Pe canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.
Mai întâi, să ne amintim formulele de bază ale gradelor și proprietățile lor.
Produsul unui număr A se întâmplă de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Putere sau ecuații exponențiale- acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.
Exemple de ecuații exponențiale:
LA acest exemplu numărul 6 este baza, este întotdeauna în partea de jos, iar variabila X grad sau măsură.
Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?
Să luăm o ecuație simplă:
2 x = 2 3
Un astfel de exemplu poate fi rezolvat chiar și în minte. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum ar trebui luată această decizie:
2 x = 2 3
x = 3
Pentru a rezolva această ecuație, am eliminat aceleași temeiuri(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.
Acum să rezumam soluția noastră.
Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat aceeași fie că bazele ecuației din dreapta și din stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele sunt aceleași, echivala grad și rezolvați noua ecuație rezultată.
Acum să rezolvăm câteva exemple:
Să începem simplu.
Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem arunca baza și echivalăm gradele lor.
x+2=4 Cea mai simplă ecuație a rezultat.
x=4 - 2
x=2
Răspuns: x=2
În exemplul următor, puteți vedea că bazele sunt diferite, acestea sunt 3 și 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Pentru început, le transferăm pe cele nouă în partea dreaptă, obținem:
Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2 . Să folosim formula puterii (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Obținem 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 acum puteți vedea că în stânga și partea dreapta bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.
3x=2x+16 are cea mai simplă ecuație
3x-2x=16
x=16
Răspuns: x=16.
Să ne uităm la următorul exemplu:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
În primul rând, ne uităm la baze, bazele sunt diferite două și patru. Și trebuie să fim la fel. Transformăm cvadruplul după formula (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Adăugați la ecuație:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 interferează cu noi. Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă repetăm 2 2x, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Să calculăm expresia dintre paranteze:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Împărțim întreaga ecuație la 6:
Imaginează-ți 4=2 2:
2 2x \u003d 2 2 baze sunt aceleași, aruncați-le și egalați gradele.
2x \u003d 2 s-a dovedit a fi cea mai simplă ecuație. Împărțim la 2, obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.
Să rezolvăm ecuația:
9 x - 12*3 x +27= 0
Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei. În acest exemplu, este clar că prima triplă are un grad de două ori (2x) decât a doua (doar x). În acest caz, puteți decide metoda de substitutie. Numărul cu gradul cel mai mic se înlocuiește cu:
Atunci 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Inlocuim toate gradele cu x din ecuatie cu t:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Primim ecuație pătratică. Rezolvăm prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Înapoi la Variabilă X.
Luăm t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Acesta este,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea, din t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Pe site puteti in sectiunea AJUTA LA DECIDE sa puneti intrebari de interes, cu siguranta iti vom raspunde.
Alăturați-vă unui grup
În cadrul acestui material, vom analiza ce este o putere a unui număr. Pe lângă definițiile de bază, vom formula ce sunt grade cu exponenți naturali, întregi, raționali și iraționali. Ca întotdeauna, toate conceptele vor fi ilustrate cu exemple de sarcini.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mai întâi formulăm definiție de bază grad cu un indicator natural. Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim regulile de bază ale înmulțirii. Să clarificăm în prealabil că deocamdată vom lua un număr real ca bază (să-l notăm cu litera a), iar ca indicator - un număr natural (notat cu litera n).
Definiția 1
Puterea lui a cu exponent natural n este produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu numărul a. Gradul este scris astfel: un n, iar sub forma unei formule, compoziția sa poate fi reprezentată astfel:
De exemplu, dacă exponentul este 1 și baza este a, atunci prima putere a lui a se scrie ca a 1. Având în vedere că a este valoarea factorului și 1 este numărul de factori, putem concluziona că a 1 = a.
În general, putem spune că gradul este o notație convenabilă un numar mare multiplicatori egali. Deci, o înregistrare a formularului 8 8 8 8 poate fi redus la 8 4 . În același mod, lucrarea ne ajută să evităm scrisul un numar mare termeni (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; am analizat deja acest lucru în articolul consacrat înmulțirii numerelor naturale.
Cum să citești corect fișa diplomei? Opțiunea general acceptată este „a la puterea lui n”. Sau poți spune „a-a putere a unui” sau „a-a-a putere”. Dacă, să spunem, în exemplu există o intrare 8 12 , putem citi „8 la puterea a 12-a”, „8 la puterea lui 12” sau „puterea a 12-a a 8”.
Al doilea și al treilea grad ale numărului au propriile nume bine stabilite: pătrat și cub. Dacă vedem a doua putere, de exemplu, a numărului 7 (7 2), atunci putem spune „7 pătrat” sau „pătrat al numărului 7”. În mod similar, al treilea grad se citește astfel: 5 3 este „cubul numărului 5” sau „5 cub”. Cu toate acestea, este, de asemenea, posibil să folosiți formularea standard „în gradul al doilea/al treilea”, aceasta nu va fi o greșeală.
Exemplul 1
Să ne uităm la un exemplu de grad cu un indicator natural: pentru 5 7 cinci va fi baza, iar șapte va fi indicatorul.
Baza nu trebuie să fie un număr întreg: pentru grad (4 , 32) 9 baza va fi o fracție 4, 32, iar exponentul va fi nouă. Atenție la paranteze: o astfel de notație se face pentru toate gradele, ale căror baze diferă de numerele naturale.
De exemplu: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .
Pentru ce sunt parantezele? Ele ajută la evitarea erorilor în calcule. Să presupunem că avem două intrări: (− 2) 3 și − 2 3 . Primul dintre ele înseamnă un număr negativ minus doi, ridicat la o putere cu un exponent natural de trei; al doilea este numărul corespunzător valorii opuse a gradului 2 3 .
Uneori, în cărți puteți găsi o ortografie ușor diferită a gradului unui număr - a^n(unde a este baza și n este exponentul). Deci 4^9 este la fel ca 4 9 . Dacă n este un număr format din mai multe cifre, acesta este cuprins între paranteze. De exemplu, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Dar vom folosi notația un n ca mai frecvente.
Cum se calculează valoarea unui grad cu un exponent natural este ușor de ghicit din definiția sa: trebuie doar să înmulți un n --lea număr de ori. Am scris mai multe despre asta într-un alt articol.
Conceptul de grad este opusul unui alt concept matematic - rădăcina unui număr. Dacă știm valoarea exponentului și a exponentului, putem calcula baza acestuia. Gradul are unele proprietăți specifice care sunt utile pentru rezolvarea problemelor pe care le-am analizat într-un material separat.
Exponenții pot conține nu numai numere naturale, ci și orice valori întregi în general, inclusiv cele negative și zerouri, deoarece aparțin și mulțimii numerelor întregi.
Definiția 2
Gradul unui număr cu un exponent întreg pozitiv poate fi afișat sub formă de formulă: 
.
În plus, n este orice număr întreg pozitiv.
Să ne ocupăm de conceptul de grad zero. Pentru a face acest lucru, folosim o abordare care ia în considerare proprietatea coeficientului pentru puteri cu baze egale. Este formulat astfel:
Definiția 3
Egalitatea a m: a n = a m − n va fi adevărată în următoarele condiții: m și n sunt numere naturale, m< n , a ≠ 0 .
Ultima conditie important deoarece evită împărțirea la zero. Dacă valorile lui m și n sunt egale, atunci vom obține următorul rezultat: a n: a n = a n − n = a 0
Dar în același timp a n: a n = 1 este un coeficient numere egale un n si a. Se pare că gradul zero al oricărui număr diferit de zero este egal cu unu.
Cu toate acestea, o astfel de dovadă nu este potrivită pentru zero până la puterea zero. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de o altă proprietate a puterilor - proprietatea produselor de puteri cu baze egale. Arata cam asa: a m a n = a m + n .
Dacă n este 0, atunci a m a 0 = a m(această egalitate ne demonstrează și că a 0 = 1). Dar dacă și este, de asemenea, egal cu zero, egalitatea noastră ia forma 0 m 0 0 = 0 m, Va fi adevărat pentru orice valoare naturală a lui n și nu contează care este exact valoarea gradului 0 0 , adică poate fi egal cu orice număr, iar acest lucru nu va afecta valabilitatea egalității. Prin urmare, o înregistrare a formularului 0 0 nu are o semnificație aparte și nu i-o vom atribui.
Dacă doriți, este ușor să verificați asta a 0 = 1 converge cu proprietatea gradului (a m) n = a m n cu condiția ca baza gradului să nu fie egală cu zero. Astfel, gradul oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egal cu unu.
Exemplul 2
Să ne uităm la un exemplu cu numere specifice: Deci, 5 0 - unitate, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , iar valoarea 0 0 nedefinit.
După gradul zero, rămâne să ne dăm seama ce este un grad negativ. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de aceeași proprietate a produsului puterilor cu baze egale, pe care am folosit-o deja mai sus: a m · a n = a m + n.
Introducem condiția: m = − n , atunci a nu trebuie să fie egal cu zero. Rezultă că a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Se dovedește că un n și un avem numere reciproc reciproce.
Ca rezultat, un în ansamblu grad negativ nu este altceva decât o fracție 1 a n .
Această formulare confirmă că pentru un grad cu un exponent întreg negativ sunt valabile toate aceleași proprietăți pe care le are un grad cu un exponent natural (cu condiția ca baza să nu fie egală cu zero).
Exemplul 3
Puterea a cu un întreg negativ n poate fi reprezentată ca o fracție 1 a n . Astfel, a - n = 1 a n în condiția a ≠ 0 iar n este oricare numar natural.
Să ilustrăm ideea noastră cu exemple specifice:
Exemplul 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
În ultima parte a paragrafului, vom încerca să descriem clar tot ceea ce a fost spus într-o singură formulă:
Definiția 4
Puterea lui a cu exponent natural z este: a z = a z , e c și z este un întreg pozitiv 1 , z = 0 și a ≠ 0 , (dacă z = 0 și a = 0 obținem 0 0 , valorile lui se determină expresia 0 0 nu sunt) 1 a z , dacă z este un întreg negativ și a ≠ 0 (dacă z este un întreg negativ și a = 0 obținem 0 z , este o n d e n t i o n )
Ce sunt grade cu un exponent rațional
Am analizat cazurile în care exponentul este un număr întreg. Cu toate acestea, puteți ridica un număr la o putere atunci când exponentul său este un număr fracționar. Aceasta se numește grad indicator rațional. În această subsecțiune vom demonstra că are aceleași proprietăți ca și celelalte puteri.
Ce sunt numerele raționale? Setul lor include atât numere întregi, cât și numere fracționale, în timp ce numerele fracționale pot fi reprezentate ca fracții obișnuite (atât pozitive, cât și negative). Formulăm definiția gradului unui număr a cu exponent fracționar m/n, unde n este un număr natural, iar m este un număr întreg.
Avem un anumit grad cu un exponent fracționar a m n . Pentru ca proprietatea puterii să fie valabilă într-un grad, egalitatea a m n n = a m n · n = a m trebuie să fie adevărată.
Având în vedere definiția unei n-a rădăcini și că a m n n = a m , putem accepta condiția a m n = a m n dacă a m n are sens pentru valorile date ale lui m , n și a .
Proprietățile de mai sus ale gradului cu exponent întreg vor fi adevărate în condiția a m n = a m n .
Concluzia principală a raționamentului nostru este următoarea: gradul unui număr a cu exponent fracționar m / n este rădăcina gradului al n-lea de la numărul a la puterea m. Acest lucru este adevărat dacă, pentru valorile date ale lui m, n și a, expresia a m n are sens.
1. Putem limita valoarea bazei gradului: luați a, care pentru valorile pozitive ale lui m va fi mai mare sau egală cu 0, iar pentru valorile negative va fi strict mai mică (deoarece pentru m ≤ 0 primim 0 m, dar acest grad nu este definit). În acest caz, definiția gradului cu un exponent fracționar va arăta astfel:
Exponentul fracționar m/n pentru un număr pozitiv a este rădăcina a n-a a a ridicat la puterea m. Sub forma unei formule, aceasta poate fi reprezentată după cum urmează:
Pentru un grad cu bază zero, această prevedere este, de asemenea, potrivită, dar numai dacă exponentul său este un număr pozitiv.
O putere cu baza zero și un exponent fracționar pozitiv m/n poate fi exprimată ca
0 m n = 0 m n = 0 în condiția întregului pozitiv m și natural n .
La atitudine negativă m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Să notăm un punct. Deoarece am introdus condiția ca a să fie mai mare sau egal cu zero, am eliminat unele cazuri.
Expresia a m n mai are uneori sens pentru unele valori negative ale lui a și unele valori negative ale lui m . Deci, intrările sunt corecte (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , în care baza este negativă.
2. A doua abordare este de a considera separat rădăcina a m n cu exponenți pari și impari. Apoi trebuie să mai introducem o condiție: gradul a, în exponentul căruia există o fracție ordinară reductibilă, este considerat gradul a, în exponentul căruia se află fracția ireductibilă corespunzătoare. Mai târziu vom explica de ce avem nevoie de această afecțiune și de ce este atât de importantă. Astfel, dacă avem o înregistrare a m · k n · k , atunci o putem reduce la a m n și simplifica calculele.
Dacă n este un număr impar și m este pozitiv și a este orice număr nenegativ, atunci a m n are sens. Condiția pentru un a nenegativ este necesară deoarece rădăcina chiar gradul din număr negativ nu sunt extrase. Dacă valoarea lui m este pozitivă, atunci a poate fi atât negativ, cât și zero, deoarece O rădăcină impară poate fi luată din orice număr real.
Să combinăm toate datele de deasupra definiției într-o singură intrare:
Aici m/n înseamnă o fracție ireductibilă, m este orice număr întreg și n este orice număr natural.
Definiția 5
Pentru orice fracție redusă obișnuită m · k n · k, gradul poate fi înlocuit cu a m n .
Gradul lui a cu exponent fracționar ireductibil m / n - poate fi exprimat ca a m n în următoarele cazuri: - pentru orice a real , întreg valori pozitive m și numere întregi pozitive impare n . Exemplu: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .
Pentru orice a real diferit de zero, numere întregi valori negative m și valori impare ale lui n , de exemplu, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7
Pentru orice a nenegativ, valori întregi pozitive ale lui m și chiar n, de exemplu, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .
Pentru orice a pozitiv, întreg negativ m și chiar n, de exemplu, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .
În cazul altor valori, gradul cu exponent fracționar nu este determinat. Exemple de astfel de puteri: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .
Acum haideți să explicăm importanța condiției menționate mai sus: de ce să înlocuiți o fracție cu un exponent reductibil pentru o fracție cu unul ireductibil. Dacă nu am fi făcut acest lucru, atunci astfel de situații s-ar fi dovedit, să zicem, 6 / 10 = 3 / 5. Atunci (- 1) 6 10 = - 1 3 5 ar trebui să fie adevărat, dar - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 și (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .
Definiția gradului cu exponent fracționar, pe care am dat-o primul, este mai convenabil de aplicat în practică decât a doua, așa că o vom folosi în continuare.
Definiția 6
Astfel, puterea unui număr pozitiv a cu exponent fracționar m / n este definită ca 0 m n = 0 m n = 0 . În caz negativ A notația a m n nu are sens. Gradul de zero pentru exponenții fracționali pozitivi m/n este definită ca 0 m n = 0 m n = 0 , pentru exponenții fracționali negativi nu definim gradul de zero.
În concluzii, observăm că orice indicator fracționar poate fi scris atât ca număr mixt, cât și ca fracție zecimală: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .
Când se calculează, este mai bine să înlocuiți exponentul cu o fracție obișnuită și apoi să utilizați definiția gradului cu un exponent fracționar. Pentru exemplele de mai sus, obținem:
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Ce sunt grade cu exponent irațional și real
Ce sunt numerele reale? Setul lor include atât numere raționale, cât și iraționale. Prin urmare, pentru a înțelege ce este un grad cu un exponent real, trebuie să definim grade cu exponenți raționali și iraționali. Despre rațional am menționat deja mai sus. Să ne ocupăm de indicatorii iraționali pas cu pas.
Exemplul 5
Să presupunem că avem un număr irațional a și o succesiune a aproximărilor sale zecimale a 0 , a 1 , a 2 , . . . . De exemplu, să luăm valoarea a = 1 , 67175331 . . . , apoi
a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .
Putem asocia secvențe de aproximări cu o succesiune de puteri a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Dacă ne amintim despre ce am vorbit mai devreme despre ridicarea numerelor la o putere rațională, atunci putem calcula singuri valorile acestor puteri.
Luați de exemplu a = 3, atunci a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . etc.
Secvența de grade poate fi redusă la un număr, care va fi valoarea gradului cu baza a și exponentul irațional a. Ca rezultat: un grad cu un exponent irațional de forma 3 1 , 67175331 . . poate fi redus la numărul 6, 27.
Definiția 7
Puterea unui număr pozitiv a cu exponent irațional a se scrie ca a . Valoarea sa este limita succesiunii a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , unde a 0 , a 1 , a 2 , . . . sunt aproximări zecimale succesive ale numărului irațional a. Un grad cu o bază zero poate fi definit și pentru exponenții iraționali pozitivi, în timp ce 0 a \u003d 0 Deci, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Și pentru cele negative, acest lucru nu se poate face, deoarece, de exemplu, valoarea 0 - 5, 0 - 2 π nu este definită. O unitate ridicată la orice putere irațională rămâne o unitate, de exemplu, și 1 2 , 1 5 în 2 și 1 - 5 va fi egal cu 1 .
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
În acest articol, vom înțelege ce este gradul de. Aici vom da definiții ale gradului unui număr, luând în considerare în detaliu toți exponenții posibili ai gradului, începând cu un exponent natural, terminând cu unul irațional. În material veți găsi o mulțime de exemple de grade care acoperă toate subtilitățile care apar.
Navigare în pagină.
Gradul cu exponent natural, pătratul unui număr, cubul unui număr
Sa incepem cu . Privind în viitor, să presupunem că definiția gradului a cu exponent natural n este dată pentru a , pe care o vom numi baza gradului, și n , pe care le vom numi exponent. De asemenea, rețineți că gradul cu un indicator natural este determinat prin produs, așa că pentru a înțelege materialul de mai jos, trebuie să aveți o idee despre înmulțirea numerelor.
Definiție.
Puterea numărului a cu exponent natural n este o expresie de forma a n , a cărei valoare este egală cu produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a , adică .
În special, gradul unui număr a cu exponentul 1 este numărul a însuși, adică a 1 =a.
Imediat merită menționat regulile pentru grade de citire. Mod universal citind intrarea a n este: „a la puterea lui n”. În unele cazuri, astfel de opțiuni sunt de asemenea acceptabile: „a la a n-a putere” și „a n-a putere a numărului a”. De exemplu, să luăm puterea lui 8 12, aceasta este „opt la puterea a doisprezece”, sau „opt la puterea a douăsprezecea”, sau „puterea a douăsprezecea a opt”.
A doua putere a unui număr, precum și a treia putere a unui număr, au propriile nume. Se numește a doua putere a unui număr pătratul unui număr, de exemplu, 7 2 se citește ca „șapte pătrat” sau „pătrat al numărului șapte”. Se numește a treia putere a unui număr numărul cubului, de exemplu, 5 3 poate fi citit ca „cinci cuburi” sau spune „cubul numărului 5”.
E timpul să aduci exemple de grade cu indicatori fizici. Să începem cu puterea lui 5 7 , unde 5 este baza puterii și 7 este exponentul. Să dăm un alt exemplu: 4,32 este baza, iar numărul natural 9 este exponentul (4,32) 9 .
Vă rugăm să rețineți că în ultimul exemplu baza gradului 4,32 este scrisă între paranteze: pentru a evita discrepanțe, vom lua între paranteze toate bazele gradului care sunt diferite de numerele naturale. Ca exemplu, oferim următoarele grade cu indicatori naturali 
, bazele lor nu sunt numere naturale, deci sunt scrise între paranteze. Ei bine, pentru o claritate completă în acest punct, vom arăta diferența conținută în înregistrările de forma (−2) 3 și −2 3 . Expresia (−2) 3 este puterea lui −2 cu exponent natural 3, iar expresia −2 3 (se poate scrie ca −(2 3) ) corespunde numărului, valorii puterii 2 3 .
Rețineți că există o notație pentru gradul lui a cu un exponent n de forma a^n . Mai mult, dacă n este un număr natural cu mai multe valori, atunci exponentul este luat între paranteze. De exemplu, 4^9 este o altă notație pentru puterea lui 4 9 . Și iată mai multe exemple de scriere a grade folosind simbolul „^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . În cele ce urmează, vom folosi în principal notația gradului formei a n .
Una dintre problemele inverse exponentierii cu un exponent natural este problema găsirii bazei gradului prin valoare cunoscută grad și exponent cunoscut. Această sarcină duce la .
Se știe că mulțimea numerelor raționale este formată din numere întregi și numere fracționale, iar fiecare număr fracționar poate fi reprezentat ca pozitiv sau negativ. fracție comună. Am definit gradul cu un exponent întreg în paragraful anterior, prin urmare, pentru a completa definiția gradului cu un exponent rațional, trebuie să dăm semnificația gradului numărului a cu un exponent fracționar m / n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Hai să o facem.
Să considerăm un grad cu un exponent fracționar de forma . Pentru ca proprietatea de grad într-un grad să rămână valabilă, egalitatea trebuie să fie valabilă 
. Dacă luăm în considerare egalitatea rezultată și modul în care am definit , atunci este logic să acceptăm, cu condiția ca pentru m, n și a dat expresia să aibă sens.
Este ușor de verificat că toate proprietățile unui grad cu exponent întreg sunt valabile pentru ca (acest lucru se face în secțiunea despre proprietățile unui grad cu exponent rațional).
Raționamentul de mai sus ne permite să facem următoarele concluzie: dacă pentru m, n și a dat expresia are sens, atunci puterea numărului a cu un exponent fracționar m / n este rădăcina gradului n al lui a la puterea m.
Această afirmație ne aduce aproape de definiția unui grad cu exponent fracționar. Rămâne doar să descriem pentru care m, n și a expresia are sens. În funcție de restricțiile impuse asupra m , n și a, există două abordări principale.
Cel mai simplu mod de a constrânge a este să presupunem a≥0 pentru m pozitiv și a>0 pentru m negativ (deoarece m≤0 nu are o putere de 0 m). Apoi obținem următoarea definiție a gradului cu un exponent fracționar.
Definiție.
Puterea unui număr pozitiv a cu exponent fracționar m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural, se numește rădăcină a n-a a numărului a la puterea lui m, adică .
Gradul fracționar de zero este, de asemenea, definit cu singura avertizare că exponentul trebuie să fie pozitiv.
Definiție.
Puterea lui zero cu exponent pozitiv fracționar m/n, unde m este un număr întreg pozitiv și n este un număr natural, este definit ca 
.
Când gradul nu este definit, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracționar nu are sens.
Trebuie remarcat că, cu o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar, există o nuanță: pentru unele negative a și unele m și n, expresia are sens și am înlăturat aceste cazuri introducând condiția a≥0 . De exemplu, are sens să scrii 
sau , iar definiția de mai sus ne obligă să spunem că grade cu un exponent fracționar al formei 
sunt lipsite de sens, deoarece baza nu trebuie să fie negativă.
O altă abordare pentru determinarea gradului cu un exponent fracționar m / n este să luați în considerare separat exponenții pari și impari ai rădăcinii. Această abordare necesită o condiție suplimentară: gradul numărului a, al cărui exponent este , este considerat gradul numărului a, al cărui exponent este fracția ireductibilă corespunzătoare (importanța acestei condiții va fi explicată mai jos). Adică, dacă m/n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este mai întâi înlocuit cu .
Pentru n par și m pozitiv, expresia are sens pentru orice a nenegativ (rădăcina unui grad par dintr-un număr negativ nu are sens), pentru m negativ, numărul a trebuie să fie tot diferit de zero (altfel împărțirea la zero va apărea). Și pentru n impar și m pozitiv, numărul a poate fi orice (rădăcina unui grad impar este definită pentru orice număr real), iar pentru m negativ, numărul a trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe o împărțire cu zero).
Raționamentul de mai sus ne conduce la o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar.
Definiție.
Fie m/n o fracție ireductibilă, m un număr întreg și n un număr natural. Pentru orice fracție ordinară reductibilă, gradul este înlocuit cu . Puterea lui a cu un exponent fracționar ireductibil m / n este pentru
Să explicăm de ce un grad cu un exponent fracționar reductibil este mai întâi înlocuit cu un grad cu un exponent ireductibil. Dacă am defini pur și simplu gradul ca , și nu am face o rezervă cu privire la ireductibilitatea fracției m / n , atunci am întâlni situații asemănătoare cu următoarele: deoarece 6/10=3/5 , atunci egalitatea 
, dar 
, A .
