Parametrul \(a\) este un număr care poate lua orice valoare din \(\mathbb(R)\) .

A studia o ecuație/inegalitate pentru toate valorile unui parametru înseamnă a indica la ce valori ale parametrului ce soluție particulară are o anumită ecuație/inegalitate.

Exemple:

1) ecuația \(ax=2\) pentru toate \(a\ne 0\) are o soluție unică \(x=\dfrac 2a\), iar pentru \(a=0\) nu are soluții (deoarece atunci ecuația ia forma \(0=2\) ).

2) ecuația \(ax=0\) pentru toate \(a\ne 0\) are o soluție unică \(x=0\), iar pentru \(a=0\) are infinit de soluții, i.e. \(x\in \mathbb(R)\) (de atunci ecuația ia forma \(0=0\) ).

observa asta

I) ambele părți ale ecuației nu pot fi împărțite la o expresie care conține un parametru (\(f(a)\) ) dacă această expresie poate fi egală cu zero. Dar pot fi luate în considerare două cazuri:
primul când \(f(a)\ne0\) , caz în care putem împărți ambele părți ale egalității la \(f(a)\) ;
al doilea caz este atunci când \(f(a)=0\) , iar în acest caz putem verifica fiecare valoare a lui \(a\) separat (vezi exemplul 1, 2).

II) ambele părți ale inegalității nu pot fi împărțite printr-o expresie care conține un parametru dacă semnul acestei expresii este necunoscut. Dar pot fi luate în considerare trei cazuri:
prima, când \(f(a)>0\) , iar în acest caz putem împărți ambele părți ale inegalității la \(f(a)\) ;
al doilea, când \(f(a)<0\) , и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\) мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
al treilea este atunci când \(f(a)=0\) , caz în care putem verifica fiecare valoare a lui \(a\) individual.

Exemplu:

3) inegalitatea \(ax>3\) pentru \(a>0\) are o soluție \(x>\dfrac3a\), pentru \(a<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\) , а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\) .

Sarcina 1 #1220

Nivel de activitate: mai ușor decât examenul de stat unificat

Rezolvați ecuația \(ax+3=0\)

Ecuația poate fi rescrisă ca \(ax=-3\) . Să luăm în considerare două cazuri:

1) \(a=0\) . În acest caz, partea stângă este egală cu \(0\) , dar partea dreaptă nu este, prin urmare, ecuația nu are rădăcini.

2) \(a\ne 0\) . Atunci \(x=-\dfrac(3)(a)\) .

Răspuns:

\(a=0 \Rightarrow x\in \varnothing; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-\dfrac(3)(a)\).

Sarcina 2 #1221

Nivel de activitate: mai ușor decât examenul de stat unificat

Rezolvați ecuația \(ax+a^2=0\) pentru toate valorile parametrului \(a\) .

Ecuația poate fi rescrisă ca \(ax=-a^2\) . Să luăm în considerare două cazuri:

1) \(a=0\) . În acest caz, laturile stângă și dreaptă sunt egale cu \(0\), prin urmare, ecuația este adevărată pentru orice valoare a variabilei \(x\) .

2) \(a\ne 0\) . Atunci \(x=-a\) .

Răspuns:

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb(R); \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-a\).

Sarcina 3 #1222

Nivel de activitate: mai ușor decât examenul de stat unificat

Rezolvați inegalitatea \(2ax+5\cos\dfrac(\pi)(3)\geqslant 0\) pentru toate valorile parametrului \(a\) .

Inegalitatea poate fi rescrisă ca \(ax\geqslant -\dfrac(5)(4)\) . Să luăm în considerare trei cazuri:

1) \(a=0\) . Apoi inegalitatea ia forma \(0\geqslant -\dfrac(5)(4)\) , care este adevărată pentru orice valoare a variabilei \(x\) .

2) \(a>0\) . Apoi, la împărțirea ambelor părți ale inegalității la \(a\), semnul inegalității nu se va schimba, prin urmare, \(x\geqslant -\dfrac(5)(4a)\) .

3)\(a<0\) . Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, \(x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .

Răspuns:

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb(R); \\ a>0 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac(5)(4a); \\ a<0 \Rightarrow x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .

Sarcina 4 #1223

Nivel de activitate: mai ușor decât examenul de stat unificat

Rezolvați inegalitatea \(a(x^2-6) \geqslant (2-3a^2)x\) pentru toate valorile parametrului \(a\) .

Să transformăm inegalitatea în forma: \(ax^2+(3a^2-2)x-6a \geqslant 0\). Să luăm în considerare două cazuri:

1) \(a=0\) . În acest caz, inegalitatea devine liniară și ia forma: \(-2x \geqslant 0 \Rightarrow x\leqslant 0\).

2) \(a\ne 0\) . Atunci inegalitatea este pătratică. Să găsim discriminantul:

\(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2\).

Deoarece \(a^2 \geqslant 0 \Rightarrow D>0\) pentru orice valoare a parametrilor.

Prin urmare, ecuația \(ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0\) are întotdeauna două rădăcini \(x_1=-3a, x_2=\dfrac(2)(a)\) . Astfel, inegalitatea va lua forma:

\[(ax-2)(x+3a) \geqslant 0\]

Dacă \(a>0\), atunci \(x_1 \(x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac(2)(a); +\infty)\).

În cazul în care o<0\) , то \(x_1>x_2\) și ramurile parabolei \(y=(ax-2)(x+3a)\) sunt îndreptate în jos, ceea ce înseamnă că soluția este \(x\în \big[\dfrac(2)(a); -3a]\).

Răspuns:

\(a=0 \Rightarrow x\leqslant 0; \\ a>0 \Rightarrow x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac(2)(a); +\infty); \ \A<0 \Rightarrow x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a\big]\) .

Sarcina 5 #1851

Nivel de activitate: mai ușor decât examenul de stat unificat

Pentru ce \(a\) este mulțimea soluțiilor inegalității \((a^2-3a+2)x -a+2\geqslant 0\) conține jumătate de interval \(\).

Răspuns:

\(a\in (-\infty;\dfrac(4)(3)\big]\cup

Să luăm în considerare două cazuri:

1) \(a+1=0 \Rightarrow a=-1\) . În acest caz, ecuația \((*)\) este echivalentă cu \(3=0\) , adică nu are soluții.

Atunci întregul sistem este echivalent \(\begin(cases) x\geqslant 2\\ x=2 \end(cases) \Leftrightarrow x=2\)

2) \(a+1\ne 0 \Săgeată la dreapta a\ne -1\). În acest caz, sistemul este echivalent cu: \[\begin(cases) x\geqslant -2a\\ \left[ \begin(gathered) \begin(aligned) &x_1=-2a \\ &x_2=\dfrac3(a+1) \end(aligned) \end( adunat) \right. \end(cazuri)\]

Acest sistem va avea o soluție dacă \(x_2\leqslant -2a\) și două soluții dacă \(x_2>-2a\):

2.1) \(\dfrac3(a+1)\leqslant -2a \Rightarrow a<-1 \Rightarrow \) avem o rădăcină \(x=-2a\) .

2.2) \(\dfrac3(a+1)>-2a \Rightarrow a>-1 \Rightarrow \) avem două rădăcini \(x_1=-2a, x_2=\dfrac3(a+1)\) .

Răspuns:

\(a\in(-\infty;-1) \Rightarrow x=-2a\\ a=-1 \Rightarrow x=2\\ a\in(-1;+\infty) \Rightarrow x\in\( -2a;\frac3(a+1)\)\)

După cum arată statisticile, mulți absolvenți consideră că găsirea soluțiilor la problemele cu un parametru este cea mai dificilă sarcină atunci când se pregătesc pentru examenul de stat unificat din 2019 la matematică. Cu ce ​​este legat asta? Faptul este că adesea problemele cu un parametru necesită utilizarea metodelor de cercetare de soluție, adică atunci când calculați răspunsul corect, va trebui nu doar să aplicați formule, ci și să găsiți acele valori parametrice la care o anumită condiție. căci rădăcinile este satisfăcută. În același timp, uneori nu este nevoie să căutați rădăcinile în sine.

Cu toate acestea, toți studenții care se pregătesc să susțină examenul de stat unificat trebuie să facă față rezolvării sarcinilor cu parametri. Sarcini similare sunt întâlnite în mod regulat în testele de certificare. Portalul educațional Shkolkovo vă va ajuta să completați lacunele în cunoștințe și să învățați cum să găsiți rapid soluții la sarcini cu un parametru în examenul de stat unificat la matematică. Experții noștri au pregătit și au prezentat într-o formă accesibilă tot materialul teoretic și practic de bază pe această temă. Cu portalul Shkolkovo, rezolvarea problemelor de selectare a unui parametru va fi ușoară pentru dvs. și nu va implica dificultăți.

Momente de bază

Este important să înțelegem că pur și simplu nu există un singur algoritm pentru rezolvarea problemelor de selecție a parametrilor. Metodele de a găsi răspunsul corect pot varia. Rezolvarea unei probleme de matematică cu un parametru în Unified State Examination înseamnă a găsi cu ce este egală variabila la o anumită valoare a parametrului. Dacă ecuația inițială și inegalitatea pot fi simplificate, acest lucru ar trebui făcut mai întâi. În unele probleme, puteți utiliza metode standard de rezolvare pentru aceasta, ca și cum parametrul ar fi un număr obișnuit.

Ați citit deja materialul teoretic pe această temă? Pentru a asimila pe deplin informațiile atunci când vă pregătiți pentru Examenul Unificat de Stat la matematică, vă recomandăm să exersați finalizarea sarcinilor cu un parametru; Pentru fiecare exercițiu am oferit o analiză completă a soluției și răspunsul corect. În secțiunea corespunzătoare veți găsi atât sarcini simple, cât și mai complexe. Elevii pot exersa rezolvarea exercițiilor cu parametri, modelate după sarcinile din Unified State Exam, online, în timp ce se află la Moscova sau în orice alt oraș din Rusia.

O persoană care știe să rezolve probleme cu parametrii cunoaște perfect teoria și știe să o aplice nu mecanic, ci cu logică. El „înțelege” funcția, o „simte”, o consideră prieten sau cel puțin o bună cunoștință și nu știe doar despre existența ei.

Ce este o ecuație cu un parametru? Fie dată ecuația f (x; a) = 0 Dacă sarcina este de a găsi toate astfel de perechi (x; a) care satisfac această ecuație, atunci aceasta este considerată ca o ecuație cu două variabile egale x și a. Dar putem pune o altă problemă, presupunând că variabilele sunt inegale. Cert este că, dacă dați variabilei a orice valoare fixă, atunci f (x; a) = 0 se transformă într-o ecuație cu o variabilă x, iar soluțiile acestei ecuații depind în mod natural de valoarea aleasă a lui a.

Principala dificultate asociată cu rezolvarea ecuațiilor (și în special a inegalităților) cu un parametru este următoarea: - pentru unele valori ale parametrului, ecuația nu are soluții; -cu altii – are infinit de solutii; - în al treilea caz, se rezolvă folosind aceleași formule; - în al patrulea rând, se rezolvă folosind alte formule. - Dacă ecuația f (x; a) = 0 trebuie rezolvată în raport cu variabila X și a este înțeles ca un număr real arbitrar, atunci ecuația se numește ecuație cu parametrul a.

Rezolvarea unei ecuații cu un parametru f (x; a) = 0 înseamnă rezolvarea unei familii de ecuații rezultate din ecuația f (x; a) = 0 pentru orice valoare reală a parametrului. O ecuație cu un parametru este, de fapt, o scurtă reprezentare a unei familii infinite de ecuații. Fiecare dintre ecuațiile familiei este obținută dintr-o ecuație dată cu un parametru pentru o anumită valoare a parametrului. Prin urmare, problema rezolvării unei ecuații cu un parametru poate fi formulată după cum urmează:

Este imposibil să scrieți fiecare ecuație dintr-o familie infinită de ecuații, dar cu toate acestea, fiecare ecuație dintr-o familie infinită trebuie rezolvată. Acest lucru se poate face, de exemplu, împărțind setul tuturor valorilor parametrilor în subseturi în conformitate cu un criteriu adecvat și apoi rezolvând ecuația dată pe fiecare dintre aceste subseturi. Rezolvarea ecuațiilor liniare

Pentru a împărți setul de valori ale parametrilor în subseturi, este util să folosiți acele valori ale parametrilor la care sau la trecerea prin care are loc o modificare calitativă a ecuației. Astfel de valori ale parametrilor pot fi numite control sau speciale. Arta de a rezolva o ecuație cu parametri este tocmai aceea de a putea găsi valorile de control ale parametrului.

Tip 1. Ecuații, inegalități, sistemele lor care trebuie rezolvate fie pentru orice valoare a parametrului, fie pentru valorile parametrilor aparținând unui set prestabilit. Acest tip de problemă este de bază atunci când stăpâniți subiectul „Probleme cu parametrii”, deoarece munca investită predetermina succesul în rezolvarea problemelor de toate celelalte tipuri de bază.

Tipul 2. Ecuații, inegalități, sistemele acestora, pentru care este necesar să se determine numărul de soluții în funcție de valoarea parametrului (parametrilor). Când se rezolvă probleme de acest tip, nu este nevoie nici de a rezolva ecuații, inegalități sau sistemele lor date, nici de a oferi aceste soluții; În cele mai multe cazuri, o astfel de muncă inutilă este o greșeală tactică care duce la pierdere inutilă de timp. Dar, uneori, o soluție directă este singura modalitate rezonabilă de a obține răspunsul atunci când rezolvați o problemă de tip 2.

Tip 3. Ecuații, inegalități, sistemele lor, pentru care este necesar să se găsească toate acele valori ale parametrilor pentru care ecuațiile specificate, inegalitățile și sistemele lor au un număr dat de soluții (în special, nu au sau au un număr infinit de soluții). Problemele de tip 3 sunt într-un anumit sens inversul problemelor de tip 2.

Tip 4. Ecuații, inegalități, sisteme și mulțimi ale acestora, pentru care, pentru valorile cerute ale parametrului, mulțimea de soluții îndeplinește condițiile specificate în domeniul definiției. De exemplu, găsiți valorile parametrilor la care: 1) ecuația este satisfăcută pentru orice valoare a variabilei dintr-un interval dat; 2) mulțimea de soluții la prima ecuație este o submulțime a mulțimii de soluții la a doua ecuație etc.

Metode (metode) de bază pentru rezolvarea problemelor cu un parametru. Metoda I (analitică). Metoda analitică de rezolvare a problemelor cu un parametru este cea mai dificilă metodă, care necesită un nivel ridicat de alfabetizare și cel mai mare efort de a o stăpâni. Metoda II (grafică). În funcție de problemă (cu variabila x și parametrul a), graficele sunt considerate fie în planul de coordonate Oxy, fie în planul de coordonate Oxy. Metoda III (decizie privind parametrul). Când se rezolvă în acest fel, variabilele x și a se presupune că sunt egale și se selectează variabila în raport cu care soluția analitică este considerată mai simplă. După simplificări naturale, revenim la sensul inițial al variabilelor x și a și completăm soluția.

Exemplul 1. Găsiți valorile parametrului a pentru care ecuația a(2a + 3)x + a 2 = a 2 x + 3a are o singură rădăcină negativă. Soluţie. Această ecuație este echivalentă cu următoarea:. Dacă a(a + 3) 0, adică a 0, a –3, atunci ecuația are o singură rădăcină x =. X

Exemplul 2: Rezolvați ecuația. Soluţie. Deoarece numitorul fracției nu poate fi egal cu zero, avem (b – 1)(x + 3) 0, adică b 1, x –3. Înmulțind ambele părți ale ecuației cu (b – 1)(x + 3) 0, obținem ecuația: Această ecuație este liniară față de variabila x. Pentru 4b – 9 = 0, adică b = 2,25, ecuația ia forma: Pentru 4b – 9 0, adică b 2,25, rădăcina ecuației este x =. Acum trebuie să verificăm dacă există valori ale lui b pentru care valoarea găsită a lui x este egală cu –3. Astfel, pentru b 1, b 2.25, b –0.4, ecuația are o singură rădăcină x =. Răspuns: pentru b 1, b 2,25, b –0,4 rădăcină x = pentru b = 2,25, b = –0,4 nu există soluții; când b = 1 ecuația nu are sens.

Tipurile de probleme 2 și 3 se disting prin faptul că la rezolvarea lor nu este necesar să se obțină o soluție explicită, ci doar să se găsească acele valori ale parametrilor la care această soluție îndeplinește anumite condiții. Exemple de astfel de condiții pentru o soluție sunt următoarele: există o soluție; nu există soluție; există o singură soluție; există o soluție pozitivă; există exact k soluții; există o soluţie aparţinând intervalului specificat. În aceste cazuri, metoda grafică de rezolvare a problemelor cu parametrii se dovedește a fi foarte utilă.

Putem distinge două tipuri de aplicare a metodei grafice la rezolvarea ecuației f (x) = f (a): Pe planul Oxy, graficul y = f (x) și familia de grafice y = f (a) sunt considerată. Aceasta include, de asemenea, problemele rezolvate folosind un „mănunchi de linii”. Această metodă se dovedește a fi convenabilă în probleme cu două necunoscute și un parametru. Pe planul Ox (care se mai numește și planul de fază), sunt considerate grafice în care x este argumentul și a este valoarea funcției. Această metodă este de obicei utilizată în problemele care implică doar un singur parametru necunoscut și un singur parametru (sau poate fi redus la un astfel de parametru).

Exemplul 1. Pentru ce valori ale parametrului a ecuația 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a are cel puțin trei rădăcini? Soluţie. Să construim grafice ale funcțiilor f (x) = 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 și f (x) = a într-un sistem de coordonate. Avem: f "(x) = 12x x 2 – 24x = 12x(x + 2)(x – 1), f "(x) = 0 la x = –2 (punct minim), la x = 0 (maxim punctul ) și la x = 1 (punctul maxim). Să găsim valorile funcției la punctele extreme: f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5. Construim un grafic schematic al funcției ținând cont de punctele extreme. Modelul grafic ne permite să răspundem la întrebarea pusă: ecuația 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a are cel puțin trei rădăcini dacă –5

Exemplul 2. Câte rădăcini are ecuația pentru diferite valori ale parametrului a? Soluţie. Răspunsul la întrebarea pusă este legat de numărul de puncte de intersecție ale graficului semicercului y = și a dreptei y = x + a. O dreaptă care este tangentă are formula y = x +. Ecuația dată nu are rădăcini la a; are o rădăcină la –2

Exemplul 3. Câte soluții are ecuația |x + 2| = ax + 1 in functie de parametrul a? Soluţie. Puteți reprezenta grafice y = |x + 2| și y = ax + 1. Dar o vom face altfel. La x = 0 (21) nu există soluții. Împărțiți ecuația la x: și luați în considerare două cazuri: 1) x > –2 sau x = 2 2) 2) x –2 sau x = 2 2) 2) x

Un exemplu de utilizare a unui „mănunchi de linii” pe un plan. Găsiți valorile parametrului a pentru care ecuația |3x + 3| = ax + 5 are o soluție unică. Soluţie. Ecuația |3x + 3| = ax + 5 echivalează cu următorul sistem: Ecuația y – 5 = a(x – 0) definește pe plan un creion de drepte cu centrul A (0; 5). Să desenăm linii drepte dintr-o grămadă de linii drepte care vor fi paralele cu laturile colțului, care este graficul lui y = |3x + 3|. Aceste drepte l și l 1 intersectează graficul y = |3x + 3|. Ecuațiile acestor drepte sunt y = 3x + 5 și y = –3x + 5. În plus, orice linie din creion situată între aceste linii va intersecta și graficul y = |3x + 3| la un moment dat. Aceasta înseamnă că valorile necesare ale parametrului [–3; 3].

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor folosind planul de fază: 1. Aflați domeniul de definire al ecuației. 2. Exprimați parametrul a în funcție de x. 3. În sistemul de coordonate xOa, construim un grafic al funcției a = f(x) pentru acele valori ale lui x care sunt incluse în domeniul de definiție al acestei ecuații. 4. Aflați punctele de intersecție ale dreptei a = c, unde c є (-; +) cu graficul funcției a = f (x). Dacă dreapta a = c intersectează graficul a = f(x), atunci determinăm abscisele punctelor de intersecție. Pentru a face acest lucru, este suficient să rezolvați ecuația a = f(x) pentru x. 5.Notă răspunsul.

Un exemplu de rezolvare a unei inegalități folosind „planul de fază”. Rezolvați inegalitatea x. Rezolvare: Prin tranziție echivalentă Acum pe planul Ox vom construi grafice ale funcțiilor Puncte de intersecție ale parabolei și dreapta x 2 – 2x = –2x x = 0. Condiția a –2x este îndeplinită automat la a x 2 – 2x Astfel, în semiplanul stâng (x

Diplomă

Abilitățile de cercetare pot fi împărțite în generale și specifice. Abilitățile generale de cercetare, a căror formare și dezvoltare are loc în procesul de rezolvare a problemelor cu parametri, includ: capacitatea de a vedea în spatele unei ecuații date cu un parametru diferite clase de ecuații, caracterizate prin prezența comună a numărului și tipului de ecuații. rădăcini; capacitatea de a utiliza metode analitice și grafico-analitice....

Ecuații și inegalități cu un parametru ca mijloc de dezvoltare a abilităților de cercetare ale elevilor din clasele 7-9 (eseu, cursuri, diploma, test)

Munca de absolvent

Pdespre subiect: Ecuații și inegalități cu un parametru ca mijloc de formare a cercetării aptitudinile elevilor din clasele 7-9

Dezvoltarea abilităților de gândire creativă este imposibilă în afara situațiilor problematice, prin urmare sarcinile non-standard sunt de o importanță deosebită în învățare. Acestea includ, de asemenea, sarcini care conțin un parametru. Conținutul matematic al acestor probleme nu depășește domeniul de aplicare al programului, totuși, rezolvarea lor, de regulă, provoacă dificultăți studenților.

Înainte de reforma învățământului școlar de matematică din anii 60, programa școlară și manualele aveau secțiuni speciale: studiul ecuațiilor liniare și pătratice, studiul sistemelor de ecuații liniare. Unde sarcina a fost de a studia ecuațiile, inegalitățile și sistemele în funcție de orice condiții sau parametri.

Programul nu conține în prezent referințe specifice la studii sau parametri în ecuații sau inegalități. Dar ele sunt tocmai unul dintre mijloacele eficiente ale matematicii care ajută la rezolvarea problemei formării unei personalități intelectuale stabilite de program. Pentru a elimina această contradicție, a devenit necesară crearea unui curs opțional pe tema „Ecuații și inegalități cu parametrii”. Acesta este tocmai ceea ce determină relevanța acestei lucrări.

Ecuațiile și inegalitățile cu parametrii sunt un material excelent pentru munca de cercetare reală, dar programa școlară nu include probleme cu parametrii ca subiect separat.

Rezolvarea majorității problemelor dintr-un curs de matematică școlar are ca scop dezvoltarea la școlari a unor calități precum stăpânirea regulilor și algoritmilor de acțiune în conformitate cu programele actuale și capacitatea de a efectua cercetări de bază.

Cercetarea în știință înseamnă studiul unui obiect pentru a identifica tiparele de apariție, dezvoltare și transformare a acestuia. În procesul de cercetare se utilizează experiența acumulată, cunoștințele existente, precum și metodele și metodele de studiu a obiectelor. Rezultatul cercetării ar trebui să fie dobândirea de noi cunoștințe. În procesul cercetării educaționale se sintetizează cunoștințele și experiența acumulată de elev în studiul obiectelor matematice.

Când sunt aplicate ecuațiilor și inegalităților parametrice, se pot distinge următoarele abilități de cercetare:

1) Capacitatea de a exprima printr-un parametru condițiile pentru ca o anumită ecuație parametrică să aparțină unei anumite clase de ecuații;

2) Capacitatea de a determina tipul de ecuație și de a indica tipul de coeficienți în funcție de parametri;

3) Capacitatea de a exprima prin parametri, condițiile de prezență a soluțiilor unei ecuații parametrice;

4) În cazul prezenței rădăcinilor (soluțiilor), să poată exprima condițiile pentru prezența unui anumit număr de rădăcini (soluții);

5) Capacitatea de a exprima rădăcinile ecuațiilor parametrice (soluții la inegalități) prin parametri.

Natura de dezvoltare a ecuațiilor și inegalităților cu parametrii este determinată de capacitatea acestora de a implementa mai multe tipuri de activitate mentală a elevilor:

Dezvoltarea anumitor algoritmi de gândire, Capacitatea de a determina prezența și numărul de rădăcini (într-o ecuație, sistem);

Rezolvarea familiilor de ecuații care sunt o consecință a acesteia;

Exprimarea unei variabile în termenii alteia;

Găsirea domeniului de definire a unei ecuații;

Repetarea unui volum mare de formule la rezolvare;

Cunoașterea metodelor de soluționare adecvate;

Utilizarea pe scară largă a argumentării verbale și grafice;

Dezvoltarea culturii grafice a elevilor;

Toate cele de mai sus ne permit să vorbim despre necesitatea studierii ecuațiilor și inegalităților cu parametri la cursul de matematică din școală.

În prezent, clasa de probleme cu parametrii nu a fost încă clar elaborată metodic. Relevanța alegerii temei de la cursul opțional „Ecuații și inegalități cadrate cu un parametru” este determinată de importanța temei „Trinom cadratic și proprietățile sale” la cursul de matematică școlară și, în același timp, de lipsa timp pentru a lua în considerare probleme legate de studiul unui trinom pătratic care conține un parametru.

În munca noastră, dorim să arătăm că problemele de parametri nu ar trebui să fie o completare dificilă la materialul principal studiat, pe care doar copiii capabili îl pot stăpâni, dar pot și ar trebui să fie folosite într-o școală de învățământ general, care va îmbogăți învățarea cu noi metode. și idei și ajută elevii să-și dezvolte gândirea.

Scopul lucrării este de a studia locul ecuațiilor și inegalităților cu parametri la cursul de algebră pentru clasele 7–9, de a elabora un curs opțional „Ecuații și inegalități cu parametru” și recomandări metodologice pentru implementarea acestuia.

Obiectul studiului este procesul de predare a matematicii în clasele a 7-a-9 ale unei școli medii.

Obiectul cercetării îl constituie conținutul, formele, metodele și mijloacele de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților cu parametri într-o școală gimnazială, asigurând desfășurarea unui curs opțional „Ecuații și inegalități cuadratice cu parametru”.

Ipoteza cercetării este că acest curs opțional va contribui la un studiu mai aprofundat al conținutului secțiunii de matematică „Ecuații și inegalități cu parametri”, la eliminarea discrepanțelor în cerințele de matematică pentru pregătirea absolvenților de școală și a solicitanților de universități și extinde oportunitățile de dezvoltare a activității mintale elevilor, dacă în procesul de studiu se vor folosi următoarele:

· luarea în considerare a tehnicilor grafice de rezolvare a ecuațiilor pătratice și a inegalităților cu un parametru folosind lucrările școlarilor cu literatura educațională;

· rezolvarea de probleme privind studiul unui trinom pătratic care conține un parametru, folosind autocontrolul școlarilor și controlul reciproc;

· tabele de rezumare a materialului pe temele „Semnul rădăcinilor unui trinom pătrat”, „locația unei parabole față de axa absciselor”;

· utilizarea diferitelor metode de evaluare a rezultatelor învățării și a unui sistem de puncte cumulate;

· studierea tuturor subiectelor cursului, oferind studentului posibilitatea de a găsi în mod independent o modalitate de a rezolva problema.

În conformitate cu scopul, obiectul, subiectul și ipoteza studiului, sunt propuse următoarele obiective de cercetare:

· luați în considerare prevederi generale pentru studiul ecuațiilor și inegalităților cu parametrii din clasele 7–9;

· elaborarea unui curs opțional de algebră „Ecuații și inecuații quadratice cu un parametru” și o metodologie de implementare a acestuia.

În timpul studiului au fost utilizate următoarele metode:

· analiza literaturii de specialitate;

· analiza experienței în dezvoltarea cursurilor opționale.

Capitolul 1. Caracteristici psihologice și pedagogice studiu Subiecte « Ecuații și inegalități cu parametri" în cursul algebrei 7−9 clasă

§ 1. Caracteristici legate de vârstă, fiziologice și psihologicebeneficiile elevilor din clasele 7-9

Vârsta gimnazială (adolescența) se caracterizează prin creșterea și dezvoltarea rapidă a întregului organism. Există o creștere intensivă a corpului în lungime (la băieți există o creștere de 6-10 centimetri pe an, iar la fete până la 6-8 centimetri). Osificarea scheletului continuă, oasele capătă elasticitate și duritate, iar forța musculară crește. Cu toate acestea, dezvoltarea organelor interne are loc inegal, creșterea vaselor de sânge rămâne în urmă cu creșterea inimii, ceea ce poate provoca perturbarea ritmului activității sale și creșterea ritmului cardiac. Aparatul pulmonar se dezvoltă, respirația devine rapidă la această vârstă. Volumul creierului se apropie de cel al unui creier uman adult. Controlul cortexului cerebral asupra instinctelor și emoțiilor se îmbunătățește. Cu toate acestea, procesele de excitație încă prevalează asupra proceselor de inhibiție. Începe activitatea crescută a fibrelor asociative.

La această vârstă apare pubertatea. Activitatea glandelor endocrine, în special a glandelor sexuale, crește. Apar caracteristicile sexuale secundare. Corpul adolescentului prezintă o oboseală mai mare din cauza schimbărilor dramatice ale acestuia. Percepția unui adolescent este mai concentrată, organizată și planificată decât cea a unui școlar mai mic. Atitudinea adolescentului față de obiectul observat este de o importanță decisivă. Atenția este voluntară, selectivă. Un adolescent se poate concentra mult timp pe materiale interesante. Memorarea conceptelor, legate direct de înțelegerea, analiza și sistematizarea informațiilor, vine în prim-plan. Adolescența este caracterizată de gândire critică. Elevii de această vârstă sunt caracterizați de pretenții mai mari la informațiile furnizate. Se îmbunătățește capacitatea de gândire abstractă. Exprimarea emoțiilor la adolescenți este adesea destul de violentă. Furia este deosebit de puternică. Această vârstă este destul de caracterizată de încăpățânare, egoism, retragere în sine, severitatea emoțiilor și conflicte cu ceilalți. Aceste manifestări au permis profesorilor și psihologilor să vorbească despre criza adolescenței. Formarea identității necesită ca o persoană să-și regândească legăturile cu ceilalți, locul său printre alți oameni. În timpul adolescenței, are loc o formare morală și socială intensivă a personalității. Procesul de formare a idealurilor morale și a convingerilor morale este în desfășurare. Au adesea un caracter instabil, contradictoriu.

Comunicarea adolescenților cu adulții diferă semnificativ de comunicarea școlarilor mai mici. Adolescenții nu consideră adesea adulții ca posibili parteneri de comunicare liberă, ei îi percep pe adulți ca pe o sursă de organizare și de sprijin pentru viața lor, iar funcția organizațională a adulților este percepută de adolescenți de cele mai multe ori ca fiind doar restrictivă și reglatoare.

Numărul de întrebări adresate profesorilor este redus. Întrebările adresate se referă, în primul rând, la organizarea și conținutul activităților de viață ale adolescenților în cazurile în care aceștia nu se pot lipsi de informațiile și instrucțiunile relevante de la adulți. Numărul problemelor etice este redus. Față de vârsta anterioară, autoritatea profesorului ca purtător de norme sociale și posibil asistent în rezolvarea problemelor complexe de viață este semnificativ redusă.

§ 2. Caracteristicile de vârstă ale activităților educaționale

Predarea este principala activitate pentru un adolescent. Activitatea educațională a unui adolescent are propriile dificultăți și contradicții, dar există și avantaje pe care un profesor se poate și trebuie să se bazeze. Marele avantaj al unui adolescent este pregătirea lui pentru toate tipurile de activități educaționale, ceea ce îl face un adult în propriii ochi. Este atras de forme independente de organizare a lecțiilor în clasă, de material educațional complex și de oportunitatea de a-și construi independent activitatea cognitivă în afara școlii. Cu toate acestea, adolescentul nu știe cum să realizeze această disponibilitate, deoarece nu știe să desfășoare noi forme de activitate educațională.

Un adolescent reacționează emoțional la o nouă materie academică, iar pentru unii această reacție dispare destul de repede. Adesea, interesul lor general pentru învățare și școală scade și el. După cum arată cercetările psihologice, motivul principal constă în lipsa dezvoltării abilităților de învățare la elevi, ceea ce nu face posibilă satisfacerea nevoii actuale de vârstă - nevoia de autoafirmare.

Una dintre modalitățile de a crește eficacitatea învățării este formarea intenționată a motivelor de învățare. Acest lucru este direct legat de satisfacerea nevoilor predominante ale vârstei. Una dintre aceste nevoi este cognitivă. Când este mulțumit, își dezvoltă interese cognitive stabile, care îi determină atitudinea pozitivă față de subiectele academice. Adolescenții sunt foarte atrași de oportunitatea de a se extinde, de a-și îmbogăți cunoștințele, de a pătrunde în esența fenomenelor studiate și de a stabili relații cauză-efect. Ei experimentează o mare satisfacție emoțională din activitățile de cercetare. Eșecul de a satisface nevoile cognitive și interesele cognitive provoacă nu numai o stare de plictiseală și indiferență, ci uneori o atitudine puternic negativă față de „subiecții neinteresanți”. În acest caz, atât conținutul, cât și procesul, metodele și tehnicile de dobândire a cunoștințelor sunt la fel de importante.

Interesele adolescenților diferă în direcția activității lor cognitive. Unii elevi preferă materialul descriptiv, sunt atrași de faptele individuale, alții se străduiesc să înțeleagă esența fenomenelor studiate, le explică din punct de vedere al teoriei, alții sunt mai activi în utilizarea cunoștințelor în activități practice, alții - spre creație. , activități de cercetare. 15]

Alături de interesele cognitive, înțelegerea semnificației cunoașterii este esențială pentru o atitudine pozitivă a adolescenților față de învățare. Este foarte important pentru ei să realizeze și să înțeleagă semnificația vitală a cunoașterii și, mai ales, semnificația acesteia pentru dezvoltarea personală. Un adolescent îi plac multe materii educaționale pentru că îi satisfac nevoile ca persoană dezvoltată cuprinzător. Convingerile și interesele, îmbinând împreună, creează un ton emoțional crescut la adolescenți și determină atitudinea lor activă față de învățare.

Dacă un adolescent nu vede importanța vitală a cunoașterii, atunci el poate dezvolta convingeri negative și o atitudine negativă față de disciplinele academice existente. De o importanță semnificativă atunci când adolescenții au o atitudine negativă față de învățare este conștientizarea și experiența lor de eșec în însușirea anumitor materii academice. Frica de eșec, teama de înfrângere îi determină uneori pe adolescenți să caute motive plauzibile pentru a nu merge la școală sau a părăsi cursurile. Bunăstarea emoțională a unui adolescent depinde în mare măsură de evaluarea activităților sale educaționale de către adulți. Adesea, sensul evaluării pentru un adolescent este dorința de a obține succesul în procesul educațional și, prin urmare, de a câștiga încredere în abilitățile și capacitățile sale. Acest lucru se datorează unei nevoi atât de dominante a vârstei, cum ar fi nevoia de a realiza și de a se evalua pe sine ca persoană, punctele forte și slăbiciunile cuiva. Cercetările arată că în perioada adolescenței stima de sine joacă un rol dominant. Este foarte important pentru bunăstarea emoțională a unui adolescent ca evaluarea și stima de sine să coincidă. În caz contrar, apar conflicte interne și uneori externe.

În clasele mijlocii, elevii încep să studieze și să stăpânească elementele de bază ale științei. Elevii vor trebui să stăpânească o cantitate mare de cunoștințe. Materialul de stăpânit, pe de o parte, necesită un nivel mai înalt de activitate educațională, cognitivă și mentală decât înainte și, pe de altă parte, vizează dezvoltarea lor. Studenții trebuie să stăpânească sistemul de concepte și termeni științifici, prin urmare noile discipline academice impun noi cerințe asupra metodelor de dobândire a cunoștințelor și vizează dezvoltarea inteligenței de nivel superior - gândire teoretică, formală, reflexivă. Acest tip de gândire este tipic pentru adolescență, dar începe să se dezvolte la adolescenții mai tineri.

Ceea ce este nou în dezvoltarea gândirii unui adolescent constă în atitudinea lui față de sarcinile intelectuale ca fiind cele care necesită o soluție mentală preliminară. Abilitatea de a opera cu ipoteze în rezolvarea problemelor intelectuale este cea mai importantă achiziție a unui adolescent în analiza realității. Gândirea conjecturală este un instrument distinctiv al raționamentului științific, motiv pentru care se numește gândire reflexivă. Deși asimilarea conceptelor științifice la școală în sine creează o serie de condiții obiective pentru formarea gândirii teoretice la școlari, totuși, ea nu se formează la toată lumea: diferiți elevi pot avea niveluri și calitate diferite ale formării sale efective.

Gândirea teoretică se poate forma nu numai prin stăpânirea cunoştinţelor şcolare. Vorbirea devine controlată și gestionabilă, iar în unele situații semnificative personal, adolescenții se străduiesc în special să vorbească frumos și corect. În procesul și ca urmare a asimilării conceptelor științifice, se creează noi conținuturi de gândire, noi forme de activitate intelectuală. Un indicator semnificativ al asimilării inadecvate a cunoștințelor teoretice este incapacitatea unui adolescent de a rezolva probleme care necesită utilizarea acestor cunoștințe.

Locul central începe să fie ocupat de analiza conținutului materialului, originalitatea și logica internă a acestuia. Unii adolescenți se caracterizează prin flexibilitate în alegerea modalităților de învățare, alții preferă o singură metodă, iar unii încearcă să organizeze și să prelucreze logic orice material. Abilitatea de a procesa logic materialul se dezvoltă adesea spontan la adolescenți. De asta depind nu numai performanța academică, profunzimea și puterea cunoștințelor, ci și posibilitatea dezvoltării ulterioare a inteligenței și abilităților adolescentului.

§ 3. Organizarea de activități educaționalecaracteristicile şcolarilor din clasele a VII-a–9

Organizarea activităților educaționale ale adolescenților este sarcina cea mai importantă și complexă. Un elev de gimnaziu este destul de capabil să înțeleagă argumentele unui profesor sau ale unui părinte și să fie de acord cu argumente rezonabile. Cu toate acestea, din cauza particularităților gândirii caracteristice acestei vârste, un adolescent nu va mai fi mulțumit de procesul de comunicare a informațiilor într-o formă completă și gata făcută. Va dori să verifice fiabilitatea lor, pentru a se asigura că judecățile sale sunt corecte. Disputele cu profesorii, părinții și prietenii sunt o trăsătură caracteristică acestei vârste. Rolul lor important este acela că vă permit să faceți schimb de opinii pe un subiect, să verificați adevărul opiniilor dvs. și al opiniilor general acceptate și să vă exprimați. În special, în predare, introducerea sarcinilor bazate pe probleme are un mare efect. Bazele acestei abordări a predării au fost dezvoltate în anii 60 și 70 ai secolului XX de către profesorii casnici. Baza tuturor acțiunilor în abordarea bazată pe probleme este conștientizarea lipsei de cunoștințe pentru a rezolva probleme specifice și rezolvarea contradicțiilor. În condițiile moderne, această abordare ar trebui implementată în contextul nivelului de realizări ale științei moderne și al sarcinilor de socializare a elevilor.

Este important să încurajăm gândirea independentă, elevul exprimându-și propriul punct de vedere, capacitatea de a compara, de a găsi trăsături comune și distinctive, de a evidenția principalul lucru, de a stabili relații cauză-efect și de a trage concluzii.

Pentru un adolescent, informațiile interesante și fascinante care îi stimulează imaginația și îl pun pe gânduri vor fi de mare importanță. Un efect bun se obține prin schimbarea periodică a tipurilor de activități - nu numai la clasă, ci și la pregătirea temelor. O varietate de tipuri de muncă poate deveni un mijloc foarte eficient de creștere a atenției și o modalitate importantă de prevenire a oboselii fizice generale, asociată atât cu încărcătura educațională, cât și cu procesul general de restructurare radicală a organismului în perioada pubertății. 20]

Înainte de a studia secțiunile relevante din programa școlară, elevii au adesea deja anumite idei și concepte de zi cu zi care le permit să navigheze destul de bine în practica de zi cu zi. Această împrejurare, în cazurile în care nu le este atrage atenția în mod specific asupra conexiunii cunoștințelor pe care le dobândesc cu viața practică, îi privează pe mulți studenți de nevoia de a dobândi și asimila noi cunoștințe, întrucât acestea din urmă nu au nici un sens practic pentru ei.

Idealurile morale și convingerile morale ale adolescenților se formează sub influența a numeroși factori, în special, întărirea potențialului educațional al învățării. În rezolvarea problemelor complexe ale vieții, ar trebui să se acorde mai multă atenție metodelor indirecte de influențare a conștiinței adolescenților: nu prezentarea unui adevăr moral gata făcut, ci conducând la acesta și nu exprimarea judecăților categorice pe care adolescenții le pot percepe cu ostilitate.

§ 4. Cercetarea educațională în sistemul cerințelor de bază pentru conținutul educației matematice și nivelul de pregătire a elevilor

Ecuațiile și inegalitățile cu parametrii sunt un material excelent pentru munca de cercetare reală. Dar programa școlară nu include probleme cu parametrii ca subiect separat.

Să analizăm diferitele secțiuni ale standardului educațional al școlilor rusești din punctul de vedere al identificării problemelor legate de învățarea rezolvării problemelor cu parametri.

Studierea materialului programului permite elevilor de școală primară să „obțină o înțelegere inițială a unei probleme cu parametri care pot fi reduse la liniari și pătratici” și să învețe cum să construiască grafice ale funcțiilor și să exploreze locația acestor grafice în planul de coordonate, în funcție de valorile parametrilor incluși în formulă.

Linia „funcție” nu menționează cuvântul „parametru”, dar spune că elevii au posibilitatea de a „organiza și dezvolta cunoștințele de funcție; dezvolta o cultură grafică, învață să „citească” grafice fluent, reflectă proprietățile unei funcții pe un grafic.”

După ce am analizat manualele școlare de algebră de către grupuri de autori precum: Alimov Sh A. și colab., Makarychev N. și colab., Mordkovich A. G. și colab., am ajuns la concluzia că problemele cu parametrii din aceste manuale. acordată puțină atenție. În manualele pentru clasa a VII-a există mai multe exemple despre studierea problemei numărului de rădăcini ale unei ecuații liniare, despre studierea dependenței locației graficului unei funcții liniare y = kh și y = kh + b în funcție de valori de k. În manualele pentru clasele 8-9, în secțiuni precum „Probleme pentru munca extracurriculară” sau „Exerciții de repetare”, sunt date 2-3 sarcini pentru studiul rădăcinilor în ecuații pătratice și biquadratice cu parametri, locația graficului unui funcție pătratică în funcție de valorile parametrilor.

În programul de matematică pentru școli și clase cu studiu aprofundat, nota explicativă spune „secțiunea „Cerințe pentru pregătirea matematică a elevilor” stabilește cantitatea aproximativă de cunoștințe, deprinderi și abilități pe care școlarii trebuie să le stăpânească. Acest domeniu de aplicare, desigur, include acele cunoștințe, abilități și aptitudini, a căror dobândire obligatorie de către toți elevii este prevăzută de cerințele programului școlar de învățământ general; cu toate acestea, se propune o calitate diferită, mai înaltă a formării lor. Elevii trebuie să dobândească capacitatea de a rezolva probleme cu un nivel de complexitate mai mare decât nivelul de complexitate cerut, să formuleze cu acuratețe și competență principiile teoretice pe care le-au studiat și să își prezinte propriile raționamente atunci când rezolvă probleme...”

Să analizăm câteva manuale pentru elevii cu studii avansate de matematică.

Formularea unor astfel de probleme și soluțiile acestora nu depășesc sfera curriculumului școlar, dar dificultățile pe care le întâmpină elevii se explică, în primul rând, prin prezența unui parametru, iar în al doilea rând, prin ramificarea soluției și a răspunsurilor. Cu toate acestea, practica rezolvării problemelor cu parametri este utilă pentru dezvoltarea și consolidarea capacității de gândire logică independentă și pentru îmbogățirea culturii matematice.

În orele de educație generală de la școală, de regulă, se acordă o atenție neglijabilă unor astfel de sarcini. Întrucât rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu parametri este, poate, cea mai dificilă secțiune a unui curs de matematică elementară, nu este recomandabil să predați rezolvarea unor astfel de probleme cu parametrii pentru masa de școlari, dar elevi puternici care manifestă interes, aptitudini și abilități în matematica, care se străduiește să acționeze independent, ar trebui predată. Este cu siguranță necesar să se rezolve astfel de probleme. Prin urmare, alături de liniile de conținut-metodologice tradiționale ale cursului de matematică școlară precum funcționale, numerice, geometrice, linia ecuațiilor și linia transformărilor identice, și linia parametrilor trebuie să ia o anumită poziție. Conținutul materialului și cerințele pentru elevi pe tema „probleme cu parametrii” ar trebui, desigur, să fie determinate de nivelul de pregătire matematică a întregii clase în ansamblu și a fiecărui individ.

Profesorul trebuie să ajute la satisfacerea nevoilor și solicitărilor școlarilor care manifestă interes, aptitudini și abilități pentru materie. Pe probleme de interes pentru studenți, se pot organiza consultații, cluburi, cursuri suplimentare și opțiuni. Acest lucru se aplică pe deplin problemelor cu parametrii.

§ 5. Cercetarea educațională în structura activității cognitive a școlarilor

În momentul de față, problema pregătirii unui elev care se străduiește să acționeze independent, dincolo de cerințele profesorului, care nu își limitează sfera intereselor și cercetării active la materialul educațional oferit acestuia, care știe să prezinte și argumentat. să-și apere soluția la o anumită problemă, cine știe să precizeze sau, dimpotrivă, să generalizeze rezultatul luat în considerare, să identifice relații cauză-efect etc. În acest sens, studii care analizează fundamentele psihologiei creativității matematice în școală -copii de vârstă, examinează problema gestionării procesului de activitate mentală a elevilor, formând și dezvoltă abilitățile acestora de a dobândi în mod independent cunoștințe, de a aplica cunoștințe, de a le completa și de a le sistematiza, problema creșterii activității cognitive a școlarilor (L.S. Vygotsky, P. Ya Krutetsky, N.A. Menchinskaya, S.L. Rubinstein, L.M. Friedman etc.).

Metoda de cercetare a predării include două metode de cercetare: educațională și științifică.

Rezolvarea unei părți semnificative a problemelor unui curs de matematică școlar presupune ca elevii să fi dezvoltat calități precum stăpânirea regulilor și algoritmilor acțiunilor în conformitate cu programele actuale și capacitatea de a efectua cercetări de bază. Cercetarea în știință înseamnă studiul unui obiect în scopul identificării tiparelor de apariție și de dezvoltare a transformării acestuia. În procesul de cercetare se utilizează experiența anterioară acumulată, cunoștințele existente, precum și metodele și metodele (tehnicile) de studiere a obiectelor. Rezultatul cercetării ar trebui să fie dobândirea de noi cunoștințe științifice.

Când se aplică procesului de predare a matematicii în școala secundară, este important de reținut următoarele: componentele principale ale cercetării educaționale includ formularea unei probleme de cercetare, conștientizarea obiectivelor acesteia, analiza preliminară a informațiilor disponibile cu privire la problema luată în considerare, condiții și metode de rezolvare a problemelor apropiate problemei de cercetare, propunerea și formularea ipotezelor inițiale, analiza și generalizarea rezultatelor obținute pe parcursul studiului, verificarea ipotezei inițiale pe baza faptelor obținute, formularea finală de noi rezultate, modele, proprietăți , determinarea locului soluției găsite la problema pusă în sistemul cunoștințelor existente. Locul principal în rândul obiectelor cercetării educaționale îl ocupă acele concepte și relații ale cursului de matematică școlară, în procesul studierii cărora se dezvăluie tiparele schimbării și transformării lor, condițiile implementării lor, unicitatea etc.

Potențial serios în formarea unor astfel de abilități de cercetare, cum ar fi capacitatea de a observa, de a compara, de a prezenta, de a dovedi sau de a infirma o ipoteză în mod intenționat, capacitatea de a generaliza etc., are sarcini de construire într-un curs de geometrie, ecuații și inegalități cu parametri în un curs de algebră, așa-numitele probleme dinamice, în procesul de rezolvare pe care studenții stăpânesc tehnicile de bază ale activității mintale: analiză, sinteză (analiza prin sinteză, sinteză prin analiză), generalizare, precizare etc., observă intenționat obiectele în schimbare. , propune și formulează o ipoteză privind proprietățile obiectelor luate în considerare, testează ipoteza propusă, determină locul rezultatului învățat în sistemul cunoștințelor dobândite anterior, semnificația sa practică. Organizarea cercetării educaționale de către profesor are o importanță decisivă. Metode de predare a activității mentale, capacitatea de a efectua elemente de cercetare - aceste obiective atrag constant atenția profesorului, încurajându-l să găsească răspunsuri la multe întrebări metodologice legate de rezolvarea problemei luate în considerare.

Studierea multor probleme ale programului oferă oportunități excelente de a crea o imagine mai holistică și completă asociată cu luarea în considerare a unei anumite probleme.

În procesul cercetării educaționale se sintetizează cunoștințele și experiența acumulată de elev în studiul obiectelor matematice. De o importanță decisivă în organizarea cercetării educaționale a unui elev este atragerea atenției acestuia (întâi involuntar, apoi voluntar), crearea condițiilor de observație: asigurarea conștientizării profunde, a atitudinii necesare a elevului față de muncă, obiectul de studiu („https:/ /site”, 9).

În predarea matematicii în școală, există două niveluri strâns legate de cercetare educațională: empiric și teoretic. Prima se caracterizează prin observarea faptelor individuale, clasificarea lor și stabilirea unei legături logice între ele, verificabilă prin experiență. Nivelul teoretic al cercetării educaționale este diferit prin aceea că, ca urmare, elevul formulează legi matematice generale, pe baza cărora sunt interpretate mai profund nu numai faptele noi, ci și cele obținute la nivel empiric.

Efectuarea cercetării educaționale presupune ca elevul să utilizeze atât metode specifice, caracteristice doar matematicii, cât și cele generale; analiza, sinteza, inducția, deducția etc., utilizate în studiul obiectelor și fenomenelor din diverse discipline școlare.

Organizarea cercetării educaționale de către profesor are o importanță decisivă. În aplicarea procesului de predare a matematicii în școala secundară, este important de reținut următoarele: componentele principale ale cercetării educaționale includ formularea unei probleme de cercetare, conștientizarea obiectivelor acesteia, analiza preliminară a informațiilor disponibile cu privire la problema luată în considerare, conditii si metode de rezolvare a problemelor apropiate problemei de cercetare, propunerea si formularea ipotezei initiale, analiza si generalizarea rezultatelor obtinute pe parcursul studiului, verificarea ipotezei initiale pe baza faptelor obtinute, formularea finala de noi rezultate, tipare, proprietăți, determinarea locului soluției găsite la problema pusă în sistemul cunoștințelor existente. Locul principal în rândul obiectelor cercetării educaționale îl ocupă acele concepte și relații ale cursului de matematică școlară, în procesul studierii cărora se dezvăluie tiparele schimbării și transformării lor, condițiile implementării lor, unicitatea etc.

Pretabil cercetării educaționale este materialul legat de studiul funcțiilor studiate la cursul de algebră. Ca exemplu, luați în considerare o funcție liniară.

Sarcina: Examinați o funcție liniară pentru par și impar. Sugestie: Luați în considerare următoarele cazuri:

2) a = 0 și b? 0;

3) a? 0 și b = 0;

4) a? 0 si b? 0.

Ca urmare a cercetării, completați tabelul, indicând rezultatul obținut la intersecția rândului și coloanei corespunzătoare.

Ca rezultat al soluției, elevii ar trebui să primească următorul tabel:

	par si impar
	ciudat	nici par, nici impar

Simetria sa evocă un sentiment de satisfacție și încredere în corectitudinea umplerii.

Formarea metodelor de activitate mentală joacă un rol semnificativ atât în ​​dezvoltarea generală a școlarilor, cât și pentru a le insufla abilitățile de a efectua cercetări educaționale (în general sau fragmentar).

Rezultatul cercetării educaționale este subiectiv cunoștințe noi despre proprietățile obiectului (relația) luat în considerare și aplicațiile lor practice. Aceste proprietăți pot fi incluse sau nu într-un programa de matematică de liceu. Este important de menționat că noutatea rezultatului activității unui elev este determinată atât de natura căutării unei modalități de desfășurare a activității, de metoda de desfășurare a activității în sine, cât și de locul rezultatului obținut în sistemul de cunoștințe. a acelui elev.

Metoda de predare a matematicii folosind cercetarea educațională se numește cercetare, indiferent dacă schema de cercetare educațională este implementată integral sau fragmentar.

La implementarea fiecărei etape a cercetării educaționale sunt în mod necesar prezente atât elemente ale activității performative, cât și ale activității creative. Acest lucru se observă cel mai clar în cazul unui student care efectuează în mod independent un anumit studiu. De asemenea, pe parcursul cercetării educaționale, unele etape pot fi implementate de profesor, altele de însuși elevul. Nivelul de independență depinde de mulți factori, în special de nivelul de formare, capacitatea de a observa un anumit obiect (proces), capacitatea de a-și concentra atenția asupra aceluiași subiect, uneori pentru o perioadă destul de lungă, capacitatea de a a vedea o problemă, a formula clar și fără ambiguitate, capacitatea de a găsi și folosi asocieri adecvate (uneori neașteptate), capacitatea de a analiza concentrat cunoștințele existente pentru a selecta informațiile necesare etc.

De asemenea, este imposibil de supraestimat influența imaginației, intuiției, inspirației, abilității (și poate talentului sau geniului) a unui student asupra succesului activităților sale de cercetare.

§ 6 . Cercetare în sistemul de metode de predare

Peste o duzină de studii fundamentale au fost dedicate metodelor de predare, de care depinde succesul considerabil al muncii profesorului și al școlii în ansamblu. Și, în ciuda acestui fapt, problema metodelor de predare, atât în ​​teoria predării, cât și în practica pedagogică, rămâne foarte relevantă. Conceptul de metodă de predare este destul de complex. Acest lucru se datorează complexității excepționale a procesului pe care această categorie intenționează să o reflecte. Mulți autori consideră că metoda de predare este o modalitate de organizare a activităților educaționale și cognitive ale elevilor.

Cuvântul „metodă” este de origine greacă și tradus în rusă înseamnă cercetare, metodă. „Metoda – în sensul cel mai general – este o modalitate de a atinge un scop, un anumit mod de a ordona activitatea.” Este evident că în procesul de învăţare metoda acţionează ca o legătură între activităţile profesorului şi elevilor pentru atingerea anumitor scopuri educaţionale. Din acest punct de vedere, fiecare metodă de predare include în mod organic activitatea didactică a profesorului (prezentarea, explicarea materialului studiat) și organizarea activității educaționale și cognitive active a elevilor. Astfel, conceptul de metodă de predare reflectă:

1. Metodele de lucru didactice ale profesorului și metodele de lucru educațional ale elevilor în interrelația lor.

2. Specificul muncii lor pentru atingerea diferitelor obiective de învățare. Astfel, metodele de predare sunt modalități de activitate comună între profesor și elevi care vizează rezolvarea problemelor de învățare, adică a sarcinilor didactice.

Adică, metodele de predare trebuie înțelese ca fiind metodele activității didactice ale profesorului și organizarea activităților educaționale și cognitive ale elevilor pentru rezolvarea diferitelor sarcini didactice care vizează stăpânirea materialului studiat. Una dintre problemele acute ale didacticii moderne este problema clasificării metodelor de predare. În prezent, nu există un punct de vedere unic asupra acestei probleme. Datorită faptului că diferiți autori bazează împărțirea metodelor de predare în grupuri și subgrupe pe criterii diferite, există o serie de clasificări. Dar în anii 20 în pedagogia sovietică a existat o luptă împotriva metodelor de predare școlară și de învățare mecanică prin memorare care au înflorit în vechea școală și s-a făcut căutarea unor metode care să asigure dobândirea conștientă, activă și creativă a cunoștințelor de către elevi. În acei ani, profesorul B.V. Vieviatsky a dezvoltat poziția conform căreia nu pot exista decât două metode în predare: metoda cercetării și metoda cunoașterii gata făcute. Metoda cunoașterii gata făcute, firește, a fost criticată. Metoda de cercetare, a cărei esență se rezuma la faptul că studenții ar trebui să învețe totul pe baza observării și analizei fenomenelor studiate, abordând în mod independent concluziile necesare, a fost recunoscută ca cea mai importantă metodă de predare. Este posibil ca aceeași metodă de cercetare în clasă să nu fie aplicată tuturor subiectelor.

De asemenea, esența acestei metode este că profesorul descompune o problemă problematică în subprobleme, iar elevii parcurg pași individuali pentru a-i găsi soluția. Fiecare pas implică activitate creativă, dar nu există încă o soluție holistică a problemei. În timpul cercetării, studenții stăpânesc metodele cunoașterii științifice și dezvoltă experiență în activitățile de cercetare. Activitatea elevilor instruiți folosind această metodă este de a stăpâni tehnicile de a pune în mod independent problemele, de a găsi modalități de rezolvare a acestora, de a cerceta sarcini, de a pune și de a dezvolta probleme pe care profesorii le prezintă.

De asemenea, se poate observa că psihologia stabilește unele tipare cu psihologia dezvoltării. Înainte de a începe să lucrați cu studenții folosind metode, trebuie să studiați temeinic metodele de studiu a psihologiei dezvoltării lor. Familiarizarea cu aceste metode poate fi de folos practic direct pentru organizatorii acestui proces, deoarece aceste metode sunt potrivite nu numai pentru propria cercetare științifică, ci și pentru organizarea unui studiu aprofundat al copiilor în scopuri educaționale practice. O abordare individuală a formării și educației presupune o bună cunoaștere și înțelegere a caracteristicilor psihologice individuale ale elevilor și unicitatea personalității acestora. În consecință, profesorul trebuie să stăpânească capacitatea de a studia studenții, de a vedea nu o masă de studenți gri, omogenă, ci un colectiv în care fiecare reprezintă ceva special, individual și unic. Un astfel de studiu este sarcina fiecărui profesor, dar trebuie să fie organizat corespunzător.

Una dintre principalele metode de organizare este metoda observației. Desigur, psihicul nu poate fi observat direct. Această metodă presupune cunoașterea indirectă a caracteristicilor individuale ale psihicului uman prin studiul comportamentului său. Adică, aici este necesar să se judece elevul după caracteristicile individuale (acțiuni, fapte, vorbire, înfățișare etc.), starea psihică a elevului (procese de percepție, memorie, gândire, imaginație etc.) și prin trăsăturile sale de personalitate, temperamentul, caracterul. Toate acestea sunt necesare pentru elevul cu care profesorul lucrează folosind metoda de cercetare a predării atunci când execută unele sarcini.

Rezolvarea unei părți semnificative a problemelor unui curs de matematică școlar presupune ca elevii să fi dezvoltat calități precum stăpânirea regulilor și algoritmilor de acțiune în conformitate cu programele actuale și capacitatea de a efectua cercetări de bază. Cercetarea în știință înseamnă studiul unui obiect pentru a identifica tiparele de apariție, dezvoltare și transformare a acestuia. În procesul de cercetare se utilizează experiența anterioară acumulată, cunoștințele existente, precum și metodele și metodele (tehnicile) de studiere a obiectelor. Rezultatul cercetării ar trebui să fie dobândirea de noi cunoștințe științifice. Metode de predare a activității mentale, capacitatea de a efectua elemente de cercetare - aceste obiective atrag constant atenția profesorului, încurajându-l să găsească răspunsuri la multe întrebări metodologice legate de rezolvarea problemei luate în considerare. Studierea multor probleme ale programului oferă oportunități excelente de a crea o imagine mai holistică și completă asociată cu luarea în considerare a unei anumite sarcini. Metoda de cercetare de predare a matematicii se încadrează în mod firesc în clasificarea metodelor de predare în funcție de natura activităților elevilor și de gradul de independență cognitivă a acestora. Pentru a organiza cu succes activitatea de cercetare a unui student, profesorul trebuie să înțeleagă și să țină cont atât de calitățile sale personale, cât și de trăsăturile procedurale ale acestui tip de activitate, precum și de nivelul de competență al studentului în materialul de curs studiat. Este imposibil de supraestimat influența imaginației, intuiției, inspirației și abilității unui student asupra succesului activităților sale de cercetare.

Formele sarcinilor din metoda de cercetare pot fi diferite. Acestea pot fi sarcini care pot fi rezolvate rapid în clasă și acasă, sau sarcini care necesită o lecție întreagă. Majoritatea misiunilor de cercetare ar trebui să fie mici sarcini de căutare care necesită parcurgerea tuturor sau a majorității pașilor procesului de cercetare. Soluția lor completă va asigura că metoda de cercetare își îndeplinește funcțiile. Etapele procesului de cercetare sunt următoarele:

1 Observarea și compararea cu intenție a faptelor și fenomenelor.

Identificarea fenomenelor neclare de investigat.

Analiza preliminară a informațiilor disponibile cu privire la problema luată în considerare.

4. Propunerea și formularea unei ipoteze.

5. Construirea unui plan de cercetare.

Implementarea planului, clarificarea legăturilor fenomenului studiat cu alții.

Formularea de noi rezultate, modele, proprietăți, determinarea locului soluției găsite la cercetarea atribuită în sistemul cunoștințelor existente.

Se verifică soluția găsită.

Concluzii practice despre posibila aplicare a noilor cunoștințe.

§ 7 . Capacitate de cercetare în sistemeavem cunoștințe speciale

Abilitatea este aplicarea conștientă a cunoștințelor și aptitudinilor elevului pentru a efectua acțiuni complexe în diferite condiții, adică pentru a rezolva probleme relevante, deoarece execuția fiecărei acțiuni complexe acționează pentru elev ca o soluție a problemei.

Abilitățile de cercetare pot fi împărțite în generale și specifice. Abilitățile generale de cercetare, a căror formare și dezvoltare are loc în procesul de rezolvare a problemelor cu parametri, includ: capacitatea de a vedea în spatele unei ecuații date cu un parametru diferite clase de ecuații, caracterizate prin prezența comună a numărului și tipului de ecuații. rădăcini; capacitatea de a stăpâni metodele analitice şi grafico-analitice.

Abilitățile speciale de cercetare includ abilități care sunt formate și dezvoltate în procesul de rezolvare a unei anumite clase de probleme.

La rezolvarea ecuațiilor liniare care conțin un parametru, se formează următoarele abilități speciale:

§ Abilitatea de a identifica valori speciale ale parametrilor la care o anumită ecuație liniară are:

rădăcină unică;

Un număr infinit de rădăcini;

3) Nu are rădăcini;

Abilitatea de a interpreta răspunsul în limba sarcinii originale. Abilitățile speciale de cercetare, a căror formare și dezvoltare are loc în procesul de rezolvare a inegalităților liniare care conțin un parametru, includ:

§ Abilitatea de a vedea coeficientul necunoscutului și termenul liber în funcție de parametru;

§ Abilitatea de a identifica valori speciale ale parametrilor la care o anumită inegalitate liniară are ca soluție:

1) Interval;

2) Nu are soluții;

§ Abilitatea de a interpreta răspunsul în limba sarcinii inițiale Abilități speciale de cercetare, a căror formare și dezvoltare are loc în procesul de rezolvare a ecuațiilor pătratice care conțin un parametru.

§ Abilitatea de a identifica o valoare specială a unui parametru la care coeficientul principal devine zero, adică ecuația devine liniară și de a găsi o soluție la ecuația rezultată pentru valorile speciale identificate ale parametrului;

§ Abilitatea de a rezolva problema prezenței și numărului de rădăcini ale unei ecuații pătratice date în funcție de semnul discriminantului;

§ Abilitatea de a exprima rădăcinile unei ecuații pătratice printr-un parametru (dacă este disponibil);

Printre abilitățile speciale de cercetare, a căror formare și dezvoltare are loc în procesul de rezolvare a ecuațiilor fracționale-raționale care conțin un parametru care poate fi redus la cele pătratice, includ:

§ Abilitatea de a reduce o ecuație rațională fracțională care conține un parametru la o ecuație pătratică care conține un parametru.

Abilitățile speciale de cercetare, a căror formare și dezvoltare are loc în procesul de rezolvare a inegalităților pătratice care conțin un parametru, includ:

§ Abilitatea de a identifica o valoare specială a unui parametru la care coeficientul de conducere devine zero, adică inegalitatea devine liniară și de a găsi multe soluții la inegalitatea rezultată pentru valori speciale ale parametrului;

§ Abilitatea de a exprima setul de soluții la o inegalitate pătratică printr-un parametru.

Mai jos sunt enumerate abilitățile educaționale care se traduc în predare și cercetare, precum și abilități de cercetare.

clasa 6-7:

- utilizați rapid cunoștințele vechi în situația de a dobândi altele noi;

- transfera liber un complex de actiuni mentale de la un material la altul, de la un subiect la altul;

distribuie cunoștințele dobândite unui set mare de obiecte;

combina procesul de „colaps” și „desfășurare” a cunoștințelor;

rezumați intenționat ideile textului evidențiind gândurile principale în segmentele și părțile sale;

sistematizarea și clasificarea informațiilor;

— compararea informațiilor privind sistemele de caracteristici, evidențiind asemănările și diferențele;

- să poată conecta limbajul simbolic cu vorbirea scrisă și orală;

— analiza și planificarea metodelor pentru lucrările viitoare;

„conectați” rapid și liber componentele noilor cunoștințe;

să poată prezenta succint gândurile și faptele principale ale textului;

- obținerea de noi cunoștințe prin trecerea de la cunoștințele formatoare de sistem la cele specifice cu ajutorul diagramelor, tabelelor, notelor etc.;

utilizați diferite forme de înregistrare în timpul unui proces îndelungat de ascultare;

alege soluțiile optime;

dovediți sau infirmați folosind tehnici interdependente;

- utilizați diverse tipuri de analiză și sinteză;

- să ia în considerare problema din diferite puncte de vedere;

— exprima o judecată sub forma unui algoritm de gânduri.

Educația matematică în procesele de formare a gândirii sau de dezvoltare mentală a elevilor ar trebui să aibă și i se acordă un loc aparte, deoarece mijloacele de predare a matematicii influențează cel mai eficient multe dintre componentele de bază ale personalității holistice și, mai ales, gândirii.

Astfel, se acordă o atenție deosebită dezvoltării gândirii elevului, deoarece tocmai aceasta este legată de toate celelalte funcții mentale: imaginația, flexibilitatea minții, lățimea și profunzimea gândirii etc. Să remarcăm că, atunci când luăm în considerare dezvoltarea gândirii în contextul învățării centrate pe elev, trebuie amintit că o condiție necesară pentru implementarea unei astfel de dezvoltări este individualizarea învățării. Acesta este cel care asigură că sunt luate în considerare caracteristicile activității mentale a elevilor de diferite categorii.

Calea către creativitate este individuală. În același timp, toți elevii aflați în curs de studiere a matematicii ar trebui să simtă natura ei creativă, să se familiarizeze în procesul de învățare a matematicii cu unele abilități de activitate creativă de care vor avea nevoie în viața și activitățile lor viitoare. Pentru a rezolva această problemă complexă, predarea matematicii trebuie să fie structurată astfel încât elevul să caute adesea noi combinații, transformând lucruri, fenomene, procese ale realității și să caute conexiuni necunoscute între obiecte.

O modalitate excelentă de a introduce elevii în activitatea creativă atunci când predați matematica este munca independentă în toate formele și manifestările sale. Foarte fundamentală în acest sens este afirmația academicianului P. L. Kapitsa că independența este una dintre cele mai de bază calități ale unei personalități creative, deoarece cultivarea abilităților creative la o persoană se bazează pe dezvoltarea gândirii independente.

Nivelul de pregătire al studenților și grupurilor de studiu pentru activitatea creativă independentă poate fi determinat răspunzând la următoarele întrebări:

Cât de eficient pot elevii să folosească notele, notele de referință și să citească diagrame și diferite tipuri de tabele?

Știu elevii să evalueze obiectiv ideile propuse atunci când rezolvă o problemă problemă de către profesor și să țină cont de posibilitatea aplicării acestora? 3) Cât de repede trec elevii de la o modalitate de a rezolva o problemă la alta? 4) Analizați eficiența orientării elevilor în timpul lecției către autoorganizarea muncii independente; 5) Explorează capacitatea elevilor de a modela și de a rezolva probleme în mod flexibil.

Capitolul 2. Analiza metodologică a temei „Ecuații și inegalități cu parametri” și desfășurarea unui curs opțional „Ecuații și inegalități cuadratice cu un parametru”

§ 1. Rol Și loc parametrice ecuații Și inegalităților in formatie cercetare pricepereelevii

În ciuda faptului că programa de matematică a gimnaziului nu menționează în mod explicit probleme cu parametrii, ar fi o greșeală să spunem că problema rezolvării problemelor cu parametrii nu este sub nicio formă abordată în cursul de matematică școlar. Este suficient să amintim ecuațiile școlare: ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, în ​​care a, b, c, k nu sunt altceva decât parametri. Dar în cadrul cursului școlar, atenția nu este concentrată asupra unui astfel de concept, a parametrului, a modului în care diferă de necunoscut.

Experiența arată că problemele cu parametrii reprezintă cea mai complexă secțiune a matematicii elementare în termeni logici și tehnici, deși din punct de vedere formal conținutul matematic al unor astfel de probleme nu depășește limitele programelor. Acest lucru este cauzat de puncte de vedere diferite asupra parametrului. Pe de o parte, un parametru poate fi considerat o variabilă, care este considerată o valoare constantă atunci când se rezolvă ecuații și inegalități, pe de altă parte, un parametru este o mărime a cărei valoare numerică nu este dată, dar trebuie considerată cunoscută; parametrul poate lua valori arbitrare, adică parametrul, fiind un număr fix, dar necunoscut, are o natură duală. În primul rând, cunoașterea presupusă permite ca parametrul să fie tratat ca un număr, iar în al doilea rând, gradul de libertate este limitat de necunoscutul său.

În fiecare dintre descrierile naturii parametrilor, există incertitudine - în ce etape ale soluției parametrul poate fi considerat o constantă și când joacă rolul unei variabile. Toate aceste caracteristici contradictorii ale parametrului pot provoca o anumită barieră psihologică la elevi chiar la începutul cunoștinței lor.

În acest sens, în stadiul inițial de cunoaștere a parametrului, este foarte util să se recurgă cât mai des la o interpretare vizuală și grafică a rezultatelor obținute. Acest lucru nu numai că permite elevilor să depășească incertitudinea naturală a parametrului, dar oferă și profesorului posibilitatea, în paralel, ca propedeutică, de a-i învăța pe elevi să folosească metode grafice de demonstrație atunci când rezolvă probleme. De asemenea, nu trebuie să uităm că utilizarea de ilustrații grafice cel puțin schematice în unele cazuri ajută la determinarea direcției cercetării și, uneori, ne permite să selectăm imediat cheia pentru rezolvarea unei probleme. Într-adevăr, pentru anumite tipuri de probleme, chiar și un desen primitiv, departe de un grafic real, face posibilă evitarea diferitelor tipuri de erori și obținerea unui răspuns la o ecuație sau inegalitate într-un mod mai simplu.

Rezolvarea problemelor de matematică în general este cea mai dificilă parte a activităților școlarilor atunci când studiază matematica și acest lucru se explică prin faptul că rezolvarea problemelor necesită un nivel destul de ridicat de dezvoltare a inteligenței de cel mai înalt nivel, adică gândire teoretică, formală și reflexivă, etc. gândirea, așa cum sa menționat deja, se dezvoltă încă în timpul adolescenței.

Lucru de curs

Interpret: Bugrov S K.

Studiul multor procese fizice și modele geometrice duce adesea la rezolvarea problemelor cu parametri. Unele universități includ, de asemenea, ecuații, inegalități și sistemele lor în lucrările de examen, care sunt adesea foarte complexe și necesită o abordare non-standard a soluționării. La școală, aceasta dintre cele mai dificile secțiuni ale cursului de matematică școlară este luată în considerare doar la câteva clase opționale.

În pregătirea acestei lucrări, mi-am stabilit scopul unui studiu mai profund al acestei teme, identificând cea mai rațională soluție care să conducă rapid la un răspuns. În opinia mea, metoda grafică este o modalitate convenabilă și rapidă de a rezolva ecuații și inegalități cu parametri.

Eseul meu discută despre tipuri de ecuații, inegalități întâlnite frecvent și sistemele acestora și sper că cunoștințele pe care le-am dobândit în procesul de muncă să mă ajute la promovarea examenelor școlare și la intrarea la universitate.

Inegalitate

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)

unde a, b, c, …, k sunt parametri și x este o variabilă reală, se numește o inegalitate cu o necunoscută care conține parametri.

Orice sistem de valori ale parametrilor a = a0, b = b0, c = c0, ..., k = k0, pentru o anumită funcție

¦(a, b, c, …, k, x) și

j(a, b, c, …, k, x

au sens în domeniul numerelor reale, numit sistem de valori ale parametrilor permisi.

se numește valoare validă a lui x dacă

¦(a, b, c, …, k, x) și

j(a, b, c, …, k, x

ia valori valide pentru orice sistem admisibil de valori ale parametrilor.

Mulțimea tuturor valorilor admisibile ale lui x se numește domeniul de definire a inegalității (1).

Un număr real x0 se numește soluție parțială a inegalității (1) dacă inegalitatea

¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

adevărat pentru orice sistem de valori ale parametrilor permise.

Mulțimea tuturor soluțiilor particulare ale inegalității (1) se numește soluție generală a acestei inegalități.

Rezolvarea inegalității (1) înseamnă a indica la ce valori ale parametrilor există o soluție generală și care este aceasta.

Două inegalități

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) și (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)

se numesc echivalente daca au aceleasi solutii generale pentru acelasi set de sisteme de valori ale parametrilor admisibili.

Găsim domeniul de definire al acestei inegalități.

Reducem inegalitatea la o ecuație.

Exprimăm a în funcție de x.

În sistemul de coordonate xOa, construim grafice ale funcțiilor a =¦ (x) pentru acele valori ale lui x care sunt incluse în domeniul de definire a acestei inegalități.

Găsim seturi de puncte care satisfac această inegalitate.

Să explorăm influența parametrului asupra rezultatului.

Să găsim abscisa punctelor de intersecție ale graficelor.

să stabilim o linie dreaptă a=const și să o deplasăm de la -¥ la +¥

Scriem răspunsul.

Acesta este doar unul dintre algoritmii de rezolvare a inegalităților cu parametri folosind sistemul de coordonate xOa. Sunt posibile și alte metode de rezolvare, folosind sistemul de coordonate xOy standard.

§3. Exemple

I. Pentru toate valorile admisibile ale parametrului a, rezolvați inegalitatea

În domeniul definirii parametrului a, definit de sistemul de inegalități

această inegalitate este echivalentă cu sistemul de inegalități

Dacă , atunci soluțiile inegalității inițiale umplu intervalul.

II. La ce valori ale parametrului a are sistemul o soluție?

Să găsim rădăcinile trinomului din partea stângă a inegalității -

(*)

Dreaptele definite prin egalități (*) împart planul de coordonate aOx în patru regiuni, în fiecare dintre acestea fiind un trinom pătrat

menține un semn constant. Ecuația (2) definește un cerc cu raza 2 centrat la origine. Apoi soluția la sistemul original va fi intersecția umbrite

regiune cu un cerc, unde , și valorile și sunt găsite din sistem

și valorile și sunt găsite din sistem

Rezolvând aceste sisteme, obținem asta

III. Rezolvați inegalitatea în funcție de valorile parametrului a.

Găsirea intervalului de valori acceptabile –

Să construim un grafic al funcției din sistemul de coordonate xOy.

când inegalitatea nu are soluții.

la pentru soluția x satisface relația , Unde

Răspuns: Soluțiile la inegalitate există atunci când

Unde , iar la rezolvare ; atunci când se hotărăște.

IV. Rezolvați inegalitatea

Găsirea liniilor ODZ sau de discontinuitate (asimptote)

Să găsim ecuațiile funcțiilor ale căror grafice trebuie construite în UCS; de ce să trecem la egalitate:

Să factorizăm numărătorul.

deoarece Acea

Să împărțim ambele părți ale egalității la . Dar este o soluție: partea stângă a ecuației este egală cu partea dreaptă și este egală cu zero la .

3. Construim grafice ale funcțiilor în UCS xOa

și numerotați zonele rezultate (axele nu joacă un rol). Acest lucru a rezultat în nouă regiuni.

4. Căutăm care dintre zone este potrivită pentru această inegalitate, pentru care luăm un punct din zonă și îl substituim în inegalitate.

Pentru claritate, să facem un tabel.

		inegalitate:

5. Găsiți punctele de intersecție ale graficelor

6. Să setăm linia dreaptă a=const și să o deplasăm de la -¥ la +¥.

la

nu exista solutii

la

Bibliografie

Dalinger V. A. „Geometria ajută la algebră.” Editura „Școala – Presă”. Moscova 1996

Dalinger V. A. „Totul pentru a asigura succesul la examenele finale și la examenele de admitere la matematică.” Editura Universității Pedagogice din Omsk. Omsk 1995

Okunev A. A. „Rezolvarea grafică a ecuațiilor cu parametri.” Editura „Școala – Presă”. Moscova 1986

Pismensky D. T. „Matematică pentru elevii de liceu”. Editura „Iris”. Moscova 1996

Yastribinetsky G. A. „Ecuații și inegalități care conțin parametri”. Editura „Prosveshcheniye”. Moscova 1972

G. Korn și T. Korn „Manual de matematică”. Editura „Știință” literatură fizică și matematică. Moscova 1977

Amelkin V.V. și Rabtsevich V.L. „Probleme cu parametrii”. Editura „Asar”. Moscova 1996

Instituția de învățământ autonomă municipală „Liceul nr. 1” din Novtroitsk

Cercetare

Metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților cu un parametru

Modelare matematică

Efectuat:

elev 11 A clasa MOAU

"Liceul nr. 1"

supraveghetor:

profesor de studii superioare

Novotroitsk

Introducere. 3

Parametru. 5

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice cu un parametru. 9

Metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale și logaritmice cu un parametru. 17

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii şi inegalităţi. 22

Concluzie. 31

Lista literaturii folosite... 32

Introducere

Ecuațiile cu un parametru provoacă o mare dificultate elevilor din clasele 9-11. Acest lucru se datorează faptului că rezolvarea unor astfel de ecuații necesită nu numai cunoașterea proprietăților funcțiilor și ecuațiilor, capacitatea de a efectua transformări algebrice, ci și tehnici de cercetare și cultură logică înaltă.

Dificultăți atunci când studiem acest tip de ecuații sunt asociate cu următoarele caracteristici:

· abundența de formule și metode utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip;

· capacitatea de a rezolva aceeași ecuație care conține un parametru în moduri diferite.

Relevanţă subiectele este determinată de conținutul insuficient al problemelor pe această temă din manualul „Algebră clasa a XI-a”.

Importanța acestei teme este determinată de necesitatea de a putea rezolva astfel de ecuații cu parametri atât la promovarea Examenului Unificat de Stat, cât și la examenele de admitere la instituțiile de învățământ superior.

Obiect de studiu: sarcini cu parametri.

Scopul acestei lucrări:

Identificați, justificați și demonstrați clar metode de rezolvare a tuturor tipurilor de ecuații cu parametri;

Rezolvarea ecuațiilor cu parametri;

Aprofundarea cunoștințelor teoretice de rezolvare a ecuațiilor cu parametri;

Pentru a atinge acest obiectiv, este necesar să rezolvăm următoarele sarcini:

1. Definiți conceptele unei ecuații cu parametri;

2. Arătați modalități de rezolvare a ecuațiilor cu parametri.

Demnitatea muncii mele este după cum urmează: sunt indicați algoritmi de rezolvare a ecuațiilor cu parametri; problemele se întâlnesc adesea la diferite examene și olimpiade. Lucrarea îi va ajuta pe studenți să promoveze examenul de stat unificat.

Acțiunile mele:

1. Selectați și studiați literatura de specialitate;

2. Rezolvarea problemelor selectate;

Parametru

Există mai multe definiții parametru:

- Parametru - aceasta este o cantitate inclusă în formule și expresii, a cărei valoare este constantă în limitele problemei luate în considerare, dar într-o altă sarcină își schimbă valorile (- „Dicționar explicativ de termeni matematici”).

- Variabile A, b, c, …, k, care sunt considerate constante la rezolvarea unei ecuaţii sau inegalităţi se numesc parametrii, iar ecuația (inegalitatea) în sine se numește o ecuație (inegalitatea) care conține parametri (- „Tutor de matematică”, Rostov-on-Don „Phoenix” 1997).

Soluția pentru majoritatea ecuațiilor care conțin un parametru se rezumă la ecuații pătratice cu parametru. Prin urmare, pentru a învăța cum să rezolvi ecuații exponențiale, logaritmice, trigonometrice și sisteme de ecuații cu un parametru, trebuie mai întâi să dobândești abilități de rezolvare. ecuații pătratice cu parametru.

Ecuația formei topor2 + bx+ c=0 , unde x este o necunoscută, a, b, c sunt expresii care depind numai de parametri, a¹0 se numește ecuație pătratică relativ la x. Vom lua în considerare numai acele valori ale parametrilor pentru care a, b, c sunt valide.

Valorile de control ale parametrilor

Pentru a rezolva ecuații pătratice cu un parametru, este necesar să găsiți valorile de control ale parametrilor.

Valorile de control ale parametrilor– acele valori la care se transformă în 0:

Coeficientul de conducere într-o ecuație sau inegalitate;

Numitori în fracții;

Discriminant al unui binom pătratic.

Schema generala de rezolvare a ecuatiilor reductibile la ecuatii patratice cu un parametru.

Schema generala de rezolvare a ecuatiilor reductibile la ecuatii patratice cu un parametru:

1. Indicați și excludeți toate valorile parametrului și variabilei la care ecuația devine lipsită de sens.

2. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un numitor comun care nu este zero.

3. Convertiți ecuația corolară în forma https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - numere reale sau funcții ale unui parametru.

4. Rezolvați ecuația rezultată luând în considerare cazurile:

A) ; b) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" height="75">х=2b+1

Deoarece x trebuie să fie în intervalul de la 1 la 6, atunci:
1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1

1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">

y(1)>0 y=1-4b+4b2– 1>0

y(6)> 0 y=36-24b+4b2– 1>0

xвО(1; 6) 1<-<6

bО(-∞; 0) È (1; +∞).

2) 4b2-24b+35>0

D=576 – 560=16=42>0

b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2,5 bÎ(0,5; 3)

bÎ(-∞;2,5)È(3,5;+∞)
bО(1; 2,5)

Răspuns: rădăcinile ecuației x2-4bх+4b2–1=0 se află în intervalul de la