INTERFERENȚA DE ONDE
Fenomen interferență constă într-o astfel de suprapunere a două (sau mai multe) unde, care duce la o amplificare staționară (independentă de timp) a oscilațiilor particulelor mediului în unele locuri și slăbirea (sau dispariția completă) în alte locuri din spațiu. Dacă două unde se propagă într-un mediu elastic, atunci fiecare particulă a mediului, prin
pe care le trec ambele unde vor participa simultan la două mișcări oscilatorii independente cauzate de fiecare undă. Mișcarea rezultată a particulei depinde de frecvențele, amplitudinile și fazele inițiale ale componentelor vibrației. Cu toate acestea, dacă undele de propagare au aceleași frecvențe și dacă într-un anumit punct din spațiu determină oscilarea particulei de-a lungul aceleiași linii drepte, atunci are loc fie amplificarea oscilațiilor, fie atenuarea (amortizarea) lor, în funcție de diferența de fază a componente ale oscilațiilor.
Există întotdeauna puncte în spațiu în care diferența de fază a oscilațiilor de intrare este 2kπ(Unde k este un număr întreg). În consecință, în aceste puncte va exista o amplificare stabilă (continuând continuu tot timpul) a oscilațiilor particulelor mediului. Există, de asemenea, puncte în care diferența de fază a oscilațiilor de intrare va fi egală cu (2k +1) π... În astfel de puncte din spațiu, se va observa o slăbire stabilă a oscilațiilor particulelor mediului. Ca rezultat, aria spațiului în care undele sunt suprapuse unele pe altele va fi o alternanță de zone cu oscilație sporită a particulelor mediului și zone în care oscilațiile particulelor sunt slăbite sau particulele nu oscilează deloc.
Este clar că un model de interferență apare numai atunci când sunt suprapuse astfel de unde, care au aceeași frecvență, o diferență de fază constantă în timp în fiecare punct din spațiu și creează oscilații de-a lungul unei linii drepte în fiecare punct din spațiu. Valurile care îndeplinesc aceste trei condiții (și sursele care le creează) sunt numite coerent.
Cel mai simplu caz de interferență este observat atunci când undele călătoare și reflectate sunt suprapuse. Aceste unde sunt coerente (satisfac toate cele trei condiții de coerență). Suprapunerea unor astfel de unde duce la formarea așa-numitelor val staționar.
Deplasarea undei staționare. Să notăm ecuațiile a două unde plane care au aceleași frecvențe și amplitudini și se propagă în direcții opuse:
Deplasarea totală a unei particule a mediului cu coordonata NS este egal cu suma deplasărilor ξ 1 și ξ 2
sau (după transformări trigonometrice):
Aceasta este ecuația undei staționare. Arată că, ca urmare a suprapunerii undelor înainte și înapoi, punctele mediului vibrează astfel încât toate să treacă simultan poziția de echilibru (sin ω t = 0) și toate ating simultan cele mai mari abateri (sin ω t= ± 1).
S-ar putea spune că particulele dintr-o undă staționară oscilează într-o singură fază. Cu toate acestea, datorită faptului că factorul are un semn algebric, particulele sunt de fapt
oscilează fie într-o singură fază, dacă au același semn, fie în antifază, dacă au semne diferite pentru ele.
Pentru a clarifica cele spuse, Figura 4 prezintă distribuția deplasării particulelor mediului pentru diferite momente succesive de timp. În momente de timp t 1și t 5 particulele au cele mai mari abateri (dacă ne referim la unda de forfecare din cablu, atunci graficele descriu poziția reală a particulelor în spațiu), în timp ce viteza lor este egală cu zero. În acest moment t 3 particulele trec de poziția de echilibru; viteza lor este maximă. Pentru momente t 2și t 4 arată distribuțiile deplasărilor între cea mai mare și cea zero. Trei puncte cu coordonate sunt selectate pe grafic x 1, x 2, x 3... Pentru fiecare moment din timp, săgețile arată viteza acestor puncte. Graficul arată că punctele x 1și x 2 oscilează în antifază, iar punctele x 1și x 3- într-o singură fază. Gama de fluctuații în diferite puncte este diferită. Deci, punct 4 fluctuează în cadrul segmentului A, b. Amplitudinea vibrațiilor particulelor dintr-o undă staționară depinde de coordonatele lor, dar nu depinde de timp:
Aici semnul modulului este setat deoarece amplitudinea este o valoare pur pozitivă. Există puncte într-un val staționar care rămân nemișcate tot timpul. Astfel de puncte caracteristice sunt numite noduri deplasare. Poziția lor este determinată de condiție
Această ecuație este satisfăcută pentru valorile argumentului
Unde k= 0, 1, 2, .... De aici
Graficul undei staționare, prezentat în Figura 6, este condiționat: arată măsura în care fluctuează diferite puncte ale mediului, în care sa format unda staționară. Nodurile și antinodele deplasării sunt clar vizibile pe acest grafic.
Dacă mai multe unde se propagă simultan în mediu, atunci oscilațiile particulelor mediului se dovedesc a fi suma geometrică a oscilațiilor pe care particulele le-ar efectua în timpul propagării fiecărei unde separat. Această afirmație empirică se numește principiul suprapunerii (suprapunerii) undelor.
În cazul în care oscilațiile cauzate de unde separate la fiecare dintre punctele mediului au o diferență constantă de fază, undele sunt numite coerent. Când se adaugă unde coerente, apare fenomenul de interferență, care constă în faptul că oscilațiile din unele puncte se amplifică, iar în alte puncte se slăbesc reciproc. Un caz foarte important de interferență apare atunci când sunt suprapuse două unde plane contrapropagate cu aceeași amplitudine. Procesul oscilator rezultat se numește val staționar.
Unda permanentă- Aceasta este o undă care se formează atunci când două unde cu aceeași amplitudine și frecvență sunt suprapuse, când undele se deplasează una către cealaltă.
Practic valurile staționare apar atunci când valurile sunt reflectate de obstacole. Valul care cade pe obstacol și valul reflectat care se îndreaptă spre el, suprapunându-se unul pe celălalt, dau un val staționar.
Să scriem ecuațiile pentru două unde plane care se propagă de-a lungul axei Xîn direcții opuse:
Adăugând aceste ecuații și transformând rezultatul prin formula pentru suma cosinusului, obținem:
Pentru a simplifica această ecuație, alegeți originea X astfel încât diferența devine egală cu zero, iar originea t- astfel încât suma să fie egală cu zero.Atunci
- ecuația undei staționare.
Înlocuirea numărului de undă La prin valoarea sa, obținem ecuația undei staționare, care este convenabilă pentru analiza oscilațiilor particulelor dintr-o undă staționară:
.
Din această ecuație se vede că în fiecare punct al undei staționare apar oscilații cu aceeași frecvență ca cele ale undelor contrapropagatoare, iar amplitudinea oscilațiilor depinde de X:
.
În puncte ale căror coordonate satisfac condiția
,
amplitudinea vibrațiilor atinge valoarea maximă. Aceste puncte sunt numite antinozi val staționar. Valorile coordonatelor antinodelor sunt egale:
.
În puncte ale căror coordonate îndeplinesc condiția:
,
amplitudinea vibrației dispare. Aceste puncte sunt numite noduri val staționar. Punctele mediului localizate la noduri nu vibrează. Coordonatele nodurilor sunt:
.
Din aceste formule rezultă că distanța dintre antinodii adiacenți, precum și distanța dintre nodurile adiacente, este egală. Umflăturile și nodurile sunt deplasate una față de cealaltă cu un sfert din lungimea de undă.
 |
Figura arată un grafic al abaterilor punctelor de la poziția de echilibru pentru moment în timp t(linie continuă) și un grafic de abateri punctuale pentru un punct în timp (linie punctată). După cum se poate vedea din figură, punctele situate pe laturile opuse ale nodului oscilează în antifază. Toate punctele închise între două noduri adiacente oscilează în fază (adică în aceeași fază).
Un val staționar nu transferă energie. De două ori în timpul perioadei, energia undei staționare este transformată fie complet în potențial, concentrată în principal în apropierea nodurilor undei, apoi complet în cinetică, concentrată în principal în apropierea antinodelor undei. Ca urmare, există o tranziție de energie de la fiecare nod la antinodii vecini și invers. Fluxul de energie mediu în timp în orice secțiune a undei este zero.
Un caz foarte important de interferență apare atunci când sunt suprapuse unde plane de aceeași amplitudine. Procesul oscilator rezultat se numește val staționar.
Practic valurile staționare apar atunci când valurile sunt reflectate de obstacole. O undă care cade pe un obstacol și o undă reflectată care se îndreaptă spre el, suprapunându-se una pe cealaltă, dau un val staționar.
Luați în considerare rezultatul interferenței a două unde plane sinusoidale de aceeași amplitudine, propagându-se în direcții opuse.
Pentru simplitatea raționamentului, să presupunem că ambele unde provoacă oscilații în aceeași fază la origine.
Ecuațiile acestor vibrații sunt după cum urmează:
Adăugând ambele ecuații și transformând rezultatul, folosind formula pentru suma sinelor, obținem:
- ecuația undei staționare.
Comparând această ecuație cu ecuația vibrațiilor armonice, vedem că amplitudinea vibrațiilor rezultate este:
De atunci, a, atunci.
În punctele mediului, unde nu există oscilații, adică ... Aceste puncte sunt numite noduri de val în picioare.
În punctele în care, amplitudinea oscilațiilor are cea mai mare valoare, egală cu. Aceste puncte sunt numite antinodii de unde staționare... Coordonatele antinodelor se găsesc din afecțiune, deoarece , atunci .
De aici:
În mod similar, coordonatele nodurilor se găsesc din condiția:
Unde:
Din formulele pentru coordonatele nodurilor și antinodelor, rezultă că distanța dintre antinodele adiacente, precum și distanța dintre nodurile adiacente, este egală. Denivelările și nodurile sunt deplasate una față de cealaltă cu un sfert din lungimea de undă.
Să comparăm natura oscilațiilor din valurile staționare și călătoare. Într-o undă călătoare, fiecare punct oscilează, a cărui amplitudine nu diferă de amplitudinea altor puncte. Dar fluctuațiile diferitelor puncte apar din diferite faze.
Într-o undă staționară, toate particulele de mediu situate între două situri învecinate vibrează în aceeași fază, dar cu amplitudini diferite. La trecerea prin nod, faza oscilațiilor se schimbă brusc în, deoarece semnul se schimbă.
Grafic, un val staționar poate fi descris după cum urmează:
În momentul în care toate punctele mediului au deplasări maxime, a căror direcție este determinată de semn. Aceste compensări sunt prezentate în figură cu săgeți solide.
După un sfert din perioadă, când, compensările tuturor punctelor sunt egale cu zero. Particulele călătoresc prin linie la viteze diferite.
După încă un sfert din perioadă, când particulele vor avea din nou deplasări maxime, dar în direcția opusă (săgeți punctate).
Când se descriu procesele oscilatorii în sistemele elastice, nu numai deplasarea, ci și viteza particulelor, precum și magnitudinea deformării relative a mediului, pot fi luate ca o mărime oscilantă.
Pentru a găsi legea schimbării în viteza unei unde staționare, o diferențiem prin ecuația de deplasare a unei unde staționare și pentru a găsi legea schimbării în deformare, o diferențiem prin ecuația unei unde staționare.
Analizând aceste ecuații, vedem că nodurile și antinodele vitezei coincid cu nodurile și antinodele deplasării; nodurile și antinodele de deformare coincid, respectiv, cu antinodele și nodurile de viteză și deplasare.
Vibrațiile corzii
Într-o coardă întinsă fixată la ambele capete, când vibrațiile transversale sunt excitate, se stabilesc unde staționare, iar nodurile ar trebui să fie amplasate în locurile în care coarda este fixată. Prin urmare, numai astfel de vibrații sunt excitate în șir, jumătate din lungimea căreia se potrivește cu lungimea șirului de un număr întreg de ori.
Aceasta implică condiția:
unde este lungimea șirului.
Sau altfel. Aceste lungimi de undă corespund frecvențelor, unde este viteza de fază a undei. Valoarea sa este determinată de tensiunea șirului și de masa acestuia.
At este frecvența fundamentală.
At - frecvențe naturale ale vibrațiilor șirului sau tonuri.
efectul Doppler
Luați în considerare cele mai simple cazuri când sursa de undă și observatorul se mișcă în raport cu mediul de-a lungul unei linii drepte:
1. Sursa de sunet se mișcă în raport cu mediul la o viteză, receptorul de sunet este în repaus.
În acest caz, în perioada oscilațiilor, unda sonoră se va îndepărta de sursă la distanță, iar sursa însăși se va deplasa cu o distanță egală cu.
Dacă sursa este eliminată de la receptor, adică deplasați-vă în direcția opusă direcției de propagare a undei, apoi lungimea de undă.
Dacă sursa de sunet este apropiată de receptor, adică deplasați-vă în direcția de propagare a undelor, apoi.
Frecvența sunetului perceput de receptor este egală cu:
Să înlocuim ambele cazuri în locul valorilor lor:
Având în vedere că, unde este frecvența de oscilație a sursei, egalitatea va lua forma:
Împărțim atât numărătorul, cât și numitorul acestei fracții la, apoi:
2. Sursa de sunet este staționară, iar receptorul se mișcă în raport cu mediul cu viteza.
În acest caz, lungimea de undă din mediu nu se schimbă și este încă egală cu. În același timp, două amplitudini succesive, care diferă în timp cu o perioadă de oscilație, ajungând la receptorul în mișcare, vor diferi în timp în momentele întâlnirii undei cu receptorul pentru un interval de timp, a cărui valoare este mai mare sau mai mică în funcție de dacă receptorul se îndepărtează sau se apropie de sursă. sunet. În timp, sunetul parcurge o distanță, iar receptorul se deplasează la distanță. Suma acestor valori ne oferă lungimea de undă:
Perioada de oscilații percepute de receptor este legată de frecvența acestor oscilații prin raportul:
Înlocuind expresia din egalitate (1) în locul ei, obținem:
pentru că , unde este frecvența de oscilație a sursei, a, atunci:
3. Sursa și receptorul sunetului se mișcă în raport cu mediul. Combinând rezultatele obținute în cele două cazuri anterioare, obținem:
Unde sonore
Dacă undele elastice care se propagă în aer au o frecvență cuprinsă între 20 și 20.000 Hz, atunci, la atingerea urechii umane, provoacă o senzație de sunet. Prin urmare, undele situate în acest interval de frecvență sunt numite unde sonore. Se numesc unde elastice cu o frecvență mai mică de 20 Hz infrasunete ... Se numesc valuri cu o frecvență mai mare de 20.000 Hz ecografie... Urechea umană nu aude ultrasunete și infrasunete.
Senzațiile sonore se caracterizează prin înălțime, timbru și volum. Pasul este determinat de frecvența vibrațiilor. Cu toate acestea, o sursă de sunet emite nu doar una, ci un întreg spectru de frecvențe. Setul de frecvențe de vibrație prezent într-un sunet dat se numește al său spectru acustic... Energia vibrațională este distribuită între toate frecvențele spectrului acustic. Înălțimea este determinată de una - frecvența fundamentală, dacă ponderea acestei frecvențe conține mult mai multă energie decât ponderea altor frecvențe.
Dacă spectrul constă din mai multe frecvențe situate în intervalul de frecvență de la până la, atunci un astfel de spectru este numit solid(exemplu este zgomotul).
Dacă spectrul constă dintr-un set de oscilații ale frecvențelor discrete, atunci se numește un astfel de spectru stăpânit(exemplu - sunete muzicale).
Spectrul acustic al unui sunet, în funcție de caracterul său și de distribuția energiei între frecvențe, determină originalitatea senzației sonore, numită timbrul sunetului. Diferite instrumente muzicale au un spectru acustic diferit, adică diferă în timbrul sunetului.
Intensitatea sunetului este caracterizată de diferite valori: vibrații ale particulelor mediului, viteze ale acestora, forțe de presiune, tensiuni în ele etc.
Caracterizează amplitudinea oscilațiilor fiecăreia dintre aceste mărimi. Cu toate acestea, deoarece aceste cantități sunt corelate, este recomandabil să se introducă o singură caracteristică energetică. O astfel de caracteristică pentru valurile de orice tip a fost propusă în 1877. PE. Umov.
Să decupăm mental o platformă din fața valului călător. În timp, această zonă se va deplasa la o distanță, unde este viteza valului.
Să notăm prin energia unei unități de volum a unui mediu oscilant. Atunci energia întregului volum va fi egală.
Această energie a fost transferată în timp de o undă care se propagă prin sit.
Împărțind această expresie la și, obținem energia transportată de undă printr-o unitate de zonă pe unitate de timp. Această valoare este indicată printr-o scrisoare și se numește a vectorului Umov
Pentru câmpul sonor Vectorul lui Umov se numește puterea sunetului.
Intensitatea sunetului este o caracteristică fizică a intensității sunetului. O evaluăm subiectiv ca volum sunet. Urechea umană percepe sunete a căror putere depășește o anumită valoare minimă, care este diferită pentru frecvențe diferite. Această valoare se numește pragul auzului sunet. Pentru frecvențe medii de ordinea Hz, pragul de audibilitate este de ordinul.
Cu o putere sonoră foarte mare a ordinii, sunetul este perceput cu excepția urechii de către organele tactile, iar în urechi provoacă o senzație dureroasă.
Se numește valoarea intensității la care se produce acest lucru pragul durerii... Pragul durerii, precum și pragul auzului, depind de frecvență.
O persoană are un aparat destul de complex pentru percepția sunetelor. Vibrațiile sonore sunt colectate de auriculă și acționează asupra timpanului prin canalul auditiv. Vibrațiile sale sunt transmise către o mică cavitate numită cohlee. În interiorul cohleei, există un număr mare de fibre cu lungimi și tensiuni diferite și, prin urmare, frecvențe de vibrații naturale diferite. Sub acțiunea sunetului, fiecare dintre fibre rezonează la ton, a cărei frecvență coincide cu frecvența naturală a fibrei. Setul de frecvențe rezonante din aparatul auditiv determină gama de vibrații sonore pe care le percepem.
Evaluat subiectiv de urechea noastră, volumul crește mult mai lent decât intensitatea undelor sonore. În timp ce intensitatea crește exponențial, volumul crește în progresia aritmetică. Pe această bază, nivelul sonor este definit ca logaritmul raportului dintre intensitatea unui sunet dat și intensitatea luată ca inițială.
Se numește unitatea nivelului de volum alb... De asemenea, sunt utilizate unități mai mici - decibeli(De 10 ori mai puțin alb).
unde este coeficientul de absorbție a sunetului.
Valoarea coeficientului de absorbție a sunetului crește proporțional cu pătratul frecvenței sunetului, astfel încât sunetele joase se propagă mai mult decât sunetele înalte.
În acustica arhitecturală a încăperilor mari, un rol esențial îl joacă reverberaţie sau ecoul premiselor. Sunetele, care se confruntă cu reflexii multiple de la suprafețe închise, sunt percepute de ascultător pentru o perioadă destul de lungă de timp. Acest lucru crește puterea sunetului care ne ajunge, cu toate acestea, cu o reverberație prea lungă, sunetele individuale se suprapun unele pe altele și vorbirea încetează să mai fie percepută articulat. Prin urmare, pereții sălilor sunt acoperiți cu materiale speciale fonoabsorbante pentru a reduce reverberația.
Orice corp oscilant poate servi ca sursă de vibrații sonore: o limbă de clopot, o diapazonă, o coardă de vioară, o coloană de aer în instrumente de suflat etc. aceste corpuri pot servi și ca receptoare de sunet atunci când intră în mișcare sub influența vibrațiilor mediului.
Ecografie
Pentru a deveni direcțional, adică aproape de o undă plană, dimensiunile emițătorului trebuie să fie de multe ori mai mari decât lungimea de undă. Undele sonore din aer au o lungime de până la 15 m; în lichide și solide, lungimea de undă este chiar mai mare. Prin urmare, este practic imposibil să construiești un radiator care să creeze o undă direcționată de o astfel de lungime.
Vibrațiile cu ultrasunete au o frecvență de peste 20.000 Hz, astfel încât lungimea lor de undă este foarte mică. Odată cu scăderea lungimii de undă, rolul difracției în procesul de propagare a undelor scade, de asemenea. Prin urmare, undele ultrasonice pot fi recepționate sub formă de fascicule direcționale, asemănătoare cu fasciculele de lumină.
Două fenomene sunt utilizate pentru a excita undele ultrasonice: efect piezoelectric inversși magnetostricție.
Efectul piezoelectric invers este că placa unor cristale (sare Rochelle, cuarț, titanat de bariu etc.) este ușor deformată sub acțiunea unui câmp electric. Plasându-l între plăcile metalice, cărora li se aplică o tensiune alternativă, este posibil să se inducă vibrații forțate ale plăcii. Aceste vibrații sunt transmise mediului și generează o undă ultrasonică în acesta.
Magnetostricția înseamnă că substanțele feromagnetice (fier, nichel, aliajele acestora etc.) sunt deformate sub influența unui câmp magnetic. Prin urmare, prin plasarea unei tije feromagnetice într-un câmp magnetic alternativ, vibrațiile mecanice pot fi excitate.
Valorile ridicate ale vitezei și accelerațiilor acustice, precum și metodele bine dezvoltate de studiu și primire a vibrațiilor cu ultrasunete, au făcut posibilă utilizarea acestora pentru rezolvarea multor probleme tehnice. Să enumerăm câteva dintre ele.
În 1928, omul de știință sovietic S.Ya. Sokolov a sugerat utilizarea ultrasunetelor pentru detectarea defectelor, adică pentru detectarea defectelor interne ascunse precum cochilii, fisuri, slăbiciune, incluziuni de zgură etc. în produsele metalice. Dacă dimensiunea defectului depășește lungimea de undă a ultrasunetelor, atunci pulsul ultrasonic este reflectat din defect și revine înapoi. Prin trimiterea de impulsuri ultrasonice către produs și înregistrarea semnalelor de ecou reflectate, este posibilă nu numai detectarea prezenței defectelor în produse, ci și evaluarea dimensiunii și localizării acestor defecte. Această metodă este acum utilizată pe scară largă în industrie.
Grinzile ultrasonice direcționale sunt utilizate pe scară largă în scopuri de localizare, adică pentru detectarea obiectelor din apă și determinarea distanței față de acestea. Pentru prima dată, ideea localizării cu ultrasunete a fost arătată de un fizician francez remarcabil P. Langevinși dezvoltat de el în timpul primului război mondial pentru a detecta submarine. În zilele noastre, principiile sonarului sunt folosite pentru a detecta aisbergurile, școlile de pește etc. aceste metode pot determina, de asemenea, adâncimea mării sub fundul navei (sondă de ecou).
Undele ultrasonice de amplitudine mare sunt utilizate în prezent pe scară largă în tehnologia pentru prelucrarea mecanică a materialelor solide, curățarea obiectelor mici (părți ale mecanismelor de ceas, conducte etc.) plasate într-un lichid, degazare etc.
Creând pulsații puternice de presiune în mediu în timpul trecerii lor, undele ultrasonice provoacă o serie de fenomene specifice: zdrobirea (dispersarea) particulelor suspendate într-un lichid, formarea emulsiilor, accelerarea proceselor de difuzie, activarea reacțiilor chimice, impactul asupra obiectelor biologice , etc.
6.1 Undele staționare într-un mediu elastic
Conform principiului suprapunerii, atunci când mai multe unde se propagă simultan într-un mediu elastic, acestea se suprapun, iar undele nu se perturbă reciproc: oscilațiile particulelor mediului sunt suma vectorială a oscilațiilor pe care particulele le-ar efectua în timpul propagarea fiecărei valuri separat ...
Valurile care creează vibrații ale mediului, ale căror diferențe de fază sunt constante în fiecare punct al spațiului, sunt numite coerent.
Când se adaugă unde coerente, apare fenomenul interferență, care constă în faptul că în unele puncte din spațiu valurile se întăresc reciproc, iar în alte puncte - slăbesc. Un caz important de interferență este observat atunci când sunt suprapuse două unde plane contrapropagate cu aceeași frecvență și amplitudine. Oscilațiile rezultate sunt numite val staționar... Cel mai adesea, valurile staționare apar atunci când o undă călătoare se reflectă dintr-un obstacol. În acest caz, unda incidentă și unda reflectată spre ea, atunci când sunt adăugate, dau o undă staționară.
Să obținem ecuația unui val staționar. Să luăm două unde armonice plane care se propagă una spre cealaltă de-a lungul axei Xși având aceeași frecvență și amplitudine:
unde este faza de oscilații a punctelor mediului în timpul trecerii primei unde;
- faza de oscilații a punctelor mediului în timpul trecerii celei de-a doua unde.
Diferența de fază în fiecare punct de pe axă X nu va depinde de timp, adică va fi constant:
Prin urmare, ambele valuri vor fi coerente.
Oscilația particulelor de mediu care apar ca urmare a adăugării undelor considerate va fi după cum urmează:
Transformăm suma cosinusului unghiurilor conform regulii (4.4) și obținem:
Reorganizați factorii, obținem:
Pentru a simplifica expresia, vom alege originea astfel încât diferența de fază și originea timpului, astfel încât suma fazelor să fie egală cu zero :.
Atunci ecuația pentru suma undelor va lua forma:
Ecuația (6.6) se numește ecuația undei staționare... Se poate observa din aceasta că frecvența undei staționare este egală cu frecvența undei călătoare, iar amplitudinea, spre deosebire de unda călătorie, depinde de distanța de la origine:
Luând în considerare (6.7), ecuația undei staționare ia forma:
Astfel, punctele mediului vibrează cu o frecvență care coincide cu frecvența undei călătoare și cu o amplitudine Aîn funcție de poziția punctului pe axă X... În consecință, amplitudinea se schimbă în conformitate cu legea cosinusului și are propriile sale maxime și minime (Fig. 6.1).
Pentru a reprezenta vizual locația minimelor și maximei amplitudinii, înlocuim, conform (5.29), numărul de undă cu valoarea sa:
Atunci expresia (6.7) pentru amplitudine ia forma
De aici devine clar că amplitudinea deplasării este maximă la, adică în puncte a căror coordonată îndeplinește condiția:
De aici obținem coordonatele punctelor în care amplitudinea deplasării este maximă:
Se numesc punctele în care amplitudinea oscilațiilor mediului este maximă antinodii de undă.
Amplitudinea undei este zero în punctele în care. Coordonata acestor puncte, numită noduri de val, îndeplinește condiția:
Din (6.13) se poate vedea că coordonatele nodurilor au valori:
În fig. 6.2 prezintă o vedere aproximativă a unei unde staționare, locația nodurilor și a antinodelor este marcată. Se poate observa că nodurile și antinodele învecinate ale deplasării sunt separate unele de altele de aceeași distanță.
Să găsim distanța dintre antinodii și nodurile vecine. Din (6.12) obținem distanța dintre antinozi:
Distanța dintre noduri se obține de la (6.14):
Din relațiile obținute (6.15) și (6.16) se vede că distanța dintre nodurile vecine, precum și între antinodele vecine, este constantă și egală; nodurile și antiscurile sunt deplasate unul față de celălalt prin (Fig. 6.3).
Din definiția lungimii de undă, puteți scrie expresia pentru lungimea undei staționare: este egală cu jumătate din lungimea undei călătoare:
Să scriem, luând în considerare (6.17), expresiile pentru coordonatele nodurilor și antinodelor:
Multiplicatorul care determină amplitudinea undei staționare își schimbă semnul atunci când traversează valoarea zero, ca urmare a cărui fază a oscilațiilor de pe diferite laturi ale nodului diferă. În consecință, toate punctele situate pe laturile opuse ale nodului oscilează în antifază. Toate punctele situate între nodurile vecine oscilează în fază.
Nodurile împart condiționat mediul în regiuni autonome, în care oscilațiile armonice apar independent. Nu există transfer de mișcare între regiuni și, prin urmare, nu există o revărsare de energie între regiuni. Adică, nu există o transmisie a perturbării de-a lungul axei. Prin urmare, valul se numește în picioare.
Deci, o undă staționară este formată din două unde călătoare direcționate opus, cu frecvențe și amplitudini egale. Vectorii Umov ai fiecăreia dintre aceste unde sunt egale în mărime și opuse în direcție și, atunci când sunt adăugate, dau zero. Prin urmare, valul staționar nu transportă energie.
6.2 Exemple de valuri staționare
6.2.1 Unda staționară într-un șir
Luați în considerare un șir de lungime L, fixat la ambele capete (Fig. 6.4).
Așezăm axa de-a lungul șirului X astfel încât capătul stâng al șirului să aibă coordonata x = 0 iar cel potrivit este x = L... Oscilațiile apar în șir, descrise de ecuație:
Haideți să notăm condițiile limită pentru șirul în cauză. Deoarece capetele sale sunt fixe, atunci în puncte cu coordonate x = 0și x = L fără ezitare:
Să găsim ecuația vibrațiilor șirului pe baza condițiilor limită scrise. Să scriem ecuația (6.20) pentru capătul stâng al șirului luând în considerare (6.21):
Relația (6.23) este valabilă în orice moment tîn două cazuri:
1.. Acest lucru este posibil dacă nu există vibrații în șir (). Acest caz nu prezintă niciun interes și nu îl vom lua în considerare.
2 .. Iată faza. Acest caz ne va permite să obținem ecuația pentru vibrațiile șirului.
Înlocuiți valoarea de fază obținută în condiția de delimitare (6.22) pentru capătul drept al șirului:
Având în vedere că
din (6.25) obținem:
Din nou, există două cazuri în care relația (6.27) este satisfăcută. Nu vom lua în considerare cazul când nu există vibrații în șir ().
În al doilea caz, egalitatea trebuie să fie adevărată:
și acest lucru este posibil numai atunci când argumentul sinus este un multiplu întreg:
Renunțăm la valoare, pentru că în acest caz, iar acest lucru ar însemna fie lungimea șirului zero ( L = 0) sau număr nou-val k = 0... Luând în considerare relația (6.9) dintre numărul de undă și lungimea de undă, se poate observa că, pentru ca numărul de undă să fie egal cu zero, lungimea de undă ar trebui să fie infinită, iar acest lucru ar însemna absența oscilațiilor.
Din (6.28) se poate observa că numărul undei în timpul vibrațiilor unui șir fixat la ambele capete poate lua doar anumite valori discrete:
Luând în considerare (6.9), scriem (6.30) sub forma:
de unde tragem expresia pentru lungimile de undă posibile din șir:
Cu alte cuvinte, la lungimea șirului L trebuie să se potrivească unui număr întreg n jumătăți de val:
Frecvențele de vibrație corespunzătoare pot fi determinate din (5.7):
Iată viteza de fază a undei, în funcție de (5.102), de densitatea liniară a șirului și de tensiunea șirului:
Înlocuind (6.34) cu (6.33), obținem o expresie care descrie frecvențele posibile ale vibrațiilor șirului:
Se numesc frecvențe frecvențe naturale siruri de caractere. Frecvență (la n = 1):
sunt numite frecvența fundamentală(sau ton de bază) siruri de caractere. Frecvențe determinate la n> 1 sunt numite tonuri sau armonice... Numărul armonic este n-1... De exemplu, frecvența:
corespunde primei armonici și frecvența:
corespunde celei de-a doua armonici etc. Deoarece șirul poate fi reprezentat ca un sistem discret cu un număr infinit de grade de libertate, fiecare armonică este Modă vibrațiile șirului. În general, vibrațiile șirurilor sunt o suprapunere a modurilor.
Fiecare armonică are propria lungime de undă. Pentru tonul principal (la n = 1) lungimea de undă:
pentru prima și a doua armonică, respectiv (la n = 2 și n = 3) lungimile de undă vor fi:
Figura 6.5 prezintă o vedere a mai multor moduri de vibrație produse de un șir.
Astfel, un șir cu capete fixe realizează un caz excepțional în cadrul fizicii clasice - un spectru discret de frecvență a vibrațiilor (sau lungimi de undă). Tija elastică cu unul sau ambele capete strânse și oscilațiile coloanei de aer din conducte se comportă în același mod, ceea ce va fi discutat în secțiunile următoare.
6.2.2 Influența condițiilor inițiale asupra mișcării
șir continuu. Analiza Fourier
Vibrațiile unui șir cu capete strânse, pe lângă spectrul discret al frecvențelor vibrațiilor, au o altă proprietate importantă: forma specifică a vibrațiilor șirului depinde de metoda de excitație a vibrațiilor, adică din condițiile inițiale. Să aruncăm o privire mai atentă.
Ecuația (6.20), care descrie un mod al undei staționare într-un șir, este o soluție specială a ecuației undei diferențiale (5.61). Deoarece vibrația unui șir este alcătuită din toate modurile posibile (pentru un șir - un număr infinit), atunci soluția generală a ecuației de undă (5.61) este alcătuită dintr-un număr infinit de soluții particulare:
Unde eu Este numărul modului de vibrație. Expresia (6.43) este scrisă luând în considerare faptul că capetele șirului sunt fixe:
și luând în considerare și conexiunea de frecvență eu-al mod și numărul său de undă:
Iată numărul de undă eu a moda;
- numărul de undă al modului 1;
Să găsim valoarea fazei inițiale pentru fiecare mod de vibrație. Pentru a face acest lucru, în momentul de timp t = 0 dați șirului forma descrisă de funcție f 0 (X), expresia pentru care se va obține din (6.43):
În fig. 6.6 arată un exemplu de formă de șir descris de o funcție f 0 (X).
La un moment dat t = 0șirul este încă în repaus, adică viteza tuturor punctelor sale este zero. Din (6.43) găsim expresia pentru viteza punctelor șirului:
și înlocuind în ea t = 0, obținem o expresie pentru viteza punctelor șirului la momentul inițial de timp:
Deoarece în momentul inițial de timp viteza este egală cu zero, expresia (6.49) va fi egală cu zero pentru toate punctele șirului, dacă. Din aceasta rezultă că faza inițială pentru toate modurile este de asemenea zero (). Luând în considerare acest lucru, expresia (6.43), care descrie mișcarea șirului, ia forma:
și expresia (6.47), care descrie forma inițială a șirului, arată ca:
O undă staționară într-un șir este descrisă de o funcție periodică pe un interval în care este egală cu două lungimi de șir (Fig. 6.7):
Acest lucru se poate vedea din faptul că periodicitatea pe interval înseamnă:
Prin urmare,
ceea ce ne conduce la expresie (6.52).
Din analiza matematică se știe că orice funcție periodică poate fi extinsă cu o precizie ridicată într-o serie Fourier:
unde ,, sunt coeficienții Fourier.
În cazul nostru, când funcția este periodică pe interval, coeficienții Fourier, conform, sunt calculați ca:
În matematică, în cursul analizei Fourier, se arată că coeficienții Fourier obținuți în acest mod pentru expansiunea unei funcții periodice sunt de fapt coeficienții expansiunii funcției f 0 (X).
Analiza Fourier vă permite să descompuneți vibrația efectuată de șir într-un spectru, adică aflați ce moduri de vibrații au loc cu adevărat cu o metodă dată de excitare a șirurilor.
Luați în considerare două moduri de a excita vibrațiile șirului.
Metoda 1. În momentul inițial de timp, șirului i se dă o formă corespunzătoare primului mod de vibrație și descrisă de funcție:
După eliberarea șirului, acesta începe să vibreze din poziția inițială. Calculele arată că coeficienții Fourier pentru acest caz sunt egali cu zero, cu excepția unuia, care este egal cu amplitudinea A:
Cu această metodă de excitație, apare un singur mod de vibrație; nu există tonuri.
Metoda 2. Coarda este retrasă din poziția de echilibru în mijloc, așa cum se întâmplă în instrumentele cu coarde. Forma inițială este prezentată în Fig. 6.8.
Forma șirului prezentată în fig. 6.8 este descris de funcția:
Funcția corespunzătoare lui (6.64) și care este periodică pe interval, este scrisă după cum urmează:
La, (6,65)
Forma funcției periodice (6.65) este prezentată în Figura 6.9:
Calculele arată că toți coeficienții Fourier pentru o astfel de funcție sunt egali cu zero (inclusiv coeficientul). Primii trei coeficienți A 1 , A 2 , A 3 sunt, respectiv, egali:
După cum sa menționat deja, coeficienții Fourier obținuți în acest mod pentru expansiunea unei funcții periodice sunt de fapt coeficienții de expansiune ai funcției f 0 (X).
Apoi, luând în considerare primii trei termeni ai seriei Fourier, funcția (6.64) poate fi reprezentată aproximativ după cum urmează:
Am găsit doar primii trei termeni ai expansiunii Fourier a funcției (6.64). Desigur, seria Fourier obținută de noi (6.69) cu un număr finit de termeni, în cazul nostru egal cu trei, poate reproduce funcția originală doar aproximativ. Cu toate acestea, calculul coeficienților Fourier poate fi continuat. Se pare că, în cazul vibrațiilor pe care le luăm în considerare, în armă apar multe armonici (teoretic, o serie infinită de armonici).
Comparând primul și al doilea caz considerat, vedem că în primul dintre ele a existat un singur mod, iar în al doilea există multe armonici.
Astfel, cazurile luate în considerare arată că forma specifică a vibrațiilor unui șir prins pe ambele părți depinde în mod semnificativ de metoda de excitație a vibrațiilor, adică de condițiile inițiale.
Undele staționare se pot forma într-o varietate de condiții. Acest fenomen este cel mai ușor de demonstrat într-un spațiu restrâns. Acest efect poate fi realizat prin combinarea a două vibrații cu aceeași lungime de undă, propagându-se în direcții opuse. Interferența celor două semnale produce o undă rezultată care, la prima vedere, nu se mișcă (adică în picioare).
O condiție importantă este ca energia să intre în sistem cu o anumită rată. Aceasta înseamnă că frecvența de excitație trebuie să fie aproximativ egală cu frecvența naturală a vibrațiilor. Acest lucru este, de asemenea, cunoscut sub numele de rezonanță. Undele staționare sunt întotdeauna asociate cu. Apariția rezonanței poate fi determinată de o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor rezultate. Se cheltuie mult mai puțină energie pentru a crea unde staționare în comparație cu undele călătoare de aceleași amplitudini.
Nu uitați că în orice sistem în care există unde staționare, există și numeroase frecvențe naturale. Varietatea tuturor undelor staționare posibile este cunoscută sub numele de sisteme armonice. Cea mai simplă dintre armonici se numește fundamentală sau prima. Undele staționare ulterioare sunt numite al doilea, al treilea etc. Armonicele care diferă de cele fundamentale sunt uneori numite subtextuale.
Tipuri de valuri staționare
Există mai multe tipuri de unde staționare în funcție de caracteristicile fizice. Toate acestea pot fi împărțite în trei grupe mari: unidimensional, bidimensional și tridimensional.
Undele staționare unidimensionale apar atunci când există un spațiu închis plat. În acest caz, unda se poate propaga numai într-o singură direcție: de la sursă la limita spațiului. Există trei subgrupuri de unde staționare unidimensionale: cu două noduri la capete, cu un nod în mijloc și cu un nod la unul dintre capetele undei. Un nod este punctul cu cea mai mică amplitudine și energie a semnalului.
Undele staționare bidimensionale apar atunci când oscilațiile se propagă în două direcții de la sursă. După reflectarea din obstacol, apare un val staționar.
Undele staționare tridimensionale sunt semnale care se propagă în spațiu cu o viteză finită. Nodurile din acest tip de vibrații vor fi suprafețe bidimensionale. Acest lucru le complică foarte mult cercetarea. Un exemplu de astfel de unde este orbita mișcării unui electron într-un atom.
Importanța practică a valurilor staționare
Undele staționare sunt importante, deoarece sunetul este o combinație de mai multe vibrații. Calculul corect al lungimii și rigidității corzilor vă permite să obțineți cel mai bun sunet al unui anumit instrument.
Valurile staționare sunt, de asemenea, foarte importante. În metoda studierii particulelor folosind spectroscopia cu raze X, procesarea semnalului reflectat face posibilă determinarea compoziției cantitative și calitative aproximative a obiectului.
