În cea de-a douăsprezecea sarcină a OGE în matematică a modulului Algebră, sunt testate cunoștințele noastre despre transformări - regulile pentru deschiderea parantezelor, plasarea variabilelor în afara parantezelor, reducerea fracțiilor la un numitor comun și cunoașterea formulelor de înmulțire abreviate.

Esența sarcinii se rezumă la simplificarea expresiei specificate în condiție: nu trebuie să înlocuiți imediat valorile în expresie originală. Mai întâi trebuie să o simplificați și apoi să înlocuiți valoarea - toate sarcinile sunt structurate în așa fel încât, după simplificare, trebuie să efectuați doar una sau două acțiuni simple.

Este necesar să se țină seama de valorile admisibile ale variabilelor incluse în expresiile algebrice, să se folosească proprietățile puterilor cu exponent întreg, reguli pentru extragerea rădăcinilor și formule de înmulțire abreviate.

Răspunsul în sarcină este un număr întreg sau o fracție zecimală finită.

Teoria pentru sarcina nr. 12

În primul rând, să ne amintim ce este o diplomă și

În plus, vom avea nevoie formule de multiplicare prescurtate:

Patratul sumei

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Diferența pătrată

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Diferența de pătrate

a 2 – b 2 = (a + b)(a – b)

Cubul sumei

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Cub de diferență

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Suma cuburilor

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Diferența de cuburi

a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2)

Reguli operatii cu fractii :

Analiza opțiunilor tipice pentru sarcina nr. 12 OGE în matematică

Prima versiune a sarcinii

Aflați valoarea expresiei: (x + 5) 2 - x (x- 10) la x = - 1/20

Soluţie:

ÎN în acest caz,, ca în aproape toate sarcinile nr. 7, trebuie mai întâi să simplificați expresia pentru a face acest lucru, deschideți parantezele:

(x + 5) 2 - x (x - 10) = x 2 + 2 5 x + 25 - x 2 + 10x

Apoi prezentăm termeni similari:

x 2 + 2 5 x + 25 - X 2 + 10x = 20 x + 25

20 x + 25 = 20 (-1/20) + 25 = - 1 + 25 = 24

A doua versiune a sarcinii

Găsiți sensul expresiei:

la a = 13, b = 6,8

Soluţie:

În acest caz, spre deosebire de primul, vom simplifica expresia scoțând-o din paranteze, în loc să le deschidem.

Puteți observa imediat că b este prezent în prima fracție la numărător, iar în a doua - la numitor, astfel încât să le putem reduce. Șapte și paisprezece sunt, de asemenea, reduse cu șapte:

Să scurtăm (a-b):

Și obținem:

Înlocuiți valoarea a = 13:

A treia versiune a sarcinii

Găsiți sensul expresiei:

la x = √45, y = 0,5

Soluţie:

Deci, în această sarcină, atunci când scădem fracții, trebuie să le aducem la un numitor comun.

Numitorul comun este 15 x y, Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți prima fracție cu 5 y- atât numărătorul cât și numitorul, desigur:

Să calculăm numărătorul:

5 y - (3 x + 5 y) = 5 ani- 3 x - 5 ani= - 3 x

Atunci fracția va lua forma:

Efectuând reduceri simple ale numărătorului și numitorului cu 3 și cu x, obținem:

Să înlocuim valoarea y = 0,5:

1 / (5 0,5) = - 1 / 2,5 = - 0,4

Răspuns: - 0,4

Versiunea demonstrativă a OGE 2019

Găsiți sensul expresiei

unde a = 9, b = 36

Soluţie:

În primul rând, în sarcinile de acest tip, trebuie să simplificați expresia și apoi să înlocuiți numerele.

Să reducem expresia la un numitor comun - acesta este b, pentru a face asta înmulțim primul termen cu b, după care ajungem la numărător:

9b² + 5a - 9b²

Să prezentăm termeni similari - aceștia sunt 9b² și - 9b², lăsând 5a la numărător.

Să scriem fracția finală:

Să îi calculăm valoarea înlocuind numerele din condiția:

Răspuns: 1,25

A patra versiune a sarcinii

Găsiți sensul expresiei:

la x = 12.

Soluţie:

Să efectuăm transformări identice ale expresiei pentru a o simplifica.

Pasul 1 – trecerea de la împărțirea fracțiilor la înmulțirea lor:

Acum reducem expresia (în numărătorul primei fracții și în numitorul celei de-a doua) și ajungem la o formă în sfârșit simplificată:

Să înlocuim valoare numerica pentru x în expresia rezultată și găsiți rezultatul:

În sarcina nr. 12 a examenului unificat de stat la matematică la nivel de profil, trebuie să găsim cel mai mare sau cea mai mică valoare funcții. Pentru a face acest lucru, este necesar să folosiți, evident, un derivat. Să ne uităm la exemplu tipic.

Analiza opțiunilor tipice pentru sarcinile nr. 12 ale Examenului de stat unificat la matematică la nivel de profil

Prima versiune a sarcinii (versiunea demo 2018)

Aflați punctul maxim al funcției y = ln(x+4) 2 +2x+7.

Algoritm de rezolvare:

1. Găsirea derivatei.
2. Scriem răspunsul.

Soluţie:

1. Căutăm valori ale lui x pentru care logaritmul are sens. Pentru a face acest lucru, rezolvăm inegalitatea:

Deoarece pătratul oricărui număr este nenegativ. Soluția inegalității va fi doar valoarea lui x la care x+4≠ 0, adică. la x≠-4.

2. Găsiți derivata:

y’=(ln(x+4) 2 + 2x + 7)’

Prin proprietatea logaritmului obținem:

y’=(ln(x+4) 2)’+(2x)’+(7)’.

Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe:

(lnf)’=(1/f)∙f’. Avem f=(x+4) 2

y, = (ln(x+4) 2)'+ 2 + 0 = (1/(x+4) 2)∙((x+4) 2)' + 2=(1/(x+4) 2 2)∙(x 2 + 8x + 16)' +2=2(x + 4) /((x + 4) 2) + 2

y’= 2/(x + 4) + 2

3. Echivalăm derivata cu zero:

y, = 0 → (2+2∙(x + 4))/(x + 4)=0,

2 +2x +8 =0, 2x + 10 = 0,

A doua versiune a sarcinii (de la Yashchenko, nr. 1)

Aflați punctul minim al funcției y = x – ln(x+6) + 3.

Algoritm de rezolvare:

1. Determinăm domeniul de definire al funcției.
2. Găsirea derivatei.
3. Determinăm în ce puncte derivata este egală cu 0.
4. Excludem punctele care nu aparțin domeniului definiției.
5. Printre punctele rămase, căutăm x valori la care funcția are un minim.
6. Scriem răspunsul.

Soluţie:

2. Aflați derivata funcției:

3. Echivalăm expresia rezultată cu zero:

4. Am primit un punct x=-5, aparținând domeniului de definire a funcției.

5. În acest moment funcția are un extremum. Să verificăm dacă acesta este minimul. La x=-4

La x=-5,5, derivata functiei este negativa, deoarece

Aceasta înseamnă că punctul x=-5 este punctul minim.

A treia versiune a sarcinii (de la Yashchenko, nr. 12)

Găsi cea mai mare valoare funcții pe segmentul [-3; 1].

Algoritm de rezolvare:

1. Găsirea derivatei.
2. Determinăm în ce puncte derivata este egală cu 0.
3. Excludem punctele care nu aparțin unui anumit segment.
4. Printre punctele rămase, căutăm valorile x la care funcția are un maxim.
5. Găsim valorile funcției la capetele segmentului.
6. Căutăm cea mai mare dintre valorile obținute.
7. Scriem răspunsul.

Soluţie:

1. Calculăm derivata funcției, obținem

Singur Examen de stat la nivelul de bază matematica este formată din 20 de sarcini. Sarcina 12 testează abilitățile de alegere varianta optima din cele propuse. Elevul trebuie să fie capabil să evalueze opțiuni posibileși alegeți-l pe cel mai optim. Aici puteți învăța cum să rezolvați sarcina 12 a examenului de stat unificat la matematică la nivel de bază, precum și să studiați exemple și soluții bazate pe sarcini detaliate.

Toate USE sarcinile de bază toate sarcinile (263) USE sarcina de bază 1 (5) USE sarcina de bază 2 (6) USE sarcina de bază 3 (45) USE sarcina de bază 4 (33) USE sarcina de bază 5 (2) USE sarcina de bază 6 (44) ) Atribuire de bază de examen de stat unificat 7 (1) Atribuire de bază de examen de stat unificat 8 (12) Atribuire de bază de examen de stat unificat 10 (22) Atribuire de bază de examen de stat unificat 12 (5) Atribuire de bază de examen de stat unificat 13 (20) Baza de examen de stat unificat sarcina de bază 15 (13) Examenul de stat unificat sarcina de bază 19 (23) Sarcina de bază pentru examenul de stat unificat 20 (32)

În medie, un cetățean A. consumă energie electrică pe lună în timpul zilei

În medie, un cetățean din A. în timpul zilei consumă K kWh de energie electrică pe lună, iar noaptea - L kWh de energie electrică. Anterior, A. avea instalat un contor cu tarif unic în apartamentul său și a plătit toată energia electrică la rata de M ruble. pe kWh în urmă cu un an, A. a instalat un contor cu două tarife, în timp ce consumul zilnic de energie electrică este plătit la rata de N ruble. pe kWh, iar consumul de noapte se plătește la tariful P rub. pe kWh În lunile R, modul de consum și tarifele de plată a energiei electrice nu s-au modificat. Cât ar fi plătit mai mult A. pentru această perioadă dacă nu s-ar fi schimbat contorul? Dați răspunsul în ruble.

Când construiți o casă rurală, puteți utiliza unul dintre cele două tipuri de fundație

În timpul construcției casă rurală Puteți folosi unul dintre cele două tipuri de fundație: piatră sau beton. Pentru o fundație de piatră aveți nevoie de A tone de piatră naturală și B saci de ciment. Pentru o fundație din beton aveți nevoie de C tone de piatră zdrobită și D de saci de ciment. O tonă de piatră costă E ruble, piatra zdrobită costă F ruble pe tonă, iar un sac de ciment costă G ruble. Câte ruble va costa materialul de fundație dacă alegeți cea mai ieftină opțiune?

Problema face parte din Examenul de stat unificat la matematică la nivel de bază pentru clasa a 11-a sub numărul 12.

Câte ruble va trebui să plătiți pentru cea mai ieftină călătorie pentru trei

Familie din trei persoane planifică să călătorească de la Sankt Petersburg la Vologda. Puteți merge cu trenul sau puteți merge cu mașina. Un bilet de tren pentru o persoană costă N ruble. O mașină consumă K litri de benzină pe L kilometri, distanța de-a lungul autostrăzii este de M km, iar prețul benzinei este de P ruble pe litru. Câte ruble va trebui să plătiți pentru cea mai ieftină călătorie pentru trei?

Problema face parte din Examenul de stat unificat la matematică la nivel de bază pentru clasa a 11-a sub numărul 12.

La construirea unei case, compania folosește unul dintre tipurile de fundație

La construirea unei case, compania folosește unul dintre tipurile de fundații: beton sau bloc de spumă. Pentru o fundație din blocuri de spumă ai nevoie de K metri cubi de blocuri de spumă și L saci de ciment. Pentru o fundație din beton aveți nevoie de M tone de piatră zdrobită și N saci de ciment. Un metru cub de blocuri de spumă costă A ruble, piatra zdrobită costă B ruble pe tonă, iar un sac de ciment costă C ruble. Câte ruble va costa materialul dacă alegeți cea mai ieftină opțiune?

In medie educatie generala

Linia UMK G. K. Muravin. Algebra și principiile analizei matematice (10-11) (detaliat)

Linia UMK Merzlyak. Algebra și începuturile analizei (10-11) (U)

Matematică

Pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică ( nivel de profil): sarcini, soluții și explicații

Analizăm sarcini și rezolvăm exemple împreună cu profesorul

Lucrare de examen nivelul profilului durează 3 ore 55 minute (235 minute).

Pragul minim- 27 de puncte.

Lucrarea de examen constă din două părți, care diferă ca conținut, complexitate și număr de sarcini.

Caracteristica definitorie a fiecărei părți a lucrării este forma sarcinilor:

• partea 1 conține 8 sarcini (sarcinile 1-8) cu un răspuns scurt sub forma unui număr întreg sau a unei fracții zecimale finale;
• partea 2 conține 4 sarcini (sarcinile 9-12) cu un răspuns scurt sub forma unui număr întreg sau fracție zecimală finală și 7 sarcini (sarcinile 13-19) cu un răspuns detaliat ( înregistrare completă decizii cu justificarea acțiunilor întreprinse).

Panova Svetlana Anatolevna, profesor de matematică cea mai înaltă categorieșcoli, experiență de muncă 20 ani:

"Pentru a primi certificat scolar, absolventul trebuie să treacă două examen obligatoriu V Formularul de examinare unificată de stat, dintre care una este matematica. În conformitate cu Conceptul de dezvoltare educatie matematica V Federația Rusă Examenul unificat de stat la matematică este împărțit pe două niveluri: de bază și de specialitate. Astăzi ne vom uita la opțiunile la nivel de profil.”

Sarcina nr. 1- verifica cu Participanții la examenul de stat unificat capacitatea de a aplica abilitățile dobândite în cursul claselor 5-9 la matematică elementară, în activitati practice. Participantul trebuie să aibă abilități de calcul, să poată lucra cu numere raționale, să poată rotunji zecimale, să poată converti o unitate de măsură în alta.

Exemplul 1. Un debitmetru a fost instalat în apartamentul în care locuiește Peter apă rece(tejghea). La 1 mai, contorul arăta un consum de 172 de metri cubi. m de apă, iar la 1 iunie - 177 de metri cubi. m. Ce sumă ar trebui să plătească Peter pentru apă rece în mai, dacă prețul este de 1 metru cub? m de apă rece este de 34 de ruble 17 copeici? Dați răspunsul în ruble.

Soluţie:

1) Aflați cantitatea de apă cheltuită pe lună:

177 - 172 = 5 (mc)

2) Să aflăm câți bani vor plăti pentru apa irosită:

34,17 5 = 170,85 (frecare)

Răspuns: 170,85.

Sarcina nr. 2- este una dintre cele mai simple sarcini de examen. Majoritatea absolvenților îi fac față cu succes, ceea ce indică cunoașterea definiției conceptului de funcție. Tipul de sarcină nr. 2 conform codificatorului cerințelor este o sarcină privind utilizarea cunoștințelor și abilităților dobândite în activități practice și Viata de zi cu zi. Sarcina nr. 2 constă în descrierea, folosind funcții, a diverselor relații reale între mărimi și interpretarea graficelor acestora. Sarcina nr. 2 testează capacitatea de a extrage informațiile prezentate în tabele, diagrame și grafice. Absolvenții trebuie să fie capabili să determine valoarea unei funcții prin valoarea argumentului ei când în diverse moduri specificarea unei funcții și descrierea comportamentului și proprietăților funcției pe baza graficului acesteia. De asemenea, trebuie să puteți găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare dintr-un grafic al funcției și să construiți grafice ale funcțiilor studiate. Erorile făcute sunt aleatorii la citirea condițiilor problemei, citirea diagramei.

#ADVERTISING_INSERT#

Exemplul 2. Figura arată modificarea valorii de schimb a unei acțiuni a unei companii miniere în prima jumătate a lunii aprilie 2017. Pe 7 aprilie, omul de afaceri a achiziționat 1.000 de acțiuni ale acestei companii. Pe 10 aprilie a vândut trei sferturi din acțiunile cumpărate, iar pe 13 aprilie a vândut toate acțiunile rămase. Cât a pierdut omul de afaceri în urma acestor operațiuni?

Soluţie:

2) 1000 · 3/4 = 750 (acțiuni) - constituie 3/4 din totalul acțiunilor cumpărate.

6) 247500 + 77500 = 325000 (frec) - omul de afaceri a primit 1000 de acțiuni după vânzare.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (frec) - omul de afaceri a pierdut în urma tuturor operațiunilor.

Răspuns: 15000.

Sarcina nr. 3- este o sarcină la nivelul de bază al primei părți, testează capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice asupra conținutului cursului „Planimetrie”. Sarcina 3 testează capacitatea de a calcula aria unei figuri pe hârtie în carouri, capacitatea de a calcula măsurile de grad ale unghiurilor, de a calcula perimetre etc.

Exemplul 3. Găsiți aria unui dreptunghi reprezentat pe hârtie în carouri cu o dimensiune a celulei de 1 cm pe 1 cm (vezi figura). Dați răspunsul în centimetri pătrați.

Soluţie: Pentru a calcula aria unei figuri date, puteți utiliza formula de vârf:

Pentru a calcula suprafața dreptunghi dat Să folosim formula lui Peak:

S= B +	G
	2

unde B = 10, G = 6, prin urmare

S = 18 +	6
	2

Răspuns: 20.

Citește și: Examen de stat unificat la fizică: rezolvarea problemelor despre oscilații

Sarcina nr. 4- obiectivul cursului „Teoria probabilității și statistică”. Este testată capacitatea de a calcula probabilitatea unui eveniment în cea mai simplă situație.

Exemplul 4. Pe cerc sunt marcate 5 puncte roșii și 1 albastru. Stabiliți care poligoane sunt mai mari: cele cu toate vârfurile roșii sau cele cu unul dintre vârfurile albastru. În răspunsul dvs., indicați câte sunt mai multe dintre unele decât altele.

Soluţie: 1) Să folosim formula pentru numărul de combinații ale n elemente prin k:

ale căror vârfuri sunt toate roșii.

3) Un pentagon cu toate vârfurile roșii.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligoane cu toate vârfurile roșii.

care au vârfuri roșii sau cu un vârf albastru.

care au vârfuri roșii sau cu un vârf albastru.

8) Un hexagon cu vârfuri roșii și un vârf albastru.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 de poligoane cu toate vârfurile roșii sau cu un vârf albastru.

10) 42 – 16 = 26 de poligoane folosind punctul albastru.

11) 26 – 16 = 10 poligoane – câte mai multe poligoane în care unul dintre vârfuri este un punct albastru există decât poligoane în care toate vârfurile sunt doar roșii.

Răspuns: 10.

Sarcina nr. 5- nivelul de bază al primei părți testează capacitatea de a rezolva ecuații simple (iraționale, exponențiale, trigonometrice, logaritmice).

Exemplul 5. Rezolvați ecuația 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Soluţie.Împărțiți ambele părți ale acestei ecuații la 5 3 + X≠ 0, obținem

2 3 + X	= 0,4 sau		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

de unde rezultă că 3 + X = 1, X = –2.

Răspuns: –2.

Sarcina nr. 6în planimetrie pentru a găsi mărimi geometrice (lungimi, unghiuri, arii), modelând situații reale în limbajul geometriei. Studiul modelelor construite folosind concepte și teoreme geometrice. Sursa dificultăților este, de regulă, ignoranța sau aplicarea incorectă a teoremelor necesare de planimetrie.

Aria unui triunghi ABC este egal cu 129. DE– linia mediană paralelă cu laterala AB. Găsiți aria trapezului UN PAT.

Soluţie. Triunghi CDE asemănător cu un triunghi TAXI la două unghiuri, deoarece unghiul de la vârf C general, unghi СDE egal cu unghiul TAXI Cum unghiurile corespunzătoare la DE || AB secantă A.C.. Deoarece DE este linia de mijloc a unui triunghi după condiție, apoi după proprietatea dreptei de mijloc | DE = (1/2)AB. Aceasta înseamnă că coeficientul de similitudine este 0,5. Prin urmare, ariile figurilor similare sunt legate ca pătratul coeficientului de similaritate

Prin urmare, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Sarcina nr. 7- verifică aplicarea derivatei la studiul unei funcţii. Pentru implementare cu succes este necesară o stăpânire semnificativă, non-formală, a conceptului de derivat.

Exemplul 7. La graficul funcției y = f(X) la punctul de abscisă X 0 se trasează o tangentă perpendiculară pe dreapta care trece prin punctele (4; 3) și (3; –1) ale acestui grafic. Găsi f′( X 0).

Soluţie. 1) Să folosim ecuația unei drepte care trece prin doi puncte dateși găsiți ecuația dreptei care trece prin punctele (4; 3) și (3; –1).

(y – y 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–y + 3 = –4X+ 16| · (-1)

y – 3 = 4X – 16

y = 4X– 13, unde k 1 = 4.

2) Aflați panta tangentei k 2, care este perpendicular pe dreapta y = 4X– 13, unde k 1 = 4, după formula:

3) Unghiul tangent este derivata funcției în punctul de tangență. Mijloace, f′( X 0) = k 2 = –0,25.

Răspuns: –0,25.

Sarcina nr. 8- testează cunoștințele participanților la examen de stereometrie elementară, capacitatea de a aplica formule pentru găsirea suprafețelor și volumelor figurilor, unghiurilor diedrice, compara volumele unor figuri similare, a putea efectua acțiuni cu figuri geometrice, coordonate și vectori etc.

Volumul unui cub circumscris unei sfere este de 216. Aflați raza sferei.

Soluţie. 1) V cub = A 3 (unde A– lungimea muchiei cubului), prin urmare

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Deoarece sfera este înscrisă într-un cub, înseamnă că lungimea diametrului sferei este egală cu lungimea muchiei cubului, prin urmare d = A, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Sarcina nr. 9- cere absolventului să aibă abilitățile de a transforma și simplifica expresii algebrice. Sarcina nr. 9 nivel mai înalt Dificultate cu un răspuns scurt. Sarcinile din secțiunea „Calcule și transformări” din Examenul de stat unificat sunt împărțite în mai multe tipuri:

transformarea expresiilor raționale numerice;

conversia expresiilor și fracțiilor algebrice;

conversia expresiilor iraționale numerice/litere;

acțiuni cu grade;

conversia expresiilor logaritmice;

1. conversia expresiilor trigonometrice numerice/litere.

Exemplul 9. Calculați tanα dacă se știe că cos2α = 0,6 și

3π	< α < π.
4

Soluţie. 1) Să folosim formula argumentului dublu: cos2α = 2 cos 2 α – 1 și găsim

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Aceasta înseamnă tan 2 α = ± 0,5.

3) După condiție

3π	< α < π,
4

aceasta înseamnă că α este unghiul celui de-al doilea sfert și tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Răspuns: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Sarcina nr. 10- testează capacitatea elevilor de a utiliza cunoștințele și abilitățile dobândite timpurii în activități practice și viața de zi cu zi. Putem spune că acestea sunt probleme de fizică, și nu de matematică, dar toate formulele și cantitățile necesare sunt date în condiție. Problemele se reduc la rezolvarea liniară sau ecuație pătratică, sau inegalitatea liniară sau pătratică. Prin urmare, este necesar să puteți rezolva astfel de ecuații și inegalități și să determinați răspunsul. Răspunsul trebuie dat ca număr întreg sau fracție zecimală finită.

Două corpuri de masă m= 2 kg fiecare, deplasându-se cu aceeași viteză v= 10 m/s la un unghi de 2α unul față de celălalt. Energia (în jouli) eliberată în timpul coliziunii lor absolut inelastice este determinată de expresie Q = mv 2 sin 2 α. La ce unghi cel mai mic 2α (în grade) trebuie să se miște corpurile astfel încât cel puțin 50 de jouli să fie eliberați ca urmare a ciocnirii?
Soluţie. Pentru a rezolva problema, trebuie să rezolvăm inegalitatea Q ≥ 50, pe intervalul 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Deoarece α ∈ (0°; 90°), vom rezolva doar

Să reprezentăm grafic soluția inegalității:

Deoarece prin condiția α ∈ (0°; 90°), înseamnă 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Sarcina nr. 11- este tipic, dar se dovedește a fi dificil pentru elevi. Principala sursă de dificultate este construcția unui model matematic (întocmirea unei ecuații). Sarcina nr. 11 testează capacitatea de a rezolva probleme cu cuvinte.

Exemplul 11.În vacanța de primăvară, Vasya, în clasa a XI-a, a trebuit să rezolve 560 de probleme de practică pentru a se pregăti pentru examenul de stat unificat. Pe 18 martie, în ultima zi de școală, Vasya a rezolvat 5 probleme. Apoi în fiecare zi a rezolvat același număr de probleme mai multe decât în ​​ziua precedentă. Stabiliți câte probleme a rezolvat Vasya pe 2 aprilie, ultima zi de sărbători.

Soluţie: Să notăm A 1 = 5 – numărul de probleme pe care Vasya le-a rezolvat pe 18 martie, d– numărul zilnic de sarcini rezolvate de Vasya, n= 16 – numărul de zile din 18 martie până în 2 aprilie inclusiv, S 16 = 560 – numărul total de sarcini, A 16 – numărul de probleme pe care Vasya le-a rezolvat pe 2 aprilie. Știind că în fiecare zi Vasya a rezolvat același număr de probleme mai multe față de ziua precedentă, putem folosi formule pentru găsirea sumei progresie aritmetică:

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Răspuns: 65.

Sarcina nr. 12- testează capacitatea elevilor de a efectua operații cu funcții și de a putea aplica derivata studiului unei funcții.

Găsiți punctul maxim al funcției y= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Soluţie: 1) Găsiți domeniul de definiție al funcției: X + 9 > 0, X> –9, adică x ∈ (–9; ∞).

2) Aflați derivata funcției:

4) Punctul găsit aparține intervalului (–9; ∞). Să determinăm semnele derivatei funcției și să descriem comportamentul funcției în figură:

Punctul maxim dorit X = –8.

Descarcă gratuit programul de lucru la matematică pentru linia de materiale didactice G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Descărcați materiale didactice gratuite despre algebră

Sarcina nr. 13-nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat, testarea capacității de a rezolva ecuații, cea mai rezolvată cu succes dintre sarcinile cu un răspuns detaliat de un nivel crescut de complexitate.

a) Rezolvați ecuația 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului.

Soluţie: a) Fie log 3 (2cos X) = t, apoi 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log 3(2cos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		cos X =	4,5	⇔ pentru că |cos X| ≤ 1,
	log 3(2cos X) =	1			2cos X = √3			cos X =	√3
		2							2

apoi cos X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Aflați rădăcinile situate pe segmentul .

Figura arată că rădăcinile segmentului dat îi aparțin

11π	Și	13π	.
6		6

Răspuns: A)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Sarcina nr. 14-nivelul avansat se referă la sarcinile din partea a doua cu un răspuns detaliat. Sarcina testează capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice. Sarcina conține două puncte. În primul punct, sarcina trebuie dovedită, iar în al doilea punct, calculată.

Diametrul cercului bazei cilindrului este de 20, generatria cilindrului este de 28. Planul își intersectează baza de-a lungul coardelor de lungime 12 și 16. Distanța dintre coarde este de 2√197.

a) Demonstrați că centrele bazelor cilindrului se află pe o parte a acestui plan.

b) Aflați unghiul dintre acest plan și planul bazei cilindrului.

Soluţie: a) O coardă cu lungimea 12 se află la o distanță = 8 de centrul cercului de bază, iar o coardă cu lungimea 16, în mod similar, se află la o distanță de 6. Prin urmare, distanța dintre proiecțiile lor pe un plan paralel cu bazele cilindrilor este fie 8 + 6 = 14, fie 8 − 6 = 2.

Atunci distanța dintre acorduri este fie

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Conform condiției, a fost realizat al doilea caz, în care proiecțiile coardelor se află pe o parte a axei cilindrului. Aceasta înseamnă că axa nu intersectează acest plan în interiorul cilindrului, adică bazele se află pe o parte a acestuia. Ce trebuia dovedit.

b) Să notăm centrele bazelor ca O 1 și O 2. Să desenăm din centrul bazei cu o coardă de lungime 12 o bisectoare perpendiculară pe această coardă (are lungimea 8, după cum s-a menționat deja) și de la centrul celeilalte baze la cealaltă coardă. Ele se află în același plan β, perpendicular pe aceste coarde. Să numim punctul de mijloc al coardei mai mici B, coardei mai mari A și proiecția lui A pe a doua bază - H (H ∈ β). Atunci AB,AH ∈ β și deci AB,AH sunt perpendiculare pe coardă, adică dreapta de intersecție a bazei cu planul dat.

Aceasta înseamnă că unghiul necesar este egal cu

∠ABH = arctan	AH.	= arctan	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

Sarcina nr. 15- nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat, testează capacitatea de a rezolva inegalitățile, care este rezolvată cu cel mai bine dintre sarcinile cu un răspuns detaliat de un nivel crescut de complexitate.

Exemplul 15. Rezolvați inegalitatea | X 2 – 3X| jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Soluţie: Domeniul de definire al acestei inegalități este intervalul (–1; +∞). Luați în considerare trei cazuri separat:

1) Lasă X 2 – 3X= 0, adică X= 0 sau X= 3. În acest caz această inegalitate devine adevărată, prin urmare, aceste valori sunt incluse în soluție.

2) Lasă acum X 2 – 3X> 0, adică X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Mai mult, această inegalitate poate fi rescrisă ca ( X 2 – 3X) jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 și împărțiți cu o expresie pozitivă X 2 – 3X. Obținem jurnalul 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 sau X≤ –0,5. Ținând cont de domeniul definiției, avem X ∈ (–1; –0,5].

3) În sfârșit, să luăm în considerare X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). În acest caz, inegalitatea inițială va fi rescrisă sub forma (3 X – X 2) jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. După împărțirea la pozitiv 3 X – X 2, obținem log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Ținând cont de regiune, avem X ∈ (0; 1].

Combinând soluțiile obținute, obținem X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Răspuns: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Sarcina nr. 16- nivelul avansat se referă la sarcinile din partea a doua cu un răspuns detaliat. Sarcina testează capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice, coordonate și vectori. Sarcina conține două puncte. În primul punct, sarcina trebuie dovedită, iar în al doilea punct, calculată.

ÎN triunghi isoscel ABC cu un unghi de 120° la vârful A, este trasată o bisectoare BD. Dreptunghiul DEFH este înscris în triunghiul ABC, astfel încât latura FH se află pe segmentul BC, iar vârful E se află pe segmentul AB. a) Demonstrați că FH = 2DH. b) Aflați aria dreptunghiului DEFH dacă AB = 4.

Soluţie: A)

1) ΔBEF – dreptunghiular, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, apoi EF = BE prin proprietatea piciorului situat opus unghiului de 30°.

2) Fie EF = DH = X, atunci BE = 2 X, BF = X√3 conform teoremei lui Pitagora.

3) Deoarece ΔABC este isoscel, înseamnă ∠B = ∠C = 30˚.

BD este bisectoarea lui ∠B, ceea ce înseamnă ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Se consideră ΔDBH – dreptunghiular, deoarece DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Răspuns: 24 – 12√3.

Sarcina nr. 17- o sarcină cu un răspuns detaliat, această sarcină testează aplicarea cunoștințelor și abilităților în activități practice și viața de zi cu zi, capacitatea de a construi și explora modele matematice. Această sarcină este o problemă de text cu conținut economic.

Exemplul 17. Un depozit de 20 de milioane de ruble este planificat să fie deschis pentru patru ani. La sfârșitul fiecărui an, banca crește depozitul cu 10% față de mărimea acestuia la începutul anului. În plus, la începutul celui de-al treilea și al patrulea an, investitorul completează anual depozitul până la X milioane de ruble, unde X - întreg număr. Găsiți cea mai mare valoare X, în care banca va acumula mai puțin de 17 milioane de ruble la depozit pe parcursul a patru ani.

Soluţie: La sfârșitul primului an, contribuția va fi de 20 + 20 · 0,1 = 22 de milioane de ruble, iar la sfârșitul celui de-al doilea - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milioane de ruble. La începutul celui de-al treilea an, contribuția (în milioane de ruble) va fi (24,2 + X), iar la sfârșit - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). La începutul celui de-al patrulea an contribuția va fi (26,62 + 2,1 X), iar la sfârșit - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). După condiție, trebuie să găsiți cel mai mare număr întreg x pentru care inegalitatea este valabilă

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Cea mai mare soluție întreagă a acestei inegalități este numărul 24.

Răspuns: 24.

Sarcina nr. 18- o sarcină de un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat. Această sarcină este destinată selecției competitive în universități cu cerințe crescute pentru pregătirea matematică a candidaților. Exercițiu nivel inalt complexitate - această sarcină nu este despre utilizarea unei metode de soluție, ci despre o combinație diverse metode. Pentru a finaliza cu succes sarcina 18, pe lângă cunoștințe matematice solide, aveți nevoie și de un nivel înalt de cultură matematică.

La ce A sistem de inegalități

	X 2 + y 2 ≤ 2Ay – A 2 + 1
	y + A ≤ |X| – A

are exact doua solutii?

Soluţie: Acest sistem poate fi rescris sub formă

	X 2 + (y– A) 2 ≤ 1
	y ≤ |X| – A

Dacă desenăm în plan mulțimea soluțiilor primei inegalități, obținem interiorul unui cerc (cu graniță) de rază 1 cu centru în punctul (0, A). Mulțimea soluțiilor celei de-a doua inegalități este partea de plan aflată sub graficul funcției y = | X| – A, iar acesta din urmă este graficul funcției
y = | X| , deplasat în jos de A. Soluția acestui sistem este intersecția mulțimilor de soluții pentru fiecare dintre inegalități.

Prin urmare, două soluții acest sistem va avea numai în cazul prezentat în Fig. 1.

Punctele de contact ale cercului cu liniile vor fi cele două soluții ale sistemului. Fiecare dintre liniile drepte este înclinată față de axe la un unghi de 45°. Deci este un triunghi PQR– isoscel dreptunghiular. Punct Q are coordonatele (0, A), și punctul R– coordonate (0, – A). În plus, segmentele relatii cu publiculȘi PQ egală cu raza cercului egală cu 1. Aceasta înseamnă

Qr= 2A = √2, A =	√2	.
	2

Răspuns: A =	√2	.
	2

Sarcina nr. 19- o sarcină de un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat. Această sarcină este destinată selecției competitive în universități cu cerințe crescute pentru pregătirea matematică a candidaților. O sarcină de un nivel ridicat de complexitate este o sarcină nu pe utilizarea unei metode de soluție, ci pe o combinație de diferite metode. Pentru a finaliza cu succes sarcina 19, trebuie să puteți căuta o soluție prin alegere abordări diferite dintre cele cunoscute, modificând metodele studiate.

Lăsa Sn sumă P termenii unei progresii aritmetice ( a p). Se știe că S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Furnizați formula P al treilea termen al acestei progresii.

b) Aflați cea mai mică sumă absolută S n.

c) Găsiți cel mai mic P, la care S n va fi pătratul unui număr întreg.

Soluţie: a) Este evident că un n = S n – S n- 1 . Folosind această formulă, primim:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Mijloace, un n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Din moment ce S n = 2n 2 – 25n, apoi luați în considerare funcția S(X) = | 2X 2 – 25x|. Graficul său poate fi văzut în figură.

Evident, cea mai mică valoare este obținută în punctele întregi situate cel mai aproape de zerourile funcției. Evident, acestea sunt puncte X= 1, X= 12 și X= 13. Din moment ce, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, atunci cea mai mică valoare este 12.

c) Din paragraful precedent rezultă că Sn pozitiv, pornind de la n= 13. Din moment ce S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), atunci cazul evident, când această expresie este un pătrat perfect, se realizează când n = 2n– 25, adică la P= 25.

Rămâne de verificat valorile de la 13 la 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Se pare că pentru valori mai mici P nu se realizează un pătrat complet.

Răspuns: A) un n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Din mai 2017, grupul de edituri unite „DROFA-VENTANA” face parte din corporația Russian Textbook. Corporația include și editura Astrel și platforma educațională digitală LECTA. Director general l-a numit pe Alexander Brychkin, absolvent al Academiei Financiare din cadrul Guvernului Federației Ruse, Candidat în Științe Economice, șef al proiectelor inovatoare ale editurii DROFA în domeniul educației digitale (forme electronice de manuale, Școala electronică rusă, educație digitală). platforma LECTA). Înainte de a se alătura editurii DROFA, a ocupat funcția de vicepreședinte pentru dezvoltare strategică și investiții al holdingului editorial EKSMO-AST. Astăzi, Russian Textbook Publishing Corporation are cel mai mare portofoliu de manuale incluse Lista federală- 485 de titluri (aproximativ 40%, excluzând manualele pentru şcoală corecţională). Editurile corporației dețin cele mai populare scoli rusesti seturi de manuale de fizică, desen, biologie, chimie, tehnologie, geografie, astronomie - domenii de cunoaștere care sunt necesare pentru dezvoltarea potențialului de producție al țării. Portofoliul corporației include manuale și mijloace didactice Pentru școală primară, distins cu Premiul Prezidenţial în domeniul educaţiei. Acestea sunt manuale și manuale în domenii care sunt necesare pentru dezvoltarea potențialului științific, tehnic și de producție al Rusiei.