Definiția numărului sinusoid. Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi ascuțit. Funcții trigonometrice

În acest articol vă vom arăta cum definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului și numărului în trigonometrie... Aici vom vorbi despre desemnări, vom da exemple de intrări și vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, să facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să urmărim cum se formează ideea de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă curs şcolar matematică. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care vorbește despre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unghiului de rotație și număr. Vom da toate aceste definiții, vom da exemple și vom da comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul geometriei se cunosc definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Să dăm formulările lor.

Definiție.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic Este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.

Definiție.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic Este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiție.

Tangenta acuta intr-un triunghi dreptunghic Este raportul dintre piciorul opus și cel alăturat.

Definiție.

Cotangentă acută într-un triunghi dreptunghic- Acesta este raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.

Denumirile pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt, de asemenea, introduse acolo - sin, cos, tg și, respectiv, ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu un unghi drept C, atunci sinusul unui unghi ascuțit A este egal cu raportul catetului opus BC și ipotenuza AB, adică sin∠A = BC / AB .

Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valori cunoscute sinus, cosinus, tangentă, cotangentă și lungimea uneia dintre laturi găsesc lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este 3, iar ipotenuza AB este 7, atunci am putea calcula valoarea cosinusului unui unghi ascuțit A prin definiție: cos∠A = AC / AB = 3/7.

Unghiul de rotire

În trigonometrie, ei încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Valoarea unghiului de rotație, spre deosebire de unghiul ascuțit, nu este limitată de cadrele de la 0 la 90 de grade, unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la + ∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei nu mai sunt un unghi ascuțit, ci un unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1, la care merge așa-numitul punct de plecare A (1, 0) după ce este rotit cu un unghi α în jurul punctului O - originea coordonatei carteziene dreptunghiulare sistem și centrul cercului unitar.

Definiție.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1, adică sinα = y.

Definiție.

Cosinusul unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1, adică cos α = x.

Definiție.

Tangenta de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tgα = y / x.

Definiție.

Cotangentă de rotațieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα = x / y.

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α, deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata unui punct, care se obține prin rotirea punctului de plecare cu un unghi α. Și tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru fiecare unghi. Tangenta nu este definită pentru astfel de unghiuri α, la care punctul de plecare merge la un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1), iar aceasta are loc la unghiurile 90 ° + 180 ° k, k∈ Z (π / 2 + π k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα = y / x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, nu este definită pentru astfel de unghiuri α, la care punctul de plecare merge la un punct cu ordonată zero (1, 0) sau (−1, 0), și acesta este cazul unghiurilor de 180 ° k , k ∈Z (π k este rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad), iar cotangenta este pentru toate unghiurile cu excepția 180 ° K, k∈Z (π k rad).

Notațiile sin, cos, tg și ctg deja cunoscute nouă apar în definiții, ele fiind folosite și pentru a desemna sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unghiului de rotație (uneori găsiți denumirile tan și cot, corespunzătoare tangenta si cotangenta). Deci sinusul unghiului de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30 °, intrările tg (−24 ° 17 ′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, denumirea „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rad este de obicei notat cos3 · π.

În concluzia acestui punct, este de remarcat faptul că într-o conversație despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa” se folosește de obicei expresia „sinus al unghiului alfa” sau, și mai scurt, „sinus al unghiului alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus, tangente și cotangente.

Să spunem, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile date de sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unghiului de rotație cuprins între 0 și 90 de grade. Vom justifica acest lucru.

Numerele

Definiție.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul lui 8 · π este, prin definiție, un număr egal cu cosinusul unui unghi de 8 · π rad. Și cosinusul unui unghi în 8 · π este rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8 · π este 1.

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecărui număr real t i se asociază un punct al cercului unitar centrat la originea unui sistem de coordonate dreptunghiulare, iar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt determinate prin coordonatele acestui punct. Să ne oprim asupra acestui lucru mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește corespondența între numerele reale și punctele unui cerc:

• numărul 0 este asociat cu punctul de plecare A (1, 0);
• un număr pozitiv t este asociat cu punctul cercului unitar, în care vom ajunge, dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
• număr negativ t este asociat cu punctul cercului unitar, în care vom ajunge, dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t | ...

Acum ne întoarcem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde punctului cercului A 1 (x, y) (de exemplu, numărul π / 2; corespunde punctului A 1 (0, 1)).

Definiție.

Sinusul unui număr t se numeste ordonata punctului cercului unitar corespunzator numarului t, adica sint = y.

Definiție.

Numărul cosinus t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică cost = x.

Definiție.

Tangenta numărului t este raportul dintre ordonata și abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică tgt = y / x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta numărului t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt = sint / cost.

Definiție.

Număr cotangent t este raportul dintre abscisa și ordonata punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică ctgt = x / y. O altă formulare este următoarea: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t: ctgt = cost / sint.

Rețineți aici că definițiile tocmai date sunt în concordanță cu definiția dată la începutul acestui paragraf. Într-adevăr, punctul cercului unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare cu un unghi de t radiani.

De asemenea, merită să clarificăm acest punct. Să zicem că avem păcat3. Cum să înțelegem dacă vorbim despre sinusul numărului 3 sau sinusul unghiului de rotație de 3 radiani? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel este cel mai probabil irelevant.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definițiilor date în paragraful anterior, fiecărui unghi de rotație α îi corespunde o valoare bine definită a lui sinα, precum și valoarea lui cosα. În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad) corespund valorilor tanα și valorilor altele decât 180 ° k, k∈Z (π k ) Sunt valorile lui ctgα. Prin urmare sinα, cosα, tgα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, sunt funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, putem vorbi despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecare număr real t are o valoare sint bine definită, la fel ca și costul. În plus, valorile tgt corespund tuturor numerelor, altele decât π / 2 + π k, k∈Z, iar valorile ctgt corespund numerelor π k, k∈Z.

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, este clar din context dacă avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau ale unui argument numeric. În caz contrar, putem considera variabila independentă atât ca măsură a unui unghi (argument unghiular) cât și ca argument numeric.

Cu toate acestea, școala studiază în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, ca și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă este vorba tocmai despre funcții, este indicat să se considere funcțiile trigonometrice drept funcții ale argumentelor numerice.

Legarea definițiilor din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α în intervalul de la 0 la 90 de grade, atunci datele din contextul trigonometriei pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație sunt pe deplin de acord cu definițiile sinusului, cosinusului, tangente și cotangente ale unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul geometriei. Să justificăm acest lucru.

Să reprezentăm cercul unitar în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Să marchem punctul de plecare A (1, 0). Să-l rotim printr-un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y). Să lăsăm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică | OH | = x, lungimea catetei opusă unghiului catetei A 1 H este egală cu ordonata punctului A 1, adică | A 1 H | = y, iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egal cu unu, deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα = | A 1 H | / | OA 1 | = y / 1 = y. Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sin α = y. Din aceasta se poate observa că determinarea sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic echivalează cu determinarea sinusului unghiului de rotație α la α de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului ascuțit α sunt de acord cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 clase: manual. pentru invatamantul general. instituții / [L. S. Atanasyan, V.F.Butuzov, S. B. Kadomtsev și alții]. - Ed. a 20-a. M .: Educaţie, 2010. - 384 p .: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. A. V. Pogorelov Geometrie: manual. pentru 7-9 cl. educatie generala. instituţii / A. V. Pogorelov. - ed. a II-a - M .: Educaţie, 2001. - 224 p .: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și functii elementare : Tutorial pentru elevii din clasa a 9-a liceu/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice ON Golovin - ed. a IV-a. Moscova: Educație, 1969.
4. Algebră: Manual. pentru 9 cl. miercuri scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Educație, 1990.- 272 p .: ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Manual. pentru 10-11 cl. educatie generala. instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M .: Educaţie, 2004. - 384 p .: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
6. A. G. Mordkovici Algebra și începutul analizei. Clasa 10. La 2 h. Partea 1: manual pentru instituțiile de învățământ ( nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, Add. - M .: Mnemozina, 2007 .-- 424 p.: Ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general. instituţii: de bază şi de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I .: Educaţie, 2010.- 368 p .: ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: manual. pentru 10-11 cl. miercuri shk. - Ed. a 3-a. - M .: Educaţie, 1993 .-- 351 p .: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (manual pentru solicitanții la școlile tehnice): manual. manual.- M .; Superior. shk., 1984.-351 p., ill.

Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine acestea, la prima vedere, concepte complexe(care provoacă o stare de groază la mulți școlari), și pentru a ne asigura că „diavolul nu este atât de groaznic pe cât este pictat”, să începem de la bun început și să înțelegem conceptul de unghi.

Conceptul de unghi: radian, grad

Să aruncăm o privire la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci, măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi injecţie.

Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, desigur, unități unghiulare!

Unghiul, atât în ​​geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.

Unghiul (un grad) se numește unghiul central al unui cerc, sprijinit pe un arc de cerc egal cu o parte a cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal cu.

Adică, imaginea de mai sus arată un unghi egal, adică acest unghi se sprijină pe un arc circular cu dimensiunea circumferinței.

Un unghi în radiani este unghiul central dintr-un cerc care se sprijină pe un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, v-ați dat seama? Dacă nu, atunci hai să ne dăm seama prin desen.

Deci, figura arată un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se sprijină pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza este egală cu lungimea arcului). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:

Unde este unghiul central în radiani.

Ei bine, poți, știind asta, să răspunzi câți radiani conține unghiul descris de cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferință. Acolo e:

Ei bine, acum să relaționăm aceste două formule și să obținem că unghiul descris de cerc este egal. Adică, corelând valoarea în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis deoarece unitatea este de obicei clară din context.

Câți radiani sunt? Asta e corect!

Am înțeles? Apoi remediați înainte:

Aveți dificultăți? Atunci uite raspunsurile:

Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi

Deci, ne-am dat seama conceptul de unghi. Dar ce este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi la urma urmei? Să ne dăm seama. Pentru aceasta, ne va ajuta un triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghi drept(în exemplul nostru, aceasta este partea); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele care sunt adiacente unghiului drept), în plus, dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este opus. Deci, acum să răspundem la întrebarea: care sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Unghiul sinusoid este raportul dintre catetul opus (distant) și ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Tangenta unghiului este raportul dintre piciorul opus (depărtat) și piciorul adiacent (închis).

În triunghiul nostru.

Unghi cotangent este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și piciorul opus (depărtat).

În triunghiul nostru.

Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a fi mai ușor să vă amintiți ce picior să împărțiți în ce, trebuie să vă dați seama clar de asta tangentăși cotangense numai picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusși cosinus... Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

Cosinus → atingere → atingere → adiacent;

Cotangent → atingere → atingere → adiacent.

În primul rând, este necesar să ne amintim că sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta ca rapoarte ale laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la un unghi). Nu crede? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi:, dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi:. Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă v-ați dat seama de definiții, atunci mergeți mai departe și remediați-le!

Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsiți.

Ei bine, ai înțeles? Atunci încearcă și tu: numără la fel și pentru colț.

Cerc unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur... Este foarte util atunci când învățați trigonometria. Prin urmare, să ne oprim asupra ei mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit într-un sistem de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la origine, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).

Fiecare punct al cercului corespunde a două numere: coordonatele de-a lungul axei și coordonatele de-a lungul axei. Și care sunt aceste numere-coordonate? Și în general, ce legătură au ei cu subiectul luat în considerare? Pentru a face acest lucru, trebuie să vă amintiți despre triunghiul dreptunghic considerat. În imaginea de mai sus, puteți vedea două triunghiuri întregi dreptunghiulare. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiular deoarece este perpendicular pe axa.

Cu ce ​​este egal triunghiul? E bine. În plus, știm că - este raza cercului unitar și, prin urmare,. Înlocuiți această valoare în formula cosinusului. Iată ce se întâmplă:

Și ce este egal cu din triunghi? Ei bine, desigur,! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:

Deci, ne puteți spune care sunt coordonatele unui punct aparținând unui cerc? Ei bine, în niciun caz? Și dacă realizezi asta și sunt doar numere? Cu ce ​​coordonata corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Si la ce coordonata corespunde? Așa e, coordonează! Deci ideea.

Și atunci ce sunt egale cu și? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? Iată, de exemplu, ca în această figură:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, întoarceți-vă din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: colț (ca adiacent colțului). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonată; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricăror rotații ale vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar dacă l-am roti în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, se va dovedi și un unghi de o anumită mărime, dar numai el va fi negativ. Astfel, când rotiți vectorul rază în sens invers acelor de ceasornic, obțineți unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că întreaga revoluție a vectorului rază într-un cerc este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază cu sau cu? Sigur ca poti! În primul caz, astfel, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.

În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția sau.

Astfel, din exemplele de mai sus, putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Imaginea de mai jos arată unghiul. Aceeași imagine corespunde colțului etc. Lista continuă și continuă. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală sau (unde este orice număr întreg)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți cu ce valori sunt egale:

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci, știm că:

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri ale unghiului. Ei bine, să începem în ordine: colțul corespunde unui punct cu coordonate, deci:

Nu exista;

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

Nu exista

Nu exista

Nu exista

Nu exista

Astfel, putem întocmi următorul tabel:

Nu este necesar să ne amintim toate aceste semnificații. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și, date în tabelul de mai jos, trebuie să-ți amintești:

Nu vă fie teamă, acum vă vom arăta unul dintre exemple. memorarea destul de simplă a valorilor corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri ale unghiului (), precum și valoarea tangentei unghiului în. Cunoscând aceste valori, este destul de ușor să restabiliți întregul tabel în ansamblu - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „” se va potrivi, iar numitorul „” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt reportate conform săgeților din figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți toate valorile din tabel.

Coordonatele punctului pe un cerc

Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?

Ei bine, bineînțeles că poți! Să aducem formula generala pentru aflarea coordonatelor unui punct.

Aici, de exemplu, avem un astfel de cerc:

Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este. Este necesar să găsiți coordonatele punctului obținute prin rotirea punctului cu grade.

După cum puteți vedea din figură, lungimea segmentului corespunde coordonatei punctului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală cu. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

Apoi avem asta pentru punctul coordonata.

Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. Prin urmare,

Deci in vedere generala coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

Coordonatele centrului cercului,

Raza cercului,

Unghiul de rotație al razei vectorului.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero, iar raza este egală cu unu:

Ei bine, vom gusta aceste formule exersând găsirea punctelor pe un cerc?

1. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului cu.

2. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului cu.

3. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului cu.

4. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

5. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?

Rezolvați aceste cinci exemple (sau înțelegeți bine soluția) și veți învăța cum să le găsiți!

1.

Puteți vedea asta. Dar știm ce corespunde unei revoluții complete a punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:

2. Cercul este o unitate cu un centru într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Puteți vedea asta. Știm că se potrivește cu două ture complete punct de start. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:

Sinusul și cosinusul sunt valori tabelare. Ne amintim semnificațiile lor și obținem:

Astfel, punctul solicitat are coordonate.

3. Cercul este o unitate cu un centru într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Puteți vedea asta. Să descriem exemplul considerat în figură:

Raza formează unghiuri cu axa egale cu și. Știind că valorile tabelare ale cosinusului și sinusului sunt egale și determinând că cosinusul aici ia sens negativ, iar sinusul este pozitiv, avem:

Exemple similare sunt analizate mai detaliat atunci când se studiază formulele de turnare a funcțiilor trigonometrice din subiect.

Astfel, punctul solicitat are coordonate.

4.

Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție,)

Pentru a determina semnele corespunzătoare ale sinusului și cosinusului, construim cercul și unghiul unitar:

După cum puteți vedea, valoarea, adică pozitivă, și valoarea, adică negativă. Cunoscând valorile tabelare ale funcțiilor trigonometrice corespunzătoare, obținem că:

Înlocuiți valorile obținute în formula noastră și găsiți coordonatele:

Astfel, punctul solicitat are coordonate.

5. Pentru a rezolva această problemă, vom folosi formule în formă generală, unde

Coordonatele centrului cercului (în exemplul nostru,

Raza cercului (după condiție,)

Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție,).

Înlocuiți toate valorile din formulă și obțineți:

și - valori tabelare. Le amintim și le înlocuim în formula:

Astfel, punctul solicitat are coordonate.

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

Sinusul unghiului este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

Cosinusul unghiului este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

Tangenta unghiului este raportul dintre piciorul opus (depărtat) și piciorul adiacent (aproape).

Cotangenta unui unghi este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și piciorul opus (depărtat).

Acest articol conține tabele de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente... În primul rând, oferim un tabel cu principalele valori ale funcțiilor trigonometrice, adică un tabel cu sinusuri, cosinus, tangente și cotangente ale unghiurilor 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 de grade ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π radian). După aceea, vom oferi un tabel cu sinusuri și cosinus, precum și un tabel cu tangente și cotangente ale lui V.M. Bradis și vom arăta cum să folosiți aceste tabele atunci când găsim valorile funcțiilor trigonometrice.

Navigare în pagină.

Tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente pentru unghiurile 0, 30, 45, 60, 90, ... grade

Bibliografie.

• Algebră: Manual. pentru 9 cl. miercuri scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Educație, 1990.- 272 p .: ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: manual. pentru 10-11 cl. miercuri shk. - Ed. a 3-a. - M .: Educaţie, 1993 .-- 351 p .: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Manual. pentru 10-11 cl. educatie generala. instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M .: Educaţie, 2004. - 384 p .: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (manual pentru solicitanții la școlile tehnice): manual. manual.- M .; Superior. shk., 1984.-351 p., ill.
• Bradis V.M. Tabele matematice din patru cifre: Pentru învățământul general. studiu. instituţiilor. - Ed. a II-a. - M .: Butarda, 1999. - 96 p .: ill. ISBN 5-7107-2667-2

Una dintre ramurile matematicii cu care elevii fac față celor mai mari dificultăți este trigonometria. Nu este surprinzător: pentru a stăpâni liber această zonă de cunoaștere, aveți nevoie de gândire spațială, capacitatea de a găsi sinusuri, cosinus, tangente, cotangente prin formule, simplifica expresii și puteți utiliza pi în calcule. În plus, trebuie să fiți capabil să aplicați trigonometria atunci când demonstrați teoreme, iar acest lucru necesită fie o memorie matematică dezvoltată, fie capacitatea de a deduce lanțuri logice complexe.

Originile trigonometriei

Cunoașterea acestei științe ar trebui să înceapă cu determinarea sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi, dar mai întâi trebuie să vă dați seama ce face trigonometria în general.

Din punct de vedere istoric, triunghiurile dreptunghiulare au fost obiectul principal de cercetare în această ramură a științei matematice. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurii în cauză pe două laturi și un colț sau pe două unghiuri și o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să-l folosească în mod activ în construcția de clădiri, navigație, în astronomie și chiar în artă.

Primul stagiu

Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi exclusiv pe exemplul triunghiurilor dreptunghiulare. Apoi au fost descoperite formule speciale care au făcut posibilă extinderea limitelor de utilizare în Viata de zi cu zi a acestei secţiuni de matematică.

Studiul trigonometriei la școală începe astăzi cu triunghiuri dreptunghiulare, după care cunoștințele dobândite sunt folosite de elevii la fizică și rezolvarea de ecuații trigonometrice abstracte, lucru cu care începe în liceu.

Trigonometrie sferică

Mai târziu, când a apărut știința Nivelul următor dezvoltare, formulele cu sinus, cosinus, tangentă, cotangentă au început să fie folosite în geometria sferică, unde se aplică reguli diferite, iar suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar este necesar să știm despre existența ei cel puțin pentru că suprafața pământului, precum și suprafața oricărei alte planete, este convexă, ceea ce înseamnă că orice marcaj de suprafață va fi „arcuit” în trei dimensiuni. spaţiu.

Luați globul și sfoara. Atașați sfoara la oricare două puncte de pe glob, astfel încât să fie întins. Atenție - a luat forma unui arc. Geometria sferică, care este folosită în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate, se ocupă de astfel de forme.

Triunghi dreptunghic

După ce am învățat puțin despre modalitățile de utilizare a trigonometriei, să revenim la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ce sunt sinus, cosinus, tangentă, ce calcule pot fi efectuate cu ajutorul lor și ce formule să folosiți în acest caz.

Primul pas este să înțelegeți conceptele legate de un triunghi dreptunghic. În primul rând, ipotenuza este latura opusă unghiului de 90 de grade. Este cel mai lung. Ne amintim că, conform teoremei lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumei pătratelor celorlalte două laturi.

De exemplu, dacă cele două laturi au 3, respectiv 4 centimetri, lungimea ipotenuzei este de 5 centimetri. Apropo, egiptenii antici știau despre asta în urmă cu aproximativ patru mii și jumătate de ani.

Cele două laturi rămase, care formează un unghi drept, se numesc picioare. În plus, trebuie amintit că suma unghiurilor dintr-un triunghi într-un sistem de coordonate dreptunghiular este de 180 de grade.

Definiție

În cele din urmă, cu o înțelegere fermă a bazei geometrice, se poate apela la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi.

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (adică latura opusă unghiului dorit) și ipotenuză. Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Amintiți-vă că nici sinus, nici cosinus nu pot fi mai mari decât unu! De ce? Deoarece ipotenuza este implicit cea mai lungă. Indiferent cât de lung este catetul, acesta va fi mai scurt decât ipotenuza, ceea ce înseamnă că raportul lor va fi întotdeauna mai mic de unu. Astfel, dacă aveți un sinus sau cosinus cu o valoare mai mare de 1 în răspunsul la o problemă, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este cu siguranță greșit.

În cele din urmă, tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Împărțirea sinusului la cosinus va da același rezultat. Uite: conform formulei, împărțim lungimea laturii cu ipotenuză, apoi împărțim cu lungimea celei de-a doua laturi și înmulțim cu ipotenuză. Astfel, obținem aceeași relație ca și în definiția tangentei.

Cotangenta, respectiv, este raportul dintre latura adiacentă colțului și latura opusă. Același rezultat îl obținem împărțind unitatea la tangentă.

Deci, am luat în considerare definițiile a ceea ce este sinus, cosinus, tangentă și cotangentă și putem face formulele.

Cele mai simple formule

În trigonometrie, nu puteți face fără formule - cum să găsiți sinus, cosinus, tangentă, cotangentă fără ele? Dar exact acest lucru este necesar la rezolvarea problemelor.

Prima formulă pe care trebuie să o cunoașteți atunci când începeți să învățați trigonometria spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este egală cu unu. Această formulă este o consecință directă a teoremei lui Pitagora, dar economisește timp dacă vrei să cunoști unghiul, nu latura.

Mulți elevi nu își pot aminti a doua formulă, care este, de asemenea, foarte populară atunci când rezolvă probleme școlare: suma lui unu și pătratul tangentei unui unghi este egală cu unul împărțit la pătratul cosinusului unghiului. Aruncă o privire mai atentă: la urma urmei, aceasta este aceeași afirmație ca în prima formulă, doar ambele părți ale identității au fost împărțite la pătratul cosinusului. Se dovedește că o simplă operație matematică face formula trigonometrică complet de nerecunoscut. Amintiți-vă: știind ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, regulile de transformare și câteva formule de bază, puteți oricând să deduceți pe o coală de hârtie formulele mai complexe necesare.

Formule cu unghi dublu și adăugare de argumente

Încă două formule pe care trebuie să le învățați sunt legate de valorile sinusului și cosinusului pentru suma și diferența unghiurilor. Ele sunt prezentate în figura de mai jos. Vă rugăm să rețineți că în primul caz, sinusul și cosinusul sunt înmulțite de ambele ori, iar în al doilea, produsul pe perechi dintre sinus și cosinus se adaugă.

Există și formule asociate cu argumente cu unghi dublu. Sunt complet derivate din cele anterioare - ca antrenament, încercați să le obțineți singur, luând unghiul alfa egal cu unghiul beta.

În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi transformate pentru a reduce gradul de sinus, cosinus și tangentă alfa.

Teoreme

Cele două teoreme principale în trigonometrie de bază sunt teorema sinusului și teorema cosinusului. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta și, prin urmare, aria figurii și mărimea fiecărei laturi etc.

Teorema sinusului spune că, împărțind lungimea fiecărei laturi a unui triunghi la valoarea unghiului opus, obținem acelasi numar... Mai mult, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică cercul care conține toate punctele triunghiului dat.

Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora prin proiectarea ei pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi, scădeți produsul lor, înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent acestora - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia laturi. Astfel, teorema lui Pitagora se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.

Erori neatenționate

Chiar și știind ce sunt sinus, cosinus și tangentă, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii atenției sau a unei erori în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, să aruncăm o privire la cele mai populare.

În primul rând, nu ar trebui să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale până când nu se obține rezultatul final - puteți lăsa răspunsul sub forma fracție comună cu excepția cazului în care se prevede altfel în condiție. O astfel de transformare nu poate fi numită eroare, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a sarcinii pot apărea noi rădăcini, care, conform ideii autorului, ar trebui scurtate. În acest caz, veți pierde timpul cu lucruri inutile operatii matematice... Acest lucru este valabil mai ales pentru valori precum rădăcina lui trei sau doi, deoarece se găsesc în probleme la fiecare pas. Același lucru este valabil și pentru rotunjirea numerelor „urâte”.

Mai mult, rețineți că teorema cosinusului se aplică oricărui triunghi, dar nu teorema lui Pitagora! Dacă uitați din greșeală să scădeți produsul dublu al laturilor, înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar veți demonstra și o lipsă totală de înțelegere a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală neglijentă.

În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiuri de 30 și 60 de grade pentru sinusuri, cosinus, tangente, cotangente. Amintiți-vă aceste valori, deoarece sinusul de 30 de grade este egal cu cosinusul lui 60 și invers. Este ușor să le confundați, în urma căruia veți obține inevitabil un rezultat eronat.

Aplicație

Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să învețe trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul aplicat al acesteia. Ce este sinusul, cosinusul, tangenta pentru un inginer sau astronom? Acestea sunt conceptele datorită cărora puteți calcula distanța până la stele îndepărtate, prezice căderea unui meteorit, trimite o sondă de cercetare pe o altă planetă. Fără ele, este imposibil să construiești o clădire, să proiectezi o mașină, să calculezi sarcina pe o suprafață sau traiectoria unui obiect. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.

In cele din urma

Deci ești sinus, cosinus, tangentă. Le puteți folosi în calcule și rezolva cu succes problemele școlare.

Întregul punct al trigonometriei se rezumă la faptul că parametrii necunoscuți ai triunghiului trebuie să fie calculați folosind parametrii cunoscuți. Există șase dintre acești parametri: lungime trei laturiși mărimea celor trei unghiuri. Toată diferența dintre sarcini este că sunt date diferite intrări.

Acum știți cum să găsiți sinusul, cosinusul, tangenta pe baza lungimii cunoscute ale catetelor sau ipotenuzei. Deoarece acești termeni nu înseamnă altceva decât o relație, iar un raport este o fracție, scopul principal o problemă trigonometrică este găsirea rădăcinilor unei ecuații obișnuite sau unui sistem de ecuații. Și aici matematica școlară obișnuită te va ajuta.

Inițial, sinusul și cosinusul au apărut din necesitatea de a calcula cantități în triunghiuri dreptunghiulare. S-a observat că, dacă valoarea gradului de măsură a unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic nu se modifică, atunci raportul de aspect, oricât de mult se modifică aceste laturi în lungime, rămâne întotdeauna același.

Așa au fost introduse conceptele de sinus și cosinus. Sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză, iar cosinusul este cel adiacent ipotenuzei.

Teoremele cosinusului și sinusului

Dar cosinusurile și sinusurile pot fi aplicate nu numai în triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a afla valoarea unui unghi obtuz sau ascuțit, latura oricărui triunghi, este suficient să aplicați teorema cosinusurilor și sinusurilor.

Teorema cosinusului este destul de simplă: „Pătratul laturii unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus produsul dublu al acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele”.

Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit micului: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse”. Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății unui cerc circumscris unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.

Derivate

O derivată este un instrument matematic care arată cât de repede se schimbă o funcție în raport cu o modificare a argumentului său. Derivatele sunt folosite în geometrie și într-o serie de discipline tehnice.

Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabelare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata sinusului este cosinusul, iar cosinusul este sinusul, dar cu semnul minus.

Aplicație în matematică

Mai ales des, sinusurile și cosinusurile sunt folosite atunci când se rezolvă triunghiuri dreptunghiulare și probleme asociate acestora.

Comoditatea sinusurilor și cosinusurilor se reflectă în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost ușor de evaluat folosind teoremele cosinusului și sinusului, împărțind forme și obiecte complexe în triunghiuri „simple”. Inginerii, care se ocupă adesea de calculele raportului de aspect și de măsurarea gradului, au petrecut mult timp și efort pentru a calcula cosinusurile și sinusurile unghiurilor netabulare.

Apoi au venit în ajutor tabelele Bradis, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente de diferite unghiuri. V ora sovietică unii profesori făceau pe de rost paginile tabelelor Bradis către secțiile lor.

Radian - valoarea unghiulară a arcului, pe lungimea egală cu raza sau 57,295779513 ° grade.

Gradul (în geometrie) - 1/360 dintr-un cerc sau 1/90 dintr-un unghi drept.

π = 3,141592653589793238462 ... (valoarea aproximativă a lui pi).

Tabel cosinus pentru unghiuri: 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 135 °, 150 °, 180 °, 210 °, 225 °, 240 °, 270 °, 300 °, 315 °, 330 °, 360 °.

Unghiul x (în grade)	0°	30 °	45 °	60 °	90 °	120 °	135 °	150 °	180 °	210 °	225 °	240 °	270 °	300 °	315 °	330 °	360 °
Unghiul x (în radiani)	0	π / 6	π / 4	π / 3	π / 2	2 x π / 3	3 x π / 4	5 x π / 6	π	7 x π / 6	5 x π / 4	4 x π / 3	3 x π / 2	5 x π / 3	7 x π / 4	11 x π / 6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1