Poziția unui punct în spațiu poate fi specificată prin două dintre proiecțiile sale ortogonale, de exemplu, orizontală și frontală, frontală și de profil. Combinația oricăror două proiecții ortogonale vă permite să aflați valoarea tuturor coordonatelor unui punct, să construiți o a treia proiecție și să determinați octantul în care se află. Luați în considerare câteva probleme tipice de la cursul de geometrie descriptivă.
Conform unui desen complex dat al punctelor A și B, este necesar:
Să determinăm mai întâi coordonatele punctului A, care pot fi scrise sub forma A (x, y, z). Proiecția orizontală a punctului A - punctul A ", având coordonatele x, y. Desenați din punctul A" perpendiculare pe axele x, y și găsiți A х, A у, respectiv. Coordonata x pentru m. A este egală cu lungimea segmentului A x O cu semn plus, deoarece A x se află în regiune valori pozitive axa x. Ținând cont de scara desenului, găsim x = 10. Coordonata y este egală cu lungimea segmentului A y O cu semn minus, întrucât m. A y se află în regiune valori negative axa y. Ținând cont de scara desenului y = –30. Proiecția frontală a punctului A - punctul A "" are coordonatele x și z. Să lăsăm perpendiculara de la A „” la axa z și să găsim A z. Coordonata z a punctului A este egală cu lungimea segmentului A z O cu semnul minus, deoarece A z se află în regiunea valorilor negative ale axei z. Ținând cont de scara desenului z = –10. Astfel, coordonatele punctului A sunt (10, –30, –10).
Coordonatele punctului B pot fi scrise ca B (x, y, z). Luați în considerare proiecția orizontală a punctului B - m. B ". Deoarece se află pe axa x, atunci B x = B" și coordonata B y = 0. Abscisa x a punctului B este egală cu lungimea segmentului B x O cu semnul plus. Ținând cont de scara desenului x = 30. Proiecția frontală a punctului B - punctul B˝ are coordonatele x, z. Să desenăm o perpendiculară de la B "" pe axa z, deci găsim B z. Aplicația z a punctului B este egală cu lungimea segmentului B z O cu semnul minus, deoarece B z se află în regiunea valorilor negative ale axei z. Ținând cont de scara desenului, determinăm valoarea z = –20. Deci coordonatele B sunt (30, 0, -20). Toate construcțiile necesare sunt prezentate în figura de mai jos.
Construirea proiecțiilor punctelor
Punctele A și B din planul П 3 au următoarele coordonate: A "" "(y, z); B" "" (y, z). În acest caz, A "" și A "" "se află pe aceeași perpendiculară pe axa z, deoarece au o coordonată z comună. În mod similar, B" "și B" "" se află pe perpendiculara comună pe z -axă. Pentru a găsi proiecția de profil a punctului A, punem valoarea coordonatei corespunzătoare găsite mai devreme de-a lungul axei y. În figură, acest lucru se realizează folosind un arc de cerc cu raza A y O. După aceea, trageți o perpendiculară din A y până când se intersectează cu perpendiculara restabilită din punctul A "" pe axa z. Punctul de intersecție al acestor două perpendiculare definește poziția lui A "" ".
Punctul B "" "se află pe axa z, deoarece ordonata y a acestui punct este zero. Pentru a găsi proiecția de profil a punctului B în această problemă, trebuie doar să desenați o perpendiculară de la B" "la z- Punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu axa z este B "" ".
Determinarea poziției punctelor în spațiu
Vizualizarea unui aspect spațial alcătuit din planuri de proiecție P 1, P 2 și P 3, aranjarea octanților, precum și ordinea transformării aspectului în diagrame, se poate determina direct că punctul A este situat în al treilea octant, iar punctul B se află în planul P 2.
O altă opțiune pentru rezolvarea acestei probleme este metoda excluderilor. De exemplu, coordonatele punctului A sunt (10, -30, -10). Abscisa pozitivă x ne permite să judecăm că punctul este situat în primii patru octanți. O ordonată y negativă indică faptul că punctul se află în al doilea sau al treilea octanți. În cele din urmă, o aplicație negativă z indică faptul că m. A este situat în al treilea octant. Raționamentul de mai sus este ilustrat în mod clar de următorul tabel.
| Octanți | Semne de coordonate | ||
| X | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Coordonatele punctului B (30, 0, -20). Deoarece ordonata lui m. B este egală cu zero, acest punct este situat în planul proiecțiilor P 2. O abscisă pozitivă și un punct de aplicare negativ B indică faptul că este situat la granița octanților trei și patru.
Construirea unei imagini vizuale a punctelor din sistemul de planuri P 1, P 2, P 3
Folosind o proiecție izometrică frontală, am construit un aspect spațial al octantului III. Este un triedru dreptunghiular, ale cărui fețe sunt planele P 1, P 2, P 3, iar unghiul (-y0x) este de 45 º. În acest sistem, segmentele de-a lungul axelor x, y, z vor fi reprezentate în dimensiune completă fără distorsiuni.
Vom începe să construim o imagine vizuală a punctului A (10, -30, -10) cu proiecția sa orizontală A ". Punând coordonatele corespunzătoare de-a lungul axelor de abscisă și ordonate, găsim punctele A x și A y. Intersecția perpendicularelor. reconstruit din A x și A y respectiv la axele x și y determină poziția punctului A”. Lăsând deoparte A „segmentul AA” paralel cu axa z către valorile sale negative, a căror lungime este 10, găsim poziția punctului A.
O imagine vizuală a punctului B (30, 0, -20) este construită într-un mod similar - în planul P2 de-a lungul axelor x și z, trebuie să amânați coordonatele corespunzătoare. Intersecția perpendicularelor reconstruite din B x și B z va determina poziția punctului B.
Durată: 1 lecție (45 minute).
Clasă: clasa a 6-a
Tehnologii:
- Prezentare multimedia Microsoft Office PowerPoint, Caiet;
- utilizarea unei table interactive;
- fișe pentru elevi create cu Microsoft Office Word și Microsoft Office Excel.
adnotare:
La subiectul „Coordonate” în planificare tematică Sunt alocate 6 ore. Aceasta este a patra lecție despre coordonate. La momentul lecției, elevii s-au familiarizat deja cu conceptul de „plan coordonat” și cu regulile de construire a unui punct. Cunoștințele sunt actualizate în formular sondaj frontal... În lecțiile de revizuire, toți elevii sunt incluși în tipuri diferite Activități. În acest caz, sunt utilizate toate canalele de percepție și reproducere a materialului.
Asimilarea teoriei este testată și în cursul lucrării orale (sarcina este de a rezolva cuvintele încrucișate, în care sfert este punctul). Sunt oferite sarcini suplimentare pentru studenții puternici.
Lecția folosește echipamente multimedia și o tablă interactivă pentru a demonstra prezentări și sarcini în Microsoft Office PowerPoint și Notebook. Pentru a crea itemii de testareși material pentru fișe au fost folosite: Microsoft Office Excel, Microsoft Office Word.
Utilizarea tablei interactive vă extinde opțiunile de prezentare. În software-ul Notebook, elevii pot muta în mod independent obiectele în locația dorită. V program Microsoft Office PowerPoint are capacitatea de a seta mișcarea obiectelor, astfel încât există un minut fizic pentru ochi.
Lecția folosește:
- examinare teme pentru acasă;
- lucru frontal;
- munca individuală a elevilor;
- prezentarea raportului studentului;
- efectuarea de exerciții orale și scrise;
- munca elevilor cu o tablă interactivă;
- muncă independentă.
Rezumatul lecției.
Ţintă: să consolideze abilitățile de a găsi coordonatele punctelor marcate și să construiască puncte după coordonatele date.
Obiectivele lecției:
educational:
- generalizarea cunoștințelor și aptitudinilor elevilor pe tema „Planul de coordonate”;
- controlul intermediar al cunoștințelor și aptitudinilor elevilor;
în curs de dezvoltare:
- dezvoltarea competenței comunicative a elevilor;
- dezvoltarea abilităților de calcul ale elevilor;
- dezvoltare gandire logica;
- dezvoltarea interesului elevilor pentru subiect prin formă neconvențională desfășurarea unei lecții;
- dezvoltare din punct de vedere matematic vorbire competentă, perspectiva elevilor;
- dezvoltarea aptitudinilor muncă independentă cu un tutorial si literatură suplimentară;
- dezvoltarea sentimentelor estetice ale elevilor;
educational:
- încurajarea disciplinei în organizarea muncii la clasă;
- educația activității cognitive, simțul responsabilității, o cultură a comunicării;
- educarea preciziei la executarea construcţiilor.
În timpul orelor.
- Organizarea timpului.
Salutați elevii comunicând subiectul și scopul lecției. Verificarea gradului de pregătire a clasei pentru lecție. Sarcina este stabilită: repeta, generalizarea, sistematizarea cunoștințelor pe tema anunțată.
2. Actualizarea cunoștințelor.
Numărarea verbală.
1) Munca individuala: mai multe persoane fac treaba pe cărți.
2) Lucrul cu clasa: calculează exemple și formează un cuvânt. Tabelul se află pe ecranul tablei interactive, iar literele sunt scrise în tabel folosind un marcator de pe tabla interactivă.
Elevii merg pe rând la tablă și notează literele. Se pare că cuvântul „Prometeu”. Unul dintre elevi, care a pregătit în prealabil un raport, explică ce înseamnă acest cuvânt. (Astronomul grec antic Claudius Ptolemeu, care a folosit latitudinea și longitudinea ca coordonate deja în secolul al II-lea.)
Lucru frontal.
Sarcina „Rezolvați cuvintele încrucișate” vă va ajuta să vă amintiți conceptele de bază ale subiectului „Planul de coordonate”.
Profesorul arată un puzzle de cuvinte încrucișate pe ecranul cu tablă interactivă și le cere elevilor să o rezolve. Elevii folosesc markere electronice pentru a scrie cuvintele într-un puzzle de cuvinte încrucișate.
1. Două linii de coordonate formează o coordonată….
2. Liniile drepte de coordonate sunt coordonate….
3. Care este unghiul format la intersecția dreptelor de coordonate?
4. Care este numele unei perechi de numere care determină poziția unui punct pe plan?
5. Care este numele primului număr?
6. Care este numele celui de-al doilea număr?
7. Care este numele segmentului de la 0 la 1?
8. Câte părți este împărțit planul de coordonate la linii de coordonate?
3. Consolidarea deprinderilor și abilităților de a construi o figură geometrică în funcție de coordonatele specificate ale vârfurilor acesteia.
Construcția formelor geometrice. Lucrul cu un manual în caiete.
- №1054а „Construiți un triunghi dacă cunoașteți coordonatele vârfurilor sale: A (0; -3), B (6: 2), C (5: 2). Specificați coordonatele punctelor în care laturile triunghiului intersectează axa x. "
- Construiți un patrulater ABCD dacă A (-3; 1), B (1; 1), C (1; -2), D (-3; -2). Determinați tipul patrulaterului. Aflați coordonatele intersecției diagonalelor.
4. Kinetoterapie pentru ochi.
Pe diapozitiv, elevii ar trebui să urmărească mișcarea obiectului cu ochii. La sfârșitul minutei fizice, se pune o întrebare despre forme geometrice rezultată din mișcarea ochilor.
5. Control asupra abilităților de a construi puncte pe planul de coordonate în conformitate cu coordonatele specificate.
Muncă independentă. Concurs de artiști.
Coordonatele punctelor sunt înregistrate pe diapozitiv. De asemenea, cardurile sunt tipărite pentru fiecare elev. Dacă marcați corect punctele pe planul de coordonate și le conectați secvențial, obțineți o imagine. Fiecare elev realizează sarcina în mod independent. După finalizarea lucrării, se deschide desenul corect pe ecran. Fiecare elev primește o evaluare pentru munca independentă.
6. Tema pentru acasă.
- Nr. 1054b, Nr. 1057a.
- Sarcina creativă: Desenați un model punct cu punct pe planul de coordonate și înregistrați coordonatele acestor puncte.
7. Rezumând lecția.
Întrebări adresate studenților:
- Ce este un plan de coordonate?
- Cum se numesc axele de coordonate OX și OY?
- Care este unghiul format atunci când liniile de coordonate se intersectează?
- Cum se numește o pereche de numere care determină poziția unui punct pe un plan?
- Cum se numeste primul numar?
- Cum se numeste al doilea numar?
Literatură și resurse:
- G.V. Dorofeev, SB Suvorova, IF Sharygin „Matematică. 6kl"
- Matematica. Clasa a 6-a: Planuri de lecție (conform manualului de G.V. Dorofeev etc.)
- http://www.pereplet.ru/nauka/almagest/alm-cat/Ptolemy.htm
Când construiți un punct de-a lungul coordonatelor specificate, trebuie amintit că, în conformitate cu regulile de desen, scara de-a lungul axei Oh scade in 2 ori în comparație cu scara de-a lungul axelor OU și Oz.
1. Construiește un punct: A (2; 1; 3) x A = 2; pentru A = 1; z A = 3
A) de obicei, în primul rând, ei construiesc o proiecție a unui punct pe un plan Ooh. Marcați puncte x A = 2 și pentru A = 1 si traseaza prin ele linii drepte paralele cu axele Oh și OU. Punctul de intersecție a acestora are coordonate (2;1; 0) Punct construit A 1 (2; 1; 0.)
A (2; 1; 3)
0
pentru A = 1
x A = 2 la
A 1 (2; 1; 0) 0 pentru A = 1la
NS x A = 2 A 1 (2; 1; 0)
NS
b) mai departe de punct A 1 (2; 1; 0) restabiliți perpendiculara pe plan Ooh (desenați o linie dreaptă paralelă cu axa Оz ) și așezați pe el un segment egal cu trei: z A = 3.
2. Construiește un punct: B (3; - 2; 1) x B = 3; pentru B = -2; Z B = 1
z
pentru B = - 2
B (3; -2; 1) O la
B 1 (3; -2) x B = 3
NS
3. Construiți un punct C (-2; 1; 3 ) z C (-2; 1; 3)
X A = -2; Y A = 1; Z A = 3
x C = - 2 C 1 (-2; 1; 0)
y A = 1 y
4. Dat un cub. A ... D 1, a cărui margine este egală cu 1 ... Originea este aceeași cu punctul V, coaste VA, VS și BB 1 coincid cu razele pozitive ale axelor de coordonate. Numiți coordonatele tuturor celorlalte vârfuri ale cubului. Calculați diagonala cubului.
z
AB = BC = BB 1 BD 1 = =
В 1 (0; 0; 1) С 1 (0; 1; 1) = =
A 1 (1; 0; 1) D 1 (1; 1; 1)
B (0; 0; 0) C (0; 1; 0) y
A (1; 0; 0) D (1; 1; 0)
5. Construiți puncte A (1; 1; -1) și B (1; -1; 1). Segmentul de dreaptă intersectează axa de coordonate? plan de coordonate? Segmentul de linie trece prin origine? Găsiți coordonatele punctelor de intersecție, dacă există. z Punctele se află într-un plan perpendicular pe axă Oh.
Linia intersectează axa Oh
si avionul hoy
la punct
B (1; -1; 1) 
0(0;0;0)
C (1; 0; 0)
A (1; 1; -1)
6.Găsiți distanța dintre două puncte: A (1; 2; 3) și B (-1; 1; 1).
A)AB = = = = 3
b)C (3; 4; 0) și D (3; -1; 2).
СD = = =
În spațiu, pentru a determina coordonatele punctului de mijloc al segmentului, se introduce a treia coordonată.
B (x B; y B; z B)
CU( ; ; )
A (x A; y A; z A)
7.Găsiți coordonatele CU punctele medii ale segmentelor: A)AB, dacă A (3; - 2; - 7), B (11; - 8; 5),
x M = = 7; pentru M = = - 5; z M = = - 1; C (7; - 5; - 1)
8. Coordonatele punctului A (x; y; z). Scrieți coordonatele punctelor simetrice față de cel dat în raport cu:
b) linii de coordonate
v) origine
A) Dacă punct A 1
simetric faţă de cel dat în raport cu planul de coordonate azi,
apoi diferența în
coordonatele punctului vor fi doar în semnul de coordonate z: A1 (x; y; -z).
punct A 2 Ohz, atunci A2 (x; -y; z).
punct A 3 simetric fata de data raportat la plan Oyz, atunci A2 (-x; y; z).
b) Dacă punct A 4
simetric fata de dreapta de coordonate Oh,
apoi diferența în
coordonatele punctului vor fi doar în semne de coordonate la
și z: A4 (x; -y; -z).
punct A 5 OU, atunci A5 (-x; y; -z).
punct A 6 simetric faţă de o anumită linie dreaptă Оz, atunci A6 (-x; -y; z).
v) Dacă punct A 7 este simetric cu cel dat în raport cu originea, atunci A6 (-x; -y; -z).
CONVERSIUNEA COORDONATELOR
Se numește trecerea de la un sistem de coordonate la altul transformarea sistemului de coordonate.
Vom lua în considerare două cazuri de conversie sistem de coordonate și deduceți formule pentru relația dintre coordonatele unui punct arbitrar al planului în sisteme diferite coordonate. (Metoda de transformare a sistemului de coordonate este similară cu transformarea graficelor).
1.Transfer paralel... În acest caz, poziția originii coordonatelor se modifică, dar direcția axelor și scara rămân neschimbate.
Dacă originea merge la un punct 0 1 cu coordonate 0 1 (x 0; y 0), apoi pentru punct M (x; y) relația dintre coordonatele sistemului x0y și x 0 0y 0 exprimat prin formulele:
x = x 0 + x "
y = y 0 + y "
Formulele obținute fac posibilă găsirea coordonatelor vechi prin noile cunoscute NS" și la " si invers.
y M (x; y) M (x "; y")
0 1 (x 0; y 0), x "
x 0 x "
2.Axele de coordonate rotative... În acest caz, ambele axe sunt rotite cu același unghi, iar originea și scara rămân neschimbate.
M (x; y)
y 1 x 1
Coordonatele punctului M în vechiul sistem M (x; y) și M (x "; y") - în cel nou. Atunci raza polară în ambele sisteme este aceeași, iar unghiurile polare sunt, respectiv, egale + și , Unde - unghi polar la sistem nou coordonate.
Conform formulelor pentru trecerea de la coordonatele polare la cele dreptunghiulare, avem:
x = rcos ( + ) x = rcos Cos - rsin Păcat
y = rsin ( + ) y = rcos Păcat + rsin Cos
Dar rcos = x " și rsin = y ", prin urmare
x = x "· cos - y „· păcat
y = x „· sin + y "· cos
Răspundeți în scris la întrebări:
- Ce se numește un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan? in spatiu?
- Care axă se numește axa aplicată? Ordonată? Abscisă?
- Care este notația pentru vectorii unitari pe axele de coordonate?
- Ce se numește ortom?
- Cum se calculează lungimea segmentului specificat de coordonatele capetelor sale într-un sistem de coordonate dreptunghiular?
- Cum se calculează coordonatele punctului de mijloc al segmentului specificat de coordonatele capetelor acestuia?
- Ce se numește sistem de coordonate polare?
- Care este relația dintre coordonatele unui punct în sistemele de coordonate dreptunghiulare și polare?
Finalizați sarcini:
1. La ce distanță de planurile de coordonate se află punctul A (1; -2; 3)
2. La ce distanță se află punctul A (1; -2; 3) din linii de coordonate A)OU; b) OU; v)Oz;
3. Ce condiție sunt îndeplinite de coordonatele punctelor din spațiu, la fel de îndepărtate:
A) din două planuri de coordonate Ooh și Oyz; AB
b) din toate cele trei planuri de coordonate
4. Găsiți coordonatele punctului M punct de mijloc AB, A (-2; -4; 1); B (0; -1; 2) și numiți punctul simetric față de punct M, relativ A) topoare Oh
b) topoare OU
v) topoare Oz.
5. Dat un punct B (4; - 3; - 4). Găsiți coordonatele bazelor perpendicularelor căzute dintr-un punct de pe axele de coordonate și planurile de coordonate.
6.Pe axa OU găsiți un punct echidistant de două puncte A (1; 2; - 1) și B (-2; 3; 1).
7. În avion Ohz găsiți un punct echidistant de trei puncte A (2; 1; 0); B (-1; 2; 3) și C (0; 3; 1).
8. Aflați lungimile laturilor triunghiului ABC si zona sa , dacă coordonatele vârfurilor : A (-2; 0; 1), B (8; - 4; 9), C (-1; 2; 3).
9. Aflați coordonatele punctelor proiectate A (2; -3; 5); B (3; -5;); CU(- ; - ; - ).
10. Puncte date A (1; -1; 0) și B (-3; -1; 2). Calculați distanța de la origine la punctele date.
VECTORI ÎN SPAȚIU. NOȚIUNI DE BAZĂ
Toate cantitățile care sunt tratate în fizică, tehnologie, viata de zi cu zi sunt împărțite în două grupe. Primele sunt pe deplin caracterizate prin valoarea lor numerică: temperatură, lungime, masă, suprafață, lucru. Se numesc astfel de cantități scalar.
Alte mărimi precum forța, viteza, deplasarea, accelerația etc. determinate nu numai de valoarea lor numerică, ci și de direcția lor. Se numesc astfel de cantități vector, sau vectori. O mărime vectorială este reprezentată geometric ca un vector.
Vector-este un segment de linie dreaptă direcționată, adică segment având
o anumită lungime și direcție.
Construiți desene complexe de puncte: A(15,30,0), V(30,25,15), CU(30,10,15), D(15,30,20)
Vom împărți soluția problemei în patru etape.
1. A(15,30,0); x A= 15 mm ; y A= 30 mm ; zA= 0.
Ce crezi, dacă e rostul A coordona z A= 0, atunci ce poziție ocupă în spațiu?
Arată ca un desen complex al unui punct A reprezentate la coordonatele date
Dacă un punct are o coordonată egală cu zero, atunci punctul aparține unuia dintre planurile de proiecție. V în acest caz punctul nu are inaltime: z= 0, de aici punctul A zace în avion N 1.
Într-un desen complex, originalul (adică punctul însuși A) nu este înfățișată, există doar proiecțiile sale.
2. V(30,25,15) și CU(30,10,15).
În a doua etapă, să combinăm construcția a două puncte.
x B= 30mm; x C= 30 mm
y B= 35mm; Y c= 10 mm
z B= 15mm; z C= 15 mm
La puncte Vși CU: x B = x C= 30 mm, z B = z C= 15 mm
A) Coordonatele NS punctele sunt aceleași, prin urmare, în sistemul P 1 - P 2, proiecțiile punctelor se află pe aceeași linie de comunicație (Fig. 1.2),
b) Coordonatele z punctele coincid, (ambele puncte sunt la fel de îndepărtate de N 1 cu 15 mm,) adică sunt situate la aceeași înălțime, deci la P 2 proiecțiile punctelor coincid: ÎN 2=(C 2).
v) Pentru a determina vizibilitatea relativ la P 2 uite la fig. 1.3. Observatorul vede rostul V care acoperă punctul CU, adică punct V situat mai aproape de observator, deci pe P 2 este vizibil. (Vezi M1 - 13 și 16).
În sistem P 2 P 3 proiecţiile punctelor se află şi ele pe aceeaşi linie de comunicaţie iar vizibilitatea este determinată de săgeată (Fig. 1.2).
Puncte Vși CU- se numesc concurente frontale.
3. D(15,30,20); x D= 15mm; y D= 30mm; z D= 20 mm.
A)În acest desen complex (Fig. 1.4), sunt construite trei proiecții ale punctului D (D 1,D 2,D 3).
Toate cele trei coordonate au valori numerice, diferit de zero, deci punctul nu aparține niciunui plan de proiecție.
b) Imagine spațială compatibilă Ași D(fig. 1.5). În sistem P 1 - P 2 proiecții punctuale Ași D stați pe aceeași linie de comunicare, doar un punct D deasupra punctului A, prin urmare D- vizibil, și A- invizibil (vizibil pe N 1 punctul care este situat mai sus)
În a patra etapă finală, conectăm toate cele trei fragmente de desene complexe de puncte A, B, C,Dîntr-un general.
Puncte Ași D- numite concurente pe orizontală.
Construiți urme ale planului dat de ∆BCD și determinați distanța de la punctul A la avion dat metoda triunghiului dreptunghic(coordonatele punctelor A, B, C și D vezi Tabelul 1 din secțiunea Sarcini);
1.2. Un exemplu de sarcină numărul 1
Prima sarcină prezintă un set de sarcini pe subiecte:
1. Proiecție ortografică, diagramă Monge, punct, linie, plan: prin coordonatele cunoscute ale trei puncte B, C, D construiți proiecții orizontale și frontale ale planului dat de ∆ BCD;
2. Urme ale unei drepte, urme ale unui plan, proprietăți de apartenență la un plan drept: construiți urme ale planului dat de ∆ BCD;
3. Planuri generale și specifice, intersecția unei drepte și a unui plan, perpendicularitatea unei drepte și a unui plan, intersecția planelor, metoda triunghiului dreptunghic: determinați distanța de la punct A la planul ∆ BCD.
1.2.1. După coordonatele cunoscute ale trei puncte B, C, D construim proiecțiile orizontale și frontale ale planului date de ∆ BCD(Figura 1.1), pentru care este necesar să se construiască proiecții orizontale și frontale ale vârfurilor ∆ BCD, și apoi conectați proiecțiile vârfurilor cu același nume.
Se știe că urma avionului se numește dreptă obținută ca urmare a intersecției unui plan dat cu planul de proiecție .
Aproape de avion pozitia generala 3 piese: orizontală, frontală și de profil.
Pentru a construi urme ale unui plan, este suficient să construiți urme (orizontale și frontale) ale oricăror două linii drepte situate în acest plan și să le conectați între ele. Astfel, urma planului (orizontal sau frontal) va fi determinată în mod unic, întrucât prin două puncte de pe plan (în acest caz, aceste puncte vor fi urme de linii drepte), se poate trasa o linie dreaptă și, în plus, doar unu.
Baza pentru această construcție este proprietatea de a apartine unui plan drept: dacă o dreaptă aparține unui plan dat, atunci urmele ei se află pe urmele cu același nume de pe acest plan .
Urma unei drepte este punctul de intersecție al acestei drepte cu planul proiecțiilor .
Urma orizontală a unei linii drepte se află în planul orizontal al proiecțiilor, cea frontală - în planul frontal al proiecțiilor.
Luați în considerare construirea cale orizontală Drept DB, pentru care este necesar:
1. Continuați proiecția frontală în linie dreaptă DBînainte de a traversa axa X, punct de intersecție M 2 este o proiecție frontală a unei piste orizontale;
2. Din punct M 2 restabiliți perpendiculara (linia conexiunii de proiecție) înainte de intersecția acesteia cu proiecția orizontală a dreptei DB M 1și va fi proiecția orizontală a urmei orizontale (Figura 1.1), care coincide cu urma în sine M.
În mod similar, se realizează construcția urmei orizontale a segmentului. SV drept: punct M'.
A construi amprenta frontală segment CB direct, este necesar:
1. Continuați proiecția orizontală în linie dreaptă CBînainte de a traversa axa X, punct de intersecție N 1 este o proiecție orizontală a căii frontale;
2. Din punct N 1 restabiliți perpendiculara (linia de conexiune de proiecție) înainte de intersecția acesteia cu proiecția frontală a dreptei CB sau continuarea lui. Punct de intersecție N 2și va fi proiecția frontală a urmei frontale, care coincide cu urma însăși N.
Prin conectarea punctelor M′ 1și M 1 printr-un segment de dreaptă, obținem urma orizontală a planului απ 1. Punctul α x de intersecție a lui απ 1 cu axa X numit punct de disparitie ... Pentru a construi urma frontală a planului απ 2, este necesară conectarea traseului frontal N 2 cu punctul de fuga al pistelor α x
Figura 1.1 - Construcția urmelor plane
Algoritmul pentru rezolvarea acestei probleme poate fi prezentat după cum urmează:
- (D 2 B 2 ∩ BOU) = M 2 ;
- (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M 1 = M;
- (C 2 B 2 ∩ BOU) = M ′ 2 ;
- (M ′ 2 M ′ 1 ∩ C 1 B 1) = M ′ 1 = M ′;
- (CB∩ π 2) = N 2 = N;
- (MM′) ≡ απ 1;
- (α x N) ≡ απ 2.
1.2.2. Pentru a rezolva a doua parte a primei sarcini, trebuie să știți că:
- distanta fata de punct A la planul ∆ BCD este determinată de lungimea perpendicularei restabilite din acest punct la plan;
- orice linie dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate în acest plan;
- pe diagrama proiecției unei linii drepte, plan perpendicular, sunt perpendiculare pe proiecțiile oblice ale orizontalei și față ale acestui plan sau pe urmele cu același nume ale planului (Fig. 1.2) (vezi în prelegeri Teorema pe perpendiculară pe plan).
Pentru a găsi baza perpendicularei, este necesar să rezolvați problema intersecției unei drepte (în această problemă, o astfel de dreaptă este perpendiculară pe plan) cu planul:
1. Pentru a include perpendiculara în planul auxiliar, care ar trebui luată ca planul unei anumite poziții (proiectând orizontal sau proiectând frontal, în exemplu, proiectarea orizontală γ este luată ca plan auxiliar, adică perpendicular pe π 1 , urma sa orizontală γ 1 coincide cu o proiecție orizontală a perpendicularei);
2. Aflați dreapta de intersecție a unui plan dat ∆ BCD cu auxiliar γ ( MNîn fig. 1.2);
3. Aflați punctul de intersecție al dreptei de intersecție a planelor MN perpendiculară (punct LAîn fig. 1.2).
4. Pentru a determina valoarea adevărată a distanței de la punct A la un plan dat ∆ BCD ar trebui să folosească metoda triunghiului dreptunghic: adevărata valoare a segmentului este ipotenuza unui triunghi dreptunghic, al cărui catete este una dintre proiecțiile segmentului, iar celălalt este diferența de distanțe de la capetele sale până la planul de proiecție în care se află construcția în curs de desfășurare.
5. Determinați vizibilitatea secțiunilor perpendiculare prin metoda punctelor concurente. De exemplu - puncte Nși 3 pentru a determina vizibilitatea la punctul π 1 4 , 5 - pentru a determina vizibilitatea la π 2.
Figura 1.2 - Construirea unei perpendiculare pe plan
Figura 1.3 - Un exemplu de proiectare sarcina de control №1
Exemplu video al sarcinii # 1
1.3. Opțiuni de activitate 1
| Opțiune | Coordonatele (x, y, z) ale punctelor | |||
|---|---|---|---|---|
| A | V | CU | D | |
| 1 | 15; 55; 50 | 10; 35; 5 | 20; 10; 30 | 70; 50; 40 |
| 2 | 80; 65; 50 | 50; 10; 55 | 10; 50; 25 | 75; 25; 0 |
| 3 | 95; 45; 60 | 130; 40; 50 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 4 | 115; 10; 0 | 130; 40; 40 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 5 | 55; 5; 60 | 85; 45; 60 | 100; 5; 30 | 50; 25; 10 |
| 6 | 55; 5; 60 | 70; 40; 20 | 30; 30; 35 | 30; 10; 10 |
| 7 | 60; 10; 45 | 80; 45; 5 | 35; 0; 15 | 10; 0; 45 |
| 8 | 5; 0; 0 | 35; 0; 25 | 20; 0; 55 | 40; 40; 0 |
| 9 | 50; 5; 45 | 65; 30; 10 | 30; 25; 55 | 20; 0; 20 |
| 10 | 60; 50; 35 | 40; 30; 0 | 30; 15; 30 | 80; 5; 20 |
| 11 | 65; 35; 15 | 50; 0; 30 | 20; 25; 25 | 5; 0; 10 |
| 12 | 75; 65; 50 | 45; 10; 35 | 60; 20; 10 | 10; 65; 0 |
| 13 | 95; 0; 15 | 85; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 14 | 45; 40; 40 | 80; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 15 | 80; 20; 30 | 55; 30; 60 | 15; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 16 | 75; 35; 35 | 55; 30; 60 | 25; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 17 | 75; 65; 50 | 45; 5; 55 | 5; 45; 10 | 70; 20; 0 |
| 18 | 65; 15; 20 | 40; 5; 60 | 0; 5; 25 | 60; 60; 20 |
| 19 | 70; 20; 10 | 45; 15; 60 | 5; 10; 20 | 60; 65; 10 |
| 20 | 20; 50; 45 | 10; 20; 10 | 55; 50; 10 | 80; 0; 60 |
| 21 | 0; 5; 50 | 50; 50; 40 | 5; 55; 10 | 45; 5; 0 |
| 22 | 55; 50; 65 | 45; 55; 5 | 0; 10; 45 | 70; 0; 40 |
| 23 | 65; 5; 15 | 40; 60; 10 | 0; 20; 5 | 60; 20; 60 |
| 24 | 50; 20; 45 | 45; 60; 30 | 5; 20; 10 | 60; 30; 5 |
| 25 | 55; 15; 40 | 40; 50; 25 | 5; 15; 10 | 50; 40; 10 |
| 26 | 15; 45; 40 | 10; 25; 5 | 20; 10; 30 | 65; 40; 35 |
| 27 | 70; 30; 30 | 55; 30; 60 | 20; 5; 15 | 65; 60; 25 |
| 28 | 90; 0; 15 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 50; 10; 45 |
| 29 | 110; 10; 0 | 120; 35; 30 | 35; 5; 20 | 70; 20; 5 |
| 30 | 45; 40; 40 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 40 |
