Cercetarea funcției.
1) D(y) - Domeniul definiției: mulțimea tuturor acelor valori ale variabilei x. sub care expresiile algebrice f(x) și g(x) au sens.
Dacă funcția este dată de o formulă, atunci domeniul de definiție constă din toate valorile variabilei independente pentru care formula are sens.
2) Proprietățile funcției: par/impar, periodicitate:
ciudatși chiar se numesc functii ale caror grafice au simetrie fata de modificarea semnului argumentului.
funcţie ciudată- o funcție care schimbă valoarea la opus când semnul variabilei independente se modifică (simetric față de centrul coordonatelor).
Chiar și funcție- o funcție care nu își schimbă valoarea atunci când semnul variabilei independente se modifică (simetric față de axa y).
Nici funcție pară, nici impară (funcţie vedere generala) este o funcție care nu are simetrie. Această categorie include funcții care nu se încadrează în cele 2 categorii anterioare.
Sunt numite funcții care nu aparțin niciunei dintre categoriile de mai sus nici par, nici impar(sau funcții generice).
Funcții ciudate
O putere impară unde este un număr întreg arbitrar.
Chiar și funcții
O putere pară în care este un număr întreg arbitrar.
Funcția periodică este o funcție care își repetă valorile la un interval regulat al argumentului, adică nu își schimbă valoarea atunci când un număr fix diferit de zero este adăugat la argument ( perioadă funcții) pe întregul domeniu de definire.
3) Zerourile (rădăcinile) unei funcții sunt punctele în care aceasta dispare.
Aflarea punctului de intersecție a graficului cu axa Oi. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați valoarea f(0). Găsiți și punctele de intersecție ale graficului cu axa Bou, de ce găsiți rădăcinile ecuației f(X) = 0 (sau asigurați-vă că nu există rădăcini).
Se numesc punctele în care graficul intersectează axa zerouri ale funcției. Pentru a găsi zerourile funcției, trebuie să rezolvați ecuația, adică să găsiți acele valori x, pentru care funcția dispare.
4) Intervale de constanță a semnelor, semne în ele.
Intervale în care funcția f(x) își păstrează semnul.
Intervalul de constanță este intervalul în fiecare punct în care funcția este pozitivă sau negativă.
DEAsupra axei x.
SUB axa.
5) Continuitate (puncte de discontinuitate, caracter de discontinuitate, asimptote).
functie continua- o funcție fără „sărituri”, adică una în care mici modificări ale argumentului duc la mici modificări ale valorii funcției.
Puncte de întrerupere amovibile
Dacă limita funcţiei există, dar funcția nu este definită în acest moment sau limita nu se potrivește cu valoarea funcției în acest moment:
,
atunci punctul este numit punct de rupere funcții (în analiza complexă, un punct singular detașabil).
Dacă „corectăm” funcția în punctul unei discontinuități detașabile și punem 
, atunci obținem o funcție care este continuă în acest punct. O astfel de operație asupra unei funcții este numită extinderea funcției la continuu sau extinderea funcţiei prin continuitate, care justifică numele punctului, ca puncte de unică folosință decalaj.
Puncte de discontinuitate de primul și al doilea fel
Dacă funcția are o discontinuitate într-un punct dat (adică limita funcției într-un punct dat este absentă sau nu coincide cu valoarea funcției într-un punct dat), atunci pentru funcțiile numerice există două opțiuni posibile legate de existenţa funcţiilor numerice limite unilaterale:
dacă ambele limite unilaterale există și sunt finite, atunci se numește un astfel de punct punct de rupere de primul fel. Punctele de discontinuitate amovibile sunt puncte de discontinuitate de primul fel;
dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale nu există sau nu este o valoare finită, atunci un astfel de punct se numește punct de rupere de al doilea fel.
Asimptotă - Drept, care are proprietatea că distanța de la un punct al curbei până la acesta Drept tinde spre zero pe măsură ce punctul se deplasează de-a lungul ramificației la infinit.
vertical
Asimptotă verticală - linie limită 
.
De regulă, atunci când se determină asimptota verticală, ei caută nu o limită, ci două unilaterale (stânga și dreapta). Acest lucru se face pentru a determina modul în care funcția se comportă pe măsură ce se apropie de asimptota verticală din direcții diferite. De exemplu:
Orizontală
asimptotă orizontală - Drept specii, supuse existenţei limită
.
oblic
asimptotă oblică - Drept specii, supuse existenţei limite
Notă: O funcție nu poate avea mai mult de două asimptote oblice (orizontale).
Notă: dacă cel puțin una dintre cele două limite menționate mai sus nu există (sau este egală cu ), atunci asimptota oblică la (sau ) nu există.
dacă la punctul 2.), atunci , iar limita este găsită prin formula asimptotă orizontală, 
.
6) Găsirea intervalelor de monotonitate. Găsiți intervalele de monotonitate ale unei funcții f(X) (adică intervale de creștere și scădere). Acest lucru se face prin examinarea semnului derivatei f(X). Pentru a face acest lucru, găsiți derivata f(X) și rezolvați inegalitatea f(X)0. Pe intervalele în care această inegalitate este satisfăcută, funcția f(X) crește. Acolo unde este valabilă inegalitatea inversă f(X)0, funcţia f(X) scade.
Găsirea unui extremum local. După ce am găsit intervalele de monotonitate, putem determina imediat punctele unui extremum local în care creșterea este înlocuită cu o scădere, există maxime locale și unde scăderea este înlocuită cu o creștere, minime locale. Calculați valoarea funcției în aceste puncte. Dacă o funcție are puncte critice care nu sunt puncte extreme locale, atunci este util să se calculeze valoarea funcției și în aceste puncte.
Găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției y = f(x) pe un segment(continuare)
|
1. Aflați derivata unei funcții: f(X). 2. Găsiți punctele în care derivata este zero: f(X)=0X 1, X 2 ,... 3. Determinați proprietatea punctelor X 1 ,X 2 , … segment [ A; b]: lăsa X 1A;b, A X 2A;b . |
chiar, dacă pentru toate \(x\) din domeniul său este adevărată: \(f(-x)=f(x)\) .
Graficul unei funcții pare este simetric față de axa \(y\):
Exemplu: funcția \(f(x)=x^2+\cos x\) este pară, deoarece \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Se apelează funcția \(f(x)\). ciudat, dacă pentru toate \(x\) din domeniul său este adevărată: \(f(-x)=-f(x)\) .
Graficul unei funcții impare este simetric față de origine:
Exemplu: funcția \(f(x)=x^3+x\) este impară deoarece \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Funcțiile care nu sunt nici pare, nici impare se numesc funcții generice. O astfel de funcție poate fi întotdeauna reprezentată în mod unic ca suma unei funcții par și impare.
De exemplu, funcția \(f(x)=x^2-x\) este suma unei funcții pare \(f_1=x^2\) și a unei funcții impare \(f_2=-x\) .
\(\blacktriangleright\) Unele proprietăți:
1) Produsul și câtul a două funcții cu aceeași paritate - chiar funcția.
2) Produsul și câtul a două funcții de paritate diferită este o funcție impară.
3) Suma și diferența funcțiilor pare este o funcție pare.
4) Suma și diferența funcțiilor impare este o funcție impară.
5) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară, atunci ecuația \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) are o rădăcină unică dacă și numai dacă, când \(x =0\) .
6) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară sau impară, iar ecuația \(f(x)=0\) are o rădăcină \(x=b\) , atunci această ecuație va avea în mod necesar o a doua rădăcină \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) O funcție \(f(x)\) se numește periodică pe \(X\) dacă pentru un număr \(T\ne 0\) avem \(f(x)=f(x+). T) \) , unde \(x, x+T\in X\) . Cea mai mică \(T\) , pentru care această egalitate este valabilă, se numește perioada principală (de bază) a funcției.
O funcție periodică are orice număr de forma \(nT\) , unde \(n\in \mathbb(Z)\) va fi, de asemenea, o perioadă.
Exemplu: oricare functie trigonometrica este periodică;
funcțiile \(f(x)=\sin x\) și \(f(x)=\cos x\) perioada principala este egal cu \(2\pi\) , perioada principală a funcțiilor \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) și \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x \) este \ (\pi\) .
Pentru a reprezenta o funcție periodică, puteți reprezenta graficul acesteia pe orice segment de lungime \(T\) (perioada principală); apoi graficul întregii funcții este completat prin deplasarea părții construite cu un număr întreg de perioade la dreapta și la stânga:
\(\blacktriangleright\) Domeniul \(D(f)\) al funcției \(f(x)\) este mulțimea formată din toate valorile argumentului \(x\) pentru care funcția are sens (este definit).
Exemplu: funcția \(f(x)=\sqrt x+1\) are un domeniu de definiție: \(x\in
Sarcina 1 #6364
Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat
Pentru ce valori ale parametrului \(a\) ecuația
Are singura decizie?
Rețineți că, deoarece \(x^2\) și \(\cos x\) sunt funcții pare, dacă ecuația are o rădăcină \(x_0\) , va avea și o rădăcină \(-x_0\) .
Într-adevăr, fie \(x_0\) o rădăcină, adică egalitatea \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) dreapta. Înlocuiește \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Astfel, dacă \(x_0\ne 0\) , atunci ecuația va avea deja cel puțin două rădăcini. Prin urmare, \(x_0=0\) . Apoi:
Avem două valori ale parametrilor \(a\). Rețineți că am folosit faptul că \(x=0\) este exact rădăcina ecuației originale. Dar nu am folosit niciodată faptul că el este singurul. Prin urmare, este necesar să înlocuiți valorile rezultate ale parametrului \(a\) în ecuația originală și să verificați pentru care exact \(a\) rădăcina \(x=0\) va fi într-adevăr unică.
1) Dacă \(a=0\) , atunci ecuația va lua forma \(2x^2=0\) . Evident, această ecuație are o singură rădăcină \(x=0\) . Prin urmare, valoarea \(a=0\) ni se potrivește.
2) Dacă \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , atunci ecuația ia forma \ Rescriem ecuația sub forma \ pentru că \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), apoi \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Prin urmare, valorile părții drepte a ecuației (*) aparțin intervalului \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Deoarece \(x^2\geqslant 0\) , atunci partea stângă a ecuației (*) este mai mare sau egală cu \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Astfel, egalitatea (*) poate fi valabilă numai atunci când ambele părți ale ecuației sunt egale cu \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Și asta înseamnă că \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Prin urmare, valoarea \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ni se potrivește.
Răspuns:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Sarcina 2 #3923
Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat
Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre acestea graficul funcției \
simetric fata de origine.
Dacă graficul funcției este simetric față de origine, atunci o astfel de funcție este impară, adică \(f(-x)=-f(x)\) este satisfăcută pentru orice \(x\) din domeniul funcției. Astfel, este necesar să se găsească acele valori ale parametrilor pentru care \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aliniat)\]
Ultima ecuație trebuie să fie valabilă pentru toate \(x\) din domeniul \(f(x)\), deci \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Răspuns:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Sarcina 3 #3069
Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat
Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \ are 4 soluții, unde \(f\) este o funcție periodică pară cu perioadă \(T=\dfrac(16)3\) definit pe întreaga linie reală și \(f(x)=ax^2\) pentru \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(sarcină de la abonați)
Deoarece \(f(x)\) este o funcție pară, graficul său este simetric față de axa y, prin urmare, atunci când \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Astfel, la \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), iar acesta este un segment de lungime \(\dfrac(16)3\) , funcția \(f(x)=ax^2\) .
1) Fie \(a>0\) . Apoi graficul funcției \(f(x)\) va arăta astfel: 
Atunci, pentru ca ecuația să aibă 4 soluții, este necesar ca graficul \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) să treacă prin punctul \(A\) : 
Prin urmare, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(aliniat) \end(adunat)\dreapta. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( adunat)\ corect.\] Deoarece \(a>0\) , atunci \(a=\dfrac(18)(23)\) este bine.
2) Fie \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Avem nevoie de graficul \(g(x)\) pentru a trece prin punctul \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aliniat) \end(adunat)\right.\] Din moment ce \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Cazul în care \(a=0\) nu este potrivit, deoarece atunci \(f(x)=0\) pentru toate \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) și The ecuația va avea doar 1 rădăcină.
Răspuns:
\(a\în \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
Sarcina 4 #3072
Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat
Găsiți toate valorile \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \
are cel puțin o rădăcină.
(sarcină de la abonați)
Rescriem ecuația sub forma \
și luați în considerare două funcții: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) și \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funcția \(g(x)\) este pară, are un punct minim \(x=0\) (și \(g(0)=49\) ).
Funcția \(f(x)\) pentru \(x>0\) este descrescătoare, iar pentru \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Într-adevăr, pentru \(x>0\) al doilea modul se extinde pozitiv (\(|x|=x\) ), prin urmare, indiferent de modul în care se extinde primul modul, \(f(x)\) va fi egal cu \ ( kx+A\) , unde \(A\) este o expresie din \(a\) , iar \(k\) este egal fie cu \(-9\) fie cu \(-3\) . Pentru \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Găsiți valoarea \(f\) în punctul maxim: \ 
Pentru ca ecuația să aibă cel puțin o soluție, este necesar ca graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) să aibă cel puțin un punct de intersecție. Prin urmare, aveți nevoie de: \ \\]
Răspuns:
\(a\în \(-7\)\cup\)
Sarcina 5 #3912
Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat
Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \
are șase soluții diferite.
Să facem înlocuirea \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Apoi ecuația va lua forma \
Vom scrie treptat condițiile în care ecuația inițială va avea șase soluții.
Rețineți că ecuația pătratică \((*)\) poate avea cel mult două soluții. Orice ecuație cubică \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) nu poate avea mai mult de trei soluții. Prin urmare, dacă ecuația \((*)\) are două soluții diferite (pozitive!, deoarece \(t\) trebuie să fie mai mare decât zero) \(t_1\) și \(t_2\) , atunci, făcând inversul substituție, obținem: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta.\] Deoarece orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca \(\sqrt2\) într-o anumită măsură, de exemplu, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), atunci prima ecuație a mulțimii va fi rescrisă sub formă \
După cum am spus deja, orice ecuație cubică nu are mai mult de trei soluții, prin urmare, fiecare ecuație din mulțime nu va avea mai mult de trei soluții. Aceasta înseamnă că întregul set nu va avea mai mult de șase soluții.
Aceasta înseamnă că pentru ca ecuația inițială să aibă șase soluții, ecuația pătratică \((*)\) trebuie să aibă două soluții diferite, iar fiecare ecuație cubică rezultată (din mulțime) trebuie să aibă trei soluții diferite (și nu o singură soluție). soluția unei ecuații ar trebui să coincidă cu care - sau prin decizia celei de-a doua!)
Evident, dacă ecuația pătratică \((*)\) are o singură soluție, atunci nu vom obține șase soluții pentru ecuația inițială.
Astfel, planul de soluție devine clar. Să scriem punct cu punct condițiile care trebuie îndeplinite.
1) Pentru ca ecuația \((*)\) să aibă două soluții diferite, discriminantul ei trebuie să fie pozitiv: \
2) De asemenea, avem nevoie ca ambele rădăcini să fie pozitive (pentru că \(t>0\) ). Dacă produsul a două rădăcini este pozitiv și suma lor este pozitivă, atunci rădăcinile în sine vor fi pozitive. Prin urmare, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Astfel, ne-am furnizat deja două rădăcini pozitive distincte \(t_1\) și \(t_2\) .
3)
Să ne uităm la această ecuație \
Pentru ce \(t\) va avea trei soluții diferite? Astfel, am stabilit că ambele rădăcini ale ecuației \((*)\) trebuie să se afle în intervalul \((1;4)\) . Cum se scrie această condiție? avea patru rădăcini diferite de zero, reprezentând împreună cu \(x=0\) o progresie aritmetică. Rețineți că funcția \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) este pară, deci dacă \(x_0\) este rădăcina ecuației \((* )\ ) , atunci \(-x_0\) va fi și rădăcină. Atunci este necesar ca rădăcinile acestei ecuații să fie numere ordonate crescător: \(-2d, -d, d, 2d\) (atunci \(d>0\) ). Atunci aceste cinci numere vor forma o progresie aritmetică (cu diferența \(d\) ). Pentru ca aceste rădăcini să fie numerele \(-2d, -d, d, 2d\) , este necesar ca numerele \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) să fie rădăcinile lui ecuația \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Apoi, după teorema lui Vieta: Rescriem ecuația sub forma \
și luați în considerare două funcții: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) și \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Pentru ca ecuația să aibă cel puțin o soluție, este necesar ca graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) să aibă cel puțin un punct de intersecție. Prin urmare, aveți nevoie de: \
Rezolvând acest set de sisteme, obținem răspunsul: \\]
Răspuns: \(a\în \(-2\)\cup\) Dependența variabilei y de variabila x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y se numește funcție. Notația este y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele. Luați în considerare proprietatea de paritate mai detaliat. O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții: 2. Valoarea funcției la punctul x aparținând domeniului funcției trebuie să fie egală cu valoarea funcției la punctul -x. Adică, pentru orice punct x, din domeniul funcției, următoarea egalitate f (x) \u003d f (-x) trebuie să fie adevărată. Dacă construiți un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa y. De exemplu, funcția y=x^2 este pară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O. Luați un x=3 arbitrar. f(x)=3^2=9. f(-x)=(-3)^2=9. Prin urmare, f(x) = f(-x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este egală. Mai jos este un grafic al funcției y=x^2. Figura arată că graficul este simetric față de axa y. O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții: 1. Domeniul funcției date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică dacă un punct a aparține domeniului funcției, atunci punctul corespunzător -a trebuie să aparțină și domeniului funcției date. 2. Pentru orice punct x, din domeniul funcției, trebuie îndeplinită următoarea egalitate f (x) = -f (x). Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea. De exemplu, funcția y=x^3 este impară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O. Luați un x=2 arbitrar. f(x)=2^3=8. f(-x)=(-2)^3=-8. Prin urmare f(x) = -f(x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^3. Figura arată clar că funcția impară y=x^3 este simetrică față de origine. Care, într-o măsură sau alta, vă erau familiare. De asemenea, s-a remarcat acolo că stocul de proprietăți funcționale va fi completat treptat. Două proprietăți noi vor fi discutate în această secțiune. Definiția 1. Funcția y \u003d f (x), x є X, este numită chiar dacă pentru orice valoare x din mulțimea X, egalitatea f (-x) \u003d f (x) este adevărată. Definiția 2. Funcția y \u003d f (x), x є X, se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțimea X, egalitatea f (-x) \u003d -f (x) este adevărată. Demonstrați că y = x 4 este o funcție pară. Soluţie. Avem: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Dar (-x) 4 = x 4 . Prin urmare, pentru orice x, egalitatea f (-x) = f (x), i.e. funcția este egală. În mod similar, se poate demonstra că funcțiile y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 sunt pare. Demonstrați că y = x 3 este o funcție impară. Soluţie. Avem: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Dar (-x) 3 = -x 3 . Prin urmare, pentru orice x, egalitatea f (-x) \u003d -f (x), adică. functia este impara. În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sunt impare. Tu și cu mine ne-am convins în mod repetat că termenii noi din matematică au cel mai adesea o origine „pământească”, adică. ele pot fi explicate într-un fel. Acesta este cazul atât pentru funcțiile pare, cât și pentru cele impare. Vezi: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sunt funcții impare, în timp ce y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sunt funcții pare. Și, în general, pentru orice funcție de forma y \u003d x "(mai jos vom studia în mod specific aceste funcții), unde n este un număr natural, putem concluziona: dacă n este un număr impar, atunci funcția y \u003d x " este ciudat; dacă n este un număr par, atunci funcția y = xn este pară. Există și funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel, de exemplu, este funcția y \u003d 2x + 3. Într-adevăr, f (1) \u003d 5 și f (-1) \u003d 1. După cum puteți vedea, aici, prin urmare, nici identitatea f (-x ) \u003d f ( x), nici identitatea f(-x) = -f(x). Deci, o funcție poate fi pară, impară sau niciuna. Studiul întrebării dacă o funcție dată este pară sau impară se numește de obicei studiul funcției pentru paritate. Definițiile 1 și 2 se referă la valorile funcției în punctele x și -x. Aceasta presupune că funcția este definită atât în punctul x, cât și în punctul -x. Aceasta înseamnă că punctul -x aparține domeniului funcției în același timp cu punctul x. Dacă o mulțime numerică X împreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus -x, atunci X se numește mulțime simetrică. Să presupunem (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sunt mulțimi simetrice, în timp ce )
Se consideră funcția \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Poate fi multiplicat: \
Prin urmare, zerourile sale sunt: \(x=-1;2\) .
Dacă găsim derivata \(f"(x)=3x^2-6x\) , atunci obținem două puncte extreme \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Prin urmare, graficul arată astfel: 
Vedem că orice linie orizontală \(y=k\) , unde \(0
Astfel, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
De asemenea, să observăm imediat că, dacă numerele \(t_1\) și \(t_2\) sunt diferite, atunci numerele \(\log_(\sqrt2)t_1\) și \(\log_(\sqrt2)t_2\) vor fie diferit, deci ecuațiile \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)și \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) va avea rădăcini diferite.
Sistemul \((**)\) poate fi rescris astfel: \[\begin(cases) 1
Nu vom scrie în mod explicit rădăcinile.
Se consideră funcția \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Graficul său este o parabolă cu ramuri în sus, care are două puncte de intersecție cu axa absciselor (am scris această condiție în paragraful 1)). Cum ar trebui să arate graficul, astfel încât punctele de intersecție cu axa absciselor să fie în intervalul \((1;4)\)? Asa de: 
În primul rând, valorile \(g(1)\) și \(g(4)\) ale funcției în punctele \(1\) și \(4\) trebuie să fie pozitive, iar în al doilea rând, vârful parabola \(t_0\ ) trebuie să fie și ea în intervalul \((1;4)\) . Prin urmare, sistemul poate fi scris: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Funcția \(g(x)\) are un punct maxim \(x=0\) (și \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivată zero: \(x=0\) . Pentru \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , pentru \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Funcția \(f(x)\) pentru \(x>0\) este în creștere, iar pentru \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Într-adevăr, pentru \(x>0\) primul modul se extinde pozitiv (\(|x|=x\) ), prin urmare, indiferent de modul în care se extinde al doilea modul, \(f(x)\) va fi egal cu \ ( kx+A\) , unde \(A\) este o expresie din \(a\) , iar \(k\) este fie \(13-10=3\) fie \(13+10=23\) . Pentru \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Să găsim valoarea \(f\) în punctul minim: \
Graficul unei funcții pare
Graficul unei funcții impare
