Integrale improprii de primul fel.În esență, aceasta este aceeași integrală definită, dar în cazurile în care integralele au limite superioare sau inferioare infinite de integrare sau ambele limite de integrare sunt infinite.

Integrale improprii de al doilea fel.În esență, aceasta este aceeași integrală definită, dar în cazurile în care integrala este luată din funcții nemărginite, integrandul la un număr finit de puncte nu are un segment finit de integrare, întorcându-se la infinit.

Pentru comparație. La introducerea conceptului de integrală definită, s-a presupus că funcția f(X) este continuă pe intervalul [ A, b], iar segmentul de integrare este finit, adică este limitat de numere, și nu de infinit. Unele sarcini duc la necesitatea renunțării la aceste restricții. Așa apar integralele improprii.

Sensul geometric al integralei improprie Se dovedește destul de simplu. În cazul în care graficul unei funcţii y = f(X) este deasupra axei Bou, integrala definită exprimă aria unui trapez curbiliniu mărginit de o curbă y = f(X) , axa x și ordonate X = A , X = b. La rândul său, integrala improprie exprimă aria unui trapez curbiliniu nelimitat (infinit) închis între linii y = f(X) (în imaginea de mai jos - roșu), X = A iar axa absciselor.

Integrale improprii sunt definite în mod similar pentru alte intervale infinite:

Aria unui trapez curbat infinit poate fi un număr finit, caz în care integrala improprie se numește convergentă. Aria poate fi și infinită, iar în acest caz integrala improprie se numește divergentă.

Folosind limita unei integrale în locul integralei improprie în sine. Pentru a evalua integrala improprie, trebuie să utilizați limita integralei definite. Dacă această limită există și este finită (nu este egală cu infinitul), atunci integrala improprie se numește convergentă, iar în caz contrar - divergentă. La ce tinde o variabilă sub semnul limită depinde dacă avem de-a face cu o integrală improprie de primul fel sau de al doilea fel. Să aflăm despre asta acum.

Integrale improprii de primul fel - cu limite infinite și convergența lor

Integrale improprii cu limită superioară infinită

Deci, scrierea unei integrale improprie diferă de integrala definită obișnuită prin faptul că limita superioară a integrării este infinită.

Definiție. O integrală improprie cu o limită superioară infinită de integrare a unei funcții continue f(X) în intervalul de la A inainte de ∞ se numeste limita integralei acestei functii cu limita superioara de integrare b și limita inferioară a integrării A cu condiţia ca limita superioară a integrării să crească fără limită, adică

.

Dacă această limită există și este egală cu un anumit număr mai degrabă decât cu infinit, atunci o integrală improprie se numește convergentă, iar numărul cu care este egală limita este luat ca valoare. In caz contrar o integrală improprie se numește divergentăși nu i se atribuie niciun sens.

Exemplul 1. Calculați integrala improprie(dacă converge).

Soluţie. Pe baza definiției integralei improprie, găsim

Deoarece limita există și este egală cu 1, atunci aceasta integrala improprie converge si este egal cu 1.

În exemplul următor, integrandul este aproape același ca în exemplul 1, doar că gradul x nu este doi, ci litera alfa, iar sarcina este de a studia integrala improprie pentru convergență. Adică, întrebarea rămâne de răspuns: la ce valori ale alfa converge această integrală necorespunzătoare și la ce valori diverge?

Exemplul 2. Examinați integrala improprie pentru convergență(limita inferioară de integrare este mai mare decât zero).

Soluţie. Să presupunem mai întâi că, atunci

În expresia rezultată, trecem la limita de la:

Este ușor de observat că limita din partea dreaptă există și este egală cu zero atunci când , adică , și nu există când , adică .

În primul caz, adică atunci când . Daca atunci si nu exista.

Concluzia studiului nostru este următoarea: aceasta integrala improprie converge la şi diverge la .

Aplicarea formulei Newton-Leibniz la tipul de integrală improprie studiată , puteți obține următoarea formulă, care este foarte asemănătoare cu aceasta:

.

Aceasta este o formulă generalizată Newton-Leibniz.

Exemplul 3. Calculați integrala improprie(dacă converge).

Limita acestei integrale există:

A doua integrală, alcătuind suma care exprimă integrala inițială:

Limita acestei integrale există și:

.

Găsim suma a două integrale, care este și valoarea integralei improprie originale cu două limite infinite:

Integrale improprii de al doilea fel - din funcții nemărginite și convergența lor

Lasă funcția f(X) dat pe segmentul din A inainte de b și este nelimitat pe el. Să presupunem că funcția merge la infinit în punctul respectiv b , în timp ce în toate celelalte puncte ale segmentului este continuă.

Definiție. O integrală improprie a unei funcții f(X) pe segmentul de la A inainte de b se numeste limita integralei acestei functii cu limita superioara de integrare c , dacă atunci când te străduiești c La b funcția crește fără limită și la punct X = b funcția nu este definită, adică

.

Dacă această limită există, atunci integrala improprie de al doilea fel se numește convergentă, în caz contrar se numește divergentă.

Folosind formula Newton-Leibniz, derivăm.

Integrale improprii

Lk5.6(4h)

Conceptul a fost introdus în ipoteza că:

1) intervalul de integrare este finit (segmentul [ A;b]),

2) funcția f(X) este limitat la [ A;b].

O astfel de integrală definită se numește proprii(cuvântul „propriu” este omis). Dacă oricare dintre aceste condiții nu este îndeplinită, atunci se numește integrala definită nu a ta. Există integrale improprii de primul și al doilea fel.

1. Definiția unei integrale improprie de primul fel

Să generalizăm conceptul de integrală definită la un interval infinit. Lăsa f(X) este definită pe intervalul [ A;+¥) și este integrabil în fiecare dintre părțile sale finite, adică . În acest caz există o integrală. Este clar că există o funcție definită pe [ A;+¥). Sa luam in considerare. Această limită poate exista sau nu, dar indiferent de aceasta se numește integrală improprie de primul fel si este desemnat .

Definiție. Dacă există și este finită, atunci se numește integrala improprie convergent, iar valoarea acestei limite este valoarea integralei improprii. . Dacă nu există sau este egal cu ¥, atunci se numește integrala improprie divergente.

Definit în mod similar,

Exemplul 1. Investigați convergența integralei , .

D este continuu pe [ A;+¥) .

Dacă , atunci , și Þ integrala converge.

Dacă , atunci integrala diverge.

Asa de, converge la și ;

diverge la .D

2. Proprietăţi ale unei integrale improprie de primul fel

Deoarece integrala improprie este definită ca limita a integralei Riemann, atunci toate proprietățile care sunt păstrate în timpul trecerii la limită sunt transferate la integrala improprie, adică proprietățile 1-8 sunt satisfăcute. Teorema valorii medii nu are sens.

3. Formula Newton–Leibniz

Lasă funcția f este continuă pe [ A;+¥), F- este antiderivată și există. Atunci formula Newton-Leibniz este valabilă:

Într-adevăr,

Exemplul 2. D. D

Sensul geometric al unei integrale improprie de primul fel

Lasă funcția f este nenegativă și continuă pe [ A;+¥) iar integrala improprie converge. egală cu aria unui trapez curbat cu baza [ A;b] și este egală cu aria cu baza [ A;+¥).

4. Integrale improprii ale funcțiilor nenegative

Teorema 1. Lăsa f(X)³0 pe [ A;+¥) și integrabil pe [ A;b] "b>A. Pentru convergența unei integrale improprie, este necesar și suficient ca mulțimea integralelor să fie mărginită de sus și .

Dovada.

Luați în considerare funcția, A£ b. Deoarece f(X)³0, atunci F nu scade într-adevăr, " b 1 , b 2: A£ b 1 <b 2 datorită faptului că , este îndeplinită

Prin definiție, o integrală improprie converge dacă și numai dacă există un finit. Deoarece F(b) nu scade, atunci această limită există dacă și numai dacă funcția F(b) este mărginită de sus, adică $ M>0: "b>A. în care

Divergenţa integralei improprie înseamnă că , adică .

Teorema 2. Lasă funcțiile fȘi g nenegativ pe [ A;+¥) și integrabil pe [ A;b] "b>A. Dai drumul [ A;+¥) gata

1) din convergența integralei (2) urmează convergența integralei (3);

2) din divergenţa integralei (3) urmează divergenţa integralei (2).

Dovada.

De la (1) " b>A.

1) Fie că integrala (2) converge. Prin teorema 1, mulțimea este mărginită mărginită mărginită. Prin teorema 1 converge.

2) Lăsați-le să se împrăștie. Să demonstrăm că integrala (2) diverge. Din contra. Să presupunem că integrala (2) converge, dar apoi, prin prima parte a teoremei, integrala (3) converge - o contradicție cu condiția.

Teorema 3. Lasă funcțiile fȘi g nenegativ pe [ A;+¥) și integrabil pe [ A;b] "b>A. Dacă există (0£ k£¥), atunci

1) din convergența integralei la k<¥ следует сходимость интеграла ,

2) din divergenţa integralei la k>0 urmează divergența integralei.

Dovada.

1) Lasă k<¥ и сходится.

Pentru că converge, converge, înseamnă că converge. Apoi, în virtutea (4), converge. De aici converge.

2) Lasă k>0 și diverge. În acest caz - un număr finit. Dacă presupunem contrariul - că integrala converge, atunci prin ceea ce s-a dovedit la punctul 1) vom constata că și ea converge, iar acest lucru contrazice condiția. Prin urmare, presupunerea făcută este incorectă și divergentă. converge absolut, apoi prin definiție converge. Deci se potrivește. Dar se potrivește.

SubiectINTEGRALELE IMPOTRIVITE

La tema „Integrală definită” a fost luat în considerare conceptul de integrală definită pentru cazul unui interval finit
și funcție limitată
(vezi Teorema 1 din §3). Acum să generalizăm acest concept la cazurile unui interval infinit și o funcție nemărginită. Necesitatea unei astfel de generalizări este demonstrată, de exemplu, de următoarele situații.

1. Dacă, folosind formula pentru lungimea arcului, încercați să calculați lungimea unui sfert de cerc
,
, atunci ajungem la integrala funcției nemărginite:

, Unde
.

2. Lasă corpul să aibă masă
se deplasează prin inerție într-un mediu cu o forță de rezistență
, Unde
- viteza corpului. Folosind a doua lege a lui Newton (
, Unde
accelerație), obținem ecuația:
, Unde
. Nu este greu să arăți că soluția acestei ecuații (diferențiale!) este funcția
Dacă trebuie să calculăm traseul parcurs de corp înainte ca acesta să se oprească complet, i.e. până în momentul în care
, atunci ajungem la integrala pe un interval infinit:

§1. Integrale improprii de primul fel

I Definitie

Lasă funcția
definit si continuu pe interval
. Apoi pentru oricine
este integrabil pe interval
, adică există o integrală
.

Definiția 1 . Limita finită sau infinită a acestei integrale la
se numește integrală improprie a primului fel de funcție
de-a lungul intervalului
și este desemnată prin simbol
. În plus, dacă limita specificată este finită, atunci integrala improprie se numește convergentă, în caz contrar (
sau nu există) – divergent.

Deci, prin definiție

Exemple

2.
.

3.
- nu exista.

Integrala improprie din exemplul 1 converge; în exemplele 2 și 3 integralele diverg.

II Formula Newton–Leibniz pentru o integrală improprie de primul fel

Lăsa
- unele antiderivate pentru functie
(există pe
, deoarece
- continuu). Apoi

De aici este clar că convergența integralei improprie (1) este echivalentă cu existența unei limite finite
. Dacă această limită este definită
, atunci putem scrie formula Newton-Leibniz pentru integrala (1):

, Unde
.

Exemple .

5.
.

6. Exemplu mai complex:
. Mai întâi, să găsim antiderivată:

Acum putem găsi integrala , dat fiind

:

III Proprietăți

Să prezentăm o serie de proprietăți ale integralei improprie (1), care decurg din proprietățile generale ale limitelor și integrala definită:

IV Alte definiții

Definiția 2 . Dacă
continuu pe
, Acea

.

Definiția 3 . Dacă
continuu pe
, atunci acceptăm prin definiție

(– arbitrar),

Mai mult, integrala improprie din partea stângă converge dacă numai ambele integrale din partea dreaptă converg.

Pentru aceste integrale, precum și pentru integrala (1), se pot scrie formulele Newton-Leibniz corespunzătoare.

Exemplul 7 .

§2. Teste pentru convergența unei integrale improprie de primul fel

Cel mai adesea, este imposibil să se calculeze o integrală improprie prin definiție, așa că folosesc egalitatea aproximativă

(pentru mari ).

Totuși, această relație are sens numai pentru integralele convergente. Este necesar să existe metode de clarificare a comportamentului integralei ocolind definiția.

eu Integrale ale funcțiilor pozitive

Lăsa
pe
. Apoi integrala definită
în funcţie de limita superioară este o funcţie crescătoare (asta rezultă din proprietăţile generale ale integralei definite).

Teorema 1 . O integrală improprie a primului fel de funcție nenegativă converge dacă și numai dacă funcția
rămâne limitată cu creșterea .

Această teoremă este o consecință a proprietăților generale ale funcțiilor monotone. Teorema aproape că nu are sens practic, dar ne permite să obținem așa-numitul semne de convergenţă.

Teorema 2 (primul semn de comparație). Lasă funcțiile
Și
continuu pentru
și să satisfacă inegalitatea
. Apoi:

1) dacă integrala
converge, atunci
converge;

2) dacă integrala
diverge, atunci
diverge.

Dovada . Să notăm:
Și
. Deoarece
, Acea

. Fie integrala
converge, apoi (prin teorema 1) funcția
- limitat. Dar apoi
este limitată și, prin urmare, integrala
de asemenea converge. A doua parte a teoremei este demonstrată într-un mod similar.

Acest criteriu nu este aplicabil dacă integrala diverge de la
sau convergenţa integralei a
. Acest dezavantaj este absent în a doua caracteristică de comparație.

Teorema 3 (al doilea semn de comparație). Lasă funcțiile
Și
continuu si nenegativ pe
. Atunci dacă
la
, apoi integralele improprii
Și
converg sau diverg simultan.

Dovada . Din condițiile teoremei obținem următorul lanț de afirmații echivalente:

, ,

.

Să, de exemplu,
. Apoi:

Aplicam teorema 2 si proprietatea 1) din §1 si obtinem afirmatia teoremei 3.

Funcția standard cu care aceasta este comparată este o funcție de putere
,
. Invităm elevii să demonstreze singuri că integrala

converge la
și diverge la
.

Exemple . 1.
.

Să considerăm integrandul pe interval
:

,
.

Integral
converge, deoarece
. Pe baza celui de-al 2-lea criteriu de comparație, integrala converge și ea
, iar datorită proprietății 2) din §1, converge și integrala inițială.

2.
.

Deoarece
, atunci există
astfel încât când

. Pentru astfel de valori variabile:

Se știe că funcția logaritmică crește mai lent decât funcția de putere, adică.

,

ceea ce înseamnă că, pornind de la o anumită valoare a variabilei, această fracție este mai mică decât 1. Prin urmare

.

Integral converge ca referinţă. În virtutea primului criteriu de comparație, converge și
. Aplicând al 2-lea criteriu, obținem că integrala
converge. Și din nou proprietatea 2) din §1 dovedește convergența integralei originale.

Cursul 24. INTEGRALELE IMPROPRIE

Plan:

1. Conceptul de integrală improprie
2. Integrale improprii de primul fel.
3. Integrale improprii de al doilea fel.

1. Conceptul de integrală improprie

Să luăm în considerare găsirea ambelor tipuri de integrale improprii.

Să fie dată funcția y=f(x), continuu pe intervalul [ a;+∞). Dacă există o limită finită, atunci se numește integrală improprie de primul fel si noteaza .

converge diverge .

Sensul geometric al unei integrale improprie de primul fel este după cum urmează: dacă converge (cu condiția ca f(x)≥0), atunci reprezintă aria unui trapez curbat „infinit de lung” (Fig. 24.1).

În mod similar, conceptul de integrală improprie cu o limită inferioară infinită de integrare este introdus pentru o linie continuă pe interval ( -∞ ;b] funcţii: = .

O integrală improprie cu două limite infinite de integrare este definită prin formula: = + , unde Cu– număr arbitrar.

Să luăm în considerare exemple de găsire a integralelor improprii de primul fel.

Exemplul 24.1.

Soluţie. Pentru a găsi o integrală improprie cu o limită superioară infinită a unei funcții continue, folosim formula: = . Atunci = . Mai întâi, să calculăm integrala lui e x:

= = = =∞. Am constatat că integrala improprie diverge.

Răspuns: diverge.

Exemplul 24.2. Calculaţi integrala improprie sau stabiliţi divergenţa ei: .

Soluţie. Integrandul este continuu pe intervalul ( -∞ ;- 1]. Pentru a găsi o integrală improprie de primul fel cu o limită inferioară infinită, folosim formula: = . Atunci = . Să calculăm integrala cuprinsă sub semnul limită: = . Să scăpăm de semnul minus schimbând granițele integrării:

1. Am constatat că integrala improprie luată în considerare converge.

Răspuns: =1.

1. Integrale improprii de al doilea fel.

Să fie dată funcția y=f(x), continuu pe intervalul [ a;b). Lăsa b– punct de discontinuitate de al doilea fel. Dacă există o limită finită, atunci se numește integrală improprie de al doilea fel si noteaza .

Astfel, prin definiție = .

Dacă limita găsită este egală cu un număr finit, atunci se spune că integrala improprie este converge . Dacă limita specificată nu există sau este infinită, atunci integrala se spune că este diverge .

Sensul geometric al unei integrale improprie de al doilea fel, Unde b– punct de discontinuitate de al doilea fel, f(x)≥0, este după cum urmează: dacă converge, atunci reprezintă aria unui trapez curbat „infinit de înalt” (Fig. 24.2).

În mod similar, conceptul de integrală improprie de al doilea fel este introdus pentru o linie continuă pe interval ( a;b]funcţii cu condiţia ca A– punct de discontinuitate de al doilea fel: = .

Exemplul 24.3. Calculați integrala improprie de al doilea fel: .

Soluţie. Integrandul este continuu pe intervalul (0;1], și x= 0 - punct de discontinuitate de al doilea fel (). Pentru a calcula integrala improprie, folosim formula: = . Înțelegem asta

= = = = = = ∞. Vedem că integrala improprie a celui de-al doilea fel diverge.

Răspuns: diverge.

Întrebări de control:

1. Cum se numește o integrală improprie?
2. Ce integrale se numesc integrale improprie de primul fel?
3. Care este semnificația geometrică a unei integrale improprie de primul fel?
4. Care integrale improprie se numesc convergente și care se numesc divergente?
5. Ce integrale se numesc integrale improprie de al doilea fel?
6. Care este semnificația geometrică a unei integrale improprie de al doilea fel?

BIBLIOGRAFIE:

1. Abdrakhmanova I.V. Elemente de matematică superioară: manual. manual – M.: Centrul de Tehnologii Educaționale Intensive, 2003. – 186 p.

2. Algebra și începuturile analizei (Partea 1, Partea 2): Manual pentru instituțiile de învățământ secundar / ed. G.N.Yakovleva. – M.: Nauka, 1981.

3. Aleksandrova N.V. Termeni matematici. Director.- M.: Mai sus. şcoală, 1978. - 190 p.

4. Valutse I.I., Diligul G.D. Matematică pentru școlile tehnice bazate pe școli medii: Proc. indemnizatie. – M.: Nauka, 1989. – 576 p.

5. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. Elemente de matematică superioară: Manual. pentru studenti instituţii de învăţământ profesional. - M.: Centrul de editură „Academia”, 2004. – 320 p.

6. Lisichkin V.T., Soloveichik I.L. Matematică: manual. manual pentru școlile tehnice. – M.: Mai sus. şcoală, 1991. – 480 p.

7. Lukankin G.L., Martynov N.N., Shadrin G.A., Yakovlev G.N. Matematică superioară: manual. manual pentru elevii pedagogici. instituţiilor. – M.: Educație, 1988. – 431 p.

8. Scris D.T. Note de curs despre matematica superioară: partea 1. – M.:Iris-press, 2006.- 288 p.

9. Filimonova E.V. Matematică: manual. indemnizatie pentru colegii. – Rostov n/d: Phoenix, 2003. – 384 p.

10. Shipachev V.S. Matematică superioară: manual pentru universități. – M.: Şcoala superioară, 2003. – 479 p.

11. Shipachev V.S. Curs de matematică superioară: studii superioare. – M.: PROYUL M.A. Zaharov, 2002. – 600 p.

12. Enciclopedie pentru copii. T.11. Matematică / Ch. ed. M.V.Aksenova. - M.: Avanta+, 2000.- 688 p.

Dacă integrandul are o discontinuitate de al doilea fel pe intervalul (finit) de integrare, vorbim de o integrală improprie de al doilea fel.

10.2.1 Definiție și proprietăți de bază

Să notăm intervalul de integrare cu $\left[ a, \, b \right ]$; ambele numere se presupune că sunt finite mai jos. Dacă există doar 1 discontinuitate, aceasta poate fi localizată fie în punctul $a$, fie în punctul $b$, fie în interiorul intervalului $(a,\,b)$. Să considerăm mai întâi cazul în care există o discontinuitate de al doilea fel în punctul $a$, iar în alte puncte funcția integrand este continuă. Deci discutăm despre integrală

\begin(equation) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(equation)

și $f(x) \rightarrow \infty $ când $x \rightarrow a+0$. Ca și înainte, primul lucru de făcut este să dai sens acestei expresii. Pentru a face acest lucru, luați în considerare integrala

\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Definiție. Să existe o limită finită

\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Apoi se spune că integrala improprie de al doilea fel (22) converge și i se atribuie valoarea $A$; se spune că funcția $f(x)$ în sine este integrabilă pe intervalul $\left[ a, \ , b\dreapta]$.

Luați în considerare integrala

\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]

Funcția integrand $1/\sqrt(x)$ la $x \rightarrow +0$ are o limită infinită, deci în punctul $x=0$ are o discontinuitate de al doilea fel. Sa punem

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]

În acest caz, antiderivatul este cunoscut,

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\rightarrow 2\]

la $\epsilon \rightarrow +0$. Astfel, integrala inițială este o integrală improprie convergentă de al doilea fel și este egală cu 2.

Să luăm în considerare opțiunea când există o discontinuitate de al doilea fel în funcția integrand la limita superioară a intervalului de integrare. Acest caz poate fi redus la cel anterior făcând modificarea variabilei $x=-t$ și apoi rearanjarea limitelor de integrare.

Să considerăm opțiunea când funcția integrand are o discontinuitate de al doilea fel în interiorul intervalului de integrare, în punctul $c \in (a,\,b)$. În acest caz, integrala originală

\begin(equation) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(equation)

prezentat ca o sumă

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]

Definiție. Dacă ambele integrale $I_1, \, I_2$ converg, atunci integrala improprie (23) se numește convergentă și i se atribuie o valoare egală cu suma integralelor $I_1, \, I_2$, funcției $f(x)$ se numește integrabil pe intervalul $\left [a, \, b\right]$. Dacă cel puţin una dintre integralele $I_1,\, I_2$ este divergentă, integrala improprie (23) se numeşte divergentă.

Integralele improprie convergente de al 2-lea fel au toate proprietățile standard ale integralelor definite obișnuite.

1. Dacă $f(x)$, $g(x)$ sunt integrabile pe intervalul $\left[ a, \,b \right ]$, atunci suma lor $f(x)+g(x)$ este de asemenea, integrabil în acest interval și \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, atunci pentru orice constantă $C$ funcția $C\cdot f(x)$ este de asemenea integrabil pe acest interval , și \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, iar pe acest interval $f(x)>0$, atunci \[ \int _a^ (b ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, atunci pentru orice $c\in (a, \,b)$ integralele \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] converg, de asemenea, și \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (aditivitatea integralei pe interval).

Luați în considerare integrala

\begin(equation) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(equation)

Dacă $k>0$, integrandul tinde spre $\infty$ ca $x \rightarrow +0$, deci integrala este improprie de al doilea fel. Să introducem funcția

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

În acest caz antiderivatul este cunoscut, deci

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \]

pentru $k \neq 1$,

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \]

pentru $k = 1$. Având în vedere comportamentul la $\epsilon \rightarrow +0$, ajungem la concluzia că integrala (20) converge la $k

10.2.2 Teste pentru convergența integralelor improprie de al 2-lea fel

Teorema (primul semn al comparației). Fie $f(x)$, $g(x)$ continuu pentru $x\in (a,\,b)$ și $0 1. Dacă integrala \[ \int _a^(b)g(x) dx \] converge, apoi integrala \[ \int _a^(b)f(x)dx converge. \] 2. Dacă integrala \[ \int _a^(b)f(x)dx \] diverge, atunci integrala \[ \int _a^(b)g(x)dx diverge. \]

Teorema (al doilea criteriu de comparare). Fie $f(x)$, $g(x)$ continuu și pozitiv pentru $x\in (a,\,b)$ și să existe o limită finită

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Apoi integralele

\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]

converg sau diverg simultan.

Luați în considerare integrala

\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

Integrandul este o funcție pozitivă pe intervalul de integrare, integrandul tinde spre $\infty$ ca $x \rightarrow +0$, deci integrala noastră este o integrală improprie de al doilea fel. În plus, pentru $x \rightarrow +0$ avem: dacă $g(x)=1/x$, atunci

\[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]

Aplicând al doilea criteriu de comparație, ajungem la concluzia că integrala noastră converge sau diverge simultan cu integrala

\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]

După cum sa arătat în exemplul anterior, această integrală diverge ($k=1$). În consecință, integrala originală diverge.

Calculați integrala improprie sau stabiliți convergența (divergența) acesteia.

1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]