Problema calculării numărului de bilete norocoase este cunoscută de mult. A fost solicitat pentru aproape orice student de programare de învățare. Pe Internet, puteți găsi multe dintre soluțiile sale în diferite limbaje de programare. Toate aceste opțiuni se rezumă la sortarea tuturor biletelor existente și la verificarea „norocului”. Se pare că există un milion de opțiuni.
Dar această problemă poate fi rezolvată într-un alt mod, trecând prin doar o mie de opțiuni.
Permiteți-mi să vă reamintesc că biletele sunt norocoase dacă suma primelor trei cifre ale numărului este egală cu suma ultimelor trei cifre ale numărului. De exemplu, un bilet cu numărul „546780” este norocos, deoarece suma primelor trei cifre (5 + 4 + 6) este egală cu suma ultimelor trei cifre (7 + 8 + 0). Provocarea este de a determina câte bilete norocoase există.
În toate exemplele, se rezolvă direct, dar dacă mergem în altă direcție? Mai întâi, să răspundem la o altă întrebare. Câte combinații diferite de trei numere (triplete) există care se adună n? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să sortați toate tripleții posibile (o mie de opțiuni).
Suma oricăror tripleți este între zero (0 + 0 + 0) și 27 (9 + 9 + 9). Prin urmare, se poate pregăti o serie de sume:
{n _0, n _1, n _2, n _3, …., n _25, n _26, n _27}
Unde n _ i- numărul de tripleți care dă în sumă i... În acest caz, suma cifrelor este egală cu indicele acestui element din matrice.
Bine, vom pregăti o matrice ca aceasta, dar ce legătură are asta cu biletele? Să luăm în considerare un caz special. Din toate există n _25 triple dând un total de 25. Pentru fiecare astfel de triplet, există n _25 tripleți, atunci când sunt combinați cu fiecare dintre care obțineți un număr norocos. Prin urmare, există n _25*n _25 bilete norocoase, a căror suma primelor trei cifre este 25. La fel și pentru alte sume. Astfel, numărul total de bilete norocoase este:
n _0*n _0 + n _1*n _1 + …. + n _26*n _26 + n _27*n _27
Mai jos este codul sursă complet al aplicației care implementează acest algoritm.
#include
Codul este bine comentat, așa că nu ar trebui să fie întrebări.
Dacă te uiți la șirul de sume, poți face două observații.
1. Este simetric:
n_13 = n_14,
n_12 = n_15,
n_11 = n_16,
n_10 = n_17,
………………
n _1 = n _26,
n _0 = n _27.
2. Cel mai mult există bilete, a căror suma primelor trei cifre este 13 și 14 (sunt 75).
O serie de sume de 28 de elemente este pregătită într-o iterație de tripleți. Prin urmare, pentru a număra numărul de bilete norocoase, este suficient să enumerăm 1000 de opțiuni.
Majoritatea studenților știu bine ce este un „bilet norocos”. Și deseori și școlari. Adevărat, ce sunt exact ele și ce să faci cu ele - aici opiniile diferă cel mai adesea.
în primul rând, „fericit ca student” se ia în considerare un bilet, răspunsurile la care le cunoașteți. Nici măcar să nu te duci la bunica ta aici - ai avut noroc la examen, ai scos un bilet norocos și l-ai promovat prima dată, deși ai reușit să înveți doar aceste două din o sută de întrebări. Da, a răspuns atât de vioi, încât profesorul, obosit de „să se plângă și blând”, nici nu te-a ascultat până la capăt – te-a trimis cu A în carnetul de înregistrare și cu instrucțiuni către restul: „Uite! învață să iei un subiect! Ia un exemplu de la acest om bun!"
asta am inteles eu... "bilet fericit"!
Dar există bilete, sunt și bilete de călătorie, care sunt considerate fie fericite, fie frumoase. Al doilea este extrem de rar. Cel mai adesea sunt numiți „fericiți”! Ce fel de bilete sunt considerate ca atare?
În primul rând, și acesta este un caz extrem de rar, un bilet este considerat norocos dacă numerele sale sunt aceleași sau sunt aranjate simetric.
De exemplu: 555555
sau 252252
... Există o simetrie completă.
Dar simetria este incompletă sau asemănătoare oglinzii. De exemplu astfel: 251251
- aici numerele sunt dispuse simetric, dar numerele nu.
În orice caz, exemplele de mai sus sunt cu adevărat "fericit" bilete. Sunt mulți dintre ei? Ei bine, cred că poți număra cu ușurință asta foarte, foarte puțin - de la o mie la un milion, sau fiecare mie de bilet. Probabilitatea ca un astfel de bilet să cadă în mâinile unui pasager este extrem de mică. Până acum, doar două astfel de bilete mi-au căzut în viața mea, deși călătoresc destul de des cu transportul public,
Vrei fericire? Prin urmare, pasagerii ciudați și iute la minte în plictiseala drumului au venit imediat cu alte opțiuni pentru „fericire”. De exemplu, doar aceleași cifre dintr-un număr, fără o anumită ordine: 251521
, De exemplu. Nu există simetrie aici, dar toate numerele sunt prezente. Mai departe mai mult. Un bilet era considerat norocos dacă suma tripleților era aceeași. De exemplu, 474195:
4+7+4=15= 1+9+5
1. Exemple de bilete, "noroc ca cantitate":
Din nou, toată lumea știe că astfel de bilete se găsesc, deși nu în fiecare zi, dar totuși destul de des. Aproximativ fiecare al 18-lea bilet este „norocos ca valoare”. Și dacă călătorești constant, atunci se întâlnesc cel puțin o dată pe săptămână. Odată am făcut un mic experiment: nu le-am aruncat, ci am pus aceste bilete în buzunarul geantă pentru a le număra la sfârșitul lunii. A fost demult, nu-mi amintesc exact câte, dar aveam cel puțin zece pe lună. Având în vedere că folosesc transportul municipal în medie de două-trei ori pe zi (în restul timpului folosesc microbuze, iar din anumite motive nu emitem bilete acolo), se dovedește că fiecare 6-9 călătorii este „recompensă” cu o fericire atât de simplă... Ei bine, sau un bilet la trei zile. Dar asta, vezi tu, tocmai am avut o lună norocoasă, pentru că fiecare al 18-lea bilet ar trebui să apară, parcă, mai rar.
Într-adevăr, sunt momente când într-o lună nu va fi prins nici unul. Deci ce faci? Și nevoia de invenție este vicleană. De exemplu, există bilete, „fericit la Moscova”(sunt - "la Leningrad") - atunci nu se numără tripletele de cifre, ci perechile lor. De exemplu, suma fiecărui număr par cu numere impare: 6 3
49
86
.
Aici:
3+9+6= 18= 6+4+8
Ce parere aveti, este posibil, pe langa plus, sa folositi operatiunea scădere? Sigur ca poti! Principalul lucru este să decideți singur cum să scădeți - în ordine sau de la mai mult la mai puțin: 720821 ... Aici:
7-2-0=5= 8-2-1
Dar... nu este obișnuit ca noi să „scădem cumva fericirea”. Mai bine când se adaugă sau chiar se înmulțește!
Prin urmare, am venit cu un alt tip de bilete norocoase pentru mine: „Fericiți să mă înmulțesc”!
Este suficient să înmulți numerele în trei pentru a obține un plus "multiplicator" Veselie. De exemplu: 338924.
Aici:
3*3*8=72= 9*2*4
Folosește-l pentru sănătatea ta! Și atunci de ce rezumați totul și rezumați... De asemenea, puteți înmulți!
Upd: În plus, nu poți doar să înmulți! Aici, în comentarii docbrowns a observat că și tu poți ridica la o putere! de exemplu 261812 :
(2^6)^1 = 64 = (8^1)^2
Și asta de multe ori crește atât șansele de a „găsi fericirea”, cât și amuzamentul călătoriei.
2. Un exemplu de bilet, „fericit în înmulțire” a la: 
Dacă utilizați transportul public, priviți mai atent pasagerii. Foarte, foarte des poți vedea cum, atunci când primesc un bilet, încep să-i studieze numerele. Toată lumea caută fericirea... Și atunci ce să faci cu ea? Odată am auzit o conversație între două fete care urmau să testeze: "Uau! Am un bilet norocos!" a exclamat unul. "Mânca-l! Atunci vei trece testul !!!" al doilea răspunse imediat. Într-adevăr, râdeam. Mai bine ei sperau să fie fericit "ca student" biletul pe care l-am menționat la început. Și chiar mai bine - astfel încât toate cele cincizeci de bilete de curs să fie fericite pentru ele. Dar... preferă să mănânce căruciorul decât să învețe prelegerea.
Baieti! Nu este nevoie să mănânci cupoane! Nici măcar nu este utilă deloc. Și nu vă va aduce fericire. Tratează mai ușor biletele norocoase - o singură dată s-a îndrăgostit de tine, atunci fericirea nu va veni, nu - tu deja fericit sau, mai simplu, norocos Uman! Asta e tot. Acesta este doar un motiv pentru a vă îmbunătăți ușor starea de spirit. Nu credeți în prevestiri - sunt departe de a se baza întotdeauna pe fapte și, de multe ori, pot aduce și rău, mai ales dacă începeți să mâncați flori cu patru foi din pământ sau cupoane de hârtie din materiale reciclate și în autobuz! Ca în gluma aceea: Am mâncat un bilet norocos, iar apoi fericirea a căzut - a intrat controlorul!
Tratați „biletele norocoase” ca pe o modalitate de a vă petrece timpul călătoriei cu exerciții de aritmetică și ca pe un motiv suplimentar de a vă bucura de el.
Apropo, pentru tatici și mamici, rețineți: este foarte util să le spuneți copiilor despre astfel de exerciții. La școală nu prea le place numărarea verbală, așa că chiar dacă se distrează în troleibuze, adunând sau înmulțind numere. Nici pe adulți nu le va strica: atât în succesiune, cât și una după alta, stăpânirea conceptelor de paritate, simetrie, multiplicitate... Și vă puteți aminti și despre scăderea cu împărțire. În orice caz, astfel de sarcini distractive nu vor dăuna dezvoltării copilului.
Iar dacă ai ghinion cu un bilet – nu te descuraja! Sunt atât de multe mașini cu „numere norocoase” care circulă pe stradă!
Mult succes si fericire!
„Bilet fericit”
Mergem cu toții la transport. În drum spre serviciu, acasă, spre odihnă și
etc. Și foarte des cumpărăm un bilet de călătorie, care în majoritatea
cazuri un număr de șase cifre. Adăugarea primelor trei cifre ale numărului de bilet și
comparându-le cu suma celorlalte trei cifre, definim „fericirea”
a acestui bilet. Cu numărul „norocos” totul este mai mult sau mai puțin clar și
majoritatea oamenilor stiu. Dar alte numere diferite de zero? Este clar că
diferența de numere variază de la 0 la 27. Așa s-a născut această tabletă...
Acțiunea biletului este banală (apropo, nu este necesar să-l aveți deloc!) -
biletul este valabil 24 de ore din momentul activării sau până la cumpărare
următorul bilet cu un număr fără sens. Activarea biletului
apare după numărarea numărului și conștientizarea semnificației acestuia – deci
spune un ritual magic.
(Notă: dacă următorul bilet are o valoare independentă și
cea precedentă nu s-a stins încă – o valoare se suprapune peste alta. Bine,
de exemplu - ai luat un bilet cu o diferență de numere = 1 = - ceea ce înseamnă
Data. Ne-am mutat într-un alt transport, fără să întâlnim pe cineva cunoscut -
adică biletul este încă activ și nu a fost „declanșat”. Am luat un bilet nou - și la
diferența lui de numere = 7 = - adică tei. Deci ce sau ce se poate întâmpla
două evenimente sau se contopesc într-unul singur - la o dată pe care încă o primești
știri („Sunt însărcinată!” – glumă...). Și așa mai departe. Combinatii de
secvențele de trei numere nu au fost testate de autori - nu există mari
date statistice atunci când conduceți cu trei transferuri - o raritate,
a intelege).
Această schemă este determinată empiric. Ca în orice experiment
de fapt, erorile sunt posibile. Trimiteți observațiile dvs. și o vor face
luate in calcul data viitoare.
Diferența numerelor Sens Interpretare
0 Noroc Orice afacere planificată se va termina cu bine sau o vei termina tu
ceva este clar norocos.
1 Întâlnire Veți întâlni o persoană pe care veți fi bucuroși să o vedeți (întâlnire
personal, nu pentru serviciu).
2 Întâlnire Aveți o întâlnire de afaceri.
3 Repetare Ceva trebuie repetat, altfel nu va funcționa.
4 Avertisment Fii atent! Astăzi s-ar putea să întârzii la obiect
destinaţie! Nu vă relaxați și totul va avea succes. Dar dacă stai cu gura căscată -
sosire târzie garantată!
5 Plăcut O întâlnire sau un eveniment plăcut îți va îmbunătăți starea de spirit!
6 Probleme O întâlnire sau un eveniment neplăcut vă poate distruge
starea de spirit. Nu vă faceți griji prea mult!
7 Știri Veți primi vești de la cineva!
8 Haos Ceva astăzi nu va putea să crească împreună, să se acopere, să se termine...
9 Închiderea Unele afaceri începute astăzi vor fi închise complet.
10 Noțiuni de bază Astăzi veți începe un nou proiect sau vă va răsări un nou gând,
idee.
11 Mergeți bine, sau un blocaj de trafic, sau trebuie doar să faceți o plimbare...
12 duzini care beau băuturi alcoolice...
13 Duzina Diavolului
afirmă...
14 Înseamnă nimic
15 Înseamnă Nimic
16 Înseamnă nimic
17 Înseamnă nimic
18 Înseamnă nimic
19 Înseamnă nimic
20 Înseamnă Nimic
21 Înseamnă Nimic
22 Înseamnă Nimic
23 Înseamnă Nimic
24 Înseamnă Nimic
25 Repetare Ceva trebuie repetat, altfel nu va funcționa.
26 Întâlnire Aveți o întâlnire de afaceri.
27 Data Veți întâlni o persoană pe care veți fi bucuroși să o vedeți
(întâlnire personală, nu pentru serviciu).
Câte moduri există de a plăti 50 de cenți? Credem că puteți plăti 1 ban, 5 nichel, 10 dime, 25 de sferturi și 50 de jumătate de dolari. Gyorgy Poya a popularizat această problemă demonstrând un mod instructiv de a o rezolva folosind funcții de generare.
Să notăm o sumă infinită reprezentând toate metodele de schimb posibile. Cel mai ușor loc de început este atunci când există mai puține varietăți de monede, așa că să începem prin a presupune că nu avem alte monede decât un ban. Suma tuturor modalităților de a plăti o anumită sumă de un ban (și doar un ban) poate fi scrisă ca
deoarece fiecare opțiune de plată include un număr de nichel, ales din primul multiplicator și un anumit număr de bănuți, ales din P... (Rețineți că N nu este egal suma de 1 + 1 + 5 + (1 + 5) 2 + (1 + 5) 3 + ..., deoarece această sumă include mai multe tipuri de plăți de mai multe ori. De exemplu, termenul (1 + 5) 2 = 1 1 + 1 5 + 5 1 + 5 5 tratează 1 5 și 5 1 ca și cum ar fi diferite, dar dorim să listăm toate seturile de monede o dată, indiferent de comanda lor.)
În mod similar, dacă permitem și dimes, atunci obținem o cantitate infinită
Sarcina noastră este să aflăm în câți termeni C costa exact 50 de centi.
Problema este rezolvată cu un truc simplu. Înlocuiește 1 cu z, 5 pe z 5, 10 pe z 10, 25 pe z 25 și 50 pe z 50 . Fiecare termen va fi apoi înlocuit cu z n, Unde n- costul termenului inițial în bănuți. De exemplu, termenul 50 10 5 5 1 devine z 50+10+5+5+1 = z 71. Fiecare dintre cele patru modalități posibile de a plăti 13 cenți, și anume 10 1 3, 5 1 8, 5 2 1 3 și 1 13, se va reduce la z treisprezece; prin urmare, coeficientul at z 13 după z-înlocuirea va fi 4.
Lăsa P n, N n, D n, Q n și C n indică numărul de moduri de plată a sumei în n cenți, dacă puteți folosi monede nu mai vechi, respectiv, 1, 5, 10, 25 și 50 de cenți. Analiza noastră a arătat că aceste numere sunt coeficienți la z nîn seria de puteri corespunzătoare
| P = | 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + ... , |
| N = | (1 + z 5 + z 10 + z 15 + z 20 + ...)P, |
| D = | (1 + z 10 + z 20 + z 30 + z 40 + ...)N, |
| Q = | (1 + z 25 + z 50 + z 75 + z 100 + ...)D, |
| C = | (1 + z 50 + z 100 + z 150 + z 200 + ...)Q. |
Este evident că P n= 1 pentru toate n≥0. La o scurtă reflecție, este ușor să demonstrezi asta N n = [n/ 5] + 1: pentru a aduna suma în n cenți din bani și nichel, trebuie să luăm 0, sau 1, sau ..., sau [ n/ 5] nichel, după care există o singură modalitate de a alege numărul necesar de bănuți. Deci valorile P nși N n sunt ușor de calculat, dar cu D n , Q nși C n treaba este mult mai complicata.
Una dintre abordările studiului acestor formule se bazează pe observația că 1 + z m + z 2m+ ... este doar 1 / (1 - z m). Prin urmare, putem scrie
Acum, echivalând coeficienții la z nîn aceste ecuații, obținem relații de recurență, din care se calculează ușor coeficienții doriti:
De exemplu, coeficientul la z n v D= (1 - z 25)Q este egal cu Q n Q n–25; deci ar trebui sa existe Q n Q n–25 = D n asa cum este scris mai sus.
Ar fi posibil să se dezvăluie aceste relații și să se exprime Q n, de exemplu, sub formă Q n = D n + D n–25 + D n–50 + D n–75 + ... unde suma se întrerupe atunci când indicii devin negativi. Cu toate acestea, forma originală, neiterativă, este convenabilă prin faptul că fiecare coeficient este calculat folosind o singură adunare, ca în triunghiul lui Pascal.
Folosim aceste relații pentru a găsi C 50 . In primul rand, C 50 = C 0 + Q 50 deci trebuie să știm Q 50 . Mai departe, Q 50 = Q 25 + D 50 și Q 25 = Q 0 + D 25; prin urmare ne interesează și noi D 50 și D 25. Aceste valori D n depind la rândul său de D 40 , D 30 , D 20 , D 15 , D 10 și D 5 și de la N 50 , N 45 , ..., N 5 . Astfel, pentru a determina toți coeficienții necesari, este suficient să efectuați calcule simple:
| n | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| P n | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| N n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| D n | 1 | 2 | 4 | 6 | 9 | 12 | 16 | 25 | 36 | ||
| Q n | 1 | 13 | 49 | ||||||||
| C n | 1 | 50 | |||||||||
În partea de jos a tabelului se află răspunsul C 50: Există exact 50 de moduri de a da bacșiș de 50 de cenți.
Și ce zici de forma închisă pentru C n? Înmulțirea tuturor ecuațiilor ne oferă o expresie compactă pentru funcția generatoare
care este o funcţie raţională a z, al cărui numitor are gradul de 91. Astfel, putem factoriza numitorul în 91 de factori și exprima C nîn „forma închisă”, constând din 91 de termeni. Dar o expresie atât de teribilă nu intră în nicio poartă. Este posibil în acest caz particular să găsiți ceva mai bun și să nu aplicați metoda generală?
Și iată prima licărire de speranță: dacă intră C(z) înlocuiți 1 / (1 - z) la (1 + z + z 2 + z 3 + z 4) / (1 - z 5):
apoi gradul numitorului funcţiei „stors”. Č (z) este deja doar 19, așa că această funcție este mult mai bună decât cea originală. O nouă expresie pentru C(z) arată, în special, că C 5n = C 5n+1 = C 5n+2 = C 5n+3 = C 5n+4; într-adevăr, această relație este ușor de explicat: un bacșiș de 53 de cenți poate fi dat în exact aceleași moduri ca un bacșiș de 50 de cenți, deoarece numărul de bănuți modulo 5 este cunoscut dinainte.
Cu toate acestea, chiar și pentru Č (z) nu există o expresie simplă bazată pe rădăcinile numitorului. Probabil cel mai simplu mod de a calcula cotele Č (z) se va obține dacă observăm că fiecare factor din numitor este un divizor al lui 1 - z 10 . Prin urmare, putem scrie
Iată, de dragul completității, o expresie detaliată pentru A(z):
(1 + z + ... + z 9) 2 (1 + z 2 + ... + z 8)(1 + z 5) =
= 1 + 2z + 4z 2 + 6z 3 + 9z 4 + 13z 5 + 18z 6 + 24z 7 +
+ 31z 8 + 39z 9 + 45z 10 + 52z 11 +57z 12 + 63z 13 + 67z 14 + 69z 15 +
+ 69z 16 + 67z 17 + 63z 18 + 57z 19 + 52z 20 + 45z 21 + 39z 22 + 31z 23 +
+ 24z 24 + 18z 25 + 13z 26 + 9z 27 + 6z 28 + 4z 29 + 2z 30 + z 31 .
Și în sfârșit, profitând de faptul că
obţinem următoarea expresie pentru coeficienţi Č n la grade z nîn extinderea funcţiei Č (z), in care n = 10q + rşi 0≤ r<1 0:
| Č 10q+r = | ∑ | A j | ( | k + 4 k |
) | = | ||||||||||||||||
| j, k 10k+j=n |
||||||||||||||||||||||
| = A r | ( | q + 4 q |
) | + A r+10 | ( | q + 3 q |
) | + A r+20 | ( | q + 2 q |
) | + A r+30 | ( | q + 1 q |
) | . |
Acesta conține de fapt 10 cazuri diferite, câte unul pentru fiecare valoare. r; dar este încă o formulă închisă destul de bună în comparație cu alternativele care includ puteri ale numerelor complexe.
Folosind această expresie, putem afla, de exemplu, valoarea C 50q = Č 10q... Aici r= 0 și avem
pentru o sumă de 1 dolar se dovedește
| ( | 6 4 |
) | + 45 | ( | 5 4 |
) | + 52 | ( | 4 4 |
) | = 292 moduri; |
iar pentru un milion de dolari acest număr va fi
| ( | 2000004 4 |
) | + 45 | ( | 2000003 4 |
) | + 52 | ( | 2000002 4 |
) | + 2 | ( | 2000001 4 |
) | = |
= 66666793333412666685000001.
