Problemele bazate pe interese apar pentru prima dată în viața tinerilor matematicieni din clasa a 5-a și îi însoțesc până la examenele finale. Sarcinile legate de procente sunt în opțiunile pentru examenul de stat unificat (în special, sarcina numărul 17 din examenul de profil) și OGE. Interesul se va găsi inevitabil în cursurile de fizică, chimie și economie. Până la urmă, în viața noastră de zi cu zi întâlnim în mod constant acest concept (gândiți-vă, de exemplu, la ratele la împrumuturi sau la promisiunile generoase de reduceri de 90% în magazine).

În acest articol, vom începe cu cele mai simple definiții și exemple, vom crește treptat nivelul de complexitate și până în partea a 4-a vom ajunge la probleme destul de dificile.

Interes. Informații inițiale.

Cum să găsești un procent dintr-un număr

În mod surprinzător, mulți absolvenți nu reușesc să explice clar ce este la sută... Dar totul este foarte simplu:

La sută este o sutime din număr.

De ce exact a suta? Da, pur și simplu pentru că este convenabil să împărțiți la 100, iar o sută nu este prea mult și nici prea puțin (nu este o definiție foarte strictă).

Pentru a găsi 1% dintr-un număr, trebuie doar să împărțiți acel număr la 100.

Exemplul 1... Găsiți 1% din 1200, 1% din 2,1% din 98765.

1% din 1200 este 12, deoarece 1200: 100 = 12;
1% din 2 este 0,02, deoarece 2: 100 = 0,02;
1% din 98765 = 98765: 100 = 987,65.

Exercitiul 1... Calculați 1% din 450, 1% din 12000, 1% din 9.

Sarcina 2... Calculați 1% din 1% din 6700.

Cum să găsești câteva procente dintr-un număr

Acum să presupunem că trebuie să găsim nu 1% din număr, ci, să zicem, 12%. Cum să o facă? Puteți, desigur, să găsiți mai întâi un procent, apoi să înmulțiți rezultatul cu 12. Dar de ce să faceți două lucruri dacă vă descurcați cu unul? Un procent este o sutime, iar t la sută este t sutimi. Pentru a găsi, de exemplu, 12 sutimi dintr-un număr, trebuie să înmulțiți numărul cu 0,12. Obținem o regulă universală:

Pentru a găsi t% dintr-un număr, trebuie să înmulțiți acest număr cu t 100.
t procent din A = A ⋅ t 100

Exemplul 2... Găsiți 17% din 300, 86% din 20, 140% din 2, 0,1% din 4000.

17% din 300 este 51, deoarece 300 * 0,17 = 51 (înmulțiți numărul cu șaptesprezece sutimi);
86% din 20 este 17,2, deoarece 20 * 0,86 = 17,2 (înmulțire cu 86/100);
140% din 2 = 2 * 1,4 = 2,8 (1,4 este doar 140/100);
0,1% din 4000 = 0,001 * 4000 = 4 (0,001 este 0,1 / 100).

Sarcina 3... Calculați 14% din 1200, 57% din 50, 250% din 4, 0,02% din 1.000.000.

Exemplul 3... Calculați 18% din 80% din 1000. Este adevărat că acesta este același cu 98% din 1000?

Să găsim primul 80% din 1000: 1000 * 0,8 = 800.
Căutăm 18% din numărul rezultat: 800 * 0,18 = 144.
Găsiți acum 98% din 1000. Înmulțiți 1000 cu 98/100 și obțineți 980.
După cum puteți vedea, rezultatele sunt diferite.

Sarcina 4... Calculați 120% din 40% din 350.

Cum să găsiți „procentul de interes”

Ce se întâmplă dacă trebuie să calculăm o secvență lungă de „procent-de-procent”? Să spunem 10% din 10% din 10% din 10% din 200. Puteți, desigur, să acționați secvențial și să împărțiți sarcina în 4 acțiuni, dar există o modalitate mai ușoară.

Exemplul 4... Calculați 20% din 30% din 40% din 10.000.

De ce să faci mai multe înmulțiri consecutive când totul poate fi redus la o singură linie:
0,2*0,3*0,4*10000 = 24.

Vezi cât de simplu este! Apropo, nu sunt necesare paranteze în acest caz.

Sarcina 5... Calculați 50% din 50% din 40% din 2000.

Sarcina 6... În prima săptămână a lunii ianuarie, 40% din ninsorile lunare (90 mm) au căzut, 90% din această cantitate căzând miercuri, iar 70% din precipitații au căzut în prima jumătate a acestei zile. Cati mm de zapada au cazut miercuri dimineata?

Deci, să rezumam câteva dintre rezultate:

• Procentul este o sutime dintr-un număr.
• Pentru a calcula 1%, împărțiți numărul la 100 (sau înmulțiți cu 0,01).
• Pentru a găsi t% dintr-un număr, trebuie să înmulțiți numărul cu t sutimi.

Un mic test pe tema „Procentaj”

Luați câteva minute pentru a face un mic test de interes. În răspuns, introduceți un număr întreg sau o fracție zecimală. Utilizați întotdeauna virgulă ca separator zecimal (de exemplu, 1,2, dar nu 1,2!) Succes!

Conceptul de procent apare prea des în viața noastră, așa că este foarte important să știm să rezolvăm problemele cu interes. În principiu, aceasta nu este o chestiune dificilă, principalul lucru este să înțelegeți principiul lucrului cu interes.

Ce este procentul

Operăm cu conceptul de 100 la sută și, în consecință, unu la sută este o sutime dintr-un anumit număr. Și toate calculele se bazează pe acest raport.

De exemplu, 1% din 50 este 0,5, 15 din 700 este 7.

Cum să rezolve

1. Știind că un procent este o sutime din numărul prezentat, puteți găsi orice număr de procente necesare. Pentru a fi mai clar, să încercăm să găsim 6 procente din numărul 800. Acest lucru se face simplu.
   • În primul rând, găsim un procent. Pentru a face acest lucru, împărțiți 800 la 100. Se dovedește 8.
   • Acum chiar acest un procent, adică 8, este înmulțit cu numărul de procente de care avem nevoie, adică cu 6. Se dovedește 48.
   • Să reparăm rezultatul prin repetare.

   15% din 150. Rezolvare: 150/100 * 15 = 22.

   28% din 1582. Rezolvare: 1582/100 * 28 = 442.

2. Există și alte probleme când vi se dau valori și trebuie să găsiți procente. De exemplu, știi că în magazin sunt 5 trandafiri roșii din 75 albi și trebuie să afli care este procentul de trandafiri roșii. Dacă nu cunoaștem acest procent, atunci îl vom desemna cu x.

   Există o formulă pentru aceasta: 75 - 100%

   În această formulă, numerele sunt înmulțite cruce cu cruce, adică x = 5 * 100/75. Se dovedește că x = 6% Aceasta înseamnă că procentul de trandafiri stacojii este de 6%.

3. Există un alt tip de probleme de procent, atunci când trebuie să găsiți procentul unui număr mai mare sau mai mic decât altul. Cum se rezolvă problemele cu interes în acest caz?

   În clasă sunt 30 de elevi, dintre care 16 sunt băieți. Întrebarea este, în ce procent sunt mai mulți băieți decât fete. Mai întâi trebuie să calculați ce procent din elevi sunt băieți, apoi trebuie să aflați câte procente sunt fete. Găsiți diferența la sfârșit.

   Asadar, haideti sa începem. Alcătuim proporția de 30 per. - o sută%

   16 cont. -X %

   Acum numărăm. X = 16 * 100/30, x = 53,4% din toți elevii clasei sunt băieți.

   Acum să găsim procentul de fete din aceeași clasă. 100-53,4 = 46,6%

Acum nu mai rămâne decât să găsim diferența. 53,4-46,6 = 6,8%. Răspuns: sunt cu 6,8% mai mulți băieți decât fete.

Repere în rezolvarea interesului

Așadar, pentru a nu avea probleme cu cum să rezolvați problemele cu interes, amintiți-vă câteva reguli de bază:

1. Pentru a nu vă încurca în problemele procentuale, fiți întotdeauna vigilenți: treceți de la valori specifice la procente și invers, dacă este necesar. Principalul lucru este să nu confundați niciodată unul cu celălalt.
2. Aveți grijă când calculați dobânda. Este important să știți de la ce valoare specifică doriți să numărați. Cu modificări succesive ale valorilor, procentul se calculează din ultima valoare.
3. Înainte de a scrie răspunsul, citiți din nou întreaga problemă, deoarece este posibil să fi găsit doar un răspuns intermediar și să aveți nevoie să efectuați una sau câteva acțiuni.

Astfel, rezolvarea problemelor cu procente nu este atât de dificilă, principalul lucru în ea este atenția și acuratețea, ca, într-adevăr, în toată matematica. Și nu uitați că este nevoie de practică pentru a perfecționa orice abilitate. Deci decideți mai mult și totul va fi bine sau chiar grozav pentru dvs.

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere

Relevanța cercetării

Viața modernă face problemele de dobândă relevante, deoarece sfera de aplicare practică a calculelor dobânzii se extinde. Inflația, creșterea prețurilor, creșterea prețurilor acțiunilor și scăderea puterii de cumpărare afectează fiecare persoană din societatea noastră. Planificarea bugetului familiei, investiția profitabilă în bănci este imposibilă fără capacitatea de a face calcule simple ale dobânzii.

Conceptul de „dobândă” nu poate fi renunțat nici în contabilitate, nici în analiza financiară, nici în statistică.

Procentul este un concept matematic care se găsește adesea în viața de zi cu zi.Oricine ar trebui să fie capabil să rezolve problemele oferite de viața însăși. Plătim impozite. Cum să calculăm remunerația materială pe care o primim atunci când punem bani pe un depozit, ce remunerație primește banca atunci când contractăm un credit, o ipotecă. Toate acestea și multe alte probleme legate de calculele dobânzii sunt rezolvate prin cunoașterea interesului și capacitatea de a rezolva probleme cu interes.

Peste tot - în ziare, la radio, televiziune și la locul de muncă, se discută despre creșterea prețurilor, a salariilor, a pensiilor, a creșterii valorii acțiunilor și a scăderii puterii de cumpărare a populației. Așadar, auzim sau citim adesea că, de exemplu, prețurile au crescut cu 20%, laptele conține 4% grăsime, pensia a crescut cu 10%, 76% dintre alegători au luat parte la alegeri.

Pentru a calcula salariul unui angajat, trebuie să cunoașteți procentul deducerilor fiscale; pentru a deschide un cont de depozit la o Sberbank, trebuie să cunoașteți suma dobânzii la suma depozitului; pentru a cunoaște creșterea aproximativă a prețurilor anul viitor ne interesează procentul de inflație.

Rezolvarea problemelor matematice cu conținut practic permite să ne convingem de importanța matematicii pentru diverse sfere ale activității umane, să vedem amploarea posibilelor aplicații ale matematicii, să înțelegem rolul acesteia în viața modernă.

Observațiile mele și un sondaj efectuat între colegi și prieteni au arătat că noi, școlari, tineri, avem cele mai generale și destul de puține cunoștințe despre procente și cu atât mai puțin despre diferite metode de calcul a procentelor.

Neajunsurile identificate în cunoștințele și capacitatea noastră de a rezolva problemele cu interes sunt explicate prin prezența apariției obiective. contradictii: între nevoia existentă de a calcula procentul în diverse domenii ale vieții oamenilor și - lipsa de informații cu privire la această problemă și incapacitatea aproape completă de a o face rapid și ușor.

Ținând cont de contradicțiile identificate, problema de cercetare: care este istoria și modalitățile de rezolvare a problemelor de interes?

Urgența problemei, semnificația ei în lumea modernă determinată temă Ale mele cercetare: „Rezolvarea problemelor pentru interes”.

Scopul studiului: studiază informații despre procente, tipuri de probleme, cum să le rezolvi și să înveți cum să folosești cunoștințele acumulate în practică.

Obiect de studiu: Interes pentru trecut și prezent.

Subiect de studiu: informatii istorice despre procente, rezolvarea problemelor pe procente si procente, concentratii, amestecuri si aliaje cu folosirea predominanta a regulilor de baza de actiune cu zecimale si fractii.

În conformitate cu scopul studiului, următoarele obiectivele cercetării:

Studiați istoria conceptului de PROCENT.

Luați în considerare utilizarea interesului în viața de zi cu zi.

Luați în considerare diferitele tipuri de probleme și soluțiile acestora.

Eliminați lacunele de cunoștințe în rezolvarea problemelor de bază în procente: găsirea unui procent dintr-o valoare, găsirea unei valori după procentul acesteia, găsirea unui procent dintr-o valoare din alta.

Rezumați cunoștințele și abilitățile dobândite și formulați concluzii.

Lucrarea a folosit următoarele metode de cercetare: studiu de literatură pe tema, analiză, sinteză, generalizare.

Capitolul 1. Relevanța interesului din antichitate până în zilele noastre 1.1.Istoria dezvoltării „interesului”

Studiul informațiilor de pe Internet a arătat că cuvântul „procent” provine din cuvântul latin „procentum”, care înseamnă „de la o sută”. Ideea exprimării părților unui întreg în mod constant în aceleași proporții s-a născut în vremurile străvechi printre babilonieni, tăblițele lor cuneiforme conțineau deja sarcini pentru calcularea procentelor. Interesele erau cunoscute și în India, unde multă vreme s-a efectuat numărarea în sistemul zecimal. Matematicienii indieni au calculat procente folosind așa-numita regulă triplă, adică. folosind proporția.Au fost capabili să facă calcule mai complexe folosind procente.

În limba rusă, cuvântul „dobândă” are o altă semnificație semantică - exprimă faptul că împrumutatul, pe lângă returnarea fondurilor furnizate lui de către creditor, trebuie să plătească suplimentar creditorului pentru utilizarea acestor fonduri. Acest lucru este dovedit, de exemplu, de anunțul: „Banca acordă împrumuturi populației cu dobândă”.

Plățile în numerar cu dobândă erau deosebit de comune în Roma antică. Romanii numeau dobânzi bani pe care debitorul le plătea împrumutătorului pentru fiecare sută. Chiar și Senatul Roman a fost nevoit să stabilească o rată maximă admisibilă a dobânzii care să fie percepută de la debitor, întrucât unii creditori erau zeloși în a primi bani cu dobândă. De la romani, interesul a trecut la alte popoare.

În Evul Mediu în Europa, în legătură cu dezvoltarea largă a comerțului, s-a acordat o atenție deosebită capacității de calculare a procentelor. La acea vreme, era necesar să se calculeze nu numai dobânda, ci și dobânda pe dobândă, adică dobânda compusă, așa cum se numesc în vremea noastră. Birouri și întreprinderi separate pentru a facilita munca în calcularea procentelor și-au dezvoltat propriile tabele speciale, care constituiau secretul comercial al companiei.

În Europa, fracțiile zecimale au apărut 1000 de ani mai târziu, au fost introduse de omul de știință belgian Simon Stevin. În 1584. a publicat mai întâi un tabel de procente.Introducerea procentelor a fost convenabilă pentru determinarea conținutului unei substanțe în alta; ca procent, au început să măsoare modificarea cantitativă a producției de bunuri, creșterea și scăderea prețurilor, creșterea veniturilor bănești etc.

Se crede că semnul % este derivat din cuvântul italian cento (o sută), care este adesea abreviat ca cto în calculele procentuale. Prin urmare, prin simplificarea suplimentară a t-ului într-un oblic, a venit simbolul modern pentru procent.

O altă versiune a originii acestui semn este că la Paris, în 1685, tipografiatorul unei cărți-manual de aritmetică comercială a făcut o greșeală de scriere - în loc de cto a scris%.

Multă vreme, dobânda a fost înțeleasă exclusiv ca profit sau pierdere pentru fiecare 100 de ruble. Erau folosite numai în comerț și tranzacții cu bani.Deja în antichitate cămătăria era larg răspândită - emiterea de bani cu dobândă. Diferența dintre suma care a fost restituită cămătarului și cea care i-a fost inițial luată se numea excedent. Deci, în Babilonul Antic era de 20% sau mai mult! Se ştie că în secolele XIV-XV. în Europa de Vest erau răspândite băncile – instituții care împrumutau bani prinților, negustorilor, artizanilor etc. Băncile nu împrumutau dezinteresat, desigur, ci plăteau pentru folosirea banilor pusi la dispoziție, asemenea cămătărilor din antichitate. Această plată era de obicei exprimată sub formă de dobândă la suma de bani emisă în datorie. Apoi sfera de aplicare a acestora sa extins, interesul se găsește în calcule economice și financiare, statistică, știință și tehnologie.

În zilele noastre, procentul este o formă particulară de fracții zecimale, o sutime dintr-un întreg (luat ca unitate). Procentele sunt foarte convenabile de utilizat în practică, deoarece exprimă părți ale întregurilor în aceleași fracții. Acest lucru face posibilă simplificarea calculelor și compararea cu ușurință a părților între ele și cu întregul.

Procentul este o sutime dintr-un număr luat ca număr întreg. Dacă vorbim despre un procent dintr-un anumit număr, atunci acest număr este considerat 100%.

De exemplu, 1% din salariu este o sutime din salariu; 100% din salariu reprezintă o sută de sutimi din salariu, adică întregul salariu. O sutime de metru este un centimetru, o sutime de centru este un kilogram, 1% este o sutime de număr.

După cum se știe din practică, cu ajutorul procentelor, se arată adesea o modificare a unei anumite valori. Această formă este o caracteristică numerică vizuală a schimbării, care caracterizează semnificația schimbării care a avut loc. Valoarea exprimată în procente este mai descriptivă, de înțeles, este ușor de comparat cu alte valori.

1.2 „Interesul” pentru viața de zi cu zi

Considerăm că în prezent este relevant un studiu mai aprofundat al temei „Interesul” în diferite situații. Motivul acestei necesități este semnificația, deoarece sarcinile pe această temă se găsesc adesea în diferite examene și sunt, de asemenea, folosite nu numai în lecțiile de matematică, chimie și economie. Dobânda este ferm încorporată în viața noastră de zi cu zi: împrumuturi, dobânzi bancare, compuși chimici.

Pentru un studiu complet al folosirii interesului în viața noastră, am realizat un sondaj în rândul colegilor mei de clasă, unde au întâlnit acest concept. Rezultatele sondajului i-au surprins chiar și pe băieți. Împreună ne-am amintit atât de multe utilizări pentru interes, iată o listă de exemple oferite:

Se aplică dobânda:

La calcularea reducerilor într-un magazin, întocmirea unui acord la o bancă, determinarea acuității vizuale, raportul firelor din țesătură, determinarea conținutului de grăsime în produse, determinarea încărcării programelor într-un computer sau încărcarea bateriilor, valoarea raportul voturilor la alegeri sau la vot, la repartizarea profitului companiei, calcularea efectuarii testelor de UTILIZARE, calcularea impozitelor din salariu, la recoltarea si determinarea pierderilor acesteia din elemente, raportul dintre apa din corpul uman, sau apa si terenul. pe Pământ, în raportul de impurități și aur din bijuterii primite de universități din totalul veniturilor nete , informații pentru șofer despre benzina rămasă în rezervor, atunci când evaluează participanții la parada de succes, determinând pragul epidemiei.

Din cele de mai sus, se poate observa că interesul este utilizat în următoarele domenii: comerț, programare, economie, tehnologie de producție, statistică, medicină, viața publică, viața de zi cu zi, diverse domenii ale științei, artă.

Dobânda este o parte integrantă a operațiunilor bancare, comerciale, fiscale, farmaceutice etc. Ei au intrat în viața noastră nu doar cu coacerea produselor culinare și cu prepararea delicateselor, ne atacă literalmente în momentul relațiilor de piață în economie, în momentul falimentelor, inflației și crizelor.

Un economisitor bancar învață să trăiască din dobândă plasând cu înțelepciune bani într-o afacere profitabilă. Dobânda vă va ajuta, de asemenea, să utilizați corect un credit ipotecar la o bancă. Efectuarea cu competență a calculelor de dobândă înseamnă a avea profit în tranzacțiile bancare, a avea o afacere profitabilă și propuneri comerciale.

În acest fel, interes- Acesta este unul dintre conceptele matematice care sunt foarte comune în viața de zi cu zi.

După sondaj, a devenit în sfârșit clar că fără capacitatea de a înțelege acest tip de informații în societatea modernă, ar fi pur și simplu dificil să existe. Prin urmare, devine necesar să identificăm și să studiem toate problemele de interes existente și modalitățile de rezolvare a acestora, pe care le vom dezvălui în paragraful următor.

Capitolul 2. Tipuri de probleme pentru procente și modalități de rezolvare a acestora 2.1. Tipuri de sarcini de interes

2.1.1. Găsirea procentului dintr-un număr

Pentru a găsi procentul unui număr, ar trebui să:

Scrieți procentele ca fracții zecimale.

Numărul este înmulțit cu această fracție zecimală.

Sarcină: 14 tone de varză au fost aduse la magazin, 70% din toată varza a fost vândută. Câte tone de varză au mai rămas?

Restul de varză este: 100% - 70% = 30% = 0,3

Răspuns: 4,2 tone.

1. 1. Găsirea unui număr după procentul său

Pentru a găsi un număr după procentaj, ar trebui să:

Scrieți procentele în fracții zecimale;

Împărțiți numărul la această fracție zecimală.

Sarcină: Echipa de tractor a arat 25% din întreg câmpul într-o zi, adică 60 de hectare. Care este suprafața întregului domeniu?

25% = 0,25;

60: 0.25 = 240

Raspuns: 240 de hectare.

1. 1. Aflarea procentului de numere

Pentru a afla câte procente este un număr din al doilea, ar trebui să:

Împărțiți primul număr la al doilea.

Înmulțiți rezultatul cu 100%.

Sarcină: Lungimea dreptunghiului este de 40 dm, aria este de 200 dm 2. Ce procent este lățimea lungimii?

lățimea este 200: 40 = 5

5:40 100% = 12,5%

Răspuns: 12,5%

1. 1. Creștere cu p%

Pentru a crește un număr pozitiv A cu p%, rezultă:

înmulțiți numărul A prin factorul de mărire k = (1 + 0,01p)

Obiectiv: Pretul merelor a crescut cu 30%. Care este prețul merelor după creștere, dacă prețul inițial este de 250 de ruble?

k = 1 + 0,0130 = 1,3

250 1,3 = 325

Răspuns: 325 de ruble.

1. 1. Scade cu p%

Pentru a reduce numărul pozitiv A cu p%, rezultă:

înmulțiți numărul A prin factorul de reducere k = (1- 0,01 · p)

Obiectiv: Pretul pentru un voucher la un sanatoriu a scazut cu 10%. Cât costă biletul dacă prețul inițial este de 12 ruble?

k = 1 - 0,01 10 = 0,9;

12 0,9 = 10,8

Răspuns: 10,8 ruble.

2.2.Rezolvarea problemelor în procente prin proporție

Când rezolvați probleme pentru procente, o anumită valoare a lui b este luată ca 100%, iar partea sa este valoarea A- luat pentru X% și proporția este compilată:

Din proporția pentru două mărimi cunoscute se determină o a treia mărime necunoscută, folosind principala proprietate a proporției: b X= 100 A

Problema 1... 36 de fete sunt angajate în studioul de teatru. Câți studenți învață în acest studio dacă băieții sunt 52%?

Fetele reprezintă 100% - 52% = 48% din toți elevii.

Fete: 36 de persoane - 48%

Total studenți: x oameni - o sută%

Facem proporția:

Răspuns: 75 de elevi.

Sarcina 2... Salariul strungarului a fost majorat, mai întâi cu 10%, iar apoi cu încă 20% un an mai târziu. Cu ce ​​procent a crescut salariul strungarului fata de cel initial?

A- salariul initial

1 după o creștere de 10% - 1.1 A

la un an după o creștere de 20% - 1,1 A 1,2 = 1,32 A

Să facem proporția:

132% - 100% = 32%

Răspuns: 32%.

2.3 Rezolvarea problemelor procentuale prin metoda algebrică

Problema 1... O parte a dreptunghiului este cu 42% mai mare decât cealaltă. Aria dreptunghiului este de 568 cm 2. Găsiți cea mai mică parte.

Lăsa X- o parte a dreptunghiului, apoi a doua latură va fi 1,42 X.

Să facem o ecuație și să o rezolvăm:

X 1.42 X = 568

1,42X 2 = 568

X 2 = 400

X 1 = 20 și X 2 = - 20 - nu este potrivit

Raspuns: 20 cm.

Obiectivul 2. Turistul a parcurs 40% din traseu în prima zi, 45% din traseul rămas în a doua zi, după care a avut 6 km mai mult de mers decât a făcut în a doua zi. Întregul traseu este

X(km) - tot traseul

0,4 x(km) - turistul a trecut în prima zi de excursie

0,45 (x - 0,4x) = 0,27x(km) - turistul a trecut în a doua zi de excursie

x - (0,4x + 0,27x) = 0,33x(km) - rămâne să treacă un turist

pentru că turistul trebuie să meargă cu 6 km mai mult decât a mers în a doua zi, să facem o ecuație și să o rezolvăm:

0,33x - 0,27x = 6

0,06x = 6

x = 100

Raspuns: 100 km.

2.4 Rezolvarea problemelor de concentrare și procente

Pentru a rezolva problemele din această secțiune, vom introduce conceptele de bază:

Să fie date două substanțe diferite A și B cu mase m A și m B. Masa unui amestec compus din aceste substanțe este egală cu M = m A + m B.

Concentrația în masă a substanței A în amestec (fracția de substanță pură din amestec) C A = =.

Concentrațiile de masă sunt legate de egalitatea: C A + C B = 1

Procentul de substanță A din acest amestec se calculează prin formula: R A = C A 100%

Obiectivul 1. Există 50 g de soluție care conține 8% sare. Trebuie să obținem o soluție de 5%. Care este masa de apă proaspătă care trebuie adăugată la soluția originală?

Să fie necesar să se adauge X kg de apă dulce. Luăm sarea ca substanță pură. Să întocmim soluția într-un tabel.

Să facem ecuația: 0,08 50 = (50 + x) 0,05

50 + x = 80

Raspuns: 30 kg.

Obiectivul 2. Soluția conține 15% sare. Dacă adăugați 150 g de sare, atunci soluția va conține 45% sare. Găsiți masa de sare din soluția originală.

Fie masa soluției X d. Soluția va fi formalizată într-un tabel.

Să compunem și să rezolvăm ecuația: 0,15x + 150 = (x + 150) 0,45

0,3x = 82,5

x = 275

Să aflăm masa substanței pure în soluția originală: 275 · 0,15 = 41,25.

Răspuns: 41,25 g.

Am luat în considerare 8 tipuri de probleme de interes. După cum arată analiza, în lucrările de examen la OGE sunt incluse sarcini procentuale, unele dintre ele fiind prezentate în anexă.

Concluzie

În concluzie, aș vrea să spun că procentul este una dintre cele mai dificile subiecte la matematică, iar foarte mulți elevi le este greu sau chiar incapabil să rezolve problemele cu procente. Și înțelegerea interesului și capacitatea de a face calcule ale dobânzii sunt necesare pentru fiecare persoană, deoarece ne confruntăm în mod constant cu interesul pentru viața de zi cu zi. Prin urmare, cred că munca mea își va găsi aplicație practică în lecțiile de algebră, ca exemplu de rezolvare a unor probleme de diferite tipuri cu conținut practic. Îi va ajuta pe absolvenți să-și amintească principalele modalități de rezolvare a problemelor cu interes.

Bibliografie

Glazer G.I. Istoria matematicii în școală (clasele 4-6): un ghid pentru profesori. - M .: Educaţie, 1981.-240.

Kramor, V.S. Repetăm ​​şi sistematizăm cursul şcolar de algebră şi începutul analizei.- M .: Enlightenment 1990.-416s.

Novik, I. A. Probleme de matematică: clasa a IV-a-8. Carte. pentru studenți / I. A. Novik, N. K. Peshchenko, N. V. Brovka. - Minsk: Nar. Lights, 1984 .-- 96 p.

„Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician”

Resurse de internet

Www. math-on-line.Com

Www. edu.yar.ru/russian/pedba

Www. nk / sor_uch / matematică / Kalmyk /

Www. procent.html

Apendice

Probleme de interes pentru variantele OGE în matematică

Bugetul orașului este de 45 de milioane de ruble, iar costul unuia dintre articolele sale s-a ridicat la 12,5%. Câte ruble s-au cheltuit pe acest articol bugetar?

Traducem 45 de milioane în ruble = 45 de milioane, deoarece 45 de milioane este întregul buget, prin urmare - 100%, deoarece 12,5% din bugetul total a fost cheltuit pe articol, notăm cu X aceasta este suma în ruble, să facem o proporție

45000000-100%

x-12,5%

x = 45.000.000 12,5: 100 = 5.625.000(freca)

Răspuns: 5625000 (frec)

Înainte de a fi prezentate la circ, un anumit număr de baluri au fost pregătite spre vânzare. Înainte de începerea spectacolului, toate baloanele au fost vândute, iar în pauză - încă 12 baloane. După aceea, jumătate din toate mingile au rămas. Câte bile au fost inițial?

Lasă bilele să rămână X.

Toate mingile 2x

Vândut înainte de spectacol: 2x = 2x 0,4 = 0,8x

Se vinde in pauza 12 bucati

alcătuiește ecuația

2x-0,8x-12 = x

2x-0,8x-x = 12

0,2x = 12

x = 12: 0,2

x = 60 bile rămase

60 2 = 120 mingile erau

Răspuns: 120 de bile

Banca de Economii percepe un depozit la termen de 20% pe an. Deponentul a pus 800 de ruble în cont. Ce sumă va fi pe acest cont într-un an dacă nu se vor face tranzacții cu contul?

Într-un an, investitorul-chik-lo-trișează 20%

800 · 0,2=160 R.

Astfel, peste un an contul va fi:

800+160=960 R.

Răspuns: 960 de ruble.

Produsul la vânzare a fost redus cu 20%, în timp ce a început să coste 680 de ruble. Cât a costat articolul înainte de vânzare Soluție: 100-20 = 80% noul preț va reprezenta 80% din prețul vechi.

680 de ruble - 80% x ruble - 100%

680 100: 80 = 850 rublele costă mărfurile înainte de vânzare

Răspuns: 850 de ruble.

Statul deține 60% din acțiunile companiei, restul acțiunilor sunt deținute de persoane fizice. Profitul total al întreprinderii după impozite pentru anul s-a ridicat la 40 de milioane de ruble. Cât din acest profit ar trebui să fie plătit acţionarilor privaţi?

Soluţie:

Un procent de 40 de milioane este egal cu: 40.000.000: 100 = 400.000 de ruble.

Pe tu-pay-acel privat ak-ts-o-no-ram a mers: 400.000 · 40 = 16000000 rub.

Răspuns: 16.000.000.

Acțiunile companiei sunt distribuite între stat și persoane fizice într-un raport de 3: 5. Profitul total al întreprinderii după impozite pentru anul s-a ridicat la 32 de milioane de ruble. Cât din acest profit ar trebui să fie plătit acţionarilor privaţi?

Soluţie:

Lăsa X un milion de ruble-lei merge la o parte din cotă, atunci 5x pri-ho-dit-Xia private ak-tsi-o-no-ram, și 3x - go-su-dar-stu. Știind că toate profiturile au fost de 32 de milioane de ruble, facem ecuația:

3x + 5x = 32

x = 4 milioane de ruble

Astfel, ak-tsi-o-no-ram privat primește de cinci ori mai mult, sau 20 de milioane de ruble.

Răspuns: 20.000.000.

Numărul de conifere din parc este de 1:4. Câte procente din copacii din parc sunt foioase?

Soluţie:

În total, există cinci părți ale copacilor, dintre care există nervuri de frunze - patru părți, aceasta este 4: 5 = 0,8 sau 80%.

Greutatea medie a băieților de aceeași vârstă cu Serghei este de 48 kg. Greutatea lui Sergey este de 120% din greutatea medie. Cât cântărește Serghei?

Soluţie:

Găsiți greutatea lui Gray-gay: 48 · 120: 100 = 57,6 kg.

Raspuns: 57,6 kg.

La începutul anului, numărul de abonați ai companiei de telefonie „Sever” era de 200 de mii de oameni, iar la sfârșitul anului erau 210 mii de oameni. Cu ce ​​procent a crescut numărul de abonați ai acestei companii de-a lungul anului?

Soluție: Să desemnăm numărul de abonați ca 200 de mii de persoane ca 100%. si pentru X-210 mii de oameni abonați. Să facem proporția:

200 mii de oameni - 100%210 mii de oameni - X%

x = 210 100/200 = 105 (%)

105%-100%=5% (numarul de abonati a crescut cu acel procent) Raspuns: 5%

Testul de matematică conține 30 de itemi, dintre care 18 sunt algebră, iar restul sunt geometrie. În ce relație testul conține sarcini algebrice și geometrice?

Soluţie:

Numărul de atribuiri din punct de vedere al geometriei este egal cu: 30-18 = 12 buc. Deci al-geb-ra-i-che-and geo-met-r-ch-z-da-chi na-go-sy în relație: 18 : 12 = 3: 2.

Răspuns: 3: 2

În contul bancar au fost depuse 24 de mii de ruble, al căror venit este de 15% pe an. Câte mii de ruble vor fi în acest cont într-un an dacă nu se fac tranzacții cu contul?

Soluţie:

Aflați câte prețuri pro vor fi într-un an: 100% + 15% = 115%. Deci, peste un an banca va fi: 2400 · 115: 100 = 27600 ruble.

Răspuns: 27.600 de ruble.

Ce sumă (în ruble) va fi indicată pe chitanța casieriei dacă costul mărfurilor este de 520 de ruble și cumpărătorul plătește pentru aceasta folosind un card de reducere cu o reducere de 5%?

Soluţie:

R-count-that-e-skid-ku, k-t-t-r-i-t-cha-e-t-p-t-tel, plata pentru bunuri pe un card de contact cu disc cu o reducere de 5% -koy: 520 · 5: 100 = 26 de ruble. Astfel, prețul total cu o reducere este egal cu: 520 - 26 = 494 ruble.

Răspuns: 494.

Luni, unele bunuri au fost puse în vânzare la un preț de 1000 de ruble. În conformitate cu regulile acceptate în magazin, prețul mărfurilor rămâne neschimbat în timpul săptămânii, iar în prima zi a fiecărei săptămâni următoare se reduce cu 20% față de prețul anterior. Câte ruble va costa produsul în a noua zi de la vânzare?

Soluţie:

După cum se știe, în nu de les 7 zile. Zn-chit, in a 12-a zi you-pa-yes-em pentru a doua no-de-lu, cand pretul scade cu 20%, in acest fel, marfa va costa 80%... Noi avem:

1000· 80:100=800

Raspuns: 800.

În perioada de vânzare, magazinul a redus prețurile de două ori: prima dată cu 30%, a doua - cu 50%. Câte ruble a costat ibricul după a doua reducere a prețului, dacă înainte de începerea vânzării a costat 700 de ruble?

Soluţie:

Pentru prima dată, prețul a scăzut cu 700 · 30: 100 = 210 ruble. Știi, după prima scădere a prețurilor, ceainicul a început să coste 700 - 210 = 490 de ruble. Pentru a doua oară, prețul a scăzut cu 490 · 45: 100 = 220,5 ruble. Știți, după a doua scădere a prețurilor, ceainicul a început să coste 490 - 220,5 = 269,5 ruble.

Răspuns: 269,5.

La plata serviciilor printr-un terminal de plată se percepe un comision de 5%. Terminalul acceptă sume în multipli de 10 ruble. Nikolay vrea să depună cel puțin 320 de ruble în contul său de telefon mobil. Care este suma minimă pe care trebuie să o pună în dispozitivul de recepție al acestui terminal?

Soluţie:

Ținând cont de comision, Anya trebuie să plătească cel puțin 300 + 300 dispozitivului receptor · 0,05 = 315 ruble. Know-chit, suma minimă, pe care trebuie să-l trăiesc Anya în dispozitivul de primire al acestui ter-mi-na-la - 320 de ruble-lei. Pro-ver-rim că această sumă este de până la o sută, exact: 5% din ea este de 16 ruble. (aceasta este o misiune), leave-shi-e-xia 304 ruble vor merge în contul tele-le-phon.

Raspuns: 320.

Un telefon mobil costa 5.000 de ruble. După un timp, prețul pentru acest model a fost redus la 3000 de ruble. Cu ce ​​procent s-a redus pretul?

Soluţie:

Prețul fundalului telefonului este de la 5.000 la 3.000 = 2.000 de ruble. Raz-del-lim de la 2000 la 5000:

Știi, prețul a scăzut cu 40%.

Au luat un împrumut de 20.000 de ruble pentru achiziționarea unei tablete timp de 1 an la 16% pe an. Calculați câți bani aveți nevoie pentru a returna la bancă, care este suma plății lunare?

Soluţie:

20000· 16: 100 = 3200 (frecare) - un an

20.000 + 3200 = 23.200 (rub.) - suma integrală cu dobândă

23200: 12 = 1933 (rub.) - suma de plată lunară

Răspuns: 1933 de ruble.

Un pachet de ceai costă 100 de ruble. Mai întâi, prețul a fost majorat cu 10%, iar apoi redus cu 10% (din noul preț). Cât costă acum un pachet de ceai?

Deoarece prețul a fost majorat cu 10%, înseamnă că prețul inițial trebuie înmulțit cu 1,1, iar în cazul unei scăderi cu 10%, acesta trebuie înmulțit cu 0,9,

100 (1 + 0,1) (1-0,1) = 99 ruble.

Răspuns: 99 de ruble.

În septembrie, 1 kg de struguri a costat 60 de ruble, în octombrie prețul la struguri a crescut cu 25%, iar în noiembrie cu încă 20%. Câte ruble a costat 1 kg de struguri după creșterea prețului în noiembrie?

Soluţie:

În ok-tyab-re vi-no-grad in-do-ro-sting până la 60 · 25: 100 = 15 ruble și a început să coste 60 + 15 = 75 de ruble. În no-yab-re vi-no-grad in-do-ro-sting la 75 · 20: 100 = 15 ruble. Zn-chit, după po-po-zha-niya în no-yab-re, 1 kg de vi-no-gra-da costă 75 + 15 = 90 de ruble.

În școală sunt 800 de elevi, dintre care 30% sunt elevi de școală primară. Dintre elevii de liceu și liceu, 20% învață limba germană. Câți elevi învață limba germană la școală dacă limba germană nu este învățată la școala elementară?

Soluţie:

Elevii din clasele primare 800 · 30: 100 = 240, iar elevii de gimnaziu și liceu - 800 - 240 = 560. Know-chit, limba non-germană se studiază la școala 560 · 20: 100 = 112 elevi.

1% este o sutime dintr-un număr.

1% = 0,01.

Găsirea procentelor unui număr.
Pentru a găsi procentul unui număr, puteți reprezenta procentul ca o fracție zecimală și înmulțiți numărul cu fracția zecimală rezultată.

Găsirea unui număr după procentul său.
Pentru a găsi un număr după procentul său, puteți reprezenta procentul ca o fracție zecimală și puteți împărți acest număr la fracția zecimală rezultată.

Pentru a afla câte procente este un număr de la altul, puteți împărți un număr la altul și înmulți produsul rezultat cu 100.

Cum să rezolvi problemele cu interes. Exemple.

Găsirea unui procent dintr-un număr este asociată cu găsirea unei fracțiuni dintr-un număr. Procentele sunt un mod special de a scrie o fracție obișnuită, prin urmare, ar trebui să începeți să dezvăluiți semnificația conceptului de procent prin înțelegerea conceptului de fracție obișnuită.

Să luăm câteva fracții comune, de exemplu. Care este sensul fiecărei astfel de intrări?
- Acestea sunt exemple de fracții regulate. Numitorul fiecăruia dintre ele arată câte părți egale trebuie să fie împărțit un obiect real sau abstract, numărătorul arată câte astfel de părți trebuie luate. Să luăm ca exemplu o fracție obișnuită. De exemplu. Sensul acestei expresii poate fi dezvăluit după cum urmează. Un anumit obiect real a fost împărțit în 3 părți egale și din ele au fost luate 2 părți.

Ca obiect real, puteți lua, de exemplu, un dreptunghi.

Această expresie este câtul dintre a și b, unde b nu este 0.

Acesta este raportul numerelor a și b, unde b nu este egal cu 0.

Aceasta este o fracție obișnuită. a este numărătorul, b este numitorul (b nu este egal cu 0).

Exemplul 1. Capacitatea butoiului era de 200 l. Butoiul era umplut cu apă. Care a fost sensul acestei propuneri?
- această fracție înseamnă că un anumit obiect a fost împărțit în 5 părți egale și din ele au fost luate 2 părți. Obiectul din această problemă este un volum de butoi egal cu 200 de litri, prin urmare,
200:5 = 40,
402 = 80.
În butoi au fost turnați 80 de litri de apă.
Exemplul de mai sus este un exemplu tipic de găsire a unei fracțiuni dintr-un număr.

Pentru a găsi fracția unui număr, trebuie să înmulțiți numărul cu această fracție.

Acum poți merge la procente.

Conceptul de procent este definit astfel: 1% din număr este o sutime din număr, adică 1% = 0,01.

Apoi sensul propoziției a% din numărul b poate fi explicată după cum urmează. Un anumit obiect (a cărui valoare este b unități) au fost împărțite în 100 de părți egale și luate din ele A părți.

Exemplul 2. Masha avea 400 de ruble. Ea a cheltuit 24% din această sumă. Care este sensul acestei afirmații?
Deoarece 24% = 0,24, iar 0,24 înseamnă că un anumit obiect a fost împărțit în 100 de părți egale și din ele au fost luate 24 de părți. În acest caz, obiectul este suma de bani egală cu 400 de ruble, prin urmare,
400: 100 =4,
424 = 96.
Masha a cheltuit 96 de ruble.
Exemplul de mai sus este un exemplu tipic de găsire a unui procent dintr-un număr.

Exemplul 3. Trebuie să găsești R% a numărului b .
Fie x numărul pe care trebuie să-l găsim.
p% = 0,01p,
x = b 0,01p

Pentru a găsi procentele unui număr, trebuie să reprezentați numărul de procente ca o fracție zecimală și să înmulțiți numărul dat cu această fracție zecimală.

O altă abordare a acestei sarcini. Puteți folosi conceptul și proprietățile proporției. Dacă vă amintiți că proporția este egalitatea a două rapoarte, iar raportul a două numere este o fracție obișnuită, atunci această metodă este asociată și cu conceptul de fracție obișnuită.

b - 100%,
x - p%,
Avem o proportie:
b: 100 = x: p, (b se referă la 100 deoarece x se referă la p) de unde,

Exemplul 4. Să fie numere A și b , în plus, A >b Apoi numărul A mai multe numere b pe %.

Să abordăm această problemă puțin diferit. Vom lua în considerare un caz special simplu, de exemplu: „Cu ce ​​procent este numărul 10 mai mare decât numărul 2?”

1. Scădeți numărul mai mic din numărul mai mare. 10 - 2 = 8. Atunci 10 este mai mult de 2 cu 8.

2. Găsiți raportul dintre numărul găsit și numărul mai mic. 8: 2 = 4 este raportul a două numere!

3 Exprimăm raportul ca procent 4100 = 400%.

Numărul 10 este cu 400% mai mult decât numărul 2.

Dacă împărțim 8 la 10, găsim un raport care arată care parte din 102 este mai mică decât 10 (aici comparația este cu numărul 10.

Numărul 2 este cu 80% mai mic decât numărul 10.

Exemplul 5. Tractoristul a arat 6 hectare, care este din tot câmpul. Care este suprafața întregului domeniu.
Aceasta este o sarcină tipică de a găsi un număr după fracția sa. Să fie zona întregului câmp X, atunci avem ecuația x = 6. De unde x = 6 :; x = 26. Suprafața câmpului este de 26 de hectare.

Pentru a găsi un număr după fracția sa, trebuie să împărțiți numărul corespunzător acestei fracții la o fracție.

Exemplul 6. Dat un număr b, care este p% a numărului A. Găsiți numărul A.

p% = 0,01p
b = 0,01pa
a = b: (0,01p)

Dat un număr b care este p% a numărului A .

Găsiți numărul A .

a - 100%

b - p%

a: 100 = b: p

Formula dobânzii compuse.

Dacă suma este depusă A unități monetare și comisioane bancare R% anual, apoi după n ani, suma de pe depozit va fi unități monetare, sau
a (1 + 0,01p) n unități monetare.

Exemplul 7. Costul construirii unei case a fost de 9800 de ruble, din care 35% au plătit pentru lucrare, iar restul pentru material. Cât au costat materialele?

Plătit pentru muncă:

0,359800 = 3430.

Prin urmare, materialele costă: 9800 - 3430 = 6370.

Răspuns: 6370 de ruble.

Exemplul 8.În rezervor au fost turnate 37,4 tone de benzină, după care 6,5% din capacitatea rezervorului a rămas neumplută. Câtă benzină trebuie să adaug în rezervor pentru a-l umple?

Dacă partea neumplută a rezervorului este de 6,5% din capacitate, atunci partea umplută este: 100% - 6,5% = 93,5%. Atunci, dacă x este masa de benzină care rămâne de adăugat în rezervor, atunci avem proporția

Unde .

Răspuns: 2,6 t.

Exemplul 9. Găsiți un număr știind că 25% din el este egal cu 45% din 640.

Fie x numărul necesar. Noi avem

0,25x = 0,45640.

Răspuns: 1152.

Exemplul 10. Numărul a este 92% din numărul b. Dacă numărul b crește cu 700, atunci noul număr va fi cu 9% mai mult decât numărul a. Găsiți numerele a și b.

Din starea problemei, avem un sistem de ecuații:

Rezolvând sistemul rezultat, găsim, a = 230.000, b = 250.000.

Raspuns: 230.000; 250.000.

Exemplul 11. Primul număr este 50% din al doilea. Ce procent din primul este al doilea?

Să notăm al doilea număr prin x, apoi primul număr este egal cu 0,5x. Pentru a afla ce procent este numărul x al numărului 0,5x; hai sa facem o proportie:

din care găsim

Răspuns: 200%.

Exemplul 12. La Liceu sunt 260 de studenți, dintre care 10% nu reușesc. După expulzarea unui anumit număr de subperformanți, procentul acestora a scăzut la 6,4%. Câți studenți sunt abandonați?

Înainte de deducere, numărul de persoane nereușite înainte de deducere a fost sărat

Să fie expulzați x oameni. Atunci au rămas la Liceu doar 260 de studenți, dintre care 26 au devenit subperformanțe. Avem o proporție

260 - x - 100%,

(260 - x) 0,064 = (26 - x) 100,

Rezolvând ecuația rezultată, găsim x = 10.

Exemplul 13. Cu ce ​​procent 250 este mai mare decât 200?

Să facem două lucruri.

1) Aflăm ce procent este numărul 250 de tone din numărul 200:

2) Deoarece numărul 200 din acest exemplu este 100%, numărul 250 este mai mare decât numărul 200 cu 125% -100% = 25%.

Răspuns: 25%.

Exemplul 14. Cu cât este mai puțin 200 decât 250?

1) Aflați câte procente este numărul 200 al numărului 250 (spre deosebire de exemplul anterior, aici trebuie să luați numărul 250 ca 100%!):

2) Numărul 200 este mai mic decât numărul 250 cu 100% - 80% = 20%.

Răspuns: 20%.

Exemplul 15. Lungimea cărămizii a fost mărită cu 30%, lățimea cu 20%, iar înălțimea a fost redusă cu 40%. Volumul cărămizii a crescut sau a scăzut din aceasta și cu ce procent?

Fie lungimea cărămizii inițială x, lățime - y, înălțime - z. Apoi volumul inițial al cărămizii: V 1 = xyz. Noi dimensiuni de cărămidă: 1,3x; 1,2 ani; 0,6z și un volum nou: V 2 = 1,3x1,2y0,6z = 0,936xyz. Din V 2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

Răspuns: a scăzut cu 6,4%.

Exemplul 16. Prețul produsului a scăzut cu 40%, apoi cu încă 25%. Cât de mult a scăzut prețul produsului față de prețul inițial?

Să notăm prețul inițial al produsului prin x. După prima picătură, prețul va fi egal

x - 0,4x = 0,6x.

A doua scădere de preț este de 25% din noul preț de 0,6x, așa că după a doua scădere de preț vom avea un preț

0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.

După două reduceri, modificarea totală a prețului este:

x - 0,45x = 0,55x.

Deoarece magnitudinea este de 0,55x; este de 55% din valoarea x, atunci prețul mărfurilor a scăzut cu 55%.

Răspuns: 55%.

Exemplul 17. Costul inițial pe unitate de producție a fost egal cu 75 de ruble. În primul an de producție, a crescut cu un anumit număr de procente, iar în al doilea an a scăzut (în raport cu costul crescut) cu același număr de procente, în urma căruia a devenit egal cu 72 de ruble. Determinați creșterile și scăderile procentuale ale costului unitar.

Fie x% creșterea procentuală (și scăderea) a costului unitar. Prin definiție, x% din 75 este 750,01x. Apoi, după prima creștere, prețul va fi egal cu 75 + 0,75x.

Pe parcursul celui de-al doilea an, pretul va scadea cu suma

0,01x (75 + 0,75x) = 0,75x + 0,0075x 2.

Ecuația finală a prețului poate fi acum scrisă

(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;

x 2 = 400; prin urmare, x 1 = - 20, x 2 = 20.

O singură rădăcină a acestei ecuații este potrivită: x 2 = 20.

Răspuns: 20%.

Exemplul 18.În contul bancar au fost depuse 10 mii de ruble. După ce banii au rămas timp de un an, 1 mie de ruble au fost retrase din cont. Un an mai târziu, contul era de 11 mii de ruble. Stabiliți ce procent pe an percepe banca.

Lasă banca să calculeze p% pe an.

1) Suma de 10.000 de ruble depusă într-un cont bancar la p% pe an, într-un an va crește la valoarea

10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100 rub.

Când 1000 de ruble sunt retrase din cont, 9000 + 100 de ruble vor rămâne acolo.

2) Un an mai târziu, ultima valoare datorată acumulării dobânzii va crește la valoarea de 9000 + 100r + 0,01p (9000 + 100r) = p 2 + 190r + 9000 ruble.

După condiție, această valoare este de 11.000 de ruble, deci avem o ecuație pătratică.

p 2 + 190r + 9000 = 11000;

p 2 + 190r - 2000 = 0
, rezolvăm această ecuație pătratică folosind teorema lui Vietta, p 1 = 10, p 2 = -200.

Rădăcina negativă nu este potrivită.

Răspuns: 10%.

Exemplul 19. Orașul are în prezent 48400 de locuitori. Se știe că populația acestui oraș crește anual cu 10%. Câți locuitori erau acum doi ani?

Să presupunem că acum doi ani numărul de locuitori ai orașului era x oameni, atunci numărul de locuitori este exprimat în prezent în termeni de x folosind formula procentuală compusă:

x (1 + 0,1) 2 = 1,21x.

Din declarația problemei:

Răspuns: 40.000 de oameni.

Pentru a rezolva majoritatea problemelor din matematica de liceu, sunt necesare cunoștințe de proporție. Această abilitate simplă vă va ajuta nu numai să efectuați exerciții complexe din manual, ci și să vă adânciți în însăși esența matematicii. Cum se face proporția? Să aruncăm o privire acum.

Cel mai simplu exemplu este o problemă în care se cunosc trei parametri, iar al patrulea trebuie găsit. Proporțiile sunt, desigur, diferite, dar adesea trebuie să găsiți un număr în procente. De exemplu, băiatul avea zece mere în total. I-a dat a patra parte mamei sale. Câte mere i-au rămas băiatului? Acesta este cel mai simplu exemplu care vă va permite să compuneți proporția. Principalul lucru este să o faci. Inițial erau zece mere. Să fie 100%. I-am marcat toate merele. A dat un sfert. 1/4 = 25/100. Aceasta înseamnă că a plecat: 100% (a fost inițial) - 25% (a dat) = 75%. Această cifră arată procentul dintre numărul de fructe rămase față de numărul primelor disponibile. Acum avem trei numere, prin care este deja posibil să rezolvăm proporția. 10 mere - 100%, X mere - 75%, unde x este cantitatea necesară de fructe. Cum se face proporția? Trebuie să înțelegeți ce este. Din punct de vedere matematic, arată așa. Semnul egal este pus pentru înțelegere.

10 mere = 100%;

x mere = 75%.

Se pare că 10 / x = 100% / 75. Aceasta este principala proprietate a proporțiilor. La urma urmei, cu cât x este mai mare, cu atât acest număr este mai mare față de original. Rezolvăm această proporție și obținem că x = 7,5 mere. De ce s-a hotărât băiatul să dea o sumă care nu este întreagă, nu ne știm. Acum știi să proporții. Principalul lucru este să găsiți două relații, dintre care una conține necunoscutul necunoscut.

Rezolvarea proporțiilor se reduce adesea la o simplă înmulțire și apoi la împărțire. În școli, copiilor nu li se explică de ce este exact așa. Deși este important să înțelegem că relațiile proporționale sunt un clasic matematic, este însăși esența științei. Pentru a rezolva proporțiile, trebuie să fii capabil să gestionezi fracțiile. De exemplu, adesea trebuie să convertiți procentele în fracții. Adică, un record de 95% nu va funcționa. Și dacă scrieți 95/100 imediat, atunci puteți face reduceri solide fără a începe numărătoarea principală. Ar trebui spus imediat că dacă proporția ta s-a dovedit a fi cu două necunoscute, atunci nu poate fi rezolvată. Nici un profesor nu te poate ajuta aici. Iar sarcina ta, cel mai probabil, are un algoritm mai complex de acțiuni corecte.

Luați în considerare un alt exemplu în care nu există niciun interes. Șoferul a cumpărat 5 litri de benzină pentru 150 de ruble. Se întreba cât va plăti pentru 30 de litri de combustibil. Pentru a rezolva această problemă, să fie x suma necesară de bani. Puteți rezolva singur această problemă și apoi verificați răspunsul. Dacă încă nu v-ați dat seama cum să faceți proporția, atunci aruncați o privire. 5 litri de benzină înseamnă 150 de ruble. Ca și în primul exemplu, vom nota 5L - 150r. Acum să găsim al treilea număr. Desigur, acesta este de 30 de litri. De acord că o pereche de 30 de litri - x ruble este potrivită în această situație. Să trecem la limbajul matematic.

5 litri - 150 de ruble;

30 de litri - x ruble;

Rezolvam aceasta proportie:

x = 900 de ruble.

Așa că ne-am hotărât. În sarcina dvs., nu uitați să verificați caracterul adecvat al răspunsului. Se întâmplă ca, cu o decizie greșită, mașinile să atingă viteze nerealiste de 5000 de kilometri pe oră și așa mai departe. Acum știi să proporții. O poti si rezolva. După cum puteți vedea, acest lucru nu este dificil.