Piramidă. Piramida trunchiată

Piramidă se numește poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară în care toate muchiile sunt egale tetraedru .

Coastă laterală piramida este partea feței laterale care nu aparține bazei Înălţime piramida se numeste distanta de la varful ei la planul bazei. Toate coastele laterale piramida corecta sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt egale triunghiuri isoscele... Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trase din vârf apotema . Secțiune diagonală secţiunea piramidei se numeşte plan care trece prin două margini laterale care nu aparţin unei singure feţe.

Suprafata laterala piramida se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata intreaga numită suma ariilor tuturor fețelor laterale și a bazei.

Teoreme

1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris bazei.

2. Dacă în piramidă toate marginile laterale au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris bazei.

3. Dacă în piramidă toate fețele sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului înscris în bază.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, următoarea formulă este corectă:

Unde V- volum;

S principal- suprafata de baza;

H- inaltimea piramidei.

Pentru piramida corectă, formulele sunt corecte:

Unde p- perimetrul bazei;

h a- apotema;

H- inaltime;

S plin

partea S

S principal- suprafata de baza;

V- volumul piramidei corecte.

Piramida trunchiată numită partea de piramidă, închisă între bază și planul secant paralel cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată obișnuită se numește partea unei piramide regulate, închisă între bază și planul secant paralel cu baza piramidei.

Fundamente trunchi de piramide - poligoane similare. Fețe laterale - trapez. Înălţime o piramidă trunchiată este distanța dintre bazele sale. Diagonală o piramidă trunchiată se numește un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. Secțiune diagonală o secțiune a unei trunchi de piramidă se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin unei singure fețe.

Pentru o piramidă trunchiată sunt valabile următoarele formule:

(4)

Unde S 1 , S 2 - zone ale bazelor superioare și inferioare;

S plin- suprafata totala;

partea S- suprafata laterala;

H- inaltime;

V- volumul trunchiului piramidei.

Pentru o piramidă trunchiată corectă, formula este corectă:

Unde p 1 , p 2 - perimetrele bazelor;

h a- apotema trunchiului piramidal regulat.

Exemplul 1.Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, unghiul diedrul de la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.

Soluţie. Să facem un desen (fig. 18).

Piramida este corectă, deci la bază triunghi echilateral iar toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedrul de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar este unghiul Aîntre două perpendiculare: și i.e. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumferitor și cercul înscris în triunghi ABC). Unghiul de înclinare al nervurii laterale (de exemplu SB) Este unghiul dintre marginea însăși și proiecția acesteia pe planul bazei. Pentru coastă SB acest unghi va fi unghiul SBD... Pentru a găsi tangenta, trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEși OB... Fie lungimea segmentului BD este egal cu 3 A... Punct O secțiune BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: Din găsim:

Răspuns:

Exemplul 2. Găsiți volumul unei piramide patrulatere trunchiate obișnuite dacă diagonalele bazelor sale sunt cm și cm, iar înălțimea este de 4 cm.

Soluţie. Pentru a afla volumul piramidei trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi aria bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt de 2 cm și, respectiv, 8 cm. Deci ariile bazelor și După înlocuirea tuturor datelor din formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:

Răspuns: 112 cm 3.

Exemplul 3. Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare obișnuite, ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.

Soluţie. Să facem un desen (fig. 19).

Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți baza și înălțimea. Bazele sunt date după condiție, doar înălțimea rămâne necunoscută. O vom găsi de unde A 1 E perpendicular de la punct A 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D- perpendicular de la A 1 pe LA FEL DE. A 1 E= 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. A găsi DE să facem un desen suplimentar, care va reprezenta o vedere de sus (fig. 20). Punct O- proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi fig. 20) şi Pe de altă parte Bine Este raza cercului înscris și OM- raza cercului înscris:

MK = DE.

Prin teorema lui Pitagora din

Zona feței laterale:

Răspuns:

Exemplul 4. La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze Ași b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi cu planul de bază al piramidei egal cu j... Aflați suprafața totală a piramidei.

Soluţie. Să facem un desen (fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD egală cu suma ariilor și ariei trapezului ABCD.

Să folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct O- proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD pe planul bazei. Prin teorema privind aria unei proiecții ortogonale a unei figuri plane, obținem:

În mod similar, înseamnă Astfel, sarcina a fost redusă la găsirea zonei trapezului ABCD... Desenați un trapez ABCD separat (fig. 22). Punct O- centrul cercului înscris în trapez.

Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, fie Din, prin teorema lui Pitagora, avem

În această lecție, ne vom uita la piramida trunchiată, ne vom familiariza cu piramida trunchiată corectă și vom studia proprietățile acestora.

Să ne amintim conceptul de piramidă cu n laturi folosind exemplul unei piramide triunghiulare. Triunghiul ABC este setat. În afara planului triunghiului se ia punctul P, legat de vârfurile triunghiului. Suprafața poliedrică rezultată se numește piramidă (Fig. 1).

Orez. 1. Piramida triunghiulara

Să disecăm piramida cu un plan paralel cu planul bazei piramidei. Figura obţinută între aceste planuri se numeşte trunchi de piramidă (Fig. 2).

Orez. 2. Piramida trunchiată

Elemente principale:

Baza superioara;

Baza inferioară ABC;

Marginea laterală;

Dacă PH este înălțimea piramidei originale, atunci este înălțimea piramidei trunchiate.

Proprietățile unei piramide trunchiate decurg din metoda de construcție a acesteia, și anume din paralelismul planurilor de bază:

Toate fețele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze. Luați în considerare, de exemplu, o fațetă. Conform proprietății planelor paralele (deoarece planurile sunt paralele, ele tăie fața laterală a piramidei originale ABP de-a lungul liniilor drepte paralele), în același timp nu sunt paralele. Evident, patrulaterul este un trapez, ca toate fețele laterale ale piramidei trunchiate.

Raportul de bază este același pentru toate trapezele:

Avem mai multe perechi de triunghiuri similare cu același coeficient de similitudine. De exemplu, triunghiurile și RAV sunt similare datorită paralelismului planelor și a coeficientului de asemănare:

În același timp, triunghiurile și RBC sunt similare cu coeficientul de similaritate:

Evident, coeficienții de similitudine pentru toate cele trei perechi de triunghiuri similare sunt egali, deci raportul bazelor este același pentru toate trapezele.

O trunchiă de piramidă obișnuită este o trunchiă de piramidă obținută prin tăierea unei piramide regulate cu un plan paralel cu baza (Fig. 3).

Orez. 3. Corectează piramida trunchiată

Definiție.

O piramidă se numește corectă, la baza căreia se află n-gon regulat, iar vârful este proiectat în centrul acestui n-gon (centrul cercurilor înscrise și circumscrise).

V în acest caz există un pătrat la baza piramidei, iar vârful este proiectat până la punctul de intersecție a diagonalelor sale. Piramida trunchiată dreptunghiulară regulată obținută ABCD are o bază inferioară și o bază superioară. Înălțimea piramidei originale - RO, piramida trunchiată - (Fig. 4).

Orez. 4. Piramidă trunchiată patruunghiulară regulată

Definiție.

Înălțimea trunchiului este perpendiculara trasă din orice punct de pe o bază pe planul celeilalte baze.

Apotema piramidei originale este PM (M este mijlocul lui AB), apotema piramidei trunchiate este (Fig. 4).

Definiție.

Apotema piramidei trunchiate este înălțimea oricărei fețe laterale.

Este clar că toate marginile laterale ale piramidei trunchiate sunt egale între ele, adică marginile laterale sunt trapeze isoscele egale.

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este egală cu produsul dintre jumătatea sumei perimetrelor bazei și apotema.

Dovada (pentru o piramidă trunchiată dreptunghiulară obișnuită - Fig. 4):

Deci, este necesar să se dovedească:

Aria suprafeței laterale aici va consta din suma suprafețelor fețelor laterale - trapeze. Deoarece trapezele sunt aceleași, avem:

Aria unui trapez isoscel este produsul dintre jumătatea sumei bazelor și înălțimea, apotema este înălțimea trapezului. Avem:

Q.E.D.

Pentru o piramidă cu n laturi:

Unde n este numărul de fețe laterale ale piramidei, a și b sunt baza trapezului, este apotema.

Laturile bazei unei piramide patruunghiulare trunchiate regulate sunt egale cu 3 cm și 9 cm, înălțimea - 4 cm Aflați aria suprafeței laterale.

Orez. 5. Ilustrație pentru problema 1

Soluţie. Să ilustrăm condiția:

Dat:,,

Prin punctul O trasăm o dreaptă MN paralelă cu cele două laturi ale bazei inferioare, în mod similar printr-un punct trasăm o dreaptă (Fig. 6). Deoarece pătratele și construcțiile sunt paralele la bazele piramidei trunchiate, obținem un trapez egal cu fețele laterale. Mai mult, latura sa laterală va trece prin mijlocul nervurilor superioare și inferioare ale fețelor laterale și va fi apotema piramidei trunchiate.

Orez. 6. Construcții suplimentare

Luați în considerare trapezul rezultat (Fig. 6). În acest trapez se cunosc baza superioară, baza inferioară și înălțimea. Este necesar să se găsească latura laterală, care este apotema piramidei trunchiate date. Să desenăm perpendicular pe MN. Să aruncăm perpendiculara NQ din punct. Obținem că baza mai mare este împărțită în segmente de trei centimetri (). Luați în considerare un triunghi dreptunghic, catetele din el sunt cunoscute, acesta este triunghiul egiptean, conform teoremei lui Pitagora, determinăm lungimea ipotenuzei: 5 cm.

Acum există toate elementele pentru determinarea ariei suprafeței laterale a piramidei:

Piramida este străbătută de un plan paralel cu baza. Demonstrați, folosind exemplul unei piramide triunghiulare, că marginile laterale și înălțimea piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale.

Dovada. Să ilustrăm:

Orez. 7. Ilustrație pentru problema 2

Piramida RAVS este stabilită. RO este înălțimea piramidei. Piramida este disecata printr-un plan, se obtine, de altfel, si o trunchiata de piramida. Punct - punctul de intersecție al înălțimii RO cu planul bazei piramidei trunchiate. Este necesar să se dovedească:

Cheia soluției este proprietatea planului paralel. Două plane paralele tăiați orice al treilea plan astfel încât liniile de intersecție să fie paralele. Prin urmare:. Paralelismul dreptelor corespunzătoare implică prezența a patru perechi de triunghiuri similare:

Proporționalitatea laturilor corespunzătoare rezultă din asemănarea triunghiurilor. Caracteristică importantă constă în faptul că coeficienții de similaritate pentru aceste triunghiuri sunt aceiași:

Q.E.D.

Corect piramida triunghiulara RAVS cu înălțimea și latura bazei este disecat de un plan care trece prin mijlocul înălțimii RN paralel cu baza ABC. Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei trunchiate rezultate.

Soluţie. Să ilustrăm:

Orez. 8. Ilustrație pentru problema 3

ASB este un triunghi dreptunghic, H este centrul acestui triunghi (centrul cercurilor înscrise și circumscrise). RM este apotema piramidei date. - apotema piramidei trunchiate. Conform proprietății planelor paralele (două plane paralele decupează orice al treilea plan astfel încât liniile de intersecție să fie paralele), avem mai multe perechi de triunghiuri similare cu un coeficient de similitudine egal. În special, ne interesează relația:

Să găsim NM. Aceasta este raza cercului înscris în bază, știm formula corespunzătoare:

Acum, din triunghiul dreptunghic РНМ, conform teoremei lui Pitagora, găsim РМ - apotema piramidei originale:

Din raportul initial:

Acum cunoaștem toate elementele pentru găsirea ariei suprafeței laterale a piramidei trunchiate:

Așadar, ne-am familiarizat cu conceptele de trunchi de piramidă și de trunchi de piramidă obișnuită, am dat definiții de bază, am considerat proprietăți și am demonstrat teorema pe suprafața laterală. Următoarea lecție va fi despre rezolvarea problemelor.

Bibliografie

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (de bază și niveluri de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, Rev. si adauga. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 p.: Ill.
2. Sharygin I.F. Geometrie. Clasele 10-11: Manual pentru învățământul general institutii de invatamant/ Sharygin I.F. - M .: Buttard, 1999 .-- 208 p.: Ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometrie. Clasa a 10-a: Manual pentru instituțiile de învățământ cu studiu aprofundat și de specialitate al matematicii / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, Stereotip. - M .: Butard, 2008 .-- 233 p .: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Teme pentru acasă

- Acesta este un poliedru, care este format din baza piramidei și o secțiune paralelă cu aceasta. Putem spune că o piramidă trunchiată este o piramidă cu vârful trunchiat. Această formă are multe proprietăți unice:

• Fețele laterale ale piramidei sunt trapeze;
• Nerve laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite lungime egalăși înclinat spre bază la același unghi;
• Bazele sunt ca niște poligoane;
• Într-o piramidă trunchiată obișnuită, fețele sunt trapeze isoscele identice, a căror zonă este egală cu. De asemenea, sunt înclinate spre bază în același unghi.

Formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate este suma ariilor laturilor sale:

Deoarece laturile trunchiului piramidei sunt trapeze, va trebui să utilizați formula pentru a calcula parametrii zona trapezului... Pentru o piramidă trunchiată corectă, puteți aplica o formulă diferită a zonei. Deoarece toate laturile, fețele și unghiurile sale de la bază sunt egale, este posibil să se aplice perimetrele bazei și ale apotemului și, de asemenea, să se deducă aria prin unghiul de la bază.

Dacă, conform condițiilor dintr-o piramidă trunchiată obișnuită, sunt date apotema (înălțimea laturii laterale) și lungimile laturilor bazei, atunci aria poate fi calculată prin semiprodusul sumei perimetrele bazelor și apotema:

Să ne uităm la un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide trunchiate.
Este dată o piramidă pentagonală regulată. Apotema l= 5 cm, lungimea feței în baza mare este A= 6 cm, iar marginea în baza mai mică b= 4 cm Calculați aria piramidei trunchiate.

Mai întâi, să găsim perimetrele bazelor. Deoarece ni se oferă o piramidă pentagonală, înțelegem că bazele sunt pentagoane. Aceasta înseamnă că o figură cu cinci laturi identice se află la baze. Găsiți perimetrul bazei mai mari:

În același mod, găsim perimetrul bazei mai mici:

Acum putem calcula aria piramidei trunchiate corecte. Inlocuim datele in formula:

Astfel, am calculat aria unei piramide trunchiate obișnuite prin perimetre și apotema.

O altă modalitate de a calcula suprafața laterală a unei piramide obișnuite este formula prin colțurile de la bază și chiar zona acestor baze.

Să aruncăm o privire la un exemplu de calcul. Amintiți-vă că această formulă se aplică numai unei piramide trunchiate obișnuite.

Să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată. Marginea bazei inferioare este a = 6 cm, iar marginea bazei superioare este b = 4 cm. Unghiul diedric la bază este β = 60 °. Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite.

Mai întâi, să calculăm aria bazelor. Deoarece piramida este corectă, toate fețele bazelor sunt egale între ele. Având în vedere că la bază există un patrulater, înțelegem că va fi necesar să se calculeze suprafata patrata... Este produsul lățimii și lungimii, dar aceste valori sunt aceleași pătrate. Găsiți aria bazei mai mari:


Acum folosim valorile găsite pentru a calcula suprafața laterală.

Cunoscând câteva formule simple, am calculat cu ușurință aria trapezului lateral al piramidei trunchiate prin diferite valori.

• 29.05.2016

  circuit oscilator - circuit electric care conține un inductor, un condensator și o sursă energie electrica... Când elementele circuitului sunt conectate în serie, circuitul oscilator se numește secvenţial, cu paralel - paralel. circuit oscilator - cel mai simplu sistem unde liber vibratii electromagnetice... Frecvența de rezonanță a circuitului este determinată de așa-numita formulă Thomson: ƒ = 1 / (2π√ (LC)) Pentru ...

• 20.09.2014

  Receptorul este conceput pentru a recepționa semnale în domeniul LW (150 kHz... 300 kHz). caracteristica principală receptor într-o antenă care are o inductanță mai mare decât o antenă magnetică convențională. Acest lucru vă permite să utilizați capacitatea condensatorului trimmer în intervalul 4 ... 20pF, precum și un astfel de receptor are o sensibilitate acceptabilă și un câștig scăzut al căii RF. Receptorul funcționează pentru căști (căști), este alimentat de...

• 24.09.2014

  Acest dispozitiv este conceput pentru a controla nivelul lichidului din rezervoare, de îndată ce lichidul se ridică la nivelul setat, dispozitivul va începe să dea un semnal sonor continuu, când nivelul lichidului ajunge la un nivel critic, dispozitivul va începe să dea un semnal intermitent. semnal. Indicatorul este format din 2 generatoare, acestea sunt controlate de un element senzor E. Este plasat în rezervor la un nivel de până la ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 este un temporizator digital multi-program conceput pentru a funcționa cu indicatorul ILTs3-5 \ 7. Oferă numărătoare inversă și afișare pe indicatorul orei curente în ore și minute, a zilei săptămânii și a numărului canalului de control (9 alarme). Diagrama ceasului cu alarmă este prezentată în figură. Microcircuitul este tactat. rezonator Q1 la 32768Hz. Mâncarea este negativă, un plus comun merge la...