Modulul de număr (valoarea absolută a numărului), definiții, exemple, proprietăți. Definirea modulului unui număr. Sensul geometric al modulului

Modulul numărului introduce un nou concept în matematică. Să analizăm în detaliu care este modulul unui număr și cum să lucrăm cu el?

Luați în considerare un exemplu:

Am plecat din casă pentru magazin. Au trecut 300 m, matematic această expresie poate fi scrisă ca +300, semnificația numărului 300 din semnul „+” nu se va schimba. Distanța sau modulul unui număr la matematică este aceeași și se poate scrie și astfel: |300|=300. Semnul modulului unui număr este indicat prin două linii verticale.

Și apoi în sens invers am mers 200m. Din punct de vedere matematic, putem scrie calea de întoarcere ca -200. Dar nu spunem „am mers pe minus două sute de metri” așa, deși ne-am întors, pentru că distanța ca cantitate rămâne pozitivă. Pentru aceasta, conceptul de modul a fost introdus în matematică. Puteți scrie distanța sau modulul de -200 după cum urmează: |-200|=200.

Proprietățile modulului.

Definiție:
Numărul modulului sau valoare absolută numere este distanța de la punctul de plecare la destinație.

Modulul unui număr întreg care nu este egal cu zero este întotdeauna un număr pozitiv.

Modulul este scris astfel:

1. Modulul unui număr pozitiv este egal cu numărul însuși.
| a|=A

2. Modulul unui număr negativ este egal cu numărul opus.
|- a|=A

3. Modulul zero, egal cu zero.
|0|=0

4. Modulele de numere opuse sunt egale.
| a|=|-a|=A

Întrebări înrudite:
Care este modulul unui număr?
Răspuns: Modulul este distanța de la punctul de plecare la destinație.

Dacă puneți semnul „+” în fața unui număr întreg, ce se întâmplă?
Răspuns: numărul nu își va schimba sensul, de exemplu, 4=+4.

Dacă puneți semnul „-” în fața unui număr întreg, ce se întâmplă?
Răspuns: numărul se va schimba, de exemplu, în 4 și -4.

Ce numere au același modul?
Răspuns: numerele pozitive și zero vor avea același modul. De exemplu, 15=|15|.

Ce numere au modulul - numărul opus?
Răspuns: la numere negative, modulul va fi egal cu numărul opus. De exemplu, |-6|=6.

Exemplul #1:
Aflați modulul numerelor: a) 0 b) 5 c) -7?

Soluţie:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Exemplul #2:
Există două numere distincte ale căror module sunt egale?

Soluţie:
|10|=10
|-10|=10

Modulele numerelor opuse sunt egale.

Exemplul #3:
Ce două numere opuse au modulo 9?

Soluţie:
|9|=9
|-9|=9

Răspuns: 9 și -9.

Exemplul #4:
Faceți următoarele: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Soluţie:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Exemplul #5:
Aflati: a) modulul numarului 2 b) modulul numarului 6 c) modulul numarului 8 d) modulul numarului 1 e) modulul numarului 0.
Soluţie:

a) modulul numărului 2 se notează cu |2| sau |+2| Asta e lafel.
|2|=2

b) modulul numărului 6 se notează cu |6| sau |+6| Asta e lafel.
|6|=6

c) modulul numărului 8 se notează cu |8| sau |+8| Asta e lafel.
|8|=8

d) modulul numărului 1 se notează cu |1| sau |+1| Asta e lafel.
|1|=1

e) modulul numărului 0 se notează cu |0|, |+0| sau |-0| Asta e lafel.
|0|=0

Definiția modulului poate fi dat astfel: Valoarea absolută a unui număr A(modulul) este distanța de la punctul care reprezintă numărul dat A pe linia de coordonate, la origine. Din definiție rezultă că:

Astfel, pentru a extinde un modul, este necesar să se definească semnul expresiei submodulului. Dacă este pozitiv, atunci puteți elimina pur și simplu semnul modulului. Dacă expresia submodulului este negativă, atunci trebuie înmulțită cu „minus”, iar semnul modulului, din nou, nu trebuie să mai fie scris.

Principalele proprietăți ale modulului:

Câteva metode de rezolvare a ecuațiilor cu module

Există mai multe tipuri de ecuații de modul pentru care există o soluție preferată. în care Pe aici nu este singurul. De exemplu, pentru o ecuație de forma:

Modul preferat de rezolvare ar fi să mergeți la un agregat:

Și pentru ecuații de forma:

De asemenea, puteți merge la un set aproape similar, dar din moment ce modulul acceptă doar valori pozitive, atunci partea dreaptă a ecuației trebuie să fie și ea pozitivă. Această condiție trebuie adăugată ca o constrângere generală pentru întregul exemplu. Apoi obținem sistemul:

Ambele tipuri de ecuații pot fi rezolvate în alt mod: prin extinderea modulului într-un mod adecvat pe intervalele în care expresia submodulară are un anumit semn. În acest caz, vom obține un set de două sisteme. Să aducem forma generala soluții obținute pentru ambele tipuri de ecuații de mai sus:

Pentru a rezolva ecuații în care se utilizează mai mult de un modul metoda intervalului, care este după cum urmează:

• În primul rând, găsim punctele de pe axa numerică în care fiecare dintre expresiile de sub modul dispare.
• În continuare, împărțim întreaga axă numerică în intervale între punctele obținute și examinăm semnul fiecărei expresii submodulului pe fiecare interval. Rețineți că pentru a determina semnul unei expresii, trebuie să înlocuiți orice valoare în ea X din interval, cu excepția punctelor de limită. Alege acele valori X, care sunt ușor de înlocuit.
• În plus, pe fiecare interval obținut, dezvăluim toate modulele din ecuația originală în conformitate cu semnele lor pe acest interval și rezolvăm ecuația obișnuită rezultată. În răspunsul final, scriem doar acele rădăcini ale acestei ecuații care se încadrează în intervalul studiat. Încă o dată: efectuăm o astfel de procedură pentru fiecare dintre intervalele obținute.

• Înapoi
• Redirecţiona

Cum să te pregătești cu succes pentru CT în Fizică și Matematică?

Pentru a vă pregăti cu succes pentru CT în Fizică și Matematică, printre altele, trebuie îndeplinite trei condiții critice:

1. Studiați toate subiectele și finalizați toate testele și sarcinile prezentate în materialele de studiu de pe acest site. Pentru a face acest lucru, nu aveți nevoie de nimic, și anume: să dedicați trei până la patru ore în fiecare zi pregătirii pentru CT la fizică și matematică, studierii teoriei și rezolvării problemelor. Cert este că CT este un examen în care nu este suficient doar să cunoști fizica sau matematică, trebuie și să poți rezolva rapid și fără eșecuri. un numar mare de sarcini pentru subiecte diferiteși complexitate variabilă. Acesta din urmă poate fi învățat doar prin rezolvarea a mii de probleme.
2. Învață toate formulele și legile din fizică și formulele și metodele din matematică. De fapt, este și foarte simplu să faci asta, există doar aproximativ 200 de formule necesare în fizică și chiar puțin mai puțin în matematică. La fiecare dintre aceste materii există aproximativ o duzină de metode standard de rezolvare a problemelor de un nivel de bază de complexitate, care pot fi, de asemenea, învățate și, astfel, complet automat și fără dificultate, rezolvate la momentul potrivit. cel mai CT. După aceea, va trebui să te gândești doar la cele mai dificile sarcini.
3. Participați la toate cele trei etape ale testării repetiții la fizică și matematică. Fiecare RT poate fi vizitat de două ori pentru a rezolva ambele opțiuni. Din nou, pe DT, pe lângă capacitatea de a rezolva rapid și eficient probleme și cunoașterea formulelor și metodelor, este, de asemenea, necesar să fiți capabil să planificați corect timpul, să distribuiți forțele și, cel mai important, să completați corect formularul de răspuns. , fără a confunda nici numărul de răspunsuri și sarcini, nici propriul nume de familie. De asemenea, în timpul RT, este important să te obișnuiești cu stilul de a pune întrebări în sarcini, care poate părea foarte neobișnuit pentru o persoană nepregătită pe DT.

Implementarea cu succes, diligentă și responsabilă a acestor trei puncte vă va permite să arătați un rezultat excelent la CT, maximul de care sunteți capabil.

Ați găsit o eroare?

Dacă credeți că ați găsit o eroare în Materiale de antrenament, apoi scrieți, vă rog, despre asta prin poștă. De asemenea, puteți raporta o eroare în rețea socială(). În scrisoare, indicați subiectul (fizică sau matematică), numele sau numărul temei sau testului, numărul sarcinii sau locul din text (pagină) în care, în opinia dumneavoastră, există o eroare. De asemenea, descrieți care este presupusa eroare. Scrisoarea ta nu va trece neobservată, eroarea fie va fi corectată, fie ți se va explica de ce nu este o greșeală.

1. Modulele de numere opuse sunt egale
2. Pătratul modulului unui număr este egal cu pătratul acestui număr
3. Rădăcină pătrată din pătratul unui număr este modulul acestui număr
4. Modulul unui număr este un număr nenegativ
5. Un factor pozitiv constant poate fi scos din semnul modulului
6. Dacă , atunci
7. Modulul produsului a două (sau mai multe) numere este egal cu produsul modulelor lor

Intervalele numerice

Vecinătatea unui punct Fie xo orice număr real (un punct pe dreapta reală). O vecinătate a punctului x0 este orice interval (a; b) care conține punctul x0. În special, intervalul (x o -ε, x o + ε), unde ε > 0, se numește ε-vecinătatea punctului x o. Numărul x o se numește centru.

3 ÎNTREBARE conceptul de funcție O funcție este o astfel de dependență a variabilei y față de variabila x, în care fiecare valoare a variabilei x corespunde unei singure valori a variabilei y.

Variabila x se numește variabilă sau argument independent.

Variabila y se numește variabilă dependentă.

Modalități de a seta o funcție

mod tabelar. constă în stabilirea unui tabel cu valorile argumentelor individuale și a valorilor funcției corespunzătoare acestora. Această metodă de definire a unei funcții este utilizată atunci când domeniul funcției este o mulțime finită discretă.

Cu metoda tabelară de definire a unei funcții, este posibil să se calculeze aproximativ valorile funcției care nu sunt conținute în tabel, corespunzătoare valorilor intermediare ale argumentului. Pentru a face acest lucru, utilizați metoda de interpolare.

Avantajele modului tabelar de specificare a unei funcții sunt că face posibilă determinarea anumitor valori specifice deodată, fără măsurători sau calcule suplimentare. Cu toate acestea, în unele cazuri, tabelul nu definește complet funcția, ci numai pentru unele valori ale argumentului și nu oferă o reprezentare vizuală a naturii modificării funcției în funcție de modificarea argumentului.

Mod grafic. Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor din plan ale căror coordonate satisfac ecuația dată.

Modul grafic de specificare a unei funcții nu face întotdeauna posibilă determinarea cu precizie a valorilor numerice ale argumentului. Cu toate acestea, are un mare avantaj față de alte metode - vizibilitatea. În inginerie și fizică, este adesea folosită o metodă grafică de setare a unei funcții, iar un grafic este singura modalitate disponibilă pentru aceasta.

Pentru ca atribuirea grafică a unei funcții să fie destul de corectă din punct de vedere matematic, este necesar să se indice construcția geometrică exactă a graficului, care, de cele mai multe ori, este dată de o ecuație. Aceasta conduce la următorul mod de definire a unei funcții.

mod analitic. Pentru a defini o funcție, trebuie să specificați un mod în care, pentru fiecare valoare de argument, poate fi găsită valoarea funcției corespunzătoare. Cel mai comun este modul de definire a unei funcții folosind formula y = f (x), unde f (x) este o expresie cu variabila x. În acest caz, spunem că funcția este dată printr-o formulă sau că funcția este dată analitic.

Pentru o funcție dată analitic, uneori domeniul funcției nu este indicat în mod explicit. În acest caz, se presupune că domeniul funcției y \u003d f (x) coincide cu domeniul expresiei f (x), adică cu mulțimea acelor valori ale lui x pentru care expresia f (x) are sens.

Domeniul natural de aplicare al unei funcții

Domeniul de aplicare a funcției f este un set X toate valorile argumentului X, pe care este definită funcția.

Pentru a marca domeniul de aplicare al unei funcții f se folosește forma scurtă D(f).

definiția parametrică implicită explicită a unei funcții

Dacă funcția este dată de ecuația y=ƒ(x) rezolvată în raport cu y, atunci funcția este dată explicit (funcție explicită).

Sub atribuire implicită funcțiile înțeleg alocarea unei funcții sub forma unei ecuații F(x;y)=0, nepermisă în raport cu y.

Orice funcție dată explicit y=ƒ(x) poate fi scrisă ca fiind dată implicit de ecuația ƒ(x)-y=0, dar nu invers.

Obiectivele lecției

Să prezinte elevilor un astfel de concept matematic precum modulul unui număr;
Să-i învețe pe școlari abilitățile de a găsi module de numere;
Consolidarea materialului studiat prin efectuarea diverselor sarcini;

Sarcini

Consolidarea cunoștințelor copiilor despre modulul numărului;
Cu Soluție itemii de testare să verifice modul în care elevii au învățat materialul studiat;
Continuați să treziți interesul pentru lecțiile de matematică;
Educați de la școlari gandire logica, curiozitate și perseverență.

Planul lecției

1. Concepte generaleși determinarea modulului numărului.
2. sens geometric modul.
3. Modulul numărului proprietăților sale.
4. Rezolvarea ecuaţiilor şi inegalităţilor care conţin modulul unui număr.
5. Referință istorică despre termenul „modul unui număr”.
6. Sarcina de consolidare a cunoștințelor despre subiectul abordat.
7. Tema pentru acasă.

Concepte generale despre modulul unui număr

Modulul unui număr este de obicei numit număr în sine, dacă nu are valoare negativă, sau același număr este negativ, dar cu semnul opus.

Adică, modulul unui număr real nenegativ a este numărul însuși:

Și, modulul unui număr real negativ x va fi numărul opus:

În scris, va arăta astfel:

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm un exemplu. Deci, de exemplu, modulul numărului 3 este 3 și, de asemenea, modulul numărului -3 este 3.

De aici rezultă că modulul unui număr înseamnă o valoare absolută, adică sa valoare absolută, dar fără a ține cont de semnul acestuia. Pentru a spune și mai simplu, este necesar să aruncați semnul din număr.

Modulul unui număr poate fi desemnat și arată astfel: |3|, |x|, |a| etc.

Deci, de exemplu, modulul numărului 3 este notat cu |3|.

De asemenea, rețineți că modulul unui număr nu este niciodată negativ: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 etc.

Sensul geometric al modulului

Modulul unui număr este distanța, care se măsoară în segmente unitare de la origine la punct. Această definiție dezvăluie modulul din punct de vedere geometric.

Să luăm o linie de coordonate și să notăm două puncte pe ea. Fie că aceste puncte corespund numerelor precum -4 și 2.

Acum să aruncăm o privire la această imagine. Vedem că punctul A indicat pe linia de coordonate corespunde numărului -4, iar dacă te uiți cu atenție, vei vedea că acest punct este situat la o distanță de 4 segmente unitare de punctul de referință 0. Rezultă că lungimea segmentului OA este egală cu patru unități. În acest caz, lungimea segmentului OA, adică numărul 4 va fi modulul numărului -4.

Desemnat și înregistrat în acest caz modulul unui număr astfel: |−4| = 4.

Acum luați, iar pe linia de coordonate, notați punctul B.

Acest punct B va corespunde numărului +2 și, după cum putem vedea, este situat la o distanță de două segmente unitare de la origine. De aici rezultă că lungimea segmentului OB este egală cu două unități. În acest caz, numărul 2 va fi modulul numărului +2.

În scris, va arăta astfel: |+2| = 2 sau |2| = 2.

Și acum să rezumam. Dacă luăm un număr necunoscut a și îl notăm pe linia de coordonate prin punctul A, atunci în acest caz distanța de la punctul A la origine, adică lungimea segmentului OA, este tocmai modulul numărului „a”. ".

În scris va arăta astfel: |a| = O.A.

Modulul numărului proprietăților sale

Și acum să încercăm să evidențiem proprietățile modulului, să luăm în considerare toate cazurile posibile și să le scriem folosind expresii literale:

În primul rând, modulul unui număr este un număr nenegativ, ceea ce înseamnă că modulul unui număr pozitiv este egal cu numărul însuși: |a| = a dacă a > 0;

În al doilea rând, modulele care constau din numere opuse sunt egale: |a| = |–a|. Adică această proprietate ne spune că numerele opuse au întotdeauna module egale, adică pe linia de coordonate, deși au numere opuse, se află la aceeași distanță de punctul de referință. De aici rezultă că modulele acestor numere opuse sunt egale.

În al treilea rând, modulul lui zero este egal cu zero dacă acest număr este zero: |0| = 0 dacă a = 0. Aici putem spune cu certitudine că modulul lui zero este zero prin definiție, deoarece corespunde originii dreptei de coordonate.

A patra proprietate a modulului este că modulul produsului a două numere este egal cu produsul modulelor acestor numere. Acum să aruncăm o privire mai atentă la ce înseamnă asta. Dacă urmați definiția, atunci tu și cu mine știm că modulul produsului numerelor a și b va fi egal cu ab, sau − (ab), dacă, a în ≥ 0 sau - (a în), dacă, a in este mai mare decât 0. În înregistrări va arăta astfel: |a b| = |a| |b|.

A cincea proprietate este că modulul coeficientului de numere este egal cu raportul module ale acestor numere: |а: b| = |a| : |b|.

Și următoarele proprietăți ale modulului numărului:

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților care conțin modulul unui număr

Când începeți să rezolvați probleme care au un modul numeric, trebuie amintit că, pentru a rezolva o astfel de sarcină, este necesar să dezvăluiți semnul modulului folosind cunoașterea proprietăților cărora le corespunde această sarcină.

Exercitiul 1

Deci, de exemplu, dacă sub semnul modulului există o expresie care depinde de o variabilă, atunci modulul ar trebui extins în conformitate cu definiția:

Desigur, la rezolvarea problemelor, există cazuri când modulul este dezvăluit fără ambiguitate. Dacă, de exemplu, luăm

, aici vedem că o astfel de expresie sub semnul modulului este nenegativă pentru orice valoare a lui x și y.

Sau, de exemplu, luați

, vedem că această expresie a modulului nu este pozitivă pentru nicio valoare a lui z.

Sarcina 2

În fața ta este o linie de coordonate. Pe această linie, este necesar să se marcheze numerele, al căror modul va fi egal cu 2.

Soluţie

În primul rând, trebuie să trasăm o linie de coordonate. Știți deja că pentru aceasta, la început pe o linie dreaptă este necesar să alegeți originea, direcția și segmentul unitar. Apoi, trebuie să punem puncte de la origine care sunt egale cu distanța a două segmente de unitate.

După cum puteți vedea, există două astfel de puncte pe linia de coordonate, dintre care unul corespunde numărului -2, iar celălalt numărului 2.

Informații istorice despre modulul numărului

Termenul „modul” provine de la nume latin modul, care în traducere înseamnă cuvântul „măsură”. Termenul a fost inventat de matematicianul englez Roger Cotes. Dar semnul modulului a fost introdus datorită matematicianului german Karl Weierstrass. La scriere, un modul este notat cu următorul simbol: | |.

Întrebări pentru consolidarea cunoștințelor despre material

În lecția de astăzi, ne-am familiarizat cu un astfel de concept precum modulul unui număr, iar acum haideți să verificăm cum ați învățat acest subiect răspunzând la întrebările puse:

1. Care este numele numărului care este opusul unui număr pozitiv?
2. Care este numele numărului care este opusul unui număr negativ?
3. Numiți numărul care este opusul zero. Există un astfel de număr?
4. Numiți numărul care nu poate fi modulul numărului.
5. Definiți modulul unui număr.

Teme pentru acasă

1. Înainte de a fi numere pe care trebuie să le aranjați în ordinea descrescătoare a modulelor. Dacă finalizați corect sarcina, veți recunoaște numele persoanei care a introdus prima dată termenul „modul” în matematică.

2. Desenați o linie de coordonate și găsiți distanța de la M (-5) și K (8) până la origine.

Subiecte > Matematică > Matematică Clasa a VI-a

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• Putem folosi, de asemenea, informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordin judiciar, în litigii, și/sau pe baza cererilor publice sau a solicitărilor de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.