scăpăm” logaritmii. Folosim proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice. Dacă baza logaritmului este mai mare decât unu, funcția logaritmică crește monoton, iar atunci o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mari a expresiei.
Dacă baza este mai mare decât zero și mai mică de unu, funcția logaritmică scade monoton. O valoare mai mare a argumentului x va corespunde unei valori mai mici
Notă importantă: cel mai bine este să scrieți soluția ca un lanț de tranziții echivalente.
Să trecem la practică. Ca întotdeauna, să începem cu cele mai simple inegalități.
1. Luați în considerare inegalitatea log 3 x> log 3 5.
Deoarece logaritmii sunt definiți numai pentru numere pozitive, x trebuie să fie pozitiv. Condiția x> 0 se numește intervalul de valori admisibile (ADV) a acestei inegalități. Numai pentru un astfel de x are sens inegalitatea.
Ei bine, această formulare sună atrăgător și ușor de reținut. Dar de ce o putem face oricum?
Suntem ființe umane, avem inteligență. Mintea noastră este concepută în așa fel încât tot ceea ce este logic, de înțeles și are o structură internă să fie reținut și aplicat mult mai bine decât faptele întâmplătoare și fără legătură. De aceea este important să nu memorezi mecanic regulile, ca un câine matematician dresat, ci să acționezi conștient.
Deci, de ce „scădem logaritmii” oricum?
Răspunsul este simplu: dacă baza este mai mare decât unu (ca și în cazul nostru), funcția logaritmică crește monoton, ceea ce înseamnă că unei valori mai mari a lui x îi corespunde o valoare mai mare a lui y, iar din inegalitatea log 3 x 1> log 3 x 2 rezultă că x 1> x 2. 
Vă rugăm să rețineți că am trecut la o inegalitate algebrică, iar semnul inegalității rămâne același.
Deci x> 5.
Următoarea inegalitate logaritmică este, de asemenea, simplă.
2.log 5 (15 + 3x)> log 5 2x
Să începem cu intervalul de valori valide. Logaritmii sunt definiți numai pentru numere pozitive, deci
Rezolvând acest sistem, obținem: x> 0.
Acum vom trece de la inegalitatea logaritmică la cea algebrică - vom „arunca” logaritmii. Deoarece baza logaritmului este mai mare decât unu, semnul inegalității este păstrat.
15 + 3x> 2x.
Se obține: x> −15.
Răspuns: x> 0.
Ce se întâmplă dacă baza logaritmului este mai mică de unu? Este ușor de ghicit că în acest caz, la trecerea la o inegalitate algebrică, semnul inegalității se va schimba.
Să dăm un exemplu.
Să notăm ODZ. Expresiile din care sunt luate logaritmii trebuie să fie pozitive, adică
Rezolvând acest sistem, obținem: x> 4.5.
Deoarece, funcția logaritmică cu baza scade monoton. Aceasta înseamnă că o valoare mai mare a funcției corespunde unei valori mai mici a argumentului: 
Și dacă, atunci
2x - 9 ≤ x.
Se obține x ≤ 9.
Având în vedere că x> 4,5, scriem răspunsul:
În următoarea problemă, inegalitatea exponențială este redusă la un pătrat. Așa că recomandăm repetarea subiectului „inegalități pătrate”.
Acum, pentru inegalități mai complexe:
4. Rezolvați inegalitatea
5. Rezolvați inegalitatea
Daca atunci. Am fost norocosi! Știm că baza logaritmului este mai mare decât unu pentru toate valorile lui x incluse în ODV.
Să facem un înlocuitor
Rețineți că mai întâi rezolvăm complet inegalitatea față de noua variabilă t. Și abia după aceea ne întoarcem la variabila x. Amintiți-vă acest lucru și nu face greșeli la examen!
Să ne amintim de regula: dacă există rădăcini, fracții sau logaritmi într-o ecuație sau inegalitate, soluția trebuie începută din intervalul de valori admisibile. Deoarece baza logaritmului trebuie să fie pozitivă și nu egală cu unu, obținem un sistem de condiții:
Să simplificăm acest sistem:
Acesta este intervalul de valori valide pentru inegalitate.
Vedem că variabila este conținută în baza logaritmului. Să trecem la baza permanentă. Amintește-ți asta
În acest caz, este convenabil să mergeți la baza 4.
Să facem un înlocuitor
Să simplificăm inegalitatea și să o rezolvăm prin metoda intervalelor:
Să revenim la variabilă X:
Am adăugat condiția X> 0 (din ODZ).
7. Următoarea problemă se rezolvă și folosind metoda intervalelor
Ca întotdeauna, începem să rezolvăm inegalitatea logaritmică din intervalul de valori admisibile. În acest caz
Această condiție trebuie îndeplinită și vom reveni asupra ei. Luați în considerare deocamdată inegalitatea în sine. Să scriem partea stângă ca logaritm la baza 3:
Partea dreaptă poate fi scrisă și ca un logaritm de bază 3 și apoi treceți la inegalitatea algebrică:
Vedem că condiția (adică ODZ) este acum îndeplinită automat. Ei bine, asta face mai ușor să rezolvi inegalitatea.
Rezolvăm inegalitatea folosind metoda intervalului:
Răspuns:
S-a întâmplat? Ei bine, creștem nivelul de dificultate:
8. Rezolvați inegalitatea:
Inegalitatea este echivalentă cu sistemul:
9. Rezolvați inegalitatea:
Expresia 5 - X 2 se repetă în mod evident în enunțul problemei. Aceasta înseamnă că puteți face o înlocuire:
Deoarece funcția exponențială ia doar valori pozitive, t> 0. Apoi
Inegalitatea va lua forma:
Mai bine acum. Să găsim intervalul de valori admisibile ale inegalității. Am spus deja asta t> 0. În plus, ( t- 3) (5 9 t − 1) > 0
Dacă această condiție este îndeplinită, atunci și coeficientul va fi pozitiv.
Și, de asemenea, expresia de sub logaritmul din partea dreaptă a inegalității trebuie să fie pozitivă, adică (625 t − 2) 2 .
Aceasta înseamnă că 625 t- 2 ≠ 0, adică
Vom nota cu atenție ODZ
și rezolvați sistemul rezultat folosind metoda intervalelor.
Asa de,
Ei bine, jumătate din bătălie este gata - ne-am ocupat de ODZ. Rezolvarea inegalității în sine. Suma logaritmilor din partea stângă este reprezentată ca logaritm al produsului.
