Cum se inserează formule matematice pe un site web?
Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, asta metoda universala va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului web motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.
Dacă utilizați în mod constant formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - bibliotecă specială JavaScript, care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.
Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.
Puteți conecta scriptul bibliotecii MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:
Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și se încarcă automat ultimele versiuni MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.
Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.
Orice fractal este construit conform o anumită regulă, care se aplică secvenţial de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.
Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.
Ascundeți afișarea
Metode pentru specificarea unei funcțiiFie funcția dată de formula: y=2x^(2)-3. Prin atribuirea oricăror valori variabilei independente x, puteți calcula, folosind această formulă, valorile corespunzătoare ale variabilei dependente y. De exemplu, dacă x=-0,5, atunci, folosind formula, aflăm că valoarea corespunzătoare a lui y este y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.
Luând orice valoare luată de argumentul x în formula y=2x^(2)-3, puteți calcula o singură valoare a funcției care îi corespunde. Funcția poate fi reprezentată sub formă de tabel:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Folosind acest tabel, puteți vedea că pentru valoarea argumentului −1 va corespunde valoarea funcției −3; iar valoarea x=2 va corespunde cu y=0 etc. De asemenea, este important de știut că fiecare valoare de argument din tabel corespunde unei singure valori de funcție.
Mai multe funcții pot fi specificate folosind grafice. Cu ajutorul unui grafic se stabilește ce valoare a funcției se corelează cu o anumită valoare x. Cel mai adesea, aceasta va fi o valoare aproximativă a funcției.
Chiar și nu chiar funcțiaO funcție este o funcție pară atunci când f(-x)=f(x) pentru orice x din domeniu. O astfel de funcție va fi simetrică față de axa Oy.
O funcție este o funcție impară atunci când f(-x)=-f(x) pentru orice x din domeniu. O astfel de funcție va fi simetrică față de originea O (0;0) .
Funcția nu este nici pară, nici impară și se numește funcție vedere generală, când nu are simetrie față de axă sau origine.
Să examinăm următoarea funcție pentru paritate:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) cu un domeniu de definiție simetric relativ la origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3) -7x^(7))= -f(x) .
Aceasta înseamnă că funcția f(x)=3x^(3)-7x^(7) este impară.
Funcția periodicăFuncția y=f(x) , în domeniul căreia egalitatea f(x+T)=f(x-T)=f(x) este valabilă pentru orice x, se numește funcție periodică cu perioada T \neq 0 .
Repetând graficul unei funcții pe orice segment al axei x care are lungimea T.
Intervalele în care funcția este pozitivă, adică f(x) > 0, sunt segmente ale axei absciselor care corespund punctelor graficului funcției situate deasupra axei absciselor.
f(x) > 0 pe (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Intervale în care funcția este negativă, adică f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
O funcție y=f(x), x \in X este de obicei numită mărginită mai jos când există un număr A pentru care inegalitatea f(x) \geq A este valabilă pentru orice x \in X .
Un exemplu de funcție mărginită de mai jos: y=\sqrt(1+x^(2)) deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pentru orice x .
O funcție y=f(x), x \in X se numește mărginită mai sus dacă există un număr B pentru care inegalitatea f(x) \neq B este valabilă pentru orice x \in X .
Un exemplu de funcție mărginită de mai jos: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pentru orice x \ în [-1;1] .
O funcție y=f(x), x \in X se numește de obicei mărginită atunci când există un număr K > 0 pentru care inegalitatea \left | f(x)\dreapta | \neq K pentru orice x \in X .
Un exemplu de funcție mărginită: y=\sin x este mărginit pe întreaga dreaptă numerică, deoarece \left | \sin x \right | \neq 1 .
Funcția de creștere și scădereSe obișnuiește să se vorbească despre o funcție care crește pe intervalul luat în considerare ca o funcție crescătoare când valoare mai mare x va corespunde unei valori mai mari a funcției y=f(x) . Rezultă că luând două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) din intervalul luat în considerare, cu x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1)) > y(x_(2)).
O funcție care scade pe intervalul luat în considerare se numește funcție descrescătoare atunci când o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mici a funcției y(x). Rezultă că, luând din intervalul luat în considerare două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) și x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1))< y(x_{2}) .
Rădăcinile unei funcții se numesc de obicei punctele în care funcția F=y(x) intersectează axa absciselor (se obțin prin rezolvarea ecuației y(x)=0).
a) Dacă pentru x > 0 o funcție pară crește, atunci ea scade pentru x< 0
b) Când o funcție pară scade la x > 0, atunci crește la x< 0
.png)
c) Când o funcție impară crește la x > 0, atunci crește și la x< 0
d) Când o funcție impară scade pentru x > 0, atunci va scădea și pentru x< 0
.png)
Punctul minim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru acestea atunci inegalitatea f( x ) > f(x_(0)) . y_(min) - desemnarea funcției în punctul min.
Punctul maxim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru acestea atunci inegalitatea f( x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Condiție prealabilăConform teoremei lui Fermat: f"(x)=0 când funcția f(x) care este diferențiabilă în punctul x_(0) va avea un extrem în acest punct.
Stare suficientăEtape de calcul:
O funcție se numește par (impar) dacă pentru oricare și egalitatea 
.
Graficul unei funcții pare este simetric față de axă 
.
Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.
Exemplul 6.2.
1)
;
2)
;
3)
.
Examinați dacă o funcție este pară sau impară.
Soluţie 
1) Funcția este definită când 
.
. Vom găsi 
Aceste. . Mijloace, această funcție
este uniformă. 
. Vom găsi 
2) Funcția este definită când
. Astfel, această funcție este impară.
,
3) funcția este definită pentru , i.e. Pentru
3. Studiul funcției pentru monotonitate. 
Funcţie
se numește crescător (descrescător) pe un anumit interval dacă în acest interval fiecărei valori mai mari a argumentului îi corespunde o valoare mai mare (mai mică) a funcției.
Funcțiile care cresc (descresc) într-un anumit interval se numesc monotone. 
Dacă funcţia 
diferențiabilă pe interval 
și are o derivată pozitivă (negativă). 
, apoi funcția
crește (descrește) în acest interval.
1)
;
3)
.
Examinați dacă o funcție este pară sau impară.
Exemplul 6.3. Găsiți intervalele de monotonitate ale funcțiilor
1) Această funcție este definită pe întreaga linie numerică. Să găsim derivata. 
Derivata este egala cu zero daca 
Şi 
,
. Domeniul de definiție este axa numerelor, împărțită la puncte
la intervale. Să determinăm semnul derivatei în fiecare interval. 
În interval
la intervale. Să determinăm semnul derivatei în fiecare interval. 
derivata este negativa, functia scade pe acest interval.
derivata este pozitivă, prin urmare, funcția crește în acest interval. 
2) Această funcție este definită dacă
.
sau
Determinăm semnul trinomului pătratic în fiecare interval.
Astfel, domeniul de definire al funcției 
,
Să găsim derivata 
, Dacă 
, adică 
, Dar 
.
la intervale. Să determinăm semnul derivatei în fiecare interval. 
. Să determinăm semnul derivatei în intervale 
derivata este negativă, prin urmare, funcția scade pe interval 
. În interval 
.
4. Studiul funcției la extrem. 
Punct 
numit punctul maxim (minim) al funcției 
, dacă există o astfel de vecinătate a punctului 
asta e pentru toata lumea 
.
din acest cartier inegalitatea tine
Funcțiile care cresc (descresc) într-un anumit interval se numesc monotone. 
Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc puncte extreme. 
la punct
are un extremum, atunci derivata funcției în acest punct este egală cu zero sau nu există (o condiție necesară pentru existența unui extremum).
Punctele în care derivata este zero sau nu există sunt numite critice.5. Condiții suficiente pentru existența unui extremum. 
Regula 1. Dacă în timpul trecerii (de la stânga la dreapta) prin punctul critic 
derivat 
schimbă semnul de la „+” la „–”, apoi la punctul 
funcţie 
are un maxim; dacă de la „–” la „+”, atunci minimul; Dacă
nu schimbă semnul, atunci nu există extremum. 
Regula 2. Lasă la punct 
derivata prima a unei functii 
, iar derivata a doua există și este diferită de zero. Dacă 
, Asta 
– punct maxim, dacă 
, Asta 
– punctul minim al funcției.
Exemplul 6.4. Explorați funcțiile maxime și minime:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Soluţie.
1) Funcția este definită și continuă pe interval 
.
Astfel, domeniul de definire al funcției 
și rezolvați ecuația 
, Dacă 
.De aici 
– puncte critice.
Să determinăm semnul derivatei în intervalele , 
.
La trecerea prin puncte 
Derivata este egala cu zero daca 
derivata își schimbă semnul din „–” în „+”, prin urmare, conform regulii 1 
– puncte minime.
La trecerea printr-un punct 
derivata își schimbă semnul din „+” în „–”, deci 
– punct maxim.
,
.
2) Funcția este definită și continuă în interval 
. Să găsim derivata 
.
După ce am rezolvat ecuația 
, vom găsi 
Derivata este egala cu zero daca 
– puncte critice. Dacă numitorul 
, Dacă 
, atunci derivata nu există. Aşa, 
– al treilea punct critic. Să determinăm semnul derivatei în intervale.
Prin urmare, funcția are un minim la punct 
, maxim în puncte 
Derivata este egala cu zero daca 
.
3) O funcție este definită și continuă dacă 
, adică la 
.
Astfel, domeniul de definire al funcției 
.
Să găsim punctele critice: 
Vecinătăți de puncte 
nu aparțin domeniului definiției, prin urmare nu sunt extremum-uri. Deci, să examinăm punctele critice 
Derivata este egala cu zero daca 
.
4) Funcția este definită și continuă pe interval 
. Să folosim regula 2. Aflați derivata 
.
Să găsim punctele critice:
Să găsim derivata a doua 
și determinați-i semnul în puncte 
La puncte 
funcția are un minim.
La puncte 
functia are un maxim.
Care vă erau familiare într-o măsură sau alta. S-a remarcat, de asemenea, că stocul de proprietăți funcționale va fi completat treptat. Două proprietăți noi vor fi discutate în această secțiune.
Definiția 1.
Funcția y = f(x), x є X, este numită chiar dacă pentru orice valoare x din mulțimea X este valabilă egalitatea f (-x) = f (x).
Definiția 2.
Funcția y = f(x), x є X, se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțimea X este valabilă egalitatea f (-x) = -f (x).
Demonstrați că y = x 4 este o funcție pară.
Soluţie. Avem: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Dar(-x) 4 = x 4. Aceasta înseamnă că pentru orice x este valabilă egalitatea f(-x) = f(x), adică. funcția este egală.
În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y - x 2, y = x 6, y - x 8 sunt pare.
Demonstrați că y = x 3 ~ o funcție impară.
Soluţie. Avem: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Dar (-x) 3 = -x 3. Aceasta înseamnă că pentru orice x este valabilă egalitatea f (-x) = -f (x), adică. functia este impara.
În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y = x, y = x 5, y = x 7 sunt impare.
Am văzut deja de mai multe ori că termenii noi din matematică au cel mai adesea o origine „pământească”, adică. pot fi explicate cumva. Acesta este cazul atât cu funcțiile pare, cât și cu cele impare. Vezi: y - x 3, y = x 5, y = x 7 sunt funcții impare, în timp ce y = x 2, y = x 4, y = x 6 sunt funcții pare. Și, în general, pentru orice funcție de forma y = x" (mai jos vom studia în mod specific aceste funcții), unde n este un număr natural, putem concluziona: dacă n nu este număr par, atunci funcția y = x" este impară; dacă n este un număr par, atunci funcția y = xn este par.
Există și funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel, de exemplu, este funcția y = 2x + 3. Într-adevăr, f(1) = 5 și f (-1) = 1. După cum puteți vedea, aici, așadar, nici identitatea f(-x) = f ( x), nici identitatea f(-x) = -f(x).
Deci, o funcție poate fi pară, impară sau nici una.
Studiul dacă o funcție dată este pară sau impară se numește de obicei studiul parității.
În definițiile 1 și 2 despre care vorbim despre valorile funcției în punctele x și -x. Aceasta presupune că funcția este definită atât în punctul x, cât și în punctul -x. Aceasta înseamnă că punctul -x aparține domeniului de definire al funcției simultan cu punctul x. Dacă o mulțime numerică X, împreună cu fiecare dintre elementele sale x, conține și elementul opus -x, atunci X se numește mulțime simetrică. Să presupunem că (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sunt mulțimi simetrice, în timp ce )
