Olimpiade de matematică și probleme de olimpiade

Obiectivul 1:

Găsiți toate triplele numerelor diferite de zero a, b și c care formează o progresie aritmetică și astfel încât din numere să puteți face și o progresie aritmetică.

Soluţie: După proprietatea progresiei aritmetice, avem a + c = 2b și una dintre următoarele ecuații

Primul caz duce la ecuația b² = 2ac, care nu are soluții pentru a + c = 2b; celelalte două conduc la același răspuns: toate triplele de forma - 2t, - 0,5t, t, unde t ≠ 0.

Răspuns: - 2t, - 0,5t și t la t ≠ 0.

Obiectivul 2:

Găsiți triple ale numerelor a, b și c, care sunt puteri a cinci cu numere întregi nenegative, astfel încât, atribuind reprezentarea zecimală a unuia dintre ele reprezentării zecimale a celuilalt, obținem al treilea număr.

Soluţie: Fie a = 5 n, b = 5 m, c = 5 k și în numărul b, exact t zecimale. Avem ecuația: 5 n • 10 t + 5 m = 5 k. Evident, m< k. Сократив уравнение на 5 в наибольшей степени, получим либо 2 t + 5 m - n - t = 5 k - t , либо 5 n - m + t • 2 t + 1 = 5 k - m . Первое уравнение имеет единственное решение в целых числах t = 2, m - n - t = 0, k - t = 1, откуда b = 25, m = 2, n = 0, k = 3 и искомые числа - 1, 25, 125. Второе уравнение выполняется только при n - m + t = 0, что приводит к предыдущему случаю.

Răspuns: 1, 25 și 125.

Obiectivul 3:

Zerourile sunt scrise la vârfurile și punctele de intersecție ale diagonalelor unui pentagon regulat. Într-o singură mișcare, este permis să adăugați + 1 sau - 1 simultan la toate numerele situate pe oricare dintre diagonalele pentagonului. Care dintre pentagoanele indicate în figuri poate fi obținut după mai multe mișcări?

0,5 mm em: lățime de linie 0,4 pt 0,4 pt

((Propus de S.E. Nokhrin.))

Soluţie: Să numărăm diagonalele pentagonului cu numere de la 1 la 5 și să fie x i numărul de unități adăugate diagonalei i-a. Numărul de la orice vârf (punctul de intersecție al diagonalelor) este egal cu suma numerelor x i peste tot i astfel încât diagonala i-a trece prin acest vârf (punctul de intersecție al diagonalelor). Avem un sistem de zece ecuații cu cinci necunoscute, care se dovedește a fi inconsecvent în toate cazurile prezentate în figuri.

Răspuns: nu se poate obține niciun pentagon.

Sarcina 4:

Într-un triunghi cu unghi ascuțit ABC se trasează înălțimile: AH, BK și CL. Aflați perimetrul triunghiului HKL dacă se cunosc înălțimea AH = h și unghiul ∠ BAC = α.

((Propus de V.N. Ushakov.))

Soluţie: Liniile KL, KH și HL (vezi fig.) Se taie triunghiuri similare cu ∆ ABC din ∆ ABC. Într-adevăr, ∆ CHA ∽ ∆ CKB după criteriul I al asemănării triunghiurilor (2 unghiuri egale). De aici. Dar atunci ∆ KHC ∽ ∆ BAC conform semnului II al asemănării triunghiurilor (proporționalitatea laturilor și egalitatea unghiurilor dintre aceste laturi). Se poate demonstra în mod similar că ∆ AKL ∽ ∆ ABC și ∆ BHL ∽ ∆ ABC. Deci, avem ∠ HLB = ∠ ALK = ∠ C, ∠ AKL = ∠ CKH = ∠ B. Atunci punctele H ′ și H ″, simetrice față de punctul H față de dreptele AB și, respectiv, AC, se află pe linie. KL. Într-adevăr, ∠ HLB = ∠ H′LB (deoarece ∆ HLO ′ = ∆ H′LO ′), dar ∠ HLB = ∠ ALK, deci ∠ ALK = ∠ H′LB și, prin urmare, punctele K, L, H ′ se află pe o linie dreaptă. Se poate dovedi în mod similar că H ″, K, L sunt coliniare. Segmentul H ″ H ′ este egal cu perimetrul ∆ KLH (KH = KH ″, iar LH = LH ′). Considerăm acum ∆ H ″ AH ′. Este isoscel pentru că AH ′ = AH = AH ", și ∠ H ″ AH ′ = 2 • (∠ CAH + ∠ BAH) = \ = 2 α. Prin urmare, H ″ H ′ = 2AH ′ sin \, α. Astfel, perimetrul lui ∆ KLH este 2h sin \, α.

1. Rezolvați puzzle-ul numeric.

2. Ignat este acum de patru ori mai mare decât era sora lui când avea jumătate din vârsta lui. Câți ani are Ignat acum, dacă peste 15 ani el și sora lui vor fi împreună 100 de ani?

3. Copiii în perechi părăsesc pădurea de unde au adunat nuci. În fiecare pereche sunt un băiat și o fată, iar băiatul fie are de două ori mai multe, fie jumătate mai multe nuci decât fata. S-ar putea să aibă toți nuci din 2011?

4. Tăiați dreptunghiul cu laturile 4 și 9 în cel mai mic număr de bucăți astfel încât să faceți un pătrat.

5. Pe insula O sunt cavaleri care spun mereu adevărul și mincinoși care mint mereu. Călătorul a întâlnit doi nativi - A și B. Nativul A a spus fraza:

Cel puțin unul dintre noi (A sau B) este un mincinos.

Poți spune cine este A și cine este B (un cavaler sau un mincinos)?

Sarcinile olimpiadei etapa municipală matematică

1. Găsiți toate astfel de numere din trei cifre în care suma cifrelor numărului este de 11 ori mai mică decât numărul în sine https://pandia.ru/text/78/035/images/image003_105.gif "width =" 27 „height =" 17 "> puncte pătrate sunt luate astfel încât linia dreaptă traversează latura în punct, linia dreaptă traversează latura în punct și https://pandia.ru/text/78/035/images/image013_32 .gif „width =" 104 "height =" 21 ">.

https://pandia.ru/text/78/035/images/image015_30.gif "width =" 96 "height =" 24 ">

5. La inspecția trupelor din Insula mincinoșilor și a cavalerilor (mincinoșii mint mereu, cavalerii spun mereu adevărul), liderul a aliniat toți războinicii. Fiecare dintre soldații din linie a spus: „Vecinii mei din linie sunt mincinoși”. (Războinicii de la capetele șirului au spus: „Vecinul meu din linie este un mincinos.”) Care este cel mai mare număr de cavaleri dintr-o linie dacă au fost expuși soldați din 2011?

Sarcinile olimpiadei etapa municipală Olimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

1. Vasya a scris mai multe numere întregi pe tablă. Petya și-a semnat pătratul sub fiecare dintre numerele lui Vasya. Apoi Masha a adunat toate numerele de pe tablă și a obținut 2011. Demonstrează că unul dintre băieți a greșit.

2. Cooperativa primește suc de mere și struguri în aceleași cutii și produce o băutură de măr-struguri în aceleași cutii. O cutie de suc de mere este suficientă pentru exact 6 cutii de băutură, iar o cutie de suc de struguri este exact 10. Când a fost schimbată rețeta băuturii, o cutie de suc de mere a fost suficientă pentru exact 5 cutii de băutură. Câte cutii de băutură sunt suficiente pentru o cutie de suc de struguri acum? (Băutura nu poate fi diluată cu apă.)

3..gif „width =" 43 "height =" 21 src = ">. Gif" width = "64" height = "21 src =">. Gif "width =" 37 "height =" 19 src = "> isoscel.

4. Demonstrați că pentru toate pozitive https://pandia.ru/text/78/035/images/image023_20.gif "width =" 13 "height =" 15 "> diferența dintre rădăcinile ecuației este 3?

3. Dat NS puncte, dintre care patru nu aparțin aceluiași plan. Câte avioane pot fi desenate prin diferitele triplete ale acestor puncte?

4..gif "width =" 12 "height =" 15 src = ">, formând o progresie aritmetică și astfel încât numerele și să poată fi folosite și pentru a face o progresie aritmetică.

5. Diagonalele paralelogramului se întâlnesc într-un punct. Fie și punctele de intersecție ale cercurilor, dintre care unul trece prin punctele https://pandia.ru/text/78/035/images/image031_14.gif "width =" 16 "height =" 17 src = "> , iar celălalt prin și https://pandia.ru/text/78/035/images/image002_138.gif "width =" 19 "height =" 19 ">, dacă punctul se află pe segmentul de linie și nu coincide cu capetele sale.

Sarcinile olimpiadeietapa municipală matematică

clasa a 7-a

Cel puțin unul dintre noi (A sau B) este un mincinos.

Poți spune cine este A și cine este B (un cavaler sau un mincinos)?

Sarcinile olimpiadeietapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

clasa a 8-a

Sarcinile olimpiadeietapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

Clasa a 9-a

1. Care numere de cinci cifre sunt mai multe: cele cu numere în ordine strict crescătoare sau cele cu numere în ordine strict descrescătoare? (De exemplu, primul grup include 12.459, dar exclude 12.495 și 12.259).

Sarcinile olimpiadeietapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

Clasa 10

1. Pe rând se scriu numerele de la 21 la 30. Este posibil să se plaseze semnele „+” și „-” între ele, astfel încât valoarea expresiei rezultate să fie egală cu zero?
2. La ce valoridiferența rădăcinilor ecuației este egal cu 3?
3. Având în vedere n puncte, dintre care nici patru nu aparțin aceluiași plan. Câte avioane pot fi desenate prin diferitele triplete ale acestor puncte?
4. Găsiți toate triplele numerelor diferite de zeroși formând o progresie aritmetică și astfel încât numereleși puteți face și o progresie aritmetică.
5. Diagonale paralelogramese intersectează în punct... Lasă-te - puncte de intersecție a cercurilor, dintre care unul trece prin puncteşi, iar celălalt prin şi ... Găsiți locul punctelor dacă punct se află pe segmentsi nu coincide cu capetele sale.

Sarcinile olimpiadeietapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

Clasa a 11a

1. Care este cel mai mic natural este divizibil cu 770?
2. Demonstrează că dacă, apoi ecuația
3. Găsiți dacă; ; ,,.
4. La baza unei piramide regulate se află un poligon cu un număr impar de laturi. Este posibil să aranjați săgeți pe marginile acestei piramide (câte una pe fiecare margine) astfel încât suma vectorilor obținuți să fie egală cu?

1. Sunt 20 de elevi în clasă. Fiecare este prieten cu cel puțin alți 10. Demonstrați că în această clasă este posibil să alegeți doi trei de elevi, astfel încât orice elev dintr-un triplu să fie prieten cu orice elev din celălalt triplu.

Previzualizare:

Clasa a 7-a (soluții și răspunsuri)

Răspunsuri și soluții la problemeetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

1. Răspuns: 2222 – 999 + 11 – 0 = 1234.
2. Răspuns: 40 de ani.

Soluţie: Să folosim tabelul pentru a rezolva problema.

Ecuația: ... Acum Ignat are 40 de ani.

1. Răspuns: nu s-a putut.

Soluţie: Rețineți că numărul de nuci pentru fiecare pereche de copii este divizibil cu 3. Aceasta înseamnă că numărul total de nuci trebuie să fie divizibil cu 3. Cu toate acestea, 2011 nu este divizibil cu 3.

1. Soluţie:

1. Răspuns: A este un cavaler, B este un mincinos.

Soluţie: Dacă A este un mincinos, atunci afirmația lui este falsă, adică. ambii trebuie să fie cavaleri. Contradicţie. Deci A este un cavaler. Atunci afirmația lui este adevărată și B este un mincinos.

Nota a 8-a (soluții și răspunsuri)

Răspunsuri și soluții la problemeetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

1. Răspuns: 198.

Soluţie: Număr din trei cifrepoate fi scris ca... Din condiție urmează că ... În dreapta este un număr de două cifre (cu o singură cifră, dacă c = 0), care este divizibil cu 89, ceea ce înseamnă... Dar apoi

1. Răspuns: parte dintr-un cerc cu un diametru OP

Soluție: Fie O - centrul acestui cerc, M - punctul de mijloc al coardei tăiat din cercul dreptei care trece prin punct P. Atunci PMO = 90 o ... Prin urmare, setul dorit este o parte a unui cerc cu un diametru OP aflată în interiorul cercului dat.

Soluţie: Condiția implică egalitatea triunghiurilor), Unde ... In afara de asta, ... Prin urmare triunghiurilesunt egali și, prin urmare.

1. Răspuns: 31 11 14

Soluţie:

1. Răspuns: 1006 cavaleri

Soluţie: Rețineți că cei doi războinici care stau unul lângă altul nu puteau fi cavaleri. Într-adevăr, dacă ar fi amândoi cavaleri, amândoi ar minți. Selectați războinicul din stânga și împărțiți rândul celor 2010 războinici rămași în 1005 grupuri de doi războinici stând unul lângă altul. Fiecare astfel de grupă nu conține mai mult de un cavaler, adică. dintre războinicii considerați 2010 nu mai mult de 1005 cavaleri, adică. în total într-o linie nu mai mult de 1005 + 1 = 1006 cavaleri.

Luați în considerare linia RRLRL ... RRLRL. Sunt exact 1006 cavaleri într-o astfel de linie.

9 clasa (soluții și răspunsuri)

Răspunsuri și soluții la problemeetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

1. Răspuns: mai mult decât cele cu numere în ordine descrescătoare.

Soluție: 1) Să scriem numărul primului grup în ordine inversă. Vom obține numărul celui de-al doilea grup și se obțin numere diferite ale celui de-al doilea grup din diferite numere ale primului grup. În același timp, numerele celui de-al doilea grup care se termină cu 0, de exemplu 98 760, nu au putut fi obținute printr-o „lovitură de stat” din numerele primului grup (numărul 06789 = 6789 nu este format din cinci cifre). Aceasta înseamnă că există mai multe numere în a doua grupă.

2) Numerele primului grup se obțin din numărul 123 456 789 prin tăierea a patru cifre, adică. al lor, iar numerele celui de-al doilea grup - de la numărul 9 876 543 210 prin ștergerea a cinci cifre, i.e. al lor.

Nota 10 (soluții și răspunsuri)

Răspunsuri și soluții la problemeetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

Exprimând și din ecuațiile (1) și (3) și înlocuind în ecuația (2), obținem, după simplificare, ecuația... Rezolvând-o, vom găsi.

1. Răspuns:,, unde. Soluție: După condiție și una dintre egalități este valabilă:, sau ... În primul caz, după rezolvarea sistemului,, primim ... În al doilea caz, obținem sau , ... Al treilea caz este similar cu al doilea.
2. Răspuns: segment fără capete, unde este punctul se întinde pe grindă şi.

Soluție: Lasă - un cerc care trece prin puncteși și intersectându-se la punct ... Apoi, după proprietatea unghiurilor înscrise, prin urmare punctele ,,, culcați pe același cerc; dacăse află pe segment, atunci dacă se află în afara acestui segment (punctulpe imagine). Prin urmare,întrucât ambele , adică cerc care trece prin puncteși ... Deci, am arătat că ideeaar trebui să se afle pe un segment... Să arătăm acum că orice punct al acestui segment, cu excepțiași , este inclus în locul necesar al punctelor. Într-adevăr, să... Apoi, alegerea punctului astfel încât, obținem asta și.

Nota a 11-a (soluții și răspunsuri)

Răspunsuri și soluții la problemeetapa municipalăOlimpiada integrală rusească pentru școlari matematică

Să luăm în considerare primul caz. pentru că, apoi ramurile parabolei date prin formulaarătând în sus. Și de când, atunci există puncte ale parabolei situate sub axă... Prin urmare, parabola traversează axala 2 puncte. Prin urmare, ecuațiaare două rădăcini valide.

În al doilea caz, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos și, deci parabola traversează axala 2 puncte. Apoi ecuațiaare din nou două rădăcini reale.

Metoda 2. Luați în considerare inegalitatea... Extinderea parantezelor din stânga, înmulțind inegalitatea cu -4, apoi adăugați la ambele părți ale inegalității, primim: ... Transformăm această inegalitate în forma:... De atunci ... Prin urmare, ecuațiaare 2 rădăcini reale.

Soluţie: Soluții evidente, , ... Este clar că alte triplete de numere cu componente zero nu sunt soluții ale acestui sistem. Rămâne de luat în considerare cazul când... Apoi, evident- colțurile unui triunghi dreptunghic cu catete (- naturale). Prin urmare, triplul- inca o solutie.

4. Răspuns: Este imposibil.

Soluţie: Lasă săgețile să fie plasate cumva. Proiectați toți vectorii rezultați pe linia care conține înălțimea ASA DE piramide. Proiecțiile vectorilor aflați în planul bazei sunt egale, iar proiecțiile vectorilor aflați pe marginile laterale sunt egale cu sau - ... Deoarece numărul de vectori care se află pe marginile laterale este impar, rezultă că suma proiecțiilor lor nu poate fi egală, prin urmare nu poate fi egalsi suma tuturor vectorilor obtinuti.

5 ... Să numerotăm toți elevii din clasă folosind numere naturale de la 1 la 20 și notăm cunumărul de prieteni comuniși studenții și suma tuturor acestor numere peste ... Apoi, pentru a demonstra enunțul problemei, este suficient să arătăm că pentru uniiși inegalitatea este valabilă.

Numerele totale vor fi ... Deoarece fiecare elev are cel puțin 10 prieteni în clasă, la numărarea număruluifiecare elev pe care îl luăm în calcul măcar ori prin urmare.

Astfel, suma a 1140 de numere întregi este de cel puțin 2400, deci unul dintre numerecel puțin 3, după caz.